Cerc înscris într-un triunghi

Existența unui cerc înscris într-un triunghi

Să ne amintim definiția bisectoare unghiulare .

Definiția 1 .Bisectoarea unghiului numită rază care împarte un unghi în două părți egale.

Teorema 1 (proprietatea de bază a unei bisectoare unghiulare) . Fiecare punct al bisectoarei unghiului se află la aceeași distanță de laturile unghiului (Fig. 1).

Orez. 1

Dovada D , întins pe bisectoarea unghiuluiBAC , Și DE Și D.F. pe părțile laterale ale colțului (Fig. 1).Triunghiuri dreptunghiulare ADF Și ADE egal , deoarece au unghiuri ascuțite egaleDAF Și DAE , și ipotenuza ANUNȚ – generală. Prin urmare,

DF = DE,

Q.E.D.

Teorema 2 (conversa cu teorema 1) . Dacă unele, atunci se află pe bisectoarea unghiului (Fig. 2).

Orez. 2

Dovada . Luați în considerare un punct arbitrarD , situat în interiorul unghiuluiBAC si situat la aceeasi distanta de laturile unghiului. Să renunțăm la subiectD perpendiculare DE Și D.F. pe părţile laterale ale colţului (Fig. 2).Triunghiuri dreptunghiulare ADF Și ADE egal , deoarece au picioare egaleD.F. Și DE , și ipotenuza ANUNȚ – generală. Prin urmare,

Q.E.D.

Definiția 2 . Cercul este numit cerc înscris într-un unghi , dacă este vorba de laturile acestui unghi.

Teorema 3 . Dacă un cerc este înscris într-un unghi, atunci distanțele de la vârful unghiului până la punctele de contact ale cercului cu laturile unghiului sunt egale.

Dovada . Lasă punctul D – centrul unui cerc înscris într-un unghiBAC , și punctele E Și F – punctele de contact ale cercului cu laturile unghiului (Fig. 3).

Fig.3

A , b , c - laturile triunghiului,
 S -pătrat,

r – raza cercului înscris,
 p – semiperimetrul

.

Vizualizați rezultatul formulei

A – latura laterală a unui triunghi isoscel , 
 b - baza, r – raza cercului înscris

A r – raza cercului înscris

Vizualizați rezultatul formulei

,

Unde

,

apoi, în cazul unui triunghi isoscel, când

primim

care este ceea ce s-a cerut.

Teorema 7 . Pentru egalitate

Unde A – latura unui triunghi echilateral,r – raza cercului înscris (fig. 8).

Orez. 8

Dovada .

,

apoi, în cazul unui triunghi echilateral, când

b = a,

primim

care este ceea ce s-a cerut.

cometariu . Ca exercițiu, recomand să derivați formula pentru raza unui cerc înscris într-un triunghi echilateral direct, i.e. fără a folosi formule generale pentru razele cercurilor înscrise într-un triunghi arbitrar sau într-un triunghi isoscel.

Teorema 8 . Pentru un triunghi dreptunghic, este valabilă următoarea egalitate:

Unde A , b - catetele unui triunghi dreptunghic, c – ipotenuză , r – raza cercului înscris.

Dovada . Luați în considerare figura 9.

Orez. 9

De la patrulaterCDOF este , care are laturile adiacenteDO Și DE sunt egale, atunci acest dreptunghi este . Prin urmare,

CB = CF= r,

În virtutea teoremei 3, următoarele egalități sunt adevărate:

Prin urmare, ținând cont și de , obținem

care este ceea ce s-a cerut.

O selecție de probleme pe tema „Un cerc înscris într-un triunghi”.

1.

Un cerc înscris într-un triunghi isoscel împarte una dintre laturile laterale în punctul de contact în două segmente, ale căror lungimi sunt 5 și 3, numărând de la vârful opus bazei. Aflați perimetrul triunghiului.

2.

3

În triunghiul ABC AC=4, BC=3, unghiul C este de 90º. Aflați raza cercului înscris.

4.

Lamele unui triunghi dreptunghic isoscel sunt 2+. Aflați raza cercului înscris în acest triunghi.

5.

Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic isoscel este 2. Aflați ipotenuza c a acestui triunghi. Vă rugăm să indicați c(–1) în răspunsul dvs.

Vă prezentăm o serie de probleme de la Examenul Unificat de Stat cu soluții.

Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic isoscel este egală cu . Aflați ipotenuza acestui triunghi. Vă rugăm să indicați în răspunsul dvs.

Triunghiul este dreptunghiular și isoscel. Aceasta înseamnă că picioarele sale sunt aceleași. Fiecare picior să fie egal. Atunci ipotenuza este egală.

Scriem aria triunghiului ABC în două moduri:

Echivalând aceste expresii, obținem asta. Deoarece, înțelegem asta. Apoi.

Vom scrie ca răspuns.

Răspuns:.

