Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

Introducere

Lumea numerelor este foarte misterioasă și interesantă. Cifrele sunt foarte importante în lumea noastră. Vreau să învăț cât mai multe despre originea numerelor, despre semnificația lor în viața noastră. Cum să le aplicăm și ce rol joacă ele în viața noastră?

Anul trecut la lecțiile de matematică am început să studiem tema „Numerele pozitive și negative”. Am avut o întrebare, când au apărut numerele negative, în ce țară, ce oameni de știință s-au ocupat de această problemă. Am citit pe Wikipedia că un număr negativ este un element al mulțimii numerelor negative, care (împreună cu zero) a apărut în matematică atunci când mulțimea numerelor naturale a fost extinsă. Scopul extensiei este de a oferi o operație de scădere pentru orice numere. Ca urmare a expansiunii, se obține o mulțime (inel) de numere întregi, formată din numere pozitive (naturale), numere negative și zero.

Drept urmare, am decis să investighez istoria numerelor negative.

Scopul acestei lucrări este de a studia istoria apariției numerelor negative și pozitive.

Obiect de studiu - numere negative și numere pozitive

Istoria numerelor pozitive și negative

Oamenii nu s-au putut obișnui cu numerele negative mult timp. Numerele negative li s-au părut de neînțeles, nu au fost folosite, pur și simplu nu le-au văzut prea mult sens. Aceste numere au apărut mult mai târziu decât numerele naturale și fracțiile obișnuite.

Primele informații despre numerele negative se găsesc printre matematicienii chinezi în secolul al II-lea î.Hr. î.Hr e. și atunci, se cunoșteau doar regulile de adunare și scădere a numerelor pozitive și negative; regulile de înmulțire și împărțire nu au fost aplicate.

Cantitatile pozitive in matematica chineza au fost numite "chen", negative - "fu"; erau înfățișați în diferite culori: „chen” - roșu, „fu” - negru. Acest lucru poate fi văzut în cartea Aritmetica în nouă capitole (autorul Zhang Can). Această metodă de reprezentare a fost folosită în China până la mijlocul secolului al XII-lea, până când Li Ye a propus o notație mai convenabilă pentru numerele negative - numerele care descriu numerele negative au fost tăiate cu o liniuță oblic de la dreapta la stânga.

Abia în secolul al VII-lea Matematicienii indieni au început să folosească pe scară largă numerele negative, dar le-au privit cu oarecare neîncredere. Bhashara a scris direct: „Oamenii nu aprobă numerele negative abstracte...”. Iată cum a stabilit matematicianul indian Brahmagupta regulile de adunare și scădere: „proprietatea și proprietatea sunt proprietate, suma a două datorii este datorie; suma proprietății și zero este proprietate; suma a două zerouri este zero... Datoria, care se scade din zero, devine proprietate, iar proprietatea devine datorie. Dacă este necesar să luați proprietăți din datorie și datorii din proprietate, atunci ei își iau suma. „Suma a două proprietăți este proprietate.”

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Indienii numeau numerele pozitive „dhana” sau „swa” (proprietate), iar pe cele negative – „rina” sau „kshaya” (datoria). Oamenii de știință indieni, încercând să găsească exemple ale unei astfel de scăderi în viață, au ajuns să o interpreteze din punctul de vedere al calculelor comerciale. Daca comerciantul are 5000 r. și cumpără mărfuri pentru 3000 de ruble, el are 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Dacă are 3.000 de ruble și cumpără cu 5.000 de ruble, atunci rămâne în datorii pentru 2.000 de ruble. În conformitate cu aceasta, se credea că aici se face o scădere de 3000 - 5000, dar rezultatul este numărul 2000 cu un punct în partea de sus, adică „două mii de datorii”. Această interpretare a fost artificială, comerciantul nu a găsit niciodată suma datoriei scăzând 3000 - 5000, dar scăzând întotdeauna 5000 - 3000.

Puțin mai târziu, în India și China antică, ei au ghicit în loc de cuvintele „datorie de 10 yuani” să scrie pur și simplu „10 yuani”, dar să deseneze aceste hieroglife cu cerneală neagră. Și semnele „+” și „-” în antichitate nu erau nici pentru numere, nici pentru acțiuni.

Nici grecii nu au folosit semne la început. Omul de știință grec antic Diophantus nu recunoștea deloc numerele negative și, dacă s-a obținut o rădăcină negativă la rezolvarea unei ecuații, atunci a aruncat-o ca fiind „inaccesibilă”. Și Diophantus a încercat să formuleze probleme și să facă ecuații în așa fel încât să evite rădăcinile negative, dar în curând Diophantus din Alexandria a început să desemneze scăderea cu un semn.

Reguli pentru tratarea numerelor pozitive și negative au fost propuse încă din secolul al III-lea în Egipt. Introducerea cantităților negative a avut loc pentru prima dată în Diophantus. A folosit chiar și un personaj special pentru ei. În același timp, Diophantus folosește astfel de rânduri de vorbire precum „Să adăugăm negativul de ambele părți” și chiar formulează regula semnelor: „Un negativ înmulțit cu un negativ dă un pozitiv, în timp ce un negativ înmulțit cu un pozitiv dă un pozitiv. un negativ.”

În Europa, numerele negative au început să fie folosite din secolele XII-XIII, dar până în secolul al XVI-lea. majoritatea oamenilor de știință le-au considerat „false”, „imaginare” sau „absurde”, în contrast cu numerele pozitive - „adevărate”. Numerele pozitive au fost, de asemenea, interpretate ca „proprietate”, iar numerele negative - ca „datorie”, „lips”. Chiar și celebrul matematician Blaise Pascal a susținut că 0 − 4 = 0, deoarece nimic nu poate fi mai puțin decât nimic. În Europa, Leonardo Fibonacci din Pisa s-a apropiat suficient de ideea unei cantități negative la începutul secolului al XIII-lea. Într-un concurs de rezolvare a problemelor cu matematicienii de curte a lui Frederic al II-lea, Leonardo de Pisa a fost rugat să rezolve o problemă: i se cerea să găsească capitala mai multor persoane. Fibonacci este negativ. „Acest caz”, a spus Fibonacci, „este imposibil, decât să acceptăm că nu aveam capital, ci datorii”. Cu toate acestea, numerele explicit negative au fost folosite pentru prima dată la sfârșitul secolului al XV-lea de către matematicianul francez Shuquet. Autor al unui tratat scris de mână despre aritmetică și algebră, Știința numerelor în trei părți. Simbolismul lui Schücke se apropie de cel modern.

