Semn de limită Raabe cu dovadă. Serii numerice de complexitate crescută

Să luăm în criteriul lui Kummer ca serie divergentă (12.1) seria armonică

În acest caz avem

Criteriul de convergenţă obţinut poate fi formulat astfel.

Teoremă (testul de convergență Raabe). Rând

converge dacă există astfel încât

Această serie diverge dacă, pornind de la unii

Forma limită a semnului Raabe este următoarea:

atunci seria (12.9) converge, iar dacă

apoi diverge.

Testul de convergență Raabe este mult mai sensibil decât testul similar de convergență d'Alembert. Într-adevăr, unde testul d'Alembert, luat în forma sa limitativă, stabilește convergența seriei (12.9):

acolo Raabe dă un semn.

În mod similar, pentru o serie a cărei divergență este indicată de testul d'Alembert, conform testului Raabe,

1. Luați în considerare seria

Iată, astfel încât pentru fiecare x specific

iar aplicarea semnului lui d'Alembert este ineficientă aici. Semnul lui Raabe dă

Aceasta arată că seria luată în considerare converge la și diverge la la . Observăm în treacăt că la , seria (12.10) se transformă într-una armonică, care, după cum se știe, diverge. Faptul că criteriul Raabe în forma sa inițială (nelimitativă) stabilește divergența seriei armonice nu poate fi considerat un rezultat independent, întrucât pe această divergență se întemeiază afirmația care constituie criteriul Raabe.

Compuneți raportul dintre membrii vecini ai acestei serii:

Vom extinde logaritmii și rădăcinile pătrate din dreapta în conformitate cu formula Taylor în puteri. În acest exemplu și în următoarele exemple, vom folosi teste limită pentru convergență. Aceasta înseamnă că va trebui să creștem valoarea variabilei la nesfârșit.De aceea, fiecare grad următor va fi o creștere într-un ordin infinitezimal superior față de cele precedente. Renunțând la toate gradele, începând cu unul anume, vom face o eroare care va fi mică nu numai în mod absolut, ci și în comparație cu ultimul dintre termenii reținuți. Această eroare relativă va fi cu cât mai mică, cu atât valoarea este mai mare și dispare în limită cu o creștere nelimitată în . În funcție de acuratețea necesară a raționamentului, vom reține unul sau altul număr de termeni în formulele Taylor pentru funcțiile corespunzătoare. În plus, vom conecta cu un semn expresii care diferă unele de altele prin valori care sunt mici în comparație cu acuratețea dată de termenii reținuți și scrisi.

În primul rând, ne limităm la termeni de logaritmi și rădăcini care conțin într-un grad nu mai mare decât primul. Noi vom avea

În consecință, nici aici criteriul de convergență al lui d'Alembert nu ne poate da niciun răspuns.

Rând texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \sum_(n=1)^\infty a_n converge dacă pentru suficient de mare Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc inegalitatea

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): R_n=n\left(\frac(a_n)(a_(n+1))-1\right)\geqslant r,

Unde Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): r>1 .

Dacă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): R_n< 1 , pornind de la unii Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): n, apoi rândul Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): a_n diverge.

Formulare sub formă limită

Cometariu.În cazul în care un Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): R=1, atunci criteriul Raabe nu răspunde la întrebarea despre convergența seriei.

Dovada

Dovada se bazează pe utilizarea unui criteriu de comparație generalizată în comparație cu o serie armonică generalizată

Vezi si

  • Testul de convergență d'Alembert este un test similar bazat pe raportul termenilor vecini.

Scrieți o recenzie despre articolul „Semnul lui Raabe”

Literatură

  • Arkhipov, G. I., Sadovnichiy, V. A., Chubarikov, V. N. Prelegeri de analiză matematică: Manual de universități și ped. universități / Ed. V. A. Sadovnichy. - M .: Şcoala superioară, 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4..
  • - articol din Enciclopedia Matematică

Legături

  • Weisstein, Eric W.(engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld.

Metode standard, dar a ajuns într-o fundătură cu un alt exemplu.

Care este dificultatea și unde poate fi o problemă? Să lăsăm deoparte frânghia cu săpun, să analizăm cu calm motivele și să ne familiarizăm cu metodele practice de soluție.

