Formulare generală: fluxul vectorului intensității câmpului electric prin orice suprafață închisă aleasă în mod arbitrar este proporțional cu sarcina electrică conținută în interiorul acestei suprafețe.

În sistemul SGSE:

În sistemul SI:

este fluxul vectorului intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă.

- sarcina totala continuta in volumul care limiteaza suprafata.

- constantă electrică.

Această expresie reprezintă teorema lui Gauss în formă integrală.

În formă diferențială, teorema lui Gauss corespunde uneia dintre ecuațiile lui Maxwell și se exprimă după cum urmează

în sistemul SI:

,

în sistemul SGSE:

Aici este densitatea de sarcină volumetrică (în cazul prezenței unui mediu, densitatea totală a sarcinilor libere și legate) și este operatorul nabla.

Pentru teorema lui Gauss este valabil principiul suprapunerii, adică fluxul vectorului de intensitate prin suprafață nu depinde de distribuția sarcinii în interiorul suprafeței.

Baza fizică a teoremei lui Gauss este legea lui Coulomb sau, cu alte cuvinte, teorema lui Gauss este o formulare integrală a legii lui Coulomb.

Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasarea electrică).

Pentru un câmp în materie, teorema electrostatică a lui Gauss poate fi scrisă diferit - prin fluxul vectorului de deplasare electrică (inducție electrică). În acest caz, formularea teoremei este următoarea: fluxul vectorului deplasării electrice printr-o suprafață închisă este proporțional cu sarcina electrică liberă conținută în interiorul acestei suprafețe:

Dacă luăm în considerare teorema pentru intensitatea câmpului dintr-o substanță, atunci ca sarcină Q este necesar să luăm suma sarcinii libere situate în interiorul suprafeței și sarcina de polarizare (indusă, legată) a dielectricului:

,

Unde ,
este vectorul de polarizare al dielectricului.

Teorema lui Gauss pentru inducția magnetică

Fluxul vectorului de inducție magnetică prin orice suprafață închisă este zero:

.

Acest lucru este echivalent cu faptul că în natură nu există „sarcini magnetice” (monopoli) care ar crea un câmp magnetic, la fel cum sarcinile electrice creează un câmp electric. Cu alte cuvinte, teorema lui Gauss pentru inducția magnetică arată că câmpul magnetic este un vortex.

Aplicarea teoremei lui Gauss

Pentru a calcula câmpurile electromagnetice sunt utilizate următoarele mărimi:

Densitatea de sarcină volumetrică (vezi mai sus).

Densitatea sarcinii de suprafață

unde dS este o suprafață infinitezimală.

Densitatea de sarcină liniară

unde dl este lungimea unui segment infinitezimal.

Să considerăm câmpul creat de un plan infinit uniform încărcat. Fie ca densitatea de sarcină la suprafață a planului să fie aceeași și egală cu σ. Să ne imaginăm un cilindru cu generatrice perpendiculară pe plan și o bază ΔS situată simetric față de plan. Datorită simetriei. Fluxul vectorului tensiune este egal cu . Aplicând teorema lui Gauss, obținem:

,

de la care

în sistemul SSSE

Este important de menționat că, în ciuda universalității și generalității sale, teorema lui Gauss în formă integrală are o aplicație relativ limitată din cauza inconvenientului de a calcula integrala. Totuși, în cazul unei probleme simetrice, soluția acesteia devine mult mai simplă decât utilizarea principiului suprapunerii.

Sarcina principală aplicată a electrostaticei este calculul câmpurilor electrice create în diferite dispozitive și dispozitive. În general, această problemă este rezolvată folosind legea lui Coulomb și principiul suprapunerii. Cu toate acestea, această sarcină devine foarte complicată atunci când se ia în considerare un număr mare de taxe punctiforme sau distribuite spațial. Dificultăți și mai mari apar atunci când în spațiu există dielectrici sau conductori, când sub influența unui câmp extern E 0 are loc o redistribuire a sarcinilor microscopice, creându-și propriul câmp suplimentar E. Prin urmare, pentru a rezolva practic aceste probleme, se folosesc metode și tehnici auxiliare. utilizate care folosesc aparate matematice complexe. Vom considera cea mai simplă metodă bazată pe aplicarea teoremei Ostrogradsky–Gauss. Pentru a formula această teoremă, introducem câteva concepte noi:

A) densitatea de sarcină

Dacă corpul încărcat este mare, atunci trebuie să cunoașteți distribuția sarcinilor în interiorul corpului.

