Dezvoltarea unei lecții de algebră în clasa a XI-a profil

Lecția a fost condusă de profesorul de matematică MBOU școala gimnazială Nr.6 Tupitsyna O.V.

Subiectul și numărul lecției din subiect:„Aplicarea mai multor transformări care conduc la o ecuație-consecință”, lecția nr. 7, 8 la tema: „Ecuație-consecință”

Subiect:Algebra și începuturile analizei matematice - clasa a 11-a (formare de profil conform manualului de S.M. Nikolsky)

Tip de lecție: „sistematizarea și generalizarea cunoștințelor și aptitudinilor”

Tip lecție: atelier

Rolul profesorului: direcționează activitatea cognitivă a elevilor spre dezvoltarea capacității de a aplica în mod independent cunoștințele într-un complex pentru a selecta metoda sau metodele de transformare dorite, conducând la o ecuație - o consecință și aplicarea metodei în rezolvarea ecuației, în condiții noi.

Echipament tehnic necesar:echipamente multimedia, webcam.

Lecția folosită:

1. model de învăţare didactică- crearea unei situații problematice,
2. mijloace pedagogice- fișe care indică modulele de instruire, o selecție de sarcini pentru rezolvarea ecuațiilor,
3. tipul de activitate a elevilor- grup (grupe se formează în lecțiile - „descoperiri” de noi cunoștințe, lecțiile nr. 1 și 2 de la elevi cu diferite grade de învățare și învățare), rezolvarea comună sau individuală a problemelor,
4. tehnologii educaționale orientate spre personalitate: instruire modulară, învățare bazată pe probleme, metode de căutare și cercetare, dialog colectiv, metodă de activitate, lucru cu un manual și diverse surse,
5. tehnologii de salvare a sănătăţii- pentru ameliorarea stresului, se efectuează educație fizică,
6. competente:

- educațional și cognitiv la nivel de bază- elevii cunosc conceptul de ecuație - o consecință, rădăcina unei ecuații și metode de transformare care duc la o ecuație - o consecință, sunt capabili să găsească rădăcinile ecuațiilor și să efectueze verificarea acestora la nivel productiv;

- la un nivel avansat- elevii pot rezolva ecuații folosind metode binecunoscute de transformări, pot verifica rădăcinile ecuațiilor folosind aria valorilor neadmisibile ale ecuațiilor; calcula logaritmi folosind proprietăți bazate pe explorare; informativ - elevii caută, extrag și selectează în mod independent informațiile necesare pentru rezolvarea problemelor educaționale în surse de diferite tipuri.

Scopul didactic:

creând condiţii pentru:

Formarea ideilor despre ecuații - consecințe, rădăcini și metode de transformare;

Formarea experienței de creare a sensului pe baza unei consecințe logice a metodelor studiate anterior de transformare a ecuațiilor: ridicarea unei ecuații la o putere pară, potențarea ecuațiilor logaritmice, eliberarea unei ecuații de numitori, aducerea unor termeni asemănători;

Consolidarea abilităților în determinarea alegerii metodei de transformare, rezolvarea în continuare a ecuației și alegerea rădăcinilor ecuației;

Stăpânirea abilităților de stabilire a unei probleme pe baza informațiilor cunoscute și învățate, formând cereri pentru a afla ceea ce nu este încă cunoscut;

Formarea intereselor cognitive, a abilităților intelectuale și creative ale elevilor;

Dezvoltarea gândirii logice, activitatea creativă a elevilor, abilitățile de proiect, capacitatea de a-și exprima gândurile;

Formarea unui sentiment de toleranță, asistență reciprocă atunci când se lucrează în grup;

Trezirea interesului pentru rezolvarea independentă a ecuațiilor;

Sarcini:

Organizați repetarea și sistematizarea cunoștințelor despre modul de transformare a ecuațiilor;

- să asigure stăpânirea metodelor de rezolvare a ecuațiilor și verificarea rădăcinilor acestora;

- să promoveze dezvoltarea gândirii analitice și critice a elevilor; compara și alege metode optime de rezolvare a ecuațiilor;

- crearea condițiilor pentru dezvoltarea abilităților de cercetare, abilități de lucru în grup;

Motivați elevii să folosească materialul studiat pentru a se pregăti pentru examen;

Analizează și evaluează munca ta și munca tovarășilor tăi în îndeplinirea acestei lucrări.

Rezultate planificate:

*personal:

Abilități de stabilire a unei sarcini pe baza informațiilor cunoscute și învățate, generarea de solicitări pentru a afla ceea ce nu este încă cunoscut;

Capacitatea de a alege sursele de informații necesare pentru rezolvarea problemei; dezvoltarea intereselor cognitive, a abilităților intelectuale și creative ale elevilor;

Dezvoltarea gândirii logice, a activității creative, a capacității de a-și exprima gândurile, capacitatea de a construi argumente;

Autoevaluarea rezultatelor performanței;

Abilitați de lucru în echipă;

*metasubiect:

Abilitatea de a evidenția principalul lucru, de a compara, de a generaliza, de a trage o analogie, de a aplica metode inductive de raționament, de a formula ipoteze la rezolvarea ecuațiilor,

Abilitatea de a interpreta și aplica cunoștințele dobândite în pregătirea pentru examen;

*subiect:

Cunoașterea modului de transformare a ecuațiilor,

Capacitatea de a stabili un model asociat cu diferite tipuri de ecuații și de a-l utiliza în rezolvarea și selectarea rădăcinilor,

Integrarea obiectivelor lecției:

1. (pentru profesor) Formarea la elevi a unei viziuni holistice a modalităţilor de transformare a ecuaţiilor şi a metodelor de rezolvare a acestora;
2. (pentru elevi) Dezvoltarea capacității de a observa, compara, generaliza, analiza situații matematice asociate unor tipuri de ecuații care conțin diverse funcții. Pregătirea pentru examen.

Etapa I a lecției:

Actualizarea cunoștințelor pentru creșterea motivației în domeniul aplicării diverselor metode de transformare a ecuațiilor (diagnosticare de intrare)

Etapa de actualizare a cunoștințelorefectuat sub forma unui lucru de testare cu autotest. Sunt propuse sarcini de dezvoltare, bazate pe cunoștințele dobândite în lecțiile anterioare, care necesită activitate mentală activă din partea elevilor și necesare îndeplinirii sarcinii din această lecție.