Primul și cel mai important: în majoritatea covârșitoare a cazurilor, pentru a studia convergența unei serii, este necesar să se aplice o metodă familiară, dar termenul comun al seriei este plin de umplutură atât de complicată încât nu este deloc evident ce să faci cu ea . Și te învârți în cercuri: primul semn nu funcționează, al doilea nu funcționează, a treia, a patra, a cincea metodă nu funcționează, apoi curenții sunt aruncați deoparte și totul începe din nou. Acest lucru se datorează, de obicei, lipsei de experiență sau lipsurilor în alte secțiuni ale calculului. În special, dacă alergi limitele secvențeiși dezasamblat superficial limitele funcției, atunci va fi dificil.

Cu alte cuvinte, o persoană pur și simplu nu vede soluția necesară din cauza lipsei de cunoștințe sau experiență.

Uneori, de vină este și „eclipsa”, atunci când, de exemplu, criteriul necesar pentru convergența unei serii pur și simplu nu este îndeplinit, dar din cauza ignoranței, neatenției sau neglijenței, acest lucru scapă din vedere. Și se dovedește ca în acea bicicletă în care profesorul de matematică a rezolvat o problemă a copiilor cu ajutorul unor secvențe sălbatice recurente și serii de numere =)

În cele mai bune tradiții, exemple vii imediat: rânduri și rudele lor - diverg, deoarece în teorie se dovedește limitele secvenței. Cel mai probabil, în primul semestru vei fi bătut din suflet pentru o dovadă de 1-2-3 pagini, dar deocamdată este suficient să arăți că nu este îndeplinită condiția necesară pentru convergența seriei, referindu-se. la fapte cunoscute. Faimos? Dacă studentul nu știe că rădăcina gradului al n-lea este un lucru extrem de puternic, atunci, să zicem, seria pune-l într-o rută. Deși soluția este ca două și două: , i.e. din motive evidente, ambele serii diferă. Un comentariu modest „aceste limite au fost dovedite în teorie” (sau chiar absența lui) este destul de suficient pentru compensare, la urma urmei, calculele sunt destul de grele și cu siguranță nu aparțin secțiunii seriilor numerice.

Și după ce ai studiat următoarele exemple, vei fi doar surprins de concizia și transparența multor soluții:

Exemplul 1

Investigați convergența unei serii

Decizie: in primul rand verificati executia criteriul necesar pentru convergenţă. Aceasta nu este o formalitate, ci o mare șansă de a face față exemplului „mică vărsare de sânge”.

„Inspecția scenei” sugerează o serie divergentă (cazul unei serii armonice generalizate), dar din nou se pune întrebarea, cum să luăm în considerare logaritmul în numărător?

Exemple aproximative de sarcini la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit când trebuie să efectuați un raționament în două sensuri (sau chiar în trei):

Exemplul 6

Investigați convergența unei serii

Decizie: mai întâi, tratați-vă cu atenție galimatismul numărătorului. Secvența este limitată: . Apoi:

Să comparăm seria noastră cu seria . În virtutea dublei inegalități tocmai obținute, pentru toate „en” va fi adevărat:

Acum să comparăm seria cu seria armonică divergentă.

Numitorul fracției mai mici numitorul fracției, deci fracția în sine – Mai mult fracții (notați primii termeni, dacă nu sunt clari). Astfel, pentru orice „ro”:

Deci, prin comparație, serialul divergeîmpreună cu seria armonică.

Dacă schimbăm puțin numitorul: , atunci prima parte a raționamentului va fi similară: . Dar pentru a demonstra divergența seriei, doar testul limită de comparație este deja aplicabil, deoarece inegalitatea este falsă.

Situația cu serii convergente este „oglindă”, adică, de exemplu, pentru o serie se pot folosi ambele criterii de comparație (inegalitatea este adevărată), iar pentru o serie, doar criteriul limitativ (inegalitatea este falsă).

Ne continuăm safariul prin sălbăticie, unde o turmă de antilope grațioase și suculente se profilează la orizont:

Exemplul 7

Investigați convergența unei serii

Decizie: este îndeplinit criteriul de convergență necesar și ne punem din nou întrebarea clasică: ce să facem? În fața noastră este ceva asemănător cu o serie convergentă, cu toate acestea, nu există o regulă clară aici - astfel de asociații sunt adesea înșelătoare.

