Primul nivel

Gradul și proprietățile sale. Ghid cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare diplome? Unde ai nevoie de ele? De ce trebuie să petreci timp studiindu-le?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt acestea, cum să vă folosiți cunoștințele în viața de zi cu zi, citiți acest articol.

Și, bineînțeles, cunoașterea diplomelor te va aduce mai aproape de promovarea cu succes a OGE sau a examenului de stat unificat și de a intra în universitatea visurilor tale.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă! Dacă, în loc de formule, vedeți farfurie, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este aceeași operație matematică ca adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbaj uman folosind exemple foarte simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Fiecare are două sticle de cola. Câtă cola? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Același exemplu cu cola poate fi scris într-un mod diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi vin cu o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Și cu ce alte trucuri complicate de numărare au venit matematicienii leneși? Corect - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acest număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este. Și rezolvă astfel de probleme în mintea lor - mai rapid, mai ușor și fără erori.

Pentru a face acest lucru, aveți nevoie doar amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi pătrat numere, iar al treilea cub? Ce înseamnă? O intrebare foarte buna. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu un pătrat sau a doua putere a unui număr.

Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară metri pe metri. Piscina este în curtea ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... o piscină fără fund! Este necesar să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona fundului piscinei.

Puteți număra pur și simplu împingând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă plăcile tale sunt metru cu metru, vei avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut o astfel de țiglă? Placa va fi mai degrabă cm cu cm. Și atunci vei fi chinuit de „numărați cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei, vom pune gresie (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțind cu, obțineți dale ().

Ați observat că am înmulțit același număr de la sine pentru a determina aria fundului piscinei? Ce înseamnă? Deoarece același număr este înmulțit, putem folosi tehnica exponențiării. (Desigur, când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule. Pentru examen, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la gradul doi va fi (). Sau poți spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Iată o sarcină pentru tine, numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a număra numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt, sau ... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Obțineți celule. () Asa de?

Exemplul #3 din viața reală

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, apropo, se măsoară în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați un bazin: un fund de un metru în dimensiune și un metru adâncime și încercați să calculați câte cuburi care măsoară un metru pe un metru vor intra în dvs. bazin.

Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Cât a ieșit? Nu te-ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul piscinei va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă fac asta prea ușor. A redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că poți folosi gradul. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu un deget, ei fac într-o singură acțiune: trei într-un cub sunt egali. Este scris astfel:

Rămâne doar memorează tabelul de grade. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a te convinge în sfârșit că diplomele au fost inventate de mocasini și de oameni vicleni pentru a-și rezolva problemele vieții, și nu pentru a-ți crea probleme, iată încă câteva exemple din viață.

Exemplul #4 din viața reală

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, faci încă un milion pentru fiecare milion. Adică, fiecare din milionul tău la începutul fiecărui an se dublează. Câți bani vei avea peste ani? Dacă acum stai și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și .. proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Așadar, în primul an - de două ori de două... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește cu el însuși o dată. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți un concurs și cel care calculează mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți gradele numerelor, ce părere aveți?

Exemplul #5 din viața reală

Ai un milion. La începutul fiecărui an, câștigi încă două pentru fiecare milion. E grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... E deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci, a patra putere este un milion. Trebuie doar să-ți amintești că trei până la a patra putere este sau.

Acum știi că ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Deci, mai întâi, să definim conceptele. Tu ce crezi, ce este exponent? Este foarte simplu - acesta este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu este numărul care se află în partea de jos, la bază.

Iată o poză ca să fii sigur.

Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a aminti mai bine ... Un grad cu o bază „” și un indicator „” se citește ca „în grad” și se scrie după cum urmează:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt cele care sunt folosite la numărare la enumerarea articolelor: unu, doi, trei ... Când numărăm articole, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. Nici noi nu spunem „o treime” sau „zero virgulă cinci zecimi”. Acestea nu sunt numere naturale. Care crezi că sunt aceste numere?

Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și un număr. Zero este ușor de înțeles - atunci când nu există nimic. Și ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a desemna datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.

Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că nu aveau suficiente numere naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale… Interesant, nu-i așa?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, atunci obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad, al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

1. Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
2. A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
3. A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietăți de grad

De unde au venit aceste proprietăți? Îți arăt acum.

Să vedem ce este și ?

Prin definitie:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat factori factori, iar rezultatul sunt factori.

Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu exponent, adică: , care trebuia să fie demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie sa fie acelasi motiv!
Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

numai pentru produse ale puterilor!

Sub nicio formă nu trebuie să scrii asta.

2. adică -a-a putere a unui număr

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem?

Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Putere cu o bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În grade de la indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive ne înmulțim între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, se dovedește.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Ne uităm pur și simplu la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de practică

Analiza soluției 6 exemple

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea greșită a termenilor. Dacă ar fi inversate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adică luate cu semnul „”) și numărul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, ne întrebăm: de ce este așa?

Luați în considerare puțină putere cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și -. Cu ce ​​număr trebuie înmulțit pentru ca nimic să nu se schimbe? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm ​​regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, tot obții zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr până la gradul zero, trebuie să fie egal. Deci, care este adevărul despre asta? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Să mergem mai departe. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ numere negative. Pentru a înțelege ce este un grad negativ, să facem la fel ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același într-un grad negativ:

De aici este deja ușor de exprimat dorit:

Acum extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm regula:

Un număr la o putere negativă este inversul aceluiași număr la o putere pozitivă. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că este imposibil de împărțit).

Să rezumăm:

I. Expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:

Analiza sarcinilor pentru soluție independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examen trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluția dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța cum să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „potrivite” ca exponent.

Acum luați în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar" Să luăm în considerare o fracție:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum amintiți-vă regula "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal.

Adică rădăcina gradului al-lea este operația inversă de exponențiere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugați numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi rădăcini de grad egal din numerele negative!

Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu un numitor par, adică expresia nu are sens.

Dar exprimare?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții reduse, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, iar acestea sunt doar două înregistrări diferite cu același număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar de îndată ce scriem indicatorul într-un mod diferit, avem din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luați în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Puterile cu exponent rațional sunt foarte utile pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de practică

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom analiza grad cu un exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru grade cu exponent rațional, cu excepția

Într-adevăr, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...putere zero- acesta este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumit „număr gol” , și anume numărul;

...exponent întreg negativ- este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, în știință, se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (dacă înveți cum să rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decide pentru tine:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula deja obișnuită pentru ridicarea unui grad la un grad:

Acum uită-te la scor. Îți amintește de ceva? Reamintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

LA acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Aducem fracțiile în exponenți în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele ordinare. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Definiţia degree

Gradul este o expresie de forma: , unde:

• — baza gradului;
• - exponent.

Gradul cu exponent natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Putere cu exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

erecție la putere zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că este imposibil de împărțit).

Încă o dată despre nuluri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Gradul cu exponent rațional

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Proprietăți de grad

Pentru a ușura rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prin definitie:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține următorul produs:

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie să aibă aceeași bază. Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produsele puterilor!

Sub nicio formă nu ar trebui să scriu asta.

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să o rearanjam astfel:

Se pare că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea --a a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total: !

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Putere cu o bază negativă.

Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie index grad. Dar care ar trebui să fie baza? În grade de la natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive ne înmulțim între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem -.

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară, semnul se va schimba. Puteți formula aceste reguli simple:

1. chiar grad, - număr pozitiv.
2. Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
3. Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
4. Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Ne uităm pur și simplu la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă vă amintiți asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unele în altele, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte de a analiza ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați valorile expresiilor:

Soluții :

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!

Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea greșită a termenilor. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Dacă îl înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum arată așa:

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze. Dar este important de reținut: toate semnele se schimba in acelasi timp! Nu poate fi înlocuit prin schimbarea unui singur minus inacceptabil pentru noi!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum o să dovedim? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de grad și să simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere vor fi? ori prin multiplicatori - cum arată? Aceasta nu este altceva decât definiția unei operațiuni multiplicare: total s-au dovedit a fi multiplicatori. Adică, este, prin definiție, o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un indicator irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr până la gradul zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumită „pregătire a unui număr”, și anume un număr; un grad cu un număr întreg negativ - este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Mai degrabă, este un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, în știință, se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real. Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decide pentru tine:

1)

2)

3)

Raspunsuri:

1. Amintiți-vă formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
2. Aducem fracțiile în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMAT SECȚIUNEA ȘI FORMULA DE BAZĂ

grad se numește expresie de forma: , unde:

Gradul cu exponent întreg

grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).

Gradul cu exponent rațional

grad, al cărui indicator sunt numere negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

exponent al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietăți de grad

Caracteristicile diplomelor.

• Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
• Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
• Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice putere.
• Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI UN CUVÂNT...

Cum îți place articolul? Spune-mi în comentariile de mai jos dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta cu utilizarea proprietăților gradelor.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

Există o regulă că orice număr, altul decât zero, ridicat la puterea lui zero, va fi egal cu unu:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Totuși, de ce este așa?

Când un număr este ridicat la o putere cu un exponent natural, înseamnă că se înmulțește cu el însuși de atâtea ori cât exponentul:
43 = 4...

0 0

În algebră, ridicarea la o putere de zero este comună. Ce este gradul 0? Ce numere pot fi ridicate la puterea zero și care nu?

Definiție.

Orice număr cu puterea lui zero, cu excepția zero, este egal cu unu:

Astfel, indiferent ce număr este ridicat la puterea lui 0, rezultatul va fi întotdeauna același - unul.

Și 1 la puterea lui 0 și 2 la puterea lui 0 și orice alt număr - întreg, fracțional, pozitiv, negativ, rațional, irațional - atunci când este ridicat la puterea zero, dă unul.

Singura excepție este nul.

Puterea de la zero la zero nu este definită, o astfel de expresie nu are sens.

Adică, orice număr, cu excepția zero, poate fi ridicat la puterea zero.

Dacă, la simplificarea unei expresii cu puteri, se obține un număr la puterea zero, acesta poate fi înlocuit cu o unitate:

Eu gras...

0 0

În cadrul programului școlar, valoarea expresiei $%0^0$% este considerată nedefinită.

Din punctul de vedere al matematicii moderne, este convenabil să presupunem că $%0^0=1$%. Ideea aici este următoarea. Să existe un produs de $%n$% numere de forma $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Pentru toți $%n\ge2$% egalitatea $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% este satisfăcută. Este convenabil să considerăm această egalitate ca fiind semnificativă chiar și pentru $%n=1$%, setând $%p_0=1$%. Logica aici este următoarea: atunci când calculăm produse, luăm mai întâi 1, apoi înmulțim succesiv cu $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Acest algoritm este folosit atunci când se găsesc lucrări când sunt scrise programe. Dacă, dintr-un motiv oarecare, înmulțirea nu a avut loc, atunci produsul rămâne egal cu unu.

Cu alte cuvinte, este convenabil să considerăm un astfel de concept ca „produsul a 0 factori” ca având sens, considerându-l egal prin definiție cu 1. În acest caz, se poate vorbi și de „produs gol”. Dacă înmulțim un număr cu acesta...

