Uma das ciências mais importantes, cuja aplicação pode ser vista em disciplinas como química, física e até biologia, é a matemática. O estudo desta ciência permite desenvolver algumas qualidades mentais, melhorar a capacidade de concentração. Um dos tópicos que merecem atenção especial na disciplina "Matemática" é a adição e subtração de frações. Muitos alunos têm dificuldade para estudar. Talvez nosso artigo ajude a entender melhor esse tópico.

Como subtrair frações cujos denominadores são iguais

Frações são os mesmos números com os quais você pode realizar várias ações. Sua diferença dos inteiros está na presença de um denominador. É por isso que ao realizar ações com frações, você precisa estudar alguns de seus recursos e regras. O caso mais simples é a subtração de frações ordinárias, cujos denominadores são representados como o mesmo número. Não será difícil realizar esta ação se você conhecer uma regra simples:

• Para subtrair o segundo de uma fração, é necessário subtrair o numerador da fração a ser subtraída do numerador da fração reduzida. Escrevemos esse número no numerador da diferença e deixamos o denominador o mesmo: k / m - b / m = (k-b) / m.

Exemplos de subtração de frações cujos denominadores são iguais

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Do numerador da fração reduzida "7" subtrair o numerador da fração subtraída "3", obtemos "4". Escrevemos esse número no numerador da resposta e colocamos no denominador o mesmo número que estava nos denominadores da primeira e segunda frações - "19".

A imagem abaixo mostra mais alguns exemplos desse tipo.

Considere um exemplo mais complexo onde frações com os mesmos denominadores são subtraídas:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Do numerador da fração reduzida "29", subtraindo, por sua vez, os numeradores de todas as frações subsequentes - "3", "8", "2", "7". Como resultado, obtemos o resultado "9", que escrevemos no numerador da resposta, e no denominador escrevemos o número que está nos denominadores de todas essas frações - "47".

Adicionando frações com o mesmo denominador

A adição e a subtração de frações ordinárias são realizadas de acordo com o mesmo princípio.

• Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar os numeradores. O número resultante é o numerador da soma, e o denominador permanece o mesmo: k/m + b/m = (k + b)/m.

Vamos ver como fica em um exemplo:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Ao numerador do primeiro termo da fração - "1" - adicionamos o numerador do segundo termo da fração - "2". O resultado - "3" - é escrito no numerador da quantidade, e o denominador é deixado o mesmo que estava presente nas frações - "4".

Frações com denominadores diferentes e sua subtração

Já consideramos a ação com frações que têm o mesmo denominador. Como você pode ver, conhecer regras simples, resolver esses exemplos é bastante fácil. Mas e se você precisar realizar uma ação com frações com denominadores diferentes? Muitos estudantes do ensino médio ficam confusos com esses exemplos. Mas mesmo aqui, se você conhece o princípio da solução, os exemplos não serão mais difíceis para você. Há também uma regra aqui, sem a qual a solução de tais frações é simplesmente impossível.

Para subtrair frações com denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo denominador menor.



Falaremos com mais detalhes sobre como fazer isso.

Propriedade de fração

Para reduzir várias frações ao mesmo denominador, você precisa usar a propriedade principal da fração na solução: depois de dividir ou multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número, você obtém uma fração igual à dada.

Assim, por exemplo, a fração 2/3 pode ter denominadores como "6", "9", "12", etc., ou seja, pode se parecer com qualquer número que seja múltiplo de "3". Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador por "2", obtemos uma fração de 4/6. Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador da fração original por "3", obtemos 6/9 e, se realizarmos uma ação semelhante com o número "4", obtemos 8/12. Em uma equação, isso pode ser escrito como:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Como trazer várias frações para o mesmo denominador

Considere como reduzir várias frações ao mesmo denominador. Por exemplo, pegue as frações mostradas na figura abaixo. Primeiro você precisa determinar qual número pode se tornar o denominador de todos eles. Para facilitar, vamos decompor os denominadores disponíveis em fatores.