Lucrare de verificare

1. Alegeți ecuații care necesită limitarea necunoscutelor pe mulțimea tuturor numerelor reale:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) =1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 =5;

g) = ; h) = .

(2) Specificați intervalul de valori valide ale fiecărei ecuații, unde există restricții.

(3) Alegeți un exemplu de astfel de ecuație, în care transformarea poate provoca pierderea rădăcinii (utilizați materialele lecțiilor anterioare pe această temă).

Toată lumea verifică răspunsurile în mod independent în funcție de cele gata făcute evidențiate pe ecran. Sunt analizate cele mai dificile sarcini, iar elevii acordă o atenție deosebită exemplelor a, c, g, h, unde există restricții.

Se concluzionează că la rezolvarea ecuațiilor este necesar să se determine intervalul de valori permis de ecuație sau să se verifice rădăcinile pentru a evita valorile străine. Se repetă metodele studiate anterior de transformare a ecuațiilor care conduc la o ecuație - o consecință. Adică, elevii sunt astfel motivați să găsească modalitatea potrivită de a rezolva ecuația propusă de ei în lucrările ulterioare.

Etapa a II-a a lecției:

Aplicarea practică a cunoștințelor, abilităților și abilităților lor în rezolvarea ecuațiilor.

Grupurilor li se oferă fișe cu un modul compilat pe problemele acestui subiect. Modulul include cinci elemente de învățare, fiecare dintre acestea având ca scop îndeplinirea anumitor sarcini. Elevii cu grade diferite de învățare și de învățare determină în mod independent domeniul de aplicare al activităților lor în lecție, dar din moment ce toată lumea lucrează în grupuri, există un proces continuu de ajustare a cunoștințelor și abilităților, trăgându-i pe cei care rămân în urmă la obligatoriu, pe alții la nivel avansat și avansat. niveluri creative.

La mijlocul lecției se ține un minut fizic obligatoriu.

Nr element educativ	Element educativ cu sarcini	Ghid pentru elaborarea materialului educațional
UE-1	Scop: Determinarea și justificarea principalelor metode de rezolvare a ecuațiilor pe baza proprietăților funcțiilor. Exercițiu: Precizați metoda de transformare pentru rezolvarea următoarelor ecuații: A) )= -8); b) = c) (=( d) ctg + x 2 -2x = ctg +24; e) = ; f) = sin x. 2) Sarcina: Rezolvați cel puțin două dintre ecuațiile propuse. Descrieți ce metode au fost utilizate în ecuațiile rezolvate.	Clauza 7.3 p.212 Clauza 7.4 p.214 Clauza 7.5 p.217 Clauza 7.2 p. 210
UE-2	Scop: Să stăpânească tehnici și metode raționale de rezolvare Exercițiu: Dați exemple din ecuațiile de mai sus sau auto-selectate (utilizați materiale din lecțiile anterioare) care pot fi rezolvate folosind metode raționale de rezolvare, care sunt acestea? (accent pe modul de verificare a rădăcinilor ecuației)
UE-3	Scop: Utilizarea cunoștințelor dobândite în rezolvarea ecuațiilor de un nivel ridicat de complexitate Exercițiu: = ( sau ( = (	Clauza 7.5
UE-4	Stabiliți nivelul de stăpânire a subiectului: scăzut - soluție a nu mai mult de 2 ecuații; Mediu - soluție a nu mai mult de 4 ecuații; ridicat - soluție a nu mai mult de 5 ecuații
UE-5	Control ieșire: Alcătuiește un tabel în care să prezinți toate metodele de transformare a ecuațiilor pe care le folosești și pentru fiecare metodă notează exemple de ecuații pe care le-ai rezolvat, începând de la lecția 1 a subiectului: „Ecuații - consecințe”	Rezumate în caiete

Etapa a III-a a lecției:

Lucrarea de diagnosticare a rezultatelor, reprezentând reflecția studenților, care va arăta disponibilitatea nu numai pentru a scrie un test, ci și pregătirea pentru examen din această secțiune.

La sfârșitul lecției, toți elevii, fără excepție, se autoevaluează, apoi vine și evaluarea profesorului. Dacă apar neînțelegeri între profesor și elev, profesorul poate oferi elevului o sarcină suplimentară pentru a o putea evalua în mod obiectiv. Teme pentru acasăcare vizează revizuirea materialului înaintea lucrării de control.

Prelegerea școlii

„Ecuații echivalente. Ecuația corolară»

comentarii metodologice. Conceptele de ecuații echivalente, ecuații corolare, teoreme privind echivalența ecuațiilor sunt probleme importante legate de teoria rezolvării ecuațiilor.

Până în clasa a 10-a, elevii au dobândit ceva experiență în rezolvarea ecuațiilor. În clasele 7-8 se rezolvă ecuații liniare și pătratice, aici nu există transformări inegale. În plus, în clasele a VIII-a și a IX-a, se rezolvă ecuațiile raționale și cele mai simple iraționale, se dovedește că, în legătură cu eliberarea de la numitor și punerea la pătrat a ambelor părți ale ecuației, pot apărea rădăcini străine. Astfel, este nevoie de introducerea unor concepte noi: echivalența ecuațiilor, transformările echivalente și neechivalente ale ecuației, rădăcinile străine și verificarea rădăcinilor. Pe baza experienței acumulate de studenți în rezolvarea claselor de ecuații de mai sus, este posibilă determinarea unei noi relații de echivalență a ecuațiilor și „descoperirea” împreună cu studenții teoreme privind echivalența ecuațiilor.

Lecția, al cărei rezumat este prezentat mai jos, precede examinarea subiectelor legate de rezolvarea ecuațiilor iraționale, exponențiale, logaritmice și trigonometrice. Materialul teoretic al acestei lecții servește drept suport pentru rezolvarea tuturor claselor de ecuații. În această lecție, este necesar să definim conceptul de ecuații echivalente, ecuații corolare, pentru a lua în considerare teoremele de transformare care conduc la astfel de tipuri de ecuații. Materialul luat în considerare, așa cum sa menționat mai sus, este un fel de sistematizare a cunoștințelor elevilor despre transformările ecuațiilor, se caracterizează printr-o anumită complexitate, prin urmare cel mai acceptabil tip de lecție este o prelegere școlară. Particularitatea acestei lecții este că sarcina (obiectivele) educaționale stabilite pentru ea este rezolvată pe parcursul multor lecții ulterioare (identificarea transformărilor peste ecuații care conduc la dobândirea rădăcinilor străine și pierderea rădăcinilor).

