În matematică, media aritmetică a numerelor (sau pur și simplu media) este suma tuturor numerelor dintr-o mulțime dată împărțită la numărul lor. Acesta este cel mai generalizat și răspândit concept al valorii medii. După cum ați înțeles deja, pentru a găsi trebuie să însumați toate numerele date și să împărțiți rezultatul la numărul de termeni.
Care este media aritmetică?
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplul 1. Sunt date numere: 6, 7, 11. Trebuie să găsiți valoarea lor medie.
Decizie.
Mai întâi, să găsim suma tuturor numerelor date.
Acum împărțim suma rezultată la numărul de termeni. Deoarece avem trei termeni, respectiv, vom împărți la trei.
Prin urmare, media 6, 7 și 11 este 8. De ce 8? Da, pentru că suma 6, 7 și 11 va fi aceeași cu trei opturi. Acest lucru se vede clar în ilustrație.
Valoarea medie amintește oarecum de „alinierea” unei serii de numere. După cum puteți vedea, grămezile de creioane au devenit un singur nivel.
Luați în considerare un alt exemplu pentru a consolida cunoștințele acumulate.
Exemplul 2 Sunt date numere: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Trebuie să le găsiți media aritmetică.
Decizie.
Găsim suma.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Împărțiți la numărul de termeni (în acest caz, 15).
Prin urmare, valoarea medie a acestei serii de numere este 22.
Acum luați în considerare numerele negative. Să ne amintim cum să le rezumam. De exemplu, aveți două numere 1 și -4. Să le găsim suma.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
Știind acest lucru, luați în considerare un alt exemplu.
Exemplul 3 Aflați valoarea medie a unei serii de numere: 3, -7, 5, 13, -2.
Decizie.
Aflarea sumei numerelor.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Deoarece există 5 termeni, împărțim suma rezultată la 5.
Prin urmare, media aritmetică a numerelor 3, -7, 5, 13, -2 este 2,4.
În timpul nostru de progres tehnologic, este mult mai convenabil să folosim programe de calculator pentru a găsi valoarea medie. Microsoft Office Excel este unul dintre ele. Găsirea mediei în Excel este rapidă și ușoară. Mai mult, acest program este inclus în pachetul software de la Microsoft Office. Să luăm în considerare o scurtă instrucțiune, valoare folosind acest program.
Pentru a calcula valoarea medie a unei serii de numere, trebuie să utilizați funcția MEDIE. Sintaxa pentru această funcție este:
=Medie(argument1, argument2, ... argument255)
unde argument1, argument2, ... argument255 sunt fie numere, fie referințe de celule (celulele înseamnă intervale și matrice).
Pentru a fi mai clar, haideți să testăm cunoștințele acumulate.
- Introduceți numerele 11, 12, 13, 14, 15, 16 în celulele C1 - C6.
- Selectați celula C7 făcând clic pe ea. În această celulă, vom afișa valoarea medie.
- Faceți clic pe fila „Formule”.
- Selectați Mai multe funcții > Statistică pentru a deschide
- Selectați MEDIE. După aceea, ar trebui să se deschidă o casetă de dialog.
- Selectați și trageți celulele C1-C6 acolo pentru a seta intervalul în caseta de dialog.
- Confirmați acțiunile dvs. cu butonul „OK”.
- Dacă ați făcut totul corect, în celula C7 ar trebui să aveți răspunsul - 13.7. Când faceți clic pe celula C7, funcția (=Medie(C1:C6)) va fi afișată în bara de formule.
Este foarte util să folosiți această funcție pentru contabilitate, facturi sau atunci când trebuie doar să găsiți media unui interval foarte lung de numere. Prin urmare, este adesea folosit în birouri și companii mari. Acest lucru vă permite să păstrați evidențele în ordine și face posibilă calcularea rapidă a ceva (de exemplu, venitul mediu pe lună). De asemenea, puteți utiliza Excel pentru a găsi media unei funcții.