Densitatea de încărcare a volumului– măsurată prin sarcina pe unitate de volum:

Densitatea sarcinii de suprafață– măsurată prin sarcina pe unitatea de suprafață a unui corp (când sarcina este distribuită pe suprafață):

Densitatea de sarcină liniară(distribuția sarcinii de-a lungul conductorului):

b) vector de inducție electrostatică

Vector de inducție electrostatică (vector de deplasare electrică) este o mărime vectorială care caracterizează câmpul electric.

Vector egal cu produsul vectorului asupra constantei dielectrice absolute a mediului într-un punct dat:

Să verificăm dimensiunea Dîn unități SI:

, deoarece
,

atunci dimensiunile D și E nu coincid, iar valorile lor numerice sunt, de asemenea, diferite.

Din definiție rezultă că pentru câmpul vectorial se aplică același principiu de suprapunere ca și pentru câmp :

Camp reprezentat grafic prin linii de inducție, la fel ca câmpul . Liniile de inducție sunt trasate astfel încât tangenta din fiecare punct să coincidă cu direcția , iar numărul de linii este egal cu valoarea numerică a lui D într-o locație dată.

Pentru a înțelege sensul introducerii Să ne uităm la un exemplu.

	ε> 1	La limita cavității cu dielectricul se concentrează sarcinile negative asociate și Câmpul scade cu un factor de iar densitatea scade brusc.
Pentru același caz: D = Eε 0	, apoi: linii merge mai departe. Linii începe cu taxe gratuite (la pe orice - legat sau liber), iar la limita dielectrică densitatea lor rămâne neschimbată. Prin urmare– continuitatea liniilor de inducție facilitează foarte mult calculul , și, cunoscând conexiunea Cu puteți găsi vectorul .

V) flux vectorial de inducție electrostatică

Luați în considerare suprafața S într-un câmp electric și alegeți direcția normalei

1. Dacă câmpul este uniform, atunci numărul de linii de câmp prin suprafața S:

2. Dacă câmpul este neuniform, atunci suprafața este împărțită în elemente infinitezimale dS, care sunt considerate plate și câmpul din jurul lor este uniform. Prin urmare, fluxul prin elementul de suprafață este: dN = D n dS,

iar debitul total prin orice suprafață este:

(6)

Fluxul de inducție N este o mărime scalară; în funcţie de  poate fi > 0 sau< 0, или = 0.

Să luăm în considerare modul în care valoarea vectorului E se modifică la interfața dintre două medii, de exemplu, aer (ε 1) și apă (ε = 81). Intensitatea câmpului în apă scade brusc cu un factor de 81. Acest comportament vectorial E creează anumite inconveniente la calcularea câmpurilor în diverse medii. Pentru a evita acest inconvenient, se introduce un nou vector D– vector de inducție sau deplasare electrică a câmpului. Conexiune vectorială DȘi E se pare ca

D = ε ε 0 E.

Evident, pentru câmpul unei sarcini punctiforme deplasarea electrică va fi egală cu

Este ușor de observat că deplasarea electrică se măsoară în C/m2, nu depinde de proprietăți și este reprezentată grafic prin linii asemănătoare liniilor de tensiune.

Direcția liniilor de câmp caracterizează direcția câmpului în spațiu (liniile de câmp, desigur, nu există, sunt introduse pentru comoditatea ilustrației) sau direcția vectorului intensității câmpului. Folosind linii de intensitate, puteți caracteriza nu numai direcția, ci și mărimea intensității câmpului. Pentru a face acest lucru, s-a convenit să le efectueze cu o anumită densitate, astfel încât numărul de linii de tensiune care străpunge o suprafață unitară perpendiculară pe liniile de tensiune să fie proporțional cu modulul vectorial. E(Fig. 78). Apoi numărul de linii care pătrund în zona elementară dS, normala la care n formează un unghi α cu vectorul E, este egal cu E dScos α = E n dS,

unde E n este componenta vectorială E pe direcția normală n. Valoarea dФ E = E n dS = E d S numit curgerea vectorului de tensiune prin amplasament d S(d S= dS n).