Lucrările matematicianului, fizicianului și filosofului francez René Descartes au contribuit la recunoașterea numerelor negative. El a propus o interpretare geometrică a numerelor pozitive și negative - a introdus linia de coordonate. (1637).

Numerele pozitive sunt reprezentate pe axa numerelor prin puncte situate la dreapta originii 0, numerele negative - la stânga. Interpretarea geometrică a numerelor pozitive și negative a contribuit la recunoașterea lor.

În 1544, matematicianul german Michael Stiefel consideră pentru prima dată numerele negative drept numere mai mici decât zero (adică „mai puțin decât nimic”). Din acel moment, numerele negative nu mai sunt privite ca o datorie, ci într-un mod complet nou. Stiefel însuși a scris: „Zeroul este între numerele adevărate și absurde...”

Aproape simultan cu Stiefel, Bombelli Raffaele (circa 1530-1572), un matematician și inginer italian care a redescoperit opera lui Diophantus, a apărat ideea numerelor negative.

În mod similar, Girard a considerat numerele negative destul de acceptabile și utile, în special, pentru a indica lipsa a ceva.

Fiecare fizician se ocupă constant de numere: întotdeauna măsoară ceva, calculează, calculează. Peste tot în actele lui - numere, numere și numere. Dacă te uiți cu atenție la înregistrările unui fizician, vei descoperi că atunci când scrie numere, acesta folosește adesea semnele „+” și „-”. (De exemplu: termometru, scară de adâncime și înălțime)

Abia la începutul secolului al XIX-lea. teoria numerelor negative și-a încheiat dezvoltarea, iar „numerele absurde” au primit recunoaștere universală.

Definiția conceptului de număr

În lumea modernă, o persoană folosește în mod constant numerele, fără să se gândească măcar la originea lor. Fără cunoașterea trecutului este imposibil să înțelegem prezentul. Numărul este unul dintre conceptele de bază ale matematicii. Conceptul de număr s-a dezvoltat în strânsă legătură cu studiul mărimilor; această legătură continuă până în zilele noastre. În toate ramurile matematicii moderne, trebuie să ia în considerare cantități diferite și să folosești numere. Numărul este o abstractizare folosită pentru cuantificarea obiectelor. Apărând în societatea primitivă din nevoile numărării, conceptul de număr s-a schimbat și s-a îmbogățit și s-a transformat în cel mai important concept matematic.

Există multe definiții pentru termenul „număr”.

Prima definiție științifică a numărului a fost dată de Euclid în Elementele sale, pe care a moștenit-o evident de la compatriotul său Eudoxus din Cnidus (aproximativ 408 - aproximativ 355 î.Hr.): „O unitate este aceea, în conformitate cu care fiecare dintre lucrurile existente se numește. unu. Un număr este un set compus din unități. Așa a fost definit conceptul de număr de către matematicianul rus Magnitsky în Aritmetica sa (1703). Chiar înainte de Euclid, Aristotel a dat următoarea definiție: „Un număr este o mulțime, care se măsoară cu ajutorul unităților”. În „Aritmetica generală” (1707), marele fizician, mecanic, astronom și matematician englez Isaac Newton scrie: „Prin număr înțelegem nu atât un set de unități, cât raportul abstract al unei cantități la o altă cantitate de aceeași cantitate. amabilă, luată ca unitate. Există trei tipuri de numere: întreg, fracțional și irațional. Un număr întreg este acela care este măsurat printr-o unitate; fracționar - un multiplu al unității, irațional - un număr care nu este proporțional cu unitatea.

La definirea conceptului de număr a contribuit și matematicianul Mariupol S.F. Klyuykov: „Numerele sunt modele matematice ale lumii reale, inventate de om pentru cunoștințele sale”. El a introdus, de asemenea, așa-numitele „numere funcționale” în clasificarea tradițională a numerelor, adică ceea ce se numește de obicei funcții în întreaga lume.

Numerele naturale au apărut la numărarea obiectelor. Am învățat despre asta în clasa a V-a. Apoi am învățat că nevoia umană de a măsura cantități nu este întotdeauna exprimată ca număr întreg. După extinderea mulțimii numerelor naturale la cele fracționale, a devenit posibilă împărțirea oricărui număr întreg la un alt întreg (cu excepția împărțirii la zero). Există numere fracționale. A scădea un număr întreg dintr-un alt număr întreg, când scăderea este mai mare decât cea redusă, mult timp mi s-a părut imposibil. Interesant pentru mine a fost faptul că multă vreme mulți matematicieni nu au recunoscut numerele negative, crezând că nu corespund niciunui fenomen real.

Originea cuvintelor „plus” și „minus”

Termenii provin din cuvintele plus - „mai mult”, minus - „mai puțin”. La început, acțiunile erau notate cu primele litere p; m. Mulți matematicieni au preferat sau Apariția semnelor moderne „+”, „-” nu este complet clară. Semnul „+” provine probabil de la abrevierea et, adică. "și". Cu toate acestea, s-ar putea să fi apărut din practica comercială: măsurile de vin vândute erau marcate pe butoi cu un „-”, iar când stocul a fost restaurat, au fost tăiate, s-a obținut un semn „+”.

În Italia, cămătarii, împrumutând bani, puneau în fața numelui debitorului suma datoriei și o liniuță, ca minusul nostru, iar când debitorul returna banii, i-au bifat, ceva ca plusul nostru.

Semnele moderne „+” au apărut în Germania în ultimul deceniu al secolului al XV-lea. în cartea lui Widmann, care a fost un ghid al contului pentru negustori (1489). Cehul Jan Widman a scris deja „+” și „-” pentru adunare și scădere.

Puțin mai târziu, savantul german Michel Stiefel a scris Aritmetica completă, care a fost publicată în 1544. Conține astfel de intrări pentru numere: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Numerele de primul fel pe care le-a numit „mai puțin decât nimic” sau „mai mici decât nimic”. Numerele de al doilea tip pe care le-a numit „mai mult decât nimic” sau „mai mare decât nimic”. Desigur, înțelegeți aceste nume, pentru că „nimic” este 0.

