Spre deosebire de oscilațiile libere, când sistemul primește o singură dată (când sistemul este scos din ), în cazul oscilațiilor forțate, sistemul absoarbe această energie dintr-o sursă de forță periodică externă în mod continuu. Această energie compensează pierderile cheltuite pentru depășire și, prin urmare, totalul nu rămâne neschimbat.

Vibrațiile forțate, spre deosebire de cele libere, pot apărea la orice frecvență. coincide cu frecvenţa forţei externe care acţionează asupra sistemului oscilator. Astfel, frecvența oscilațiilor forțate este determinată nu de proprietățile sistemului în sine, ci de frecvența influenței externe.

Exemple de vibrații forțate sunt vibrațiile unui leagăn pentru copii, vibrațiile unui ac într-o mașină de cusut, vibrațiile unui piston într-un cilindru de motor de automobile, vibrațiile arcurilor unei mașini care se deplasează pe un drum accidentat etc.

Rezonanţă

DEFINIȚIE

Rezonanţă- acesta este fenomenul de creștere bruscă a oscilațiilor forțate când frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a sistemului oscilator.

Rezonanța apare datorită faptului că la , forța externă, acționând în timp cu vibrații libere, are întotdeauna aceeași direcție față de corpul oscilant și face o muncă pozitivă: energia corpului oscilant crește și devine mare. Dacă forța externă acționează „nu la timp”, atunci această forță efectuează alternativ fie un lucru negativ, fie unul pozitiv și, ca urmare, energia sistemului se modifică nesemnificativ.

Figura 1 arată dependența amplitudinii oscilațiilor forțate de frecvența forței motrice. Se poate observa că această amplitudine atinge un maxim la o anumită valoare a frecvenței, adică. la , unde este frecvența naturală a sistemului oscilator. Curbele 1 și 2 diferă în mărimea forței de frecare. La frecare scăzută (curba 1), curba de rezonanță are un maxim ascuțit; la o forță de frecare mai mare (curba 2), nu există un astfel de maxim ascuțit.

Întâmpinăm adesea fenomenul rezonanței în viața de zi cu zi. Dacă geamurile tremurau în cameră când trecea un camion greu de-a lungul străzii, asta înseamnă că frecvența naturală a ferestrelor este egală cu frecvența mașinii. Dacă valurile mării sunt în rezonanță cu perioada navei, atunci tanajul devine deosebit de puternic.

Fenomenul de rezonanță trebuie luat în considerare la proiectarea podurilor, clădirilor și altor structuri care suferă vibrații sub sarcină, altfel, în anumite condiții, aceste structuri pot fi distruse. Cu toate acestea, rezonanța poate fi de asemenea utilă. Fenomenul de rezonanță este utilizat atunci când reglați un receptor radio la o anumită frecvență de difuzare, precum și în multe alte cazuri.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Exercițiu	La capătul arcului unui pendul orizontal, a cărui sarcină are o masă de 1 kg, acţionează o forţă variabilă, a cărei frecvenţă de oscilaţie este de 16 Hz. Se va observa rezonanța dacă viteza arcului este de 400 N/m.
Decizie	Să determinăm frecvența naturală a sistemului oscilator prin formula: Hz Deoarece frecvența forței externe nu este egală cu frecvența naturală a sistemului, fenomenul de rezonanță nu va fi observat.
Răspuns	Fenomenul de rezonanță nu va fi observat.

EXEMPLUL 2

Exercițiu	O minge mică este suspendată pe un fir de 1 m lungime de tavanul mașinii. Cu ce ​​viteză a mașinii va vibra mingea deosebit de puternic sub impactul roților asupra îmbinărilor șinei? Lungimea șinei 12,5 m.
Decizie	Mingea efectuează oscilații forțate cu o frecvență egală cu frecvența roților care lovesc articulațiile șinei: Dacă dimensiunile mingii sunt mici în comparație cu lungimea firului, atunci poate fi luat în considerare sistemul, a cărui frecvență naturală este: amplitudinea oscilaţiilor forţate neamortizate este maximă în cazul rezonanţei, adică. cand . Astfel se poate scrie:

Vibrațiile forțate se numesc astfel de vibrații care apar în sistem sub acțiunea unei forțe externe care se schimbă periodic, numită forță motrice.

Natura (dependența de timp) a forței motrice poate fi diferită. Poate fi o forță care se schimbă după o lege armonică. De exemplu, o undă sonoră, a cărei sursă este un diapazon, lovește timpanul sau membrana microfonului. O forță schimbătoare armonică a presiunii aerului începe să acționeze asupra membranei.

Forța motrice poate fi sub formă de șocuri sau impulsuri scurte. De exemplu, un adult balansează un copil pe un leagăn, împingându-l periodic în momentul în care leagănul ajunge într-una dintre pozițiile extreme.

Sarcina noastră este să aflăm cum reacționează sistemul oscilator la acțiunea unei forțe motrice care se schimbă periodic.

§ 1 Forţa motrice se modifică conform legii armonice

F cont = - rv xși forță motrice F out \u003d F 0 sin wt.

A doua lege a lui Newton se scrie ca:

Soluția ecuației (1) se caută sub forma , unde este soluția ecuației (1), dacă nu avea partea dreaptă. Se poate observa că fără partea dreaptă, ecuația se transformă în ecuația oscilațiilor amortizate cunoscută nouă, a cărei soluție o știm deja. Pentru o perioadă suficient de lungă, oscilațiile libere care apar în sistem atunci când acesta este scos din echilibru se vor stinge practic și doar al doilea termen va rămâne în soluția ecuației. Vom căuta această soluție în formular
Să grupăm diferit termenii:

Această egalitate trebuie să fie valabilă în orice moment t, ceea ce este posibil numai dacă coeficienții de la sinus și cosinus sunt egali cu zero.

Deci, corpul, asupra căruia acționează forța motrice, modificându-se conform legii armonice, face o mișcare oscilativă cu frecvența forței motrice.

Să examinăm mai detaliat problema amplitudinii oscilațiilor forțate:

1 Amplitudinea oscilațiilor forțate în regim de echilibru nu se modifică în timp. (Comparați cu amplitudinea oscilațiilor libere amortizate).

2 Amplitudinea oscilațiilor forțate este direct proporțională cu amplitudinea forței motrice.

3 Amplitudinea depinde de frecarea din sistem (A depinde de d, iar factorul de amortizare d, la rândul său, depinde de coeficientul de rezistență r). Cu cât frecarea în sistem este mai mare, cu atât amplitudinea oscilațiilor forțate este mai mică.

4 Amplitudinea oscilațiilor forțate depinde de frecvența forței motrice w. Cum? Studiem funcția A(w).

Când w = 0 (o forță constantă acționează asupra sistemului oscilator), deplasarea corpului rămâne neschimbată în timp (trebuie să ținem cont că aceasta se referă la starea staționară, când oscilațiile naturale aproape că s-au stins).

· Când w ® ¥, atunci, după cum este ușor de observat, amplitudinea A tinde spre zero.

· Evident, la o anumită frecvență a forței motrice, amplitudinea oscilațiilor forțate va lua cea mai mare valoare (pentru un d dat). Fenomenul de creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate la o anumită valoare a frecvenței forței motrice se numește rezonanță mecanică.

În mod interesant, factorul de calitate al sistemului oscilator în acest caz arată de câte ori amplitudinea rezonantă depășește deplasarea corpului din poziția de echilibru sub acțiunea unei forțe constante F 0 .