Deseori, dar nu de data aceasta. Prin intermediul Criteriul de comparare limită Să comparăm seria noastră cu seria convergentă. Când calculăm limita, folosim limita minunata , unde ca infinitezimal standuri:

convergeîmpreună cu lângă .

În loc să se folosească tehnica artificială standard de înmulțire și împărțire cu „trei”, a fost posibil să se compare inițial cu o serie convergentă.
Dar aici este de dorit o avertizare că multiplicatorul constant al termenului general nu afectează convergența seriei. Și tocmai în acest stil este concepută soluția următorului exemplu:

Exemplul 8

Investigați convergența unei serii

Exemplu la sfârșitul lecției.

Exemplul 9

Investigați convergența unei serii

Decizie: în exemplele anterioare, am folosit mărginirea sinusului, dar acum această proprietate este în afara jocului. Numitorul unei fracții de o mai mare ordinea de creștere decât numărătorul, deci când argumentul sinusului și întregul termen comun infinit de mici. Condiția necesară pentru convergență, după cum înțelegeți, este îndeplinită, ceea ce nu ne permite să ne sustragem de la muncă.

Vom efectua recunoașteri: în conformitate cu echivalență remarcabilă , aruncați mental sinusul și obțineți o serie. Pai asa ceva....

Luarea unei decizii:

Să comparăm seria studiată cu seria divergentă. Folosim criteriul de comparare a limitelor:

Să înlocuim infinitezimalul cu unul echivalent: pentru .

Se obține un număr finit, altul decât zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu seria armonică.

Exemplul 10

Investigați convergența unei serii

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Pentru planificarea acțiunilor ulterioare în astfel de exemple, respingerea mentală a sinusului, arcsinusului, tangentei, arctangentei ajută foarte mult. Dar amintiți-vă, această posibilitate există doar atunci când infinitezimal argument, nu cu mult timp în urmă am dat peste o serie provocatoare:

Exemplul 11

Investigați convergența unei serii
.

Decizie: este inutil să folosiți aici limitarea arc-tangentei și nici echivalența nu funcționează. Ieșirea este surprinzător de simplă:


Seria de studii diverge, întrucât nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei.

Al doilea motiv„Gag on the job” constă într-o sofisticare decentă a membrului comun, care provoacă dificultăți de natură tehnică. Aproximativ, dacă seriale discutate mai sus aparțin categoriei „figuri pe care le ghiciți”, atunci acestea aparțin categoriei „tu decizi”. De fapt, aceasta se numește complexitate în sensul „obișnuit”. Nu toată lumea va rezolva corect mai multe factoriale, grade, rădăcini și alți locuitori ai savanei. Desigur, factorialii cauzează cele mai multe probleme:

Exemplul 12

Investigați convergența unei serii

Cum să ridici un factorial la putere? Uşor. Conform regulii operațiunilor cu puteri, este necesar să se ridice fiecare factor al produsului la o putere:

Și, desigur, atenție și încă o dată atenție, semnul d'Alembert în sine funcționează în mod tradițional:

Astfel, seria în studiu converge.

Vă reamintesc de o tehnică rațională de eliminare a incertitudinii: când este clar ordinea de creștere numărător și numitor - nu este deloc necesar să suferiți și să deschideți parantezele.

Exemplul 13

Investigați convergența unei serii

Bestia este foarte rară, dar este găsită și ar fi nedrept să o ocolim cu un obiectiv de cameră.

Ce este factorial cu semn de exclamare dublu? Factorialul „desfășoară” produsul numerelor pare pozitive:

În mod similar, factorialul „termină” produsul numerelor impare pozitive:

Analizați care este diferența dintre

Exemplul 14

Investigați convergența unei serii

Și în această sarcină, încercați să nu vă confundați cu diplomele, echivalențe minunateși limite minunate.

Exemple de soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Dar elevul ajunge să hrănească nu numai tigri, ci și leoparzii vicleni își urmăresc prada:

Exemplul 15

Investigați convergența unei serii

Decizie: criteriul necesar de convergenţă, criteriul limitativ, criteriul d'Alembert şi Cauchy dispar aproape instantaneu. Dar cel mai rău dintre toate, trăsătura cu inegalități, care ne-a salvat în mod repetat, este neputincioasă. Într-adevăr, compararea cu o serie divergentă este imposibilă, deoarece inegalitatea incorect - logaritmul multiplicator crește doar numitorul, reducând fracția în sine în raport cu fracţia. Și încă o întrebare globală: de ce suntem inițial siguri că seria noastră este obligat să diverge și trebuie comparat cu unele serii divergente? Se potrivește deloc?