Numere negative în Egipt

Cu toate acestea, în ciuda unor astfel de îndoieli, regulile pentru tratarea numerelor pozitive și negative au fost deja propuse în secolul al III-lea în Egipt. Introducerea cantităților negative a avut loc pentru prima dată în Diophantus. A folosit chiar și un caracter special pentru ei (acum folosim semnul minus pentru asta). Adevărat, oamenii de știință susțin dacă simbolul lui Diophantus a însemnat tocmai un număr negativ sau pur și simplu operația de scădere, deoarece în Diophantus numerele negative nu apar izolat, ci doar sub formă de diferențe pozitive; iar el consideră doar numere pozitive raționale drept răspunsuri în probleme. Dar, în același timp, Diophantus folosește astfel de rânduri de vorbire precum „Să adăugăm negativul de ambele părți” și chiar formulează regula semnelor: „Un negativ înmulțit cu un negativ dă un pozitiv, în timp ce un negativ înmulțit cu un pozitiv. dă un negativ” (ceea ce acum se formulează de obicei: „Un minus cu un minus dă un plus, un minus cu un plus dă un minus”).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Numerele negative în Asia antică

Cantitatile pozitive in matematica chineza au fost numite "chen", negative - "fu"; erau înfățișați în diferite culori: „chen” - roșu, „fu” - negru. Această metodă de reprezentare a fost folosită în China până la mijlocul secolului al XII-lea, până când Li Ye a propus o notație mai convenabilă pentru numerele negative - numerele care descriu numerele negative au fost tăiate cu o liniuță oblic de la dreapta la stânga. Oamenii de știință indieni, încercând să găsească exemple ale unei astfel de scăderi în viață, au ajuns să o interpreteze din punctul de vedere al calculelor comerciale.

Daca comerciantul are 5000 r. și cumpără mărfuri pentru 3000 de ruble, el are 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Dacă are 3.000 de ruble și cumpără cu 5.000 de ruble, atunci rămâne în datorii pentru 2.000 de ruble. În conformitate cu aceasta, se credea că aici se face o scădere de 3000 - 5000, dar rezultatul este numărul 2000 cu un punct în partea de sus, adică „două mii de datorii”.

Această interpretare a fost de natură artificială, comerciantul nu a găsit niciodată suma datoriei scăzând 3000 - 5000, ci scădea întotdeauna 5000 - 3000. În plus, pe această bază a fost posibil să explice cu întindere doar regulile de adunare și scădere. „numere cu puncte”, dar în niciun caz nu a fost de a explica regulile de înmulțire sau împărțire.

În secolele V-VI, numerele negative apar și sunt foarte larg distribuite în matematica indiană. În India, numerele negative au fost utilizate în mod sistematic aproape în același mod ca și acum. Matematicienii indieni folosesc numere negative încă din secolul al VII-lea. n. e .: Brahmagupta a formulat cu ei regulile pentru operațiile aritmetice. În lucrarea sa citim: „proprietatea și proprietatea sunt proprietate, suma a două datorii este datorie; suma proprietății și zero este proprietate; suma a două zerouri este zero... Datoria, care se scade din zero, devine proprietate, iar proprietatea devine datorie. Dacă este necesar să luați proprietăți din datorie și datorii din proprietate, atunci ei își iau suma.

Indienii numeau numerele pozitive „dhana” sau „swa” (proprietate), iar pe cele negative – „rina” sau „kshaya” (datoria). Cu toate acestea, în India au existat probleme cu înțelegerea și acceptarea numerelor negative.

Cifre negative în Europa

Matematicienii europeni nu le-au aprobat multă vreme, deoarece interpretarea „proprietății-datorii” a provocat nedumerire și îndoială. Într-adevăr, cum se poate „aduna” sau „scădea” proprietăți și datorii, ce semnificație reală poate avea „înmulțirea” sau „împărțirea” proprietății cu datorii? (G.I. Glazer, Istoria matematicii la clasele IV-VI. Moscova, Educație, 1981)

De aceea numerele negative și-au câștigat cu mare dificultate locul în matematică. În Europa, Leonardo Fibonacci din Pisa s-a apropiat suficient de ideea unei cantități negative la începutul secolului al XIII-lea, dar matematicianul francez Shuquet a folosit pentru prima dată numerele negative în mod explicit la sfârșitul secolului al XV-lea. Autor al unui tratat scris de mână despre aritmetică și algebră, Știința numerelor în trei părți. Simbolismul lui Schuke se apropie de modern (Mathematical Encyclopedic Dictionary. M., Sov. Encyclopedia, 1988)

Interpretarea modernă a numerelor negative

În 1544, matematicianul german Michael Stiefel consideră pentru prima dată numerele negative drept numere mai mici decât zero (adică „mai puțin decât nimic”). Din acel moment, numerele negative nu mai sunt privite ca o datorie, ci într-un mod complet nou. Stiefel însuși a scris: „Zeroul este între numere adevărate și absurde...” (G.I. Glazer, Istoria matematicii în clasele IV-VI. Moscova, Educație, 1981)

După aceea, Stiefel își dedică întreaga lucrare matematicii, în care a fost un geniu autodidact. Unul dintre primele din Europa după ce Nikola Shuke a început să opereze cu numere negative.

Celebrul matematician francez René Descartes în Geometry (1637) descrie interpretarea geometrică a numerelor pozitive și negative; numerele pozitive sunt reprezentate pe axa numerelor prin puncte situate la dreapta originii 0, negative - la stânga. Interpretarea geometrică a numerelor pozitive și negative a condus la o înțelegere mai clară a naturii numerelor negative și a contribuit la recunoașterea lor.

Aproape concomitent cu Stiefel, R. Bombelli Raffaele (circa 1530-1572), un matematician și inginer italian care a redescoperit opera lui Diophantus, a apărat ideea numerelor negative.