Pentru o suprafață închisă arbitrară S fluxul vectorial E prin aceasta suprafata este egala

O expresie similară are fluxul vectorului deplasare electrică Ф D

.

Teorema Ostrogradsky-Gauss

Această teoremă ne permite să determinăm fluxul vectorilor E și D din orice număr de sarcini. Să luăm o sarcină punctiformă Q și să definim fluxul vectorului E printr-o suprafață sferică de rază r, în centrul căreia se află.

Pentru o suprafață sferică α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 și

Ф E = E · 4 πr 2 .

Înlocuind expresia pentru E obținem

Astfel, din fiecare sarcină punctiformă iese un flux de vector F E E egal cu Q/ ε 0 . Generalizând această concluzie la cazul general al unui număr arbitrar de sarcini punctiforme, dăm formularea teoremei: fluxul total al vectorului E printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este numeric egală cu suma algebrică a sarcinilor electrice conținute în interiorul acestei suprafețe, împărțită la ε 0, adică.

Pentru fluxul vectorial de deplasare electrică D puteți obține o formulă similară

fluxul vectorului de inducție printr-o suprafață închisă este egal cu suma algebrică a sarcinilor electrice acoperite de această suprafață.

Dacă luăm o suprafață închisă care nu îmbrățișează o sarcină, atunci fiecare linie EȘi D va traversa această suprafață de două ori - la intrare și la ieșire, astfel încât fluxul total se dovedește a fi zero. Aici este necesar să se țină cont de suma algebrică a liniilor care intră și ies.

Aplicarea teoremei Ostrogradsky-Gauss pentru calcularea câmpurilor electrice create de avioane, sfere și cilindri

O suprafață sferică cu raza R poartă o sarcină Q, distribuită uniform pe suprafața cu densitatea suprafeței σ

Să luăm punctul A din afara sferei la o distanță r de centru și să desenăm mental o sferă cu raza r încărcată simetric (Fig. 79). Aria sa este S = 4 πr 2. Fluxul vectorului E va fi egal cu

Conform teoremei Ostrogradsky-Gauss
, prin urmare,
ținând cont că Q = σ 4 πr 2 , obținem

Pentru punctele situate pe suprafața unei sfere (R = r)

D Pentru punctele situate în interiorul unei sfere goale (nu există nicio sarcină în interiorul sferei), E = 0.

2 . Suprafață cilindrică goală cu raza R și lungime lîncărcat cu densitate constantă de sarcină de suprafață
(Fig. 80). Să desenăm o suprafață cilindrică coaxială cu raza r > R.

Vector de flux E prin aceasta suprafata

După teorema lui Gauss

Echivalând părțile din dreapta ale egalităților de mai sus, obținem

.

Dacă este dată densitatea de sarcină liniară a cilindrului (sau a filetului subțire).
Acea

3. Câmp de planuri infinite cu densitatea de sarcină de suprafață σ (Fig. 81).

Să considerăm câmpul creat de un plan infinit. Din considerente de simetrie rezultă că intensitatea în orice punct al câmpului are o direcție perpendiculară pe plan.

În punctele simetrice E va fi aceeași ca mărime și opusă ca direcție.

Să construim mental suprafața unui cilindru cu o bază ΔS. Apoi, un flux va ieși prin fiecare dintre bazele cilindrului

F E = E ΔS, iar debitul total prin suprafața cilindrică va fi egal cu F E = 2E ΔS.

În interiorul suprafeței există o sarcină Q = σ · ΔS. Conform teoremei lui Gauss, trebuie să fie adevărată

Unde

Rezultatul obtinut nu depinde de inaltimea cilindrului selectat. Astfel, intensitatea câmpului E la orice distanță este aceeași ca mărime.

