Lição nº 30 (Álgebra e os Princípios da Análise, 11ª Série)

Tópico da lição: Grau com expoente racional.

Objetivo da lição: 1 . Expanda o conceito de grau, dê o conceito de grau com um indicador racional; ensinar como traduzir um grau com um indicador racional para a raiz e vice-versa; calcular potências com um expoente racional.

2. Desenvolvimento da memória, pensamento.

3. Formação da atividade.

"Deixe alguém tentar riscar

de um diploma de matemática e ele verá

Você não vai muito longe sem eles." M.V. Lomonossov

Durante as aulas.

I. Comunicação do tema e propósito da lição.

II. Repetição e consolidação do material abordado.

1. Análise de exemplos de casas não resolvidas.

2. Controlar o trabalho independente:

Opção 1.

1. Resolva a equação: √(2x - 1) = 3x - 12

2. Resolva a desigualdade: √(3x - 2) ≥ 4 - x

Opção 2.

1. Resolva a equação: 3 - 2x \u003d √ (7x + 32)

2. Resolva a desigualdade: √(3x + 1) ≥ x - 1

III. Aprendendo novos materiais.

1 . Lembre-se da extensão do conceito de números: N є Z є Q є R.

Isso é melhor representado como o diagrama abaixo:

Natural (N)

Zero

Números não negativos

Números negativos

Números fracionários

Inteiros (Z)

Irracional

Racional (Q)

Numeros reais

2. Nas séries iniciais, definiu-se o conceito de grau de um número com expoente inteiro. a) Lembre-se da definição do grau a) com um natural, b) com um inteiro negativo, c) com um expoente zero.Enfatize que a expressão a n faz sentido para todos os inteiros n e quaisquer valores de a, exceto para a=0 e n≤0.

b) Liste as propriedades dos graus com um expoente inteiro.

3 . trabalho oral.

1). Calcule: 1 -5 ; 4-3; (-100; (-5) -2; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .

2). Escreva como expoente negativo:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x7; 1/a 9 .

3). Compare com a unidade: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Agora você precisa entender o significado das expressões 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 etc. Para fazer isso, é necessário generalizar o conceito de grau de tal forma que todas as propriedades listadas dos graus sejam satisfeitas. Considere a igualdade (uma m/n) n = a m . Então, pela definição da raiz n, é razoável supor que um s/n será a raiz n de a m . A definição de grau com um expoente racional é dada.

5. Considere os exemplos 1 e 2 do livro.

6. Façamos algumas observações relacionadas ao conceito de grau com expoente racional.

Observação 1 : Para qualquer a>0 e número racional r, o número a r>0

Observação 2 : Pela propriedade básica das frações, um número racional m/n pode ser escrito como mk/nk para qualquer número natural k. Entãoo valor do grau não depende da forma de escrever um número racional, uma vez que a mk/nk = = nk √ a mk = n √ a m = a m/n

Nota 3: Quando um Vamos explicar isso com um exemplo. Considere (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Por outro lado: 1/3 = 2/6 e depois (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Obtemos uma contradição.

Professor de matemática: Nashkenova A.N. Escola Secundária Maybalyk Esboço da lição sobre o tema "Grau com um indicador racional"

(álgebra, grau 11)

Lições objetivas:

Ampliar e aprofundar o conhecimento dos alunos sobre o grau de número; familiarização dos alunos com o conceito de grau com um indicador racional e suas propriedades;

Desenvolver conhecimentos, habilidades e habilidades para calcular os valores de expressões usando propriedades;

Continuar a trabalhar no desenvolvimento das competências para analisar, comparar, destacar o principal, definir e explicar conceitos;

Para formar competências comunicativas, a capacidade de argumentar suas ações, para cultivar a independência, diligência.

Equipamento: livro didático, cartões de apostila, laptop,material de apresentação Power Point ;

Tipo de aula: lição de estudo e consolidação primária de novos conhecimentos.

Plano de aula:

1.Org. momento. - 1 minuto.