Sarcina 2.

1. În liber, există două laturi de 10cm și 6cm (AB și BC). Aflați razele cercurilor circumscrise și înscrise
Problema se rezolvă independent cu comentarii.

Soluţie:

ÎN.

1) Găsiți:
2) Demonstrați:și găsiți CK
3) Aflați: razele cercurilor circumscrise și înscrise

Soluţie:

Sarcina 6.

R raza unui cerc înscris într-un pătrat este. Aflați raza cercului circumscris acestui pătrat.Dat :

Găsi: OS=?
Soluţie: În acest caz, problema poate fi rezolvată folosind fie teorema lui Pitagora, fie formula pentru R. Al doilea caz va fi mai simplu, deoarece formula pentru R este derivată din teoremă.

Sarcina 7.

Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic isoscel este 2. Aflați ipotenuzaCu acest triunghi. Vă rugăm să indicați în răspunsul dvs.

S – aria triunghiului

Nu știm nici laturile triunghiului, nici aria lui. Să notăm catetele ca x, atunci ipotenuza va fi egală cu:

Și aria triunghiului va fi de 0,5x 2 .

Mijloace

Astfel, ipotenuza va fi egală cu:

În răspunsul tău trebuie să scrii:

Raspuns: 4

Sarcina 8.

În triunghiul ABC AC = 4, BC = 3, unghi C este egal cu 90 0. Aflați raza cercului înscris.

Să folosim formula pentru raza unui cerc înscris într-un triunghi:

unde a, b, c sunt laturile triunghiului

S – aria triunghiului

Se cunosc două laturi (acestea sunt catetele), putem calcula a treia (ipotenuza) și putem calcula și aria.

Conform teoremei lui Pitagora:

Să găsim zona:

Prin urmare:

Raspunsul 1

Sarcina 9.

Laturile unui triunghi isoscel sunt 5, iar baza este 6. Aflați raza cercului înscris.

Să folosim formula pentru raza unui cerc înscris într-un triunghi:

unde a, b, c sunt laturile triunghiului

S – aria triunghiului

Toate părțile sunt cunoscute, să calculăm aria. Îl putem găsi folosind formula lui Heron:

Apoi

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organismelor guvernamentale din Federația Rusă - să vă dezvăluiți informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Considerăm un cerc înscris într-un triunghi (Fig. 302). Reamintim că centrul său O este situat la intersecția bisectoarelor unghiurilor interioare ale triunghiului. Segmentele OA, OB, OC care leagă O cu vârfurile triunghiului ABC vor împărți triunghiul în trei triunghiuri:

AOV, VOS, SOA. Înălțimea fiecăruia dintre aceste triunghiuri este egală cu raza și, prin urmare, ariile lor vor fi exprimate ca

Aria întregului triunghi S este egală cu suma acestor trei zone:

unde este semiperimetrul triunghiului. De aici

Raza cercului înscris este egală cu raportul dintre aria triunghiului și semiperimetrul său.

Pentru a obține o formulă pentru circumraza unui triunghi, demonstrăm următoarea propoziție.

Teorema a: În orice triunghi, latura este egală cu diametrul cercului circumscris înmulțit cu sinusul unghiului opus.

Dovada. Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC și un cerc circumscris în jurul lui, a cărui rază va fi notată cu R (Fig. 303). Fie A unghiul ascuțit al triunghiului. Să desenăm razele OB, OS ale cercului și să aruncăm perpendiculara OK din centrul său O către latura BC a triunghiului. Rețineți că unghiul a al unui triunghi este măsurat cu jumătate din arcul BC, pentru care unghiul BOC este unghiul central. Din aceasta rezultă clar că . Prin urmare, din triunghiul dreptunghic RNS găsim , sau , care este ceea ce trebuia să demonstrăm.

Fig. dată. 303 iar raționamentul se referă la cazul unui unghi ascuțit al unui triunghi; Ar fi ușor de realizat demonstrația pentru cazurile de unghiuri drepte și obtuze (cititorul va face acest lucru singur), dar puteți folosi teorema sinusurilor (218.3). Din moment ce trebuie să fie de unde

Teorema sinusului este de asemenea scrisă în. formă

iar compararea cu forma de notație (218.3) dă pt

Raza cercului circumscris este egală cu raportul dintre produsul celor trei laturi ale triunghiului și aria sa cvadrupla.

Sarcină. Găsiți laturile unui triunghi isoscel dacă cercul său interior și, respectiv, circumferința lui au raze

Soluţie. Să scriem formule care exprimă razele cercurilor înscrise și circumscrise ale unui triunghi:

Pentru un triunghi isoscel cu o latură și o bază, aria este exprimată prin formula

sau, reducând fracția cu un factor diferit de zero, avem

ceea ce conduce la o ecuaţie pătratică în raport cu

Are doua solutii:

Înlocuind în loc de expresia sa în oricare dintre ecuațiile pentru sau R, vom găsi în sfârșit două răspunsuri la problema noastră:

Exerciții

1. Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat din vârful unui unghi drept, împărțind ipotenuza în raport Aflați raportul dintre fiecare catete la ipotenuză.