Pentru două plane încărcate diferit cu aceeași densitate de sarcină de suprafață σ, conform principiului suprapunerii, în afara spațiului dintre planuri intensitatea câmpului este zero E = 0, iar în spațiul dintre planuri
(Fig. 82a). Dacă avioanele sunt încărcate cu sarcini similare cu aceeași densitate de sarcină de suprafață, se observă imaginea opusă (Fig. 82b). În spațiul dintre planele E = 0, iar în spațiul din afara planurilor
.

Obiectivul lecției: Teorema Ostrogradsky–Gauss a fost stabilită de matematicianul și mecanicul rus Mihail Vasilyevich Ostrogradsky sub forma unei teoreme matematice generale și de matematicianul german Carl Friedrich Gauss. Această teoremă poate fi folosită atunci când se studiază fizica la un nivel de specialitate, deoarece permite calcule mai raționale ale câmpurilor electrice.

Vector de inducție electrică

Pentru a deriva teorema Ostrogradsky–Gauss, este necesar să se introducă concepte auxiliare atât de importante precum vectorul de inducție electrică și fluxul acestui vector F.

Se știe că câmpul electrostatic este adesea descris folosind linii de forță. Să presupunem că determinăm tensiunea într-un punct situat la interfața dintre două medii: aer (=1) și apă (=81). În acest moment, atunci când treceți de la aer la apă, intensitatea câmpului electric conform formulei va scădea de 81 de ori. Dacă neglijăm conductivitatea apei, atunci numărul liniilor de forță va scădea cu același factor. La rezolvarea diverselor probleme de calcul a câmpurilor, din cauza discontinuității vectorului de tensiune la interfața dintre medii și pe dielectrici, se creează anumite inconveniente. Pentru a le evita, este introdus un nou vector, care se numește vectorul de inducție electrică:

Vectorul de inducție electrică este egal cu produsul dintre vector și constanta electrică și constanta dielectrică a mediului într-un punct dat.

Este evident că la trecerea prin limita a doi dielectrici, numărul liniilor electrice de inducție nu se modifică pentru câmpul unei sarcini punctiforme (1).

În sistemul SI, vectorul inducției electrice este măsurat în coulombi pe metru pătrat (C/m2). Expresia (1) arată că valoarea numerică a vectorului nu depinde de proprietățile mediului. Câmpul vectorial este reprezentat grafic în mod similar cu câmpul de intensitate (de exemplu, pentru o sarcină punctiformă, vezi Fig. 1). Pentru un câmp vectorial se aplică principiul suprapunerii:

Flux de inducție electrică

Vectorul de inducție electrică caracterizează câmpul electric în fiecare punct din spațiu. Puteți introduce o altă cantitate care depinde de valorile vectorului nu într-un punct, ci în toate punctele suprafeței delimitate de un contur plat închis.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un conductor plat închis (circuit) cu suprafața S, plasat într-un câmp electric uniform. Normala la planul conductorului formează un unghi cu direcția vectorului de inducție electrică (Fig. 2).

Fluxul inducției electrice prin suprafața S este o mărime egală cu produsul dintre modulul vectorului de inducție prin aria S și cosinusul unghiului dintre vector și normală:

Derivarea teoremei Ostrogradsky–Gauss

Această teoremă ne permite să găsim fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă, în interiorul căreia se află sarcini electrice.

Fie mai întâi o sarcină punctiformă q să fie plasată în centrul unei sfere de rază arbitrară r 1 (Fig. 3). Apoi ; . Să calculăm fluxul total de inducție care trece prin întreaga suprafață a acestei sfere: ; (). Dacă luăm o sferă cu raza , atunci și Ф = q. Dacă desenăm o sferă care nu acoperă sarcina q, atunci fluxul total Ф = 0 (deoarece fiecare linie va intra pe suprafață și va părăsi altă dată).

Astfel, Ф = q dacă sarcina este situată în interiorul suprafeței închise și Ф = 0 dacă sarcina este situată în afara suprafeței închise. Debitul Ф nu depinde de forma suprafeței. De asemenea, este independent de dispunerea sarcinilor în suprafață. Aceasta înseamnă că rezultatul obținut este valabil nu numai pentru o sarcină, ci și pentru orice număr de sarcini situate arbitrar, dacă înțelegem prin q suma algebrică a tuturor sarcinilor situate în interiorul suprafeței.

