În acest articol, ne vom opri în detaliu asupra unuia dintre conceptele primare ale geometriei - asupra conceptului de linie dreaptă pe un plan. Mai întâi, să definim termenii de bază și notația. În continuare, discutăm poziția relativă a unei drepte și a unui punct, precum și a două drepte pe un plan și dăm axiomele necesare. În concluzie, vom lua în considerare modalități de a stabili o linie dreaptă pe un plan și de a oferi ilustrații grafice.

Navigare în pagină.

O linie dreaptă pe un plan este un concept.

Înainte de a da conceptul de linie dreaptă pe un plan, ar trebui să înțelegem clar ce este un plan. Reprezentarea avionului vă permite să obțineți, de exemplu, o suprafață plană a mesei sau a peretelui casei. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că dimensiunile tabelului sunt limitate, iar planul se extinde dincolo de aceste limite până la infinit (ca și cum am avea un tabel arbitrar de mare).

Dacă luăm un creion bine ascuțit și îi atingem miezul de suprafața „mesei”, atunci vom obține o imagine a unui punct. Deci primim reprezentarea unui punct pe un plan.

Acum poți merge la conceptul de linie dreaptă pe un plan.

Să punem pe suprafața mesei (pe avion) ​​o coală de hârtie curată. Pentru a trage o linie dreaptă, trebuie să luăm o riglă și să tragem o linie cu un creion, atât cât ne permite dimensiunea riglei și a foii de hârtie folosite. Trebuie remarcat faptul că în acest fel obținem doar o parte din linia dreaptă. O linie dreaptă în întregime, care se extinde până la infinit, ne putem doar imagina.

Poziția reciprocă a unei linii și a unui punct.

Ar trebui să începeți cu o axiomă: există puncte pe fiecare linie dreaptă și în fiecare plan.

Punctele sunt de obicei notate cu majuscule latine, de exemplu, punctele A și F. La rândul lor, liniile drepte sunt notate cu litere mici latine, de exemplu, liniile drepte a și d.

Posibil două opțiuni pentru poziția relativă a unei drepte și a unui punct pe un plan: fie punctul se află pe linie (în acest caz se spune că linia trece și prin punct), fie punctul nu se află pe linie (se mai spune că punctul nu aparține dreptei, fie linia nu trece prin punct).

Pentru a indica faptul că un punct aparține unei anumite linii, se folosește simbolul „”. De exemplu, dacă punctul A se află pe linia a, atunci puteți scrie. Dacă punctul A nu aparține dreptei a, atunci scrieți.

Următoarea afirmație este adevărată: prin oricare două puncte există o singură linie dreaptă.

Această afirmație este o axiomă și ar trebui acceptată ca un fapt. În plus, acest lucru este destul de evident: notăm două puncte pe hârtie, le aplicăm o riglă și trasăm o linie dreaptă. O linie dreaptă care trece prin două puncte date (de exemplu, prin punctele A și B) poate fi notă cu aceste două litere (în cazul nostru, linia dreaptă AB sau BA).

Trebuie înțeles că pe o dreaptă dată pe un plan, există infinit de multe puncte diferite și toate aceste puncte se află în același plan. Această afirmație este stabilită prin axiomă: dacă două puncte ale unei drepte se află într-un anumit plan, atunci toate punctele acestei drepte se află în acest plan.

Se numește mulțimea tuturor punctelor situate între două puncte date pe o linie dreaptă, împreună cu aceste puncte linie dreapta sau pur și simplu segment. Punctele care delimitează segmentul se numesc capete ale segmentului. Un segment este notat cu două litere corespunzătoare punctelor capetelor segmentului. De exemplu, punctele A și B sunt capetele unui segment, atunci acest segment poate fi notat AB sau BA. Vă rugăm să rețineți că această denumire a unui segment este aceeași cu desemnarea unei linii drepte. Pentru a evita confuzia, vă recomandăm să adăugați cuvântul „segment” sau „direct” la denumire.

Pentru o scurtă înregistrare a apartenenței și a nu aparține unui anumit punct la un anumit segment, se folosesc toate aceleași simboluri și. Pentru a arăta că un segment se află sau nu pe o linie dreaptă, se folosesc simbolurile și, respectiv. De exemplu, dacă segmentul AB aparține dreptei a, puteți scrie pe scurt.