O denominador da fração 1/2 e a fração 2/3 não podem ser fatorados. O denominador de 7/9 tem dois fatores 7/9 = 7/(3 x 3), o denominador da fração 5/6 = 5/(2 x 3). Agora você precisa determinar quais fatores serão os menores para todas essas quatro frações. Como a primeira fração tem o número “2” no denominador, significa que ela deve estar presente em todos os denominadores, na fração 7/9 existem duas triplas, o que significa que elas também devem estar presentes no denominador. Diante do exposto, determinamos que o denominador consiste em três fatores: 3, 2, 3 e é igual a 3 x 2 x 3 = 18.



Considere a primeira fração - 1/2. Seu denominador contém "2", mas não há um único "3", mas deve haver dois. Para fazer isso, multiplicamos o denominador por dois triplos, mas, de acordo com a propriedade da fração, devemos multiplicar o numerador por dois triplos:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 18/09.

Da mesma forma, realizamos ações com as frações restantes.

• 2/3 - falta um três e um dois no denominador:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 18/12.
• 7/9 ou 7/(3 x 3) - faltam dois no denominador:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ou 5/(2 x 3) - falta um triplo no denominador:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Tudo junto fica assim:



Como subtrair e adicionar frações com denominadores diferentes

Como mencionado acima, para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo denominador, e então usar as regras para subtração de frações com o mesmo denominador, que já foram descritas.

Considere isso com um exemplo: 18/04 - 15/03.

Encontrando múltiplos de 18 e 15:

• O número 18 consiste em 3 x 2 x 3.
• O número 15 consiste em 5 x 3.
• O múltiplo comum consistirá dos seguintes fatores 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Depois de encontrado o denominador, é necessário calcular um fator que será diferente para cada fração, ou seja, o número pelo qual será necessário multiplicar não apenas o denominador, mas também o numerador. Para fazer isso, dividimos o número encontrado (múltiplo comum) pelo denominador da fração para a qual fatores adicionais precisam ser determinados.

• 90 dividido por 15. O número resultante "6" será um multiplicador para 3/15.
• 90 dividido por 18. O número resultante "5" será um multiplicador para 4/18.

O próximo passo em nossa solução é trazer cada fração para o denominador "90".

Já discutimos como isso é feito. Vamos ver como isso está escrito em um exemplo:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Se frações com números pequenos, você pode determinar o denominador comum, como no exemplo mostrado na imagem abaixo.



Produzidos de forma semelhante e com denominadores diferentes.

Subtração e tendo partes inteiras

Subtração de frações e sua adição, já analisamos em detalhes. Mas como subtrair se a fração tem uma parte inteira? Novamente, vamos usar algumas regras:

• Converta todas as frações que têm uma parte inteira em impróprias. Em palavras simples, remova a parte inteira. Para fazer isso, o número da parte inteira é multiplicado pelo denominador da fração, o produto resultante é adicionado ao numerador. O número que será obtido após essas ações é o numerador de uma fração imprópria. O denominador permanece inalterado.
• Se as frações tiverem denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo.
• Efetue adição ou subtração com os mesmos denominadores.
• Ao receber uma fração imprópria, selecione a parte inteira.



Existe outra maneira pela qual você pode adicionar e subtrair frações com partes inteiras. Para isso, as ações são realizadas separadamente com partes inteiras, e separadamente com frações, e os resultados são registrados em conjunto.



O exemplo acima consiste em frações que têm o mesmo denominador. Caso os denominadores sejam diferentes, eles devem ser reduzidos ao mesmo e, em seguida, seguir os passos mostrados no exemplo.

Subtraindo frações de um número inteiro

Outra das variedades de ações com frações é o caso em que a fração deve ser subtraída de À primeira vista, tal exemplo parece difícil de resolver. No entanto, tudo é muito simples aqui. Para resolvê-lo, é necessário converter um inteiro em uma fração, e com tal denominador, que está na fração a ser subtraída. Em seguida, realizamos uma subtração semelhante à subtração com os mesmos denominadores. Por exemplo, fica assim:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

A subtração de frações dada neste artigo (6º ano) é a base para a resolução de exemplos mais complexos, que são considerados nas aulas subsequentes. O conhecimento deste tópico é usado posteriormente para resolver funções, derivadas e assim por diante. Portanto, é muito importante entender e entender as ações com frações discutidas acima.