Teorema lui Gauss: fluxul de inducție electrică prin orice suprafață închisă este egal cu suma algebrică a tuturor sarcinilor situate în interiorul suprafeței: .

Din formulă este clar că dimensiunea fluxului electric este aceeași cu cea a sarcinii electrice. Prin urmare, unitatea fluxului de inducție electrică este coulombul (C).

Notă: dacă câmpul este neuniform și suprafața prin care se determină curgerea nu este un plan, atunci această suprafață poate fi împărțită în elemente infinitezimale ds și fiecare element poate fi considerat plat, iar câmpul din apropiere este uniform. Prin urmare, pentru orice câmp electric, fluxul vectorului de inducție electrică prin elementul de suprafață este: dФ=. Ca rezultat al integrării, fluxul total printr-o suprafață închisă S în orice câmp electric neomogen este egal cu: , unde q este suma algebrică a tuturor sarcinilor înconjurate de o suprafață închisă S. Să exprimăm ultima ecuație în funcție de intensitatea câmpului electric (pentru vid): .

Aceasta este una dintre ecuațiile fundamentale ale lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic, scrisă în formă integrală. Acesta arată că sursa unui câmp electric constant în timp sunt sarcinile electrice staționare.

Aplicarea teoremei lui Gauss

Câmp de taxe distribuite continuu

Să determinăm acum intensitatea câmpului pentru un număr de cazuri folosind teorema Ostrogradsky-Gauss.

1. Câmp electric al unei suprafețe sferice încărcate uniform.

Sfera cu raza R. Fie sarcina +q distribuită uniform pe o suprafață sferică cu raza R. Distribuția sarcinii pe suprafață este caracterizată de densitatea sarcinii la suprafață (Fig. 4). Densitatea de sarcină la suprafață este raportul dintre sarcină și suprafața pe care este distribuită. . În SI.

Să determinăm puterea câmpului:

a) în afara suprafeței sferice,
b) în interiorul unei suprafeţe sferice.

a) Luați punctul A, situat la o distanță r>R de centrul suprafeței sferice încărcate. Să desenăm mental prin ea o suprafață sferică S de raza r, care are un centru comun cu suprafața sferică încărcată. Din considerente de simetrie, este evident că liniile de forță sunt linii radiale perpendiculare pe suprafața S și pătrund uniform în această suprafață, adică. tensiunea în toate punctele acestei suprafețe este constantă ca mărime. Să aplicăm teorema Ostrogradsky-Gauss acestei suprafețe sferice S de rază r. Prin urmare, fluxul total prin sferă este N = E? S; N=E. Pe cealaltă parte. Echivalăm: . Prin urmare: pentru r>R.

Astfel: tensiunea creată de o suprafață sferică încărcată uniform în afara ei este aceeași ca și când întreaga sarcină ar fi în centrul ei (Fig. 5).

b) Să găsim intensitatea câmpului în punctele aflate în interiorul suprafeței sferice încărcate. Să luăm punctul B la o distanță de centrul sferei . Atunci, E = 0 la r

2. Intensitatea câmpului unui plan infinit încărcat uniform

Să considerăm câmpul electric creat de un plan infinit, încărcat cu o constantă de densitate în toate punctele planului. Din motive de simetrie, putem presupune că liniile de tensiune sunt perpendiculare pe plan și direcționate de la acesta în ambele direcții (Fig. 6).

Să alegem punctul A situat în dreapta planului și să calculăm în acest punct folosind teorema Ostrogradsky-Gauss. Ca suprafață închisă, alegem o suprafață cilindrică astfel încât suprafața laterală a cilindrului să fie paralelă cu liniile de forță, iar baza sa să fie paralelă cu planul și baza să treacă prin punctul A (Fig. 7). Să calculăm fluxul de tensiune prin suprafața cilindrică luată în considerare. Fluxul prin suprafața laterală este 0, deoarece liniile de tensiune sunt paralele cu suprafața laterală. Atunci debitul total constă din fluxurile și care trec prin bazele cilindrului și . Ambele fluxuri sunt pozitive =+; =; =; ==; N=2.

– o secțiune a planului situată în interiorul suprafeței cilindrice selectate. Sarcina din interiorul acestei suprafețe este q.