0 0

Zero - este zero. În linii mari, orice putere a unui număr este produsul lui unu și exponentul înmulțit cu acel număr. Doi în al treilea, să presupunem că este 1*2*2*2, doi în minus primul este 1/2. Și atunci este necesar să nu existe nicio gaură în tranziția de la puterile pozitive la cele negative și invers.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

asta e toată ideea.

simplu si clar, multumesc

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

este necesar, de exemplu, pur și simplu atunci ca anumite formule care sunt valabile pentru indicatorii pozitivi - de exemplu x ^ n * x ^ m = x ^ (m + n) - sunt încă valabile.
Apropo, același lucru este valabil și pentru definiția unui grad negativ, precum și a unuia rațional (adică, de exemplu, 5 la puterea lui 3/4)

> și de ce este nevoie?
De exemplu, în statistică și teorie, se joacă adesea cu puteri zero.

Te deranjează gradele negative?
...

0 0

Continuăm să luăm în considerare proprietățile gradelor, luăm, de exemplu, 16:8=2. Deoarece 16=24 și 8=23, prin urmare, împărțirea poate fi scrisă în formă exponențială ca 24:23=2, dar dacă scădem exponenții, atunci 24:23=21. Astfel, trebuie să admitem că 2 și 21 sunt la fel, deci 21=2.

Aceeași regulă se aplică oricărui alt număr exponențial, astfel încât regula poate fi enunțată într-un mod general:

orice număr ridicat la prima putere rămâne neschimbat

Poate că această concluzie te-a surprins. Încă poți înțelege cumva sensul expresiei 21=2, deși expresia „un număr doi înmulțit cu el însuși” sună destul de ciudat. Dar expresia 20 înseamnă „nici un număr doi,...

0 0

Definiții de grade:

1. grad zero

Orice număr diferit de zero ridicat la puterea lui zero este egal cu unu. Zero la puterea lui zero nu este definit

2. grad natural altul decât zero

Orice număr x ridicat la o putere naturală n, alta decât zero, este egal cu înmulțirea a n numere x între ele

3.1 rădăcină de un grad natural par, altul decât zero

Rădăcina unei puteri naturale pare n, diferită de zero, de la orice număr pozitiv x este un astfel de număr pozitiv y, care, ridicat la o putere a lui n, dă numărul inițial x

3.2 rădăcină naturală impară

O rădăcină naturală impară n a oricărui număr x este un număr y care, atunci când este ridicat la o putere a lui n, dă numărul inițial x

3.3 rădăcina oricărei puteri naturale ca putere fracționată

Extragerea rădăcinii oricărei puteri naturale n, alta decât zero, din orice număr x este la fel cu ridicarea acestui număr x la puterea fracțională 1/n

0 0

Bună, dragă RUSSEL!

La introducerea conceptului de grad, există o astfel de notație: » Valoarea expresiei a^0 =1 » ! Acest lucru se întâmplă în virtutea conceptului logic de grad și nimic altceva!
Este lăudabil când un tânăr încearcă să ajungă la fund! Dar sunt lucruri care ar trebui luate de la sine înțelese!
Poți construi o nouă matematică doar când studiezi ceea ce a fost deja descoperit cu secole în urmă!
Desigur, dacă excludem că „nu ești din lumea aceasta” și ți s-a dat mult mai mult decât ceilalți dintre noi, păcătoșii!

Notă: Anna Misheva a încercat să dovedească ceea ce nu poate fi demonstrat! De asemenea, lăudabil!
Dar există un mare „DAR” – cel mai important element lipsește din dovada lui: Cazul împărțirii la ZERO!

Vedeți singuri ce se poate întâmpla: 0^1 / 0^1 = 0 / 0 !!!

Dar nu poți împărți la zero!

Vă rog să fiți mai atenți!

Cu multe urări de bine și fericire în viața ta personală...

0 0

Raspunsuri:

Fara nume

dacă luăm în considerare că a^x=e^x*ln(a), atunci rezultă că 0^0=1 (limită, pentru x->0)
deși răspunsul „incertitudine” este și el acceptabil

Zero la matematică nu este gol, acest număr este foarte aproape de „nimic”, la fel ca infinitul doar invers

Scrie:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Se pare că în acest caz împărțim la zero, iar această operație pe câmpul numerelor reale nu este definită.

acum 6 ani

RPI.su este cea mai mare bază de date de întrebări și răspunsuri în limba rusă. Proiectul nostru a fost implementat ca o continuare a serviciului popular otvety.google.ru, care a fost închis și eliminat la 30 aprilie 2015. Am decis să reînviam serviciul util Google Answers, astfel încât orice persoană să poată afla în mod public răspunsul la întrebarea sa din comunitatea de pe internet.

