Definiția unui triunghi

Triunghi este o figură geometrică formată din trei puncte legate între ele în serie.

Un triunghi are trei laturi și trei unghiuri.

Există multe tipuri de triunghiuri și toate au proprietăți diferite. Enumerăm principalele tipuri de triunghiuri:

1. Versatil(toate laturile de diferite lungimi);
2. Isoscel(două laturi sunt egale, două unghiuri de la bază sunt egale);
3. Echilateral(toate laturile si toate unghiurile sunt egale).

Cu toate acestea, pentru toate tipurile de triunghiuri, există o formulă universală pentru găsirea perimetrului unui triunghi - aceasta este suma lungimilor tuturor laturilor triunghiului.

Calculator online

Formula perimetrului triunghiului

P = a + b + c P = a + b + c P=un +b +c

A, b, c a, b, c a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului.

Să analizăm problema găsirii perimetrului unui triunghi.

Sarcină

Triunghiul are laturile: a = 28 cm, b = 46 cm, c = 51 cm.Care este perimetrul triunghiului?

Soluţie
Folosim formula pentru găsirea perimetrului unui triunghi și înlocuim în loc de a a A, bb bȘi c c c valorile lor numerice:
P = a + b + c P = a + b + c P=un +b +c
P=28+46+51=125cm P=28+46+51=125\text(cm)P=2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 cm

Răspuns:
P = 125 cm. P = 125 \text( cm.)P=1 2 5 cm .

Sarcină

Triunghiul este echilateral cu latura de 23 cm.Care este perimetrul triunghiului?

Soluţie

P = a + b + c P = a + b + c P=un +b +c

Dar conform condiției, avem un triunghi echilateral, adică toate laturile sale sunt egale. În acest caz, formula va lua următoarea formă:

P = a + a + a = 3a P = a + a + a = 3aP=un +un +a =3a

Înlocuiți valoarea numerică din formulă și găsiți perimetrul triunghiului:

P = 3 ⋅ 23 = 69 cm P = 3\cdot23 = 69\text( cm)P=3 ⋅ 2 3 = 6 9 cm

Răspuns
P = 69 cm. P = 69 \text( cm.)P=6 9 cm .

Sarcină

Într-un triunghi isoscel, latura b are 14 cm și baza a 9 cm. Aflați perimetrul triunghiului.

Soluţie
Folosim formula pentru a afla perimetrul unui triunghi:

P = a + b + c P = a + b + c P=un +b +c

Dar prin condiție, avem un triunghi isoscel, adică laturile sale sunt egale. În acest caz, formula va lua următoarea formă:

P = a + b + b = 2b + a P = a + b + b = 2b + aP=un +b +b=2b+A

Înlocuim valorile numerice în formulă și găsim perimetrul triunghiului:

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 cm P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text( cm)P=2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 cm

Răspuns
P = 37 cm. P = 37\text( cm.)P=3 7 cm .

Una dintre formele geometrice de bază este un triunghi. Se formează atunci când trei segmente de linie se intersectează. Aceste segmente de dreaptă formează laturile figurii, iar punctele de intersecție ale acestora se numesc vârfuri. Fiecare student care studiază un curs de geometrie trebuie să fie capabil să găsească perimetrul acestei figuri. Abilitatea dobândită va fi utilă pentru mulți la vârsta adultă, de exemplu, va fi utilă unui student, inginer, constructor,

Există diferite moduri de a găsi perimetrul unui triunghi. Alegerea formulei de care aveți nevoie depinde de datele sursă disponibile. Pentru a scrie această valoare în terminologia matematică, se folosește o denumire specială - P. Luați în considerare care este perimetrul, principalele metode de calcul pentru figuri triunghiulare de diferite tipuri.

Cel mai simplu mod de a găsi perimetrul unei forme este dacă aveți date pentru toate părțile. În acest caz, se utilizează următoarea formulă:

Litera „P” indică valoarea perimetrului în sine. La rândul lor, „a”, „b” și „c” sunt lungimile laturilor.

Cunoscând mărimea celor trei cantități, va fi suficient să obținem suma lor, care este perimetrul.

Opțiune alternativă

În problemele de matematică, toate lungimile date sunt rareori cunoscute. În astfel de cazuri, se recomandă utilizarea unui mod alternativ de a găsi valoarea dorită. Când condițiile specifică lungimea a două linii drepte, precum și unghiul dintre ele, calculul se face prin căutarea celei de-a treia. Pentru a găsi acest număr, trebuie să obțineți rădăcina pătrată folosind formula:

.