Frações são números comuns, também podem ser somadas e subtraídas. Mas devido ao fato de que eles têm um denominador, regras mais complexas são necessárias aqui do que para números inteiros.

Considere o caso mais simples, quando há duas frações com os mesmos denominadores. Então:

Para somar frações com denominadores iguais, some seus numeradores e deixe o denominador inalterado.

Para subtrair frações com os mesmos denominadores, é necessário subtrair o numerador da segunda do numerador da primeira fração e novamente deixar o denominador inalterado.

Dentro de cada expressão, os denominadores das frações são iguais. Por definição de adição e subtração de frações, temos:

Como você pode ver, nada complicado: basta somar ou subtrair os numeradores - e pronto.

Mas mesmo em ações tão simples, as pessoas conseguem cometer erros. Na maioria das vezes eles esquecem que o denominador não muda. Por exemplo, ao adicioná-los, eles também começam a somar, e isso é fundamentalmente errado.

Livrar-se do mau hábito de somar denominadores é bastante simples. Tente fazer o mesmo ao subtrair. Como resultado, o denominador será zero e a fração (de repente!) perderá seu significado.

Portanto, lembre-se de uma vez por todas: ao somar e subtrair, o denominador não muda!

Além disso, muitas pessoas cometem erros ao adicionar várias frações negativas. Há confusão com os sinais: onde colocar um sinal de menos e onde - um sinal de mais.

Este problema também é muito fácil de resolver. Basta lembrar que o menos antes do sinal de fração sempre pode ser transferido para o numerador - e vice-versa. E, claro, não se esqueça de duas regras simples:

1. Mais vezes menos dá menos;
2. Duas negativas fazem uma afirmativa.

Vamos analisar tudo isso com exemplos específicos:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

No primeiro caso, tudo é simples e, no segundo, adicionaremos menos aos numeradores das frações:

E se os denominadores forem diferentes

Você não pode adicionar diretamente frações com denominadores diferentes. Pelo menos, este método é desconhecido para mim. No entanto, as frações originais sempre podem ser reescritas para que os denominadores se tornem os mesmos.

Existem muitas maneiras de converter frações. Três deles são discutidos na lição "Trazendo frações para um denominador comum", então não vamos nos debruçar sobre eles aqui. Vejamos alguns exemplos:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

No primeiro caso, trazemos as frações para um denominador comum usando o método "cruzado". Na segunda, procuraremos o LCM. Observe que 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Os últimos fatores nessas expansões são iguais e os primeiros são coprimos. Portanto, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

E se a fração tiver uma parte inteira

Posso lhe agradar: diferentes denominadores de frações não são o maior mal. Ocorrem muito mais erros quando a parte inteira é destacada em termos fracionários.

É claro que, para essas frações, existem algoritmos próprios de adição e subtração, mas são bastante complicados e exigem um longo estudo. Melhor usar o diagrama simples abaixo:

1. Converta todas as frações contendo uma parte inteira para imprópria. Obtemos termos normais (mesmo que com denominadores diferentes), que são calculados de acordo com as regras discutidas acima;
2. Na verdade, calcule a soma ou diferença das frações resultantes. Como resultado, praticamente encontraremos a resposta;
3. Se isso for tudo o que foi necessário na tarefa, realizamos a transformação inversa, ou seja, nos livramos da fração imprópria, destacando a parte inteira nela.

As regras para mudar para frações impróprias e destacar a parte inteira são descritas em detalhes na lição "O que é uma fração numérica". Se você não se lembra, não se esqueça de repetir. Exemplos:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Tudo é simples aqui. Os denominadores dentro de cada expressão são iguais, então resta converter todas as frações para impróprias e contar. Nós temos:

Para simplificar os cálculos, pulei algumas etapas óbvias nos últimos exemplos.

Uma pequena nota para os dois últimos exemplos, onde as frações com uma parte inteira destacada são subtraídas. O menos antes da segunda fração significa que é a fração inteira que é subtraída, e não apenas sua parte inteira.

Releia esta frase novamente, observe os exemplos e pense a respeito. É aqui que os iniciantes cometem muitos erros. Eles gostam de dar essas tarefas no trabalho de controle. Você também os encontrará repetidamente nos testes desta lição, que serão publicados em breve.