2.Motivação da lição.-2 minutos

3. Atualização de conhecimentos básicos. - 5 minutos.

4. Estudo de novo material. - 15 minutos.

5. Minuto de educação física - 1 min.

6. Consolidação primária do material estudado - 10 min

7. Trabalho independente. - 7 min.

8. Lição de casa. - 2 minutos.

9. Reflexão - 1 min.

10. O resultado da lição. - 1 minuto.

Durante as aulas

1. Momento organizacional

Clima emocional para a lição.

Eu quero trabalhar, eu quero

trabalhar,
Desejo-lhe sucesso hoje.
Afinal, no futuro tudo isso é para você

vir a calhar.
E será mais fácil para você no futuro

estudar(Slide nº 1)

2. Motivação da lição

As operações de elevar a uma potência e extrair uma raiz, como as quatro operações aritméticas, surgiram como resultado de uma necessidade prática. Então, junto com a tarefa de calcular a área de um quadrado, o ladouma que é conhecido, havia um problema inverso: “Qual deve ser o comprimento do lado do quadrado para que sua área seja igual adentro. Nos séculos 14-15, os bancos apareceram na Europa Ocidental, que davam dinheiro a juros a príncipes e mercadores, financiavam viagens de longa distância e conquistas com altas taxas de juros. Para facilitar o cálculo dos juros compostos, compilamos tabelas pelas quais você pode saber imediatamente quanto precisa pagar por meio deP anos, se o montante foi emprestadouma sobreR% por ano. O valor pago é expresso pela fórmula: s = a(1 + ) P .Às vezes, o dinheiro era emprestado não por um número inteiro de anos, mas, por exemplo, por 2 anos e 6 meses. Se após 2,5 anos o montanteuma aplicar a aq , então, nos próximos 2,5 anos, aumentará em outroq vezes e se torna igualaq 2 . Após 5 anos:a=(1 + 5 , é por isso q 2 = (1 + 5 e significa q =

(Slide 2) .

Assim, nasceu a ideia de um diploma com expoente fracionário.

3. Atualização de conhecimentos básicos.

Perguntas:

1. O que significa o registro;uma P

2. O que é uma ?

3. O que é P ?

4. uma -P =?

5. Anote em seu caderno as propriedades do grau com um indicador inteiro.

6. Que números são naturais, inteiros, racionais? Desenhe-os usando círculos de Euler.(Slide 3)

Respostas: 1. Grau com um expoente inteiro

2. uma- base

3. P- expoente

4. uma -P =

5. Propriedades de grau com expoente inteiro:

uma m *uma n = um (m+n) ;

uma m : uma n = um (m-n) ( no uma não igual a zero );

(uma m ) n = um (m*n) ;

(a*b) n = um n *b n ;

(a/b) n = (um n )/(b n ) (no b não igual a zero);

uma 1 = um;

uma 0 = 1 (quando uma não igual a zero);

Essas propriedades serão válidas para quaisquer números a, b e quaisquer inteiros m e n.

6.1,2,3, …- números positivos – conjunto de números naturais –N

0,-1,-2,-3,.. o número O e números negativos - um conjunto de inteiros -Z

Q , – números fracionários (negativos e positivos) – conjunto de números racionais –Q Z

N

círculos de Euler (slide 4)

4. Aprendendo novos materiais.

Deixar. uma - número não negativo e você quer elevá-lo a uma potência fracionária . Você conhece a equaçãouma m ) n = um m n (slide 4) , ou seja a regra para elevar um poder a um poder. Na equação acima, suponha que m = , então temos: (uma ) P = um =a (slide 4)

A partir disso, pode-se concluir que éuma raiz P - º grau do númerouma , ou seja uma = . segue que (uma P ) = P =a (slide 4).

Consequentemente uma =(um ) m =(um m ) = m . ( slide 4 ).

Assim, vale a seguinte igualdade:uma = m (slide 4)

Definição: grau de um número não negativo uma com um racional , Onde - uma fração irredutível, o valor da raiz do n-ésimo grau de um número é chamado uma t .