Ar trebui să ne oprim și asupra cazului în care trei puncte diferite aparțin aceleiași linii. În acest caz, unul, și doar un punct, se află între celelalte două. Această afirmație este o altă axiomă. Fie că punctele A, B și C se află pe aceeași linie dreaptă, iar punctul B se află între punctele A și C. Atunci putem spune că punctele A și C sunt pe părți opuse ale punctului B. De asemenea, puteți spune că punctele B și C se află de aceeași parte a punctului A, iar punctele A și B sunt de aceeași parte a punctului C.

Pentru a completa imaginea, observăm că orice punct al unei linii drepte împarte această linie dreaptă în două părți - două grindă. În acest caz, se dă o axiomă: un punct arbitrar O, aparținând unei linii, împarte această linie în două raze și oricare două puncte ale unei raze se află de aceeași parte a punctului O și oricare două puncte de raze diferite. se află pe părțile opuse ale punctului O.

Dispunerea reciprocă a liniilor drepte pe un plan.

Acum să răspundem la întrebarea: „Cum pot fi situate două linii pe un plan una față de alta”?

În primul rând, două linii într-un avion pot coincide.

Acest lucru este posibil atunci când liniile au cel puțin două puncte în comun. Într-adevăr, în virtutea axiomei exprimate în paragraful precedent, o singură linie dreaptă trece prin două puncte. Cu alte cuvinte, dacă două drepte trec prin două puncte date, atunci ele coincid.

În al doilea rând, două linii drepte într-un plan pot cruce.

În acest caz, liniile au un punct comun, care se numește punctul de intersecție al liniilor. Intersecția liniilor este notă cu simbolul „”, de exemplu, înregistrarea înseamnă că liniile a și b se intersectează în punctul M. Liniile care se intersectează ne conduc la conceptul de unghi dintre liniile care se intersectează. Separat, merită să luați în considerare locația liniilor drepte pe un plan atunci când unghiul dintre ele este de nouăzeci de grade. În acest caz, liniile sunt numite perpendicular(recomandăm articolul linii perpendiculare, perpendicularitatea liniilor). Dacă linia a este perpendiculară pe dreapta b, atunci se poate folosi notația scurtă.

În al treilea rând, două drepte dintr-un plan pot fi paralele.

Din punct de vedere practic, este convenabil să se ia în considerare o dreaptă pe un plan împreună cu vectorii. De o importanță deosebită sunt vectorii nenuli care se află pe o linie dată sau pe oricare dintre liniile paralele, ei se numesc vectorii de direcție ai dreptei. Articolul vector de direcție al unei linii drepte pe un plan oferă exemple de vectori de direcție și arată opțiuni pentru utilizarea lor în rezolvarea problemelor.

De asemenea, ar trebui să acordați atenție vectorilor non-zero care se află pe oricare dintre liniile perpendiculare pe cea dată. Astfel de vectori se numesc vectori normali ai dreptei. Utilizarea vectorilor normali ai unei linii drepte este descrisă în articolul vector normal al unei linii drepte pe un plan.

Când trei sau mai multe linii drepte sunt date pe un plan, există multe opțiuni diferite pentru poziția lor relativă. Toate liniile pot fi paralele, altfel unele sau toate se intersectează. În acest caz, toate liniile se pot intersecta într-un singur punct (vezi articolul creion de linii) sau pot avea puncte de intersecție diferite.

Nu ne vom opri asupra acestui lucru în detaliu, dar vom cita câteva fapte remarcabile și foarte des folosite fără dovezi:

• dacă două drepte sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci sunt paralele între ele;
• dacă două drepte sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci sunt paralele între ele;
• dacă într-un plan o dreaptă intersectează una dintre două drepte paralele, atunci ea intersectează și a doua dreaptă.

Metode de stabilire a unei linii drepte pe un plan.

Acum vom enumera principalele moduri în care puteți defini o anumită linie în plan. Aceste cunoștințe sunt foarte utile din punct de vedere practic, deoarece soluția atâtor exemple și probleme se bazează pe ea.

În primul rând, o linie dreaptă poate fi definită prin specificarea a două puncte pe plan.

Într-adevăr, din axioma avută în vedere în primul paragraf al acestui articol, știm că o dreaptă trece prin două puncte și, mai mult, doar unul.