Vedem că atât frecvența de rezonanță, cât și amplitudinea de rezonanță depind de factorul de amortizare d. Pe măsură ce d scade la zero, frecvența de rezonanță crește și tinde spre frecvența oscilațiilor naturale ale sistemului w 0 . În acest caz, amplitudinea rezonanței crește și, la d = 0, se transformă la infinit. Desigur, în practică, amplitudinea oscilațiilor nu poate fi infinită, deoarece forțele de rezistență acționează întotdeauna în sistemele oscilatorii reale. Dacă sistemul are o amortizare scăzută, atunci aproximativ putem presupune că rezonanța are loc la frecvența oscilațiilor naturale:

unde în cazul luat în considerare este defazarea dintre forţa motrice şi deplasarea corpului din poziţia de echilibru.

Este ușor de observat că defazarea dintre forță și deplasare depinde de frecarea din sistem și de frecvența forței motrice externe. Această dependență este prezentată în figură. Se vede ca la< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- pozitiv.

Cunoscând dependența de unghi, se poate obține dependența de frecvența forței motrice.

La frecvențe ale forței externe care sunt semnificativ mai mici decât ale ei, deplasarea rămâne ușor în urma forței motrice în fază. Pe măsură ce frecvența forței externe crește, această întârziere de fază crește. La rezonanță (dacă este mică), defazarea devine egală cu . La >>, deplasarea și fluctuațiile de forță apar în antifază. O astfel de dependență poate părea ciudată la prima vedere. Pentru a înțelege acest fapt, să ne întoarcem la transformările energetice în procesul oscilațiilor forțate.

§ 2 Transformări energetice

După cum știm deja, amplitudinea oscilației este determinată de energia totală a sistemului oscilator. Anterior, s-a demonstrat că amplitudinea oscilațiilor forțate rămâne neschimbată în timp. Aceasta înseamnă că energia mecanică totală a sistemului oscilator nu se modifică în timp. De ce? La urma urmei, sistemul nu este închis! Două forțe - o forță externă care se schimbă periodic și o forță de rezistență - fac o activitate care ar trebui să modifice energia totală a sistemului.

Să încercăm să ne dăm seama care este problema. Puterea forței motrice externe poate fi găsită după cum urmează:

Vedem că puterea forței externe, care alimentează sistemul oscilator cu energie, este proporțională cu amplitudinea oscilației.

Datorită muncii forței de rezistență, energia sistemului oscilator ar trebui să scadă, transformându-se în energie internă. Puterea forței de rezistență:

Evident, puterea forței de tracțiune este proporțională cu pătratul amplitudinii. Să diagramăm ambele dependențe pe grafic.

Pentru ca oscilațiile să fie constante (amplitudinea nu se modifică în timp), munca forței exterioare de-a lungul perioadei trebuie să compenseze pierderile de energie ale sistemului datorate muncii forței de rezistență. Punctul de intersecție al graficelor de putere corespunde doar acestui mod. Imaginați-vă că din anumite motive amplitudinea oscilațiilor forțate a scăzut. Aceasta va duce la faptul că puterea instantanee a forței externe va fi mai mare decât puterea pierderilor. Aceasta va duce la o creștere a energiei sistemului oscilator, iar amplitudinea oscilației își va restabili valoarea anterioară.

În mod similar, se poate observa că, cu o creștere aleatorie a amplitudinii oscilației, puterea de pierdere va depăși puterea forței externe, ceea ce va duce la o scădere a energiei sistemului și, în consecință, la o scădere a amplitudinii. .

Să revenim la întrebarea defazării dintre deplasare și forța motrice la rezonanță. Am arătat deja că deplasarea rămâne în urmă, ceea ce înseamnă că forța este înaintea deplasării cu . Pe de altă parte, proiecția vitezei în procesul oscilațiilor armonice conduce întotdeauna coordonatele cu . Aceasta înseamnă că la rezonanță, forța motrice externă și viteza oscilează în aceeași fază. Deci sunt co-regizați în orice moment! Munca efectuată de forța externă este întotdeauna pozitivă în acest caz. toate merge pentru a umple sistemul oscilator cu energie.

§ 3 Acţiune periodică nesinusoidală

Oscilațiile forțate ale unui oscilator sunt posibile sub orice influență externă periodică și nu doar una sinusoidală. În acest caz, oscilațiile în regim staționar, în general, nu vor fi sinusoidale, ci vor reprezenta o mișcare periodică cu o perioadă egală cu perioada influenței externe.

O influență externă poate fi, de exemplu, împingeri succesive (amintiți-vă cum un adult „leagăn” un copil așezat pe un leagăn). Dacă perioada șocurilor externe coincide cu perioada oscilațiilor naturale, atunci în sistem poate apărea rezonanță. În acest caz, oscilațiile vor fi aproape sinusoidale. Energia transmisă sistemului la fiecare împingere completează energia totală a sistemului pierdută din cauza frecării. Este clar că, în acest caz, sunt posibile opțiuni: dacă energia transmisă în timpul împingerii este egală cu sau depășește pierderile prin frecare pentru perioada, atunci oscilațiile vor fi fie în stare constantă, fie amplitudinea lor va crește. Acest lucru se vede clar în diagrama de fază.

Este evident că rezonanța este posibilă și în cazul în care perioada de repetare a șocurilor este un multiplu al perioadei oscilațiilor naturale. Acest lucru este imposibil cu natura sinusoidală a influenței externe.

Pe de altă parte, chiar dacă frecvența șocului coincide cu frecvența naturală, rezonanța poate să nu fie observată. Dacă doar pierderea prin frecare pe perioadă depășește energia primită de sistem în timpul împingerii, atunci energia totală a sistemului va scădea și oscilațiile vor fi amortizate.

§ 4 Rezonanța parametrică

O influență externă asupra unui sistem oscilator poate fi redusă la o modificare periodică a parametrilor sistemului oscilator însuși. Oscilațiile excitate în acest fel se numesc parametrice, iar mecanismul în sine este numit rezonanță parametrică .

În primul rând, să încercăm să răspundem la întrebarea: este posibil să balansăm micile oscilații deja existente în sistem prin modificarea periodică a unora dintre parametrii acestuia într-un anumit fel.

De exemplu, luați în considerare balansarea unei persoane pe un leagăn. Prin îndoirea și îndreptarea picioarelor în momentele „necesare”, el schimbă de fapt lungimea pendulului. În pozițiile extreme, persoana se ghemuiește, coborând astfel ușor centrul de greutate al sistemului oscilator; în poziția de mijloc, persoana se îndreaptă, ridicând centrul de greutate al sistemului.

Pentru a înțelege de ce o persoană se balansează în același timp, luați în considerare un model extrem de simplificat al unei persoane pe un leagăn - un pendul mic obișnuit, adică o greutate mică pe un fir ușor și lung. Pentru a simula ridicarea și coborârea centrului de greutate, vom trece capătul superior al firului printr-un orificiu mic și vom trage firul în acele momente în care pendulul trece de poziția de echilibru și coborâm firul cu aceeași cantitate. când pendulul trece de poziţia extremă.

Lucrul forței de întindere a firului pentru perioada (ținând cont de faptul că sarcina este ridicată și coborâtă de două ori pe perioadă și că D l << l):

Vă rugăm să rețineți că între paranteze nu este altceva decât energia triplă a sistemului oscilator. Apropo, această valoare este pozitivă, prin urmare, munca forței de tensiune (munca noastră) este pozitivă, duce la o creștere a energiei totale a sistemului și, prin urmare, la balansarea pendulului.