Când numărul de elemente ale mulțimii numerelor unui proces aleator staționar tinde spre infinit, media aritmetică tinde spre așteptarea matematică a unei variabile aleatoare.
Introducere
Indicați setul de numere X = (X 1 , X 2 , …, X n), atunci media eșantionului este de obicei notă cu o bară orizontală deasupra variabilei (, pronunțată " X cu o liniuță").
Litera greacă μ este de obicei folosită pentru a desemna media aritmetică a întregii populații de numere. Pentru o variabilă aleatoare , pentru care este definită valoarea medie, μ este probabilitate medie sau așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. Dacă setul X este o colecție de numere aleatoare cu o medie a probabilității μ, apoi pentru orice probă X i din această colecție μ = E( X i) este așteptarea acestui eșantion.
În practică, diferența dintre μ și x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) prin aceea că μ este o variabilă tipică, deoarece puteți vedea eșantionul mai degrabă decât întreaga populație. Prin urmare, dacă eșantionul este prezentat aleatoriu (din punct de vedere al teoriei probabilităților), atunci x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(dar nu μ) poate fi tratată ca o variabilă aleatoare având o distribuție de probabilitate pe eșantion (distribuția de probabilitate a mediei).
Ambele cantități sunt calculate în același mod:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)Exemple
- Pentru trei numere, trebuie să le adunați și să le împărțiți la 3:
- Pentru patru numere, trebuie să le adunați și să împărțiți la 4:
Variabilă aleatoare continuă
Dacă există o integrală a unei funcții f (x) (\displaystyle f(x)) o variabilă, apoi media aritmetică a acestei funcții pe segment [ A ; b] (\displaystyle) este definit printr-o integrală definită:
f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x . (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b)f(x)dx.)Aici este subînțeles că b > a . (\displaystyle b>a.)
Câteva probleme de utilizare a mediei
Lipsa robusteței
Deși media aritmetică este adesea folosită ca medie sau tendințe centrale, acest concept nu se aplică statisticilor robuste, ceea ce înseamnă că media aritmetică este puternic influențată de „abateri mari”. Este de remarcat faptul că pentru distribuțiile cu o asimetrie mare, media aritmetică poate să nu corespundă conceptului de „medie”, iar valorile mediei din statistici robuste (de exemplu, mediana) pot descrie mai bine tendința centrală.
Exemplul clasic este calculul venitului mediu. Media aritmetică poate fi interpretată greșit ca mediană, ceea ce poate duce la concluzia că există mai mulți oameni cu venituri mai mari decât sunt în realitate. Venitul „mediu” este interpretat în așa fel încât veniturile majorității oamenilor să fie apropiate de acest număr. Acest venit „mediu” (în sensul mediei aritmetice) este mai mare decât venitul majorității oamenilor, deoarece un venit mare cu o abatere mare de la medie face ca media aritmetică să fie puternic denaturată (dimpotrivă, venitul median „rezistă” o astfel de înclinare). Cu toate acestea, acest venit „mediu” nu spune nimic despre numărul de persoane aflate în apropierea venitului median (și nu spune nimic despre numărul de persoane din apropierea venitului modal). Cu toate acestea, dacă conceptele de „medie” și „majoritate” sunt luate cu ușurință, atunci se poate concluziona greșit că majoritatea oamenilor au venituri mai mari decât sunt în realitate. De exemplu, un raport privind venitul net „mediu” din Medina, Washington, calculat ca media aritmetică a tuturor veniturilor nete anuale ale rezidenților, va oferi un număr surprinzător de mare datorită lui Bill Gates. Luați în considerare eșantionul (1, 2, 2, 2, 3, 9). Media aritmetică este 3,17, dar cinci dintre cele șase valori sunt sub această medie.
Interes compus
Dacă numerele multiplica, dar nu pliază, trebuie să utilizați media geometrică, nu media aritmetică. Cel mai adesea, acest incident se întâmplă atunci când se calculează rentabilitatea investiției în finanțe.
