Inițial, fiind doar o colecție de informații și observații empirice ale jocului de zaruri, teoria probabilității a devenit o știință solidă. Fermat și Pascal au fost primii care i-au oferit un cadru matematic.

De la reflecții asupra eternului la teoria probabilității

Cele două personalități cărora teoria probabilității le datorează multe formule fundamentale, Blaise Pascal și Thomas Bayes, sunt cunoscute ca oameni profund religioși, acesta din urmă fiind un pastor prezbiterian. Aparent, dorința acestor doi oameni de știință de a dovedi eroarea opiniei despre o anume Avere, dând noroc favoriților ei, a dat impuls cercetărilor în acest domeniu. La urma urmei, de fapt, orice joc de noroc, cu victoriile și pierderile sale, este doar o simfonie a principiilor matematice.

Datorită entuziasmului Chevalier de Mere, care era în egală măsură un jucător de noroc și o persoană care nu era indiferentă față de știință, Pascal a fost nevoit să găsească o modalitate de a calcula probabilitatea. De Mere a fost interesat de această întrebare: „De câte ori trebuie să arunci două zaruri în perechi, astfel încât probabilitatea de a obține 12 puncte să depășească 50%?”. A doua întrebare care l-a interesat extrem de pe domn: „Cum să împărțim pariul între participanții la jocul neterminat?” Bineînțeles, Pascal a răspuns cu succes la ambele întrebări ale lui de Mere, care a devenit inițiatorul involuntar al dezvoltării teoriei probabilității. Interesant este că persoana lui de Mere a rămas cunoscută în acest domeniu, și nu în literatură.

Anterior, niciun matematician nu a încercat încă să calculeze probabilitățile evenimentelor, deoarece se credea că aceasta era doar o soluție de presupuneri. Blaise Pascal a dat prima definiție a probabilității unui eveniment și a arătat că aceasta este o cifră specifică care poate fi justificată matematic. Teoria probabilității a devenit baza pentru statistici și este utilizată pe scară largă în știința modernă.

Ce este aleatorietatea

Dacă luăm în considerare un test care poate fi repetat de un număr infinit de ori, atunci putem defini un eveniment aleatoriu. Acesta este unul dintre posibilele rezultate ale experienței.

Experienta este implementarea unor actiuni specifice in conditii constante.

Pentru a putea lucra cu rezultatele experienței, evenimentele sunt de obicei notate cu literele A, B, C, D, E...

Probabilitatea unui eveniment aleatoriu

Pentru a putea trece la partea matematică a probabilității, este necesar să definiți toate componentele acesteia.

Probabilitatea unui eveniment este o măsură numerică a posibilității de apariție a unui eveniment (A sau B) ca rezultat al unei experiențe. Probabilitatea este notată cu P(A) sau P(B).

Teoria probabilității este:

• de încredere evenimentul este garantat ca rezultat al experimentului Р(Ω) = 1;
• imposibil evenimentul nu se poate întâmpla niciodată Р(Ø) = 0;
• Aleatoriu evenimentul se află între cert și imposibil, adică probabilitatea apariției lui este posibilă, dar nu este garantată (probabilitatea unui eveniment aleatoriu este întotdeauna în 0≤P(A)≤1).

Relațiile dintre evenimente

Atât unul cât și suma evenimentelor A + B sunt luate în considerare atunci când evenimentul este numărat în implementarea a cel puțin uneia dintre componente, A sau B, sau ambele - A și B.

În relație unul cu celălalt, evenimentele pot fi:

• La fel de posibil.
• compatibil.
• Incompatibil.
• Opus (se exclud reciproc).
• Dependent.

Dacă două evenimente se pot întâmpla cu probabilitate egală, atunci ele la fel de posibil.

Dacă apariția evenimentului A nu anulează probabilitatea de apariție a evenimentului B, atunci aceștia compatibil.

Dacă evenimentele A și B nu au loc niciodată în același timp în același experiment, atunci ele sunt numite incompatibil. Aruncarea unei monede este un exemplu bun: a veni în sus cozi nu înseamnă automat a veni în sus.

Probabilitatea pentru suma unor astfel de evenimente incompatibile constă din suma probabilităților fiecăruia dintre evenimente:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Dacă apariția unui eveniment face imposibilă apariția altuia, atunci ele sunt numite opuse. Apoi unul dintre ei este desemnat ca A, iar celălalt - Â (a se citi „nu A”). Apariția evenimentului A înseamnă că Â nu a avut loc. Aceste două evenimente formează un grup complet cu o sumă de probabilități egală cu 1.

Evenimentele dependente au influență reciprocă, scăzând sau crescând reciproc probabilitatea.

Relațiile dintre evenimente. Exemple

Este mult mai ușor de înțeles principiile teoriei probabilităților și combinarea evenimentelor folosind exemple.

Experimentul care va fi efectuat este de a scoate bilele din cutie, iar rezultatul fiecărui experiment este un rezultat elementar.

Un eveniment este unul dintre posibilele rezultate ale unei experiențe - o minge roșie, o minge albastră, o minge cu numărul șase etc.

Testul numărul 1. Sunt 6 bile, dintre care trei sunt albastre cu numere impare, iar celelalte trei sunt roșii cu numere pare.

Testul numărul 2. Sunt 6 bile albastre cu numere de la unu la șase.