Resumo: Esquema Geral de Computação

Em conclusão, darei um algoritmo geral que o ajudará a encontrar a soma ou diferença de duas ou mais frações:

1. Se uma parte inteira estiver destacada em uma ou mais frações, converta essas frações em impróprias;
2. Traga todas as frações para um denominador comum de qualquer maneira conveniente para você (a menos, é claro, que os compiladores dos problemas tenham feito isso);
3. Some ou subtraia os números resultantes de acordo com as regras de adição e subtração de frações com os mesmos denominadores;
4. Reduza o resultado, se possível. Se a fração estiver incorreta, selecione a parte inteira.

Lembre-se de que é melhor destacar a parte inteira no final da tarefa, logo antes de escrever a resposta.

No século V aC, o antigo filósofo grego Zenão de Elea formulou suas famosas aporias, das quais a mais famosa é a aporia "Aquiles e a tartaruga". Aqui está como soa:

Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo em que Aquiles percorre essa distância, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Quando Aquiles tiver dado cem passos, a tartaruga rastejará outros dez passos, e assim por diante. O processo continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.

Esse raciocínio se tornou um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos eles, de uma forma ou de outra, consideravam as aporias de Zenão. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam na atualidade, a comunidade científica ainda não conseguiu chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo do assunto ; nenhum deles se tornou uma solução universalmente aceita para o problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende qual é o engano.

Do ponto de vista da matemática, Zenão em sua aporia demonstrou claramente a transição do valor para. Esta transição implica aplicar em vez de constantes. Tanto quanto eu entendo, o aparato matemático para aplicar unidades de medida variáveis ​​ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. A aplicação de nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, pela inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao recíproco. Do ponto de vista físico, parece que o tempo desacelera até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não pode mais ultrapassar a tartaruga.

Se virarmos a lógica a que estamos acostumados, tudo se encaixa. Aquiles corre a uma velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de "infinito" nessa situação, seria correto dizer "Aquiles ultrapassará a tartaruga infinitamente rapidamente".

Como evitar essa armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para valores recíprocos. Na linguagem de Zeno, fica assim:

No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo, igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.

Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a intransponibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão "Aquiles e a tartaruga". Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução deve ser buscada não em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.

Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:

Uma flecha voadora é imóvel, pois em cada momento está em repouso, e como está em repouso em todos os momentos, está sempre em repouso.

Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento a flecha voadora repousa em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Há outro ponto a ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar o fato do movimento do carro, são necessárias duas fotografias tiradas do mesmo ponto em pontos diferentes no tempo, mas não podem ser usadas para determinar a distância. Para determinar a distância até o carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos no espaço ao mesmo tempo, mas não pode determinar o fato do movimento delas (naturalmente, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria o ajudará). O que quero salientar em particular é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são duas coisas diferentes que não devem ser confundidas, pois oferecem diferentes oportunidades de exploração.

quarta-feira, 4 de julho de 2018

Muito bem as diferenças entre set e multiset estão descritas na Wikipedia. Nós olhamos.

Como você pode ver, "o conjunto não pode ter dois elementos idênticos", mas se houver elementos idênticos no conjunto, esse conjunto é chamado de "multiconjunto". Os seres racionais jamais compreenderão tal lógica do absurdo. Este é o nível de papagaios falantes e macacos treinados, no qual a mente está ausente da palavra "completamente". Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando suas ideias absurdas para nós.

Era uma vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco debaixo da ponte durante os testes da ponte. Se a ponte desabasse, o engenheiro medíocre morria sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, o talentoso engenheiro construiu outras pontes.

Por mais que os matemáticos se escondam por trás da frase "cuidado comigo, estou em casa", ou melhor, "a matemática estuda conceitos abstratos", há um cordão umbilical que os conecta inextricavelmente com a realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Vamos aplicar a teoria dos conjuntos matemáticos aos próprios matemáticos.