De exemplu, dacă stocurile au scăzut cu 10% în primul an și au crescut cu 30% în al doilea an, atunci este incorect să se calculeze creșterea „medie” în acești doi ani ca medie aritmetică (−10% + 30%) / 2 = 10%; media corectă în acest caz este dată de rata de creștere anuală compusă, din care creșterea anuală este de numai aproximativ 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Motivul pentru aceasta este că procentele au un nou punct de plecare de fiecare dată: 30% este 30% dintr-un număr mai mic decât prețul de la începutul primului an: dacă stocul a început de la 30 USD și a scăzut cu 10%, valorează 27 USD la începutul celui de-al doilea an. Dacă stocul crește cu 30%, valorează 35,1 USD la sfârșitul celui de-al doilea an. Media aritmetică a acestei creșteri este de 10%, dar din moment ce stocul a crescut doar cu 5,1 USD în 2 ani, o creștere medie de 8,2% dă un rezultat final de 35,1 USD:
[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Dacă folosim media aritmetică a 10% în același mod, nu vom obține valoarea reală: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
Dobânda compusă la sfârșitul anului 2: 90% * 130% \u003d 117%, adică o creștere totală de 17% și dobânda compusă medie anuală 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\aproximativ 108,2\%), adică o creștere medie anuală de 8,2%.
Directii
Articolul principal: Statistici despre destinație
Când se calculează media aritmetică a unei variabile care se modifică ciclic (de exemplu, fază sau unghi), trebuie avută o atenție deosebită. De exemplu, media numerelor 1 și 359 va fi egală cu 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180 . Acest număr este incorect din două motive.
Valoarea medie pentru o variabilă ciclică, calculată conform formulei de mai sus, va fi deplasată artificial în raport cu media reală la mijlocul intervalului numeric. Din această cauză, media se calculează într-un mod diferit, și anume, ca valoare medie se alege numărul cu cea mai mică varianță (punctul central). De asemenea, în loc de scădere, se folosește distanța modulo (adică distanța circumferențială). De exemplu, distanța modulară între 1° și 359° este 2°, nu 358° (pe un cerc între 359° și 360°==0° - un grad, între 0° și 1° - tot 1°, în total - 2 °).
Pentru a găsi valoarea medie în Excel (fie că este o valoare numerică, textuală, procentuală sau altă valoare), există multe funcții. Și fiecare dintre ele are propriile sale caracteristici și avantaje. La urma urmei, anumite condiții pot fi stabilite în această sarcină.
De exemplu, valorile medii ale unei serii de numere în Excel sunt calculate folosind funcții statistice. De asemenea, puteți introduce manual propria formulă. Să luăm în considerare diverse opțiuni.
Cum se găsește media aritmetică a numerelor?
Pentru a găsi media aritmetică, adăugați toate numerele din mulțime și împărțiți suma la număr. De exemplu, notele unui student la informatică: 3, 4, 3, 5, 5. Ce este valabil pentru un sfert: 4. Am găsit media aritmetică folosind formula: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Cum se face rapid folosind funcțiile Excel? Luați de exemplu o serie de numere aleatorii dintr-un șir:
Sau: activați celula și introduceți pur și simplu manual formula: =AVERAGE(A1:A8).
Acum să vedem ce mai poate face funcția AVERAGE.
Aflați media aritmetică a primelor două și a ultimelor trei numere. Formula: =MEDIE(A1:B1;F1:H1). Rezultat:
Medie după stare
Condiția pentru aflarea mediei aritmetice poate fi un criteriu numeric sau unul text. Vom folosi funcția: =AVERAGEIF().
Aflați media aritmetică a numerelor care sunt mai mari sau egale cu 10.
Funcție: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
Rezultatul utilizării funcției AVERAGEIF cu condiția „>=10”: Al treilea argument - „Intervalul de mediere” - este omis. În primul rând, nu este necesar. În al doilea rând, intervalul analizat de program conține NUMAI valori numerice. În celulele specificate în primul argument, căutarea se va efectua conform condiției specificate în al doilea argument.
Atenţie! Criteriul de căutare poate fi specificat într-o celulă. Și în formula pentru a face o referire la ea.