Caracteristica integrală? Integrală necorespunzătoare trezește o stare de jale. Acum, dacă am avea un rând … atunci da. Stop! Așa se nasc ideile. Luăm o decizie în doi pași:

1) În primul rând, studiem convergența seriei . Folosim caracteristică integrală:

Integrand continuu pe

Astfel, un număr diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare.

2) Comparați seria noastră cu seria divergentă . Folosim criteriul de comparare a limitelor:

Se obține un număr finit, altul decât zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu unul lângă altul .

Și nu este nimic neobișnuit sau creativ într-o astfel de decizie - așa ar trebui să fie decisă!

Propun să elaborăm în mod independent următoarele două mișcări:

Exemplul 16

Investigați convergența unei serii

Un student cu ceva experiență în cele mai multe cazuri vede imediat dacă seria converge sau diverge, dar se întâmplă ca un prădător să se deghizeze inteligent în tufișuri:

Exemplul 17

Investigați convergența unei serii

Decizie: la prima vedere, nu este deloc clar cum se comportă această serie. Și dacă avem ceață în față, atunci este logic să începem cu o verificare grosieră a condiției necesare pentru convergența seriei. Pentru a elimina incertitudinea, folosim un nescufundabil metoda înmulțirii și împărțirii prin expresie adjunctă:

Semnul necesar de convergență nu a funcționat, dar l-a scos la lumină pe tovarășul nostru de Tambov. În urma transformărilor efectuate s-a obţinut o serie echivalentă , care la rândul său seamănă puternic cu o serie convergentă .

Scriem o soluție curată:

Comparați această serie cu seria convergentă. Folosim criteriul de comparare a limitelor:

Înmulțiți și împărțiți cu expresia adjunctă:

Se obține un număr finit, altul decât zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu convergeîmpreună cu lângă .

Poate unii au o întrebare, de unde au venit lupii în safariul nostru african? Nu stiu. Probabil l-au adus. Veți obține următoarea piele de trofeu:

Exemplul 18

Investigați convergența unei serii

Un exemplu de soluție la sfârșitul lecției

Și, în sfârșit, încă un gând care vizitează mulți studenți în disperare: în loc de a folosi un criteriu mai rar pentru convergenţa seriei? Semnul lui Raabe, semnul lui Abel, semnul lui Gauss, semnul lui Dirichlet și alte animale necunoscute. Ideea funcționează, dar în exemple reale este implementată foarte rar. Personal, în toți anii de practică, am apelat doar de 2-3 ori semnul lui Raabe când nimic nu a ajutat cu adevărat din arsenalul standard. Reproduc integral cursul căutării mele extreme:

Exemplul 19

Investigați convergența unei serii

Decizie: Fără îndoială un semn al lui d'Alembert. În timpul calculelor, folosesc în mod activ proprietățile gradelor, precum și a doua limită minunată:

Iată una pentru tine. Semnul lui D'Alembert nu a dat un răspuns, deși nimic nu prefigura un asemenea rezultat.

După ce am parcurs manualul, am găsit o limită puțin cunoscută dovedită în teorie și am aplicat un criteriu Cauchy radical mai puternic:

Iată două pentru tine. Și, cel mai important, nu este deloc clar dacă seria converge sau diverge (o situație extrem de rară pentru mine). Semn necesar de comparație? Fără prea multe speranțe - chiar dacă într-un mod de neconceput îmi dau seama ordinea de creștere a numărătorului și numitorului, acest lucru tot nu garantează o recompensă.

Un d'Alembert complet, dar cel mai rău lucru este că seria trebuie rezolvată. Nevoie. La urma urmei, aceasta va fi prima dată când renunț. Și apoi mi-am amintit că păreau să fie niște semne mai puternice. Înaintea mea nu mai era un lup, nici un leopard și nici un tigru. Era un elefant uriaș fluturând o trompa mare. A trebuit să iau un lansator de grenade:

Semnul lui Raabe

Luați în considerare o serie de numere pozitive.
Dacă există o limită , apoi:
a) La un rând diverge. Mai mult, valoarea rezultată poate fi zero sau negativă.
b) La un rând converge. În special, seria converge pentru .
c) Când Semnul lui Raabe nu dă un răspuns.