Estudamos matemática muito bem e agora estamos sentados no caixa, pagando salários. Aqui um matemático vem até nós por seu dinheiro. Contamos o valor total para ele e o colocamos em nossa mesa em pilhas diferentes, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Em seguida, pegamos uma nota de cada pilha e damos ao matemático seu "conjunto de salários matemáticos". Explicamos a matemática que ele só receberá o restante das contas quando provar que o conjunto sem elementos idênticos não é igual ao conjunto com elementos idênticos. Isto é onde a diversão começa.

Em primeiro lugar, a lógica dos deputados funcionará: "você pode aplicar aos outros, mas não a mim!" Além disso, começarão as garantias de que existem números de notas diferentes nas notas da mesma denominação, o que significa que não podem ser considerados elementos idênticos. Bem, contamos o salário em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático lembrará freneticamente da física: moedas diferentes têm quantidades diferentes de sujeira, a estrutura cristalina e o arranjo dos átomos para cada moeda são únicos ...

E agora eu tenho a pergunta mais interessante: onde está o limite além do qual elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Tal linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência aqui não está nem perto.

Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com a mesma área de campo. A área dos campos é a mesma, o que significa que temos um multiset. Mas se considerarmos os nomes dos mesmos estádios, conseguimos muito, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto ao mesmo tempo. Como certo? E aqui o matemático-xamã-shuller tira um ás de trunfo da manga e começa a nos contar sobre um conjunto ou um multiconjunto. De qualquer forma, ele nos convencerá de que está certo.

Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, atrelando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou lhe mostrar, sem nenhum "concebível como um todo" ou "não concebível como um todo".

domingo, 18 de março de 2018

A soma dos dígitos de um número é uma dança de xamãs com um pandeiro, que nada tem a ver com matemática. Sim, nas aulas de matemática somos ensinados a encontrar a soma dos dígitos de um número e usá-la, mas eles são xamãs para isso, para ensinar seus descendentes suas habilidades e sabedoria, caso contrário os xamãs simplesmente morrerão.

Você precisa de provas? Abra a Wikipedia e tente encontrar a página "Soma de dígitos de um número". Ela não existe. Não existe uma fórmula em matemática pela qual você possa encontrar a soma dos dígitos de qualquer número. Afinal, os números são símbolos gráficos com os quais escrevemos números e, na linguagem da matemática, a tarefa soa assim: "Encontre a soma dos símbolos gráficos que representam qualquer número". Os matemáticos não podem resolver este problema, mas os xamãs podem fazê-lo de forma elementar.

Vamos descobrir o que e como fazemos para encontrar a soma dos dígitos de um determinado número. E assim, digamos que temos o número 12345. O que precisa ser feito para encontrar a soma dos dígitos desse número? Vamos considerar todas as etapas em ordem.

1. Anote o número em um pedaço de papel. O que nos fizemos? Convertemos o número em um símbolo gráfico numérico. Esta não é uma operação matemática.

2. Cortamos uma foto recebida em várias fotos contendo números separados. Cortar uma imagem não é uma operação matemática.

3. Converta caracteres gráficos individuais em números. Esta não é uma operação matemática.

4. Some os números resultantes. Agora isso é matemática.

A soma dos dígitos do número 12345 é 15. São os "cursos de corte e costura" dos xamãs usados ​​pelos matemáticos. Mas isso não é tudo.

Do ponto de vista da matemática, não importa em qual sistema numérico escrevemos o número. Assim, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número será diferente. Em matemática, o sistema numérico é indicado como um subscrito à direita do número. Com um grande número de 12345, não quero enganar minha cabeça, considere o número 26 do artigo sobre. Vamos escrever este número em sistemas numéricos binários, octais, decimais e hexadecimais. Não consideraremos cada etapa sob um microscópio, já fizemos isso. Vejamos o resultado.

Como você pode ver, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número é diferente. Este resultado não tem nada a ver com matemática. É como encontrar a área de um retângulo em metros e centímetros lhe daria resultados completamente diferentes.

Zero em todos os sistemas numéricos parece o mesmo e não tem soma de dígitos. Este é outro argumento a favor do fato de que . Uma pergunta para os matemáticos: como se denota em matemática aquilo que não é um número? O que, para os matemáticos, nada além de números existe? Para os xamãs, posso permitir isso, mas para os cientistas, não. A realidade não é apenas sobre números.

