cerc trigonometric. Un singur cerc. Cercul numeric. Ce este?

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Foarte des termenii cerc trigonometric, cerc unitar, cerc numeric prost înțeles de către elevi. Și complet în zadar. Aceste concepte sunt un asistent puternic și universal în toate secțiunile trigonometriei. De fapt, aceasta este o foaie de cheat legal! Am desenat un cerc trigonometric - și am văzut imediat răspunsurile! Ispititor? Deci haideți să învățăm, este un păcat să nu folosiți așa ceva. În plus, este destul de ușor.

Pentru a lucra cu succes cu un cerc trigonometric, trebuie să știi doar trei lucruri.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Trigonometria, ca știință, își are originea în Orientul Antic. Primele rapoarte trigonometrice au fost dezvoltate de astronomi pentru a crea un calendar precis și a se orienta după stele. Aceste calcule s-au referit la trigonometria sferică, în timp ce la cursul școlar se studiază raportul dintre laturile și unghiul unui triunghi plat.

Trigonometria este o ramură a matematicii care se ocupă cu proprietățile funcțiilor trigonometrice și cu relația dintre laturile și unghiurile triunghiurilor.

În perioada de glorie a culturii și științei din mileniul I d.Hr., cunoștințele s-au răspândit din Orientul Antic până în Grecia. Dar principalele descoperiri ale trigonometriei sunt meritul oamenilor din Califatul Arab. În special, omul de știință turkmen al-Marazvi a introdus funcții precum tangenta și cotangenta, a compilat primele tabele de valori pentru sinusuri, tangente și cotangente. Conceptul de sinus și cosinus a fost introdus de oamenii de știință indieni. O mare atenție este dedicată trigonometriei în lucrările unor figuri atât de mari ale antichității precum Euclid, Arhimede și Eratostene.

Mărimi de bază ale trigonometriei

Funcțiile trigonometrice de bază ale unui argument numeric sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Fiecare dintre ele are propriul grafic: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

Formulele pentru calcularea valorilor acestor mărimi se bazează pe teorema lui Pitagora. Este mai cunoscut de școlari în formularea: „Pantaloni pitagoreici, egali în toate direcțiile”, deoarece dovada este dată pe exemplul unui triunghi dreptunghic isoscel.

Sinusul, cosinusul și alte dependențe stabilesc o relație între unghiurile ascuțite și laturile oricărui triunghi dreptunghic. Oferim formule pentru calcularea acestor mărimi pentru unghiul A și urmărim relația funcțiilor trigonometrice:

După cum puteți vedea, tg și ctg sunt funcții inverse. Dacă reprezentăm catetul a ca produsul dintre sin A și ipotenuza c și catetul b ca cos A * c, atunci obținem următoarele formule pentru tangentă și cotangentă:

cerc trigonometric

Grafic, raportul dintre cantitățile menționate poate fi reprezentat astfel:

Cercul, în acest caz, reprezintă toate valorile posibile ale unghiului α - de la 0° la 360°. După cum se poate observa din figură, fiecare funcție ia o valoare negativă sau pozitivă în funcție de unghi. De exemplu, sin α va avea semnul „+” dacă α aparține sferturilor I și II ale cercului, adică se află în intervalul de la 0 ° la 180 °. Cu α de la 180° la 360° (sferturile III și IV), sin α poate fi doar o valoare negativă.

Să încercăm să construim tabele trigonometrice pentru anumite unghiuri și să aflăm semnificația cantităților.

Valorile lui α egale cu 30°, 45°, 60°, 90°, 180° și așa mai departe se numesc cazuri speciale. Valorile funcțiilor trigonometrice pentru acestea sunt calculate și prezentate sub formă de tabele speciale.

Aceste unghiuri nu au fost alese întâmplător. Denumirea π din tabele este pentru radiani. Rad este unghiul la care lungimea unui arc de cerc corespunde razei acestuia. Această valoare a fost introdusă pentru a stabili o relație universală; la calcularea în radiani, lungimea reală a razei în cm nu contează.

Unghiurile din tabele pentru funcțiile trigonometrice corespund valorilor radianilor:

Deci, nu este greu de ghicit că 2π este un cerc complet sau 360°.