Fiecare etapă a lecției ocupă un loc important în structura sa.

Pe etapa de actualizare elevii își amintesc principalele prevederi teoretice legate de ecuație: ce este o ecuație, rădăcina ecuației, ce înseamnă rezolvarea ecuației, intervalul de valori acceptabile (ODV) al ecuației. Ei găsesc ODZ a ecuațiilor specifice care vor servi drept suport pentru „descoperirea” teoremelor în lecție.

Ţintă stadiul de motivare- să creeze o situaţie problemă, care constă în găsirea soluţiei corecte a ecuaţiei propuse.

Soluţie sarcina de invatare (etapa operationala-cognitiva)în lecția prezentată constă în „descoperirea” teoremelor privind echivalența ecuațiilor și demonstrarea lor. Atenția principală în prezentarea materialului este acordată definirii ecuațiilor echivalente, ecuațiilor-consecințe, „căutării” teoremelor privind echivalența ecuațiilor.

Notele pe care profesorul le face în timpul lecției sunt prezentate direct în rezumat. Înregistrarea notelor de către elevi în caiete este dată la sfârșitul rezumatului lecției.

Rezumatul lecției

Subiect. Ecuații echivalente. Ecuație-consecință.

(Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituțiilor de învățământ / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov și alții - M .: Education, 2003).

Obiectivele lecției.În activitățile comune cu elevii, identificați relația de echivalență pe un set de ecuații, „descoperiți” teoreme privind echivalența ecuațiilor.

Ca urmare, studentul

stie

Definiția ecuațiilor echivalente,

Definiții ale ecuației corolare,

Enunțuri ale principalelor teoreme;

poate sa

Din ecuațiile propuse, alegeți ecuații echivalente și ecuații-consecințe,

Aplicați definiții de ecuații echivalente și ecuații corolare în situații standard;

intelege

Ce transformări duc la ecuații echivalente sau la ecuații-consecințe,

Că există transformări, în urma cărora ecuația poate dobândi rădăcini străine,

Că, în urma unor transformări, poate apărea pierderea rădăcinilor.

Tipul de lecție. Prelecție școlară (2 ore).

Structura lecției.

I. Partea motivațională și orientativă:

Actualizare de cunoștințe,

Motivație, stabilirea unei sarcini de învățare.

II. Partea operațional-cognitivă:

Rezolvarea problemei educaționale și de cercetare (scopul lecției).

III. Partea reflecto-evaluative:

Rezumând lecția

Eliberarea temei.

În timpul orelor

eu. Parte motivațională și orientatoare.

Astăzi în lecție vom vorbi despre ecuație, dar încă nu vom scrie subiectul. Amintiți-vă conceptele de bază asociate cu ecuația. În primul rând, ce este o ecuație?

(O ecuație este o înregistrare analitică a problemei de a găsi valorile argumentelor pentru care valorile unei funcții sunt egale cu valorile unei alte funcții).

Ce alte concepte sunt legate de ecuație?

(Rădăcina ecuației și ce înseamnă rezolvarea ecuației. Rădăcina ecuației este un număr, la înlocuirea în ecuație, se obține egalitatea numerică corectă. Rezolvați ecuația - găsiți toate rădăcinile ei sau stabiliți că acestea fac nu exista).

Ce este ecuația ODZ?

(Setul tuturor numerelor pentru care funcțiile din stânga și din dreapta ecuației au sens în același timp).

Aflați ODZ a următoarelor ecuații.

5)

6)
.

Soluția ecuației este scrisă pe tablă.

Care este procesul de rezolvare a unei ecuații?

(Efectuarea de transformări care aduc această ecuație la o ecuație de o formă mai simplă, adică o astfel de ecuație, a cărei rădăcini nu este dificilă).

Adevărat, adică există o succesiune de simplificări de la ecuație la ecuație
etc. la
. Să vedem ce se întâmplă cu rădăcinile ecuației la fiecare etapă a transformărilor. În soluția prezentată se obțin două rădăcini ale ecuației
. Verificați dacă sunt numere și numere
și
rădăcinile ecuației inițiale.

(numerele , și sunt rădăcinile ecuației originale și
- Nu).

Deci, în procesul de rezolvare, aceste rădăcini s-au pierdut. În general, transformările efectuate au dus la pierderea a două rădăcini
și dobândirea unei rădăcini străine.

Cum poți scăpa de rădăcinile străine?

(Faceți o verificare).

Este posibil să pierzi rădăcinile? De ce?

(Nu, pentru că a rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate rădăcinile).

Cum să evitați pierderea rădăcinilor?

(Probabil, la rezolvarea ecuației, nu efectuați transformări care duc la pierderea rădăcinilor).

Deci, pentru ca procesul de rezolvare a unei ecuații să conducă la rezultate corecte, ce este important de știut atunci când se efectuează transformări pe ecuații?

(Probabil, să știi ce transformări peste ecuații păstrează rădăcinile, care duc la pierderea rădăcinilor sau la dobândirea rădăcinilor străine. Să știi ce transformări pot fi înlocuite astfel încât să nu existe pierdere sau achiziție de rădăcini).

Asta vom face în această lecție. Cum ați formula scopul activității viitoare în lecția de astăzi?

(Pentru a identifica transformările peste ecuații care păstrează rădăcinile, duc la pierderea rădăcinilor sau la dobândirea rădăcinilor străine. Aflați ce transformări pot fi înlocuite astfel încât să nu existe pierdere sau achiziție de rădăcini).

II . Partea operațional-cognitivă.

Să revenim la ecuația scrisă pe tablă. Să urmărim în ce stadiu și în urma ce transformări s-au pierdut două rădăcini și a apărut un străin. (Profesorul din dreapta fiecărei ecuații pune numerele).

Numiți ecuațiile care au aceeași mulțime (mulțime) de rădăcini.

(Ecuații , , ,
și ,).

Astfel de ecuații se numesc echivalent.Încercați să formulați o definiție a ecuațiilor echivalente.

(Ecuațiile care au același set de rădăcini se numesc echivalente).

Să scriem definiția.

Definiție 1. Ecuații
și
se spune că sunt echivalente dacă mulțimile rădăcinilor lor sunt aceleași.

Trebuie remarcat faptul că ecuațiile fără cai sunt de asemenea echivalente.