Toate întrebările adăugate pe site-ul Google Answers au fost copiate și salvate aici. Numele utilizatorilor vechi sunt afișate și în forma în care au existat anterior. Trebuie doar să vă reînregistrați pentru a putea pune întrebări sau a răspunde altora.

Pentru a ne contacta pentru orice întrebare DESPRE SITE (reclamă, cooperare, feedback despre serviciu), scrieți la e-mail [email protected] Postați doar toate întrebările generale pe site, nu vor primi răspuns prin poștă.

Cu ce ​​este zero atunci când este ridicat la puterea lui zero?

De ce un număr cu puterea lui 0 este egal cu 1? Există o regulă că orice număr, altul decât zero, ridicat la puterea lui zero, va fi egal cu unu: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Totuși, de ce este așa? Când un număr este ridicat la o putere cu exponent natural, înseamnă că se înmulțește cu el însuși de atâtea ori cât exponentul: 43 = 4 × 4 × 4; 26 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Când exponentul este 1, atunci există un singur factor în timpul construcției (dacă putem vorbi despre factori aici), și, prin urmare, rezultatul construcției este egal până la baza gradului: 181 \u003d 18; (–3,4)1 = –3,4 Dar cum rămâne cu exponentul zero în acest caz? Ce se înmulțește cu ce? Să încercăm să mergem în altă direcție. Se știe că, dacă două grade au aceleași baze, dar indicatori diferiți, atunci baza poate fi lăsată aceeași, iar indicatorii pot fi fie adăugați unul la altul (dacă gradele sunt înmulțite), fie scădeți indicatorul divizor din indicator de dividend (dacă gradele sunt divizibile): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Acum luați în considerare acest exemplu: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Ce se întâmplă dacă nu folosim proprietatea gradelor cu aceeași bază și facem calcule în ordinea în care urmează: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Deci am obținut unitatea râvnită. Astfel, exponentul zero, așa cum ar fi, indică faptul că numărul nu este înmulțit cu el însuși, ci este împărțit la el însuși. Și de aici devine clar de ce expresia 00 nu are sens. La urma urmei, nu poți împărți la 0. Puteți argumenta diferit. Dacă există, de exemplu, o înmulțire a puterilor 52 × 50 = 52 + 0 = 52, atunci rezultă că 52 a fost înmulțit cu 1. Prin urmare, 50 = 1.

Din proprietățile gradelor: a^n / a^m = a^(n-m) dacă n=m, rezultatul va fi unul, cu excepția desigur a=0, în acest caz (deoarece zero la orice grad va fi zero) împărțirea la zero ar avea loc, deci 0^0 nu există

Cont în diferite limbi

Numele numerelor de la 0 la 9 în limbile populare ale lumii.

Limba	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Engleză	zero	unu	Două	Trei	patru	cinci	şase	Șapte	opt	nouă
bulgară	zero	unu	Două	Trei	patru	animal de companie	stâlp	sedem	osem	devet
maghiară	nulla	egy	ketty	harom	negy	ot	pălărie	het	nyolc	kilenc
olandeză	nul	een	twee	uscat	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
danez	nul	ro	la	tre	foc	fem	sexe	syv	otte	ni
Spaniolă	cero	O.N.U	dos	tres	cuatro	cinci	seis	siete	ocho	nou
Italiană	zero	O.N.U	datorată	tre	quattro	cinque	sei	sette	otto	nou
lituanian	nullis	vienas	du	incearca	keturi	penki	reyi	septini	aðtuoni	devyni
Deutsch	nul	ein	zwei	drei	vier	funf	sechs	sieben	acht	neun
Rusă	zero	unu	Două	Trei	patru	cinci	şase	Șapte	opt	nouă
Lustrui	zero	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
portugheză	um	doi	urme	quadro	cinci	seis	sete	oito	nou
limba franceza	zero	un	deux	trei	pătrat	cinci	şase	sept	huit	neuf
ceh	nula	jedna	dva	toi	ityoi	groapă	¹est	sedm	osm	devite
suedez	noll	ett	tva	tre	fyra	fem	sex	sju	atta	nio
estonă	nul	uks	kaks	Kolm	neli	viis	kuus	seitse	kaheksa	uheksa