Portanto, por definição uma = m (slide 5)

Vejamos o exemplo 1 : Escreva o expoente com um expoente racional como a raiz n:

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (slide 6) Solução: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( slide 7) Multiplicação, divisão, exponenciação e extração de raízes podem ser realizadas em potências com um expoente racional de acordo com as mesmas regras que com potências com expoentes inteiros e potências com as mesmas bases:uma = um + uma = uma - (uma ) = um * (a*b) = um * dentro ) = uma / dentro onde p, q são números naturais, m, p são números inteiros. (slide 8) 5. Minuto de educação física

Vire seu olhar para a direita

Vire seu olhar para a esquerda

Olhou para o teto

Todos nós olhamos para frente.

Um - dobre - desdobre,

Dois ─ dobrar - esticar

Três - nas mãos de três palmas,

Três acenos de cabeça.

Cinco e seis sentam-se calmamente.

E na estrada novamente! (slide 9)

6. Consolidação primária do material estudado:

Página 51, nº 90, nº 91 - preencha você mesmo em um caderno,

com cheque de bordo

7. Trabalho independente

Opção 1

(Slide 10)

Opção 1

(Slide 11)

Realizar trabalho independente com revisão por pares.

Respostas:

Opção 1

(Slide 12)

Então, hoje na lição nos familiarizamos com o conceito de grau com um expoente racional e aprendemos a escrevê-lo na forma de raízes, aplicar as propriedades básicas dos graus ao encontrar os valores das expressões numéricas.8. Dever de casa: Nº 92, Nº 93 Informações do dever de casa

9. Reflexão

(Slide 13)

10. Resumo da lição:

Qual é a semelhança e a diferença entre o grau com um indicador inteiro e o grau com um indicador fracionário? (semelhança: todas as propriedades de um grau com um expoente inteiro também valem para um grau com um expoente racional;

diferença: graus)

Listar propriedades de grau com expoente racional

Aula concluída hoje
Você não pode encontrar amigos.
Mas todos deveriam saber:
Conhecimento, perseverança, trabalho
Levar ao progresso na vida.
Obrigado pela lição! (slide 14)

Expressões, conversão de expressão

Expressões de poder (expressões com poderes) e sua transformação

Neste artigo, falaremos sobre transformar expressões com potências. Primeiro, vamos nos concentrar nas transformações que são realizadas com expressões de qualquer tipo, incluindo expressões de potência, como abrir colchetes, reduzir termos semelhantes. E então analisaremos as transformações inerentes especificamente às expressões com graus: trabalhando com a base e o expoente, usando as propriedades dos graus, etc.

Navegação da página.

O que são expressões de poder?

O termo "expressões de poder" praticamente não é encontrado em livros didáticos de matemática, mas frequentemente aparece em coletâneas de problemas, especialmente elaborados para preparar o Exame Estadual Unificado e o OGE, por exemplo. Após analisar as tarefas nas quais é necessário realizar alguma ação com expressões de poder, fica claro que as expressões de poder são entendidas como expressões contendo graus em suas entradas. Portanto, para si mesmo, você pode tomar a seguinte definição:

Definição.

Expressões de poder são expressões contendo potências.

Vamos trazer exemplos de expressões de poder. Além disso, vamos representá-los de acordo com a forma como ocorre o desenvolvimento de visões de um grau com um indicador natural para um grau com um indicador real.

Como você sabe, primeiro você se familiariza com o grau de um número com um expoente natural, nesta fase as primeiras expressões de potência mais simples do tipo 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Um pouco mais tarde, estuda-se a potência de um número com um expoente inteiro, o que leva ao aparecimento de expressões de potência com potências inteiras negativas, como as seguintes: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Nas classes seniores, eles retornam aos graus novamente. Lá, é introduzido um grau com um expoente racional, o que leva ao aparecimento das expressões de potência correspondentes: , , etc. Finalmente, são considerados graus com expoentes irracionais e expressões que os contêm: , .

A questão não se limita às expressões de potência listadas: além disso, a variável penetra no expoente e existem, por exemplo, expressões 2 x 2 +1 ou . E depois de se familiarizar, começam a aparecer expressões com potências e logaritmos, por exemplo, x 2 lgx −5 x lgx.

Então, descobrimos a questão do que são expressões de poder. A seguir, aprenderemos como transformá-los.