Bombelli și Girard, dimpotrivă, au considerat numerele negative destul de acceptabile și utile, în special, pentru a indica lipsa a ceva. Denumirea modernă a numerelor pozitive și negative cu semnele „+” și „-” a fost folosită de matematicianul german Widman. Expresia „mai jos decât nimic” arată că Stiefel și alții și-au imaginat mental numerele pozitive și negative ca puncte pe o scară verticală (cum ar fi scara unui termometru). Ideea dezvoltată mai târziu de matematicianul A. Girard a numerelor negative ca puncte pe o anumită dreaptă situată de cealaltă parte a zero decât a celor pozitive s-a dovedit a fi decisivă în acordarea acestor numere cu drepturi de cetățenie, mai ales ca urmare a dezvoltarea metodei coordonatelor de către P. Fermat şi R. Descartes .

Concluzie

În munca mea, am explorat istoria numerelor negative. În timpul cercetării mele, am concluzionat:

Știința modernă întâlnește cantități de o natură atât de complexă încât pentru studiul lor este necesar să se inventeze noi tipuri de numere.

Când se introduc numere noi, două circumstanțe sunt de mare importanță:

a) regulile de acţiune asupra acestora trebuie să fie pe deplin definite şi să nu ducă la contradicţii;

b) noile sisteme de numere ar trebui fie să contribuie la rezolvarea unor noi probleme, fie să îmbunătățească soluțiile deja cunoscute.

Până în prezent, există șapte niveluri general acceptate de generalizare a numerelor: numere naturale, raționale, reale, complexe, vectoriale, matrice și transfinite. Unii oameni de știință propun să considere funcțiile ca numere funcționale și să extindă gradul de generalizare a numerelor la douăsprezece niveluri.

Voi încerca să studiez toate aceste seturi de numere.

Aplicație

POEM

„Adunarea numerelor negative și a numerelor cu semne diferite”

Dacă doriți să pliați

Cifrele sunt negative, nu este nimic de suferit:

Trebuie să aflăm rapid suma modulelor,

Apoi luați semnul minus și adăugați-l.

Dacă sunt date numere cu semne diferite,

Pentru a găsi suma lor, suntem cu toții acolo.

Un modul mai mare este rapid foarte selectabil.

Din el îl scadem pe cel mai mic.

Cel mai important este să nu uiți semnul!

Pe care o vei pune? – vrem să întrebăm

Vă vom dezvălui un secret, nu este mai ușor,

Semnați, unde modulul este mai mare, scrieți în răspuns.

Reguli de adunare a numerelor pozitive și negative

Adăugați un minus cu un minus,

Puteți obține un minus.

Dacă adăugați minus, plus,

Asta se va dovedi a fi o jenă?!

Alegeți semnul numărului

Ce este mai puternic, nu căscă!

Luați-le modulele

Da, fă pace cu toate numerele!

Regulile de înmulțire pot fi interpretate și în acest fel:

„Prietenul prietenului meu este prietenul meu”: + ∙ + = + .

„Inamicul dușmanului meu este prietenul meu”: ─ ∙ ─ = +.

„Un prieten al dușmanului meu este dușmanul meu”: + ∙ ─ = ─.

„Inamicul prietenului meu este dușmanul meu”: ─ ∙ + = ─.

Semnul înmulțirii este un punct, are trei semne:

Acoperiți două dintre ele, al treilea va da răspunsul.

De exemplu.

Cum se determină semnul produsului 2∙(-3)?

Să închidem semnele plus și minus cu mâinile noastre. Există un semn minus

Bibliografie

„Istoria lumii antice”, clasa a 5-a. Kolpakov, Selunskaya.

„Istoria matematicii în Antichitate”, E. Kolman.

„Manualul elevului”. Editura VES, Sankt Petersburg. 2003

Marea Enciclopedie Matematică. Yakusheva G.M. si etc.

Vigasin A.A., Goder G.I., „Istoria lumii antice”, manual de clasa a V-a, 2001

Wikipedia. Enciclopedie liberă.

Apariția și dezvoltarea științei matematice: Cartea. Pentru profesor. - M.: Iluminismul, 1987.

Gelfman E.G. „Numerele pozitive și negative”, manual de matematică pentru clasa a VI-a, 2001.

Cap. ed. M. D. Aksyonova. - M.: Avanta +, 1998.

Glazer G. I. „Istoria matematicii la școală”, Moscova, „Prosveshchenie”, 1981

Enciclopedia pentru copii „Cunosc lumea”, Moscova, „Iluminismul”, 1995.

Istoria matematicii la scoala, clasele IV-VI. G.I. Glazer, Moscova, Educație, 1981.

Moscova: Philol. O-vo „WORD”: OLMA-PRESS, 2005.

Malygin K.A.

Dicţionar enciclopedic matematic. M., Sov. enciclopedie, 1988.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. „Matematică clasa a 6-a”, Moscova, „Iluminism”, 1989

Manual clasa a V-a. Vilenkin, Zhohov, Cesnokov, Schwarzburd.

Fridman L. M.. „Studying Mathematics”, ediție educațională, 1994

DE EXEMPLU. Gelfman et al., Numerele pozitive și negative în teatrul Pinocchio. Manual de matematică pentru clasa a VI-a. Ediția a III-a, corectată, - Tomsk: Editura Universității din Tomsk, 1998.

Enciclopedie pentru copii. T.11. Matematica

Numerele pozitive și negative
Linie de coordonate
Să mergem drept. Marcam punctul 0 (zero) pe el și luăm acest punct ca origine.

Să indicăm cu o săgeată direcția de mișcare de-a lungul unei linii drepte la dreapta originii. În această direcție de la punctul 0 vom amâna numerele pozitive.

Adică numerele deja cunoscute nouă, cu excepția zero, se numesc pozitive.

Uneori numerele pozitive sunt scrise cu semnul „+”. De exemplu, „+8”.

Pentru concizie, semnul „+” în fața unui număr pozitiv este de obicei omis și în loc de „+8” se scrie pur și simplu 8.

Prin urmare, „+3” și „3” sunt același număr, doar desemnat diferit.

Să alegem un segment, a cărui lungime o vom lua ca unitate și o vom pune deoparte de câteva ori în dreapta punctului 0. La sfârșitul primului segment se scrie numărul 1, la sfârșitul celui de-al doilea - numărul 2 etc.