Puterea negativă și zero a unui număr

Puterile zero, negative și fracționale

Indicator zero

A ridica un anumit număr la o anumită putere înseamnă a-l repeta cu un factor de câte ori există unități în exponent.

Conform acestei definiții, expresia: A 0 este lipsit de sens. Dar pentru ca regula împărțirii puterilor aceluiași număr să aibă sens chiar și în cazul în care indicele divizorului este egal cu indicele dividendelor, se introduce definiția:

Puterea zero a oricărui număr va fi egală cu unu.

Indicator negativ

Expresie a.m, în sine nu are sens. Dar pentru ca regula împărțirii puterilor aceluiași număr să aibă sens chiar și în cazul în care indicele divizorului este mai mare decât indicele dividendelor, se introduce definiția:

Exemplul 1. Dacă un număr dat este format din 5 sute, 7 zeci, 2 unități și 9 sutimi, atunci poate fi reprezentat astfel:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Exemplul 2. Dacă un număr dat este format din a zeci, b unități, c zecimi și d miimi, atunci poate fi reprezentat după cum urmează:

A× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 -1 + d× 10 -3

Acțiuni asupra puterilor cu exponenți negativi

La înmulțirea puterilor aceluiași număr, exponenții se adună.

La împărțirea puterilor aceluiași număr, indicatorul divizor este scăzut din indicatorul dividendului.

Pentru a ridica un produs la o putere, este suficient să ridicați fiecare factor separat la această putere:

Pentru a ridica o fracție la o putere, este suficient să ridicați ambii termeni ai fracției separat la această putere:

Când o putere este ridicată la o altă putere, exponenții sunt înmulțiți.

Exponent fracționar

În cazul în care un k nu este multiplu n, apoi expresia: nu are sens. Dar pentru ca regula extragerii rădăcinii din grad să aibă loc pentru orice valoare a exponentului, se introduce definiția:

Datorită introducerii unui nou simbol, extragerea rădăcinii poate fi întotdeauna înlocuită cu exponențiere.

Acțiuni asupra puterilor cu exponenți fracționari

Acțiunile pe grade cu exponenți fracționari se efectuează după aceleași reguli care sunt stabilite pentru exponenții întregi.

Când demonstrăm această poziție, vom presupune mai întâi că termenii fracțiilor: și , servind ca exponenți, sunt pozitivi.

Într-un caz anume n sau q poate fi egal cu unu.

La înmulțirea puterilor aceluiași număr, indicatorii fracționari se adună:

La împărțirea puterilor aceluiași număr cu exponenți fracționari, exponentul divizor este scăzut din exponentul dividendului:

Pentru a ridica o putere la o altă putere în cazul exponenților fracționari, este suficient să înmulțiți exponenții:

Pentru a extrage rădăcina unui exponent fracționar, este suficient să împărțiți exponentul la exponentul rădăcinii:

Regulile de acțiune se aplică nu numai la pozitiv cifre fracționale, dar și să negativ.

Există o regulă că orice număr, altul decât zero, ridicat la puterea lui zero, va fi egal cu unu:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Totuși, de ce este așa?
Când un număr este ridicat la o putere cu un exponent natural, înseamnă că se înmulțește cu el însuși de atâtea ori cât exponentul:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Când exponentul este 1, atunci există un singur factor în timpul construcției (dacă putem vorbi despre factori) și, prin urmare, rezultatul construcției este egal cu baza gradului:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Dar ce zici de zero în acest caz? Ce se înmulțește cu ce?
Să încercăm să mergem în altă direcție.