Proprietățile funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus

Pentru a lua în considerare și a compara proprietățile de bază ale sinusului și cosinusului, tangentei și cotangentei, este necesar să le trasăm funcțiile. Acest lucru se poate face sub forma unei curbe situate într-un sistem de coordonate bidimensional.

Luați în considerare un tabel comparativ de proprietăți pentru o undă sinusoidală și o undă cosinus:

sinusoid	unde cosinus
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; unu]	ODZ [-1; unu]
sin x = 0, pentru x = πk, unde k ϵ Z	cos x = 0, pentru x = π/2 + πk, unde k ϵ Z
sin x = 1, pentru x = π/2 + 2πk, unde k ϵ Z	cos x = 1, pentru x = 2πk, unde k ϵ Z
sin x = - 1, la x = 3π/2 + 2πk, unde k ϵ Z	cos x = - 1, pentru x = π + 2πk, unde k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, adică funcție impară	cos (-x) = cos x, adică funcția este pară
	funcția este periodică, cea mai mică perioadă este 2π
sin x › 0, cu x aparținând sferturilor I și II sau de la 0° la 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, cu x aparținând sferturilor I și IV sau de la 270° la 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, cu x aparținând sferturilor III și IV sau de la 180° la 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, cu x aparținând sferturilor II și III sau de la 90° la 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
crește pe intervalul [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	crește pe intervalul [-π + 2πk, 2πk]
scade pe intervalele [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	scade pe intervale
derivată (sin x)' = cos x	derivată (cos x)’ = - sin x

Determinarea dacă o funcție este pară sau nu este foarte simplă. Este suficient să ne imaginăm un cerc trigonometric cu semne de mărimi trigonometrice și să „pliezi” mental graficul în raport cu axa OX. Dacă semnele sunt aceleași, funcția este pară; în caz contrar, este impară.

Introducerea radianilor și enumerarea principalelor proprietăți ale undei sinusoide și cosinus ne permit să aducem următorul model:

Este foarte ușor să verificați corectitudinea formulei. De exemplu, pentru x = π/2, sinusul este egal cu 1, la fel și cosinusul lui x = 0. Verificarea se poate face prin examinarea tabelelor sau prin trasarea curbelor funcției pentru valori date.

Proprietățile tangentoidului și cotangentoidului

Graficele funcțiilor tangente și cotangente diferă semnificativ de unda sinusoidă și cosinus. Valorile tg și ctg sunt inverse una față de cealaltă.

1. Y = tgx.
2. Tangenta tinde spre valorile lui y la x = π/2 + πk, dar nu le atinge niciodată.
3. Cea mai mică perioadă pozitivă a tangentoidului este π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, adică funcția este impară.
5. Tg x = 0, pentru x = πk.
6. Funcția este în creștere.
7. Tg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, pentru x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivată (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Luați în considerare reprezentarea grafică a cotangentoidului de mai jos în text.

Principalele proprietăți ale cotangentoidului:

1. Y = ctgx.
2. Spre deosebire de funcțiile sinus și cosinus, în tangentoidul Y poate prelua valorile mulțimii tuturor numerelor reale.
3. Cotangentoidul tinde spre valorile lui y la x = πk, dar nu le atinge niciodată.
4. Cea mai mică perioadă pozitivă a cotangentoidului este π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, adică funcția este impară.
6. Ctg x = 0, pentru x = π/2 + πk.
7. Funcția este în scădere.
8. Ctg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, pentru x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivată (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Ţintă:învață cum să folosești cercul unității atunci când rezolvi diverse sarcini trigonometrice.

În cursul școlar de matematică sunt posibile diverse opțiuni pentru introducerea funcțiilor trigonometrice. Cel mai convenabil și folosit este „cercul unitar numeric”. Aplicarea sa în tema „Trigonometrie” este foarte extinsă.

