Unul dintre efectele binecunoscute care confirmă natura ondulatorie a luminii este difracția și interferența. Principalul lor domeniu de aplicare este spectroscopia, în care rețelele de difracție sunt folosite pentru a analiza compoziția spectrală a radiațiilor electromagnetice. Formula care descrie poziția maximelor principale date de această rețea este discutată în acest articol.
Care sunt fenomenele de difracție și interferență?
Înainte de a lua în considerare derivarea formulei pentru o rețea de difracție, ar trebui să vă familiarizați cu fenomenele datorită cărora acest rețele este util, adică cu difracția și interferența.
Difracția este procesul de modificare a mișcării frontului de undă atunci când întâlnește un obstacol opac pe drum, ale cărui dimensiuni sunt comparabile cu lungimea de undă. De exemplu, dacă lumina soarelui trece printr-o gaură mică, atunci pe perete se poate observa nu un punct luminos mic (ceea ce ar trebui să se întâmple dacă lumina se propagă în linie dreaptă), ci un punct luminos de o anumită dimensiune. Acest fapt mărturisește natura ondulatorie a luminii.
Interferența este un alt fenomen unic pentru unde. Esența sa constă în impunerea undelor unul asupra celuilalt. Dacă formele de undă din mai multe surse sunt potrivite (coerente), atunci poate fi observat un model stabil de zone luminoase și întunecate alternante pe ecran. Minimele dintr-o astfel de imagine sunt explicate prin sosirea undelor într-un punct dat în antifază (pi și -pi), iar maximele sunt rezultatul undelor care lovesc punctul luat în considerare într-o fază (pi și pi).
Ambele fenomene descrise au fost explicate pentru prima dată de un englez când a investigat difracția luminii monocromatice prin două fante subțiri în 1801.
Principiul Huygens-Fresnel și aproximările câmpului îndepărtat și apropiat
Descrierea matematică a fenomenelor de difracție și interferență este o sarcină nebanală. Găsirea soluției sale exacte necesită efectuarea de calcule complexe care implică teoria Maxwelliană a undelor electromagnetice. Cu toate acestea, în anii 1920, francezul Augustin Fresnel a arătat că, folosind ideile lui Huygens despre sursele secundare de unde, se pot descrie cu succes aceste fenomene. Această idee a condus la formularea principiului Huygens-Fresnel, care stă la baza derivării tuturor formulelor de difracție prin obstacole de formă arbitrară.
Cu toate acestea, nici cu ajutorul principiului Huygens-Fresnel nu se poate rezolva problema difracției într-o formă generală, de aceea, la obținerea formulelor, se recurge la unele aproximări. Principalul este un front de undă plat. Această formă de undă trebuie să cadă pe obstacol, astfel încât o serie de calcule matematice să poată fi simplificate.
Următoarea aproximare este poziția ecranului în care modelul de difracție este proiectat în raport cu obstacolul. Această poziție este descrisă de numărul Fresnel. Se calculeaza astfel:
Unde a este dimensiunile geometrice ale obstacolului (de exemplu, o fantă sau o gaură rotundă), λ este lungimea de undă, D este distanța dintre ecran și obstacol. Dacă pentru un anumit experiment F<<1 (<0,001), тогда говорят о приближении дальнего поля. Соответствующая ему дифракция носит фамилию Фраунгофера. Если же F>1, apoi are loc aproximarea câmpului apropiat sau difracția Fresnel.
Diferența dintre difracția Fraunhofer și Fresnel constă în condițiile diferite pentru fenomenul de interferență la distanțe mici și mari de obstacol.
Derivarea formulei pentru maximele principale ale rețelei de difracție, care va fi prezentată mai târziu în articol, implică luarea în considerare a difracției Fraunhofer.
Rețeaua de difracție și tipurile sale
Acest grătar este o placă de sticlă sau plastic transparent de câțiva centimetri, pe care se aplică lovituri opace de aceeași grosime. Cursele sunt situate la o distanță constantă d una de alta. Această distanță se numește perioadă de rețea. Alte două caracteristici importante ale dispozitivului sunt constanta rețelei a și numărul de fante transparente N. Valoarea lui a determină numărul de fante pe 1 mm de lungime, deci este invers proporțională cu perioada d.
Există două tipuri de rețele de difracție:
- Transparent, așa cum este descris mai sus. Modelul de difracție dintr-un astfel de rețele rezultă din trecerea unui front de undă prin acesta.
- reflectorizant. Se realizează prin aplicarea unor mici caneluri pe o suprafață netedă. Difracția și interferența de la o astfel de placă apar din cauza reflectării luminii din vârfurile fiecărei caneluri.
Indiferent de tipul de grătar, ideea efectului său asupra frontului de undă este de a crea o perturbare periodică în acesta. Acest lucru duce la formarea unui număr mare de surse coerente, rezultatul interferenței cărora este un model de difracție pe ecran.
Formula de bază a unui rețele de difracție
Derivarea acestei formule presupune luarea în considerare a dependenței intensității radiației de unghiul de incidență a acesteia pe ecran. În aproximarea câmpului îndepărtat, se obține următoarea formulă pentru intensitatea I(θ):
I(θ) = I0 *(sin(β)/β)2*2, unde
α = pi*d/λ*(sin(θ) - sin(θ 0));
β = pi*a/λ*(sin(θ) - sin(θ 0)).
În formulă, lățimea fantei rețelei de difracție este notă cu simbolul a. Prin urmare, factorul din paranteze este responsabil pentru difracția cu o fantă. Valoarea lui d este perioada rețelei de difracție. Formula arată că factorul dintre paranteze pătrate în care apare această perioadă descrie interferența din setul de fante de rețea.
Folosind formula de mai sus, puteți calcula valoarea intensității pentru orice unghi de incidență a luminii.
Dacă găsim valoarea maximelor de intensitate I(θ), atunci putem concluziona că acestea apar cu condiția ca α = m*pi, unde m este orice număr întreg. Pentru condiția maximă, obținem:
m*pi = pi*d/λ*(sin(θ m) - sin(θ 0)) =>
sin (θ m) - sin (θ 0) \u003d m * λ / d.
Expresia rezultată se numește formula pentru maximele rețelei de difracție. Numerele m sunt de ordinul difracției.