Dacă coordonatele a două puncte nepotrivite sunt indicate într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan, atunci este posibil să scrieți ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

În al doilea rând, o dreaptă poate fi specificată prin specificarea punctului prin care trece și a dreptei cu care este paralelă. Această metodă este valabilă, deoarece o singură dreaptă trece printr-un punct dat al planului, paralelă cu o dreaptă dată. Dovada acestui fapt a fost făcută la orele de geometrie din liceu.

Dacă o dreaptă pe un plan este stabilită în acest fel față de sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare introdus, atunci este posibil să-i compune ecuația. Aceasta este scrisă în articol ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat paralel cu o dreaptă dată.

În al treilea rând, o linie poate fi definită prin specificarea punctului prin care trece și a vectorului său de direcție.

Dacă o linie dreaptă este dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular în acest fel, atunci este ușor să compuneți ecuația sa canonică a unei drepte pe un plan și ecuații parametrice a unei drepte pe un plan.

A patra modalitate de a specifica o linie este de a specifica punctul prin care trece și linia pe care este perpendiculară. Într-adevăr, există o singură dreaptă printr-un punct dat al planului care este perpendiculară pe dreapta dată. Să lăsăm acest fapt fără dovezi.

În sfârșit, o dreaptă din plan poate fi specificată prin specificarea punctului prin care trece și a vectorului normal al dreptei.

Dacă sunt cunoscute coordonatele unui punct situat pe o dreaptă dată și coordonatele vectorului normal al dreptei, atunci este posibil să scrieți ecuația generală a dreptei.

Bibliografie.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Clasele 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 de liceu.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului www.site, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

Oh-oh-oh-oh-oh ... ei bine, e minuscul, de parcă ți-ai citi propoziția pentru tine =) Cu toate acestea, atunci relaxarea va ajuta, mai ales că mi-am cumpărat astăzi accesorii potrivite. Prin urmare, să trecem la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi păstra o dispoziție veselă.

Dispunerea reciprocă a două linii drepte

Cazul când sala cântă în cor. Două linii pot:

1) potrivire;

2) fi paralel: ;

3) sau se intersectează într-un singur punct: .

Ajutor pentru manechini : vă rugăm să rețineți semnul matematic al intersecției, acesta va apărea foarte des. Intrarea înseamnă că linia se intersectează cu linia în punct.

Cum se determină poziția relativă a două linii?

Să începem cu primul caz:

Două drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, adică există un astfel de număr „lambda” încât egalitățile

Să considerăm drepte și să compunem trei ecuații din coeficienții corespunzători: . Din fiecare ecuație rezultă că, așadar, aceste drepte coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației înmulțiți cu -1 (schimbați semnele) și toți coeficienții ecuației reduceți cu 2, obțineți aceeași ecuație: .

Al doilea caz când liniile sunt paralele:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor la variabile sunt proporționali: , dar.

Ca exemplu, luați în considerare două linii drepte. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabilele:

Cu toate acestea, este clar că.

Și al treilea caz, când liniile se intersectează:

Două drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor NU sunt proporționali, adică NU există o asemenea valoare a „lambda” încât egalitățile să fie îndeplinite

Deci, pentru linii drepte vom compune un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , iar din a doua ecuație: , prin urmare, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coeficienții la variabile nu sunt proporționali.

Concluzie: liniile se intersectează

În problemele practice, poate fi utilizată schema de soluție tocmai considerată. Apropo, este foarte asemănător cu algoritmul de verificare a coliniarității vectorilor, pe care l-am luat în considerare în lecție. Conceptul de (non)dependență liniară a vectorilor. Baza vectorială. Dar există un pachet mai civilizat:

Exemplul 1

Aflați poziția relativă a liniilor:

Decizie pe baza studiului vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai dreptelor: .

, deci vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.

Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicatori la răscruce:

Restul sar peste piatra si merg mai departe, direct catre Kashchei cel fara de moarte =)

b) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie aceleași. Aici determinantul nu este necesar.

Evident, coeficienții necunoscutelor sunt proporționale, în timp ce .

Să aflăm dacă egalitatea este adevărată:

Prin urmare,

c) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Să calculăm determinantul, compus din coordonatele acestor vectori:
, prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincid.

Factorul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor înșiși: .

Acum să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni liberi sunt zero, deci:

Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).

Astfel, liniile coincid.