Compunem limita și simplificăm cu grijă fracția:


Da, poza este, ca să spun ușor, neplăcută, dar nu m-a mai mirat. regulile spitalului, iar primul gând, după cum sa dovedit mai târziu, s-a dovedit a fi corect. Dar mai întâi, timp de aproximativ o oră, am răsucit și am răsucit limita folosind metode „obișnuite”, dar incertitudinea nu a vrut să fie eliminată. Iar mersul în cerc, după cum sugerează experiența, este un semn tipic că a fost ales o modalitate greșită de rezolvare.

A trebuit să apelez la înțelepciunea populară rusă: „Dacă nimic nu ajută, citiți instrucțiunile”. Și când am deschis volumul al 2-lea din Fichtenholtz, spre marea mea bucurie am găsit un studiu dintr-o serie identică. Și apoi soluția a mers după model.


Acest articol a colectat și structurat informațiile necesare pentru a rezolva aproape orice exemplu pe tema serii de numere, de la găsirea sumei unei serii până la examinarea convergenței acesteia.

Revizuirea articolului.

Să începem cu definițiile unei serii cu semn pozitiv, semn alternant și conceptul de convergență. Apoi, luați în considerare seria standard, cum ar fi o serie armonică, o serie armonică generalizată și amintiți-vă formula pentru găsirea sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare. După aceea, ne întoarcem la proprietățile seriei convergente, ne oprim asupra condiției necesare pentru convergența seriei și stabilim suficiente criterii pentru convergența seriei. Vom dilua teoria rezolvând exemple tipice cu explicații detaliate.

Navigare în pagină.

Definiții și concepte de bază.

Să avem o secvență numerică , unde .

Iată un exemplu de succesiune numerică: .

Seria de numere este suma membrilor unei succesiuni numerice de forma .

Ca exemplu de serie de numere, putem da suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu numitorul q = -0,5: .

sunt numite membru comun al seriei de numere sau al k-lea membru al seriei.

Pentru exemplul anterior, termenul comun al seriei de numere este .

Suma parțială a unei serii de numere este o sumă de forma , unde n este un număr natural. numită și a n-a sumă parțială a seriei de numere.

De exemplu, a patra sumă parțială a seriei există .

Sume parțiale formează o succesiune infinită de sume parțiale ale unei serii de numere.

Pentru seria noastră, a n-a sumă parțială se găsește prin formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice , adică vom avea următoarea succesiune de sume parțiale: .

Linia numerică este numită convergente, dacă există o limită finită a succesiunii de sume parțiale . Dacă limita șirului de sume parțiale ale unei serii numerice nu există sau este infinită, atunci seria se numește divergente.

Suma unei serii de numere convergente se numește limita șirului sumelor sale parțiale, adică .

În exemplul nostru, așadar, seria converge, iar suma sa este egală cu șaisprezece treimi: .

Un exemplu de serie divergentă este suma unei progresii geometrice cu un numitor mai mare decât unu: . A n-a sumă parțială este dată de , iar limita sumelor parțiale este infinită: .

Un alt exemplu de serie de numere divergente este suma formei . În acest caz, a n-a sumă parțială poate fi calculată ca . Limita sumelor parțiale este infinită .

Vedere suma numit serie de numere armonice.

Vedere suma , unde s este un număr real, se numește serie de numere armonice generalizate.

Definițiile de mai sus sunt suficiente pentru a fundamenta următoarele afirmații foarte frecvent utilizate, vă recomandăm să le amintiți.

    SERIA ARMONICĂ ESTE Divergentă.

    Să demonstrăm divergența seriei armonice.

    Să presupunem că seria converge. Apoi există o limită finită a sumelor sale parțiale. În acest caz, putem scrie și , ceea ce ne duce la egalitate .

    Pe de alta parte,

    Următoarele inegalități sunt fără îndoială. Prin urmare, . Inegalitatea rezultată ne spune că egalitatea nu poate fi realizat, ceea ce contrazice presupunerea noastră despre convergența seriei armonice.