Interesant este că modificarea relativă a energiei într-o perioadă nu depinde de faptul dacă pendulul se balansează slab sau puternic. Acest lucru este foarte important și iată de ce. Dacă pendulul „nu este pompat” cu energie, atunci pentru fiecare perioadă își va pierde o anumită parte din energie din cauza forței de frecare, iar oscilațiile se vor amortiza. Și pentru ca gama de oscilații să crească, este necesar ca energia dobândită să depășească energia pierdută pentru a depăși frecarea. Și această condiție, se pare, este aceeași - atât la o amplitudine mică, cât și la una mare.

De exemplu, dacă într-o perioadă energia oscilațiilor libere scade cu 6%, atunci pentru ca oscilațiile unui pendul de 1 m lungime să nu se umezească, este suficient să-i reduceți lungimea cu 1 cm în poziția de mijloc și să creșteți aceasta cu aceeași cantitate în poziție extremă.

Înapoi la leagăn: odată ce începi să te balansezi, nu este nevoie să te ghemuiești din ce în ce mai adânc - ghemuiește-te tot timpul la fel și vei zbura din ce în ce mai sus!

*** Bunătate din nou!

După cum am spus deja, pentru acumularea parametrică a oscilațiilor, este necesar să se îndeplinească condiția DE > A frecare pe perioadă.

Aflați lucrul forței de frecare pentru perioada

Se poate observa că valoarea relativă a ridicării pendulului pentru formarea sa este determinată de factorul de calitate al sistemului.

§ 5 Semnificația rezonanței

Vibrațiile forțate și rezonanța sunt utilizate pe scară largă în inginerie, în special în acustică, inginerie electrică și inginerie radio. Rezonanța, în primul rând, este folosită atunci când, dintr-un set mare de oscilații de frecvențe diferite, se doresc să selecteze oscilații de o anumită frecvență. Rezonanța este folosită și în studiul cantităților foarte slabe care se repetă periodic.

Cu toate acestea, în unele cazuri, rezonanța este un fenomen nedorit, deoarece poate duce la deformări mari și distrugerea structurilor.

§ 6 Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcina 1 Oscilații forțate ale unui pendul cu arc sub acțiunea unei forțe sinusoidale externe.

O sarcină cu masa m = 10 g a fost suspendată de un arc cu o rigiditate k = 10 N/m și sistemul a fost plasat într-un mediu vâscos cu un coeficient de rezistență r = 0,1 kg/s. Comparați frecvențele naturale și cele de rezonanță ale sistemului. Determinați amplitudinea oscilațiilor pendulului la rezonanță sub acțiunea unei forțe sinusoidale cu amplitudinea F 0 = 20 mN.

Decizie:

1 Frecvența naturală a unui sistem oscilant este frecvența oscilațiilor libere în absența frecării. Frecvența ciclică naturală este frecvența de oscilație.

2 Frecvența de rezonanță este frecvența forței motrice externe la care amplitudinea vibrațiilor forțate crește brusc. Frecvența ciclică de rezonanță este , unde coeficientul de atenuare este egal cu .

Astfel, frecvența de rezonanță este . Este ușor de observat că frecvența de rezonanță este mai mică decât a ei! De asemenea, se poate observa că cu cât frecarea în sistem (r) este mai mică, cu atât frecvența de rezonanță este mai apropiată de propria sa.

3 Amplitudinea rezonantei este

Sarcina 2 Amplitudinea rezonantei și factorul de calitate al unui sistem oscilator

O sarcină cu masa m = 100 g a fost suspendată de un arc cu o rigiditate k = 10 N/m și sistemul a fost plasat într-un mediu vâscos cu coeficient de rezistență.

r = 0,02 kg/s. Determinați factorul de calitate al sistemului oscilator și amplitudinea oscilațiilor pendulului la rezonanță sub acțiunea unei forțe sinusoidale cu amplitudinea F 0 = 10 mN. Aflați raportul dintre amplitudinea rezonantei și deplasarea statică sub acțiunea unei forțe constante F 0 = 20 mN și comparați acest raport cu factorul de calitate.

Decizie:

1 Factorul de calitate al sistemului oscilator este , unde este decrementul de amortizare logaritmică.

Decrementul de amortizare logaritmică este .

Găsim factorul de calitate al sistemului oscilator.

2 Amplitudinea rezonantei este

3 Deplasarea statică sub acţiunea unei forţe constante F 0 = 10 mN este .

4 Raportul dintre amplitudinea rezonantei și deplasarea statică sub acțiunea unei forțe constante F 0 este egal cu

Este ușor de observat că acest raport coincide cu factorul de calitate al sistemului oscilator

Sarcina 3 Vibrațiile de rezonanță ale unui fascicul

Sub influența greutății motorului electric, rezervorul cantilever, pe care este instalat, s-a îndoit de . La ce număr de rotații ale armăturii motorului poate exista pericolul de rezonanță?

Decizie:

1 Corpul motorului și grinda pe care este instalat suferă șocuri periodice din partea armăturii rotative a motorului și, prin urmare, efectuează oscilații forțate cu frecvența șocurilor.

Se va observa rezonanța atunci când frecvența de repetare a șocurilor coincide cu frecvența naturală de oscilație a fasciculului cu motorul. Este necesar să se găsească frecvența naturală de oscilație a sistemului fascicul-motor.

2 Un analog al fasciculului sistemului oscilant - motor poate fi un pendul cu arc vertical, a cărui masă este egală cu masa motorului. Frecvența naturală de oscilație a pendulului cu arc este . Dar nu se cunosc rigiditatea arcului și masa motorului! Cum să fii?

3 În poziția de echilibru a pendulului cu arc, forța de gravitație a sarcinii este echilibrată de forța de elasticitate a arcului

4 Găsim rotația armăturii motorului, adică. frecvența șocurilor

Problema 4 Oscilații forțate ale unui pendul cu arc sub acțiunea șocurilor periodice.

O greutate cu masa m = 0,5 kg este suspendată de un arc elicoidal cu rigiditatea k = 20 N/m. Scăderea de amortizare logaritmică a sistemului oscilator este . Ei vor să balanseze greutatea cu smucituri scurte, acționând asupra greutății cu o forță F = 100 mN pentru un timp τ = 0,01 s. Care ar trebui să fie frecvența de repetare a impacturilor pentru ca amplitudinea kettlebell-ului să fie cea mai mare? În ce momente și în ce direcție trebuie împins kettlebell-ul? Până la ce amplitudine va fi posibilă balansarea kettlebell-ului în acest fel?

Decizie:

1 Vibrațiile forțate pot apărea cu orice acțiune periodică. În acest caz, oscilația constantă va avea loc cu rata de repetare a acțiunii externe. Dacă perioada șocurilor externe coincide cu frecvența oscilațiilor naturale, atunci are loc rezonanța în sistem - amplitudinea oscilațiilor devine cea mai mare. În cazul nostru, pentru declanșarea rezonanței, perioada de repetare a șocurilor trebuie să coincidă cu perioada de oscilație a pendulului cu arc.

Scăderea logaritmică de amortizare este mică, prin urmare, există o frecare mică în sistem, iar perioada de oscilație a pendulului într-un mediu vâscos coincide practic cu perioada de oscilație a pendulului în vid:

2 Evident, direcția șocurilor trebuie să coincidă cu viteza kettlebell-ului. În acest caz, munca forței externe care umple sistemul cu energie va fi pozitivă. Și vibrațiile se vor legăna. Energia primită de sistem în timpul impactului

va fi mai mare atunci când sarcina trece de poziția de echilibru, deoarece în această poziție viteza pendulului este maximă.

Deci, sistemul se va oscila cel mai repede sub acțiunea șocurilor în direcția de mișcare a sarcinii atunci când aceasta trece de poziția de echilibru.