Alte moduri de a scrie formula de bază pentru zăbrele
Rețineți că formula dată în paragraful anterior conține termenul sin(θ 0). Aici, unghiul θ 0 reflectă direcția de incidență a frontului undei luminoase în raport cu planul rețelei. Când frontul cade paralel cu acest plan, atunci θ 0 = 0 o . Apoi obținem expresia maximelor:
Deoarece constanta rețelei a (a nu se confunda cu lățimea fantei) este invers proporțională cu valoarea lui d, formula de mai sus poate fi rescrisă în termenii constantei rețelei de difracție ca:
Pentru a evita erorile atunci când înlocuiți anumite numere λ, a și d în aceste formule, trebuie să utilizați întotdeauna unitățile SI corespunzătoare.
Conceptul de dispersie unghiulară a grătarului
Vom nota această valoare cu litera D. Conform definiției matematice, se scrie astfel:
Semnificația fizică a dispersiei unghiulare D este că arată cu ce unghi dθ m se va deplasa maximul pentru ordinul de difracție m dacă lungimea de undă incidentă este modificată cu dλ.
Dacă aplicăm această expresie la ecuația rețelei, atunci obținem formula:
Dispersia rețelei de difracție unghiulară este determinată de formula de mai sus. Se poate observa că valoarea lui D depinde de ordinul m și de perioada d.
Cu cât dispersia D este mai mare, cu atât rezoluția unei rețele date este mai mare.
Rezoluția grătarului
Rezoluția este înțeleasă ca o mărime fizică care arată cu ce valoare minimă pot diferi două lungimi de undă, astfel încât maximele lor să apară separat în modelul de difracție.
Rezoluția este determinată de criteriul Rayleigh. Se spune: două maxime pot fi separate într-un model de difracție dacă distanța dintre ele este mai mare decât jumătatea lățimii fiecăruia dintre ele. Jumătatea unghiulară a maximului pentru grătar este determinată de formula:
Δθ 1/2 = λ/(N*d*cos(θ m)).
Rezoluția rețelei în conformitate cu criteriul Rayleigh este:
Δθ m >Δθ 1/2 sau D*Δλ>Δθ 1/2.
Înlocuind valorile lui D și Δθ 1/2, obținem:
Δλ*m/(d*cos(θ m))>λ/(N*d*cos(θ m) =>
Δλ > λ/(m*N).
Aceasta este formula pentru rezoluția unui rețele de difracție. Cu cât este mai mare numărul de curse N pe placă și cu cât este mai mare ordinul de difracție, cu atât rezoluția pentru o anumită lungime de undă λ este mai mare.
Rețeaua de difracție în spectroscopie
Să scriem încă o dată ecuația de bază a maximelor pentru rețea:
Se poate observa aici că, cu cât lungimea de undă cade mai mult pe placa cu lovituri, cu atât valorile unghiurilor vor apărea mai mari pe maximele ecranului. Cu alte cuvinte, dacă lumina nemonocromatică (de exemplu, albă) este trecută prin placă, atunci apariția maximelor de culoare poate fi văzută pe ecran. Pornind de la maximul central alb (difracție de ordin zero), maximele vor apărea mai departe pentru undele mai scurte (violete, albastre), iar apoi pentru cele mai lungi (portocaliu, roșu).
O altă concluzie importantă din această formulă este dependența unghiului θ m de ordinul difracției. Cu cât m este mai mare, cu atât valoarea lui θ m este mai mare. Aceasta înseamnă că liniile colorate vor fi mai separate una de cealaltă la maxime pentru un ordin de difracție ridicat. Acest fapt a fost deja consacrat când s-a luat în considerare rezoluția de grilaj (vezi paragraful anterior).
Capacitățile descrise ale unui rețele de difracție fac posibilă utilizarea acestuia pentru a analiza spectrele de emisie ale diferitelor obiecte luminoase, inclusiv stele și galaxii îndepărtate.
Exemplu de rezolvare a problemei
Să arătăm cum să folosim formula rețelei de difracție. Lungimea de undă a luminii care cade pe rețea este de 550 nm. Este necesar să se determine unghiul la care apare difracția de ordinul întâi dacă perioada d este de 4 µm.
Convertiți toate datele în unități SI și înlocuiți în această egalitate:
θ 1 \u003d arcsin (550 * 10 -9 / (4 * 10 -6)) \u003d 7,9 o.
Dacă ecranul se află la o distanță de 1 metru de rețea, atunci de la mijlocul maximului central, linia de ordinul întâi de difracție pentru o undă de 550 nm va apărea la o distanță de 13,8 cm, ceea ce corespunde unei unghi de 7,9 o .
DEFINIȚIE
Rețeaua de difracție este cel mai simplu instrument spectral. Conține un sistem de fante care separă spațiile opace.
Rețelele de difracție sunt împărțite în unidimensionale și multidimensionale. O rețea de difracție unidimensională constă din secțiuni paralele transparente la lumină de aceeași lățime, care sunt situate în același plan. Zonele transparente separă golurile opace. Cu aceste rețele, observațiile se fac în lumină transmisă.
Există rețele de difracție reflectorizante. Un astfel de grătar este, de exemplu, o placă metalică lustruită (oglindă), pe care se aplică lovituri cu un tăietor. Rezultatul sunt zone care reflectă lumina și zone care împrăștie lumina. Observarea cu un astfel de grătar se realizează în lumină reflectată.
Modelul de difracție a rețelei este rezultatul interferenței reciproce a undelor care provin din toate fantele. Prin urmare, cu ajutorul unui rețele de difracție, se realizează interferența cu mai multe căi a fasciculelor de lumină coerente care au suferit difracție și care provin din toate fantele.
Perioada de grătar
Dacă notăm lățimea fantului de pe grătare ca a, lățimea secțiunii opace - b, atunci suma acestor doi parametri este perioada de grătare (d):
Perioada unei rețele de difracție este uneori numită și constanta rețelei de difracție. Perioada unei rețele de difracție poate fi definită ca distanța pe care se repetă liniile de pe rețea.