    Concluzie: seria armonică diverge.

    SUMAREA UNEI PROGRESII GEOMETRICE A VEDERII CU UN DENOMINATOR q ESTE O SERIE NUMERICĂ CONVERGENTĂ DACĂ ȘI O SERIE DIVERGENTĂ LA .

    Să demonstrăm.

    Știm că suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice se găsește prin formula .

    Când este corect


    care indică convergenţa seriei numerice.

    Pentru q = 1 avem o serie de numere . Sumele sale parțiale se găsesc ca , iar limita sumelor parțiale este infinită , ceea ce indică divergența seriei în acest caz.

    Dacă q \u003d -1, atunci seria de numere va lua forma . Sumele parțiale iau o valoare pentru n impar și pentru n par. De aici putem concluziona că limita sumelor parțiale nu există și seria diverge.

    Când este corect


    ceea ce indică divergenţa seriei numerice.

    SERIA ARMONICĂ GENERALIZATĂ CONVERGE PENTRU s > 1 ȘI DIVERS PENTRU .

    Dovada.

    Pentru s = 1 obținem seria armonică , iar mai sus am stabilit divergența acesteia.

    La s inegalitatea este valabilă pentru toate k naturale. Datorită divergenței seriei armonice, se poate susține că succesiunea sumelor sale parțiale este nelimitată (din moment ce nu există o limită finită). Atunci succesiunea sumelor parțiale ale seriei numerice este cu atât mai nelimitată (fiecare membru al acestei serii este mai mare decât membrul corespunzător al seriei armonice), prin urmare seria armonică generalizată diverge la s.

    Rămâne de demonstrat convergența seriei pentru s > 1 .

    Să scriem diferența:

    Evident, atunci

    Să scriem inegalitatea rezultată pentru n = 2, 4, 8, 16, …

    Folosind aceste rezultate, pot fi efectuate următoarele acțiuni cu seria numerică originală:

    Expresie este suma unei progresii geometrice al cărei numitor este . Deoarece luăm în considerare cazul pentru s > 1, atunci . Asa de
    . Astfel, succesiunea de sume parțiale ale seriei armonice generalizate pentru s > 1 este crescătoare și în același timp mărginită de sus de valoarea , prin urmare, are o limită, care indică convergența seriei . Dovada este completă.

Linia numerică este numită semn pozitiv dacă toți termenii săi sunt pozitivi, adică .

Linia numerică este numită alternativ dacă semnele termenilor săi vecini sunt diferite. O serie de numere alternante poate fi scrisă ca sau , Unde .

Linia numerică este numită alternativ dacă conține un număr infinit de termeni atât pozitivi, cât și negativi.

O serie de numere alternante este un caz special de serie alternantă.

ranguri

sunt semn-pozitive, semn-alternant și, respectiv, semn-alternant.

Pentru o serie alternativă, există conceptul de convergență absolută și condiționată.

absolut convergente, dacă o serie de valori absolute ale membrilor săi converge, adică o serie numerică cu semn pozitiv converge.

De exemplu, linii numerice și converg absolut, deoarece seria converge , care este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

Seria alternantă se numește convergent condiționat dacă seria diverge și seria converge.

Un exemplu de serie de numere convergente condiționat este seria . Seria de numere , compus din valorile absolute ale membrilor seriei originale, divergente, deoarece este armonică. În același timp, seria originală este convergentă, ceea ce se stabilește ușor folosind . Astfel, seria numerică alternant de semne convergent condiționat.

Proprietăţile seriilor numerice convergente.

Exemplu.

Demonstrați convergența seriei numerice.

Decizie.

Să scriem seria într-o formă diferită . Seria de numere converge, deoarece seria armonică generalizată este convergentă pentru s > 1, iar datorită celei de-a doua proprietăți a seriei de numere convergente va converge și seria cu coeficientul numeric.

Exemplu.

Converge seria de numere?

Decizie.

Să transformăm seria originală: . Astfel, am obținut suma a două serii numerice și , și fiecare dintre ele converge (vezi exemplul anterior). Prin urmare, datorită celei de-a treia proprietăți a seriei numerice convergente, seria originală converge și ea.

Exemplu.

Demonstrați convergența seriei de numere și calculează-i suma.

Decizie.