Os principais tipos de transformações de expressões de poder

Com expressões de poder, você pode executar qualquer uma das transformações idênticas de expressões. Por exemplo, você pode expandir colchetes, substituir expressões numéricas por seus valores, adicionar termos semelhantes e assim por diante. Naturalmente, neste caso é necessário cumprir as ordem de ações. Vamos dar exemplos.

Exemplo.

Calcule o valor da expressão de potência 2 3 ·(4 2 −12) .

Solução.

De acordo com a ordem das ações, primeiro executamos as ações entre parênteses. Lá, em primeiro lugar, substituímos a potência de 4 2 por seu valor 16 (veja se necessário) e, em segundo lugar, calculamos a diferença 16−12=4 . Nós temos 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Na expressão resultante, substituímos a potência de 2 3 por seu valor 8 , após o qual calculamos o produto 8·4=32 . Este é o valor desejado.

Então, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Responda:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Exemplo.

Simplifique as expressões de poder 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solução.

Obviamente, esta expressão contém termos semelhantes 3 a 4 b −7 e 2 a 4 b −7 , e podemos reduzi-los: .

Responda:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplo.

Expresse uma expressão com potências como um produto.

Solução.

Para lidar com a tarefa permite a representação do número 9 como uma potência de 3 2 e uso posterior fórmulas de multiplicação abreviadas diferença de quadrados:

Responda:

Há também uma série de transformações idênticas inerentes às expressões de poder. A seguir, vamos analisá-los.

Trabalhando com base e expoente

Existem graus, na base e/ou indicador dos quais não são apenas números ou variáveis, mas algumas expressões. Como exemplo, vamos escrever (2+0,3 7) 5−3,7 e (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Ao trabalhar com expressões semelhantes, tanto a expressão na base do grau quanto a expressão no expoente podem ser substituídas por uma expressão identicamente igual em ODZ suas variáveis. Em outras palavras, de acordo com as regras conhecidas por nós, podemos converter separadamente a base do grau e separadamente - o indicador. É claro que, como resultado dessa transformação, obtém-se uma expressão identicamente igual à original.

Tais transformações nos permitem simplificar expressões com potências ou atingir outros objetivos que precisamos. Por exemplo, na expressão de potência (2+0,3 7) 5−3,7 mencionada acima, você pode realizar operações com números na base e no expoente, o que permitirá que você vá para a potência de 4,1 1,3. E depois de abrir os colchetes e trazer termos semelhantes na base do grau (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) obtemos uma expressão de potência de uma forma mais simples a 2·(x+1 ).

Usando Propriedades de Energia

Uma das principais ferramentas para transformar expressões com poderes são as igualdades que refletem. Recordemos os principais. Para quaisquer números positivos a e b e números reais arbitrários r e s, as seguintes propriedades de potência são válidas:

• a r a s = a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Observe que para expoentes naturais, inteiros e positivos, as restrições sobre os números a e b podem não ser tão rígidas. Por exemplo, para os números naturais m e n, a igualdade a m ·a n =a m+n é verdadeira não apenas para a positivo, mas também para os negativos e para a=0.

Na escola, a atenção principal na transformação das expressões de poder está voltada justamente para a capacidade de escolher a propriedade adequada e aplicá-la corretamente. Nesse caso, as bases dos graus geralmente são positivas, o que permite usar as propriedades dos graus sem restrições. O mesmo se aplica à transformação de expressões contendo variáveis ​​nas bases de graus - o intervalo de valores aceitáveis​​de variáveis ​​geralmente é tal que as bases assumem apenas valores positivos, o que permite usar livremente as propriedades de graus. Em geral, você precisa se perguntar constantemente se é possível aplicar qualquer propriedade de graus neste caso, porque o uso impreciso de propriedades pode levar a um estreitamento da ODZ e outros problemas. Esses pontos são discutidos em detalhes e com exemplos no artigo. transformação de expressões usando as propriedades de potências. Aqui nos limitamos a alguns exemplos simples.

Exemplo.

Expresse a expressão a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 como uma potência de base a .

Solução.