Apoi ; – poate fi luată ca sarcină punctiformă) cu punctul A. Pentru a găsi câmpul total este necesar să se însumeze geometric toate câmpurile create de fiecare element: ; .

Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasarea electrică)[

Pentru un câmp într-un mediu dielectric, teorema electrostatică a lui Gauss poate fi scrisă într-un alt mod (într-un mod alternativ) - prin fluxul vectorului de deplasare electrică (inducție electrică). În acest caz, formularea teoremei este următoarea: fluxul vectorului deplasării electrice printr-o suprafață închisă este proporțional cu sarcina electrică liberă conținută în interiorul acestei suprafețe:

Sub formă diferențială:

Teorema lui Gauss pentru inducția magnetică

Fluxul vectorului de inducție magnetică prin orice suprafață închisă este zero:

sau sub formă diferenţială

Acest lucru este echivalent cu faptul că în natură nu există „sarcini magnetice” (monopoli) care ar crea un câmp magnetic, așa cum sarcinile electrice creează un câmp electric. Cu alte cuvinte, teorema lui Gauss pentru inducția magnetică arată că câmpul magnetic este (complet) vârtej.

Teorema lui Gauss pentru gravitația newtoniană

Pentru intensitatea câmpului gravitației newtoniene (accelerația gravitațională), teorema lui Gauss coincide practic cu cea din electrostatică, cu excepția numai a constantelor (totuși, încă dependente de alegerea arbitrară a sistemului de unități) și, cel mai important, semnul:

Unde g- intensitatea câmpului gravitațional, M- sarcina gravitațională (adică masa) în interiorul suprafeței S, ρ - densitatea masei, G- constanta newtoniana.

Conductoare într-un câmp electric. Câmp în interiorul unui conductor și pe suprafața acestuia.

Conductorii sunt corpuri prin care sarcinile electrice pot trece de la un corp încărcat la unul neîncărcat. Capacitatea conductorilor de a trece sarcini electrice prin ei înșiși se explică prin prezența purtătorilor de sarcină liberi în ei. Conductori - corpuri metalice în stare solidă și lichidă, soluții lichide de electroliți. Sarcinile libere ale unui conductor introdus într-un câmp electric încep să se miște sub influența acestuia. Redistribuirea sarcinilor determină o modificare a câmpului electric. Când intensitatea câmpului electric dintr-un conductor devine zero, electronii se opresc din mișcare. Fenomenul de separare a sarcinilor diferite într-un conductor plasat într-un câmp electric se numește inducție electrostatică. Nu există câmp electric în interiorul conductorului. Acesta este utilizat pentru protecția electrostatică - protecție folosind conductori metalici de la un câmp electric. Suprafața unui corp conductor de orice formă într-un câmp electric este o suprafață echipotențială.

Condensatoare

Pentru a obține dispozitive care, la un potențial scăzut față de mediu, ar acumula (condensa) sarcini vizibile asupra lor, se folosesc de faptul că capacitatea electrică a unui conductor crește pe măsură ce alte corpuri se apropie de el. Într-adevăr, sub influența câmpului creat de conductoare încărcate, pe un corp adus acestuia apar sarcini induse (pe conductor) sau asociate (pe dielectric) (Fig. 15.5). Sarcinile cu semn opus sarcinii conductorului q sunt situate mai aproape de conductor decât cele cu același nume cu q și, prin urmare, au o mare influență asupra potențialului acestuia.

Prin urmare, atunci când orice corp este apropiat de un conductor încărcat, puterea câmpului scade și, în consecință, potențialul conductorului scade. Conform ecuației, aceasta înseamnă o creștere a capacității conductorului.

Condensatorul este format din doi conductori (plăci) (Fig. 15.6), separate printr-un strat dielectric. Atunci când unui conductor i se aplică o anumită diferență de potențial, plăcile acestuia sunt încărcate cu sarcini egale de semn opus. Capacitatea electrică a unui condensator este înțeleasă ca mărime fizică proporțională cu sarcina q și invers proporțională cu diferența de potențial dintre plăci.

Să determinăm capacitatea unui condensator plat.