Această serie de numere poate fi reprezentată ca diferența a două serii:

Fiecare dintre aceste serii este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, prin urmare, este convergentă. A treia proprietate a seriei convergente ne permite să afirmăm că seria numerică inițială converge. Să-i calculăm suma.

Primul termen al seriei este unul, iar numitorul progresiei geometrice corespunzătoare este 0,5, prin urmare, .

Primul termen al seriei este 3, iar numitorul progresiei geometrice infinit descrescătoare corespunzătoare este 1/3, deci .

Să folosim rezultatele obținute pentru a găsi suma seriei numerice originale:

O condiție necesară pentru convergența unei serii.

Dacă seria de numere converge, atunci limita k-lea termen al său este egală cu zero: .

În studiul oricărei serii numerice pentru convergență, în primul rând, este necesar să se verifice îndeplinirea condiției necesare pentru convergență. Nerespectarea acestei condiții indică divergența seriei numerice, adică dacă , atunci seria diverge.

Pe de altă parte, trebuie să se înțeleagă că această condiție nu este suficientă. Adică îndeplinirea egalității nu indică convergența seriei numerice. De exemplu, pentru o serie armonică, condiția de convergență necesară este îndeplinită, iar seria diverge.

Exemplu.

Examinați seria de numere pentru convergență.

Decizie.

Să verificăm condiția necesară pentru convergența seriei numerice:

Limită Al-lea membru al seriei numerice nu este egal cu zero, prin urmare, seria diverge.

Condiții suficiente pentru convergența unei serii cu semne pozitive.

Atunci când utilizați suficiente funcții pentru a studia seriile numerice pentru convergență, trebuie să vă ocupați constant de , așa că vă recomandăm să consultați această secțiune în caz de dificultate.

O condiție necesară și suficientă pentru convergența unei serii de numere cu semn pozitiv.

Pentru convergența unei serii de numere semn pozitiv este necesar și suficient ca șirul sumelor sale parțiale să fie mărginit.

Să începem cu caracteristicile de comparare a seriei. Esența lor constă în compararea seriei numerice studiate cu o serie a cărei convergență sau divergență este cunoscută.

Primul, al doilea și al treilea semn de comparație.

Primul semn de comparație a rândurilor.

Fie și două serii numerice cu semn pozitiv și inegalitatea este valabilă pentru toate k = 1, 2, 3, ... Atunci convergența seriei implică convergența , iar divergența seriei implică divergența .

Primul criteriu de comparație este folosit foarte des și este un instrument foarte puternic pentru examinarea seriilor numerice pentru convergență. Problema principală este alegerea unei serii potrivite pentru comparație. Seria pentru comparație este de obicei aleasă (dar nu întotdeauna) astfel încât exponentul k-lea membru al său să fie egal cu diferența dintre exponenții numărătorului și numitorul k-lea membru al seriei numerice studiate. De exemplu, fie , diferența dintre exponenții numărătorului și numitorului este 2 - 3 = -1, prin urmare, pentru comparație, selectăm o serie cu membrul k-lea, adică o serie armonică. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplu.

Setați convergența sau divergența seriei.

Decizie.

Deoarece limita termenului comun al seriei este egală cu zero, atunci condiția necesară pentru convergența seriei este îndeplinită.

Este ușor de observat că inegalitatea este adevărată pentru toate k naturale. Știm că seria armonică diverge, prin urmare, conform primului semn de comparație, seria originală este și ea divergentă.

Exemplu.

Examinați seria de numere pentru convergență.

Decizie.

Condiția necesară pentru convergența seriei de numere este îndeplinită, întrucât . Este evident că inegalitatea pentru orice valoare naturală a lui k. Seria converge deoarece seria armonică generalizată converge pentru s > 1. Astfel, primul semn al comparației de serie ne permite să enunțăm convergența seriei numerice originale.

Exemplu.

Determinați convergența sau divergența seriei de numere.

Decizie.