Primeiro, transformamos o segundo fator (a 2) −3 pela propriedade de elevar uma potência a uma potência: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Neste caso, a expressão de potência inicial terá a forma a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Obviamente, resta usar as propriedades de multiplicação e divisão de potências com a mesma base, temos
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Responda:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

As propriedades de potência são usadas ao transformar expressões de potência da esquerda para a direita e da direita para a esquerda.

Exemplo.

Encontre o valor da expressão de potência.

Solução.

A igualdade (a·b) r =ar ·b r , aplicada da direita para a esquerda, permite ir da expressão original ao produto da forma e mais além. E ao multiplicar potências com a mesma base, os indicadores somam: .

Foi possível realizar a transformação da expressão original de outra forma:

Responda:

.

Exemplo.

Dada uma expressão de potência a 1,5 −a 0,5 −6 , insira uma nova variável t=a 0,5 .

Solução.

O grau a 1,5 pode ser representado como um 0,5 3 e ainda com base na propriedade do grau no grau (a r) s =ar s aplicado da direita para a esquerda, converta-o para a forma (a 0,5) 3 . Nesse caminho, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Agora é fácil introduzir uma nova variável t=a 0.5 , obtemos t 3 −t−6 .

Responda:

t 3 −t−6 .

Convertendo frações contendo potências

As expressões de potência podem conter frações com potências ou representar tais frações. Para tais frações, qualquer uma das principais conversões de fração, que são inerentes a frações de qualquer tipo. Ou seja, frações que contêm graus podem ser reduzidas, reduzidas a um novo denominador, trabalhar separadamente com seu numerador e separadamente com o denominador, etc. Para ilustrar as palavras acima, considere as soluções de vários exemplos.

Exemplo.

Simplifique a expressão de poder .

Solução.

Esta expressão de poder é uma fração. Vamos trabalhar com seu numerador e denominador. No numerador, abrimos os colchetes e simplificamos a expressão obtida em seguida usando as propriedades das potências, e no denominador apresentamos termos semelhantes:

E também mudamos o sinal do denominador colocando um menos na frente da fração: .

Responda:

.

A redução de frações contendo potências a um novo denominador é realizada de maneira semelhante à redução de frações racionais a um novo denominador. Ao mesmo tempo, um fator adicional também é encontrado e o numerador e o denominador da fração são multiplicados por ele. Ao realizar essa ação, vale lembrar que a redução para um novo denominador pode levar a um estreitamento do DPV. Para evitar que isso aconteça, é necessário que o fator adicional não desapareça para nenhum valor das variáveis ​​das variáveis ​​ODZ para a expressão original.

Exemplo.

Traga as frações para um novo denominador: a) para o denominador a, b) ao denominador.

Solução.

a) Nesse caso, é bastante fácil descobrir qual fator adicional ajuda a alcançar o resultado desejado. Este é um multiplicador a 0,3, pois a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Observe que na faixa de valores aceitáveis ​​da variável a (este é o conjunto de todos os números reais positivos), o grau a 0,3 não desaparece, portanto, temos o direito de multiplicar o numerador e o denominador da fração dada por este fator adicional:

b) Olhando mais de perto o denominador, descobrimos que

e multiplicando esta expressão por dará a soma dos cubos e , ou seja, . E este é o novo denominador para o qual precisamos trazer a fração original.

Então encontramos um fator adicional. A expressão não desaparece na faixa de valores aceitáveis ​​das variáveis ​​x e y, portanto, podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por ela:

Responda:

a) , b) .

Também não há nada de novo na redução de frações contendo graus: o numerador e denominador são representados como um certo número de fatores, e os mesmos fatores do numerador e denominador são reduzidos.

Exemplo.

Reduza a fração: a) , b).

Solução.

a) Primeiro, o numerador e o denominador podem ser reduzidos pelos números 30 e 45, que é igual a 15. Além disso, obviamente, você pode reduzir em x 0,5 +1 e por . Aqui está o que temos:

b) Neste caso, os mesmos fatores no numerador e denominador não são imediatamente visíveis. Para obtê-los, você deve realizar transformações preliminares. Neste caso, consistem em decompor o denominador em fatores de acordo com a fórmula da diferença de quadrados:

Responda:

a)

b) .