O resultado obtido deve ser considerado como prova de que os sistemas numéricos são unidades de medida dos números. Afinal, não podemos comparar números com unidades de medida diferentes. Se as mesmas ações com diferentes unidades de medida da mesma quantidade levam a resultados diferentes depois de compará-las, isso não tem nada a ver com matemática.

O que é matemática de verdade? É quando o resultado de uma ação matemática não depende do valor do número, da unidade de medida utilizada e de quem realiza essa ação.

Sinal na porta Abre a porta e diz:

Ai! Este não é o banheiro feminino?
- Jovem! Este é um laboratório para estudar a santidade indefinida das almas após a ascensão ao céu! Nimbus no topo e seta para cima. Que outro banheiro?

Feminino... Uma auréola em cima e uma seta para baixo é masculina.

Se você tem uma obra de arte de design piscando diante de seus olhos várias vezes ao dia,

Então não é de surpreender que de repente você encontre um ícone estranho em seu carro:

Pessoalmente, eu me esforço para ver menos quatro graus em uma pessoa fazendo cocô (uma foto) (composição de várias fotos: sinal de menos, número quatro, designação de graus). E eu não considero essa garota uma tola que não sabe física. Ela só tem um estereótipo de arco de percepção de imagens gráficas. E os matemáticos nos ensinam isso o tempo todo. Aqui está um exemplo.

1A não é "menos quatro graus" ou "um a". Isso é "pooping man" ou o número "vinte e seis" no sistema numérico hexadecimal. As pessoas que trabalham constantemente nesse sistema numérico percebem automaticamente o número e a letra como um símbolo gráfico.

Ações com frações.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

Então, o que são frações, tipos de frações, transformações - lembramos. Vamos abordar a questão principal.

O que você pode fazer com frações? Sim, tudo é igual aos números comuns. Adicionar, subtrair, multiplicar, dividir.

Todas essas ações com decimal operações com frações não são diferentes de operações com inteiros. Na verdade, é para isso que eles servem, decimal. A única coisa é que você precisa colocar a vírgula corretamente.

números mistos, como eu disse, são de pouca utilidade para a maioria das ações. Eles ainda precisam ser convertidos em frações ordinárias.

E aqui estão as ações com frações ordinárias será mais inteligente. E muito mais importante! Deixe-me lembrá-lo: todas as ações com expressões fracionárias com letras, senos, incógnitas e assim por diante não são diferentes das ações com frações comuns! As operações com frações ordinárias são a base de toda a álgebra. É por esta razão que vamos analisar toda essa aritmética em grande detalhe aqui.

Adição e subtração de frações.

Todos podem somar (subtrair) frações com os mesmos denominadores (eu realmente espero!). Bem, deixe-me lembrá-lo que estou completamente esquecido: ao adicionar (subtrair), o denominador não muda. Os numeradores são somados (subtraídos) para dar o numerador do resultado. Modelo:

Em suma, em termos gerais:

E se os denominadores forem diferentes? Então, usando a propriedade principal da fração (aqui veio a calhar novamente!), fazemos os denominadores iguais! Por exemplo:

Aqui tivemos que fazer a fração 4/10 da fração 2/5. Apenas com o objetivo de tornar os denominadores iguais. Observo, por precaução, que 2/5 e 4/10 são a mesma fração! Apenas 2/5 é desconfortável para nós, e 4/10 não é nada.

A propósito, essa é a essência da resolução de qualquer tarefa em matemática. Quando estamos fora desconfortável expressões fazem o mesmo, mas mais conveniente para resolver.

Outro exemplo:

A situação é semelhante. Aqui fazemos 48 de 16. Por simples multiplicação por 3. Tudo está claro. Mas aqui nos deparamos com algo como:

Como ser?! É difícil fazer um nove de um sete! Mas somos espertos, conhecemos as regras! Vamos transformar todo fração de modo que os denominadores sejam iguais. Isso é chamado de "reduzir a um denominador comum":

Quão! Como eu sabia sobre 63? Muito simples! 63 é um número que é divisível por 7 e 9 ao mesmo tempo. Tal número sempre pode ser obtido multiplicando os denominadores. Se multiplicarmos algum número por 7, por exemplo, o resultado certamente será dividido por 7!