Cercul unitar este folosit pentru:

– definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi;
– aflarea valorilor funcțiilor trigonometrice pentru unele valori ale argumentului numeric și unghiular;
- derivarea formulelor de bază ale trigonometriei;
– derivarea formulelor de reducere;
– aflarea domeniului de definire și a gamei de valori ale funcțiilor trigonometrice;
– determinarea periodicităţii funcţiilor trigonometrice;
– definirea funcțiilor trigonometrice pare și impare;
– determinarea intervalelor de creștere și scădere a funcțiilor trigonometrice;
– determinarea intervalelor de constanţă ale funcţiilor trigonometrice;
– măsurarea în radiani a unghiurilor;
– aflarea valorilor funcțiilor trigonometrice inverse;
– rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice;
– rezolvarea celor mai simple inegalități etc.

Astfel, deținerea activă conștientă a acestui tip de vizualizare de către elevi oferă avantaje incontestabile pentru stăpânirea secțiunii de matematică „Trigonometrie”.

Utilizarea TIC în lecțiile de predare a matematicii facilitează stăpânirea cercului unității numerice. Desigur, tabla interactivă are cea mai largă gamă de aplicații, dar nu toate clasele o au. Dacă vorbim despre utilizarea prezentărilor, atunci pe Internet există o mare alegere a acestora, iar fiecare profesor poate găsi cea mai potrivită opțiune pentru lecțiile sale.

Ce este special la prezentarea mea?

Această prezentare este destinată să fie utilizată într-o varietate de moduri și nu este menită să fie o ilustrare a unei lecții specifice de trigonometrie. Fiecare diapozitiv al acestei prezentări poate fi folosit separat, atât la etapa de explicare a materialului, dezvoltarea abilităților, cât și pentru reflecție. La realizarea acestei prezentări s-a acordat o atenție deosebită „lizibilității” acesteia de la distanță lungă, deoarece numărul studenților cu vedere redusă este în continuă creștere. Soluția de culoare este gândită, obiectele legate logic sunt unite printr-o singură culoare. Prezentarea este animată în așa fel încât profesorul să aibă posibilitatea de a comenta un fragment din diapozitiv, iar elevul să poată pune o întrebare. Astfel, această prezentare este un fel de mese „în mișcare”. Ultimele diapozitive nu sunt animate și sunt folosite pentru a verifica asimilarea materialului, în cursul rezolvării sarcinilor trigonometrice. Cercul de pe diapozitive este simplificat maxim la exterior și cât mai aproape de cel înfățișat pe foaia de caiet de către elevi. Consider că această condiție este fundamentală. Este important ca elevii să își formeze o opinie despre cercul unității ca un tip de vizibilitate accesibil și mobil (deși nu singurul) atunci când rezolvă sarcini trigonometrice.

Această prezentare îi va ajuta pe profesori să introducă elevii în cercul unității din clasa a 9-a la lecțiile de geometrie în timp ce studiază subiectul „Raporturile dintre laturile și unghiurile unui triunghi”. Și, desigur, va ajuta la extinderea și aprofundarea abilității de a lucra cu un cerc unitar atunci când rezolvați sarcini trigonometrice pentru elevii seniori la lecțiile de algebră.

Slide-urile 3, 4 explicați construcția unui cerc unitar; principiul determinării locației unui punct pe un cerc unitar în sferturile de coordonate I și II; trecerea de la definițiile geometrice ale funcțiilor sinus și cosinus (într-un triunghi dreptunghic) la definițiile algebrice ale cercului unitar.

Slide-urile 5-8 explicați cum să găsiți valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile principale ale sfertului de coordonate I.

Slide-urile 9-11 explică semnele funcțiilor în sferturi de coordonate; determinarea intervalelor de constanţă ale funcţiilor trigonometrice.

slide 12 folosit pentru a forma idei despre valorile pozitive și negative ale unghiurilor; cunoașterea conceptului de periodicitate a funcțiilor trigonometrice.

Slide-urile 13, 14 sunt utilizate la trecerea la o măsură în radian a unui unghi.

Slide-urile 15-18 nu sunt animate și sunt folosite în rezolvarea diverselor sarcini trigonometrice, fixarea și verificarea rezultatelor însuşirii materialului.