Perimetrul pe ambele laturi

Pentru a calcula perimetrul, nu este necesar să cunoașteți toate datele unei figuri geometrice. Luați în considerare metodele de calcul pe două părți.

Triunghi isoscel

Un triunghi se numește isoscel dacă cel puțin două dintre laturile sale au aceeași lungime. Se numesc laterale, iar a treia latură se numește bază. Liniile egale formează un unghi de vârf. O caracteristică într-un triunghi isoscel este prezența unei axe de simetrie. Axa este o linie verticală care începe din colțul de sus și se termină în mijlocul bazei. În centrul său, axa de simetrie include următoarele concepte:

• bisectoare a unghiului vârfurilor;
• mediană la bază;
• înălțimea triunghiului;
• perpendiculară mediană.

Pentru a determina perimetrul unei figuri triunghiulare isoscele, utilizați formula.

În acest caz, trebuie să cunoașteți doar două cantități: baza și lungimea unei laturi. Denumirea „2a” implică înmulțirea lungimii laturii cu 2. La cifra rezultată, trebuie să adăugați valoarea bazei - „b”.

În cazul excepțional, când lungimea bazei unui triunghi isoscel este egală cu linia sa laterală, se poate folosi o metodă mai simplă. Se exprimă în următoarea formulă:

Pentru a obține rezultatul, este suficient să înmulțiți acest număr cu trei. Această formulă este folosită pentru a găsi perimetrul unui triunghi obișnuit.

Video util: probleme pe perimetrul unui triunghi

Triunghi dreptunghiular

Principala diferență între un triunghi dreptunghic și alte forme geometrice din această categorie este prezența unui unghi de 90 °. Pe această bază se determină tipul figurii. Înainte de a determina cum să găsiți perimetrul unui triunghi dreptunghic, merită remarcat faptul că această valoare pentru orice figură geometrică plată este suma tuturor laturilor. Deci, în acest caz, cel mai simplu mod de a afla rezultatul este însumarea celor trei valori.

În terminologia științifică, acele laturi care sunt adiacente unghiului drept sunt numite „picioare”, iar opusul unghiului de 90 de grade este ipotenuza. Caracteristicile acestei figuri au fost studiate de savantul grec antic Pitagora. Conform teoremei lui Pitagora, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

.

Pe baza acestei teoreme, a fost derivată o altă formulă care explică cum se găsește perimetrul unui triunghi având în vedere două laturi cunoscute. Puteți calcula perimetrul cu lungimea specificată a picioarelor folosind următoarea metodă.

.

Pentru a afla perimetrul, având informații despre dimensiunea unui catete și a ipotenuzei, trebuie să determinați lungimea celei de-a doua ipotenuze. În acest scop, se folosesc următoarele formule:

.

De asemenea, perimetrul tipului de figuri descris este determinat fără date despre dimensiunile picioarelor.

Va trebui să cunoașteți lungimea ipotenuzei, precum și unghiul adiacent acesteia. Cunoscând lungimea unuia dintre picioare, dacă există un unghi adiacent acestuia, perimetrul figurii se calculează prin formula:

.

P=a+b+c Cum se găsește perimetrul unui triunghi: Toată lumea știe că perimetrul este ușor de găsit - trebuie doar să aduni toate cele trei laturi ale triunghiului. Cu toate acestea, există câteva alte moduri de a găsi suma lungimilor laturilor unui triunghi. Pasul 1 Având în vedere raza cercului înscris în triunghi și aria acestuia, găsiți perimetrul folosind formula P=2S/r. Pasul 2 Dacă cunoașteți două unghiuri, de exemplu, α și β, adiacente laturii și lungimea acestei laturi, atunci pentru a găsi perimetrul, utilizați formula a+sinα∙а/(sin(180°-α- β)) + sinβ∙а /(sin(180°-α-β)). Pasul 3 Dacă condiția specifică laturile adiacente și unghiul β dintre ele, luați în considerare teorema cosinusului atunci când găsiți perimetrul. Atunci P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), unde a^2 și b^2 sunt pătratele lungimilor laturilor adiacente. Expresia de sub rădăcină este lungimea celei de-a treia laturi necunoscute, exprimată prin teorema cosinusului. Pasul 4 Pentru un triunghi isoscel, formula perimetrului ia forma P=2a+b, unde a sunt laturile și b este baza sa. Pasul 5 Calculați perimetrul unui triunghi obișnuit folosind formula P=3a. Pasul 6 Găsiți perimetrul folosind razele cercurilor înscrise în triunghi sau circumscrise în jurul acestuia. Deci, pentru un triunghi echilateral, amintiți-vă și utilizați formula P=6r√3=3R√3, unde r este raza cercului înscris și R este raza cercului circumscris. Pasul 7 Pentru un triunghi isoscel, aplicați formula P=2R(2sinα+sinβ), unde α este unghiul de la bază și β este unghiul opus bazei.