Se você precisar somar (subtrair) várias frações, não há necessidade de fazê-lo aos pares, passo a passo. Você só precisa encontrar o denominador que é comum a todas as frações e trazer cada fração para esse mesmo denominador. Por exemplo:

E qual será o denominador comum? Você pode, é claro, multiplicar 2, 4, 8 e 16. Obtemos 1024. Pesadelo. É mais fácil estimar que o número 16 é perfeitamente divisível por 2, 4 e 8. Portanto, é fácil obter desses números 16. Esse número será o denominador comum. Vamos transformar 1/2 em 16/8, 3/4 em 16/12 e assim por diante.

Aliás, se tomarmos 1024 como denominador comum, tudo dará certo também, no final tudo será reduzido. Só que nem todos chegarão a esse fim, por conta dos cálculos...

Resolva o exemplo você mesmo. Não é um logaritmo... Deve ser 29/16.

Então, com a adição (subtração) de frações fica claro, espero? Claro, é mais fácil trabalhar em uma versão reduzida, com multiplicadores adicionais. Mas esse prazer está disponível para aqueles que trabalharam honestamente nas séries mais baixas ... E não se esqueceram de nada.

E agora faremos as mesmas ações, mas não com frações, mas com expressões fracionárias. Novos rakes serão encontrados aqui, sim ...

Então, precisamos adicionar duas expressões fracionárias:

Precisamos igualar os denominadores. E só com a ajuda multiplicação! Então a propriedade principal da fração diz. Portanto, não posso adicionar um a x na primeira fração do denominador. (Mas isso seria bom!). Mas se você multiplicar os denominadores, veja, tudo vai crescer junto! Então anotamos, a linha da fração, deixamos um espaço vazio em cima, depois somamos, e escrevemos o produto dos denominadores abaixo, para não esquecer:

E, claro, não multiplicamos nada do lado direito, não abrimos colchetes! E agora, olhando para o denominador comum do lado direito, pensamos: para obter o denominador x (x + 1) na primeira fração, precisamos multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por (x + 1) . E na segunda fração - x. Você consegue isso:

Observação! Os parênteses estão aqui! Este é o ancinho que muitos pisam. Não entre colchetes, é claro, mas sua ausência. Os parênteses aparecem porque multiplicamos o todo numerador e o todo denominador! E não suas peças individuais...

No numerador do lado direito, escrevemos a soma dos numeradores, tudo é como em frações numéricas, então abrimos os colchetes no numerador do lado direito, ou seja. multiplique tudo e dê like. Você não precisa abrir os colchetes nos denominadores, não precisa multiplicar nada! Em geral, nos denominadores (qualquer) o produto é sempre mais agradável! Nós temos:

Aqui temos a resposta. O processo parece longo e difícil, mas depende da prática. Resolva exemplos, acostume-se, tudo se tornará simples. Aqueles que dominaram as frações no tempo previsto, fazem todas essas operações com uma mão, na máquina!

E mais uma nota. Muitos lidam com frações, mas apegam-se a exemplos com todo números. Tipo: 2 + 1/2 + 3/4= ? Onde prender um deuce? Não há necessidade de prender em qualquer lugar, você precisa fazer uma fração de um deuce. Não é fácil, é muito simples! 2=2/1. Assim. Qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração. O numerador é o próprio número, o denominador é um. 7 é 7/1, 3 é 3/1 e assim por diante. É o mesmo com as letras. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, etc. E então trabalhamos com essas frações de acordo com todas as regras.

Bem, na adição - subtração de frações, o conhecimento foi atualizado. Transformações de frações de um tipo para outro - repetidas. Você também pode verificar. Vamos resolver um pouco?)

Calcular:

Respostas (em desordem):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplicação / divisão de frações - na próxima lição. Há também tarefas para todas as ações com frações.

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Observação! Antes de escrever uma resposta final, veja se consegue reduzir a fração que recebeu.

Subtração de frações com os mesmos denominadores exemplos:

,

,

Subtraindo uma fração própria de um.