Răspuns:

Foarte curând veți învăța (sau chiar ați învățat deja) să rezolvați verbal problema luată în considerare, literal, în câteva secunde. În acest sens, nu văd niciun motiv să ofer ceva pentru o soluție independentă, este mai bine să puneți o cărămidă importantă în fundația geometrică:

Cum se desenează o linie paralelă cu una dată?

Pentru ignorarea acestei sarcini simple, Privighetoarea Tâlharul pedepsește aspru.

Exemplul 2

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă paralelă care trece prin punct.

Decizie: Notează linia necunoscută cu litera . Ce spune condiția despre ea? Linia trece prin punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al dreptei „ce” este potrivit și pentru construirea dreptei „de”.

Scoatem vectorul direcție din ecuație:

Răspuns:

Geometria exemplului pare simplă:

Verificarea analitică constă în următorii pași:

1) Verificăm ca liniile să aibă același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată.

Verificarea analitică în majoritatea cazurilor este ușor de efectuat pe cale orală. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi vă vor da seama rapid cum liniile sunt paralele fără nici un desen.

Exemplele de auto-rezolvare astăzi vor fi creative. Pentru că mai trebuie să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta dacă

Există o modalitate rațională și nu foarte rațională de a rezolva. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.

Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că să luăm în considerare o problemă care vă este bine cunoscută din programa școlară:

Cum se află punctul de intersecție a două drepte?

Dacă drept se intersectează în punctul , atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare

Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.

În sănătatea ta semnificația geometrică a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute sunt două drepte care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.

Exemplul 4

Aflați punctul de intersecție al dreptelor

Decizie: Există două moduri de rezolvare - grafică și analitică.

Calea grafică este să trageți pur și simplu liniile date și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

Iată punctul nostru de vedere: . Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a unei linii drepte, acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt soluția sistemului. De fapt, am considerat o modalitate grafică de a rezolva sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de clasa a VII-a decid astfel, ideea este că va dura timp pentru a face un desen corect și EXACT. În plus, unele linii nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi undeva în al treizecilea regat, în afara foii de caiet.

Prin urmare, este mai oportun să se caute punctul de intersecție prin metoda analitică. Să rezolvăm sistemul:

Pentru rezolvarea sistemului s-a folosit metoda adunării în termeni a ecuațiilor. Pentru a dezvolta abilitățile relevante, vizitați lecția Cum se rezolvă un sistem de ecuații?

Răspuns:

Verificarea este banala - coordonatele punctului de intersectie trebuie sa satisfaca fiecare ecuatie a sistemului.

Exemplul 5

Aflați punctul de intersecție al dreptelor dacă acestea se intersectează.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Sarcina poate fi împărțită convenabil în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Scrieți ecuația unei drepte.
2) Scrieți ecuația unei drepte.
3) Aflați poziția relativă a liniilor.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului:

O pereche de pantofi nu a fost încă uzată, deoarece am ajuns la a doua secțiune a lecției:

Linii perpendiculare. Distanța de la un punct la o linie.
Unghiul dintre linii

Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu cea dată, iar acum coliba pe pulpele de pui se va întoarce la 90 de grade:

Cum se desenează o linie perpendiculară pe una dată?

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă perpendiculară care trece printr-un punct.

Decizie: Se ştie prin presupunere că . Ar fi bine să găsim vectorul direcție al dreptei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:

Din ecuație „eliminăm” vectorul normal: , care va fi vectorul de direcție al dreptei.

Compunem ecuația unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

Să desfășurăm schița geometrică:

Hmmm... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.

Verificarea analitică a soluției:

1) Extrageți vectorii de direcție din ecuații si cu ajutorul produs scalar al vectorilor concluzionăm că dreptele sunt într-adevăr perpendiculare: .

Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată .

Verificarea, din nou, este ușor de efectuat verbal.

Exemplul 7

Aflați punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare, dacă ecuația este cunoscută și punct.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Există mai multe acțiuni în sarcină, deci este convenabil să aranjați soluția punct cu punct.

Călătoria noastră interesantă continuă:

Distanța de la punct la linie

În fața noastră este o fâșie dreaptă a râului și sarcina noastră este să ajungem la el în cel mai scurt drum. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea de-a lungul perpendicularei. Adică, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.

Distanța în geometrie se notează în mod tradițional cu litera greacă „ro”, de exemplu: - distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.