1. Pagina titlu.
2. Stabilirea obiectivelor.
3. Construirea unui cerc unitar. Valorile de bază ale unghiurilor în grade.
4. Definirea sinusului și cosinusului unui unghi pe un cerc unitar.
5. Tabelul valorilor pentru sinus în ordine crescătoare.
6. Tabelul valorilor pentru cosinus în ordine crescătoare.
7. Valori tabelare pentru tangentă în ordine crescătoare.
8. Tabelul de valori pentru cotangente în ordine crescătoare.
9. Semne de funcționare sinα.
10. Semne de funcționare ca a.
11. Semne de funcționare tgαși ctgα.
12. Valorile pozitive și negative ale unghiurilor pe cercul unitar.
13. Măsura radianilor unui unghi.
14. Valorile pozitive și negative ale unghiurilor în radiani pe cercul unității.
15. Diverse variante ale cercului unitar pentru consolidarea și verificarea rezultatelor asimilării materialului.

Dacă ești deja familiarizat cu cerc trigonometric , și doriți doar să reîmprospătați elemente individuale din memoria dvs. sau sunteți complet nerăbdător, atunci iată-l:

Aici vom analiza totul în detaliu pas cu pas.

Cercul trigonometric nu este un lux, ci o necesitate

Trigonometrie multe sunt asociate cu un desiș de netrecut. Dintr-o dată, atât de multe valori ale funcțiilor trigonometrice se îngrămădesc, atât de multe formule... Dar, la urma urmei, nu a funcționat la început și... din când în când... neînțelegere absolută... .

Este foarte important să nu faci semn cu mâna valorile funcțiilor trigonometrice, - se spune, poți oricând să te uiți la pinten cu un tabel de valori.

Dacă te uiți constant la tabelul cu valorile formulelor trigonometrice, hai să scăpăm de acest obicei!

Ne va salva! Veți lucra cu el de mai multe ori și apoi îți va apărea singur în cap. De ce este mai bine decât o masă? Da, în tabel veți găsi un număr limitat de valori, dar pe cerc - TOTUL!

De exemplu, să spunem, privind tabel standard de valori ale formulelor trigonometrice , care este sinusul, să zicem, de 300 de grade sau -45.

În nici un caz?... poți, desigur, să te conectezi formule de reducere... Și uitându-te la cercul trigonometric, poți răspunde cu ușurință la astfel de întrebări. Și în curând vei ști cum!

Și atunci când rezolvați ecuații trigonometrice și inegalități fără un cerc trigonometric - nicăieri.

Introducere în cercul trigonometric

Să mergem în ordine.

Mai întâi, notează următoarea serie de numere:

Si acum asta:

Și în sfârșit acesta:

Desigur, este clar că, de fapt, pe primul loc este, pe al doilea este și pe ultimul -. Adică vom fi mai interesați de lanț.

Dar ce frumos a iesit! În acest caz, vom restaura această „scăriță minunată”.

Și de ce avem nevoie de el?

Acest lanț este principalele valori ale sinusului și cosinusului în primul trimestru.

Să desenăm un cerc cu raza unitară într-un sistem de coordonate dreptunghiular (adică luăm orice rază de-a lungul lungimii și declarăm lungimea sa unitate).

Din fasciculul „0-Start”, punem deoparte în direcția colțurilor săgeții (vezi Fig.).

Obținem punctele corespunzătoare pe cerc. Deci, dacă proiectăm punctele pe fiecare dintre axe, atunci vom obține exact valorile din lanțul de mai sus.

De ce, întrebi?

Să nu dezamăgim totul. Considera principiu, care vă va permite să faceți față altor situații similare.

Triunghiul AOB este un triunghi dreptunghic cu . Și știm că vizavi de unghiul de la se află un catet de două ori mai mic decât ipotenuza (ipotenuza noastră = raza cercului, adică 1).

Prin urmare, AB= (și, prin urmare, OM=). Și după teorema lui Pitagora

Sper că ceva este clar acum.

Deci punctul B va corespunde valorii, iar punctul M va corespunde valorii

La fel cu restul valorilor din primul trimestru.

După cum înțelegeți, axa nouă ne va fi cunoscută (bou). axa cosinusului, iar axa (oy) - axa sinusală . mai tarziu.

La stânga lui zero pe axa cosinus (sub zero pe axa sinusului) vor fi, desigur, valori negative.

Deci, iată-l, ATOATPUTERNIC, fără de care nicăieri în trigonometrie.

Dar despre cum să folosiți cercul trigonometric, vom vorbi.