Punând un singur segment la stânga originii, obținem numere negative: -1; -2; etc.

Numerele negative folosit pentru a desemna diferite cantități, cum ar fi: temperatură (sub zero), debit - adică venit negativ, adâncime - înălțime negativă și altele.

După cum se vede din figură, numerele negative sunt numere deja cunoscute nouă, doar cu semnul minus: -8; -5,25 etc.

• Numărul 0 nu este nici pozitiv, nici negativ.

Axa numerică este de obicei plasată orizontal sau vertical.

Dacă linia de coordonate este verticală, atunci direcția în sus de la origine este de obicei considerată pozitivă, iar în jos de la origine - negativă.

Săgeata indică direcția pozitivă.

Linia dreaptă marca:
. punct de referință (punctul 0);
. un singur segment;
. săgeata indică direcția pozitivă;
numit linie de coordonate sau linia numerică.

Numerele opuse pe linia de coordonate
Să marchem pe linia de coordonate două puncte A și B, care sunt situate la aceeași distanță de punctul 0 la dreapta și, respectiv, la stânga.

În acest caz, lungimile segmentelor OA și OB sunt aceleași.

Aceasta înseamnă că coordonatele punctelor A și B diferă doar în semn.


Se spune că punctele A și B sunt, de asemenea, simetrice față de origine.
Coordonata punctului A este pozitivă „+2”, coordonata punctului B are semnul minus „-2”.
A (+2), B (-2).

• Numerele care diferă doar prin semn se numesc numere opuse. Punctele corespunzătoare ale axei numerice (de coordonate) sunt simetrice față de origine.

Fiecare număr are un singur număr opus. Numai numărul 0 nu are opus, dar putem spune că este opus lui însuși.

Notația „-a” înseamnă opusul „a”. Amintiți-vă că o literă poate ascunde atât un număr pozitiv, cât și un număr negativ.

Exemplu:
-3 este opusul lui 3.

O scriem ca expresie:
-3 = -(+3)

Exemplu:
-(-6) - numărul opus numărului negativ -6. Deci -(-6) este numărul pozitiv 6.

O scriem ca expresie:
-(-6) = 6

Adunarea numerelor negative
Adunarea numerelor pozitive și negative poate fi analizată folosind o linie numerică.

Adunarea numerelor modulo mici se efectuează în mod convenabil pe linia de coordonate, imaginându-ne mental ca un punct care indică numărul se mișcă de-a lungul axei numerelor.

Să luăm un număr, de exemplu, 3. Să-l notăm pe axa numerelor cu punctul A.

Să adăugăm la număr un număr pozitiv 2. Aceasta va însemna că punctul A trebuie mutat două segmente de unitate într-o direcție pozitivă, adică spre dreapta. Ca rezultat, vom obține punctul B cu coordonata 5.
3 + (+ 2) = 5

Pentru a adăuga un număr negativ (-5) unui număr pozitiv, de exemplu, la 3, punctul A trebuie mutat cu 5 unități de lungime într-o direcție negativă, adică spre stânga.

În acest caz, coordonata punctului B este -2.

Deci, ordinea adunării numerelor raționale folosind axa numerelor va fi următoarea:
. marcați un punct A pe linia de coordonate cu o coordonată egală cu primul termen;
. mutați-l la o distanță egală cu modulul celui de-al doilea termen în direcția care corespunde semnului din fața celui de-al doilea număr (plus - mutați la dreapta, minus - la stânga);
. punctul B obtinut pe axa va avea o coordonata care va fi egala cu suma acestor numere.

Exemplu.
- 2 + (- 6) =

Deplasându-ne de la punctul - 2 la stânga (deoarece există un semn minus în fața lui 6), obținem - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Adunarea numerelor cu aceleași semne
Adăugarea numerelor raționale este mai ușoară dacă utilizați conceptul de modul.

Să presupunem că trebuie să adunăm numere care au același semn.
Pentru a face acest lucru, aruncăm semnele numerelor și luăm modulele acestor numere. Adunăm modulele și punem semnul în fața sumei, care era comună acestor numere.

Exemplu.

Un exemplu de adăugare de numere negative.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Pentru a adăuga numere cu același semn, trebuie să adăugați modulele acestora și să puneți semnul în fața sumei care a fost în fața termenilor.

Adunarea numerelor cu semne diferite
Dacă numerele au semne diferite, atunci acționăm oarecum diferit decât atunci când adunăm numere cu aceleași semne.
. Aruncăm semnele din fața numerelor, adică le luăm modulele.
. Scădeți pe cel mai mic din cel mai mare.
. Înainte de diferență, punem semnul pe care îl avea numărul cu un modul mai mare.

Un exemplu de adăugare a unui număr negativ și a unui număr pozitiv.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Un exemplu de adăugare de numere mixte.

Pentru a adăuga numere de semne diferite:
. scade modulul mai mic din modulul mai mare;
. înainte de diferența rezultată se pune semnul numărului care are un modul mai mare.

Scăderea numerelor negative
După cum știți, scăderea este opusul adunării.
Dacă a și b sunt numere pozitive, atunci scăderea numărului b din numărul a înseamnă găsirea unui număr c care, adăugat la numărul b, dă numărul a.
a - b = c sau c + b = a

Definiția scăderii este valabilă pentru toate numerele raționale. Acesta este scăderea numerelor pozitive și negative poate fi înlocuit prin adăugare.

• Pentru a scădea altul dintr-un număr, trebuie să adăugați numărul opus la minuend.

Sau, în alt mod, putem spune că scăderea numărului b este aceeași adunare, dar cu numărul opus numărului b.
a - b = a + (- b)

Exemplu.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Exemplu.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Merită să ne amintim expresiile de mai jos.
• 0 - a = - a
• a - 0 = a
• a - a = 0

Reguli pentru scăderea numerelor negative
După cum puteți vedea din exemplele de mai sus, scăderea numărului b este adunarea cu numărul opus numărului b.
Această regulă este păstrată nu numai atunci când scădeți un număr mai mic dintr-un număr mai mare, ci vă permite și să scădeți un număr mai mare dintr-un număr mai mic, adică puteți găsi întotdeauna diferența dintre două numere.

Diferența poate fi un număr pozitiv, un număr negativ sau zero.