3 Amplitudinea oscilației încetează să crească atunci când energia transmisă sistemului în timpul impactului va fi egală cu pierderea de energie datorată frecării pe perioada: .

Găsim pierderea de energie pentru perioada prin factorul de calitate al sistemului oscilator

unde E este energia totală a sistemului oscilator, care poate fi calculată ca .

Inlocuim in locul energiei pierderilor energia primita de sistem in timpul impactului:

Viteza maximă în timpul oscilației este . Având în vedere acest lucru, obținem .

§7 Sarcini pentru soluție independentă

Testul „Vibrații forțate”

1 Ce vibrații se numesc forțate?

A) Oscilații care apar sub acțiunea forțelor externe care se schimbă periodic;

B) Oscilații care apar în sistem după o împingere externă;

2 Care dintre următoarele oscilații este forțată?

A) Oscilația unei sarcini suspendate de un arc după o singură abatere a acesteia de la poziția de echilibru;

B) Vibrația difuzorului difuzorului în timpul funcționării receptorului;

C) Oscilatia unei sarcini suspendate de un arc dupa un singur impact asupra sarcinii in pozitie de echilibru;

D) Vibrația corpului motorului electric în timpul funcționării acestuia;

E) Vibrații ale membranei timpanice a unei persoane care ascultă muzică.

3 Un sistem oscilator cu o frecvență naturală este afectat de o forță motrice externă care se modifică conform legii. Coeficientul de amortizare în sistemul oscilator este . După ce lege se schimbă coordonatele corpului în timp?

C) Amplitudinea oscilațiilor forțate va rămâne neschimbată, deoarece pierderile de energie ale sistemului datorate frecării vor fi compensate de câștigul de energie datorat muncii forței motrice externe.

5 Sistemul efectuează oscilații forțate sub acțiunea unei forțe sinusoidale. Specifica toate factori de care depinde amplitudinea acestor oscilaţii.

A) Din amplitudinea forței motrice externe;

B) Prezența unui sistem oscilator de energie în momentul începerii acțiunii unei forțe externe;

C) Parametrii sistemului oscilator propriu-zis;

D) Frecarea in sistemul oscilator;

E) Existenta oscilatiilor naturale in sistem in momentul in care forta externa incepe sa actioneze;

E) Timpul de stabilire a oscilaţiilor;

G) Frecvențele forței motrice externe.

6 O bară de masă m efectuează oscilații armonice forțate de-a lungul unui plan orizontal cu perioada T și amplitudine A. Coeficientul de frecare μ. Ce lucru este efectuat de forța motrice externă într-un timp egal cu perioada T?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; C) μmgA; D) 0;

E) Nu se poate da un răspuns, deoarece mărimea forței motrice externe nu este cunoscută.

7 Faceți o afirmație corectă

Rezonanta este fenomenul...

A) Coincidența frecvenței forței externe cu frecvența naturală a sistemului oscilator;

B) O creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate.

Rezonanța este observată în condiție

A) Reducerea frecării în sistemul oscilator;

B) Creșterea amplitudinii forței motrice externe;

C) Coincidența frecvenței forței externe cu frecvența naturală a sistemului oscilator;

D) Când frecvenţa forţei externe coincide cu frecvenţa de rezonanţă.

8 Fenomenul de rezonanță poate fi observat în...

A) În orice sistem oscilator;

B) Într-un sistem care efectuează oscilații libere;

C) Într-un sistem auto-oscilator;

D) Într-un sistem care efectuează oscilații forțate.

9 Figura prezintă un grafic al dependenței amplitudinii oscilațiilor forțate de frecvența forței motrice. Rezonanța are loc la o frecvență...

10 Trei pendule identice în medii vâscoase diferite efectuează oscilații forțate. Figura prezintă curbele de rezonanță pentru aceste pendule. Care dintre pendule experimentează cea mai mare rezistență din partea mediului vâscos în procesul de oscilație?

A) 1; B) 2; IN 3;

D) Nu se poate da un răspuns, deoarece amplitudinea oscilațiilor forțate, pe lângă frecvența forței externe, depinde și de amplitudinea acesteia. Condiția nu spune nimic despre amplitudinea forței motrice externe.

11 Perioada vibraţiilor naturale ale sistemului oscilator este egală cu T 0 . Care poate fi perioada de repetare a șocurilor, astfel încât amplitudinea oscilațiilor să crească brusc, adică să aibă loc o rezonanță în sistem?

A) T0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Puteți balansa leagănul cu împingeri de orice frecvență.

12 Fratele tău mai mic stă pe un leagăn, îl legăni cu împingeri scurte. Care ar trebui să fie perioada de replici pentru ca procesul să decurgă cât mai eficient? Perioada oscilaţiilor naturale ale oscilaţiei T 0 .

D) Puteți balansa leagănul cu împingeri de orice frecvență.

13 Frățiorul tău stă pe un leagăn, îl legăni cu împingeri scurte. În ce poziție a balansării trebuie făcută împingerea și în ce direcție trebuie făcută împingerea pentru ca procesul să se desfășoare cât mai eficient?

A) Împingeți în poziția superioară extremă a leagănului în direcția poziției de echilibru;

B) Împingeți în poziția superioară extremă a leagănului în direcția de la poziția de echilibru;

B) Împingeți în poziție de echilibru în direcția de mișcare a leagănului;

D) Puteți împinge în orice poziție, dar întotdeauna în direcția balansării.

14 S-ar părea că trăgând dintr-o praștie la pod în timp cu propriile vibrații și făcând o mulțime de lovituri, poate fi zguduit puternic, dar este puțin probabil ca acest lucru să reușească. De ce?

A) Masa podului (inerția sa) este mare în comparație cu masa „glonțului” de la praștie, podul nu se va putea deplasa sub influența unor astfel de lovituri;

B) Forța de impact a „glonțului” de la praștie este atât de mică încât podul nu se va putea deplasa sub influența unor astfel de impacturi;

C) Energia transmisă punții într-o singură lovitură este mult mai mică decât pierderea de energie din cauza frecării pe parcursul perioadei.

15 Cărați o găleată cu apă. Apa din găleată se leagănă și stropește. Ce se poate face pentru a preveni acest lucru?

A) Agitarea mâinii în care se află găleata în timp cu mersul;

B) Modificați viteza de mișcare, lăsând neschimbată lungimea pașilor;

C) Opriți-vă periodic și așteptați ca vibrațiile apei să se calmeze;

D) Asigurați-vă că în timpul deplasării mâna cu găleată este amplasată strict vertical.

Sarcini

1 Sistemul efectuează oscilații amortizate cu o frecvență de 1000 Hz. Determinați frecvența v0 vibrații naturale, dacă frecvența de rezonanță

2 Stabiliți cât de mult D v frecvența de rezonanță este diferită de frecvența naturală v0= 1000 Hz a unui sistem oscilator caracterizat printr-un coeficient de amortizare d = 400s -1 .

3 O masă de 100 g, suspendată pe un arc de rigiditate 10 N/m, execută oscilații forțate într-un mediu vâscos cu un coeficient de rezistență r = 0,02 kg/s. Determinați factorul de amortizare, frecvența de rezonanță și amplitudinea. Valoarea amplitudinii forței motrice este de 10 mN.

4 Amplitudinile oscilațiilor armonice forțate la frecvențele w 1 = 400 s -1 și w 2 = 600 s -1 sunt egale între ele. Determinați frecvența de rezonanță.