Să găsim valoarea medie a numerelor după criteriul textului. De exemplu, vânzările medii ale produsului „tabele”.
Funcția va arăta astfel: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Interval - o coloană cu nume de produse. Criteriul de căutare este o legătură către o celulă cu cuvântul „tables” (puteți introduce cuvântul „tables” în loc de linkul A7). Interval de mediere - acele celule din care vor fi luate date pentru a calcula valoarea medie.
Ca rezultat al calculului funcției, obținem următoarea valoare:
Atenţie! Pentru un criteriu text (condiție), trebuie specificat intervalul de mediere.
Cum se calculează prețul mediu ponderat în Excel?
Cum știm prețul mediu ponderat?
Formula: =SUMPRODUS(C2:C12;B2:B12)/SUMA(C2:C12).
Folosind formula SUMPRODUCT, aflăm venitul total după vânzarea întregii cantități de mărfuri. Și funcția SUM - însumează cantitatea de mărfuri. Împărțind venitul total din vânzarea mărfurilor la numărul total de unități de mărfuri, am găsit prețul mediu ponderat. Acest indicator ține cont de „greutatea” fiecărui preț. Ponderea sa în masa totală a valorilor.
Abaterea standard: formula în Excel
Distingeți abaterea standard pentru populația generală și pentru eșantion. În primul caz, aceasta este rădăcina varianței generale. În al doilea, din varianța eșantionului.
Pentru a calcula acest indicator statistic, este compilată o formulă de dispersie. Rădăcina este luată din ea. Dar în Excel există o funcție gata făcută pentru găsirea abaterii standard.
Abaterea standard este legată de amploarea datelor sursă. Acest lucru nu este suficient pentru o reprezentare figurativă a variației intervalului analizat. Pentru a obține nivelul relativ de împrăștiere în date, se calculează coeficientul de variație:
abatere standard / medie aritmetică
Formula în Excel arată astfel:
STDEV (interval de valori) / AVERAGE (interval de valori).
Coeficientul de variație se calculează procentual. Prin urmare, setăm formatul procentual în celulă.
Conceptul de medie aritmetică înseamnă rezultatul unei succesiuni simple de calcule a valorii medii pentru o serie de numere care sunt predeterminate. Trebuie remarcat faptul că această valoare este utilizată în prezent pe scară largă de către specialiștii dintr-o serie de industrii. De exemplu, formulele sunt cunoscute la efectuarea calculelor de către economiști sau angajați ai industriei statistice, unde se cere să aibă o valoare de acest tip. În plus, acest indicator este utilizat în mod activ într-o serie de alte industrii care sunt legate de cele de mai sus.
Una dintre caracteristicile calculării acestei valori este simplitatea procedurii. Efectuați calcule oricine poate. Nu aveți nevoie de nicio educație specială pentru asta. Adesea nu este nevoie să folosiți tehnologia computerizată.
Ca răspuns la întrebarea cum să găsiți media aritmetică, luați în considerare o serie de situații.
Cel mai simplu mod de a calcula această valoare este să o calculezi pentru două numere. Procedura de calcul în acest caz este foarte simplă:
- Inițial, este necesar să se efectueze operația de adăugare a numerelor selectate. Acest lucru se poate face adesea, după cum se spune, manual, fără a utiliza echipamente electronice.
- După ce se face adăugarea și se obține rezultatul acesteia, este necesar să se împartă. Această operație presupune împărțirea sumei a două numere adăugate la două - numărul de numere adăugate. Această acțiune vă va permite să obțineți valoarea necesară.
Formulă
Astfel, formula pentru calcularea valorii necesare în cazul a două va arăta astfel:
(A+B)/2
Această formulă folosește următoarea notație:
A și B sunt numere preselectate pentru care trebuie să găsiți o valoare.
Găsirea unei valori pentru trei
Calcularea acestei valori într-o situație în care sunt selectate trei numere nu va diferi mult de opțiunea anterioară:
- Pentru a face acest lucru, selectați numerele necesare în calcul și adăugați-le pentru a obține totalul.