Pe baza acestui exemplu, putem numi combinații:

• Eveniment de încredere. In spaniola Nr. 2, evenimentul „obține mingea albastră” este de încredere, deoarece probabilitatea apariției sale este 1, deoarece toate bilele sunt albastre și nu poate fi ratată. În timp ce evenimentul „primiți mingea cu numărul 1” este aleatoriu.
• Eveniment imposibil. In spaniola Nr. 1 cu bile albastre și roșii, evenimentul „obține mingea violet” este imposibil, deoarece probabilitatea apariției sale este 0.
• Evenimente echivalente. In spaniola Nr. 1, evenimentele „primiți mingea cu numărul 2” și „primiți mingea cu numărul 3” sunt la fel de probabile, iar evenimentele „primiți mingea cu numărul par” și „primiți mingea cu numărul 2”. ” au probabilități diferite.
• Evenimente compatibile. Obținerea unui șase în procesul de a arunca un zar de două ori la rând sunt evenimente compatibile.
• Evenimente incompatibile.În aceeași spaniolă Evenimentele nr. 1 „primiți mingea roșie” și „primiți mingea cu un număr impar” nu pot fi combinate în aceeași experiență.
• evenimente opuse. Cel mai izbitor exemplu în acest sens este aruncarea monedelor, în care tragerea capetelor este la fel cu a nu trage cozi, iar suma probabilităților lor este întotdeauna 1 (grup complet).
• Evenimente dependente. Deci, în spaniolă Nr. 1, vă puteți stabili obiectivul de a extrage o minge roșie de două ori la rând. Extragerea sau neextragerea lui prima dată afectează probabilitatea de a-l extrage a doua oară.

Se poate observa că primul eveniment afectează semnificativ probabilitatea celui de-al doilea (40% și 60%).

Formula probabilității evenimentului

Trecerea de la ghicire la date exacte are loc prin transferarea subiectului în planul matematic. Adică, judecățile despre un eveniment aleatoriu precum „probabilitate mare” sau „probabilitate minimă” pot fi traduse în date numerice specifice. Este deja permisă evaluarea, compararea și introducerea unui astfel de material în calcule mai complexe.

Din punct de vedere al calculului, definiția probabilității unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate pozitive elementare și numărul tuturor rezultatelor posibile ale experienței cu privire la un anumit eveniment. Probabilitatea este notată cu P (A), unde P înseamnă cuvântul „probabilitate”, care este tradus din franceză ca „probabilitate”.

Deci, formula pentru probabilitatea unui eveniment este:

Unde m este numărul de rezultate favorabile pentru evenimentul A, n este suma tuturor rezultatelor posibile pentru această experiență. Probabilitatea unui eveniment este întotdeauna între 0 și 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Calculul probabilității unui eveniment. Exemplu

Să luăm spaniola. Nr.1 cu bile, care este descris mai devreme: 3 bile albastre cu numerele 1/3/5 și 3 bile roșii cu numerele 2/4/6.

Pe baza acestui test, pot fi luate în considerare mai multe sarcini diferite:

• A - picătură de minge roșie. Sunt 3 bile roșii, și sunt în total 6 variante.Acesta este cel mai simplu exemplu, în care probabilitatea unui eveniment este P(A)=3/6=0,5.
• B - eliminarea unui număr par. Există 3 (2,4,6) numere pare în total, iar numărul total de opțiuni numerice posibile este 6. Probabilitatea acestui eveniment este P(B)=3/6=0,5.
• C - pierderea unui număr mai mare de 2. Există 4 astfel de opțiuni (3,4,5,6) din numărul total de rezultate posibile 6. Probabilitatea evenimentului C este P(C)=4/6= 0,67.

După cum se poate observa din calcule, evenimentul C are o probabilitate mai mare, deoarece numărul de rezultate pozitive posibile este mai mare decât în ​​A și B.

Evenimente incompatibile

Astfel de evenimente nu pot apărea simultan în aceeași experiență. Ca în spaniolă Nr. 1, este imposibil să obții o minge albastră și una roșie în același timp. Adică poți obține fie o minge albastră, fie o minge roșie. În același mod, un număr par și un număr impar nu pot apărea într-un zar în același timp.

Probabilitatea a două evenimente este considerată probabilitatea sumei sau produsului lor. Suma unor astfel de evenimente A + B este considerată a fi un eveniment care constă în apariția unui eveniment A sau B, iar produsul AB lor - în apariția ambelor. De exemplu, apariția a două șase deodată pe fețele a două zaruri dintr-o aruncare.

Suma mai multor evenimente este un eveniment care presupune apariția a cel puțin unuia dintre ele. Produsul mai multor evenimente este producerea în comun a tuturor.

În teoria probabilității, de regulă, utilizarea uniunii „și” denotă suma, uniunea „sau” - înmulțire. Formulele cu exemple vă vor ajuta să înțelegeți logica adunării și înmulțirii în teoria probabilităților.

Probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile

Dacă se ia în considerare probabilitatea evenimentelor incompatibile, atunci probabilitatea sumei evenimentelor este egală cu suma probabilităților lor:

P(A+B)=P(A)+P(B)

De exemplu: calculăm probabilitatea ca în spaniolă. Nr.1 cu bile albastre și roșii va scădea un număr între 1 și 4. Vom calcula nu într-o singură acțiune, ci prin suma probabilităților componentelor elementare. Deci, într-un astfel de experiment există doar 6 bile sau 6 dintre toate rezultatele posibile. Numerele care îndeplinesc condiția sunt 2 și 3. Probabilitatea de a obține numărul 2 este 1/6, probabilitatea numărului 3 este de asemenea 1/6. Probabilitatea de a obține un număr între 1 și 4 este:

Probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile ale unui grup complet este 1.