Reduzir frações a um novo denominador e reduzir frações é usado principalmente para realizar operações em frações. As ações são executadas de acordo com regras conhecidas. Ao adicionar (subtrair) frações, elas são reduzidas a um denominador comum, após o qual os numeradores são adicionados (subtraídos) e o denominador permanece o mesmo. O resultado é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. A divisão por uma fração é a multiplicação pelo seu inverso.

Exemplo.

Siga os passos .

Solução.

Primeiro, subtraímos as frações entre parênteses. Para fazer isso, nós os trazemos para um denominador comum, que é , então subtraia os numeradores:

Agora multiplicamos frações:

Obviamente, uma redução pela potência x 1/2 é possível, após o que temos .

Você também pode simplificar a expressão de potência no denominador usando a fórmula da diferença de quadrados: .

Responda:

Exemplo.

Simplifique a expressão de poder .

Solução.

Obviamente, esta fração pode ser reduzida por (x 2,7 +1) 2, isso dá a fração . É claro que algo mais precisa ser feito com as potências de x. Para fazer isso, convertemos a fração resultante em um produto. Isso nos dá a oportunidade de usar a propriedade de dividir poderes com as mesmas bases: . E no final do processo, passamos do último produto para a fração.

Responda:

.

E acrescentamos que é possível e em muitos casos desejável transferir fatores com expoentes negativos do numerador para o denominador ou do denominador para o numerador mudando o sinal do expoente. Essas transformações geralmente simplificam outras ações. Por exemplo, uma expressão de poder pode ser substituída por .

Convertendo expressões com raízes e potências

Muitas vezes, em expressões em que algumas transformações são necessárias, juntamente com graus com expoentes fracionários, também existem raízes. Para converter tal expressão para a forma desejada, na maioria dos casos, basta ir apenas às raízes ou apenas às potências. Mas como é mais conveniente trabalhar com graus, eles geralmente se movem das raízes para os graus. No entanto, é aconselhável realizar tal transição quando a ODZ das variáveis ​​para a expressão original permite substituir as raízes por graus sem a necessidade de acessar o módulo ou dividir a ODZ em vários intervalos (discutimos isso em detalhes no artigo, a transição de raízes para potências e vice-versa Depois de conhecer o grau com um expoente racional é introduzido um grau com um indicador irracional, o que permite falar de um grau com um indicador real arbitrário. escola começa a estudar função exponencial, que é analiticamente dado pelo grau, na base do qual existe um número e no indicador - uma variável. Assim, nos deparamos com expressões de potência contendo números na base do grau e no expoente - expressões com variáveis, e naturalmente surge a necessidade de realizar transformações de tais expressões.

Deve-se dizer que a transformação de expressões do tipo indicado geralmente deve ser realizada ao resolver equações exponenciais e desigualdades exponenciais, e essas transformações são bastante simples. Na grande maioria dos casos, baseiam-se nas propriedades do grau e visam principalmente a introdução de uma nova variável no futuro. A equação nos permitirá demonstrá-los 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Primeiro, os expoentes, em cujos expoentes se encontra a soma de alguma variável (ou expressão com variáveis) e um número, são substituídos por produtos. Isso se aplica ao primeiro e ao último termos da expressão do lado esquerdo:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Em seguida, ambos os lados da igualdade são divididos pela expressão 7 2 x , que assume apenas valores positivos na variável ODZ x para a equação original (esta é uma técnica padrão para resolver equações desse tipo, não estamos falando de agora, então concentre-se nas transformações subsequentes de expressões com poderes):

Agora frações com potências são canceladas, o que dá .

Finalmente, a razão de potências com os mesmos expoentes é substituída por potências de razões, o que leva à equação , o que equivale a . As transformações feitas permitem-nos introduzir uma nova variável, que reduz a solução da equação exponencial original à solução da equação quadrática

I. V. Boikov, L. D. Romanova Coleção de tarefas para se preparar para o exame. Parte 1. Penza 2003.