5 Camioanele intra într-un depozit de cereale pe un drum de pământ dintr-o parte, descarcă și ies din depozit cu aceeași viteză, dar pe cealaltă parte. Care parte a depozitului are mai multe gropi în drum decât cealaltă? Cum se stabilește din ce parte a depozitului intrarea și ce ieșire sunt determinate de starea drumului? Justificați răspunsul dvs

În această lecție, toată lumea va putea studia tema „Transformarea energiei în timpul mișcării oscilatorii. vibrații amortizate. Vibrații forțate. În această lecție, vom lua în considerare ce fel de transformare a energiei are loc în timpul mișcării oscilatorii. Pentru a face acest lucru, vom efectua un experiment important cu un sistem de pendul cu arc orizontal. Vom discuta, de asemenea, probleme legate de oscilațiile amortizate și oscilațiile forțate.

Lecția este dedicată subiectului „Conversia energiei în timpul mișcării oscilatorii”. În plus, vom lua în considerare problema legată de oscilațiile amortizate și forțate.

Să cunoaștem această întrebare cu următorul experiment important. Un corp este atașat de arc, care poate oscila orizontal. Un astfel de sistem se numește pendul cu arc orizontal. În acest caz, efectul gravitației poate fi ignorat.

Orez. 1. Pendul cu arc orizontal

Vom presupune că în sistemul forțelor de frecare nu există forțe de rezistență. Când acest sistem este în echilibru și nu are loc nicio oscilație, viteza corpului este 0 și nu există nicio deformare a arcului. În acest caz, acest pendul nu are energie. Dar de îndată ce corpul este deplasat față de punctul de echilibru la dreapta sau la stânga, în acest caz vom face munca de comunicare a energiei în acest sistem oscilator. Ce se întâmplă în acest caz? Se întâmplă următoarele: arcul este deformat, lungimea acestuia se modifică. Oferim primăverii energie potențială. Dacă acum eliberați sarcina, nu o țineți, atunci aceasta va începe să se miște spre poziția de echilibru, arcul va începe să se îndrepte și deformarea arcului va scădea. Viteza corpului va crește, iar conform legii conservării energiei, energia potențială a arcului va fi convertită în energia cinetică a mișcării corpului.

Orez. 2. Etapele oscilației unui pendul cu arc

Deformare∆x al arcului se determină astfel: ∆x = x 0 - x. Având în vedere deformarea, putem spune că toată energia potențială este stocată în primăvară: .

În timpul oscilațiilor, energia potențială este constant convertită în energia cinetică a barei: .

De exemplu, când bara trece de punctul de echilibru x 0 , deformarea arcului este 0, adică. ∆x=0, prin urmare, energia potențială a arcului este 0 și toată energia potențială a arcului s-a transformat în energia cinetică a barei: E p (în punctul B) \u003d E k (în punctul A). Sau .

Ca rezultat al acestei mișcări, energia potențială este transformată în energie cinetică. Apoi intră în joc așa-numitul fenomen al inerției. Un corp care are o anumită masă, prin inerție, trece de punctul de echilibru. Viteza corpului începe să scadă, iar deformarea, alungirea arcului crește. Se poate concluziona că energia cinetică a corpului scade, iar energia potențială a izvorului începe să crească din nou. Putem vorbi despre transformarea energiei cinetice în potențial.

Când corpul se oprește în sfârșit, viteza corpului va fi egală cu 0, iar deformarea arcului va deveni maximă, în acest caz putem spune că toată energia cinetică a corpului s-a transformat în energia potențială a arcului. . În viitor, totul se repetă de la început. Dacă o condiție este îndeplinită, un astfel de proces va avea loc continuu. Care este această condiție? Această condiție este absența frecării. Dar forța de frecare, forța de rezistență este prezentă în orice sistem. Prin urmare, cu fiecare mișcare ulterioară a pendulului, apar pierderi de energie. Se lucrează pentru a depăși forța de frecare. Forța de frecare față de legea lui Coulomb - Amonton: F TP \u003d μ.N.

Apropo de oscilații, trebuie să ne amintim întotdeauna că forța de frecare duce la faptul că treptat toată energia stocată într-un sistem oscilator dat este convertită în energie internă. Ca urmare, oscilațiile se opresc, iar odată ce oscilațiile se opresc, atunci astfel de oscilații se numesc amortizate.

vibrații amortizate - vibrații, a căror amplitudine scade datorită faptului că energia sistemului oscilator este cheltuită pentru depășirea forțelor de rezistență și a forțelor de frecare.

Orez. 3. Graficul oscilațiilor amortizate

Următorul tip de oscilații pe care îl vom lua în considerare, așa-numitele. vibratii fortate. Vibrații forțate numite astfel de vibrații care apar sub acțiunea unei forțe externe periodice care acționează asupra unui sistem oscilator dat.

Dacă pendulul oscilează, atunci pentru ca aceste oscilații să nu se oprească, de fiecare dată asupra pendulului trebuie să acționeze o forță externă. De exemplu, acționăm asupra pendulului cu propria noastră mână, îl facem să se miște, îl împingem. Este imperativ să acționați cu o oarecare forță și să compensați pierderea de energie. Deci, vibrațiile forțate sunt acele vibrații care apar sub acțiunea unei forțe motrice externe. Frecvența unor astfel de oscilații va coincide cu frecvența forței care acționează extern. Când o forță externă începe să acționeze asupra pendulului, se întâmplă următoarele: la început, oscilațiile vor avea o amplitudine mică, dar treptat această amplitudine va crește. Și când amplitudinea capătă o valoare constantă, frecvența de oscilație capătă și o valoare constantă, se spune că astfel de oscilații au fost stabilite. S-au stabilit oscilații forțate.

stabilit vibratii fortate compensa pierderea de energie tocmai datorată muncii unei forțe motrice externe.

Rezonanţă

Există un fenomen foarte important care este destul de des observat în natură și tehnologie. Acest fenomen se numește rezonanță. „Rezonanță” este un cuvânt latin și este tradus în rusă ca „răspuns”. Rezonanţă (din lat.resono - „răspund”) - fenomenul de creștere a amplitudinii oscilațiilor forțate ale sistemului, care apare atunci când frecvența acțiunii exterioare a forței se apropie de frecvența oscilației naturale a pendulului sau a acestui sistem oscilator. .

Dacă există un pendul care are propria lungime, masă sau rigiditate a arcului, atunci acest pendul are propriile oscilații, care se caracterizează prin frecvență. Dacă o forță motrice externă începe să acționeze asupra acestui pendul și frecvența acestei forțe începe să se apropie de frecvența naturală a pendulului (coincide cu aceasta), atunci are loc o creștere bruscă a amplitudinii oscilației. Acesta este fenomenul rezonanței.

Ca urmare a unui astfel de fenomen, oscilațiile pot fi atât de mari încât corpul, sistemul oscilator însuși, se va prăbuși. Există un caz cunoscut când o linie de soldați care treceau peste pod, ca urmare a unui astfel de fenomen, pur și simplu a prăbușit podul. Un alt caz când, ca urmare a mișcării maselor de aer, a rafale de vânt suficient de puternice, un pod s-a prăbușit în Statele Unite. Acesta este, de asemenea, un fenomen de rezonanță. Oscilațiile podului, vibrațiile proprii, au coincis cu frecvența rafalelor de vânt, forța motrice externă. Acest lucru a făcut ca amplitudinea să crească atât de mult încât podul s-a prăbușit.

Ei încearcă să țină cont de acest fenomen atunci când proiectează structuri și mecanisme. De exemplu, atunci când un tren este în mișcare, se pot întâmpla următoarele. Dacă un vagon se mișcă și acest vagon începe să se balanseze în ritmul mișcării sale, atunci amplitudinea oscilațiilor poate crește atât de mult încât vagonul poate deraia. Va fi un accident. Pentru a caracteriza acest fenomen se folosesc curbe, care se numesc rezonante.