Exemple de scădere a numerelor negative și pozitive.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Este convenabil să vă amintiți regula semnului, care vă permite să reduceți numărul de paranteze.
Semnul plus nu schimbă semnul numărului, așa că dacă există un plus în fața parantezei, semnul dintre paranteze nu se schimbă.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Semnul minus din fața parantezelor inversează semnul numărului dintre paranteze.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Se poate vedea din egalități că, dacă există semne identice înainte și în interiorul parantezelor, atunci obținem „+”, iar dacă semnele sunt diferite, atunci obținem „-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Regula semnelor se păstrează și dacă nu există un număr între paranteze, ci o sumă algebrică de numere.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Vă rugăm să rețineți că dacă există mai multe numere între paranteze și există un semn minus în fața parantezelor, atunci semnele din fața tuturor numerelor din aceste paranteze ar trebui să se schimbe.

Pentru a vă aminti regula semnelor, puteți face un tabel pentru determinarea semnelor unui număr.
Semnează regula pentru numere

Sau învață o regulă simplă.

• Două negative fac o afirmație,
• Plus ori minus este egal cu minus.

Înmulțirea numerelor negative
Folosind conceptul de modul al unui număr, formulăm regulile de înmulțire a numerelor pozitive și negative.

Înmulțirea numerelor cu aceleași semne
Primul caz pe care îl puteți întâlni este înmulțirea numerelor cu același semn.
Pentru a înmulți două numere cu același semn:
. înmulțiți module de numere;
. pune semnul „+” înaintea produsului rezultat (la scrierea răspunsului, semnul plus dinaintea primului număr din stânga poate fi omis).

Exemple de înmulțire a numerelor negative și pozitive.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Înmulțirea numerelor cu semne diferite
Al doilea caz posibil este înmulțirea numerelor cu semne diferite.
Pentru a înmulți două numere cu semne diferite:
. înmulțiți module de numere;
. pune semnul „-” în fața lucrării rezultate.
Exemple de înmulțire a numerelor negative și pozitive.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Reguli pentru semne pentru înmulțire
Amintirea regulii semnelor pentru înmulțire este foarte simplă. Această regulă este aceeași cu regula de extindere a parantezelor.

• Două negative fac o afirmație,
• Plus ori minus este egal cu minus.

În exemplele „lungi”, în care există doar o acțiune de multiplicare, semnul produsului poate fi determinat de numărul de factori negativi.

La chiar număr de factori negativi, rezultatul va fi pozitiv, iar cu ciudat cantitatea este negativă.
Exemplu.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

În exemplu, există cinci multiplicatori negativi. Deci semnul rezultatului va fi minus.
Acum calculăm produsul modulelor, ignorând semnele.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Rezultatul final al înmulțirii numerelor originale va fi:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Înmulțirea cu zero și unu
Dacă printre factori există un număr zero sau unul pozitiv, atunci înmulțirea se face după reguli cunoscute.
. 0 . a = 0
. A. 0 = 0
. A. 1 = a
Exemple:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Un rol deosebit în înmulțirea numerelor raționale îl joacă o unitate negativă (- 1).

• Când este înmulțit cu (- 1), numărul este inversat.

În termeni literali, această proprietate poate fi scrisă:
A. (- 1) = (- 1) . a = - a

La adunarea, scăderea și înmulțirea numerelor raționale împreună, ordinea operațiilor stabilită pentru numerele pozitive și zero este păstrată.

Un exemplu de înmulțire a numerelor negative și pozitive.

Împărțirea numerelor negative
Modul de împărțire a numerelor negative este ușor de înțeles, amintindu-ne că împărțirea este inversul înmulțirii.

Dacă a și b sunt numere pozitive, atunci împărțirea numărului a la numărul b înseamnă găsirea unui număr c care, înmulțit cu b, dă numărul a.

Această definiție a împărțirii este valabilă pentru orice numere raționale, atâta timp cât divizorii sunt nenuli.

Prin urmare, de exemplu, a împărți numărul (- 15) la numărul 5 înseamnă a găsi un număr care, înmulțit cu numărul 5, dă numărul (- 15). Acest număr va fi (- 3), deoarece
(- 3) . 5 = - 15

mijloace

(- 15) : 5 = - 3

Exemple de împărțire a numerelor raționale.
1. 10: 5 = 2 din moment ce 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2 din moment ce 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6 deoarece (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, deoarece (- 3) . (-4) = 12

Din exemple se poate observa că câtul a două numere cu aceleași semne este un număr pozitiv (exemplele 1, 2), iar câtul a două numere cu semne diferite este un număr negativ (exemplele 3,4).

Reguli pentru împărțirea numerelor negative
Pentru a găsi modulul coeficientului, trebuie să împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului.
Deci, pentru a împărți două numere cu aceleași semne, aveți nevoie de:

. precedați rezultatul cu semnul „+”.
Exemple de împărțire a numerelor cu aceleași semne:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Pentru a împărți două numere cu semne diferite:
. împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului;
. precedați rezultatul cu semnul „-”.
Exemple de împărțire a numerelor cu semne diferite:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
De asemenea, puteți utiliza următorul tabel pentru a determina semnul coeficient.
Regula semnelor la împărțire

La calcularea expresiilor „lungi”, în care apar doar înmulțirea și împărțirea, este foarte convenabil să folosiți regula semnului. De exemplu, pentru a calcula o fracție

Puteți acorda atenție că în numărător sunt 2 semne „minus”, care, atunci când sunt înmulțite, vor da un „plus”. Există și trei semne minus în numitor, care, atunci când sunt înmulțite, vor da un minus. Prin urmare, în final, rezultatul va fi cu semnul minus.

Reducerea fracțiilor (acțiuni ulterioare cu module de numere) se efectuează în același mod ca înainte:

• Coeficientul de împărțire a zeroului la un număr diferit de zero este zero.
• 0: a = 0, a ≠ 0
• NU împărțiți la zero!

Toate regulile cunoscute anterior pentru împărțirea la unu se aplică și setului de numere raționale.
. a: 1 = a
. a: (- 1) = - a
. a: a = 1
unde a este orice număr rațional.