Deci, dacă în experimentul cu un cub adunăm probabilitățile de a obține toate numerele, atunci ca rezultat obținem unul.

Acest lucru este valabil și pentru evenimente opuse, de exemplu, în experimentul cu o monedă, unde una dintre fețele sale este evenimentul A, iar cealaltă este evenimentul opus Ā, după cum este cunoscut,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Probabilitatea producerii unor evenimente incompatibile

Înmulțirea probabilităților este utilizată atunci când se ia în considerare apariția a două sau mai multe evenimente incompatibile într-o observație. Probabilitatea ca evenimentele A și B să apară în el în același timp este egală cu produsul probabilităților lor sau:

P(A*B)=P(A)*P(B)

De exemplu, probabilitatea ca în Nr. 1 în urma a două încercări, o minge albastră va apărea de două ori, egală cu

Adică, probabilitatea ca un eveniment să se producă atunci când, în urma a două încercări cu extragerea de bile, vor fi extrase doar bile albastre, este de 25%. Este foarte ușor să faci experimente practice pe această problemă și să vezi dacă acesta este de fapt cazul.

Evenimente comune

Evenimentele sunt considerate comune atunci când apariția unuia dintre ele poate coincide cu apariția celuilalt. În ciuda faptului că sunt comune, se ia în considerare probabilitatea unor evenimente independente. De exemplu, aruncarea a două zaruri poate da un rezultat atunci când pe ambele cade numărul 6. Deși evenimentele au coincis și au apărut simultan, ele sunt independente unele de altele - doar unul șase ar putea cădea, al doilea zar nu are nicio influență asupra lui. .

Probabilitatea evenimentelor comune este considerată probabilitatea sumei lor.

Probabilitatea sumei evenimentelor comune. Exemplu

Probabilitatea sumei evenimentelor A și B, care sunt comune unul în raport cu celălalt, este egală cu suma probabilităților evenimentului minus probabilitatea produsului lor (adică implementarea lor comună):

Articulația R. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Să presupunem că probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,4. Apoi evenimentul A - lovirea țintei în prima încercare, B - în a doua. Aceste evenimente sunt comune, deoarece este posibil ca ținta să fie lovită atât din prima cât și din a doua lovitură. Dar evenimentele nu sunt dependente. Care este probabilitatea ca evenimentul să lovească ținta cu două lovituri (cel puțin una)? Conform formulei:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Răspunsul la întrebare este: „Probabilitatea de a lovi ținta cu două lovituri este de 64%.

Această formulă pentru probabilitatea unui eveniment poate fi aplicată și evenimentelor incompatibile, unde probabilitatea apariției comune a unui eveniment P(AB) = 0. Aceasta înseamnă că probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile poate fi considerată un caz special. a formulei propuse.

Geometria probabilității pentru claritate

Interesant este că probabilitatea sumei evenimentelor comune poate fi reprezentată ca două zone A și B care se intersectează una cu cealaltă. După cum puteți vedea din imagine, aria unirii lor este egală cu aria totală minus aria intersecției lor. Această explicație geometrică face formula aparent ilogică mai ușor de înțeles. Rețineți că soluțiile geometrice nu sunt neobișnuite în teoria probabilității.

Definiția probabilității sumei unui set (mai mult de două) de evenimente comune este destul de greoaie. Pentru a-l calcula, trebuie să utilizați formulele furnizate pentru aceste cazuri.

Evenimente dependente

Evenimentele dependente sunt numite dacă apariția unuia (A) dintre ele afectează probabilitatea apariției celuilalt (B). Mai mult, se ține cont atât de influența apariției evenimentului A, cât și a neapariției acestuia. Deși evenimentele sunt numite dependente prin definiție, doar unul dintre ele este dependent (B). Probabilitatea obișnuită a fost notată ca P(B) sau probabilitatea unor evenimente independente. În cazul dependenților se introduce un nou concept - probabilitatea condiționată P A (B), care este probabilitatea evenimentului dependent B cu condiția ca evenimentul A (ipoteza) să fi avut loc, de care depinde.

Dar evenimentul A este, de asemenea, aleatoriu, deci are și o probabilitate care trebuie și poate fi luată în considerare în calcule. Următorul exemplu va arăta cum să lucrați cu evenimente dependente și o ipoteză.

Exemplu de calcul al probabilității evenimentelor dependente

Un bun exemplu pentru calcularea evenimentelor dependente este un pachet standard de cărți.

Pe exemplul unui pachet de 36 de cărți, luați în considerare evenimentele dependente. Este necesar să se determine probabilitatea ca a doua carte extrasă din pachet să fie un costum de diamant, dacă prima carte extrasă este:

1. Tamburină.
2. Un alt costum.

Evident, probabilitatea celui de-al doilea eveniment B depinde de primul A. Deci, dacă prima opțiune este adevărată, adică cu 1 carte (35) și 1 diamant (8) mai puțin în pachet, probabilitatea evenimentului B:

PA (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Dacă a doua opțiune este adevărată, atunci există 35 de cărți în pachet și numărul total de tamburine (9) este încă păstrat, atunci probabilitatea următorului eveniment este B:

PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Se poate observa că dacă evenimentul A este condiționat de faptul că prima carte este un diamant, atunci probabilitatea evenimentului B scade și invers.