Orez. 4. Curba de rezonanță. Vârful curbei - amplitudine maximă

Desigur, rezonanța nu este doar combătută, ci și folosită. Este folosit mai ales în acustică. Acolo unde există un auditoriu, o sală de teatru, o sală de concerte, trebuie să ținem cont de fenomenul de rezonanță.

Lista literaturii suplimentare:

Sunteți familiarizat cu rezonanța? // Quantum. - 2003. - Nr 1. - P. 32-33 Fizica: Mecanica. Nota 10: Proc. pentru studiul aprofundat al fizicii / M.M. Balashov, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky și alții; Ed. G.Ya. Miakishev. - M.: Bustard, 2002. Manual elementar de fizică. Ed. G.S. Landsberg, T. 3. - M., 1974

Să ne întoarcem din nou la Figura 53. Deplasând mingea din punctul O (poziția de echilibru) în punctul B, întindem arcul. În același timp, lucrăm pentru a depăși forța elasticității sale, datorită căreia arcul dobândește energie potențială. Dacă acum eliberăm bila, atunci pe măsură ce se apropie de punctul O, deformarea arcului și energia potențială a pendulului vor scădea, în timp ce viteza și energia cinetică vor crește.

Să presupunem că pierderile de energie pentru a depăși forțele de frecare în timpul mișcării pendulului sunt neglijabil de mici. Apoi, conform legii conservării energiei, energia mecanică totală a pendulului (adică, E p + E k) în orice moment poate fi considerată aceeași și egală cu energia potențială pe care am impartit-o inițial arcului, întinzându-se. aceasta pe lungimea segmentului OB. În acest caz, pendulul ar putea oscila un timp arbitrar lung cu o amplitudine constantă egală cu OB.

Acesta ar fi cazul dacă nu ar exista pierderi de energie în timpul mișcării.

Dar, în realitate, există întotdeauna o pierdere de energie. Energia mecanică este cheltuită, de exemplu, pentru a efectua lucrări pentru a depăși forțele de rezistență a aerului, în timp ce trece în energie internă. Amplitudinea oscilațiilor scade treptat, iar după un timp oscilațiile se opresc. Astfel de oscilații se numesc amortizate (Fig. 66).

Orez. 66. Grafice ale dependenței de timp a amplitudinii oscilațiilor libere care apar în apă și în aer

Cu cât forța de rezistență la mișcare este mai mare, cu atât oscilațiile se opresc mai repede. De exemplu, în apă, oscilațiile se degradează mai repede decât în ​​aer (Fig. 66, a, b).

Până acum, am luat în considerare oscilațiile libere, adică oscilațiile care apar datorită rezervei inițiale de energie.

Oscilațiile libere sunt întotdeauna amortizate, deoarece întreaga sursă de energie transmisă inițial sistemului oscilator merge în cele din urmă să funcționeze pentru a depăși forțele de frecare și rezistență ale mediului (adică, energia mecanică este convertită în energie internă). Prin urmare, vibrațiile libere nu au aproape nicio aplicație practică.

Pentru ca oscilațiile să nu fie amortizate, este necesar să se reînnoiască pierderile de energie pentru fiecare perioadă de oscilații. Acest lucru se poate realiza acționând asupra unui corp oscilant cu o forță care se schimbă periodic. De exemplu, de fiecare dată când împingeți leagănul în ritmul oscilațiilor lor, vă puteți asigura că oscilațiile nu se estompează.

• Oscilațiile efectuate de un corp sub acțiunea unei forțe externe care se schimbă periodic se numesc vibrații forțate.

Forța externă care se schimbă periodic care provoacă aceste oscilații se numește forță convingătoare.

Dacă o forță motrice care se schimbă periodic începe să acționeze asupra unui leagăn în repaus, atunci pentru o perioadă de timp amplitudinea oscilațiilor forțate ale leagănului va crește, adică amplitudinea fiecărei oscilații ulterioare va fi mai mare decât cea anterioară. Creșterea amplitudinii se va opri atunci când energia pierdută de balansare pentru a depăși forța de frecare devine egală cu energia primită de ei din exterior (datorită muncii forței motrice).

În cele mai multe cazuri, frecvența constantă a oscilațiilor forțate nu este stabilită imediat, ci la ceva timp după începerea acestora.

Când amplitudinea și frecvența oscilațiilor forțate încetează să se schimbe, se spune că oscilațiile s-au stabilit.

Frecvența oscilațiilor forțate constante este egală cu frecvența forței motrice.

Oscilațiile forțate pot fi efectuate chiar și de corpuri care nu sunt sisteme oscilatoare, de exemplu, un ac de mașină de cusut, pistoanele într-un motor cu ardere internă și multe altele. Oscilațiile unor astfel de corpuri apar și cu frecvența forței motrice.

Oscilațiile forțate sunt neamortizate. Ele apar atâta timp cât forța motrice este în vigoare.

Întrebări

1. Ce se poate spune despre energia mecanică totală a unui pendul oscilant în orice moment de timp, dacă presupunem că nu există pierderi de energie? După ce lege se poate afirma acest lucru?
2. Cum se modifică în timp amplitudinea oscilațiilor libere care apar în condiții reale? Care este motivul acestei schimbări?
3. Unde se va opri mai repede balansul pendulului - în aer sau în apă? De ce? (Alimentarea inițială de energie este aceeași în ambele cazuri.)
4. Pot fi neamortizate oscilațiile libere? De ce? Ce trebuie făcut pentru ca oscilațiile să fie neamortizate?
5. Ce se poate spune despre frecvența oscilațiilor forțate în regim de echilibru și frecvența forței motrice?
6. Pot corpurile care nu sunt sisteme oscilatorii să efectueze oscilații forțate? Dă exemple.
7. Cât durează oscilațiile forțate?

Exercițiul 25

Pierderea energiei mecanice în orice sistem oscilator din cauza prezenței forțelor de frecare este inevitabilă, prin urmare, fără „pomparea” energiei din exterior, oscilațiile vor fi amortizate. Există mai multe moduri fundamental diferite de a crea sisteme oscilatorii de oscilații neamortizate. Să aruncăm o privire mai atentă la oscilații neamortizate sub acțiunea unei forțe periodice externe. Astfel de oscilații se numesc forțate. Să continuăm studiul mișcării unui pendul armonic (Fig. 6.9).

Pe lângă forțele elastice considerate anterior și frecarea vâscoasă, mingea este acționată de un exterior convingătoare forţă periodică care variază după legea armonică

frecvența, care poate diferi de frecvența naturală a pendulului ω o. Natura acestei forțe nu este importantă pentru noi în acest caz. O astfel de forță poate fi creată în diferite moduri, de exemplu, prin transmiterea unei sarcini electrice mingii și plasarea acesteia într-un câmp electric alternativ extern. Ecuația de mișcare a mingii în cazul în cauză are forma

O împărțim la masa mingii și folosim notația anterioară pentru parametrii sistemului. Drept urmare, obținem ecuația vibrațiilor forțate:

Unde f o = F o /m este raportul dintre valoarea amplitudinii forței motrice externe și masa mingii. Soluția generală a ecuației (3) este destul de greoaie și, desigur, depinde de  condițiile inițiale. Natura mișcării mingii, descrisă de ecuația (3), este de înțeles: sub acțiunea forței motrice, apar oscilații, a căror amplitudine va crește. Acest regim de tranziție este destul de complicat și depinde de condițiile inițiale. După o anumită perioadă de timp se va stabili regimul oscilator, amplitudinea acestora va înceta să se mai modifice. Exact oscilație în regim staționar, în multe cazuri este de interes primordial. Nu vom lua în considerare trecerea sistemului la o stare de echilibru, ci ne vom concentra pe descrierea și studiul caracteristicilor acestui regim. Cu o astfel de enunțare a problemei, nu este nevoie să se stabilească condițiile inițiale , deoarece regimul de stare staționară care ne interesează nu depinde de condițiile inițiale, caracteristicile sale sunt complet determinate de ecuația însăși. Am întâlnit o situație similară când am studiat mișcarea unui corp sub acțiunea unei forțe externe constante și a forței de frecare vâscoasă.