Informații preliminare

Perimetrul oricărei figuri geometrice plate din plan este definit ca suma lungimilor tuturor laturilor sale. Triunghiul nu face excepție de la aceasta. În primul rând, dăm conceptul de triunghi, precum și tipurile de triunghiuri în funcție de laturi.

Definiția 1

Vom numi un triunghi o figură geometrică, care este compusă din trei puncte legate prin segmente (Fig. 1).

Definiția 2

Punctele din Definiția 1 vor fi numite vârfuri ale triunghiului.

Definiția 3

Segmentele din cadrul Definiției 1 vor fi numite laturile triunghiului.

Evident, orice triunghi va avea 3 vârfuri precum și 3 laturi.

În funcție de raportul laturilor între ele, triunghiurile sunt împărțite în scalen, isoscel și echilateral.

Definiția 4

Se spune că un triunghi este scalen dacă niciuna dintre laturile sale nu este egală cu oricare alta.

Definiția 5

Vom numi un triunghi isoscel dacă două dintre laturile sale sunt egale între ele, dar nu sunt egale cu a treia latură.

Definiția 6

Un triunghi se numește echilateral dacă toate laturile lui sunt egale între ele.

Puteți vedea toate tipurile de aceste triunghiuri în Figura 2.

Cum se află perimetrul unui triunghi scalen?

Să ni se dă un triunghi scalen cu lungimile laturilor egale cu $α$, $β$ și $γ$.

Concluzie: Pentru a afla perimetrul unui triunghi scalen, adunați toate lungimile laturilor sale.

Exemplul 1

Aflați perimetrul unui triunghi scalen egal cu $34$ cm, $12$ cm și $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Răspuns: 57 USD vezi.

Exemplul 2

Aflați perimetrul unui triunghi dreptunghic ale cărui catete sunt $6$ și $8$ cm.

În primul rând, găsim lungimea ipotenuzelor acestui triunghi folosind teorema lui Pitagora. Se notează cu $α$, atunci

$α=10$ Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi scalen, obținem

$P=10+8+6=24$ cm

Răspuns: 24 USD vezi.

Cum se află perimetrul unui triunghi isoscel?

Să ni se dă un triunghi isoscel ale cărui lungimi laturi vor fi egale cu $α$, iar lungimea bazei va fi egală cu $β$.

Prin definiția perimetrului unei figuri geometrice plate, obținem asta

$P=α+α+β=2α+β$

Concluzie: Pentru a găsi perimetrul unui triunghi isoscel, adăugați de două ori lungimea laturilor sale la lungimea bazei sale.

Exemplul 3

Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă laturile sale sunt $12$ cm și baza lui este $11$ cm.

Din exemplul de mai sus, vedem asta

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Răspuns: 35 USD vezi.

Exemplul 4

Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă înălțimea lui trasată la bază este $8$ cm și baza este $12$ cm.

Luați în considerare cifra în funcție de starea problemei:

Deoarece triunghiul este isoscel, $BD$ este și o mediană, deci $AD=6$ cm.

După teorema lui Pitagora, din triunghiul $ADB$ găsim latura. Se notează cu $α$, atunci

Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi isoscel, obținem

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Răspuns: 32 USD vezi.

Cum se află perimetrul unui triunghi echilateral?

Să ni se dă un triunghi echilateral cu lungimile tuturor laturilor egale cu $α$.

Prin definiția perimetrului unei figuri geometrice plate, obținem asta

$P=α+α+α=3α$

Concluzie: Pentru a afla perimetrul unui triunghi echilateral, înmulțiți lungimea laturii triunghiului cu $3$.

Exemplul 5

Aflați perimetrul unui triunghi echilateral dacă latura lui este $12$ cm.

Din exemplul de mai sus, vedem asta

$P=3\cdot 12=36$ cm

Un triunghi este una dintre figurile geometrice fundamentale, care sunt trei segmente de linie care se intersectează. Această cifră era cunoscută chiar și de oamenii de știință din Egiptul Antic, Grecia Antică și China Antică, care au derivat majoritatea formulelor și modelelor folosite de oamenii de știință, ingineri și designeri până acum.