Pentru a indica ecuații echivalente, puteți folosi simbolul "
». Procesul de rezolvare a ecuației folosind noul concept poate fi reflectat după cum urmează:

Astfel, trecerea de la o ecuație dată la una echivalentă nu afectează setul de rădăcini ale ecuației rezultate.

Și care sunt principalele transformări efectuate la rezolvarea ecuațiilor liniare?

(Deschiderea parantezelor; transferarea termenilor dintr-o parte a ecuației în alta, schimbarea semnului în opus; adăugarea unei expresii care conține o necunoscută pentru ambele părți ale ecuației).

S-au schimbat rădăcinile lor?

Pe baza uneia dintre aceste transformări, și anume: transferul de termeni dintr-o parte a ecuației în alta, schimbând semnul la opus, în clasa a VII-a au formulat o proprietate a ecuațiilor. Formulați-l folosind un nou concept.

(Dacă orice termen al ecuației este transferat dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus, atunci se va obține o ecuație echivalentă cu cea dată).

Ce altă proprietate a ecuației cunoașteți?

(Ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite cu același număr diferit de zero.)

Aplicarea acestei proprietăți înlocuiește și ecuația originală cu una echivalentă. Să revenim la ecuația scrisă pe tablă. Comparați mulțimea rădăcinilor ecuațiilor și ?

(Rădăcina ecuației este rădăcina ecuației).

Adică, la trecerea de la o ecuație la alta, setul de rădăcini, deși extins, nu și-a pierdut rădăcinile. În acest caz, ecuația se numește o consecință a ecuației. Încercați să formulați o definiție a unei ecuații care este o consecință a acestei ecuații.

(Dacă nu există pierderi de rădăcini în timpul tranziției de la o ecuație la alta, atunci a doua ecuație se numește o consecință a primei ecuații).

Definiția 2. O ecuație se numește o consecință a unei ecuații dacă fiecare rădăcină a ecuației este o rădăcină a ecuației.

- Ca urmare a ce transformări ați obținut ecuația din ecuație?

(Pătrarea ambelor părți ale ecuației).

Aceasta înseamnă că această transformare poate duce la apariția rădăcinilor străine, adică. ecuația inițială este transformată într-o ecuație de consecință. Există alte ecuații corolare în lanțul de transformări de ecuații prezentate?

(Da, de exemplu, ecuația este o consecință a ecuației, iar ecuația este o consecință a ecuației).

Care sunt aceste ecuații?

(Echivalent).

Încercați, folosind conceptul de ecuație de consecință, să formulați o definiție echivalentă a ecuațiilor echivalente.

(Se spune că ecuațiile sunt echivalente dacă fiecare dintre ele este o consecință a celeilalte).

Există alte ecuații corolare în soluția propusă a ecuației?

(Da, ecuația este o consecință a ecuației).

Ce se întâmplă cu rădăcinile când treci de la la?

(Se pierd două rădăcini).

Ce transformare a dus la asta?

(Eroare la aplicarea identității
).

Aplicând noul concept de ecuație-corolarul și folosind simbolul "
”, procesul de rezolvare a ecuației va arăta astfel:

.

Deci, schema rezultată ne arată că dacă se fac tranziții echivalente, atunci seturile de rădăcini ale ecuațiilor rezultate nu se schimbă. Dar nu este întotdeauna posibil să se aplice doar transformări echivalente. Dacă tranzițiile nu sunt echivalente, atunci sunt posibile două cazuri: și . În primul caz, ecuația este o consecință a ecuației, setul de rădăcini a ecuației rezultate include setul de rădăcini a ecuației date, aici sunt dobândite rădăcini străine, acestea pot fi tăiate prin efectuarea unei verificări. În al doilea caz, s-a obținut o ecuație pentru care această ecuație este o consecință: , ceea ce înseamnă că va exista o pierdere de rădăcini, astfel de tranziții nu trebuie efectuate. Prin urmare, este important să ne asigurăm că la transformarea unei ecuații, fiecare ecuație ulterioară este o consecință a celei anterioare. Ce trebuie să știi pentru ca transformările să fie doar așa? Să încercăm să-l instalăm. Să scriem sarcina 1 (oferă ecuații; ODZ-ul lor găsit în etapa de actualizare; se înregistrează setul de rădăcini ale fiecărei ecuații).

Sarcina 1. Sunt ecuațiile fiecărui grup (a, b) echivalente? Denumiți transformarea, în urma căreia prima ecuație a grupului este înlocuită cu a doua.

A)
b)

Să ne întoarcem la ecuațiile grupului a), sunt aceste ecuații echivalente?

(Da, și sunt echivalente).

(Am folosit identitatea).

Adică, expresia dintr-o parte a ecuației a fost înlocuită cu o expresie identică egală. S-a schimbat ecuația ODZ în cadrul acestei transformări?

Se consideră grupul de ecuații b). Sunt aceste ecuații echivalente?

(Nu, ecuația este o consecință a ecuației).

Ca urmare a ce transformare ai obtinut?

(Am înlocuit partea stângă a ecuației cu o expresie identică).

Ce s-a întâmplat cu ecuația odz?

(ODZ extins).

Ca urmare a extinderii ODZ, am obținut o ecuație a consecinței și o rădăcină străină
pentru ecuație. Aceasta înseamnă că extinderea ecuației ODZ poate duce la apariția rădăcinilor străine. Pentru ambele cazuri a) și b), formulați enunțul în formă generală. (Elevii formulează, profesorul corectează).

(Lăsați o ecuație
, expresie
înlocuit cu expresia identică
. Dacă o astfel de transformare nu modifică ecuația ODZ, atunci trecem la ecuația echivalentă
. Dacă ODZ se extinde, atunci ecuația este o consecință a ecuației ).

Această afirmație este o teoremă de transformare care duce la ecuații echivalente sau ecuații corolare.

Teorema 1.,
a) ODZnu se schimba	b) ODZ se extinde

Acceptăm această teoremă fără dovezi. Următoarea sarcină. Sunt prezentate trei ecuații și rădăcinile lor.

Sarcina 2. Următoarele ecuații sunt echivalente? Denumiți transformarea, în urma căreia prima ecuație este înlocuită cu a doua ecuație, a treia ecuație.

Care dintre următoarele ecuații sunt echivalente?

(Numai ecuații și ).

Ce transformări au fost efectuate pentru a trece de la ecuație la ecuație, ?

(La ambele părți ale ecuației, în primul caz, am adăugat
, în al doilea caz am adăugat
).