Se for necessário subtrair da unidade uma fração correta, a unidade é convertida para a forma de uma fração imprópria, seu denominador é igual ao denominador da fração subtraída.

Um exemplo de subtração de uma fração própria de um:

O denominador da fração a ser subtraída = 7 , ou seja, representamos a unidade como uma fração imprópria 7/7 e subtraímos de acordo com a regra de subtração de frações com os mesmos denominadores.

Subtrair uma fração própria de um número inteiro.

Regras para subtrair frações - correto de inteiro (número natural):

• Traduzimos as frações dadas, que contêm uma parte inteira, em impróprias. Obtemos termos normais (não importa se eles têm denominadores diferentes), que consideramos de acordo com as regras dadas acima;
• Em seguida, calculamos a diferença das frações que recebemos. Como resultado, quase encontraremos a resposta;
• Realizamos a transformação inversa, ou seja, nos livramos da fração imprópria - selecionamos a parte inteira na fração.

Subtraia uma fração própria de um número inteiro: representamos um número natural como um número misto. Aqueles. pegamos uma unidade em um número natural e a traduzimos na forma de uma fração imprópria, o denominador é o mesmo da fração subtraída.

Exemplo de subtração de fração:

No exemplo, substituímos a unidade por uma fração imprópria 7/7 e em vez de 3 anotamos um número misto e subtraímos uma fração da parte fracionária.

Subtração de frações com denominadores diferentes.

Ou, dito de outra forma, subtração de frações diferentes.

Regra para subtração de frações com denominadores diferentes. Para subtrair frações com denominadores diferentes, é necessário, primeiro, trazer essas frações para o menor denominador comum (LCD), e só depois subtrair como com frações com os mesmos denominadores.

O denominador comum de várias frações é MMC (mínimo múltiplo comum) números naturais que são os denominadores das frações dadas.

Atenção! Se na fração final o numerador e o denominador tiverem fatores comuns, então a fração deve ser reduzida. Uma fração imprópria é melhor representada como uma fração mista. Deixar o resultado da subtração sem reduzir a fração sempre que possível é uma solução inacabada para o exemplo!

Procedimento para subtração de frações com denominadores diferentes.

• encontre o MMC para todos os denominadores;
• coloque multiplicadores adicionais para todas as frações;
• multiplique todos os numeradores por um fator adicional;
• escrevemos os produtos resultantes no numerador, assinando um denominador comum em todas as frações;
• subtrair os numeradores das frações, assinando o denominador comum sob a diferença.

Da mesma forma, a adição e a subtração de frações são realizadas na presença de letras no numerador.

Subtração de frações, exemplos:

Subtracção de fracções mistas.

No subtração de frações mistas (números) separadamente, a parte inteira é subtraída da parte inteira e a parte fracionária é subtraída da parte fracionária.

A primeira opção é subtrair frações mistas.

Se as partes fracionárias o mesmo denominadores e numerador da parte fracionária do minuendo (subtraímos dele) ≥ o numerador da parte fracionária do subtraendo (subtraímos).

Por exemplo:

A segunda opção é subtrair frações mistas.

Quando as partes fracionárias vários denominadores. Para começar, reduzimos as partes fracionárias a um denominador comum e, em seguida, subtraímos a parte inteira do inteiro e a fracionária da fracionária.

Por exemplo:

A terceira opção é subtrair frações mistas.

A parte fracionária do minuendo é menor que a parte fracionária do subtraendo.

Exemplo:

Porque partes fracionárias têm denominadores diferentes, o que significa que, como na segunda opção, primeiro trazemos frações ordinárias para um denominador comum.

O numerador da parte fracionária do minuendo é menor que o numerador da parte fracionária do subtraendo.3 < 14. Então, pegamos uma unidade da parte inteira e trazemos essa unidade para a forma de uma fração imprópria com o mesmo denominador e numerador = 18.

No numerador do lado direito, escrevemos a soma dos numeradores, depois abrimos os colchetes no numerador do lado direito, ou seja, multiplicamos tudo e damos semelhantes. Não abrimos colchetes no denominador. É costume deixar o produto nos denominadores. Nós temos: