Iar relația duală se păstrează în transformări proiective mai generale. Noțiunea de paralelism, care se păstrează în geometria afină, nu are niciun sens în geometria proiectivă. Astfel, prin separarea grupurilor de simetrie de geometrii, se pot stabili relații între simetrii la nivel de grup. Deoarece grupul de geometrie afină este un subgrup de geometrie proiectivă, orice noțiune de invariant în geometria proiectivă a priori are sens în geometria afină, ceea ce nu este adevărat în direcția opusă. Dacă adăugați simetriile necesare, obțineți o teorie mai puternică, dar mai puține concepte și teoreme (care vor fi mai profunde și mai generale).

punctul de vedere al lui Thurston

Funcții ciudate

ƒ (X) = X 3 este un exemplu de funcție impară.

Din nou lasă f(X) este o funcție a unei variabile reale cu valori reale. f este o ciudat, dacă se află în domeniul definiției f

− f (x) = f (− x) , (\displaystyle -f(x)=f(-x)\,) f(x) + f(−x) = 0 . (\displaystyle f(x)+f(-x)=0\,.)

Geometric, graficul unei funcții impare are simetrie de rotație față de origine, în sensul că graficul funcției nu se modifică dacă este rotit cu 180 de grade în jurul originii.

Funcțiile impare sunt X, X 3, păcat ( X), sinh ( X) și erf ( X).

Integrale

Teoria Galois

Având în vedere un polinom, este posibil ca unele rădăcini să fie legate prin ecuații algebrice diferite. De exemplu, se poate dovedi că pentru două rădăcini, de exemplu, Ași B, A 2 + 5 B 3 = 7 (\displaystyle A^(2)+5B^(3)=7). Ideea centrală a teoriei Galois este faptul că atunci când rădăcinile sunt rearanjate, ele continuă să satisfacă toate aceste ecuații. Este important ca, în acest sens, să ne limităm la ecuații algebrice ai căror coeficienți sunt numere raționale. Astfel, teoria Galois studiază simetriile moștenite din ecuațiile algebrice.

Automorfisme ale obiectelor algebrice

În cazul în care evenimentele reprezintă un interval de numere reale, simetria care ține cont de permutări de subintervale de lungime egală corespunde unei distribuții uniforme continue.

În alte cazuri, cum ar fi „alegerea unui număr întreg aleatoriu” sau „alegerea unui real aleatoriu”, nu există nicio simetrie în distribuția probabilității, permițând permutări de numere sau intervale de lungime egală. Alte simetrii acceptabile nu conduc la o anumită distribuție sau, cu alte cuvinte, nu există o distribuție unică de probabilitate care să ofere simetrie maximă.

Există un singur tip izometrie unidimensională, care poate menține neschimbată distribuția probabilității, este o reflecție despre un punct, de exemplu, zero.

O posibilă simetrie pentru valori aleatoare cu probabilitate pozitivă este cea care se aplică logaritmilor, adică atunci când un eveniment și reciproca sa au aceeași distribuție. Totuși, această simetrie nu conduce la o distribuție de probabilitate definită.

Pentru un „punct aleatoriu” într-un plan sau în spațiu, se poate alege un centru și se poate lua în considerare simetria distribuției de probabilitate față de un cerc sau sferă.

Conceptul de mișcare

Să considerăm mai întâi un astfel de concept ca mișcare.

Definiția 1

O mapare plană se numește mișcare plană dacă maparea păstrează distanțele.

Există mai multe teoreme legate de acest concept.

Teorema 2

Triunghiul, când se mișcă, trece într-un triunghi egal.

Teorema 3

Orice figură, când se mișcă, trece într-o figură egală cu ea.

Simetria axială și centrală sunt exemple de mișcare. Să le luăm în considerare mai detaliat.

Simetrie axială

Definiția 2

Se spune că punctele $A$ și $A_1$ sunt simetrice față de dreapta $a$ dacă această dreaptă este perpendiculară pe segmentul $(AA)_1$ și trece prin centrul său (Fig. 1).

Poza 1.

Luați în considerare simetria axială folosind problema ca exemplu.

Exemplul 1

Construiți un triunghi simetric pentru triunghiul dat în raport cu oricare dintre laturile sale.

Decizie.

Să ni se dă un triunghi $ABC$. Îi vom construi simetria față de latura $BC$. Latura $BC$ în cazul simetriei axiale va intra în sine (decurge din definiție). Punctul $A$ va merge la punctul $A_1$ după cum urmează: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Triunghiul $ABC$ se va transforma în triunghi $A_1BC$ (Fig. 2).

Figura 2.

Definiția 3

O figură se numește simetrică față de dreapta $a$ dacă fiecare punct simetric al acestei figuri este conținut pe aceeași figură (Fig. 3).

Figura 3

Figura $3$ arată un dreptunghi. Are simetrie axială față de fiecare dintre diametrele sale, precum și față de două drepte care trec prin centrele laturilor opuse ale dreptunghiului dat.

Simetria centrală

Definiția 4

Se spune că punctele $X$ și $X_1$ sunt simetrice față de punctul $O$ dacă punctul $O$ este centrul segmentului $(XX)_1$ (Fig. 4).

Figura 4

Să luăm în considerare simetria centrală pe exemplul problemei.

Exemplul 2

Construiți un triunghi simetric pentru triunghiul dat la oricare dintre vârfurile sale.

Decizie.

Să ni se dă un triunghi $ABC$. Vom construi simetria acesteia în raport cu vârful $A$. Vârful $A$ sub simetria centrală va intra în sine (decurge din definiție). Punctul $B$ va merge la punctul $B_1$ după cum urmează $(BA=AB)_1$, iar punctul $C$ va merge la punctul $C_1$ după cum urmează: $(CA=AC)_1$. Triunghiul $ABC$ merge în triunghiul $(AB)_1C_1$ (Fig. 5).

Figura 5

Definiția 5

O figură este simetrică față de punctul $O$ dacă fiecare punct simetric al acestei figuri este conținut pe aceeași figură (Fig. 6).

Figura 6

Figura $6$ arată un paralelogram. Are simetrie centrală față de punctul de intersecție al diagonalelor sale.

Exemplu de sarcină.

Exemplul 3

Să ni se dea un segment $AB$. Construiți simetria acesteia față de dreapta $l$, care nu intersectează segmentul dat și față de punctul $C$ aflat pe dreapta $l$.

Decizie.

Să descriem schematic starea problemei.

Figura 7

Să descriem mai întâi simetria axială în raport cu dreapta $l$. Deoarece simetria axială este o mișcare, atunci prin teorema $1$, segmentul $AB$ va fi mapat pe segmentul $A"B"$ egal cu acesta. Pentru a-l construi facem următoarele: prin punctele $A\ și\ B$ se trasează dreptele $m\ și\ n$, perpendiculare pe dreapta $l$. Fie $m\cap l=X,\n\cap l=Y$. Apoi, desenați segmentele $A"X=AX$ și $B"Y=BY$.

Figura 8

Să descriem acum simetria centrală față de punctul $C$. Deoarece simetria centrală este o mișcare, atunci prin teorema $1$, segmentul $AB$ va fi mapat pe segmentul $A""B""$ egal cu acesta. Pentru a-l construi, vom face următoarele: trageți liniile $AC\ și\ BC$. Apoi, desenați segmentele $A^("")C=AC$ și $B^("")C=BC$.

Figura 9

Conceptul de materie ca bază indestructibilă și de necreat a tot ceea ce există s-a format încă din antichitate. Pe de altă parte, observarea schimbărilor constante ale naturii a condus la ideea mișcării perpetue a materiei ca proprietatea sa cea mai importantă. Ideea de „conservare” a apărut în știință ca o presupunere pur filozofică despre prezența a ceva stabil într-o lume în continuă schimbare. Unitatea schimbării și conservării își găsește expresie în conceptul de „simetrie”. Simetrie - invarianţa (imuabilitatea) unui obiect în raport cu transformările impuse acestuia. Transformările care dau un obiect simetric sunt numite simetric. Nivelul de simetrie este determinat de numărul (spectrul) transformărilor simetrice posibile. Cu cât sistemul este mai omogen, mai echilibrat, adică cu cât este mai proporțional cu partea sa, cu atât este mai mare numărul de transformări simetrice posibile pentru aceasta, adică. cu atât este mai simetric. Prin urmare, conceptul de simetrie este asociat cu echilibrul și proporționalitatea părților sistemului. Simetria sistemelor fizice se manifestă prin existența legilor de conservare. La început, legile de conservare, ca și principiul relativității, au fost stabilite empiric, prin generalizarea unui număr imens de fapte experimentale. Mult mai târziu a venit înțelegerea relației profunde dintre aceste legi și proprietățile de simetrie ale sistemelor fizice, ceea ce a făcut posibilă înțelegerea universalității lor. În acest caz, simetria este înțeleasă ca invarianța legilor, a cantităților incluse în ele și a proprietăților obiectelor naturale descrise de acestea în raport cu un anumit grup de transformări în trecerea de la un cadru de referință la altul. De exemplu, în teoria relativității speciale, pentru toate cadrele de referință inerțiale care se mișcă la viteze diferite, viteza luminii în vid, sarcina electrică și legile naturii sunt invariante.

Prezența simetriei duce la faptul că pentru un sistem dat există o cantitate conservată. Astfel, dacă sunt cunoscute proprietățile de simetrie ale unui sistem, este posibil să se determine legile de conservare pentru acesta și invers.

Legătura dintre simetria spațiu-timp și legile fundamentale ale conservării a fost stabilită la începutul secolului al XX-lea. E. Noether (1882 - 1935). Spațiul și timpul sunt omogene și, prin urmare, simetrice în raport cu deplasările arbitrare ale originii. Izotropia spațiului îl face simetric în raport cu rotația axelor de coordonate.

Cea mai importantă simetrie a naturii a fost dezvăluită în teoria relativistă: toate fenomenele naturale sunt invariante sub deplasări, rotații și reflexii într-un singur spațiu-timp cu patru dimensiuni. Aceste simetrii sunt în mod inerent „globale”, acoperind întregul spațiu-timp. Legile de conservare datorate simetriei globale sunt cele mai fundamentale legi ale naturii. Acestea includ:

legea conservării impulsului, conectat cu omogenitatea spațiului;

legea conservării momentului unghiular, conectat cu izotropia spațiului;

legea conservării energiei, conectat cu uniformitatea timpului.

Astfel, fiecare transformare a simetriei spatio-timp globale corespunde legii conservării unei anumite valori. Aceste legi sunt îndeplinite pentru sistemele închise, ale căror corpuri interacționează între ele, iar influențele externe sunt compensate.

În fizica clasică, multe cantități (cum ar fi momentul, energia și momentul unghiular) sunt conservate. Teoreme de conservare pentru mărimile corespunzătoare există și în mecanica cuantică. Cel mai frumos lucru la mecanica cuantică este că, într-un anumit sens, teoremele de conservare pot fi deduse din altceva; în mecanica clasică, însă, ele însele sunt practic punctele de plecare pentru alte legi. (Este posibil, totuși, în mecanica clasică să se acționeze în același mod ca și în mecanica cuantică, dar acest lucru este posibil doar la un nivel foarte înalt.) În mecanica cuantică, totuși, legile de conservare sunt foarte strâns legate de principiul suprapunerii de amplitudini si la simetria sistemelor fizice fata de diverse modificari . Acesta este subiectul acestei prelegeri. Deși vom aplica aceste idei în principal la conservarea momentului unghiular, aici este esențial ca toate teoremele privind conservarea oricăror mărimi să fie întotdeauna conectate - în mecanica cuantică - cu simetriile sistemului.

Să începem prin a studia problema simetriilor sistemelor. Un exemplu foarte simplu este oferit de ionii de hidrogen molecular (totuși, moleculele de amoniac ar fi la fel de potrivite), care au fiecare câte două stări. Pentru ionul de hidrogen molecular, am luat pentru o stare de bază o astfel de stare când electronul este situat lângă protonul nr. 1, iar pentru o altă stare de bază, cea în care electronul era situat lângă protonul nr. 2. Aceste două stări (le-am numit și ) le arătăm din nou în Fig. 15.1, a. Și astfel, deoarece ambele nuclee sunt exact la fel, există o anumită simetrie în acest sistem fizic. Cu alte cuvinte, dacă ar trebui să reflectăm sistemul într-un plan plasat la mijloc între doi protoni (adică dacă totul de pe o parte a planului s-a mutat simetric pe cealaltă parte), atunci imaginea prezentată în Fig. 15.1b. Și deoarece protonii sunt identici, operația de reflexie se traduce în , și în . Să notăm această operație de reflecție și să scriem

. (15.1)

Deci al nostru este un operator, în sensul că „face ceva” cu statul ca să iasă o nouă stare. Ceea ce este interesant aici este că, acționând asupra oricărei stări, se creează o altă stare a sistemului.

Smochin. 15.1. Dacă stările și sunt reflectate în plan , acestea trec la stările și, respectiv.

sunt elementele matricei care se obțin dacă și se înmulțesc în stânga cu . Conform ecuației (15.1), ele sunt egale

(15.2)

În același mod, puteți obține și , și . Matricea în raport cu sistemul de bază este

Vedem din nou că cuvintele operator și matrice din mecanica cuantică sunt practic interschimbabile. Există, desigur, ușoare diferențe tehnice, ca între cuvintele „numeral” și „număr”, dar nu suntem atât de pedanți încât să ne deranjem cu asta. Deci vom numi fie un operator, fie o matrice, indiferent dacă acesta definește o operație sau este de fapt folosit pentru a obține o matrice numerică.

Acum am dori să vă atragem atenția asupra ceva. Să presupunem că fizica întregului sistem al ionului de hidrogen molecular este ea însăși simetrică. Acest lucru ar putea să nu fie - depinde, de exemplu, de ceea ce este lângă ea. Dar dacă sistemul este simetric, atunci ideea următoare trebuie să fie în mod necesar adevărată. Să presupunem că la început, la , sistemul este în starea , iar după o perioadă de timp aflăm că sistemul se află într-o poziție mai complexă - într-o combinație liniară a ambelor stări de bază. Amintiți-vă că în cap. 6 (Numărul 8), obișnuiam să reprezentăm „evoluția în timp” prin înmulțirea cu operatorul . Aceasta înseamnă că sistemul într-un moment (să zicem, pentru certitudine, în 15 secunde) va fi într-o altă stare. De exemplu, această stare on poate consta din starea și on din starea și am scrie

Acum ne întrebăm: ce se întâmplă dacă pornim mai întâi sistemul într-o stare simetrică și așteptăm 15 secunde în aceleași condiții? Este clar că dacă lumea este simetrică (care este ceea ce presupunem), atunci vom obține cu siguranță o stare simetrică cu (15.4):

Aceleași idei sunt descrise schematic în Fig. 15.2. Deci, dacă fizica sistemului este simetrică față de un anumit plan și am calculat comportamentul unei stări sau alteia, atunci știm și comportamentul stării care ar rezulta după reflectarea stării inițiale în planul simetrie.

Smochin. 15.2. Dacă într-un sistem simetric starea pură se dezvoltă în timp, așa cum se arată în partea (a), atunci starea pură se va dezvolta în timp așa cum se arată în partea (b).

Același lucru se poate spune puțin mai general, adică puțin mai abstract. Permiteți - oricare dintre multele operațiuni pe care le puteți efectua pe sistem fără a schimba fizica. De exemplu, pentru că putem lua operația de reflexie într-un plan situat la mijloc între doi atomi ai moleculei de hidrogen. Sau într-un sistem cu doi electroni ar putea însemna operația de schimb a doi electroni. A treia posibilitate ar fi, într-un sistem simetric sferic, operația de rotire a întregului sistem cu un unghi finit în jurul unei axe; asta nu schimbă fizica. Desigur, în fiecare caz individual, am desemna în felul nostru. În special, prin vom desemna de obicei operația „rotiți sistemul în jurul axei cu un unghi”. Prin pur și simplu înțelegem unul dintre operatorii numiți sau oricare altul care lasă întreaga situație fizică neschimbată. Vom numi operatorul operatorul de simetrie pentru sistem.

Iată mai multe exemple de operatori de simetrie. Dacă avem un atom și nu există un câmp magnetic extern sau electric extern, atunci după rotirea sistemului de coordonate în jurul oricărei axe, sistemul fizic rămâne același. Din nou, molecula de amoniac este simetrică în raport cu reflexia într-un plan paralel cu cel în care se află cei trei atomi de hidrogen (atâta timp cât nu există câmp electric). Dacă există un câmp electric, atunci câmpul ar trebui, de asemenea, să fie inversat în timpul reflexiei, iar acest lucru schimbă întreaga problemă fizică. Dar atâta timp cât nu există câmp extern, molecula este simetrică.

Acum luați în considerare cazul general. Să presupunem că am început cu starea și, după un timp sau sub influența altor condiții fizice, s-a transformat în stare. Hai să scriem

[Uitați-vă la formula (15.4).] Acum imaginați-vă că operăm pe întregul sistem. Statul va fi transformat în stat, care este scris și ca . Iar statul devine . Și așadar, dacă fizica este relativ simetrică (nu uitați de acest lucru, dacă aceasta nu este în niciun caz o proprietate generală a sistemului), atunci, după ce așteptăm același timp în aceleași condiții, ar trebui să obținem

[Ca și în (45.5).] Dar se poate scrie în loc de , și în schimb scrie , deci (15.7) este rescris sub forma, este valabil pentru matrice și .]

Apropo, deoarece pentru un timp infinitezimal avem , unde este Hamiltonianul obișnuit [vezi. cap. 6 (numărul 8)], este ușor de observat că atunci când (15.10) este satisfăcută, atunci

Deci (15.11) este o formulare matematică a condițiilor de simetrie a situației fizice față de operatorul . Definește simetria.

Sistem de curent electric multifazic simetric (asimetric) conform GOST R 52002-2003

În care sunt egale (nu egale) ca amplitudine și (sau) deplasate unul față de celălalt în unghiuri egale (inegale). Note:

1. Într-un sistem simetric multifazic de curenți electrici, deplasarea curenților electrici unul față de celălalt în fază este un unghi egal cu 2 p / m, unde m - numărul de faze.
2. În mod similar, sunt definite sisteme multifazate simetrice (asimetrice) etc.

[din clauza 162 GOST R 52002-2003]

Sistem de secvență negativă simetrică (curenți) conform GOST R 52002-2003

Ordinea căreia este inversată celei principale. Note:

1. Cu ordinea inversă a fazelor, schimbările de fază ale fiecăreia dintre fazele unui sistem multifazat simetric de curenți electrici în raport cu faza luată ca prima scad sau cresc cu aceeași cantitate egală cu 2 p (1-k). ) / m, unde m - numărul de faze; k = 1, 2, ..., m - numărul fazei.
2. Sistemele simetrice de secvențe inverse sunt definite în mod similar și așa mai departe.

[din clauza 165 GOST R 52002-2003]

Sistem de secvență pozitivă simetrică (curenți) conform GOST R 52002-2003

Ordinea căreia este luată ca principală. Note:

1. Cu ordinea principală a fazelor, schimbările de fază ale fiecăreia dintre fazele unui sistem multifazat simetric de curenți electrici în raport cu faza luată ca prima cresc sau scad cu aceeași cantitate egală cu 2 p (1-k) / m, unde m - numărul de faze; k = 1, 2, ..., m - numărul fazei.
2. Sistemele de secvențe pozitive simetrice sunt definite în mod similar și așa mai departe.

[din clauza 164 GOST R 52002-2003]

Componente simetrice (sistem asimetric de fază de curenți electrici) conform GOST R 52002-2003

Secvențe simetrice de m-faze în care acest sistem asimetric de m-faze de curenți electrici poate fi descompus, și anume, secvențe cu indici n=0, 1, ..., m-1, defazări în fiecare dintre ele relativ la prima fază sunt 2 p (1-k)n/m, unde k = 1, 2, ... , m - numărul fazei. Note:

1. Pentru denumirile fazelor A, B și C, valorile k=1, 2 și 3 corespund, iar numele secvențelor ca zero, direct și invers corespund valorilor n = 0, 1 și 2.
2. În mod similar, se determină componentele simetrice ale sistemelor m-fază asimetrice etc.

[din clauza 166 GOST R 52002-2003]