Adică, în fiecare caz, a fost adăugată o funcție
. Comparați domeniul funcției din ecuație cu ecuația ODZ.

(Funcţie
definit pe ecuația ODZ).

Ce ecuație a fost obținută prin adăugarea funcției de ambele părți ale ecuației?

(Obținem o ecuație echivalentă).

Ce s-a întâmplat cu ecuația ODZ în comparație cu ecuația ODZ?

(S-a restrâns din cauza funcției
).

Ce ai primit in acest caz? Va fi ecuația echivalentă cu ecuația sau - corolarul ecuației pentru ecuație?

(Nu, nu ambele).

Luând în considerare două cazuri de transformare a ecuației, care sunt prezentate în sarcina 2, încercați să trageți o concluzie.

(Dacă adăugăm la ambele părți ale ecuației funcția definită pe ODZ a acestei ecuații, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată).

Într-adevăr, această afirmație este o teoremă.

Teorema2. , - definit	pe ecuația odz

Dar am folosit o afirmație similară cu teorema formulată atunci când rezolvăm ecuații. Cum sună?

(Același număr poate fi adăugat la ambele părți ale ecuației.)

Această proprietate este un caz particular al teoremei 2 când
.

Sarcina 3. Următoarele ecuații sunt echivalente? Denumiți transformarea, în urma căreia prima ecuație este înlocuită cu a doua ecuație, a treia ecuație.

Care dintre ecuațiile din sarcina 3 sunt echivalente?

(Ecuații și ).

Ca rezultat al transformării din ecuație sunt ecuațiile , ?

(Ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu
și obțineți ecuația. Pentru a obține ecuația, ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu
).

Ce condiție trebuie să îndeplinească funcția pentru ca prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu , să se obțină o ecuație echivalentă cu?

(Funcția trebuie definită pe întreaga ODZ a ecuației).

Au mai fost efectuate astfel de transformări pe ecuații?

(Efectuat, ambele părți ale ecuației au fost înmulțite cu un alt număr decât zero).

Aceasta înseamnă că trebuie completată condiția impusă funcției.

(Funcția nu trebuie să ajungă la zero pentru niciunul din ecuația ODZ).

Deci, scriem sub formă simbolică o declarație care ne permite să trecem de la o ecuație dată la una echivalentă. (Profesorul, sub dictarea elevilor, notează Teorema 3).

Teorema 3. - definit pe tot parcursul ODZ pentru oricare dintre ODZ

Să demonstrăm teorema. Ce înseamnă că două ecuații sunt echivalente?

(Trebuie să arătăm că toate rădăcinile primei ecuații sunt rădăcinile celei de-a doua ecuații și invers, adică a doua ecuație este o consecință a primei și prima ecuație este o consecință a celei de-a doua).

Să demonstrăm că este o consecință a ecuației. Lăsa - rădăcina ecuației, ce înseamnă?

(Când înlocuim, obținem egalitatea numerică corectă
).

La un moment dat, funcția este definită și nu dispare. Ce inseamna asta?

(Număr
. Prin urmare, egalitatea numerică poate fi înmulțită cu
. Obținem egalitatea numerică corectă).

Ce înseamnă această egalitate?

( - rădăcina ecuației. Aceasta a arătat că ecuația este o ecuație-consecință pentru ecuație).

Să demonstrăm că este o consecință a ecuației. (Elevii lucrează independent, apoi după discuție, profesorul scrie pe tablă partea a doua a probei).

Sarcina 4. Sunt ecuațiile fiecărui grup (a, b) echivalente? Denumiți transformarea, în urma căreia prima ecuație a grupului este înlocuită cu a doua.

A)
b)

Sunt ecuațiile și?

(Echivalent).

Ca urmare a ce transformare din se poate obtine?

(Ridicam ambele laturi ale ecuatiei la un cub).

Din partea dreaptă și stângă a ecuației, puteți lua funcția
. Pe ce set este definită funcția?
?

(În partea comună a seturilor de valori ale funcției
și
).

Descrieți grupul de ecuații de la litera b)?

(Nu sunt echivalente, este o consecință, funcția a fost aplicată ecuației
și trecută la ecuația , funcția este definită pe partea comună a mulțimilor de valori ale funcției
și
).

Care este diferența dintre proprietățile funcțiilor din grupul a) și b)?

(În primul caz, funcția este monotonă, dar nu în al doilea).

Să formulăm următoarea afirmație. (Profesorul, sub dictarea elevilor, notează teorema).

Teorema 4. - este definită pe partea comună a seturilor de valori ale funcției și
A) - monoton	b) - nu monoton

Să discutăm cum va „funcționa” această teoremă atunci când rezolvăm următoarele ecuații.

Exemplu. rezolva ecuatia

1)
; 2)
.

Care funcție este aplicabilă ambelor părți ale ecuației 1)?

(Să ridicăm ambele părți ale ecuației la un cub, adică să aplicăm funcția).

(Această funcție este definită în partea comună a seturilor de valori ale funcțiilor din partea stângă și dreaptă a ecuației; este monotonă).

Deci, ridicând ambele părți ale ecuației inițiale la un cub, ce ecuație vom obține?

(Echivalent cu acesta).

Care funcție este aplicabilă ambelor părți ale ecuației 2)?

(Să ridicăm ambele părți ale ecuației la a patra putere, adică să aplicăm funcția
).

Enumerați proprietățile acestei funcții necesare pentru aplicarea teoremei 4.

(Această funcție este definită în partea comună a seturilor de valori ale funcțiilor din partea stângă și dreaptă a ecuației; nu este monotonă).

Ce ecuație, în raport cu cea originală, vom obține prin ridicarea acestei ecuații la puterea a patra?

(Ecuația consecințelor).

Setul de rădăcini ale ecuației inițiale și setul de rădăcini ale ecuației rezultate vor diferi?

(Pot apărea rădăcini externe. Deci, este necesară o verificare).

Rezolvați aceste ecuații acasă.

III . Parte reflecto-evaluative.

Astăzi am „descoperit” împreună patru teoreme. Privește-le din nou și spune ce ecuații spun.

(Despre ecuațiile echivalente și corolarul ecuației).

Să scriem subiectul lecției. Să revenim la ecuația care a fost luată în considerare la începutul conversației de astăzi. Care dintre teoremele 1-4 au fost aplicate la trecerea de la o ecuație la alta? (Elevii împreună cu profesorul află ce teoremă a funcționat la fiecare pas, profesorul notează pe diagramă numărul teoremei).