Distanța de la punct la linie este exprimat prin formula

Exemplul 8

Aflați distanța de la un punct la o linie

Decizie: tot ce aveți nevoie este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să faceți calculele:

Răspuns:

Să executăm desenul:

Distanța găsită de la punct la linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă faci un desen pe hârtie în carouri la scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.

Luați în considerare o altă sarcină conform aceluiași desen:

Sarcina este de a găsi coordonatele punctului, care este simetric față de punctul față de linie . Vă propun să efectuați acțiunile pe cont propriu, totuși, voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe o dreaptă.

2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: .

Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.

3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele mijlocului segmentului găsi .

Nu va fi de prisos să verificați dacă distanța este și ea egală cu 2,2 unități.

Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar în turn un microcalculator ajută foarte mult, permițându-vă să numărați fracțiile obișnuite. Am sfătuit de multe ori și o să recomand din nou.

Cum se află distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Aflați distanța dintre două drepte paralele

Acesta este un alt exemplu pentru o soluție independentă. Un mic indiciu: există o infinitate de moduri de a rezolva. Debriefing la sfârșitul lecției, dar mai bine încercați să ghiciți singuri, cred că ați reușit să vă împrăștiați bine ingeniozitatea.

Unghiul dintre două linii

Oricare ar fi colțul, apoi cantul:


În geometrie, unghiul dintre două drepte este luat ca unghi MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat a fi unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul purpuriu.

Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția de „defilare” colțului este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu, dacă .

De ce am spus asta? Se pare că te poți descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că în formulele prin care vom găsi unghiurile se poate obține cu ușurință un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desenul pentru un unghi negativ, este imperativ să indicați orientarea acestuia (în sensul acelor de ceasornic) cu o săgeată.

Cum să găsiți unghiul dintre două linii? Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii

Decizieși Metoda unu

Luați în considerare două drepte date de ecuații în formă generală:

Dacă drept nu perpendicular, apoi orientat unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:

Dacă , atunci numitorul formulei dispare, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea liniilor în formulare.

Pe baza celor de mai sus, soluția este formalizată convenabil în doi pași:

1) Calculați produsul scalar al vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
deci liniile nu sunt perpendiculare.

2) Găsim unghiul dintre drepte prin formula:

Folosind funcția inversă, este ușor să găsiți unghiul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arc-tangentei (vezi Fig. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

În răspuns, indicăm valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință atât în ​​grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator.

Ei bine, minus, deci minus, e în regulă. Iată o ilustrație geometrică:

Nu este surprinzător că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece, în starea problemei, primul număr este o linie dreaptă și „răsucirea” unghiului a început tocmai de la aceasta.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile drepte, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , și luați coeficienții din prima ecuație . Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct .

Acum să avem două ecuații:

Să vedem când dreptele d și d definite de aceste ecuații sunt paralele în sens larg, când coincid, când sunt paralele în sens propriu (adică nu au un singur punct comun).

Răspunsul la prima întrebare se obține imediat: dreptele d și d sunt paralele în sens larg dacă și numai dacă vectorii lor de direcție sunt coliniari, adică atunci când are loc proporția și, prin urmare, proporția.

Dacă această proporţie poate fi extinsă la proporţie

atunci liniile coincid: în acest caz, toți coeficienții uneia dintre cele două ecuații (1), (D) se obțin din coeficienții celeilalte prin înmulțirea cu unii și, prin urmare, cu ecuațiile (1) și sunt echivalenti (oricare punct care satisface o ecuație o satisface pe cealaltă).

În schimb, dacă două linii coincid, atunci proporția (3) este valabilă.

Să demonstrăm mai întâi acest lucru în cazul în care liniile noastre sunt paralele cu axa y. Apoi, și trebuie doar să dovedim egalitatea.

Dar ultima egalitate (în care rezultă din faptul că ambele drepte (coincidente) intersectează axa absciselor în același punct cu abscisa .

Acum să fie primarele coincidente să nu fie paralele cu axa y. Apoi îl intersectează în același punct Q cu ordonata și avem proporția , care împreună cu proporția (2) (care exprimă paralelismul dreptelor în sens larg) ne dă proporția necesară (3).

Paralelismul în sensul propriu înseamnă că există paralelism în sens larg (adică condiția (2) este îndeplinită), dar nu există coincidență (adică nu este satisfăcută). Aceasta înseamnă că proporția

are loc, în timp ce

Combinația a două relații (2) și (4) este de obicei scrisă ca o singură formulă:

Să rezumăm ceea ce s-a dovedit.