Dependențele dintre rezultatele înmulțirii și împărțirii, cunoscute pentru numerele pozitive, sunt de asemenea păstrate pentru toate numerele raționale (cu excepția numărului zero):
. în cazul în care un . b = c; a = c: b; b = c: a;
. dacă a: b = c; a = s. b; b=a:c
Aceste dependențe sunt folosite pentru a găsi factorul necunoscut, dividendul și divizorul (la rezolvarea ecuațiilor), precum și pentru a verifica rezultatele înmulțirii și împărțirii.

Un exemplu de găsire a necunoscutului.
X . (-5) = 10

x=10: (-5)

x=-2

Semnul minus în fracții
Împărțiți numărul (- 5) la 6 și numărul 5 la (- 6).

Vă reamintim că linia din notația unei fracții obișnuite este același semn de împărțire și scriem câtul fiecăreia dintre aceste acțiuni ca fracție negativă.

Astfel, semnul minus dintr-o fracție poate fi:
. înaintea fracţiunii
. în numărător;
. în numitor.

• Când scrieți fracții negative, puteți pune un semn minus în fața fracției, transferați-l de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător.

Acesta este adesea folosit atunci când se efectuează operații pe fracții, facilitând calculele.

Exemplu. Vă rugăm să rețineți că după ce am plasat semnul minus în fața parantezei, pe cel mai mic îl scădem din modulul mai mare conform regulilor de adunare a numerelor cu semne diferite.


Folosind proprietatea de transfer de semn descrisă în fracții, puteți acționa fără a afla care dintre modulul dintre aceste numere fracționale este mai mare.

Format din numere pozitive (naturale), numere negative și zero.

Toate numerele negative și numai ele sunt mai mici decât zero. Pe axa numerelor, numerele negative sunt situate la stânga lui zero. Pentru ei, precum și pentru numerele pozitive, este definită o relație de ordine care vă permite să comparați un întreg cu altul.

Pentru fiecare număr natural n există un singur număr negativ, notat cu -n, care completează n la zero:

O teorie completă și destul de riguroasă a numerelor negative a fost creată abia în secolul al XIX-lea (William Hamilton și Hermann Grassmann).

numere negative celebre

Vezi si

Literatură

• Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazer G.I. Istoria matematicii în școală. - M .: Educaţie, 1964. - 376 p.

Note

Fundația Wikimedia. 2010 .

• Piatră
• Ozon (dezambiguizare)

Vedeți ce este „număr negativ” în alte dicționare:

UN NUMĂR NEGAT- un număr real a mai mic decât zero, adică satisfacerea inegalității a... Marea Enciclopedie Politehnică- 1,50. distribuție binomială negativă Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete X astfel încât pentru x = 0, 1, 2, ... și parametrii c > 0 (întreg pozitiv), 0< p < 1, где Примечания 1. Название… … Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Numărul lupului- (W) caracteristica cantitativă a gradului de activitate solară; reprezintă numărul de pete solare și grupurile acestora, exprimat sub forma unui indicator condiționat: W \u003d k (m + 10n), unde m este numărul total al tuturor petelor solare dispuse în grupuri sau situate ... ... ecologie umană

Numerele negative sunt numere cu semnul minus (-), de exemplu -1, -2, -3. Se citește ca: minus unu, minus doi, minus trei.

Exemplu de aplicație numere negative este un termometru care arată temperatura corpului, aerului, solului sau apei. Iarna, când afară este foarte frig, temperatura este negativă (sau, după cum spun oamenii, „minus”).

De exemplu, -10 grade rece:

Numerele obișnuite pe care le-am considerat mai devreme, cum ar fi 1, 2, 3, se numesc pozitive. Numerele pozitive sunt numere cu semnul plus (+).

Când scriem numere pozitive, semnul + nu este scris, motiv pentru care vedem numerele 1, 2, 3 care ne sunt familiare, dar trebuie avut în vedere că aceste numere pozitive arată astfel: +1, + 2, +3.

Conținutul lecției

Aceasta este o linie dreaptă pe care sunt situate toate numerele: atât negative, cât și pozitive. După cum urmează:

Aici sunt afișate numere de la -5 la 5. De fapt, linia de coordonate este infinită. Figura arată doar un mic fragment din ea.

Numerele de pe linia de coordonate sunt marcate ca puncte. În figură, punctul negru îndrăzneț este punctul de plecare. Numărătoarea inversă începe de la zero. În stânga punctului de referință sunt marcate numerele negative, iar în dreapta, cele pozitive.

Linia de coordonate continuă la nesfârșit pe ambele părți. Infinitul în matematică este notat cu simbolul ∞. Direcția negativă va fi notată prin simbolul −∞, iar cea pozitivă cu simbolul +∞. Apoi putem spune că toate numerele de la minus infinit la plus infinit sunt situate pe linia de coordonate:

Fiecare punct de pe linia de coordonate are propriul nume și coordonată. Nume este orice literă latină. Coordona este un număr care indică poziția unui punct pe această dreaptă. Mai simplu spus, coordonata este același număr pe care vrem să-l marchem pe linia de coordonate.

De exemplu, punctul A(2) se citește ca "punctul A cu coordonata 2" și va fi notat pe linia de coordonate după cum urmează:

Aici A este numele punctului, 2 este coordonata punctului A.

Exemplul 2 Punctul B(4) arată astfel "punctul B la coordonata 4"

Aici B este numele punctului, 4 este coordonata punctului b.

Exemplul 3 Punctul M(−3) se citește ca „punctul M cu coordonatele minus trei” și va fi notat pe linia de coordonate după cum urmează:

Aici M este numele punctului, −3 este coordonata punctului M .

Punctele pot fi notate cu orice litere. Dar este în general acceptat să le desemnăm cu majuscule latine. Mai mult, începutul raportului, care se numește altfel origine de obicei notat cu litera O majusculă

Este ușor de observat că numerele negative se află la stânga originii, iar numerele pozitive la dreapta.

Există fraze ca „cu cât mai mult la stânga, cu atât mai puțin”și „cu cât mai mult la dreapta, cu atât mai mult”. Probabil ai ghicit deja despre ce vorbim. Cu fiecare pas spre stânga, numărul va scădea în jos. Și cu fiecare pas spre dreapta, numărul va crește. Săgeata îndreptată spre dreapta indică direcția pozitivă de numărare.