Constanta rețelei de difracție poate fi găsită dacă se cunoaște numărul de șanțuri (N) pe care le are rețeaua la 1 mm din lungimea sa:
Perioada rețelei de difracție este inclusă în formulele care descriu modelul de difracție pe acesta. Deci, dacă o undă monocromatică este incidentă pe o rețea de difracție unidimensională perpendicular pe planul său, atunci minimele de intensitate principale sunt observate în direcțiile determinate de condiția:
unde este unghiul dintre normala rețelei și direcția de propagare a razelor difractate.
Pe lângă minimele principale, ca urmare a interferenței reciproce a razelor de lumină trimise de o pereche de fante, acestea se anulează reciproc în unele direcții, rezultând minime de intensitate suplimentare. Ele apar în direcții în care diferența în calea razelor este un număr impar de semi-unde. Condiția minimelor suplimentare este scrisă astfel:
unde N este numărul de fante ale rețelei de difracție; ia orice valoare întreagă cu excepția 0. Dacă rețeaua are N sloturi, atunci între cele două maxime principale există un minim suplimentar care separă maximele secundare.
Condiția pentru maximele principale pentru rețeaua de difracție este expresia:
Valoarea sinusului nu poate depăși unu, prin urmare, numărul maximelor principale (m):
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Exercițiu | Un fascicul de lumină trece printr-o rețea de difracție cu o lungime de undă de . Un ecran este plasat la o distanță L de rețea, pe care se formează un model de difracție folosind o lentilă. Se obţine că primul maxim de difracţie este situat la o distanţă x de cel central (Fig. 1). Care este perioada de grilaj (d)? |
| Soluţie | Să facem un desen. Rezolvarea problemei se bazează pe condiția maximelor principale ale modelului de difracție: După starea problemei, vorbim despre primul maxim principal, apoi . Din fig. 1 obținem că:
Din expresiile (1.2) și (1.1) avem:
Exprimăm perioada dorită a rețelei, obținem:
|
| Răspuns |
1. Difracția luminii. Principiul Huygens-Fresnel.
2. Difracția luminii printr-o fantă în fascicule paralele.
3. Rețeaua de difracție.
4. Spectrul de difracție.
5. Caracteristicile unui rețele de difracție ca dispozitiv spectral.
6. Analiza difracției de raze X.
7. Difracția luminii printr-o gaură rotundă. rezoluția diafragmei.
8. Concepte și formule de bază.
9. Sarcini.
Într-un sens îngust, dar cel mai frecvent folosit, difracția luminii este rotunjirea granițelor corpurilor opace de către razele de lumină, pătrunderea luminii în regiunea unei umbre geometrice. În fenomenele asociate cu difracția, există o abatere semnificativă a comportamentului luminii de la legile opticii geometrice. (Difracția nu apare doar pentru lumină.)
Difracția este un fenomen ondulatoriu care se manifestă cel mai clar atunci când dimensiunile obstacolului sunt proporționale (de același ordin) cu lungimea de undă a luminii. Descoperirea relativ târzie a difracției luminii (secolele XVI-XVII) este legată de dimensiunile mici ale luminii vizibile.
21.1. Difracția luminii. Principiul Huygens-Fresnel
Difracția luminii numit complex de fenomene care se datorează naturii sale ondulatorii și se observă în timpul propagării luminii într-un mediu cu neomogenități ascuțite.
O explicație calitativă a difracției este dată de principiul Huygens, care stabileşte metoda de construire a frontului de undă la momentul t + Δt dacă se cunoaşte poziţia acestuia la momentul t.
1. Potrivit principiul Huygens, fiecare punct al frontului de undă este centrul undelor secundare coerente. Învelișul acestor unde indică poziția frontului de undă în momentul următor.
Să explicăm aplicarea principiului Huygens prin următorul exemplu. Lasă o undă plană să cadă pe o barieră cu o gaură, al cărei față este paralel cu bariera (Fig. 21.1).
Orez. 21.1. Explicația principiului lui Huygens
Fiecare punct al frontului de undă emis de gaură servește ca centru al undelor sferice secundare. Figura arată că învelișul acestor unde pătrunde în regiunea umbrei geometrice, ale cărei limite sunt marcate cu o linie întreruptă.
Principiul lui Huygens nu spune nimic despre intensitatea undelor secundare. Acest dezavantaj a fost eliminat de Fresnel, care a completat principiul Huygens cu conceptul de interferență a undelor secundare și a amplitudinilor acestora. Principiul Huygens completat în acest fel se numește principiul Huygens-Fresnel.
2. Potrivit principiul Huygens-Fresnel magnitudinea oscilațiilor luminii la un punct O este rezultatul interferenței în acest punct a undelor secundare coerente emise toata lumea elementele suprafeței valului. Amplitudinea fiecărei unde secundare este proporțională cu aria elementului dS, invers proporțională cu distanța r până la punctul O și scade odată cu creșterea unghiului α între normal n la elementul dS și direcția către punctul O (Fig. 21.2).
Orez. 21.2. Emisia undelor secundare de către elementele de suprafață a valurilor
21.2. Difracția fantei în fascicule paralele
Calculele legate de aplicarea principiului Huygens-Fresnel, în cazul general, sunt o problemă matematică complexă. Cu toate acestea, într-un număr de cazuri cu un grad ridicat de simetrie, amplitudinea oscilațiilor rezultate poate fi găsită prin însumare algebrică sau geometrică. Să demonstrăm acest lucru calculând difracția luminii printr-o fantă.
Lasă o undă luminoasă monocromatică plană să cadă pe o fantă îngustă (AB) într-o barieră opacă, a cărei direcție de propagare este perpendiculară pe suprafața fantei (Fig. 21.3, a). În spatele fantei (paralel cu planul ei) plasăm o lentilă convergentă, în plan focal pe care asezam ecranul E. Toate undele secundare emise de la suprafata fantei in directia paralel axa optică a lentilei (α = 0), intră în focalizarea lentilei in aceeasi faza. Prin urmare, în centrul ecranului (O) există maxim interferență pentru unde de orice lungime. Se numește maxim ordinul zero.
Pentru a afla natura interferenței undelor secundare emise în alte direcții, împărțim suprafața slotului în n zone identice (se numesc zone Fresnel) și luăm în considerare direcția pentru care este îndeplinită condiția:
unde b este lățimea slotului și λ - lungimea undei luminoase.
Razele undelor de lumină secundare care călătoresc în această direcție se vor intersecta în punctul O.
Orez. 21.3. Difracția printr-o fantă: a - calea razei; b - distribuția intensității luminii (f - distanța focală a lentilei)
Produsul bsina este egal cu diferența de cale (δ) dintre razele care vin de la marginile fantei. Apoi diferența în calea razelor care vin din vecine Zonele Fresnel este egală cu λ/2 (vezi formula 21.1). Astfel de raze se anulează reciproc în timpul interferenței, deoarece au aceleași amplitudini și faze opuse. Să luăm în considerare două cazuri.
1) n = 2k este un număr par. În acest caz, are loc stingerea în perechi a razelor din toate zonele Fresnel, iar în punctul O" se observă un minim al modelului de interferență.
Minim intensitatea în timpul difracției cu fantă se observă pentru direcțiile razelor undelor secundare care satisfac condiția
Un întreg k se numește comandă minimă.
2) n = 2k - 1 este un număr impar. În acest caz, radiația unei zone Fresnel va rămâne nestinsă, iar în punctul O" se va observa maximul modelului de interferență.
Intensitatea maximă în timpul difracției cu fantă se observă pentru direcțiile razelor undelor secundare care îndeplinesc condiția:
Un întreg k se numește comanda maxima. Reamintim că pentru direcția α = 0 avem ordin maxim zero.
Din formula (21.3) rezultă că pe măsură ce lungimea de undă a luminii crește, unghiul la care se observă un maxim de ordinul k > 0 crește. Aceasta înseamnă că pentru același k, dunga violet este cel mai aproape de centrul ecranului, iar cea roșie este cea mai îndepărtată.
În figura 21.3, b arată distribuția intensității luminii pe ecran în funcție de distanța până la centrul acestuia. Cea mai mare parte a energiei luminoase este concentrată în maximul central. Pe măsură ce ordinul maximului crește, intensitatea acestuia scade rapid. Calculele arată că I 0:I 1:I 2 = 1:0.047:0.017.
Dacă fanta este iluminată cu lumină albă, atunci maximul central va fi alb pe ecran (este comun pentru toate lungimile de undă). Maximele laterale vor consta din benzi colorate.
Un fenomen similar cu difracția cu fantă poate fi observat pe o lamă de ras.
21.3. Rețeaua de difracție
În cazul difracției cu fantă, intensitățile maximelor de ordinul k > 0 sunt atât de nesemnificative încât nu pot fi folosite pentru rezolvarea problemelor practice. Prin urmare, ca instrument spectral este utilizat rețeaua de difracție, care este un sistem de sloturi paralele echidistante. O rețea de difracție poate fi obținută prin aplicarea de linii opace (zgârieturi) pe o placă de sticlă plan-paralelă (Fig. 21.4). Spațiul dintre curse (fante) transmite lumină.
Mijloacele sunt aplicate pe suprafața grătarului cu un tăietor diamant. Densitatea lor ajunge la 2000 de lovituri pe milimetru. În acest caz, lățimea grătarului poate fi de până la 300 mm. Numărul total de sloturi de zăbrele este notat cu N.
Se numește distanța d dintre centrele sau marginile fantelor adiacente constanta (perioada) rețeaua de difracție.
Modelul de difracție pe rețea este definit ca rezultat al interferenței reciproce a undelor care provin din toate fante.
Calea razelor în rețeaua de difracție este prezentată în Fig. 21.5.
Lasă o undă luminoasă monocromatică plană să cadă pe rețea, a cărei direcție de propagare este perpendiculară pe planul rețelei. Atunci suprafețele slotului aparțin aceleiași suprafețe de undă și sunt surse de unde secundare coerente. Luați în considerare undele secundare a căror direcție de propagare satisface condiția
După trecerea prin lentilă, razele acestor unde se vor intersecta în punctul O.
Produsul dsina este egal cu diferența de cale (δ) dintre razele care vin de la marginile fantelor învecinate. Când condiția (21.4) este îndeplinită, undele secundare ajung în punctul O" in aceeasi faza iar pe ecran apare maximul modelului de interferență. Se numesc condiţiile maxime de satisfacere (21.4). maximele principale ale ordinului k. Condiția (21.4) însăși este numită formula de bază a rețelei de difracție.
Înalte majoreîn timpul difracției în rețea se observă direcțiile razelor undelor secundare care îndeplinesc condiția: dsinα = ± κ λ; k = 0,1,2,...
Orez. 21.4. Secțiunea transversală a rețelei de difracție (a) și simbolul său (b)
Orez. 21.5. Difracția luminii pe un rețele de difracție
Dintr-o serie de motive care nu sunt luate în considerare aici, există (N - 2) maxime suplimentare între maximele principale. Cu un număr mare de fante, intensitatea lor este neglijabilă, iar întregul spațiu dintre maximele principale pare întunecat.
Condiția (21.4), care determină pozițiile tuturor maximelor principale, nu ia în considerare difracția printr-o singură fante. Se poate întâmpla ca pentru o anumită direcție starea maxim pentru zăbrele (21.4) și condiția minim pentru decalajul (21.2). În acest caz, maximul principal corespunzător nu apare (formal, există, dar intensitatea sa este zero).
Cu cât este mai mare numărul de fante din rețeaua de difracție (N), cu atât mai multă energie luminoasă trece prin rețea, cu atât maximele vor fi mai intense și mai clare. Figura 21.6 prezintă graficele de distribuție a intensității obținute din rețele cu diferite numere de sloturi (N). Perioadele (d) și lățimile fantelor (b) sunt aceleași pentru toate grătarele.
Orez. 21.6. Distribuția intensității pentru diferite valori ale N
21.4. Spectrul de difracție
Din formula de bază a rețelei de difracție (21.4) se poate observa că unghiul de difracție α, la care se formează maximele principale, depinde de lungimea de undă a luminii incidente. Prin urmare, maximele de intensitate corespunzătoare diferitelor lungimi de undă sunt obținute în locuri diferite de pe ecran. Acest lucru face posibilă utilizarea rețelei ca dispozitiv spectral.
Spectrul de difracție- spectrul obţinut cu ajutorul unui reţele de difracţie.
Când lumina albă cade pe un rețele de difracție, toate maximele, cu excepția celui central, se descompun într-un spectru. Poziția maximului de ordin k pentru lumina cu lungimea de undă λ este dată de:
Cu cât lungimea de undă (λ) este mai mare, cu atât maximul k-lea este mai departe de centru. Prin urmare, regiunea violetă a fiecărui maxim principal va fi îndreptată spre centrul modelului de difracție, iar regiunea roșie va fi spre exterior. Rețineți că atunci când lumina albă este descompusă de o prismă, razele violete sunt mai puternic deviate.
Notând formula rețelei de bază (21.4), am indicat că k este un număr întreg. Cât de mare poate fi? Răspunsul la această întrebare este dat de inegalitatea |sinα|< 1. Из формулы (21.5) найдем
unde L este lățimea rețelei și N este numărul de curse.
De exemplu, pentru un grătar cu o densitate de 500 de linii pe mm, d = 1/500 mm = 2x10 -6 m. Pentru lumină verde cu λ = 520 nm = 520x10 -9 m, obținem k< 2х10 -6 /(520 х10 -9) < 3,8. Таким образом, для такой решетки (весьма средней) порядок наблюдаемого максимума не превышает 3.
21.5. Caracteristicile unui rețele de difracție ca dispozitiv spectral
Formula de bază a unui rețele de difracție (21.4) face posibilă determinarea lungimii de undă a luminii prin măsurarea unghiului α corespunzător poziției k-lea maxim. Astfel, rețeaua de difracție face posibilă obținerea și analiza spectrelor luminii complexe.
Caracteristicile spectrale ale rețelei
Dispersia unghiulara - o valoare egală cu raportul dintre modificarea unghiului la care se observă maximul de difracție și modificarea lungimii de undă:
unde k este ordinul maximului, α -
unghiul la care se observă.
Dispersia unghiulară este cu atât mai mare, cu atât ordinul k al spectrului este mai mare și perioada de rețea (d) este mai mică.
Rezoluţie(puterea de rezoluție) a unui rețele de difracție - o valoare care îi caracterizează capacitatea de a da
unde k este ordinul maximului și N este numărul de linii de rețea.
Din formula se poate observa că liniile apropiate care se îmbină în spectrul de ordinul întâi pot fi percepute separat în spectrele de ordinul al doilea sau al treilea.
21.6. Analiza difracției cu raze X
Formula de bază a rețelei de difracție poate fi folosită nu numai pentru a determina lungimea de undă, ci și pentru a rezolva problema inversă - găsirea constantei rețelei de difracție de la o lungime de undă cunoscută.
Rețeaua structurală a unui cristal poate fi luată ca o rețea de difracție. Dacă un flux de raze X este direcționat către o rețea cristalină simplă la un anumit unghi θ (Fig. 21.7), atunci acestea vor difracta, deoarece distanța dintre centrele de împrăștiere (atomi) din cristal corespunde cu
lungimea de undă a razelor X. Dacă o placă fotografică este plasată la o oarecare distanță de cristal, aceasta va înregistra interferența razelor reflectate.
unde d este distanța interplanară în cristal, θ este unghiul dintre plan
Orez. 21.7. Difracția de raze X pe o rețea cristalină simplă; punctele indică aranjarea atomilor
cristalul și fasciculul de raze X incident (unghiul de privire), λ este lungimea de undă a radiației de raze X. Relația (21.11) se numește condiția Bragg-Wulf.
Dacă lungimea de undă a razelor X este cunoscută și se măsoară unghiul θ corespunzător condiției (21.11), atunci distanța interplanară (interatomică) d poate fi determinată. Aceasta se bazează pe analiza de difracție cu raze X.
Analiza difracției cu raze X - o metodă pentru determinarea structurii unei substanțe prin studierea modelelor de difracție de raze X pe probele studiate.
Modelele de difracție a razelor X sunt foarte complexe, deoarece un cristal este un obiect tridimensional și razele X pot difracta pe diferite planuri la unghiuri diferite. Dacă substanța este un singur cristal, atunci modelul de difracție este o alternanță de pete întunecate (expuse) și luminoase (neexpuse) (Fig. 21.8, a).
În cazul în care substanța este un amestec dintr-un număr mare de cristale foarte mici (ca într-un metal sau pulbere), apare o serie de inele (Fig. 21.8, b). Fiecărui inel îi corespunde un maxim de difracție de un anumit ordin k, în timp ce radiografia se formează sub formă de cercuri (Fig. 21.8, b).
Orez. 21.8. Model de raze X pentru un singur cristal (a), model de raze X pentru un policrist (b)
Analiza de difracție cu raze X este, de asemenea, utilizată pentru a studia structurile sistemelor biologice. De exemplu, structura ADN-ului a fost stabilită prin această metodă.
21.7. Difracția luminii printr-o gaură circulară. Rezoluția diafragmei
În concluzie, să luăm în considerare problema difracției luminii printr-o gaură rotundă, care prezintă un mare interes practic. Astfel de găuri sunt, de exemplu, pupila ochiului și lentila microscopului. Lăsați lumina dintr-o sursă punctuală să cadă pe obiectiv. Lentila este o gaură care lasă doar să treacă parte undă de lumină. Din cauza difracției de pe ecranul situat în spatele lentilei, va apărea un model de difracție, prezentat în Fig. 21.9, a.
În ceea ce privește decalajul, intensitățile maximelor laterale sunt mici. Maximul central sub forma unui cerc luminos (pata de difracție) este imaginea unui punct luminos.
Diametrul punctului de difracție este determinat de formula:
unde f este distanța focală a lentilei și d este diametrul acesteia.
Dacă lumina din două surse punctiforme cade pe gaură (diafragmă), atunci în funcție de distanța unghiulară dintre ele (β) punctele lor de difracție pot fi percepute separat (Fig. 21.9, b) sau pot fi fuzionate (Fig. 21.9, c).
Prezentăm fără derivare o formulă care oferă o imagine separată a surselor punctuale din apropiere pe ecran (rezoluția diafragmei):
unde λ este lungimea de undă a luminii incidente, d este diametrul deschiderii (diafragmei), β este distanța unghiulară dintre surse.
Orez. 21.9. Difracția printr-o gaură circulară din două surse punctuale
21.8. Concepte și formule de bază
Sfârșitul mesei
21.9. Sarcini
1. Lungimea de undă a luminii incidente pe fantă perpendiculară pe planul său se potrivește în lățimea fantei de 6 ori. În ce unghi se va vedea cel de-al treilea minim de difracție?