Teorema 1. Orice dreaptă d pe un plan echipat cu un sistem de coordonate afin este determinată de o ecuație de gradul întâi între coordonatele punctelor sale. Dimpotrivă, orice ecuație de gradul întâi

este o ecuație a unei linii (unice) d; în plus, toți vectorii sunt coliniari cu această dreaptă și numai ei satisfac ecuația omogenă

Acest articol este despre linii paralele și despre linii paralele. În primul rând, este dată definiția dreptelor paralele în plan și în spațiu, este introdusă notația, sunt date exemple și ilustrații grafice ale dreptelor paralele. În continuare, sunt analizate semnele și condițiile de paralelism ale dreptelor. În concluzie, sunt prezentate soluții pentru probleme tipice de demonstrare a paralelismului dreptelor, care sunt date de unele ecuații ale unei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan și în spațiu tridimensional.

Navigare în pagină.

Linii paralele - informații de bază.

Definiție.

Se numesc două drepte dintr-un plan paralel dacă nu au puncte comune.

Definiție.

Se numesc două linii în trei dimensiuni paralel dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Rețineți că clauza „dacă se află în același plan” din definiția dreptelor paralele în spațiu este foarte importantă. Să lămurim acest punct: două drepte în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele, ci sunt oblice.

Iată câteva exemple de linii paralele. Marginile opuse ale foii de caiet se află pe linii paralele. Liniile drepte de-a lungul cărora planul peretelui casei intersectează planurile tavanului și podelei sunt paralele. Căile ferate pe teren plan pot fi, de asemenea, considerate linii paralele.

Simbolul „” este folosit pentru a desemna linii paralele. Adică, dacă liniile a și b sunt paralele, atunci puteți scrie pe scurt a b.

Rețineți că dacă liniile a și b sunt paralele, atunci putem spune că linia a este paralelă cu linia b și, de asemenea, că linia b este paralelă cu linia a.

Să rostim o afirmație care joacă un rol important în studiul dreptelor paralele în plan: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această afirmație este acceptată ca fapt (nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei) și se numește axioma dreptelor paralele.

Pentru cazul spațiului, teorema este adevărată: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă poate fi demonstrată cu ușurință folosind axioma de mai sus a dreptelor paralele (demonstrația ei o puteți găsi în manualul de geometrie clasa 10-11, care este enumerată la sfârșitul articolului în bibliografie).

Pentru cazul spațiului, teorema este adevărată: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă se demonstrează cu ușurință folosind axioma dreptelor paralele prezentată mai sus.

Paralelismul liniilor - semne și condiții de paralelism.

Un semn de linii paralele este o condiție suficientă pentru liniile paralele, adică o astfel de condiție, a cărei îndeplinire garantează linii paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a afirma faptul că liniile sunt paralele.

Există, de asemenea, condiții necesare și suficiente pentru liniile paralele în plan și în spațiul tridimensional.

Să explicăm sensul expresiei „condiție necesară și suficientă pentru linii paralele”.

Ne-am ocupat deja de condiția suficientă pentru liniile paralele. Și care este „condiția necesară pentru linii paralele”? Prin denumirea de „necesar” este clar că îndeplinirea acestei condiții este necesară pentru ca liniile să fie paralele. Cu alte cuvinte, dacă nu este îndeplinită condiția necesară pentru liniile paralele, atunci liniile nu sunt paralele. Prin urmare, condiție necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele este o condiție a cărei îndeplinire este atât necesară, cât și suficientă pentru liniile paralele. Adică, pe de o parte, acesta este un semn al liniilor paralele și, pe de altă parte, aceasta este o proprietate pe care o au liniile paralele.

Înainte de a afirma condiția necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele, este util să amintim câteva definiții auxiliare.

linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre cele două drepte non-coincidente date.

La intersecția a două linii ale unei secante se formează opt nedesfășurate. Asa numitul culcat în cruce, corespunzătorși colțuri unilaterale. Să le arătăm pe desen.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt intersectate de o secantă, atunci pentru paralelismul lor este necesar și suficient ca unghiurile transversale să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 de grade.

Să arătăm o ilustrare grafică a acestei condiții necesare și suficiente pentru drepte paralele în plan.

Poți găsi dovezi ale acestor condiții pentru linii paralele în manualele de geometrie pentru clasele 7-9.