După ceva timp, corpul se mișcă cu o viteză constantă v = F o /β , care nu depinde de condițiile inițiale și este complet determinată de ecuația mișcării. Condițiile inițiale determină regimul de tranziție la mișcare constantă. Pe baza bunului simț, este rezonabil să presupunem că, în modul de oscilație în regim de echilibru, mingea va oscila cu frecvența forței motrice externe. Prin urmare, soluția ecuației (3) trebuie căutată într-o funcție armonică cu frecvența forței motrice. În primul rând, rezolvăm ecuația (3), neglijând forța de rezistență

Să încercăm să-i găsim soluția sub forma unei funcții armonice

Pentru a face acest lucru, calculăm dependențele vitezei și accelerației corpului în timp, ca derivate ale legii mișcării.

și înlocuiți valorile lor în ecuația (4)

Acum poți tăia la cosωt. Prin urmare, această expresie se transformă într-o adevărată identitate în orice moment, cu condiția ca condiția

Astfel, ipoteza noastră despre soluția ecuației (4) în forma (5)  a fost justificată: modul de oscilație în regim staționar este descris de funcția

Rețineți că coeficientul A conform expresiei (6) obținută, aceasta poate fi atât pozitivă (pentru ω < ω o) și negativ (pentru ω > ω o). Schimbarea semnului corespunde unei modificări a fazei de oscilație prin π (motivul unei astfel de modificări va fi clarificat puțin mai târziu), prin urmare, amplitudinea oscilațiilor este modulul acestui coeficient |A|. Amplitudinea oscilațiilor constante, așa cum era de așteptat, este proporțională cu mărimea forței motrice. În plus, această amplitudine depinde într-un mod complex de frecvența forței motrice. O diagramă schematică a acestei dependențe este prezentată în Fig. 6.10

Orez. 6.10 Curba de rezonanță

După cum rezultă din formula (6) și se vede clar pe grafic, pe măsură ce frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a sistemului, amplitudinea crește brusc. Motivul unei astfel de creșteri a amplitudinii este clar: forța motrice „în timp” împinge mingea, cu coincidența completă a frecvențelor, starea de echilibru este absentă - amplitudinea crește la infinit. Desigur, în practică, o astfel de creștere infinită este imposibil de observat: În primul rând, acest lucru poate duce la distrugerea sistemului oscilator în sine, În al doilea rând, la amplitudini mari de oscilatie, fortele de rezistenta ale mediului nu pot fi neglijate. O creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate pe măsură ce frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a oscilațiilor sistemului se numește fenomen de rezonanță. Să trecem acum la căutarea unei soluții la ecuația oscilațiilor forțate, ținând cont de forța de rezistență

Desigur, și în acest caz, soluția trebuie căutată sub forma  unei funcții armonice cu frecvența forței motrice. Este ușor de observat că căutarea unei soluții în forma (5) în acest caz nu va duce la succes. Într-adevăr, ecuația (8), spre deosebire de ecuația (4), conține viteza particulelor, care este descrisă de funcția sinus. Prin urmare, partea de timp din ecuația (8) nu va fi redusă. Prin urmare, soluția ecuației (8) ar trebui reprezentată sub forma generală a unei funcții armonice

în care doi parametri A oși φ trebuie găsit folosind ecuația (8). Parametru A o este amplitudinea oscilațiilor forțate, φ − defazare între coordonatele în schimbare și forța motrice variabilă. Folosind formula trigonometrică pentru cosinusul sumei, funcția (9) poate fi reprezentată sub forma echivalentă

care contine si doi parametri B=A o cosφși C = −A o sinφ a fi determinat. Folosind funcția (10), scriem expresii explicite pentru dependențele vitezei și accelerației particulei în timp.

și înlocuiți în ecuația (8):

Să rescriem această expresie ca

Pentru ca egalitatea (13) să se țină în orice moment , este necesar ca coeficienții la cosinus și sinus să fie egali cu zero. Pe baza acestei condiții, obținem două ecuații liniare pentru determinarea parametrilor funcției (10):

Soluția acestui sistem de ecuații are forma

Pe baza formulei (10), determinăm caracteristicile oscilațiilor forțate: amplitudinea

schimbare de fază

La amortizare scăzută, această dependență are un maxim ascuțit atunci când frecvența forței motrice se apropie ω la frecvenţa naturală a sistemului ω o. Astfel, în acest caz, poate apărea și rezonanța; prin urmare, dependențele construite sunt adesea numite curbă de rezonanță. Luarea în considerare a atenuării slabe arată că amplitudinea nu crește la infinit, valoarea sa maximă depinde de coeficientul de atenuare - pe măsură ce acesta din urmă crește, amplitudinea maximă scade rapid. Dependența rezultată a amplitudinii oscilației de frecvența forței de antrenare (16) conține prea mulți parametri independenți ( f o , ω o , γ ) pentru a construi o familie completă de curbe de rezonanță. Ca în multe cazuri, această dependență poate fi simplificată semnificativ prin trecerea la variabile „adimensionale”. Să transformăm formula (16) în următoarea formă

si denota

− frecvența relativă (raportul dintre frecvența forței motrice și frecvența naturală a oscilațiilor sistemului);

− amplitudinea relativă (raportul dintre amplitudinea oscilațiilor și mărimea abaterii A o = f/ω o 2 la frecvență zero);

este un parametru adimensional care determină cantitatea de atenuare. Folosind aceste notații, funcția (16) este mult simplificată

întrucât conţine un singur parametru − δ . O familie cu un parametru de curbe de rezonanță descrise de funcția  (16 b) poate fi construită, mai ales cu ușurință cu ajutorul unui calculator. Rezultatul unei astfel de construcții este prezentat în Fig. 629.

orez. 6.11

Rețineți că trecerea la unitățile de măsură „obișnuite” poate fi efectuată printr-o modificare elementară a scării axelor de coordonate. De remarcat că frecvența forței motrice, la care amplitudinea  oscilațiilor forțate este maximă, depinde și de coeficientul de amortizare, ușor descrescând odată cu creșterea acestuia din urmă. În sfârșit, subliniem că o creștere a coeficientului de amortizare duce la o creștere semnificativă a lățimii curbei de rezonanță. Defazajul rezultat între oscilațiile punctului și forța motrice depinde, de asemenea, de frecvența oscilațiilor și de coeficientul lor de atenuare. Ne vom familiariza cu rolul acestei schimbări de fază mai detaliat atunci când luăm în considerare transformarea energiei în procesul de oscilații forțate.

frecvența oscilațiilor libere neamortizate coincide cu frecvența naturală, frecvența oscilațiilor amortizate este puțin mai mică decât frecvența naturală, iar frecvența oscilațiilor forțate coincide cu frecvența forței motrice și nu cu frecvența naturală.

Oscilații electromagnetice forțate

obligat numite astfel de oscilații care apar în sistemul oscilator sub influența influenței periodice externe.

Fig.6.12. Circuit cu oscilații electrice forțate

Luați în considerare procesele care au loc într-un circuit oscilator electric ( fig.6.12) conectat la o sursă externă, al cărei EMF variază conform legii armonice

,

Unde  m este amplitudinea EMF externă,

 este frecvența ciclică a FEM.