T.2 T.2 T.1 T.4 T.2 T.4

Ce nou ai învățat la lecția de astăzi?

(Conceptele de ecuații echivalente, ecuații corolare, teoreme privind echivalența ecuațiilor).

Ce sarcină ne-am stabilit la începutul lecției?

(Selectați transformări care nu modifică setul de rădăcini ale ecuației, transformări care duc la achiziționarea și pierderea rădăcinilor).

Am rezolvat-o complet?

Am rezolvat parțial problema, vom continua studiul ei în lecțiile următoare când rezolvăm noi tipuri de ecuații.

Folosind conceptul de ecuații echivalente, nou pentru noi, reformulați prima parte a sarcinii „de a selecta transformări care nu modifică setul de rădăcini ale ecuației”.

(Cum să știi dacă trecerea de la o ecuație la alta este o transformare echivalentă).

Ce vă va ajuta să răspundeți la această întrebare?

(Teoreme privind echivalența ecuațiilor).

Și s-au aplicat astăzi transformări care să ducă la dobândirea de rădăcini străine?

(Aplicat, aceasta este pătrarea ambelor părți ale ecuației; utilizarea formulelor, ale căror părți din stânga și din dreapta au sens pentru diferite valori ale literelor incluse în ele).

Există și alte motive „specifice” care duc atât la apariția, cât și la pierderea rădăcinilor ecuației, am vorbit despre unele dintre ele. Dar există și acelea care, de regulă, sunt asociate cu o anumită clasă de ecuații și despre asta vom vorbi mai târziu.

Să scriem temele:

cunoașteți definițiile ecuațiilor echivalente, ecuațiilor corolare;

cunoașteți formulările teoremelor 1-4;

efectuați, prin analogie cu demonstrația teoremei 3, demonstrarea teoremelor 1 și 2;

4) Nr. 139(4,6), 141(2) - aflați dacă ecuațiile sunt echivalente; rezolvarea ecuațiilor; .

Înregistrări în caiet

Ecuații echivalente. Ecuație-consecință.

Definiția 1. Ecuațiile și se spune că sunt echivalente dacă mulțimile rădăcinilor lor coincid.

Definiția 2. O ecuație se numește o consecință a unei ecuații dacă fiecare rădăcină a ecuației este o rădăcină a ecuației. înlocuit cu o expresie identică.

Exemplu.rezolva ecuatia

Să fie date două ecuații

Dacă fiecare rădăcină a ecuației (1) este și o rădăcină a ecuației (2), atunci ecuația (2) se numește o consecință a ecuației (1). Rețineți că echivalența ecuațiilor înseamnă că fiecare dintre ecuații este o consecință a celeilalte.

În procesul de rezolvare a unei ecuații, este adesea necesară aplicarea unor astfel de transformări care conduc la o ecuație care este o consecință a celei originale. Ecuația consecinței este satisfăcută de toate rădăcinile ecuației inițiale, dar, pe lângă acestea, ecuația consecinței poate avea și soluții care nu sunt rădăcinile ecuației originale, acestea fiind așa-numitele rădăcini străine. Pentru a identifica și elimina rădăcinile străine, de obicei fac acest lucru: toate rădăcinile găsite ale ecuației consecințelor sunt verificate prin înlocuire în ecuația originală.

Dacă, atunci când rezolvăm o ecuație, am înlocuit-o cu o ecuație de consecință, atunci verificarea de mai sus este parte integrantă a rezolvării ecuației. Prin urmare, este important să știm sub ce transformări intră această ecuație în corolar.

Luați în considerare ecuația

și înmulțiți ambele părți cu aceeași expresie care are sens pentru toate valorile lui x. Obținem ecuația

ale căror rădăcini sunt atât rădăcinile ecuației (3) cât și rădăcinile ecuației . Prin urmare, ecuația (4) este o consecință a ecuației (3). Este clar că ecuațiile (3) și (4) sunt echivalente dacă ecuația „din exterior” nu are rădăcini.

Deci, dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu o expresie care are sens pentru orice valoare a lui x, atunci obținem o ecuație care este o consecință a celei originale. Ecuația rezultată va fi echivalentă cu cea originală dacă ecuația nu are rădăcini. Rețineți că transformarea inversă, adică trecerea de la ecuația (4) la ecuația (3) prin împărțirea ambelor părți ale ecuației (4) la expresia, de regulă, este inacceptabilă, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor (în în acest caz, ei pot „pierde” rădăcinile ecuației. De exemplu, o ecuație are două rădăcini: 3 și 4. Împărțirea ambelor părți ale ecuației la duce la o ecuație care are o singură rădăcină 4, adică rădăcina s-a pierdut .

Din nou, luați ecuația (3) și pătrați ambele părți. Obținem ecuația

ale căror rădăcini sunt atât rădăcinile ecuației (3) cât și rădăcinile ecuației „exterior”, adică ecuația este o consecință a ecuației (3).

Poate duce la apariția așa-numitelor rădăcini străine. În acest articol, vom analiza mai întâi în detaliu ce este rădăcini străine. În al doilea rând, să vorbim despre motivele apariției lor. Și în al treilea rând, folosind exemple, vom lua în considerare principalele modalități de a sorta rădăcinile străine, adică verificăm rădăcinile pentru prezența unora străine printre ele pentru a le exclude din răspuns.

Rădăcini străine ale ecuației, definiție, exemple

Manualele școlare de algebră nu definesc o rădăcină străină. Acolo, ideea unei rădăcini străine se formează prin descrierea următoarei situații: cu ajutorul unor transformări ale ecuației, se realizează trecerea de la ecuația originală la ecuația-consecință, rădăcinile ecuației rezultate- consecințele sunt găsite, iar rădăcinile găsite sunt verificate prin substituție în ecuația originală, ceea ce arată că unele dintre rădăcinile găsite nu sunt rădăcinile ecuației originale, aceste rădăcini sunt numite rădăcini străine pentru ecuația originală.

Pe baza acestei baze, puteți lua pentru dvs. următoarea definiție a unei rădăcini străine:

Definiție

rădăcini străine sunt rădăcinile ecuației-consecință obținute ca urmare a transformărilor, care nu sunt rădăcinile ecuației inițiale.