Rețineți că aceste condiții pot fi utilizate și în spațiul tridimensional - principalul lucru este că cele două linii și secanta se află în același plan.

Iată câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra paralelismul liniilor.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici rezultă din axioma dreptelor paralele.

Există o condiție similară pentru liniile paralele în spațiul tridimensional.

Teorema.

Dacă două linii din spațiu sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici este luată în considerare la lecțiile de geometrie din clasa a 10-a.

Să ilustrăm teoremele vocale.

Să mai dăm o teoremă care ne permite să demonstrăm paralelismul dreptelor în plan.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Există o teoremă similară pentru liniile din spațiu.

Teorema.

Dacă două drepte din spațiul tridimensional sunt perpendiculare pe același plan, atunci ele sunt paralele.

Să desenăm imagini corespunzătoare acestor teoreme.

Toate teoremele formulate mai sus, semnele și condițiile necesare și suficiente sunt perfect potrivite pentru demonstrarea paralelismului dreptelor prin metode de geometrie. Adică, pentru a demonstra paralelismul a două drepte date, este necesar să se arate că acestea sunt paralele cu a treia dreaptă sau să se arate egalitatea unghiurilor încrucișate etc. Multe dintre aceste probleme sunt rezolvate la orele de geometrie din liceu. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că în multe cazuri este convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor într-un plan sau în spațiul tridimensional. Să formulăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor care sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

Paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

În această secțiune a articolului, vom formula condiţii necesare şi suficiente pentru liniile paraleleîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuații care determină aceste drepte, și vom oferi și soluții detaliate la probleme tipice.

Să începem cu condiția de paralelism a două drepte pe plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy . Dovada lui se bazează pe definiția vectorului de direcție al dreptei și definiția vectorului normal al dreptei pe plan.

Teorema.

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele într-un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorii normali ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorul de direcție al unei linii să fie perpendicular pe normal vector al celei de-a doua linii.

Evident, condiția de paralelism a două drepte în plan se reduce la (vectori de direcție ai dreptelor sau vectori normali ai liniilor) sau la (vector de direcție a unei linii și vector normal a celei de-a doua linii). Astfel, dacă și sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b și și sunt vectorii normali ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci condiția necesară și suficientă pentru liniile paralele a și b poate fi scrisă ca , sau , sau , unde t este un număr real. La rândul lor, coordonatele vectorilor de direcție și (sau) normali ai dreptelor a și b se găsesc din ecuațiile cunoscute ale dreptelor.

În special, dacă linia a în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan definește ecuația generală a dreptei de forma , iar linia dreaptă b - , atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și respectiv, iar condiția de paralelism a dreptelor a și b se va scrie ca .

Dacă linia dreaptă a corespunde ecuaţiei dreptei cu coeficientul de pantă al formei . Prin urmare, dacă liniile drepte pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt paralele și pot fi date prin ecuații de drepte cu coeficienți de pantă, atunci coeficienții de pantă ai dreptelor vor fi egali. Și invers: dacă liniile drepte necoincidente pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pot fi date de ecuațiile unei drepte cu coeficienți egali de pantă, atunci astfel de drepte sunt paralele.

Dacă linia a și linia b într-un sistem de coordonate dreptunghiular definesc ecuațiile canonice ale dreptei pe planul formei și , sau ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan al formei și respectiv, atunci vectorii de direcție ai acestor drepte au coordonatele și , iar condiția de paralelism pentru liniile a și b se scrie ca .

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

Exemplu.

Sunt liniile paralele? și ?

Decizie.

Rescriem ecuația unei linii drepte în segmente sub forma unei ecuații generale a unei linii drepte: . Acum putem vedea că este vectorul normal al dreptei , și este vectorul normal al dreptei. Acești vectori nu sunt coliniari, deoarece nu există un număr real t pentru care egalitatea ( ). În consecință, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe plan nu este îndeplinită, prin urmare, dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns:

Nu, liniile nu sunt paralele.

Exemplu.

Sunt drepte și paralele?

Decizie.

Aducem ecuația canonică a unei drepte la ecuația unei drepte cu pantă: . Evident, ecuațiile dreptelor și nu sunt aceleași (în acest caz, dreptele date ar fi aceleași) și pantele dreptelor sunt egale, prin urmare, liniile inițiale sunt paralele.