2. Bazele unui trapez isoscel circumscris unui cerc sunt egale cu a și b. Aflați raza cercului.

3. Două cercuri se ating în exterior. Tangentele lor comune sunt înclinate față de linia centrelor la un unghi de 30°. Lungimea segmentului tangent dintre punctele tangente este de 108 cm.Aflați razele cercurilor.

4. Catele unui triunghi dreptunghic sunt egale cu a și b. Găsiți aria unui triunghi ale cărui laturi sunt altitudinea și mediana triunghiului dat desenat din vârful unghiului drept și segmentul ipotenuzei dintre punctele de intersecție a acestora cu ipotenuza.

5. Laturile triunghiului sunt 13, 14, 15. Aflați proiecția fiecăruia dintre ele pe celelalte două.

6. Se cunosc latura și altitudinile unui triunghi.Găsiți laturile b și c.

7. Se cunosc două laturi ale triunghiului și mediana.Aflați a treia latură a triunghiului.

8. Având în vedere două laturi ale unui triunghi și un unghi a între ele: Aflați razele cercurilor înscrise și circumscrise.

9. Laturile triunghiului a, b, c sunt cunoscute. Care sunt segmentele în care sunt împărțite prin punctele de contact ale cercului înscris cu laturile triunghiului?

Un romb este un paralelogram cu toate laturile egale. Prin urmare, moștenește toate proprietățile unui paralelogram. Și anume:

• Diagonalele unui romb sunt reciproc perpendiculare.
• Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor sale interioare.

Un cerc poate fi înscris într-un patrulater dacă și numai dacă sumele laturilor opuse sunt egale.
Prin urmare, un cerc poate fi înscris în orice romb. Centrul cercului înscris coincide cu centrul de intersecție al diagonalelor rombului.
Raza cercului înscris într-un romb poate fi exprimată în mai multe moduri

1 cale. Raza cercului înscris într-un romb prin înălțime

Înălțimea unui romb este egală cu diametrul cercului înscris. Aceasta rezultă din proprietatea unui dreptunghi, care este format din diametrul cercului înscris și înălțimea rombului - laturile opuse ale unui dreptunghi sunt egale.

Prin urmare, formula pentru raza unui cerc înscris într-un romb în termeni de înălțime:

2 sensuri. Raza cercului înscris într-un romb prin diagonale

Aria unui romb poate fi exprimată în termeni de raza cercului înscris
, Unde R– perimetrul unui romb. Știind că perimetrul este suma tuturor laturilor patrulaterului, avem P= 4×a. Apoi
Dar aria unui romb este, de asemenea, egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale
Echivalând părțile din dreapta ale formulelor ariei, avem următoarea egalitate
Ca rezultat, obținem o formulă care ne permite să calculăm raza cercului înscris într-un romb prin diagonale

Un exemplu de calcul al razei unui cerc înscris într-un romb dacă diagonalele sunt cunoscute
Aflați raza unui cerc înscris într-un romb dacă se știe că lungimile diagonalelor sunt de 30 cm și 40 cm
Lăsa ABCD-romb, atunci ACȘi BD diagonalele sale. AC= 30 cm ,BD=40 cm
Lasă punctul DESPRE– este centrul celui înscris în romb ABCD cerc, atunci va fi și punctul de intersecție al diagonalelor sale, împărțindu-le în jumătate.


deoarece diagonalele unui romb se intersectează în unghi drept, atunci triunghiul AOB dreptunghiular. Apoi, după teorema lui Pitagora
, înlocuiți valorile obținute anterior în formulă

AB= 25 cm
Aplicând formula derivată anterior pentru raza cercului circumscris într-un romb, obținem

3 căi. Raza cercului înscris într-un romb prin segmentele m și n

Punct F– punctul de contact al cercului cu latura rombului, care îl împarte în segmente AFȘi bf. Lăsa AF=m, BF=n.
Punct O– centrul de intersecție al diagonalelor unui romb și centrul cercului înscris în acesta.
Triunghi AOB– dreptunghiular, deoarece diagonalele unui romb se intersectează în unghi drept.
, deoarece este raza trasată la punctul tangent al cercului. Prin urmare DE– înălțimea triunghiului AOB la ipotenuză. Apoi AFȘi BF proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
Înălțimea într-un triunghi dreptunghic, coborât la ipotenuză, este media proporțională dintre proiecțiile catetelor la ipotenuză.

Formula pentru raza unui cerc înscris într-un romb prin segmente este egală cu rădăcina pătrată a produsului acestor segmente în care punctul de tangență al cercului împarte latura rombului