Să luăm un exemplu. Se consideră ecuația și corolarul acestei ecuații x·(x−1)=0 , obținute prin înlocuirea expresiei cu expresia x·(x−1) care este identic egală cu aceasta. Ecuația originală are o singură rădăcină 1 . Ecuația obținută în urma transformării are două rădăcini 0 și 1 . Deci 0 este o rădăcină străină pentru ecuația originală.

Cauzele posibilei apariții a rădăcinilor străine

Dacă nu sunt utilizate transformări „exotice” pentru a obține ecuația consecințelor, ci sunt folosite doar transformări de bază ale ecuațiilor, atunci rădăcinile străine pot apărea numai din două motive:

• datorită extinderii ODZ şi
• deoarece ambele părți ale ecuației sunt ridicate la aceeași putere pară.

Aici merită amintit că extinderea ODZ ca urmare a transformării ecuației are loc în principal

• La reducerea fracțiilor;
• Când înlocuiți un produs cu unul sau mai mulți factori zero cu zero;
• Când înlocuiți zero cu o fracție cu numărător zero;
• Când se folosesc unele proprietăți ale puterilor, rădăcinilor, logaritmilor;
• La folosirea unor formule trigonometrice;
• La înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu aceeași expresie, care dispare pe ODZ pentru această ecuație;
• Când este eliberat în procesul de rezolvare a semnelor logaritmilor.

Exemplul din paragraful anterior al articolului ilustrează apariția unei rădăcini străine din cauza expansiunii ODZ, care are loc la trecerea de la ecuație la ecuația corolară x·(x−1)=0 . ODZ pentru ecuația originală este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția zero, ODZ pentru ecuația rezultată este mulțimea R, adică ODZ este extinsă cu numărul zero. Acest număr se dovedește în cele din urmă a fi o rădăcină străină.

Vom da, de asemenea, un exemplu de apariție a unei rădăcini străine datorită ridicării ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pare. Ecuația irațională are o singură rădăcină 4, iar consecința acestei ecuații, obținută din ea prin punerea la pătrat a ambelor părți ale ecuației, adică ecuația , are două rădăcini 1 și 4 . Din aceasta se poate observa că pătrarea ambelor părți ale ecuației a condus la apariția unei rădăcini străine pentru ecuația originală.

Rețineți că extinderea ODZ și ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere uniformă nu duce întotdeauna la apariția rădăcinilor străine. De exemplu, la trecerea de la ecuație la ecuația corolară x=2, ODZ se extinde de la mulțimea tuturor numerelor nenegative la mulțimea tuturor numerelor reale, dar rădăcinile străine nu apar. 2 este singura rădăcină a primei și a doua ecuații. De asemenea, nu există apariția de rădăcini străine în timpul trecerii de la ecuație la ecuația-consecință. Singura rădăcină a primei și a doua ecuații este x=16 . De aceea nu vorbim despre cauzele apariției rădăcinilor străine, ci despre motivele posibilei apariții a rădăcinilor străine.

Ce înseamnă îndepărtarea rădăcinilor străine?

Termenul „eliminarea rădăcinilor străine” poate fi numit doar termen bine stabilit, nu se găsește în toate manualele de algebră, dar este intuitiv, motiv pentru care este folosit de obicei. Ceea ce se înțelege prin cernerea rădăcinilor străine devine clar din următoarea frază: „... verificarea este un pas obligatoriu în rezolvarea ecuației, care va ajuta la detectarea rădăcinilor străine, dacă există, și la eliminarea lor (de obicei se spune „elimină buruienile ”)” .

În acest fel,

Definiție

Îndepărtarea rădăcinilor străine este detectarea și respingerea rădăcinilor străine.

Acum puteți trece la modalități de a îndepărta rădăcinile străine.

Metode de îndepărtare a rădăcinilor străine

Verificarea înlocuirii

Principala modalitate de a îndepărta rădăcinile străine este verificarea înlocuirii. Vă permite să îndepărtați rădăcinile străine care ar putea apărea din cauza expansiunii ODZ și datorită ridicării ambelor părți ale ecuației la aceeași putere uniformă.

Verificarea substituției este următoarea: rădăcinile găsite ale ecuației consecințelor sunt înlocuite la rândul lor în ecuația originală sau în orice ecuație echivalentă cu aceasta, cele care dau egalitatea numerică corectă sunt rădăcinile ecuației inițiale, iar cele care dau un egalitatea numerică sau expresia incorectă, lipsite de sens sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

Să folosim un exemplu pentru a arăta cum rădăcinile străine sunt eliminate prin înlocuire în ecuația originală.

În unele cazuri, îndepărtarea rădăcinilor străine este mai potrivită pentru a fi efectuată în alte moduri. Acest lucru se aplică în principal acelor cazuri în care verificarea substituției este asociată cu dificultăți de calcul semnificative sau când modalitatea standard de rezolvare a ecuațiilor de un anumit tip implică o verificare diferită (de exemplu, separarea rădăcinilor străine atunci când rezolvarea ecuațiilor fracționale-raționale se realizează conform cu condiția ca numitorul fracției să nu fie egal cu zero ). Să analizăm modalități alternative de a elimina rădăcinile străine.

Potrivit ODZ

Spre deosebire de verificarea înlocuirii, eliminarea rădăcinilor străine prin ODZ nu este întotdeauna adecvată. Faptul este că această metodă vă permite să filtrați numai rădăcinile străine care apar din cauza expansiunii ODZ și nu garantează eliminarea rădăcinilor străine care ar putea apărea din alte motive, de exemplu, datorită ridicării ambelor părți ale ecuația la aceeași putere pară . Mai mult, nu este întotdeauna ușor să găsiți ODZ pentru ecuația care se rezolvă. Cu toate acestea, metoda de separare a rădăcinilor străine prin ODZ ar trebui menținută în funcțiune, deoarece utilizarea sa necesită adesea mai puțină muncă de calcul decât utilizarea altor metode.

Cernerea rădăcinilor străine conform ODZ se efectuează după cum urmează: toate rădăcinile găsite ale ecuației consecințelor sunt verificate pentru a aparține regiunii valorilor admisibile ale variabilei pentru ecuația inițială sau orice ecuație echivalentă acesteia, cele care aparțin ODZ sunt rădăcinile ecuației originale, iar cele dintre ele care nu aparțin ODZ sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

O analiză a informațiilor furnizate duce la concluzia că este recomandabil să se elimine rădăcinile străine conform ODZ dacă în același timp:

• este ușor să găsiți ODZ pentru ecuația originală,
• rădăcinile străine ar putea apărea numai datorită extinderii ODZ,
• verificarea substituției este asociată cu dificultăți de calcul semnificative.