Înmulțirea evenimentelor dependente

Pe baza capitolului anterior, acceptăm primul eveniment (A) ca fapt, dar, în esență, are un caracter aleatoriu. Probabilitatea acestui eveniment, și anume extragerea unei tamburine dintr-un pachet de cărți, este egală cu:

P(A) = 9/36=1/4

Deoarece teoria nu există de la sine, ci este chemată să servească scopuri practice, este corect să remarcăm că cel mai adesea este nevoie de probabilitatea de a produce evenimente dependente.

Conform teoremei produsului dintre probabilitățile evenimentelor dependente, probabilitatea de apariție a evenimentelor dependente în comun A și B este egală cu probabilitatea unui eveniment A înmulțită cu probabilitatea condiționată a evenimentului B (în funcție de A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Apoi, în exemplul cu un pachet, probabilitatea de a extrage două cărți cu o suită de diamante este:

9/36*8/35=0,0571 sau 5,7%

Și probabilitatea de a nu extrage mai întâi diamante și apoi diamante este egală cu:

27/36*9/35=0,19 sau 19%

Se poate observa că probabilitatea de apariție a evenimentului B este mai mare, cu condiția ca mai întâi să fie extrasă o carte de culoare diferită de un diamant. Acest rezultat este destul de logic și de înțeles.

Probabilitatea totală a unui eveniment

Când o problemă cu probabilități condiționate devine multifațetă, nu poate fi calculată prin metode convenționale. Când există mai mult de două ipoteze, și anume A1, A2, ..., A n , .. formează un grup complet de evenimente cu condiția:

• P(A i)>0, i=1,2,...
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Deci, formula pentru probabilitatea totală pentru evenimentul B cu un grup complet de evenimente aleatoare A1, A2, ..., A n este:

O privire în viitor

Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este esențială în multe domenii ale științei: econometrie, statistică, fizică etc. Deoarece unele procese nu pot fi descrise în mod determinist, deoarece ele însele sunt probabiliste, sunt necesare metode speciale de lucru. Teoria probabilității unui eveniment poate fi utilizată în orice domeniu tehnologic ca o modalitate de a determina posibilitatea unei erori sau defecțiuni.

Se poate spune că, recunoscând probabilitatea, facem cumva un pas teoretic în viitor, privindu-l prin prisma formulelor.

În economie, precum și în alte domenii ale activității umane sau în natură, trebuie să ne confruntăm constant cu evenimente care nu pot fi prezise cu exactitate. Astfel, volumul vânzărilor de mărfuri depinde de cerere, care poate varia semnificativ, și de o serie de alți factori care sunt aproape imposibil de luat în considerare. Prin urmare, atunci când organizați producția și vânzările, trebuie să preziceți rezultatul unor astfel de activități pe baza fie a propriei experiențe anterioare, fie a experienței similare a altor persoane, fie a intuiției, care se bazează, de asemenea, în mare parte pe date experimentale.

Pentru a evalua cumva evenimentul luat în considerare este necesar să se țină cont sau să se organizeze special condițiile în care este înregistrat acest eveniment.

Se apelează la implementarea anumitor condiții sau acțiuni pentru identificarea evenimentului în cauză experienţă sau experiment.

Evenimentul este numit Aleatoriu dacă, ca urmare a experimentului, acesta poate să apară sau nu.

Evenimentul este numit autentic, dacă apare neapărat ca urmare a acestei experiențe, și imposibil dacă nu poate apărea în această experienţă.

De exemplu, ninsoarea la Moscova pe 30 noiembrie este un eveniment întâmplător. Răsăritul zilnic poate fi considerat un anumit eveniment. Ninsorile de la ecuator pot fi văzute ca un eveniment imposibil.

Una dintre principalele probleme în teoria probabilității este problema determinării unei măsuri cantitative a posibilității ca un eveniment să se producă.

Algebra evenimentelor

Evenimentele sunt numite incompatibile dacă nu pot fi observate împreună în aceeași experiență. Astfel, prezența a două și trei mașini într-un magazin de vânzare în același timp sunt două evenimente incompatibile.

sumă evenimente este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente

Un exemplu de sumă de evenimente este prezența a cel puțin unul dintre cele două produse într-un magazin.

muncă evenimente se numește eveniment constând în producerea simultană a tuturor acestor evenimente

Un eveniment constând în apariția a două mărfuri în același timp în magazin este un produs al unor evenimente: - apariția unui produs, - apariția unui alt produs.

Evenimentele formează un grup complet de evenimente dacă cel puțin unul dintre ele are loc în mod necesar în experiență.

Exemplu. Portul are două dane pentru nave. Pot fi avute în vedere trei evenimente: - absența navelor la dane, - prezența unei nave la una dintre dane, - prezența a două nave la două dane. Aceste trei evenimente formează un grup complet de evenimente.

Opus sunt numite două evenimente posibile unice care formează un grup complet.

Dacă unul dintre evenimentele opuse este notat cu , atunci evenimentul opus este de obicei notat cu .

Definiții clasice și statistice ale probabilității unui eveniment

Fiecare dintre rezultatele testelor (experimente) la fel de posibile se numește rezultat elementar. Ele sunt de obicei notate cu litere. De exemplu, se aruncă un zar. Pot exista șase rezultate elementare în funcție de numărul de puncte de pe părți.

Din rezultatele elementare, puteți compune un eveniment mai complex. Deci, evenimentul unui număr par de puncte este determinat de trei rezultate: 2, 4, 6.

O măsură cantitativă a posibilității de apariție a evenimentului luat în considerare este probabilitatea.

Cele mai utilizate sunt două definiții ale probabilității unui eveniment: clasicși statistic.