Notează prin U C tensiunea pe condensator și i - puterea curentului în circuit. În acest circuit, în plus față de EMF variabilă  (t) există încă un EMF de auto-inducție  Lîn inductor.

EMF de auto-inducție este direct proporțională cu rata de schimbare a intensității curentului în circuit

.

Pentru ieșire ecuația diferențială a oscilațiilor forțate apărute într-un astfel de circuit, folosim a doua regulă Kirchhoff

.

Tensiune de rezistență R găsiți prin legea lui Ohm

.

Puterea curentului electric este egală cu sarcina care curge pe unitatea de timp prin secțiunea transversală a conductorului

.

Prin urmare

.

Voltaj U C pe condensator este direct proporțională cu sarcina de pe plăcile condensatorului

.

EMF de auto-inducție poate fi reprezentată prin derivata a doua a sarcinii în raport cu timpul

.

Înlocuirea tensiunilor și emfs în a doua regulă a lui Kirchhoff

.

Împărțind ambele părți ale acestei expresii prin L iar distribuind termenii in functie de gradul de scadere in ordinea derivatei obtinem o ecuatie diferentiala de ordinul doi

.

Să introducem următoarea notație și să obținem

este coeficientul de atenuare,

este frecvența ciclică a oscilațiilor naturale ale circuitului.

. (1)

Ecuația (1) este eterogen ecuație diferențială liniară de ordinul doi. Ecuațiile de acest tip descriu comportamentul unei clase largi de sisteme oscilatoare (electrice, mecanice) sub influența unei acțiuni periodice externe (EMF externă sau forță externă).

Soluția generală a ecuației (1) este suma soluției generale q 1 omogen ecuație diferențială (2)

(2)

și orice soluție specială q 2 eterogen ecuații (1)

.

Un fel de soluție generală omogen ecuația (2) depinde de valoarea coeficientului de atenuare  . Suntem interesați de cazul amortizarii slabe  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

Unde Bși  0 sunt constante date de condițiile inițiale.

Soluția (3) descrie oscilațiile amortizate în circuit. Valori incluse în (3):

este frecvența ciclică a oscilațiilor amortizate;

este amplitudinea oscilațiilor amortizate;

este faza oscilațiilor amortizate.

Căutăm o soluție particulară a ecuației (1) sub forma unei oscilații armonice care se produce cu o frecvență egală cu frecvența  influență periodică externă - EMF, și întârziere în fază de  De la el

Unde
este amplitudinea oscilațiilor forțate, care depinde de frecvență.

Inlocuim (4) in (1) si obtinem identitatea

Pentru a compara fazele oscilațiilor, folosim formulele de reducere trigonometrică

.

Apoi ecuația noastră va fi rescrisă sub formă

Să reprezentăm fluctuațiile din partea stângă a identității obținute în formular diagrama vectoriala (orez.6.13)..

Al treilea termen corespunzător fluctuațiilor capacității Cu, care are o fază (  t –  ) și amplitudine
, reprezintă un vector orizontal îndreptat spre dreapta.

Fig.6.13. diagrama vectoriala

Primul termen al părții stângi, corespunzător oscilațiilor asupra inductanței L, va fi reprezentat pe diagrama vectorială printr-un vector îndreptat orizontal spre stânga (amplitudinea acestuia
).

Al doilea termen corespunzător oscilațiilor rezistenței R, reprezintă un vector îndreptat vertical în sus (amplitudinea acestuia
), deoarece faza sa este /2 în spatele fazei primului termen.

Deoarece suma a trei vibrații la stânga semnului egal dă o vibrație armonică
, apoi suma vectorială de pe diagramă (diagonala dreptunghiulară) prezintă o oscilație cu o amplitudine si faza  t, care este pornit  înaintea fazei de oscilaţii a celui de-al treilea termen.

Dintr-un triunghi dreptunghic, folosind teorema lui Pitagora, puteți găsi amplitudinea A( )

(5)

și tg ca raport dintre piciorul opus și piciorul adiacent.

. (6)

În consecință, soluția (4), ținând cont de (5) și (6), ia forma

. (7)

Soluție generală a ecuației diferențiale(1) este suma q 1 și q 2

. (8)

Formula (8) arată că atunci când un EMF extern periodic este aplicat circuitului, în acesta apar oscilații a două frecvențe, i.e. oscilații neamortizate cu frecvența EMF externă  și oscilații amortizate cu o frecvență
. Amplitudinea oscilațiilor amortizate
devine neglijabilă cu timpul și în circuit rămân doar oscilații forțate, a căror amplitudine nu depinde de timp. În consecință, oscilațiile forțate constante sunt descrise de funcția (4). Adică, în circuit apar oscilații armonice forțate, cu o frecvență egală cu frecvența influenței externe și o amplitudine.
, in functie de aceasta frecventa ( orez. 3A) conform legii (5). În acest caz, faza oscilației forțate rămâne în urmă cu  din constrângere.

Diferențiând expresia (4) în funcție de timp, găsim puterea curentului în circuit

Unde
este amplitudinea puterii curentului.

Scriem această expresie pentru puterea curentă în formă

, (9)

Unde
–defazaj între curent și f.e.m. externă.

Conform (6) și orez. 2

. (10)

Din această formulă rezultă că defazarea dintre curent și fem-ul extern depinde, la o rezistență constantă. R, din raportul dintre frecvența EMF de antrenare  și frecvența naturală a circuitului  0 .

În cazul în care un  <  0 , apoi defazarea dintre curent și EMF extern  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

În cazul în care un  >  0, atunci  > 0. Fluctuațiile curente sunt în urmă cu un unghi în urma fluctuațiilor EMF în fază  .

În cazul în care un  =  0 (frecvența de rezonanță), apoi  \u003d 0, adică puterea curentului și EMF oscilează în aceeași fază.

Rezonanţă- acesta este un fenomen de creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor atunci când frecvența forței motrice externe coincide cu frecvența naturală a sistemului oscilator.

La rezonanţă  =  0 și perioada de oscilație

.

Având în vedere că coeficientul de atenuare

,

obţinem expresii pentru factorul de calitate la rezonanţă T = T 0

,

pe cealaltă parte

.

Amplitudinile tensiunii pe inductanță și capacitatea la rezonanță pot fi exprimate în termeni de factor de calitate al circuitului

, (15)

. (16)

Din (15) și (16) se poate observa că la  =  0, amplitudinea tensiunii pe condensator și inductanța în Q ori mai mare decât amplitudinea fem-ului extern. Aceasta este o proprietate a unui serial RLC bucla este folosită pentru a izola un semnal radio de o anumită frecvență
din spectrul de frecvenţe radio în timpul restructurării receptorului radio.

La practică RLC circuitele sunt conectate la alte circuite, instrumente de măsură sau dispozitive de amplificare, introducând o atenuare suplimentară în RLC circuit. Prin urmare, valoarea reală a factorului de calitate a încărcat RLC circuitul se dovedește a fi mai mic decât factorul de calitate, estimat prin formulă

.

Valoarea reală a factorului de calitate poate fi estimată ca

Fig.6.14. Determinarea factorului de calitate din curba de rezonanță

,

unde  f este lățimea de bandă în care amplitudinea este de 0,7 din valoarea maximă ( orez. 4).

Tensiunea condensatorului U C, pe rezistența activă U R iar pe inductor U L atinge un maxim la frecvențe diferite, respectiv

,
,
.

Dacă amortizarea este mică  0 >>  , atunci toate aceste frecvențe practic coincid și putem presupune că

.