Vom arăta cum se realizează în practică îndepărtarea rădăcinilor străine.

În condițiile ODZ

După cum am spus în paragraful anterior, dacă rădăcinile străine pot apărea numai din cauza expansiunii ODZ, atunci ele pot fi filtrate conform ODZ pentru ecuația originală. Dar nu este întotdeauna ușor să găsiți ODZ sub forma unui set numeric. În astfel de cazuri, este posibil să se elimine rădăcinile străine nu în funcție de ODZ, ci în funcție de condițiile care determină ODZ. Să explicăm cum se realizează screening-ul rădăcinilor străine în funcție de condițiile ODZ.

Rădăcinile găsite sunt înlocuite la rândul lor în condițiile care determină ODZ pentru ecuația originală sau orice ecuație echivalentă cu aceasta. Acele dintre ele care îndeplinesc toate condițiile sunt rădăcinile ecuației. Iar acelea dintre ele care nu satisfac cel puțin o condiție sau dau o expresie care nu are sens sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

Să dăm un exemplu de eliminare a rădăcinilor străine în funcție de condițiile ODZ.

Eliminarea rădăcinilor străine care decurg din ridicarea ambelor părți ale ecuației la o putere egală

Este clar că îndepărtarea rădăcinilor străine care decurg din ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pară se poate face prin înlocuirea în ecuația originală sau în orice ecuație echivalentă cu aceasta. Dar o astfel de verificare poate fi asociată cu dificultăți de calcul semnificative. În acest caz, merită să cunoaștem o modalitate alternativă de a îndepărta rădăcinile străine, despre care vom vorbi acum.

Eliminarea rădăcinilor străine care pot apărea atunci când ambele părți ale ecuațiilor iraționale ale formei sunt ridicate la aceeași putere uniformă , unde n este un număr par, poate fi efectuat conform condiției g(x)≥0 . Aceasta rezultă din definiția unei rădăcini pare: o rădăcină pare n este un număr nenegativ a cărui putere a n-a este egală cu numărul rădăcinii, de unde . Astfel, abordarea vocală este un fel de simbioză a metodei de ridicare a ambelor părți ale ecuației în același grad și a metodei de rezolvare a ecuațiilor iraționale prin determinarea rădăcinii. Adică ecuația , unde n este un număr par, se rezolvă prin ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pară, iar separarea rădăcinilor străine se realizează conform condiției g(x)≥0 luată din metoda de rezolvare a ecuațiilor iraționale pentru a determina radacina.

În prezentare, vom continua să luăm în considerare ecuații echivalente, teoreme și să ne oprim mai detaliat asupra etapelor rezolvării unor astfel de ecuații.

Mai întâi, să ne amintim condiția în care una dintre ecuații este o consecință a celeilalte (diapozitivul 1). Autorul citează încă o dată câteva teoreme asupra ecuațiilor echivalente care au fost luate în considerare mai devreme: despre înmulțirea părților unei ecuații cu aceeași valoare h (x); ridicarea părților ecuației la aceeași putere pară; obținând o ecuație echivalentă din ecuația log a f (x) = log a g (x).

Pe al 5-lea slide al prezentării sunt evidențiate etapele principale, cu ajutorul cărora este convenabil să rezolvi ecuații echivalente:

Găsiți soluții pentru o ecuație echivalentă;

Analizează soluții;

Verifica.

Luați în considerare exemplul 1. Este necesar să găsiți o consecință a ecuației x - 3 = 2. Aflați rădăcina ecuației x = 5. Scrieți ecuația echivalentă (x - 3)(x - 6) = 2(x - 6) ), aplicând metoda înmulțirii părților ecuației cu (x - 6). Simplificand expresia la forma x 2 - 11x +30 = 0, găsim rădăcinile x 1 = 5, x 2 = 6. fiecare rădăcină a ecuației x - 3 \u003d 2 este, de asemenea, o soluție a ecuației x 2 - 11x +30 \u003d 0, apoi x 2 - 11x +30 \u003d 0 este o ecuație de consecință.

Exemplul 2. Găsiți o altă consecință a ecuației x - 3 = 2. Pentru a obține o ecuație echivalentă, folosim metoda ridicării la o putere pare. Simplificând expresia rezultată, scriem x 2 - 6x +5 = 0. Aflați rădăcinile ecuației x 1 = 5, x 2 = 1. x \u003d 5 (rădăcina ecuației x - 3 \u003d 2) este, de asemenea, o soluție a ecuației x 2 - 6x +5 \u003d 0, atunci ecuația x 2 - 6x +5 \u003d 0 este, de asemenea, o consecință. ecuaţie.

Exemplul 3. Este necesar să se găsească o consecință a ecuației log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1.

Să înlocuim în ecuație 1 = log 3 3. Apoi, aplicând afirmația din teorema 6, scriem ecuația echivalentă (x + 1)(x +3) = 3. Simplificand expresia, obținem x 2 + 4x = 0, unde rădăcinile sunt x 1 = 0, x 2 = - 4. Deci ecuația x 2 + 4x = 0 este o consecință pentru ecuația dată log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .

Deci, putem concluziona: dacă domeniul de definire al ecuației este extins, atunci se obține o ecuație-consecință. Evidențiem acțiunile standard în găsirea ecuației-consecință:

Scaparea de numitorii care contin variabila;

Ridicarea părților ecuației la aceeași putere pară;

Scutirea de semne logaritmice.

Dar este important de reținut: atunci când domeniul de definire al ecuației este extins în timpul soluției, este necesar să se verifice toate rădăcinile găsite - dacă vor cădea în ODZ.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația prezentată pe diapozitivul 12. Mai întâi, găsiți rădăcinile ecuației echivalente x 1 \u003d 5, x 2 \u003d - 2 (prima etapă). Este imperativ să verificați rădăcinile (a doua etapă). Verificarea rădăcinilor (a treia etapă): x 1 \u003d 5 nu aparține intervalului de valori permise \u200b\u200al ecuației date, prin urmare, ecuația are o singură soluție doar x \u003d - 2.

În exemplul 5, rădăcina găsită a ecuației echivalente nu este inclusă în ODZ a ecuației date. În exemplul 6, valoarea uneia dintre cele două rădăcini găsite nu este definită, deci această rădăcină nu este o soluție a ecuației inițiale.