Dacă aria plăcii este S și sarcina pe ea este q, atunci intensitatea câmpului dintre plăci

Pe de altă parte, diferența de potențial dintre plăci provine

Energia unui sistem de sarcini punctiforme, a unui conductor încărcat și a unui condensator.

Orice sistem de sarcini are o energie potențială de interacțiune, care este egală cu munca cheltuită pentru crearea acestui sistem. Energia unui sistem de sarcini punctiforme q 1 , q 2 , q 3 ,… q N este definită după cum urmează:

Unde φ 1 – potențialul câmpului electric creat de toate sarcinile cu excepția q 1 în punctul în care se află încărcarea q 1, etc. Dacă se modifică configurația sistemului de sarcini, atunci se schimbă și energia sistemului. Pentru a modifica configurația sistemului, trebuie să se lucreze.

Energia potențială a unui sistem de sarcini punctiforme poate fi calculată în alt mod. Energia potențială a două sarcini punctiforme q 1 , q 2 la distanță unul de celălalt este egal. Dacă există mai multe sarcini, atunci energia potențială a acestui sistem de sarcini poate fi definită ca suma energiilor potențiale ale tuturor perechilor de sarcini care pot fi compuse pentru acest sistem. Deci, pentru un sistem de trei sarcini pozitive, energia sistemului este egală cu

Câmpul electric al unei sarcini punctuale q 0 la distanță de acesta într-un mediu cu constantă dielectrică ε (A se vedea figura 3.1.3). Figura 3.1.3	; Potențialul este scalar, semnul său depinde de semnul sarcinii care creează câmpul.
Figura 3.1.4. Câmpul electric al unei sfere de rază încărcată uniform în punctul C la o distanță de suprafața sa (Figura 3.1.4). Câmpul electric al unei sfere este similar cu câmpul unei sarcini punctiforme egal cu sarcina sferei q sf şi concentrat în centrul său. Distanța până la punctul în care este determinată tensiunea este ( R+A)	În afara domeniului de aplicare: ; Potențialul din interiorul sferei este constant și egal , iar tensiunea din interiorul sferei este zero
Câmp electric al unui plan infinit încărcat uniform cu densitate de suprafață σ (A se vedea figura 3.1.5). Figura 3.1.5.	Se numește un câmp a cărui putere este aceeași în toate punctele omogen. Densitatea suprafeței σ – sarcina pe unitatea de suprafață (unde sunt sarcina și respectiv aria avionului). Dimensiunea densității sarcinii de suprafață.
Câmpul electric al unui condensator plat cu sarcini pe plăci de mărime egală, dar semn opus (vezi Figura 3.1.6). Figura 3.1.6	Tensiune între plăcile unui condensator cu plăci paralele, în afara condensatorului E=0. Diferenta potentiala uîntre plăcile (plăcile) condensatorului: , unde d– distanța dintre plăci, – constanta dielectrică a dielectricului plasat între plăcile condensatorului. Densitatea de încărcare a suprafeței de pe plăcile condensatorului este egală cu raportul dintre cantitatea de sarcină de pe acesta și aria plăcii:.

Energia unui conductor solitar încărcat și a unui condensator

Dacă un conductor izolat are o sarcină q, atunci există un câmp electric în jurul lui, al cărui potențial pe suprafața conductorului este egal cu , iar capacitatea este C. Să creștem sarcina cu cantitatea dq. Când transferați sarcina dq de la infinit, munca trebuie efectuată egală cu . Dar potențialul câmpului electrostatic al unui conductor dat la infinit este zero. Apoi

La transferul sarcinii dq de la un conductor la infinit, aceeași muncă este efectuată de forțele câmpului electrostatic. In consecinta, cand sarcina conductorului creste cu o cantitate dq, energia potentiala a campului creste, i.e.

Prin integrarea acestei expresii, găsim energia potențială a câmpului electrostatic al unui conductor încărcat pe măsură ce sarcina acestuia crește de la zero la q:

Aplicând relația, putem obține următoarele expresii pentru energia potențială W:

Pentru un condensator încărcat, diferența de potențial (tensiune) este, prin urmare, egală cu raportul pentru energia totală a câmpului său electrostatic: