Descriere bibliografica: Pryamostanov S. M., Lysogorova L. V. Metode pentru extragerea unei rădăcini pătrate // Tânăr om de știință. - 2017. - Nr 2.2. - S. 76-77..02.2019).



Cuvinte cheie : rădăcină pătrată, extracție rădăcină pătrată.

La lecțiile de matematică, m-am familiarizat cu conceptul de rădăcină pătrată și cu operația de extragere a rădăcinii pătrate. Am devenit interesat de extragerea rădăcinii pătrate este posibilă numai folosind un tabel de pătrate, folosind un calculator sau există o modalitate de a o extrage manual. Am găsit mai multe moduri: formula Babilonului Antic, prin rezolvarea ecuațiilor, metoda renunțării pătratului complet, metoda lui Newton, metoda geometrică, metoda grafică (, ), metoda ghicirii, metoda scăderii numerelor impare.

Luați în considerare următoarele metode:

Să descompunăm în factori primi folosind semnele de divizibilitate 27225=5*5*3*3*11*11. Prin urmare

1. La Metoda canadiană. Această metodă rapidă a fost descoperită de tinerii oameni de știință de la una dintre universitățile de top din Canada în secolul al XX-lea. Precizia sa nu este mai mare de două sau trei zecimale.

unde x este numărul din care să ia rădăcina, c este numărul celui mai apropiat pătrat), de exemplu:

=5,92

1. coloană. Această metodă vă permite să găsiți valoarea aproximativă a rădăcinii oricărui număr real cu orice precizie predeterminată. Dezavantajele metodei includ complexitatea tot mai mare a calculului cu o creștere a numărului de cifre găsite. Pentru a extrage manual rădăcina, se folosește o notație similară cu împărțirea printr-o coloană.

Algoritmul rădăcinii pătrate

1. Împărțiți separat partea fracțională și partea întreagă separat de virgulă pe marginea a două numereîn fiecare față ( pup parte - de la dreapta la stânga; fracționat- de la stanga la dreapta). Este posibil ca partea întreagă să conțină o cifră, iar partea fracțională să conțină zerouri.

2. Extragerea începe de la stânga la dreapta, și selectăm un număr al cărui pătrat nu depășește numărul din prima față. Pătratăm acest număr și îl scriem sub numărul de pe prima față.

3. Găsim diferența dintre numărul din prima față și pătratul primului număr selectat.

4. La diferența rezultată demolăm următoarea față, numărul rezultat va fi divizibil. Formăm separator. Dublam prima cifră selectată a răspunsului (înmulțim cu 2), obținem numărul de zeci al divizorului, iar numărul de unități ar trebui să fie astfel încât produsul său cu întregul divizor să nu depășească dividendul. Notăm numărul selectat în răspuns.

5. La diferența rezultată, demolăm următoarea față și efectuăm acțiuni conform algoritmului. Dacă această față se dovedește a fi fața părții fracționale, atunci puneți o virgulă în răspuns. (Fig. 1.)

În acest fel, puteți extrage numere cu o precizie diferită, de exemplu, cu o precizie de miimi. (Fig.2)

Având în vedere diferitele metode de extragere a rădăcinii pătrate, putem concluziona: în fiecare caz specific, trebuie să decideți cu privire la alegerea celei mai eficiente pentru a petrece mai puțin timp rezolvării.

Literatură:

1. Kiselev A. Elemente de algebră și analiză. Prima parte.-M.-1928

Cuvinte cheie: rădăcină pătrată, rădăcină pătrată.

Adnotare: Articolul descrie metode pentru extragerea unei rădăcini pătrate și oferă exemple de extragere a rădăcinilor.

În matematică, întrebarea cum să prindeți o rădăcină este considerată relativ ușoară. Dacă pătram numere din seria naturală: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, atunci obținem următoarea serie de pătrate: 1, 4, 9, 16 ... n 2. Seria de pătrate este infinită, iar dacă te uiți la ea cu atenție, vei vedea că nu sunt foarte multe numere întregi în ea. De ce este așa, vom explica puțin mai târziu.

Rădăcina numărului: reguli de calcul și exemple

Deci, am pătrat numărul 2, adică l-am înmulțit cu el însuși și am obținut 4. Dar cum să luăm rădăcina numărului 4? Să spunem imediat că rădăcinile pot fi pătrate, cubice și de orice grad până la infinit.

Gradul rădăcinii este întotdeauna un număr natural, adică este imposibil să rezolvi o astfel de ecuație: rădăcina la puterea lui 3,6 a lui n.

Rădăcină pătrată

Să revenim la întrebarea cum să extragem rădăcina pătrată a lui 4. Deoarece am pătrat numărul 2, vom extrage și rădăcina pătrată. Pentru a lua corect rădăcina lui 4, trebuie doar să alegeți numărul potrivit care, la pătrat, ar da numărul 4. Și acesta, desigur, este 2. Uitați-vă la exemplu:

• 2 2 =4
• Rădăcina lui 4 = 2

Acest exemplu este destul de simplu. Să încercăm să extragem rădăcina pătrată a lui 64. Ce număr, înmulțit cu el însuși, dă 64? Evident, este 8.

• 8 2 =64
• Rădăcina lui 64=8

rădăcină cubă

După cum s-a menționat mai sus, rădăcinile nu sunt doar pătrate, folosind un exemplu vom încerca să explicăm mai clar cum să extragem o rădăcină cubă sau o rădăcină de gradul trei. Principiul extragerii unei rădăcini cubice este același cu cel al unei rădăcini pătrate, singura diferență este că numărul dorit a fost inițial înmulțit cu el însuși nu o dată, ci de două ori. Deci, să presupunem că luăm următorul exemplu:

• 3x3x3=27
• Desigur, rădăcina cubă a numărului 27 va fi trei:
• Rădăcina 3 din 27 = 3

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina cubă a lui 64. Pentru a rezolva această ecuație, este suficient să găsiți un număr care, atunci când este ridicat la a treia putere, ar da 64.

• 4 3 =64
• Rădăcina 3 din 64 = 4

Extrageți rădăcina unui număr pe un calculator

Desigur, cel mai bine este să înveți să extragi pătrate, cuburi și alte grade prin practică, rezolvând multe exemple și memorând un tabel de pătrate și cuburi de numere mici. În viitor, acest lucru va facilita și va reduce foarte mult timpul de rezolvare a ecuațiilor. Deși, trebuie remarcat că uneori este necesară extragerea rădăcinii unui număr atât de mare încât va costa multă muncă, dacă este deloc, pentru a găsi numărul corect pătrat. Un calculator obișnuit va veni în ajutor în extragerea rădăcinii pătrate. Cum să faci o rădăcină pe un calculator? Este foarte simplu să introduceți numărul de la care doriți să găsiți rezultatul. Acum aruncați o privire atentă la butoanele calculatorului. Chiar și pe cele mai simple dintre ele, există o cheie cu o pictogramă rădăcină. Făcând clic pe el, veți obține imediat rezultatul final.

Nu orice număr poate fi luat ca rădăcină întreagă, luați în considerare următorul exemplu:

Rădăcina lui 1859 = 43,116122...

Puteți încerca să rezolvați acest exemplu pe un calculator în paralel. După cum puteți vedea, numărul rezultat nu este un întreg; în plus, setul de cifre după virgulă zecimală nu este finit. Un rezultat mai precis poate fi dat de calculatoare speciale de inginerie, dar rezultatul complet pur și simplu nu se potrivește pe afișajul celor obișnuite. Și dacă continuați seria de pătrate pe care ați început-o mai devreme, nu veți găsi în ea numărul 1859, tocmai pentru că numărul pe care l-ați pătrat pentru a-l obține nu este un întreg.

Dacă trebuie să extrageți rădăcina gradului al treilea pe un calculator simplu, atunci trebuie să faceți dublu clic pe butonul cu semnul rădăcină. De exemplu, să luăm numărul 1859 folosit mai sus și să extragem rădăcina cubă din acesta:

Rădăcina 3 din 1859 = 6,5662867...

Adică, dacă numărul 6,5662867 ... este ridicat la a treia putere, atunci vom obține aproximativ 1859. Astfel, extragerea rădăcinilor din numere nu este dificilă, amintiți-vă doar de algoritmii de mai sus.

Ce este o rădăcină pătrată?

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest concept este foarte simplu. Natural, as spune. Matematicienii încearcă să găsească o reacție pentru fiecare acțiune. Există adunare și există scădere. Există înmulțire și există împărțire. Există pătrat... Așa că există și extragerea rădăcinii pătrate! Asta e tot. Această acțiune ( luând rădăcina pătrată) în matematică este notat cu această pictogramă:

Icoana în sine este numită cuvântul frumos " radical".

Cum se extrage rădăcina? Este mai bine să luați în considerare exemple.

Care este rădăcina pătrată a lui 9? Și ce număr pătrat ne va da 9? 3 pătrat ne dă 9! Acestea:

Care este rădăcina pătrată a lui zero? Nici o problema! Ce număr la pătrat oferă zero? Da, el însuși dă zero! Mijloace:

Prins ce este o rădăcină pătrată? Atunci luăm în considerare exemple:

Răspunsuri (în dezordine): 6; unu; 4; nouă; 5.

Hotărât? Într-adevăr, este mult mai ușor!

Dar... Ce face o persoană când vede o sarcină cu rădăcini?

O persoană începe să tânjească ... Nu crede în simplitatea și ușurința rădăcinilor. Deși pare să știe ce este rădăcina pătrată...

Acest lucru se datorează faptului că o persoană a ignorat mai multe puncte importante atunci când studiază rădăcinile. Apoi aceste mofturi se răzbune brutal pe teste și examene...

Punctul unu. Rădăcinile trebuie recunoscute din vedere!

Care este rădăcina pătrată a lui 49? Șapte? Dreapta! De unde ai știut că sunt șapte? A pătrat șapte și a primit 49? Corect! Vă rugăm să rețineți că extrage rădăcina din 49, a trebuit să facem operația inversă - pătratul 7! Și asigură-te că nu ratam. Sau ar putea rata...

Aici constă dificultatea extragerea rădăcinilor. Pătrare orice număr este posibil fără probleme. Înmulțiți numărul cu el însuși într-o coloană - și asta este tot. Dar pentru extragerea rădăcinilor nu există o tehnologie atât de simplă și fără probleme. cont pentru ridica răspunde și verifică dacă este lovit de pătrat.

Acest proces creativ complex - alegerea unui răspuns - este mult simplificat dacă dvs tine minte pătrate de numere populare. Ca o masă de înmulțire. Dacă, să zicem, trebuie să înmulțiți 4 cu 6 - nu le adunați de 6 ori, nu-i așa? Răspunsul apare imediat 24. Deși, nu toată lumea îl are, da...

Pentru a lucra gratuit și de succes cu rădăcini, este suficient să cunoașteți pătratele numerelor de la 1 la 20. Mai mult, Acoloși înapoi. Acestea. ar trebui să puteți numi cu ușurință atât, de exemplu, 11 pătrat, cât și rădăcina pătrată a lui 121. Pentru a realiza această memorare, există două moduri. Primul este să înveți tabelul pătratelor. Acest lucru va ajuta foarte mult cu exemple. Al doilea este de a rezolva mai multe exemple. Este grozav să ne amintim de tabelul pătratelor.

Și fără calculatoare! Doar pentru verificare. În caz contrar, vei încetini fără milă în timpul examenului...

Asa de, ce este rădăcina pătrată Si cum extrage rădăcinile- Cred că este de înțeles. Acum haideți să aflăm DIN CE le puteți extrage.

Punctul doi. Root, nu te cunosc!

Din ce numere poți lua rădăcini pătrate? Da, aproape orice. E mai ușor de înțeles ce este interzis extrage-le.

Să încercăm să calculăm această rădăcină:

Pentru a face acest lucru, trebuie să ridicați un număr care pătratul ne va da -4. Selectam.

Ce nu este selectat? 2 2 dă +4. (-2) 2 dă din nou +4! Gata... Nu există numere care, la pătrat, să ne dea un număr negativ! Chiar dacă știu cifrele. Dar nu vă spun.) Du-te la facultate și află singur.

Aceeași poveste va fi cu orice număr negativ. De aici concluzia:

O expresie în care un număr negativ se află sub semnul rădăcinii pătrate - nu are sens! Aceasta este o operațiune interzisă. La fel de interzis ca împărțirea la zero. Tine cont de acest fapt! Sau, cu alte cuvinte:

Nu poți extrage rădăcini pătrate din numere negative!

Dar din restul - poți. De exemplu, este posibil să se calculeze

La prima vedere, acest lucru este foarte dificil. Ridică fracții, dar pătrați... Nu vă faceți griji. Când ne ocupăm de proprietățile rădăcinilor, astfel de exemple se vor reduce la același tabel de pătrate. Viața va deveni mai ușoară!

Bine fracții. Dar încă întâlnim expresii precum:

E bine. Tot la fel. Rădăcina pătrată a lui doi este numărul care, la pătrat, ne va da un deuce. Doar numărul este complet inegal... Iată-l:

Interesant este că această fracție nu se termină niciodată... Astfel de numere se numesc iraționale. În rădăcini pătrate, acesta este cel mai comun lucru. Apropo, de aceea se numesc expresiile cu rădăcini iraţional. Este clar că a scrie o astfel de fracție infinită tot timpul este incomod. Prin urmare, în loc de o fracție infinită, o lasă așa:

Dacă, atunci când rezolvați exemplul, obțineți ceva care nu poate fi extras, cum ar fi:

apoi o lasam asa. Acesta va fi răspunsul.

Trebuie să înțelegeți clar ce se află sub pictograme

Desigur, dacă se ia rădăcina numărului neted, trebuie să faci asta. Răspunsul sarcinii în formular, de exemplu

un raspuns destul de complet.

Și, desigur, trebuie să cunoașteți valorile aproximative din memorie:

Aceste cunoștințe ajută foarte mult la evaluarea situației în sarcini complexe.

Punctul trei. Cel mai viclean.

Principala confuzie în munca cu rădăcinile este adusă tocmai de acest moft. El este cel care dă îndoială de sine... Să ne descurcăm corect cu acest moft!

Pentru început, extragem din nou rădăcina pătrată a celor patru. Ce, te-am prins deja cu această rădăcină?) Nimic, acum va fi interesant!

Ce număr va da în pătratul lui 4? Ei bine, doi, doi - aud răspunsuri nemulțumite...

Dreapta. Două. Dar de asemenea minus doi va da 4 pătrat... Între timp, răspunsul

corect si raspunsul

cea mai grosolană greșeală. Ca aceasta.

Deci care e treaba?

Într-adevăr, (-2) 2 = 4. Și sub definiția rădăcinii pătrate a lui patru minus doi destul de potrivit... Aceasta este și rădăcina pătrată a lui patru.

Dar! În cursul școlar de matematică, se obișnuiește să se ia în considerare rădăcinile pătrate doar numere nenegative! Adică zero și toate pozitive. Chiar și un termen special a fost inventat: din număr A- Acest nenegativ număr al cărui pătrat este A. Rezultatele negative la extragerea rădăcinii pătrate aritmetice sunt pur și simplu aruncate. La școală, toate rădăcinile pătrate - aritmetic. Deși nu este menționat în mod specific.

Bine, e de înțeles. Este și mai bine să nu te încurci cu rezultate negative... Încă nu e confuzie.

Confuzia începe la rezolvarea ecuațiilor pătratice. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea ecuație.

Ecuația este simplă, scriem răspunsul (cum este predat):

Acest răspuns (destul de corect, de altfel) este doar o notație prescurtată Două raspunsuri:

Opreste opreste! Puțin mai sus am scris că rădăcina pătrată este un număr mereu nenegativ! Și iată unul dintre răspunsuri - negativ! Tulburare. Aceasta este prima (dar nu ultima) problemă care provoacă neîncredere în rădăcini... Să rezolvăm această problemă. Să notăm răspunsurile (doar pentru înțelegere!) astfel:

Parantezele nu schimbă esența răspunsului. Tocmai am separat cu paranteze semne din rădăcină. Acum se vede clar că rădăcina în sine (în paranteze) este încă un număr nenegativ! Și semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației. La urma urmei, atunci când rezolvăm orice ecuație, trebuie să scriem toate x, care, atunci când este înlocuită în ecuația originală, va da rezultatul corect. Rădăcina lui cinci (pozitivă!) este potrivită pentru ecuația noastră atât cu plus, cât și cu minus.

Ca aceasta. daca tu luați doar rădăcina pătrată din orice tu mereu obține unul nenegativ rezultat. De exemplu:

Pentru ca - rădăcină pătrată aritmetică.

Dar dacă rezolvați o ecuație pătratică precum:

apoi mereu se dovedește Două raspuns (cu plus si minus):

Pentru că este soluția unei ecuații.

Speranţă, ce este rădăcina pătrată ai inteles corect cu punctele tale. Acum rămâne să aflăm ce se poate face cu rădăcinile, care sunt proprietățile lor. Și care sunt mofturile și cutiile subacvatice... scuzați-mă, pietre!)

Toate acestea - în lecțiile următoare.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Formule de rădăcină. proprietățile rădăcinilor pătrate.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În lecția anterioară, ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care sunt formule pentru rădăcini, ce sunt proprietățile rădăciniiși ce se poate face cu toate acestea.

Formule rădăcină, proprietăți rădăcină și reguli pentru acțiunile cu rădăcini- în esență este același lucru. Există surprinzător de puține formule pentru rădăcini pătrate. Ceea ce, desigur, mulțumește! Mai degrabă, puteți scrie o mulțime de tot felul de formule, dar doar trei sunt suficiente pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini. Orice altceva decurge din acești trei. Deși mulți se rătăcesc în cele trei formule ale rădăcinilor, da...

Să începem cu cel mai simplu. Iat-o:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Elevii întreabă mereu: „De ce nu pot folosi un calculator la un examen de matematică? Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără calculator? Să încercăm să răspundem la această întrebare.

Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără ajutorul unui calculator?

Acțiune extragerea rădăcinii pătrate opusul pătrarii.

√81= 9 9 2 =81

Dacă luăm rădăcina pătrată a unui număr pozitiv și rezultatul la pătrat, obținem același număr.

Din numere mici care sunt pătrate exacte ale numerelor naturale, de exemplu 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, rădăcinile pătrate pot fi extrase verbal. De obicei, la școală se preda un tabel cu pătrate de numere naturale până la douăzeci. Cunoscând acest tabel, este ușor să extragi rădăcinile pătrate din numerele 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Din numerele mai mari de 400, poți extrage folosind metoda de selecție folosind câteva sfaturi. Să încercăm un exemplu pentru a lua în considerare această metodă.

Exemplu: Extrageți rădăcina numărului 676.

Observăm că 20 2 \u003d 400 și 30 2 \u003d 900, ceea ce înseamnă 20< √676 < 900.

Pătratele exacte ale numerelor naturale se termină cu 0; unu; 4; 5; 6; nouă.
Numărul 6 este dat de 4 2 și 6 2 .
Deci, dacă rădăcina este luată de la 676, atunci este fie 24, fie 26.

Rămâne de verificat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Răspuns: √676 = 26 .

Mai mult exemplu: √6889 .

Deoarece 80 2 \u003d 6400 și 90 2 \u003d 8100, apoi 80< √6889 < 90.
Numărul 9 este dat de 3 2 și 7 2, atunci √6889 este fie 83, fie 87.

Verificați: 83 2 = 6889.

Răspuns: √6889 = 83 .

Dacă vi se pare dificil de rezolvat prin metoda de selecție, atunci puteți factoriza expresia rădăcină.

De exemplu, găsiți √893025.

Să factorizăm numărul 893025, ține minte, ai făcut-o în clasa a șasea.

Se obține: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mai mult exemplu: √20736. Să factorizăm numărul 20736:

Se obține √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Desigur, factoring necesită cunoașterea criteriilor de divizibilitate și abilități de factoring.

Și, în sfârșit, există regula rădăcinii pătrate. Să ne uităm la această regulă cu un exemplu.

Calculați √279841.

Pentru a extrage rădăcina unui număr întreg cu mai multe cifre, îl împărțim de la dreapta la stânga în fețe care conțin câte 2 cifre fiecare (poate fi o cifră în fața extremă din stânga). Scrie asa 27'98'41

Pentru a obține prima cifră a rădăcinii (5), extragem rădăcina pătrată a celui mai mare pătrat exact conținut în prima față din stânga (27).
Apoi pătratul primei cifre a rădăcinii (25) este scăzut din prima față și următoarea față (98) este atribuită (demolată) diferenței.
În stânga numărului primit 298, ei scriu cifra dublă a rădăcinii (10), împart la ea numărul tuturor zecilor din numărul obținut anterior (29/2 ≈ 2), experimentează câtul (102 ∙ 2 = 204 nu trebuie să fie mai mare de 298) și scrieți (2) după prima cifră a rădăcinii.
Apoi, coeficientul rezultat 204 este scăzut din 298, iar următoarea fațetă (41) este atribuită (demolată) diferenței (94).
În stânga numărului rezultat 9441, se scrie produsul dublu al cifrelor rădăcinii (52 ∙ 2 = 104), se împarte la acest produs numărul tuturor zecilor numărului 9441 (944/104 ≈ 9), experiență câtul (1049 ∙ 9 = 9441) ar trebui să fie 9441 și scrieți-l (9) după a doua cifră a rădăcinii.

Am primit răspunsul √279841 = 529.

În mod similar, extrageți rădăcinile zecimalelor. Doar numărul radical trebuie împărțit în fețe, astfel încât virgula să fie între fețe.

Exemplu. Găsiți valoarea √0,00956484.

Nu uitați că, dacă fracția zecimală are un număr impar de zecimale, rădăcina pătrată nu este extrasă exact din ea.

Deci, acum ați văzut trei moduri de a extrage rădăcina. Alege-l pe cel care ti se potriveste cel mai bine si exerseaza-te. Pentru a învăța cum să rezolvi problemele, trebuie să le rezolvi. Și dacă aveți întrebări, înscrieți-vă la lecțiile mele.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.