Definiția clasică a probabilității este legată de noțiunea de rezultat favorabil.

Se numește Exodul favorabil acest eveniment, dacă producerea lui implică producerea acestui eveniment.

În exemplul dat, evenimentul luat în considerare este un număr par de puncte pe marginea căzută, are trei rezultate favorabile. În acest caz, generalul
numărul de rezultate posibile. Deci, aici puteți folosi definiția clasică a probabilității unui eveniment.

Definiție clasică este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile

unde este probabilitatea evenimentului, este numărul de rezultate favorabile pentru eveniment, este numărul total de rezultate posibile.

În exemplul considerat

Definiția statistică a probabilității este asociată cu conceptul de frecvență relativă de apariție a unui eveniment în experimente.

Frecvența relativă de apariție a unui eveniment este calculată prin formula

unde este numărul de apariție a unui eveniment într-o serie de experimente (teste).

Definiție statistică. Probabilitatea unui eveniment este numărul relativ la care se stabilizează (se stabilește) frecvența relativă cu o creștere nelimitată a numărului de experimente.

În problemele practice, frecvența relativă pentru un număr suficient de mare de încercări este luată ca probabilitate a unui eveniment.

Din aceste definiții ale probabilității unui eveniment, se poate observa că inegalitatea este întotdeauna valabilă

Pentru a determina probabilitatea unui eveniment pe baza formulei (1.1), formulele combinatorice sunt adesea folosite pentru a găsi numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile.

De fapt, formulele (1) și (2) sunt o scurtă înregistrare a probabilității condiționate bazată pe tabelul de contingență al caracteristicilor. Să revenim la exemplul considerat (Fig. 1). Să presupunem că știm că o anumită familie va cumpăra un televizor cu ecran lat. Care este probabilitatea ca această familie să cumpere de fapt un astfel de televizor?

Orez. 1. Comportamentul cumpărătorului de televizoare cu ecran lat

În acest caz, trebuie să calculăm probabilitatea condiționată P (cumpărarea a fost făcută | achiziția a fost planificată). Din moment ce știm că o familie intenționează să cumpere, spațiul eșantion nu este format din toate cele 1.000 de familii, ci doar din cele care intenționează să cumpere un televizor cu ecran lat. Din cele 250 de astfel de familii, 200 au cumpărat efectiv acest televizor. Prin urmare, probabilitatea ca o familie să cumpere de fapt un televizor cu ecran lat, dacă a planificat să facă acest lucru, poate fi calculată folosind următoarea formulă:

P (achiziție efectuată | achiziție planificată) = numărul de familii care plănuiesc și achiziționează un televizor cu ecran lat / numărul de familii care intenționează să cumpere un televizor cu ecran lat = 200 / 250 = 0,8

Același rezultat este dat de formula (2):

unde este evenimentul DAR este că familia plănuiește să cumpere un televizor cu ecran lat și evenimentul LA- că ea chiar o va cumpăra. Înlocuind datele reale în formulă, obținem:

arborele de decizie

Pe fig. 1 familii au fost împărțite în patru categorii: cei care plănuiau să cumpere un televizor cu ecran lat și cei care nu și cei care și-au cumpărat un astfel de televizor și cei care nu. O clasificare similară se poate face folosind un arbore de decizie (Fig. 2). Arborele prezentat în fig. 2 are două filiale, corespunzătoare familiilor care plănuiau să achiziționeze un televizor cu ecran lat și familiilor care nu au făcut-o. Fiecare dintre aceste ramuri este împărțită în două ramuri suplimentare, corespunzătoare familiilor care au cumpărat și nu au cumpărat un televizor cu ecran lat. Probabilitățile scrise la capetele celor două ramuri principale sunt probabilitățile necondiționate ale evenimentelor DARși DAR'. Probabilitățile scrise la sfârșitul celor patru ramuri suplimentare sunt probabilitățile condiționate ale fiecărei combinații de evenimente DARși LA. Probabilitățile condiționate sunt calculate prin împărțirea probabilității comune a evenimentelor la probabilitatea necondiționată corespunzătoare a fiecăruia dintre ele.

Orez. 2. Arborele de decizie

De exemplu, pentru a calcula probabilitatea ca o familie să cumpere un televizor cu ecran lat, dacă intenționează să facă acest lucru, ar trebui să se determine probabilitatea evenimentului. achiziție planificată și finalizată, apoi împărțiți-l la probabilitatea evenimentului cumpărare planificată. Deplasându-se de-a lungul arborelui de decizie prezentat în Fig. 2, obținem următorul răspuns (similar celui anterior):

Independenta statistica

În exemplul cumpărării unui televizor cu ecran lat, probabilitatea ca o familie aleasă aleatoriu să achiziționeze un televizor cu ecran lat, având în vedere că intenționează să facă acest lucru este de 200/250 = 0,8. Amintiți-vă că probabilitatea necondiționată ca o familie aleasă aleatoriu să achiziționeze un televizor cu ecran lat este 300/1000 = 0,3. De aici rezultă o concluzie foarte importantă. Informația a priori că familia plănuia o achiziție afectează probabilitatea achiziției în sine. Cu alte cuvinte, aceste două evenimente depind unul de celălalt. Spre deosebire de acest exemplu, există evenimente independente statistic ale căror probabilități nu depind unele de altele. Independența statistică este exprimată prin identitatea: P(A|B) = P(A), Unde P(A|B)- probabilitatea evenimentului DAR presupunând că a avut loc un eveniment LA, P(A) este probabilitatea necondiționată a evenimentului A.