- După ce se găsește această sumă de trei, este necesar să se efectueze din nou procedura de împărțire. În acest caz, suma rezultată trebuie împărțită la trei, ceea ce corespunde numărului de numere selectate.
Formulă
Astfel, formula necesară la calcularea aritmeticii trei va arăta astfel:
(A+B+C)/3
În această formulă a fost adoptată următoarea notație:
A, B și C sunt numerele la care va fi necesar să se găsească media aritmetică.
Calcularea mediei aritmetice a patru
După cum sa văzut deja prin analogie cu opțiunile anterioare, calculul acestei valori pentru o cantitate egală cu patru va fi de următoarea ordine:
- Sunt selectate patru cifre pentru care se calculează media aritmetică. În continuare, se efectuează însumarea și găsirea rezultatului final al acestei proceduri.
- Acum, pentru a obține rezultatul final, ar trebui să luați suma rezultată de patru și să o împărțiți la patru. Datele primite vor fi valoarea cerută.
Formulă
Din succesiunea de acțiuni descrisă mai sus pentru găsirea mediei aritmetice pentru patru, puteți obține următoarea formulă:
(A+B+C+E)/4
În această formulă variabilele au urmatoarea semnificatie:
A, B, C și E sunt cele pentru care trebuie să găsiți valoarea mediei aritmetice.
Folosind această formulă, va fi întotdeauna posibil să se calculeze valoarea necesară pentru un anumit număr de numere.
Calcularea mediei aritmetice a lui cinci
Efectuarea acestei operațiuni va necesita un anumit algoritm de acțiuni.
- În primul rând, trebuie să selectați cinci numere pentru care se va calcula media aritmetică. După această selecție, aceste numere, ca și în opțiunile anterioare, trebuie doar să adunați și să obțineți suma finală.
- Suma rezultată va trebui împărțită la numărul lor la cinci, ceea ce vă va permite să obțineți valoarea necesară.
Formulă
Astfel, similar opțiunilor luate în considerare anterior, obținem următoarea formulă pentru calcularea mediei aritmetice:
(A+B+C+E+P)/5
În această formulă, variabilele au următoarea notație:
A, B, C, E și P sunt numerele pentru care doriți să obțineți media aritmetică.
Formula universală de calcul
Efectuarea luării în considerare a diferitelor variante de formule pentru a calcula media aritmetică, poți fi atent la faptul că au un model comun.
Prin urmare, va fi mai practic să se aplice formula generală pentru găsirea mediei aritmetice. La urma urmei, există situații în care numărul și dimensiunea calculelor pot fi foarte mari. Prin urmare, ar fi mai înțelept să folosiți o formulă universală și să nu deduceți de fiecare dată o tehnologie individuală pentru calcularea acestei valori.
Principalul lucru în determinarea formulei este principiul calculului mediei aritmetice despre.
Acest principiu, așa cum s-a văzut din exemplele de mai sus, arată astfel:
- Numărul de numere care sunt specificate pentru a obține valoarea necesară este numărat. Această operațiune poate fi efectuată atât manual cu un număr mic de numere, cât și cu ajutorul tehnologiei informatice.
- Numerele selectate sunt însumate. Această operație în majoritatea situațiilor se realizează folosind tehnologia computerizată, deoarece numerele pot consta din două, trei sau mai multe cifre.
- Suma obținută prin adăugarea numerelor selectate trebuie împărțită la numărul acestora. Această valoare este determinată în etapa inițială a calculării mediei aritmetice.
Astfel, formula generală pentru calcularea mediei aritmetice a unei serii de numere selectate va arăta astfel:
(А+В+…+N)/N
Această formulă conține urmatoarele variabile:
A și B sunt numere care sunt alese în avans pentru a-și calcula media aritmetică.
N este numărul de numere care au fost luate pentru a calcula valoarea necesară.
Înlocuind numerele selectate în această formulă de fiecare dată, putem obține întotdeauna valoarea necesară a mediei aritmetice.