Compararea numerelor negative și pozitive

Regula 1 Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv.

De exemplu, să comparăm două numere: −5 și 3. Minus cinci Mai puțin decât trei, în ciuda faptului că cei cinci atrage atenția în primul rând, ca un număr mai mare de trei.

Acest lucru se datorează faptului că −5 este negativ și 3 este pozitiv. Pe linia de coordonate, puteți vedea unde sunt situate numerele -5 și 3

Se poate observa că −5 se află la stânga și 3 la dreapta. Și noi am spus asta „cu cât mai mult la stânga, cu atât mai puțin” . Și regula spune că orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv. De aici rezultă că

−5 < 3

„Minus cinci este mai puțin de trei”

Regula 2 Dintre cele două numere negative, cel mai mic este cel situat în stânga pe linia de coordonate.

De exemplu, să comparăm numerele -4 și -1. minus patru Mai puțin decât minus unu.

Acest lucru se datorează din nou faptului că pe linia de coordonate −4 este situat mai mult la stânga decât −1

Se poate observa că -4 se află la stânga și -1 la dreapta. Și noi am spus asta „cu cât mai mult la stânga, cu atât mai puțin” . Și regula spune că din două numere negative, cel care este situat în stânga pe linia de coordonate este mai mic. De aici rezultă că

Minus patru este mai puțin decât minus unu

Regula 3 Zero este mai mare decât orice număr negativ.

De exemplu, să comparăm 0 și −3. Zero Mai mult decât minus trei. Acest lucru se datorează faptului că pe linia de coordonate 0 este situat la dreapta decât −3

Se poate observa că 0 se află la dreapta și −3 la stânga. Și noi am spus asta „cu cât mai mult la dreapta, cu atât mai mult” . Și regula spune că zero este mai mare decât orice număr negativ. De aici rezultă că

Zero este mai mare decât minus trei

Regula 4 Zero este mai mic decât orice număr pozitiv.

De exemplu, comparați 0 și 4. Zero Mai puțin decât 4. În principiu, acest lucru este clar și adevărat. Dar vom încerca să o vedem cu ochii noștri, din nou pe linia de coordonate:

Se poate observa că pe linia de coordonate 0 se află la stânga, iar 4 la dreapta. Și noi am spus asta „cu cât mai mult la stânga, cu atât mai puțin” . Și regula spune că zero este mai mic decât orice număr pozitiv. De aici rezultă că

Zero este mai puțin de patru

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Ca număr special, nu are semn.

Exemple de scriere a numerelor: + 36, 6; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ -273;\ 142.) Ultimul număr nu are semn și, prin urmare, este pozitiv.

Rețineți că plus și minus indică semnul pentru numere, dar nu pentru variabile literale sau expresii algebrice. De exemplu, în formule −t; a + b − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) simbolurile plus și minus nu precizează semnul expresiei pe care o preced, ci semnul operației aritmetice, deci semnul rezultatului poate fi orice, se determină numai după ce expresia a fost evaluată.

Pe lângă aritmetică, noțiunea de semn este folosită în alte ramuri ale matematicii, inclusiv pentru obiectele matematice nenumerice (vezi mai jos). Conceptul de semn este, de asemenea, important în acele ramuri ale fizicii în care mărimile fizice sunt împărțite în două clase, numite condiționat pozitiv și negativ - de exemplu, sarcini electrice, feedback pozitiv și negativ, diverse forțe de atracție și repulsie.

Semnul numărului

Numerele pozitive și negative

Zero nu i se atribuie niciun semn, adică + 0 (\displaystyle +0)și − 0 (\displaystyle -0) este același număr în aritmetică. În analiza matematică, semnificația simbolurilor + 0 (\displaystyle +0)și − 0 (\displaystyle -0) poate varia, vezi despre asta Zero negativ și pozitiv; în informatică, codificarea computerului a două zerouri (tip întreg) poate diferi, vezi codul direct.

În legătură cu cele de mai sus, sunt introduși câțiva termeni mai utili:

• Număr nenegativ dacă este mai mare sau egal cu zero.
• Număr nepozitiv dacă este mai mică sau egală cu zero.
• Numerele pozitive diferite de zero și numerele negative diferite de zero sunt uneori numite „strict pozitive” și, respectiv, „strict negative”.

Aceeași terminologie este uneori folosită pentru funcții reale. De exemplu, funcția este numită pozitiv dacă toate valorile sale sunt pozitive, nenegativ, dacă toate valorile sale sunt nenegative etc. Ei spun, de asemenea, că funcția este pozitivă/negativă pe un interval dat al definiției sale..

Pentru un exemplu de utilizare a funcției, consultați articolul Rădăcină pătrată#Numere complexe .

Modulul (valoarea absolută) al unui număr

Dacă numărul x (\displaystyle x) aruncați semnul, valoarea rezultată este numită modul sau valoare absolută numerele x (\displaystyle x), se notează | x | . (\displaystyle |x|.) Exemple: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.)

Pentru orice numere reale a , b (\displaystyle a,b) sunt valabile următoarele proprietăți.

Semnul obiectelor nenumerice

Semn de unghi

Valoarea unghiului pe plan este considerată pozitivă dacă se măsoară în sens invers acelor de ceasornic, în caz contrar este negativă. Două cazuri de rotație sunt clasificate în mod similar:

• rotație pe un plan - de exemplu, rotația cu (–90°) este în sensul acelor de ceasornic;
• rotația în spațiu în jurul unei axe orientate, de regulă, este considerată pozitivă dacă „regula gimlet” este îndeplinită, în caz contrar este considerată negativă.

Semn de directie

În geometria analitică și fizică, progresele de-a lungul unei linii drepte sau curbe date sunt adesea împărțite condiționat în pozitive și negative. O astfel de împărțire poate depinde de formularea problemei sau de sistemul de coordonate ales. De exemplu, atunci când se calculează lungimea unui arc de curbă, este adesea convenabil să se atribuie un semn minus acestei lungimi într-una dintre cele două direcții posibile.

Conectați-vă la computer

bitul cel mai semnificativ
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Pentru a reprezenta semnul unui număr întreg, majoritatea computerelor folosesc