De ce un număr cu puterea lui 0 este egal cu 1?

Se știe că, dacă două grade au aceleași baze, dar indicatori diferiți, atunci baza poate fi lăsată aceeași, iar indicatorii pot fi fie adăugați unul la altul (dacă gradele sunt înmulțite), fie scădeți indicatorul divizor din indicator de dividende (dacă gradele sunt divizibile):
3 2×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Acum luați în considerare acest exemplu:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Ce se întâmplă dacă nu folosim proprietatea puterilor cu aceeași bază și efectuăm calcule în ordinea succesiunii lor:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Așa că am primit râvnita unitate. Astfel, exponentul zero, așa cum ar fi, indică faptul că numărul nu este înmulțit cu el însuși, ci este împărțit la el însuși.
Și de aici devine clar de ce expresia 0 0 nu are sens. La urma urmei, nu poți împărți la 0.

GRAD CU INDICATOR RAȚIONAL,

FUNCȚIA DE PUTERE IV

§ 71. Grade cu exponenți zero și negativi

În § 69 am demonstrat (vezi Teorema 2) că pt t > n

(A =/= 0)

Este destul de firesc să dorești să extinzi această formulă la cazul în care t < P . Dar apoi numărul t - p va fi fie negativ, fie zero. R. Am vorbit până acum doar despre grade cu indicatori naturali. Astfel, ne confruntăm cu necesitatea introducerii în considerare a puterilor numerelor reale cu exponenți zero și negativi.

Definiția 1. Orice număr A , nu este egal cu zero, puterea lui zero este egală cu unu, adică când A =/= 0

A 0 = 1. (1)

De exemplu, (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. Numărul 0 nu are grad zero, adică expresia 0 0 nu este definită.

Definiția 2. În cazul în care un A=/= 0 și P este un număr natural, atunci

A - n = 1 /A n (2)

acesta este gradul oricărui număr care nu este egal cu zero, cu un exponent întreg negativ, este egal cu o fracție al cărei numărător este unul, iar numitorul este puterea aceluiași număr a, dar cu un exponent opus exponentului acestui exponent.

De exemplu,

Având în vedere aceste definiții, se poate demonstra că A =/= 0, formulă

adevărat pentru orice numere naturale t și n , nu numai pentru t > n . Pentru a dovedi, este suficient să luăm în considerare doar două cazuri: t = n și t< .п , din cauza cazului m > n deja tratat în § 69.

Lăsa t = n ; apoi . Prin urmare, partea stângă a egalității (3) este egală cu 1. Partea dreaptă la t = n devine

A m-n = A n - n = A 0 .

Dar prin definiție A 0 = 1. Astfel, partea dreaptă a egalității (3) este, de asemenea, egală cu 1. Prin urmare, pentru t = n formula (3) este corectă.

Acum să presupunem că t< п . Împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la A m , primim:

pentru că n > t , apoi . De aceea . Folosind definiția unui grad cu exponent negativ, se poate scrie .

Deci, la , ceea ce urma să fie dovedit. Formula (3) este acum demonstrată pentru orice numere naturale t și P .

Cometariu. Exponenții negativi vă permit să scrieți fracții fără numitori. De exemplu,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - unu ; în general, A / b = a b - 1

Cu toate acestea, nu ar trebui să credem că, cu o astfel de notație, fracțiile se transformă în numere întregi. De exemplu, 3 - 1 este aceeași fracție cu 1/3, 2 5 - 1 este aceeași fracție cu 2/5 etc.

Exerciții

529. Calculați:

530. Scrieți fără numitorii unei fracții:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Scrieți aceste fracții zecimale ca expresii întregi folosind indicatori negativi:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5