Principalele componente ale unui triunghi sunt:

Vârfurile - puncte de intersecție ale segmentelor.

Laturile sunt segmente de linie care se intersectează.

Pe baza acestor componente, ei formulează concepte precum perimetrul unui triunghi, aria acestuia, cercurile înscrise și circumscrise. Se știe încă de la școală că perimetrul unui triunghi este o expresie numerică a sumei tuturor celor trei laturi ale sale. În același timp, există o mulțime de formule pentru găsirea acestei valori, în funcție de datele inițiale pe care le are cercetătorul în cutare sau cutare caz.

1. Cel mai simplu mod de a găsi perimetrul unui triunghi este folosit atunci când sunt cunoscute valorile numerice ale tuturor celor trei laturi ale sale (x, y, z), ca o consecință:

2. Perimetrul unui triunghi echilateral poate fi găsit dacă ne amintim că pentru o figură dată toate laturile, totuși, ca toate unghiurile, sunt egale. Cunoscând lungimea acestei laturi, perimetrul unui triunghi echilateral poate fi determinat prin formula:

3. Într-un triunghi isoscel, spre deosebire de unul echilateral, doar două laturi au aceeași valoare numerică, deci în acest caz, în general, perimetrul va fi următorul:

4. Următoarele metode sunt necesare în cazurile în care nu sunt cunoscute valorile numerice ale tuturor părților. De exemplu, dacă studiul are date pe două laturi, iar unghiul dintre ele este cunoscut, atunci perimetrul triunghiului poate fi găsit folosind definiția celei de-a treia laturi și unghiul cunoscut. În acest caz, acest terț va fi găsit prin formula:

z= 2x+2y-2xycosβ

Pe baza acestui fapt, perimetrul triunghiului va fi egal cu:

P= x+y+2x+(2y-2xycos β)

5. În cazul în care lungimea nu mai mult de o latură a triunghiului este inițial dată și valorile numerice ale celor două unghiuri adiacente acestuia sunt cunoscute, atunci perimetrul triunghiului poate fi calculat pe baza teorema sinusului:

P = x+sinβ x/(sin(180°-β)) + sinγ x/(sin(180°-γ))

6. Există cazuri când parametrii cunoscuți ai cercului înscris în acesta sunt folosiți pentru a afla perimetrul unui triunghi. Această formulă este cunoscută și de cei mai mulți de la banca școlii:

P= 2S/r (S este aria cercului, în timp ce r este raza acestuia).

Din toate cele de mai sus, se poate observa că valoarea perimetrului unui triunghi poate fi găsită în multe feluri, pe baza datelor pe care le deține cercetătorul. În plus, există mai multe cazuri speciale de găsire a acestei valori. Deci, perimetrul este una dintre cele mai importante mărimi și caracteristici ale unui triunghi dreptunghic.

După cum știți, un astfel de triunghi se numește figură, ale cărei două laturi formează un unghi drept. Perimetrul unui triunghi dreptunghic se găsește prin expresia numerică a sumei ambelor catete și a ipotenuzei. În cazul în care cercetătorul cunoaște datele doar pe două părți, restul poate fi calculat folosind celebra teoremă a lui Pitagora: z \u003d (x2 + y2), dacă ambele picioare sunt cunoscute sau x \u003d (z2 - y2), dacă se cunosc ipotenuza şi catetul.

În cazul în care lungimea ipotenuzei și unul dintre unghiurile adiacente acesteia sunt cunoscute, celelalte două laturi se găsesc prin formulele: x \u003d z sinβ, y \u003d z cosβ. În acest caz, perimetrul va fi:

P= z(cosβ + sinβ +1)

De asemenea, un caz special este calculul perimetrului unui triunghi regulat (sau echilateral), adică o figură în care toate laturile și toate unghiurile sunt egale. Calcularea perimetrului unui astfel de triunghi dintr-o latură cunoscută nu este o problemă, cu toate acestea, de multe ori cercetătorul cunoaște și alte date. Deci, dacă raza cercului înscris este cunoscută, perimetrul unui triunghi obișnuit se află prin formula:

Și dacă este dată valoarea razei cercului circumscris, perimetrul unui triunghi regulat se va găsi după cum urmează:

Formulele trebuie memorate pentru a fi aplicate cu succes în practică.