Vă rugăm să rețineți că evenimentele DARși LA P(A|B) = P(A). Dacă în tabelul de contingență al caracteristicilor, care are o dimensiune de 2 × 2, această condiție este îndeplinită pentru cel puțin o combinație de evenimente DARși LA, va fi valabil pentru orice altă combinație. În exemplul nostru, evenimentele cumpărare planificatăși cumpărare finalizată nu sunt independente din punct de vedere statistic deoarece informațiile despre un eveniment afectează probabilitatea altuia.

Să ne uităm la un exemplu care arată cum să testăm independența statistică a două evenimente. Să întrebăm 300 de familii care și-au cumpărat un televizor cu ecran lat dacă sunt mulțumiți de achiziția lor (Fig. 3). Stabiliți dacă gradul de satisfacție față de achiziție și tipul de televizor sunt legate.

Orez. 3. Date despre satisfacția clienților pentru televizoarele cu ecran lat

Conform acestor date,

În același timp,

P (client mulțumit) = 240 / 300 = 0,80

Prin urmare, probabilitatea ca clientul să fie mulțumit de achiziție și ca familia să fi cumpărat un HDTV este egală, iar aceste evenimente sunt independente statistic, deoarece nu sunt legate între ele.

Regula înmulțirii probabilității

Formula de calcul a probabilității condiționate vă permite să determinați probabilitatea unui eveniment comun A și B. Formula de rezolvare (1)

în raport cu probabilitatea comună P(A și B), obținem regula generală pentru înmulțirea probabilităților. Probabilitatea evenimentului A și B este egală cu probabilitatea evenimentului DAR cu condiția ca evenimentul LA LA:

(3) P(A și B) = P(A|B) * P(B)

Luați în considerare, de exemplu, 80 de gospodării care au achiziționat un HDTV cu ecran lat (Figura 3). Tabelul arată că 64 de familii sunt mulțumite de achiziție și 16 nu. Să presupunem că două familii sunt alese aleatoriu dintre ele. Determinați probabilitatea ca ambii cumpărători să fie mulțumiți. Folosind formula (3), obținem:

P(A și B) = P(A|B) * P(B)

unde este evenimentul DAR este că a doua familie este mulțumită de achiziția lor și de eveniment LA- că prima familie este mulțumită de achiziția lor. Probabilitatea ca prima familie să fie mulțumită de achiziția lor este de 64/80. Cu toate acestea, probabilitatea ca a doua familie să fie și ea mulțumită de achiziția lor depinde de răspunsul primei familii. Dacă prima familie nu este reîntoarsă în eșantion în urma anchetei (selecție fără retur), numărul respondenților scade la 79. Dacă prima familie a fost mulțumită de achiziția lor, probabilitatea ca și a doua familie să fie satisfăcută este de 63/ 79, deoarece în eșantionul de familii au rămas doar 63 mulțumiți de achiziția lor. Astfel, înlocuind date specifice în formula (3), obținem următorul răspuns:

P(A și B) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Prin urmare, probabilitatea ca ambele familii să fie mulțumite de achizițiile lor este de 63,8%.

Să presupunem că, după sondaj, prima familie este returnată în eșantion. Determinați probabilitatea ca ambele familii să fie mulțumite de achiziția lor. În acest caz, probabilitățile ca ambele familii să fie mulțumite de achiziția lor sunt aceleași și egale cu 64/80. Prin urmare, P(A și B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Astfel, probabilitatea ca ambele familii să fie mulțumite de achizițiile lor este de 64,0%. Acest exemplu arată că alegerea celei de-a doua familii nu depinde de alegerea primei. Astfel, înlocuind în formula (3) probabilitatea condiționată P(A|B) probabilitate P(A), obținem o formulă de înmulțire a probabilităților evenimentelor independente.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente. Dacă evenimentele DARși LA sunt independente statistic, probabilitatea unui eveniment A și B este egală cu probabilitatea evenimentului DARînmulțit cu probabilitatea evenimentului LA.

(4) P(A și B) = P(A)P(B)

Dacă această regulă este adevărată pentru evenimente DARși LA, ceea ce înseamnă că sunt independenți statistic. Astfel, există două moduri de a determina independența statistică a două evenimente:

1. Evenimente DARși LA sunt independente statistic unele de altele dacă și numai dacă P(A|B) = P(A).
2. Evenimente DARși B sunt independente statistic unele de altele dacă și numai dacă P(A și B) = P(A)P(B).

Dacă în tabelul de contingență al semnelor, care are o dimensiune de 2 × 2, una dintre aceste condiții este îndeplinită pentru cel puțin o combinație de evenimente DARși B, va fi valabil pentru orice altă combinație.

Probabilitatea necondiționată a unui eveniment elementar

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

unde evenimentele B 1 , B 2 , … B k se exclud reciproc și sunt exhaustive.

Ilustram aplicarea acestei formule pe exemplul din Fig.1. Folosind formula (5), obținem:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Unde P(A)- probabilitatea ca achiziția să fi fost planificată, P(B 1)- probabilitatea ca achiziția să fie efectuată, P(B 2)- probabilitatea ca achiziția să nu se efectueze.

TEOREMA LUI BAYES

Probabilitatea condiționată a unui eveniment ia în considerare informația că un alt eveniment a avut loc. Această abordare poate fi folosită atât pentru a rafina probabilitatea, ținând cont de informațiile nou primite, cât și pentru a calcula probabilitatea ca efectul observat să fie rezultatul unei cauze specifice. Procedura de rafinare a acestor probabilități se numește teorema lui Bayes. A fost dezvoltat pentru prima dată de Thomas Bayes în secolul al XVIII-lea.

Să presupunem că compania menționată mai sus cercetează piața pentru un nou model de televizor. În trecut, 40% dintre televizoarele create de companie au avut succes, iar 60% dintre modele nu au fost recunoscute. Înainte de a anunța lansarea unui nou model, marketerii cercetează cu atenție piața și captează cererea. În trecut, succesul a 80% dintre modelele care au primit recunoaștere a fost prezis în avans, în timp ce 30% dintre prognozele favorabile s-au dovedit a fi greșite. Pentru noul model, departamentul de marketing a dat o prognoză favorabilă. Care este probabilitatea ca un nou model de televizor să fie solicitat?

Teorema lui Bayes poate fi derivată din definițiile probabilității condiționate (1) și (2). Pentru a calcula probabilitatea Р(В|А), luăm formula (2):

și înlocuiți în loc de P(A și B) valoarea din formula (3):

P(A și B) = P(A|B) * P(B)

Înlocuind formula (5) în loc de P(A), obținem teorema Bayes:

unde evenimentele B 1 , B 2 , ... B k se exclud reciproc și sunt exhaustive.

Să introducem următoarea notație: eveniment S - Televizorul este la cerere, evenimente' - Televizorul nu este solicitat, eveniment F - prognostic favorabil, evenimentul F' - prognostic prost. Să presupunem că P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Aplicând teorema lui Bayes, obținem:

Probabilitatea cererii pentru un nou model de TV, supus unei prognoze favorabile, este de 0,64. Astfel, probabilitatea lipsei cererii în condiția unei prognoze favorabile este 1–0,64=0,36. Procesul de calcul este prezentat în fig. 4.

Orez. 4. (a) calcule bayesiene pentru a estima probabilitatea cererii TV; (b) Arborele de decizie pentru cercetarea cererii pentru un nou model TV

Să luăm în considerare un exemplu de aplicare a teoremei lui Bayes pentru diagnosticul medical. Probabilitatea ca o persoană să sufere de o anumită boală este de 0,03. Un test medical vă permite să verificați dacă este așa. Dacă o persoană este într-adevăr bolnavă, probabilitatea unui diagnostic precis (afirmând că o persoană este bolnavă atunci când este cu adevărat bolnavă) este de 0,9. Dacă o persoană este sănătoasă, probabilitatea unui diagnostic fals pozitiv (care afirmă că o persoană este bolnavă atunci când este sănătoasă) este de 0,02. Să presupunem că un test medical a ieșit pozitiv. Care este probabilitatea ca persoana respectivă să fie de fapt bolnavă? Care este probabilitatea unui diagnostic precis?

Să introducem următoarea notație: eveniment D - omul este bolnav, evenimentul D' - persoana este sanatoasa, eveniment T - diagnostic pozitiv, evenimentul T' - diagnosticul este negativ. Din condițiile problemei rezultă că Р(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Aplicând formula (6), obținem:

Probabilitatea ca o persoană cu un diagnostic pozitiv să fie cu adevărat bolnavă este de 0,582 (vezi și Fig. 5). Rețineți că numitorul formulei Bayes este egal cu probabilitatea unui diagnostic pozitiv, i.e. 0,0464.

Probabilitate evenimentul este raportul dintre numărul de rezultate elementare care favorizează un anumit eveniment și numărul tuturor rezultatelor la fel de posibile ale experienței în care poate apărea acest eveniment. Probabilitatea unui eveniment A se notează cu P(A) (aici P este prima literă a cuvântului francez probabilite - probabilitate). Conform definiţiei
(1.2.1)
unde este numărul de rezultate elementare care favorizează evenimentul A; - numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile ale experienței, formând un grup complet de evenimente.
Această definiție a probabilității se numește clasică. A apărut în stadiul inițial al dezvoltării teoriei probabilităților.

Probabilitatea unui eveniment are următoarele proprietăți:
1. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu. Să desemnăm un anumit eveniment prin litera . Pentru un anumit eveniment, deci
(1.2.2)
2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero. Notăm evenimentul imposibil prin litera . Pentru un eveniment imposibil, deci
(1.2.3)
3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este exprimată ca un număr pozitiv mai mic decât unu. Deoarece inegalitățile , sau sunt satisfăcute pentru un eveniment aleatoriu, atunci
(1.2.4)
4. Probabilitatea oricărui eveniment satisface inegalitățile
(1.2.5)
Aceasta rezultă din relațiile (1.2.2) -(1.2.4).

Exemplul 1 O urnă conține 10 bile de aceeași dimensiune și greutate, dintre care 4 roșii și 6 albastre. Din urnă se extrage o minge. Care este probabilitatea ca mingea extrasă să fie albastră?

Decizie. Evenimentul „bila extrasă s-a dovedit a fi albastră” va fi notat cu litera A. Acest test are 10 rezultate elementare la fel de posibile, dintre care 6 favorizează evenimentul A. În conformitate cu formula (1.2.1), obținem

Exemplul 2 Toate numerele naturale de la 1 la 30 sunt scrise pe carduri identice și plasate într-o urnă. După amestecarea temeinică a cărților, o carte este scoasă din urnă. Care este probabilitatea ca numărul de pe cardul extras să fie multiplu de 5?

Decizie. Notați cu A evenimentul „numărul de pe cardul luat este multiplu de 5”. În acest test, există 30 de rezultate elementare la fel de posibile, dintre care 6 rezultate favorizează evenimentul A (numerele 5, 10, 15, 20, 25, 30). Prin urmare,

Exemplul 3 Se aruncă două zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Aflați probabilitatea evenimentului B, constând în faptul că fețele superioare ale cuburilor vor avea în total 9 puncte.

Decizie. Există 6 2 = 36 de rezultate elementare la fel de posibile în acest studiu. Evenimentul B este favorizat de 4 rezultate: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), deci

Exemplul 4. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 10. Care este probabilitatea ca acest număr să fie prim?

Decizie. Notează cu litera C evenimentul „numărul ales este prim”. În acest caz, n = 10, m = 4 (prime 2, 3, 5, 7). Prin urmare, probabilitatea dorită

Exemplul 5 Sunt aruncate două monede simetrice. Care este probabilitatea ca ambele monede să aibă cifre pe fețele de sus?

Decizie. Să notăm cu litera D evenimentul „a fost un număr pe partea de sus a fiecărei monede”. Există 4 rezultate elementare la fel de posibile în acest test: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notația (G, C) înseamnă că pe prima monedă există o stemă, pe a doua - un număr). Evenimentul D este favorizat de un rezultat elementar (C, C). Deoarece m = 1, n = 4, atunci

Exemplul 6 Care este probabilitatea ca cifrele dintr-un număr de două cifre alese aleatoriu să fie aceleași?

Decizie. Numerele din două cifre sunt numere de la 10 la 99; există în total 90 de astfel de numere.9 numere au aceleași cifre (acestea sunt numerele 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Deoarece în acest caz m = 9, n = 90, atunci
,
unde A este evenimentul „număr cu aceleași cifre”.

Exemplul 7 Din literele cuvântului diferenţial o literă este aleasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca această literă să fie: a) o vocală b) o consoană c) o literă h?

Decizie. Există 12 litere în cuvântul diferențial, dintre care 5 sunt vocale și 7 sunt consoane. Scrisori h acest cuvânt nu. Să notăm evenimentele: A - „vocală”, B - „consoană”, C - „litera h„. Numărul de rezultate elementare favorabile: - pentru evenimentul A, - pentru evenimentul B, - pentru evenimentul C. Deoarece n \u003d 12, atunci
, și .

Exemplul 8 Se aruncă două zaruri, se notează numărul de puncte de pe fața de sus a fiecărui zar. Aflați probabilitatea ca ambele zaruri să aibă același număr de puncte.

Decizie. Să notăm acest eveniment cu litera A. Evenimentul A este favorizat de 6 rezultate elementare: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). În total, există rezultate elementare la fel de posibile care formează un grup complet de evenimente, în acest caz n=6 2 =36. Deci probabilitatea dorită

Exemplul 9 Cartea are 300 de pagini. Care este probabilitatea ca o pagină deschisă aleatoriu să aibă un număr de secvență care este multiplu de 5?

Decizie. Din condițiile problemei rezultă că vor exista n = 300 dintre toate rezultatele elementare la fel de posibile care formează un grup complet de evenimente, dintre care m = 60 favorizează apariția evenimentului specificat. Într-adevăr, un număr care este un multiplu al lui 5 are forma 5k, unde k este un număr natural și , de unde . Prin urmare,
, unde A - evenimentul „pagină” are un număr de secvență care este un multiplu de 5”.

Exemplul 10. Se aruncă două zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Ce este mai probabil să obțină un total de 7 sau 8?

Decizie. Să desemnăm evenimentele: A – „7 puncte au căzut”, B – „8 puncte au căzut”. Evenimentul A este favorizat de 6 rezultate elementare: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) și evenimentul B - de 5 rezultate: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Există n = 6 2 = 36 dintre toate rezultatele elementare la fel de posibile. Prin urmare, și .

Deci, P(A)>P(B), adică obținerea unui total de 7 puncte este un eveniment mai probabil decât obținerea unui total de 8 puncte.

Sarcini

1. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 30. Care este probabilitatea ca acest număr să fie multiplu de 3?
2. În urnă A roşu şi b bile albastre de aceeași dimensiune și greutate. Care este probabilitatea ca o minge extrasă aleatoriu din această urnă să fie albastră?
3. Se alege la întâmplare un număr care nu depășește 30. Care este probabilitatea ca acest număr să fie divizor al lui zo?
4. În urnă A albastru și b bile roșii de aceeași dimensiune și greutate. Din această urnă se extrage o minge și se pune deoparte. Această minge este roșie. Apoi se extrage o altă minge din urnă. Găsiți probabilitatea ca a doua bilă să fie și roșie.
5. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 50. Care este probabilitatea ca acest număr să fie prim?
6. Se aruncă trei zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Ce este mai probabil să obțineți un total de 9 sau 10 puncte?
7. Se aruncă trei zaruri, se calculează suma punctelor aruncate. Ce este mai probabil să obțină un total de 11 (evenimentul A) sau 12 puncte (evenimentul B)?

Răspunsuri

1. 1/3. 2 . b/(A+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(A+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - probabilitatea de a obține 9 puncte în total; p 2 \u003d 27/216 - probabilitatea de a obține 10 puncte în total; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Întrebări

1. Ce se numește probabilitatea unui eveniment?
2. Care este probabilitatea unui anumit eveniment?
3. Care este probabilitatea unui eveniment imposibil?
4. Care sunt limitele probabilității unui eveniment aleatoriu?
5. Care sunt limitele probabilității oricărui eveniment?
6. Ce definiție a probabilității se numește clasică?