2. Determinați perioada unui grătar cu lățimea L = 2,5 cm și N = 12500 linii. Scrieți răspunsul în micrometri.
Soluţie
d = L/N = 25.000 um/12.500 = 2 um. Răspuns: d = 2 µm.
3. Care este constanta rețelei de difracție dacă linia roșie (700 nm) din spectrul de ordinul 2 este vizibilă la un unghi de 30°?
4. Rețeaua de difracție conține N = 600 linii per L = 1 mm. Găsiți cea mai mare ordine a spectrului pentru lumina cu o lungime de undă λ = 600 nm.
5. Lumina portocalie la 600 nm și lumina verde la 540 nm trec printr-o rețea de difracție având 4000 de linii pe centimetru. Care este distanța unghiulară dintre maximele portocalii și cele verzi: a) ordinul întâi; b) ordinul al treilea?
Δα \u003d α op - α z \u003d 13,88 ° - 12,47 ° \u003d 1,41 °.
6.
Aflați ordinul cel mai înalt al spectrului pentru linia galbenă de sodiu λ = 589 nm dacă constanta rețelei este d = 2 μm.
Soluţie
Să aducem d și λ la aceleași unități: d = 2 µm = 2000 nm. Prin formula (21.6) găsim k< d/λ = 2000/ 589 = 3,4. Răspuns: k = 3.
7. Un rețele de difracție cu N = 10.000 de sloturi este utilizat pentru a studia spectrul luminii în regiunea de 600 nm. Găsiți diferența minimă de lungime de undă care poate fi detectată printr-un astfel de rețele atunci când se observă maxime de ordinul doi.
Continuând raționamentul pentru cinci, șase sloturi etc., putem stabili următoarea regulă: dacă există sloturi între două maxime adiacente, se formează minime; diferența în calea razelor de la două fante adiacente pentru maxime ar trebui să fie egală cu un număr întreg X, iar pentru minime - Spectrul de difracție de la fante are forma prezentată în Fig. Maximele suplimentare situate între două minime adiacente creează o iluminare (fond) foarte slabă pe ecran.
Partea principală a energiei undei luminoase trecute prin rețeaua de difracție este redistribuită între maximele principale, formate în direcțiile în care 3, se numește „ordinea” maximului.
Evident, cu cât este mai mare numărul de fante, cu atât este mai mare cantitatea de energie luminoasă care trece prin grătar, cu cât se formează mai multe minime între maximele principale adiacente, cu atât maximele vor fi mai intense și mai clare.
Dacă lumina incidentă pe rețeaua de difracție constă din două radiații monocromatice cu lungimi de undă și maximele lor principale sunt situate în locuri diferite pe ecran. Pentru lungimi de undă foarte apropiate una de cealaltă (radiație cu o singură culoare), maximele de pe ecran pot fi atât de apropiate una de cealaltă, încât se îmbină într-o bandă luminoasă comună (Fig. IV.27, b). Dacă vârful unui maxim coincide cu sau este situat mai departe (a) decât cel mai apropiat minim al celui de-al doilea val, atunci prezența a două unde poate fi stabilită cu încredere prin distribuția iluminării pe ecran (sau, după cum se spune, " rezolva” aceste unde).
Să derivăm condiția de solvabilitate a două unde: maximul (adică, ordinea maximă) undei se va obține, conform formulei (1.21), la un unghi care satisface condiția.Condiția de solvabilitate limită impune ca la același unghi pe care îl obținem
minimul undei cel mai apropiat de maximul ei (Fig. IV.27, c). Conform celor de mai sus, pentru a obține cel mai apropiat minim, la diferența de drum ar trebui adăugată o adăugare suplimentară.Astfel, condiția de coincidență a unghiurilor la care se obțin maximul și minimul duce la relația
Dacă este mai mare decât produsul numărului de sloturi în ordinea spectrului, atunci maximele nu vor fi rezolvate. Evident, dacă două maxime nu sunt rezolvate în spectrul de ordine, atunci ele pot fi rezolvate în spectrul ordinelor superioare. Conform expresiei (1.22), cu cât este mai mare numărul de fascicule care interferează între ele și cu cât diferența de cale A dintre ele este mai mare, cu atât undele mai apropiate pot fi rezolvate.
Într-o rețea de difracție, adică numărul de sloturi este mare, dar ordinea spectrului care poate fi utilizat în scopuri de măsurare este mică; la interferometrul Michelson, dimpotrivă, numărul de fascicule interferente este de două, dar diferența de cale dintre ele, care depinde de distanțele până la oglinzi (vezi Fig. IV. 14), este mare, deci ordinea observației spectrul este măsurat prin numere foarte mari.
Distanța unghiulară dintre două maxime învecinate a două unde din apropiere depinde de ordinea spectrului și de perioada de rețea
Perioada de grătar poate fi înlocuită cu numărul de fante pe unitatea de lungime a grătarului:
S-a presupus mai sus că razele incidente pe rețeaua de difracție sunt perpendiculare pe planul său. Cu incidența oblică a razelor (vezi Fig. IV.22, b), maximul zero va fi deplasat și se va deplasa în direcție.
sunt aproape unul de celălalt ca mărime, deci
unde este abaterea unghiulară a maximului de la zero. Să comparăm această formulă cu expresia (1.21), pe care o scriem sub forma deoarece deviația unghiulară cu incidență oblică este mai mare decât cu incidența perpendiculară a razelor. Aceasta corespunde unei scăderi a perioadei de grilaj cu un factor. În consecință, la unghiuri mari de incidență a, este posibil să se obțină spectre de difracție din radiații cu lungime de undă scurtă (de exemplu, raze X) și să se măsoare lungimile de undă ale acestora.
Dacă o undă luminoasă plană nu trece prin fante, ci prin găuri rotunde de diametru mic (Fig. IV.28), atunci spectrul de difracție (pe un ecran plat situat în planul focal al lentilei) este un sistem de întuneric alternant. și inele luminoase. Primul inel întunecat se obține la un unghi care satisface condiția
La cel de-al doilea inel întunecat Procentul cercului de lumină central, numit punct Airy, reprezintă aproximativ 85% din puterea totală de radiație care a trecut prin gaură și lentilă; restul de 15% este distribuit între inelele de lumină care înconjoară acest punct. Dimensiunea spotului Airy depinde de distanța focală a lentilei.
Rețelele de difracție discutate mai sus au constat din „fante” alternante care transmit complet unda luminoasă și „benzi opace” care absorb complet sau reflectă radiația incidentă asupra lor. Putem spune că în astfel de rețele transmisia unei unde luminoase are doar două valori: peste decalaj este egală cu unitatea, iar peste o bandă opacă este zero. Prin urmare, la interfața dintre slot și bandă, transmisia se schimbă brusc de la unitate la zero.
Cu toate acestea, rețelele de difracție pot fi realizate și cu o distribuție diferită a coeficientului de transmisie. De exemplu, dacă un strat absorbant cu o grosime care se schimbă periodic este aplicat pe o placă (sau peliculă) transparentă, atunci în loc să alternați complet
fante transparente și dungi complet opace, este posibil să se obțină un grătar de difracție cu o schimbare lină a transmitanței (în direcția perpendiculară pe fante sau dungi). Un interes deosebit sunt rețelele în care transmitanța variază în funcție de o lege sinusoidală. Spectrul de difracție al unor astfel de rețele nu constă din multe maxime (așa cum se arată pentru rețelele obișnuite în Fig. IV.26), ci doar dintr-un maxim central și două maxime de ordinul întâi situate simetric.
Pentru o undă sferică, este posibil să se realizeze rețele de difracție constând dintr-o multitudine de fante inelare concentrice separate prin inele opace. Este posibil, de exemplu, să se cerneală inele concentrice pe o placă de sticlă (sau pe o peliculă transparentă); în timp ce cercul central, care acoperă centrul acestor inele, poate fi fie transparent, fie umbrit. Astfel de rețele de difracție sunt numite „plăci de zonă” sau rețele. Pentru rețelele de difracție formate din fante și dungi rectilinii, pentru a obține un model de interferență distinct, a fost necesar ca lățimea fantei și perioada rețelei să fie constante; pentru plăcile de zonă, razele și grosimile necesare ale inelelor trebuie calculate în acest scop. Rețelele de zonă pot fi, de asemenea, realizate cu o schimbare lină, de exemplu sinusoidală, a transmitanței de-a lungul razei.
Unul dintre dispozitivele optice importante care și-au găsit aplicația în analiza spectrelor de emisie și absorbție este o rețea de difracție. Acest articol oferă informații care vă permit să înțelegeți ce este o rețea de difracție, care este principiul funcționării acestuia și cum puteți calcula independent poziția maximelor în modelul de difracție pe care îl oferă.
La începutul secolului al XIX-lea, omul de știință englez Thomas Young, studiind comportamentul unui fascicul de lumină monocromatic atunci când acesta era împărțit în jumătate de o placă subțire, a obținut un model de difracție. Era o secvență de dungi luminoase și întunecate pe ecran. Folosind conceptul de lumină ca undă, Jung a explicat corect rezultatele experimentelor sale. Imaginea pe care a observat-o s-a datorat fenomenelor de difracție și interferență.
Difracția este înțeleasă ca curbura traiectoriei rectilinie de propagare a undei atunci când lovește un obstacol opac. Difracția se poate manifesta ca urmare a curbării undei în jurul unui obstacol (acest lucru este posibil dacă lungimea de undă este mult mai mare decât obstacolul) sau ca urmare a unei curburi a traiectoriei, când dimensiunile obstacolului sunt comparabile cu lungimea de undă. . Un exemplu pentru cel din urmă caz este pătrunderea luminii în fante și găuri rotunde mici.
Fenomenul de interferență este suprapunerea unei unde pe alta. Rezultatul acestei suprapuneri este o curbură a formei sinusoidale a undei rezultate. Cazurile particulare de interferență sunt fie amplificarea maximă a amplitudinii, când două unde sosesc în zona considerată a spațiului într-o fază, fie atenuarea completă a procesului undelor, când ambele unde se întâlnesc în zona dată în antifază.
Fenomenele descrise ne permit să înțelegem ce este o rețea de difracție și cum funcționează.
Rețeaua de difracție
Numele în sine spune ce este o rețea de difracție. Este un obiect care consta in alternarea periodica a dungilor transparente si opace. Se poate obține prin creșterea treptată a numărului de sloturi pe care cade frontul de undă. Acest concept este în general aplicabil oricărei undă, cu toate acestea, a găsit utilizare numai pentru regiunea radiației electromagnetice vizibile, adică pentru lumină.
O rețea de difracție este de obicei caracterizată de trei parametri principali:
- Perioada d este distanța dintre două fante prin care trece lumina. Deoarece lungimile de undă ale luminii sunt în intervalul de câteva zecimi de micrometru, valoarea lui d este de ordinul a 1 μm.
- Constanta grătarului a este numărul de fante transparente care se află pe o lungime de 1 mm a grătarului. Constanta rețelei este reciproca perioadei d. Valorile sale tipice sunt 300-600 mm-1. De regulă, valoarea lui a este scrisă pe rețeaua de difracție.
- Numărul total de sloturi este N. Această valoare se obține ușor prin înmulțirea lungimii rețelei de difracție cu constanta acestuia. Deoarece lungimile tipice sunt de câțiva centimetri, fiecare grătar conține aproximativ 10-20 de mii de fante.
Grile transparente si reflectorizante
S-a descris mai sus ce este o rețea de difracție. Acum să răspundem la întrebarea ce este cu adevărat. Există două tipuri de astfel de obiecte optice: transparente și reflectorizante.
Un grătar transparent este o placă subțire de sticlă sau o placă transparentă din plastic pe care se aplică lovituri. Canelurile rețelei de difracție sunt un obstacol pentru lumină, nu poate trece prin ele. Lățimea cursei este perioada menționată anterior d. Golurile transparente rămase între curse joacă rolul de fante. Atunci când se efectuează lucrări de laborator, se utilizează acest tip de zăbrele.
Un grătar reflectorizant este o placă de metal sau plastic lustruit, pe care sunt aplicate caneluri de o anumită adâncime în loc de lovituri. Perioada d este distanța dintre caneluri. Rețelele reflectorizante sunt adesea folosite în analiza spectrelor de radiație, deoarece designul lor permite ca intensitatea maximelor modelului de difracție să fie distribuită în favoarea maximelor de ordin superior. Discul optic CD este un prim exemplu al acestui tip de grătar.
Principiul de funcționare al rețelei
De exemplu, luați în considerare un dispozitiv optic transparent. Să presupunem că lumina având un front plat este incidentă pe un rețele de difracție. Acesta este un punct foarte important, deoarece formulele de mai jos iau în considerare faptul că frontul de undă este plat și paralel cu placa în sine (difracția Fraunhofer). Curse distribuite conform legii periodice introduc o perturbare în acest front, în urma căreia se creează o situație la ieșirea din placă, de parcă ar funcționa multe surse secundare de radiații coerente (principiul Huygens-Fresnel). Aceste surse duc la apariția difracției.
Din fiecare sursă (decalajul dintre curse) se propagă o undă care este coerentă cu toate celelalte unde N-1. Acum să presupunem că un ecran este plasat la o anumită distanță de placă (distanța trebuie să fie suficientă pentru ca numărul Fresnel să fie mult mai mic decât unu). Dacă te uiți la ecran de-a lungul unei perpendiculare trase spre centrul plăcii, atunci ca urmare a suprapunerii de interferență a undelor din aceste N surse, pentru unele unghiuri θ, se vor observa dungi luminoase, între care va exista o umbră .
Deoarece condiția maximelor de interferență este o funcție a lungimii de undă, dacă lumina incidentă pe placă ar fi albă, pe ecran ar apărea dungi luminoase multicolore.
Formula de bază
După cum sa menționat, frontul de undă plat incident pe rețeaua de difracție este afișat pe ecran sub formă de benzi luminoase separate de o regiune umbră. Fiecare bandă luminoasă se numește maxim. Dacă luăm în considerare condiția de amplificare a undelor care sosesc în regiunea luată în considerare în aceeași fază, atunci putem obține formula pentru maximele rețelei de difracție. Arata cam asa:
Unde θ m sunt unghiurile dintre perpendiculara pe centrul plăcii și direcția față de linia maximă corespunzătoare de pe ecran. Valoarea m se numește ordinea rețelei de difracție. Este nevoie de valori întregi și zero, adică m = 0, ±1, 2, 3 și așa mai departe.
Cunoscând perioada de rețea d și lungimea de undă λ care cade pe ea, putem calcula poziția tuturor maximelor. Rețineți că maximele calculate prin formula de mai sus se numesc principal. De fapt, între ele există un întreg set de maxime mai slabe, care adesea nu sunt observate în experiment.
Nu trebuie să vă gândiți că imaginea de pe ecran nu depinde de lățimea fiecărei fante de pe placa de difracție. Lățimea fantei nu afectează poziția maximelor, dar afectează intensitatea și lățimea acestora. Astfel, cu o scădere a decalajului (cu creșterea numărului de lovituri pe placă), intensitatea fiecărui maxim scade, iar lățimea acestuia crește.
Rețeaua de difracție în spectroscopie
După ce ne-am ocupat de întrebările despre ce este o rețea de difracție și cum să găsim maximele pe care le oferă pe ecran, este curios să analizăm ce se va întâmpla cu lumina albă dacă o placă este iradiată cu aceasta.
Scriem din nou formula pentru maximele principale:
Dacă luăm în considerare o anumită ordine de difracție (de exemplu, m = 1), atunci este clar că cu cât λ este mai mare, cu atât mai departe de maximul central (m = 0) va fi linia luminoasă corespunzătoare. Aceasta înseamnă că lumina albă este împărțită într-o gamă de culori curcubeu care sunt afișate pe ecran. Mai mult, începând din centru, vor apărea mai întâi culorile violet și albastru, iar apoi galben, verde vor merge, iar maximul cel mai îndepărtat din primul ordin va corespunde roșu.
O proprietate a rețelei de difracție a lungimii de undă este utilizată în spectroscopie. Când este necesar să se cunoască compoziția chimică a unui obiect luminos, de exemplu, o stea îndepărtată, lumina sa este colectată de oglinzi și direcționată către o placă. Măsurând unghiurile θ m, se pot determina toate lungimile de undă ale spectrului și, prin urmare, elementele chimice care le emit.
Mai jos este un videoclip care demonstrează capacitatea rețelelor cu numere N diferite de a despărți lumina din lampă.
Conceptul de „dispersie unghiulară”
Această valoare este înțeleasă ca modificarea unghiului de apariție a maximului de pe ecran. Dacă modificăm lungimea luminii monocromatice cu o cantitate mică, obținem:
Dacă părțile din stânga și din dreapta ale egalității din formula maximelor principale sunt diferențiate în raport cu θ m și, respectiv, λ, atunci se poate obține o expresie pentru dispersie. Acesta va fi egal cu:
Dispersia trebuie cunoscută atunci când se determină rezoluția plăcii.
Ce este rezoluția?
În termeni simpli, aceasta este capacitatea unui rețele de difracție de a separa două unde cu valori apropiate de λ în două maxime separate pe ecran. Conform criteriului lui Lord Rayleigh, două linii pot fi distinse dacă distanța unghiulară dintre ele este mai mare decât jumătate din lățimea lor unghiulară. Lățimea de jumătate a liniei este determinată de formula:
Δθ 1/2 = λ/(N*d*cos(θm))
Diferența dintre linii conform criteriului Rayleigh este posibilă dacă:
Înlocuind formula pentru varianță și jumătate de lățime, obținem condiția finală:
Rezoluția rețelei crește odată cu creșterea numărului de fante (trăsuri) pe acesta și cu creșterea ordinului difracției.
Rezolvarea problemei
Să aplicăm cunoștințele dobândite pentru a rezolva o problemă simplă. Lăsați lumina să cadă pe rețeaua de difracție. Se știe că lungimea de undă este de 450 nm, iar perioada de rețea este de 3 μm. Care este ordinul maxim de difracție care poate fi observat pe o macara?
Pentru a răspunde la întrebare, ar trebui să înlocuiți datele în ecuația rețelei. Primim:
sin(θ m) = m*λ/d = 0,15*m
Deoarece sinusul nu poate fi mai mare de unu, atunci obținem că ordinul maxim de difracție pentru condițiile specificate ale problemei este 6.