Așa cum se vede, aflarea mediei aritmetice este o procedură ușoară. Cu toate acestea, trebuie să fii atent la calcule și să verifici rezultatul obținut. Această abordare se explică prin faptul că, chiar și în cele mai simple situații, există posibilitatea de a obține o eroare, care poate afecta apoi calculele ulterioare. În acest sens, se recomandă utilizarea tehnologiei informatice capabile să facă calcule de orice complexitate.
Care este media aritmetică
Media aritmetică a mai multor valori este raportul dintre suma acestor valori și numărul lor.
Media aritmetică a unei anumite serii de numere se numește suma tuturor acestor numere, împărțită la numărul de termeni. Astfel, media aritmetică este valoarea medie a seriei de numere.
Care este media aritmetică a mai multor numere? Și ele sunt egale cu suma acestor numere, care este împărțită la numărul de termeni din această sumă.
Cum se găsește media aritmetică
Nu este nimic dificil în calcularea sau găsirea mediei aritmetice a mai multor numere, este suficient să adunăm toate numerele prezentate și să împărțiți suma rezultată la numărul de termeni. Rezultatul obținut va fi media aritmetică a acestor numere.
Să luăm în considerare acest proces mai detaliat. Ce trebuie să facem pentru a calcula media aritmetică și a obține rezultatul final al acestui număr.
În primul rând, pentru a-l calcula, trebuie să determinați un set de numere sau numărul acestora. Acest set poate include numere mari și mici, iar numărul lor poate fi orice.
În al doilea rând, toate aceste numere trebuie să fie adunate și să obțină suma lor. Desigur, dacă numerele sunt simple și numărul lor este mic, atunci calculele se pot face prin scriere de mână. Și dacă setul de numere este impresionant, atunci este mai bine să folosiți un calculator sau o foaie de calcul.
Și, în al patrulea rând, cantitatea obținută din adunare trebuie împărțită la numărul de numere. Ca rezultat, obținem rezultatul, care va fi media aritmetică a acestei serii.
Pentru ce înseamnă aritmetica?
Media aritmetică poate fi utilă nu numai pentru rezolvarea exemplelor și problemelor din lecțiile de matematică, ci și în alte scopuri necesare în viața de zi cu zi a unei persoane. Astfel de obiective pot fi calculul mediei aritmetice pentru a calcula cheltuiala medie a finanțelor pe lună, sau pentru a calcula timpul petrecut pe drum, tot pentru a afla prezența, productivitatea, viteza, productivitatea și multe altele.
Așa că, de exemplu, să încercăm să calculăm cât timp petreci cu naveta la școală. Mergând la școală sau întorcându-te acasă, petreci timp diferit pe drum de fiecare dată, pentru că atunci când ești grăbit, mergi mai repede și, prin urmare, drumul durează mai puțin. Dar, revenind acasă, poți merge încet, vorbind cu colegii de clasă, admirând natura și, prin urmare, va dura mai mult timp pentru drum.
Prin urmare, nu veți putea determina cu exactitate timpul petrecut pe drum, dar datorită mediei aritmetice, puteți afla aproximativ timpul petrecut pe drum.
Să presupunem că, în prima zi după weekend, ai petrecut cincisprezece minute pe drumul de acasă la școală, în a doua zi călătoria a durat douăzeci de minute, miercuri ai parcurs distanța în douăzeci și cinci de minute, în același timp ți-ai făcut drum joi, iar vineri nu te-ai grăbit și te-ai întors pentru o jumătate de oră.
Să găsim media aritmetică, adăugând timpul, pentru toate cele cinci zile. Asa de,
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Acum împărțiți această sumă la numărul de zile
Prin această metodă, ați învățat că călătoria de acasă la școală durează aproximativ douăzeci și trei de minute din timpul dumneavoastră.
Teme pentru acasă
1. Folosind calcule simple, găsiți media aritmetică a prezenței elevilor la clasă pe săptămână.
2. Aflați media aritmetică:
3. Rezolvați problema:
