Există numere care sunt atât de incredibil, incredibil de mari încât ar fi nevoie de întregul univers chiar și pentru a le scrie. Dar iată ce este cu adevărat înnebunitor... unele dintre aceste numere de neînțeles sunt extrem de importante pentru înțelegerea lumii.

Când spun „cel mai mare număr din univers”, mă refer cu adevărat la cel mai mare plin de înțeles număr, numărul maxim posibil care este util într-un fel. Sunt mulți concurenți la acest titlu, dar vă avertizez imediat: există într-adevăr riscul ca încercarea de a înțelege toate acestea să vă sufle mintea. Și în plus, cu prea multă matematică, te distrezi puțin.

Googol și googolplex

Edward Kasner

Am putea începe cu două, foarte probabil cele mai mari numere despre care ați auzit vreodată și acestea sunt într-adevăr cele mai mari două numere care au definiții general acceptate în limba engleză. (Există o nomenclatură destul de precisă folosită pentru numere cât de mari ați dori, dar aceste două numere nu se găsesc în prezent în dicționare.) Google, de când a devenit celebru în lume (deși cu erori, rețineți. de fapt este googol) în forma Google, s-a născut în 1920 ca o modalitate de a-i face pe copii interesați de un număr mare.

În acest scop, Edward Kasner (foto) și-a luat pe cei doi nepoți, Milton și Edwin Sirott, într-un turneu New Jersey Palisades. I-a invitat să vină cu orice idee, iar apoi Milton, în vârstă de nouă ani, le-a sugerat „googol”. Nu se știe de unde a primit acest cuvânt, dar Kasner a decis asta sau un număr în care o sută de zerouri îl urmează pe unul se va numi de acum înainte googol.

Dar tânărul Milton nu s-a oprit aici, a venit cu un număr și mai mare, googolplex. Este un număr, potrivit lui Milton, care are mai întâi un 1 și apoi câte zerouri poți scrie înainte să obosești. Deși ideea este fascinantă, Kasner a simțit că este nevoie de o definiție mai formală. După cum a explicat în cartea sa din 1940, Mathematics and the Imagination, definiția lui Milton lasă deschisă posibilitatea periculoasă ca bufonul ocazional să devină un matematician superior lui Albert Einstein pur și simplu pentru că are mai multă rezistență.

Așa că Kasner a decis că googolplex va fi , sau 1, urmat de un googol de zerouri. Altfel, și într-o notație similară cu cea cu care ne vom ocupa de alte numere, vom spune că googolplexul este . Pentru a arăta cât de fascinant este acest lucru, Carl Sagan a remarcat odată că era fizic imposibil să notezi toate zerourile unui googolplex, deoarece pur și simplu nu era suficient loc în univers. Dacă întregul volum al universului observabil este umplut cu particule fine de praf de aproximativ 1,5 microni, atunci numărul de moduri diferite în care aceste particule pot fi aranjate va fi aproximativ egal cu un googolplex.

Din punct de vedere lingvistic, googol și googolplex sunt probabil cele mai mari două numere semnificative (cel puțin în engleză), dar, așa cum vom stabili acum, există infinite moduri de a defini „semnificația”.

Lumea reala

Dacă vorbim despre cel mai mare număr semnificativ, există un argument rezonabil că acest lucru înseamnă cu adevărat că trebuie să găsiți cel mai mare număr cu o valoare care există de fapt în lume. Putem începe cu populația umană actuală, care este în prezent în jur de 6920 de milioane. PIB-ul mondial în 2010 a fost estimat la aproximativ 61.960 de miliarde de dolari, dar ambele cifre sunt mici în comparație cu cele aproximativ 100 de trilioane de celule care alcătuiesc corpul uman. Desigur, niciunul dintre aceste numere nu se poate compara cu numărul total de particule din univers, care este de obicei considerat a fi aproximativ , iar acest număr este atât de mare încât limba noastră nu are un cuvânt pentru el.

Ne putem juca puțin cu sistemele de măsurare, făcând numerele din ce în ce mai mari. Astfel, masa Soarelui în tone va fi mai mică decât în ​​lire sterline. O modalitate grozavă de a face acest lucru este să folosiți unitățile Planck, care sunt cele mai mici măsuri posibile pentru care legile fizicii încă mai sunt valabile. De exemplu, vârsta universului în timpul Planck este de aproximativ . Dacă ne întoarcem la prima unitate de timp Planck după Big Bang, vedem că densitatea Universului era atunci. Primim din ce în ce mai mult, dar încă nu am ajuns la un googol.

Cel mai mare număr cu orice aplicație din lumea reală sau, în acest caz, aplicație din lumea reală, este probabil , una dintre cele mai recente estimări ale numărului de universuri din multivers. Acest număr este atât de mare încât creierul uman va fi literalmente incapabil să perceapă toate aceste universuri diferite, deoarece creierul este capabil doar de configurații aproximative. De fapt, acest număr este probabil cel mai mare număr cu vreo semnificație practică, dacă nu țineți cont de ideea multiversului în ansamblu. Cu toate acestea, există încă un număr mult mai mare care pândește acolo. Dar pentru a le găsi, trebuie să mergem pe tărâmul matematicii pure și nu există un loc mai bun pentru a începe decât numerele prime.

numere prime de Mersenne

O parte din dificultate constă în a veni cu o definiție bună a ceea ce este un număr „semnificativ”. O modalitate este de a gândi în termeni de numere prime și compozite. Un număr prim, după cum probabil vă amintiți de la matematica școlii, este orice număr natural (nu egal cu unul) care este divizibil numai cu el însuși. Deci, și sunt numere prime și și sunt numere compuse. Aceasta înseamnă că orice număr compus poate fi reprezentat în cele din urmă prin divizorii săi primi. Într-un fel, numărul este mai important decât, să zicem, pentru că nu există nicio modalitate de a-l exprima în termeni de produs al unor numere mai mici.

Evident că putem merge puțin mai departe. , de exemplu, este de fapt doar , ceea ce înseamnă că într-o lume ipotetică în care cunoștințele noastre despre numere sunt limitate la , un matematician poate încă exprima . Dar următorul număr este deja prim, ceea ce înseamnă că singura modalitate de a-l exprima este să știi direct despre existența lui. Aceasta înseamnă că cele mai mari numere prime cunoscute joacă un rol important, dar, să zicem, un googol - care în cele din urmă este doar o colecție de numere și , înmulțite împreună - de fapt nu are. Și deoarece numerele prime sunt în mare parte aleatoare, nu există nicio modalitate cunoscută de a prezice că un număr incredibil de mare va fi de fapt prim. Până astăzi, descoperirea de noi numere prime este o sarcină dificilă.

Matematicienii Greciei antice aveau un concept de numere prime cel puțin încă din 500 î.Hr., iar 2000 de ani mai târziu oamenii încă știau ce numere prime erau până la aproximativ 750. Gânditorii lui Euclid au văzut posibilitatea simplificării, dar până la Renaștere, matematicienii au putut nu-l folosesc cu adevărat în practică. Aceste numere sunt cunoscute ca numere Mersenne și sunt numite după savantul francez Marina Mersenne din secolul al XVII-lea. Ideea este destul de simplă: un număr Mersenne este orice număr din forma . Deci, de exemplu, și acest număr este prim, același lucru este valabil și pentru .

Primele Mersenne sunt mult mai rapide și mai ușor de determinat decât orice alt tip de prime, iar computerele au muncit din greu pentru a le găsi în ultimele șase decenii. Până în 1952, cel mai mare număr prim cunoscut a fost un număr – un număr cu cifre. În același an, s-a calculat pe un computer că numărul este prim, iar acest număr este format din cifre, ceea ce îl face deja mult mai mare decât un googol.

Calculatoarele au fost la vânătoare de atunci, iar al-lea număr Mersenne este în prezent cel mai mare număr prim cunoscut omenirii. Descoperit în 2008, este un număr cu aproape milioane de cifre. Acesta este cel mai mare număr cunoscut care nu poate fi exprimat în termeni de numere mai mici și, dacă doriți să ajutați la găsirea unui număr Mersenne și mai mare, dvs. (și computerul dvs.) vă puteți alătura oricând căutării la http://www.mersenne. org/.

Număr înclinat

Stanley Skuse

Să revenim la numerele prime. După cum am spus mai devreme, se comportă fundamental greșit, ceea ce înseamnă că nu există nicio modalitate de a prezice care va fi următorul număr prim. Matematicienii au fost forțați să apeleze la unele măsurători destul de fantastice pentru a găsi o modalitate de a prezice numerele prime viitoare, chiar și într-un mod nebulos. Cea mai reușită dintre aceste încercări este probabil funcția numărului prim, inventată la sfârșitul secolului al XVIII-lea de legendarul matematician Carl Friedrich Gauss.

Vă scutesc de matematica mai complicată - oricum mai avem multe de făcut - dar esența funcției este aceasta: pentru orice număr întreg, este posibil să estimați câte numere prime sunt mai mici decât . De exemplu, dacă , funcția prezice că ar trebui să existe numere prime, dacă - numere prime mai mici decât , iar dacă , atunci există numere mai mici care sunt prime.

Aranjarea primelor este într-adevăr neregulată și este doar o aproximare a numărului efectiv de prime. De fapt, știm că există numere prime mai mici decât , numere prime mai mici decât , și numere prime mai mici decât . Este o estimare grozavă, desigur, dar este întotdeauna doar o estimare... și mai precis, o estimare de sus.

În toate cazurile cunoscute până la , funcția care găsește numărul de numere prime exagerează puțin numărul efectiv de numere prime mai mici decât . Matematicienii au crezut odată că acesta va fi întotdeauna cazul, la infinit, și că acest lucru se aplică cu siguranță unor numere inimaginabil de uriașe, dar în 1914 John Edensor Littlewood a dovedit că pentru un număr necunoscut, inimaginabil de mare, această funcție va începe să producă mai puține numere prime, și apoi va comuta între supraestimare și subestimare de un număr infinit de ori.

Vânătoarea a fost punctul de plecare al curselor și acolo a apărut Stanley Skuse (vezi foto). În 1933, el a demonstrat că limita superioară, atunci când o funcție care aproximează numărul de prime pentru prima dată dă o valoare mai mică, este numărul. Este greu de înțeles cu adevărat, chiar și în sensul cel mai abstract, ce este cu adevărat acest număr și din acest punct de vedere a fost cel mai mare număr folosit vreodată într-o demonstrație matematică serioasă. De atunci, matematicienii au reușit să reducă limita superioară la un număr relativ mic, dar numărul inițial a rămas cunoscut sub numele de numărul Skewes.

Deci, cât de mare este numărul care îl face chiar și pe puternicul googolplex pitic? În Dicționarul Penguin al numerelor curioase și interesante, David Wells descrie un mod în care matematicianul Hardy a putut înțelege dimensiunea numărului Skewes:

„Hardy a crezut că a fost „cel mai mare număr care a servit vreodată unui anumit scop în matematică” și a sugerat că, dacă șahul s-ar juca cu toate particulele universului ca piese, o mișcare ar consta în schimbarea a două particule, iar jocul s-ar opri când aceeași poziție s-a repetat a treia oară, apoi numărul tuturor jocurilor posibile ar fi egal cu aproximativ numărul de Skuse''.

Un ultim lucru înainte de a trece mai departe: am vorbit despre cel mai mic dintre cele două numere Skewes. Există un alt număr Skewes, pe care matematicianul l-a găsit în 1955. Primul număr este derivat pe motiv că așa-numita Ipoteza Riemann este adevărată - o ipoteză deosebit de dificilă în matematică care rămâne nedovedită, foarte utilă când vine vorba de numere prime. Totuși, dacă ipoteza Riemann este falsă, Skewes a descoperit că punctul de pornire a săriturii crește la .

Problema mărimii

Înainte de a ajunge la un număr care face chiar și numărul lui Skewes să pară mic, trebuie să vorbim puțin despre scară, deoarece altfel nu avem cum să estimăm unde mergem. Să luăm mai întâi un număr - este un număr mic, atât de mic încât oamenii pot înțelege în mod intuitiv ce înseamnă. Există foarte puține numere care se potrivesc acestei descrieri, deoarece numerele mai mari de șase încetează să mai fie numere separate și devin „mai multe”, „multe”, etc.

Acum să luăm , i.e. . Deși nu putem într-adevăr intuitiv, așa cum am făcut pentru numărul, să înțelegem ce este, să ne imaginăm ce este foarte ușor. Până acum totul merge bine. Dar ce se întâmplă dacă mergem la? Aceasta este egală cu , sau . Suntem foarte departe de a ne putea imagina această valoare, ca orice altă valoare foarte mare - ne pierdem capacitatea de a înțelege părți individuale undeva în jur de un milion. (Desigur, ar dura o perioadă nebunește de mult să numărăm până la un milion de orice, dar ideea este că încă suntem capabili să percepem acel număr.)

Cu toate acestea, deși nu ne putem imagina, suntem cel puțin capabili să înțelegem în termeni generali ce este 7600 de miliarde, poate comparându-i cu ceva de genul PIB-ului SUA. Am trecut de la intuiție la reprezentare la simplă înțelegere, dar cel puțin mai avem o oarecare lacună în înțelegerea noastră a ceea ce este un număr. Acest lucru este pe cale să se schimbe pe măsură ce mai urcăm o treaptă pe scară.

Pentru a face acest lucru, trebuie să trecem la notația introdusă de Donald Knuth, cunoscută sub numele de notație cu săgeți. Aceste notații pot fi scrise ca . Atunci când mergem la , numărul pe care îl primim va fi . Acesta este egal cu unde este totalul tripleților. Acum am depășit cu mult și cu adevărat toate celelalte numere deja menționate. La urma urmei, chiar și cel mai mare dintre ei avea doar trei sau patru membri în seria de indici. De exemplu, chiar și numărul Super Skewes este „doar” - chiar și cu faptul că atât baza, cât și exponenții sunt mult mai mari decât , este încă absolut nimic în comparație cu dimensiunea turnului de numere cu miliarde de membri.

Evident, nu există nicio modalitate de a înțelege numere atât de uriașe... și totuși, procesul prin care sunt create poate fi încă înțeles. Nu am putut înțelege numărul real dat de turnul puterilor, care este un miliard de triple, dar practic ne putem imagina un astfel de turn cu mulți membri, iar un supercomputer cu adevărat decent va fi capabil să stocheze astfel de turnuri în memorie, chiar dacă nu pot calcula valorile lor reale.

Devine din ce în ce mai abstract, dar se va înrăutăți. Ai putea crede că un turn al puterilor a cărui lungime a exponentului este (mai mult, într-o versiune anterioară a acestei postări am făcut exact acea greșeală), dar este doar . Cu alte cuvinte, imaginați-vă că ați reușit să calculați valoarea exactă a unui turn de putere de triple, care constă din elemente, apoi ați luat această valoare și ați creat un nou turn cu tot atâtea câte... care dă .

Repetați acest proces cu fiecare număr succesiv ( Notăîncepând de la dreapta) până când faci asta o dată, iar apoi în cele din urmă obții . Acesta este un număr care este incredibil de mare, dar cel puțin pașii pentru a-l obține par să fie clari dacă totul se face foarte încet. Nu mai putem înțelege numerele și nici nu ne putem imagina procedura prin care sunt obținute, dar cel puțin putem înțelege algoritmul de bază, doar într-un timp suficient de lung.

Acum să pregătim mintea să o arunce în aer.

Numărul lui Graham (Graham).

Ronald Graham

Așa obțineți numărul lui Graham, care se clasează în Cartea Recordurilor Guinness ca fiind cel mai mare număr folosit vreodată într-o demonstrație matematică. Este absolut imposibil de imaginat cât de mare este și este la fel de dificil să explici exact ce este. Practic, numărul lui Graham intră în joc atunci când avem de-a face cu hipercuburi, care sunt forme geometrice teoretice cu mai mult de trei dimensiuni. Matematicianul Ronald Graham (vezi foto) a vrut să afle care este cel mai mic număr de dimensiuni care ar menține stabile anumite proprietăți ale unui hipercub. (Îmi pare rău pentru această explicație vagă, dar sunt sigur că toți avem nevoie de cel puțin două grade de matematică pentru a o face mai exactă.)

În orice caz, numărul Graham este o estimare superioară a acestui număr minim de dimensiuni. Deci cât de mare este această limită superioară? Să revenim la un număr atât de mare încât să putem înțelege destul de vag algoritmul de obținere. Acum, în loc să mai urcăm un nivel până la , vom număra numărul care are săgeți între primul și ultimul triplu. Acum am depășit chiar și cea mai mică înțelegere a ceea ce este acest număr sau chiar a ceea ce trebuie făcut pentru a-l calcula.

Acum repetați acest proces de ori ( Notă la fiecare pas următor, scriem numărul de săgeți egal cu numărul obținut la pasul anterior).

Acesta, doamnelor și domnilor, este numărul lui Graham, care este cu un ordin de mărime peste punctul de înțelegere umană. Este un număr care este mult mai mult decât orice număr pe care ți-l poți imagina - este mult mai mult decât orice infinit pe care ai putea spera vreodată să-l imaginezi - sfidează pur și simplu chiar și cea mai abstractă descriere.

Dar iată lucrul ciudat. Deoarece numărul lui Graham este practic doar tripleți înmulțiți împreună, cunoaștem unele dintre proprietățile sale fără să-l calculăm efectiv. Nu putem reprezenta numărul lui Graham în nicio notație cu care suntem familiarizați, chiar dacă am folosit întregul univers pentru a-l scrie, dar vă pot da ultimele douăsprezece cifre ale numărului lui Graham chiar acum: . Și asta nu este tot: știm cel puțin ultimele cifre ale numărului lui Graham.

Desigur, merită să ne amintim că acest număr este doar o limită superioară în problema inițială a lui Graham. Este posibil ca numărul real de măsurători necesare pentru a îndeplini proprietatea dorită să fie mult, mult mai mic. De fapt, încă din anii 1980, majoritatea experților în domeniu au considerat că există de fapt doar șase dimensiuni - un număr atât de mic încât îl putem înțelege la nivel intuitiv. Limita inferioară a fost mărită de atunci la , dar există încă șanse foarte mari ca soluția problemei lui Graham să nu se afle în apropierea unui număr la fel de mare precum cel al lui Graham.

Catre infinit

Deci, există numere mai mari decât numărul lui Graham? Există, desigur, pentru început există numărul Graham. În ceea ce privește numărul semnificativ... ei bine, există unele domenii diabolic de dificile ale matematicii (în special, domeniul cunoscut sub numele de combinatorie) și informatică, în care există numere chiar mai mari decât numărul lui Graham. Dar aproape că am atins limita a ceea ce sper că poate explica vreodată în mod rezonabil. Pentru cei care sunt suficient de nesăbuiți pentru a merge și mai departe, lectură suplimentară este oferită pe propriul risc.

Ei bine, acum un citat uimitor care este atribuit lui Douglas Ray ( Notă Sincer să fiu, sună destul de amuzant:

„Văd pâlcuri de numere vagi pândind acolo, în întuneric, în spatele micului punct de lumină pe care îl dă lumânarea minții. Se șoptesc unul altuia; vorbind despre cine știe ce. Poate că nu ne plac foarte mult pentru că i-am capturat pe frații lor mai mici cu mintea noastră. Sau poate pur și simplu duc un mod de viață numeric fără ambiguitate, acolo, dincolo de înțelegerea noastră.

Problemele filozofice se fac simțite atunci când o alta se dezvăluie brusc într-o infinitate. De exemplu, alegând numai numere pare dintre toate numerele, obținem din nou o succesiune infinită 2, 4, 6, ... Pentru a nu fi confundate cu infinitate, matematicienii au început să vorbească despre mulțimi și puteri: mulțimea numerelor naturale, deși infinit, este egal ca putere cu mulțimea par. Aceasta rezultă din existența unei reguli simple care stabilește o relație între aceste două mulțimi: este suficient să împărțiți cu 2 orice număr par sau să înmulțiți orice număr natural cu 2 pentru a vă asigura că această regulă este unu-la-unu.

O regulă similară - doar puțin mai complicată - unu-la-unu leagă numerele naturale cu toate fracțiile simple. Cu alte cuvinte, fracțiile simple pot fi și renumerotate. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale are aceeași cardinalitate ca și mulțimea numerelor raționale, adică aceste două infinitate sunt „egale” între ele. Deci, poate infinitul este unul și toate seturile infinite în acest sens sunt întotdeauna „egale” între ele? Dar nu: în primul rând, este imposibil să renumerotezi numerele iraționale - și această mulțime se dovedește a fi „mai mare” decât mulțimea numerelor naturale - și în al doilea rând, pentru orice mulțime se poate construi un „mai mare”.

Matematician german proscris

Ambele afirmații au fost dovedite de matematicianul german Georg Cantor (, 1845-1918). Deoarece infinititățile sunt diferite, atunci pentru ele puteți introduce și propriile nume - ca să spunem așa, numere transfinite. Cantor a notat puterea seriei naturale prin litera aleph din alfabetul ebraic cu indice zero: א o , iar pentru puterea continuumului este un segment continuu al unei drepte sau întreaga linie dreaptă - a folosit aceeași literă , dar cu un indice unitar: א l , sugerând astfel că nu există, nu poate exista un alt număr transfinit între א o și א l.

Faptul că continuumul poate fi considerat un set de puncte a devenit cunoscut cu puțin timp înainte de Cantor, dar a putut să-l demonstreze din nou reușind să „renumereze” toate punctele unei linii drepte – mai precis, un segment unitar. Numai în rolul de „numere” în acest caz nu sunt numere naturale, ci șiruri infinite de numere. Chiar și doar zerouri și unu sunt suficiente (presupunând că fiecare „număr” este scris în sistemul binar): mulțimea de fracții de forma 0,100010100111... întruchipează pe deplin mulțimea tuturor numerelor raționale împreună cu numerele iraționale de la 0 la 1. Cu toate acestea, din teoria lui Cantor a rezultat că ceva mai mult: „alefele” lui permiteau să numere puncte pentru care linia dreaptă este prea scurtă (de unde și numele de transfinit – adică situat „dincolo de infinit”).

Ideile lui Kantor l-au costat o mare nenorocire. Mulți dintre colegii săi au găsit în teoria „alefs” nu doar o mulțime de paradoxuri și absurdități matematice - asta ar fi jumătate din necaz. În raționamentul lui Kantor, religiozitatea lui profundă și dorința de a înțelege „Absolutul” erau vizibile. Pe măsură ce și-a dezvoltat teoria, relațiile sale cu autoritățile de la universitatea din orașul Halle s-au rupt din ce în ce mai mult și chiar acei matematicieni care la început au reacționat cu entuziasm la ea au abandonat-o. Centrul gândirii matematice la sfârșitul secolului al XIX-lea a fost Franța, dar doi matematicieni francezi de seamă Charles Hermite (Charles Hermite, 1822-1901) și Paul Emile Appel (, 1855-1930) s-au pronunțat chiar împotriva traducerii lucrărilor lui Cantor în franceză. Ar putea fi de așteptat ca noile idei să fie susținute de patriarhul matematicii franceze, un om care a anticipat în multe privințe dezvoltarea ei viitoare în secolul XX, Henri Poincaré (, 1854-1912)... Dar nu - și tot el a refuzat să vorbească despre „infinitul real”.

Până la sfârșitul secolului, Cantor însuși a fost tot mai atacat de crize de depresie. Treptat devine evident că vorbim despre o boală gravă – psihoza maniaco-depresivă. Emile Borel (Émile Borel, 1871-1956), unul dintre tinerii admiratori ai teoriei multimilor, a început treptat să simtă o respingere față de aceasta, care a fost doar intensificată de zvonurile despre bolile altor matematicieni. La mulți ani după aceea, i-a scris prietenului său Paul Valéry (Paul Valéry, 1871-1945) că a fost nevoit să renunțe la studiile de teoria multimilor „din cauza surmenajului, care i-a căzut asupra lui și l-a făcut să se teamă de o boală gravă, în eventualitate. că și-a continuat munca.

Întrebarea a fost închisă de un alt matematician reputat - Jacques Hadamard (, 1865-1963), care a concluzionat că întregul complot a depășit „limitele matematicii” și a început să se raporteze „la psihologie, la proprietățile minții noastre”. Această decizie părea plină de spirit pentru mulți, dar, potrivit lui Lauren Graham și Jean-Michel Kantor, ea a dus la plecarea matematicii franceze din prim-plan. După ce au văzut un conținut matematic serios în compararea dimensiunilor mulțimilor infinite și ordonarea submulților lor infinite, matematicienii ruși au reușit să construiască o școală care a rămas mult timp prima și nici până acum nu și-a pierdut complet semnificația.

Numărul lui Dumnezeu

Creatorul teoriei multimilor și-a petrecut primii unsprezece ani din viață la Sankt Petersburg. Cu toate acestea, clima acestui oraș s-a dovedit prea dăunătoare pentru tatăl său, iar în 1856 întreaga familie s-a mutat în climatul mult mai favorabil din Frankfurt pe Main. Studiul științelor naturale și tehnice a fost realizat de tânărul Kantor în diferite orașe ale Europei - de la Darmstadt la Zurich - și a fost însoțit de o luptă destul de așteptată cu părinții care erau mai fericiți să vadă un inginer în copilul lor, decât un matematician cu înclinaţii filozofice evidente. Cu toate acestea, George a depășit treptat rezistența lor și, așa cum am menționat deja, s-a trezit la Universitatea din Halle.

El și-a definit concepțiile filozofice cu formula „realism aristotelic moderat”, dar ei discern clar platonismul persuasiunii pitagoreice. Infinitul propriu-zis, exprimat prin numere transfinite, ocupă pentru el o poziţie intermediară între finit şi infinit absolut – adică divin. Dându-și seama că o astfel de formulare a întrebării poate fi mai apropiată de filozofi decât de matematicieni, el a adresat lucrarea sa principală „Experiența matematico-filozofică în doctrina infinitului” mai degrabă filozofi decât matematicienilor:

[Mă refeream la] două tipuri de cititori - pe de o parte, filozofi care au urmărit dezvoltarea matematicii până în timpurile moderne și, pe de altă parte, matematicieni care sunt familiarizați cu cele mai importante fapte ale filosofiei antice și moderne..

Și a găsit astfel de cititori - în patria sa. Nu este de mirare că ei au fost, în primul rând, și platoniciști pitagoreici și mistici creștini. Poate cel mai faimos dintre ei acum - (1882-1937) - a înțeles în ce sens putem vorbi despre un număr care este mai mare decât orice număr natural:

În același sens, putem spune că puterea lui Dumnezeu este actual-infinită, deoarece, fiind definită (căci în Dumnezeu nu este schimbare), este în același timp mai mare decât orice putere finită..

Această metaforă nu era deloc o metaforă în ochii lui Florensky însuși, pentru care nu exista nici măcar o limită specială între teologie și matematică. Și în plus, direcția religioasă și filozofică pe care Florensky a dezvoltat-o ​​la începutul secolului al XX-lea postula că „numele lui Dumnezeu este Dumnezeu însuși”. Dar numele în sine era un număr infinit de nume, inclusiv numere.

La revedere, Lusitania!

În 1900, Florensky a intrat la Facultatea de Fizică și Matematică de la Universitatea de Stat din Moscova, dar patru ani mai târziu a părăsit matematica pentru o carieră ecleziastică și teologică. Cu toate acestea, deja în epoca sovietică, el a încetat să mai studieze filosofia și teologia, cufundându-se complet în probleme de inginerie exclusiv practice. A făcut multă inginerie electrică, a participat la dezvoltarea planului GOELRO, a studiat proprietățile permafrostului. Toate acestea nu l-au salvat de represiunile noului guvern, iar după mai multe arestări în 1937 a fost împușcat.

Părăsirea matematicii nu a însemnat pentru Florensky părăsirea comunității matematice. Printre cei mai apropiați lui s-au numărat Nikolai Nikolaevich Luzin (1883-1950) și Dmitri Fedorovich Egorov (1869-1931). Nu este suficient să spunem că amândoi sunt mari matematicieni: în 1923, Egorov a fost ales președinte și numit director al Institutului de Matematică și Mecanică al Primei Universități de Stat din Moscova, este în el că istoricii moderni văd o figură cheie în crearea și dezvoltarea teoriei funcțiilor. Printre succesele remarcabile ale lui Luzin se numără nu numai rezultatele matematice reale, ci și energia pedagogică unică: aproape toți matematicienii ruși importanți au fost studenții săi sau studenții studenților săi. , care se dezvoltase deja în anii 20, se numea „Lusitania”. Ei au fost cei care, deja în anii 1930, au fost nevoiți să facă descoperiri care au deschis calea către subiecte atât de populare astăzi, precum fractalii și haosul.

De foarte multe ori soarta științei este determinată într-o măsură mai mică de succesul în rezolvarea problemelor și, într-o măsură mai mare, de alegerea corectă a acestora. Cine știe ce argumente își aduce un matematician, convingându-se să preia soluția unuia dintre ele, și nu să preia soluția altora. În cazul lui Egorov și Luzin, conform lui Lauren Graham și Jean-Michel Kantor, opiniile lor religioase și capacitatea de a vedea perspective matematice îndepărtate din spatele jocului de numire au fost de o importanță fundamentală. Ideile filozofice ale lui Cantor, care au făcut atât de dificilă adoptarea matematicii sale în țările din Europa de Vest și, mai ales, în Franța raționalistă, au jucat exact rolul opus în Rusia, unde a existat tradiția opusă, mistică, filozofică.

Desigur, această afirmație este destul de greu de dovedit și ar trebui tratată ca o ipoteză frumoasă și în felul ei productivă, dar totuși o ipoteză. Ea a fost deja criticată – probabil pe bună dreptate – de către matematicienii noștri și filozofii noștri. Dar chiar și ca ipoteză, tabloul propus de cercetătorii occidentali este foarte atrăgător: „epoca de argint” a poeziei ruse și a artelor în general este urmată de o „renaștere” a filozofiei, ea fiind înlocuită cu „epoca de aur” a matematică. Apoi, bineînțeles, totul trece, toată frumusețea, dacă nu moare, este cel puțin infirmă: în 31, Egorov este împușcat, la scurt timp după aceea se deschide un dosar împotriva lui Luzin, doar printr-o minune scăpă din temniță, dar Patinoarul represiunii nu-și cruță studenții... Și totuși, amintirea frumuseții rămâne în trecut, iar contemplarea ei dă naștere la încredere - nu a fost întâmplător.

Noutăți pentru parteneri

Există și grupuri mai lungi de cifre, care, fiind la sfârșitul numerelor, se păstrează și în produsul lor. Numărul acestor grupuri de cifre, după cum vom arăta, este infinit de mare.

Cunoaștem grupuri de cifre din două cifre care au această proprietate: acestea sunt 25 și 76. Pentru a găsi grupuri de trei cifre, trebuie să prefixați numărul 25 sau 76 cu o astfel de cifră în față, astfel încât cele trei cifre rezultate grupul de cifre are, de asemenea, proprietatea necesară.

Ce număr ar trebui să fie atribuit numărului 76? Să o notăm cu k. Apoi va fi afișat numărul dorit din trei cifre:

100k + 76.

Expresia generală pentru numerele care se termină în acest grup de cifre este:

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 etc.

Înmulțiți două numere de acest fel; primim:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776.

Toți termenii, cu excepția ultimilor doi, au cel puțin trei zerouri la sfârșit. Prin urmare, produsul se termină în 1006+76 dacă diferența

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

este divizibil cu 1000. Acest lucru va fi evident doar pentru k = 3.

Deci, grupul dorit de numere are forma 376. Prin urmare, orice putere a numărului 376 se termină cu 376. De exemplu:

376 2 = 141376.

Dacă vrem acum să găsim un grup de cifre de patru cifre cu aceeași proprietate, va trebui să mai adăugăm o cifră în fața lui 376. Dacă notăm această cifră cu l, atunci ajungem la problema: pentru care l produsul

(10000a + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

se termina in 1000l + 376? Dacă deschidem parantezele din această lucrare și aruncăm toți termenii care se termină cu 4 zerouri sau mai mult, atunci termenii rămân

752000l + 141376.

Produsul se termina in 1000l + 376 daca este diferenta

752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000(l + 1)

este divizibil cu 10000. Acest lucru va fi evident doar pentru l = 9.

Grupul de numere din patru cifre dorit este 9376.

Grupul de cifre rezultat din patru cifre poate fi completat cu încă o cifră, pentru care trebuie să argumentați exact în același mod ca mai sus. Obținem 09376. Făcând încă un pas, găsim grupul de numere 109376, apoi 7109376 și așa mai departe.

Această atribuire a numerelor din stânga se poate face de un număr nelimitat de ori. Ca rezultat, obținem un „număr” care are un număr infinit de cifre:

7109376.

Astfel de „numere” pot fi adăugate și înmulțite conform regulilor obișnuite: la urma urmei, ele sunt scrise de la dreapta la stânga, iar adunarea și înmulțirea („coloana”) sunt, de asemenea, efectuate de la dreapta la stânga, astfel încât în ​​sumă și produs din două astfel de numere puteți calcula o cifră după alta - cât de mult vă plac cifrele.

Interesant este că „numărul” infinit scris mai sus satisface, oricât de improbabil ar părea, ecuația

X 2 \u003d x.

De fapt, pătratul acestui „număr” (adică produsul său în sine) se termină în 76, deoarece fiecare dintre factori are 76 la sfârșit; din același motiv pătratul „numărului” scris se termină în 376; se termină cu 9376 etc. Cu alte cuvinte, calculând una câte una cifrele „numărului” x 2, unde x = ... 7109376, vom obține aceleași cifre care sunt în numărul x, deci x 2 = X.

Am luat în considerare grupuri de cifre care se termină cu 76 * . Dacă se efectuează un raționament similar pentru grupuri de cifre care se termină în 5, atunci obținem următoarele grupuri de cifre:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 etc.

* (Rețineți că grupul de cifre din două cifre 76 poate fi găsit folosind argumente similare cu cele date mai sus: este suficient să decideți ce cifră ar trebui să fie preatribuită numărului 6 pentru ca grupul de cifre rezultat din două cifre să aibă proprietatea luată în considerare. Prin urmare, „numărul” ... 7109376 poate fi obținut atribuind numere celor șase din față, unul după altul.)

Drept urmare, putem scrie un alt „număr” infinit

2890625,

satisfacand si ecuatia x 2 = x. S-ar putea arăta că acest „număr” infinit este „egal cu”

5 2 2 2...

Rezultatul interesant obținut în limbajul „numerelor” infinite este formulat după cum urmează: ecuația x 2 \u003d x are (cu excepția obișnuitelor x \u003d 0 și x \u003d 1) două soluții "infinite":

X = ...7109376 și x = ...2890625,

iar alte soluții (în notație zecimală) nu are * .

* („Numerele” infinite pot fi considerate nu numai în zecimală, ci și în alte sisteme numerice. Astfel de numere considerate în sistemul de numere p de bază sunt numite numere p-adice. Ceva despre aceste numere poate fi citit în cartea „Convorbiri matematice” de E. B. Dynkin și V. A. Uspensky (Gostekhizdat, 1952).)

Două lucruri sunt cu adevărat nesfârșite:
Universul și prostia umană.
Cu toate acestea, despre universul pe care îl am
sunt unele îndoieli.
Albert Einstein

Am ridicat recent această problemă, dar este atât de importantă încât merită să ne oprim mai detaliat asupra ei.

Dacă uneori se rostesc aceleași cuvinte despre un obiect ca despre altul, atunci aceasta nu înseamnă că aceste obiecte au aceleași proprietăți.

Era o propoziție lungă și de neînțeles, așa că voi explica cu un exemplu:
Poți spune „suna la telefon” sau poți spune „suna la sonerie” - acțiuni foarte diferite, dar un singur verb. Din aceasta nu se poate concluziona că toate celelalte acțiuni cu telefonul (primirea SMS-urilor, memorie pentru 200 de numere și așa mai departe) sunt caracteristice soneriei. Acest lucru este atât de evident încât acest paragraf pare absurd.

Dar de ce atunci mulți oameni operează atât de ușor cu cuvântul infinit, de parcă ar fi un număr? Da, puteți aplica unele acțiuni la infinit care funcționează cu succes cu numere ( făcând rezervele necesare):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = ∞ (mai mult, seria numerelor reale este adesea extinsă cu o altă pereche de elemente +∞ și -∞ stipulează strict cum să le faci față).

Aceasta înseamnă că nu totul se poate face cu astfel de „infinite”. De exemplu, ∞ - ∞ = ? (aici avem incertitudine, întrucât nu putem da un răspuns fără a cunoaște natura acestor două „infinite”). În orice caz, este naiv să spui imediat că diferența va fi zero.

Și dacă încep conversațiile despre faptul că o anumită valoare tinde spre zero sau infinit, atunci de foarte multe ori problema nu ajunge la un raționament corect. Apropo, acum șase luni ne-am ocupat de utilizarea de zi cu zi a conceptului de infinit. Am reușit apoi să „demonstrăm” că suma catetelor unui triunghi este întotdeauna egală cu ipotenuza. Acesta nu a fost un exemplu foarte simplu, dar util. Există construcții mult mai vechi și faimoase care arată atât de simple încât nu este deloc clar cum sunt posibile probleme cu ele.

Să ne amintim de aporia clasică a lui Zeno:
Dacă se știe că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât o țestoasă și se află la o distanță de 1 kilometru de aceasta, atunci în timpul pe care Ahile îl petrece pe acest kilometru, țestoasa se va târa 100 de metri. În consecință, când Ahile aleargă încă 100 de metri, țestoasa se târăște 10 metri și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, iar Ahile nu va putea niciodată să ajungă din urmă broasca țestoasă, deși se mișcă mai repede.

Capacitatea de a spune lucruri inteligibile despre astfel de probleme este necesară pentru a înțelege cumva raționamentul despre aspirație, limită, infinit și alte concepte intuitiv clare, dar mai degrabă complexe. Fără aceasta, conversația se transformă de obicei în „cine are vocea mai tare”, deși scopul științei matematice nu este deloc să nu fie convins cu orice preț. Din păcate, în ultimele decenii, din ce în ce mai puțini oameni disting corectul de științific, așa că adesea se consideră mai important să strigi pentru a convinge decât să te apropii de adevăr.

Deci, cum poți rezolva problema cu Ahile și broasca țestoasă? Vă rog să nu scrieți că, de îndată ce Ahile parcurge al doilea kilometru, broasca țestoasă va rămâne cu mult în urmă. Acest lucru este evident pentru toată lumea, dar nu ajută deloc. Aici trebuie să simțiți problema în soluția originală și să nu veniți cu propria viziune în aceeași condiție.

O zi plăcută!