, prin urmare, este îndeplinită condiția necesară pentru convergența seriei numerice. Ce rând să alegi pentru comparație? O serie numerică se sugerează, iar pentru a determina s, examinăm cu atenție șirul numeric. Termenii șirului numeric cresc spre infinit. Astfel, plecând de la un număr N (și anume, de la N = 1619 ), termenii acestei secvențe vor fi mai mari decât 2 . Pornind de la acest număr N , inegalitatea este valabilă . Seria numerică converge datorită primei proprietăți a seriei convergente, deoarece se obține dintr-o serie convergentă prin eliminarea primilor N - 1 termeni. Astfel, după primul semn de comparație, seria este convergentă, iar datorită primei proprietăți a seriei numerice convergente, seria va converge și ea.

Al doilea semn de comparație.

Fie și fie serie numerică cu semn pozitiv. Dacă , atunci convergența seriei implică convergența lui . Dacă , atunci divergența seriei numerice implică divergența lui .

Consecinţă.

Dacă și , atunci convergența unei serii implică convergența celeilalte, iar divergența implică divergența.

Examinăm seria pentru convergență folosind al doilea criteriu de comparație. Să luăm o serie convergentă ca o serie. Să găsim limita raportului dintre k-lea membri ai seriei numerice:

Astfel, conform celui de-al doilea criteriu de comparație, convergența seriei numerice implică convergența seriei originale.

Exemplu.

Investigați convergența unei serii de numere.

Decizie.

Să verificăm condiția necesară pentru convergența seriei . Condiția este îndeplinită. Pentru a aplica al doilea semn de comparație, să luăm o serie armonică. Să găsim limita raportului dintre k-lea membri:

În consecință, divergența seriei originale rezultă din divergența seriei armonice după al doilea criteriu de comparație.

Pentru informare, prezentăm al treilea criteriu de comparare a seriilor.

Al treilea semn de comparație.

Fie și fie serie numerică cu semn pozitiv. Dacă condiția este îndeplinită de la un anumit număr N, atunci convergența seriei implică convergența, iar divergența seriei implică divergența.

Semnul lui d'Alembert.

Cometariu.

Semnul lui d'Alembert este valabil dacă limita este infinită, adică dacă , atunci seria converge dacă , apoi seria diverge.

Dacă , atunci testul d'Alembert nu oferă informații despre convergența sau divergența seriei și sunt necesare cercetări suplimentare.

Exemplu.

Examinați seria de numere pentru convergență pe baza lui d'Alembert.

Decizie.

Să verificăm îndeplinirea condiției necesare pentru convergența seriei numerice, calculăm limita prin:

Condiția este îndeplinită.

Să folosim semnul lui d'Alembert:

Astfel, seria converge.

Semnul radical al lui Cauchy.

Fie o serie de numere cu semn pozitiv. Dacă , atunci seria converge, dacă , atunci seria diverge.

Cometariu.

Testul radical al lui Cauchy este valabil dacă limita este infinită, adică dacă , atunci seria converge dacă , apoi seria diverge.

Dacă , atunci testul radical Cauchy nu oferă informații despre convergența sau divergența seriei și sunt necesare cercetări suplimentare.

De obicei, este destul de ușor să vezi cazurile în care cel mai bine este să folosești testul radical Cauchy. Un caz caracteristic este atunci când termenul comun al seriei numerice este o expresie de putere exponențială. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplu.

Investigați o serie de numere cu semn pozitiv pentru convergență folosind testul radical Cauchy.

Decizie.

. Prin testul radical Cauchy, obținem .

Prin urmare, seria converge.

Exemplu.

Converge seria de numere? .

Decizie.

Să folosim testul radical Cauchy , prin urmare, seria numerelor converge.

Testul Cauchy integral.

Fie o serie de numere cu semn pozitiv. Să compunem o funcție de argument continuu y = f(x) , similară cu funcția . Fie funcția y = f(x) pozitivă, continuă și descrescătoare pe intervalul , unde ). Apoi, în caz de convergență integrală improprie converge seria numerică studiată. Dacă integrala improprie diverge, atunci și seria originală diverge.

Când verificați dezintegrarea unei funcții y = f(x) pe un interval, puteți găsi teoria din secțiune utilă.

Exemplu.

Examinați seria de numere cu termeni pozitivi pentru convergență.

Decizie.

Condiția necesară pentru convergența seriei este îndeplinită, întrucât . Să luăm în considerare o funcție. Este pozitivă, continuă și descrescătoare pe interval . Continuitatea și pozitivitatea acestei funcții este fără îndoială, dar să ne oprim asupra scăderii mai detaliat. Să găsim derivata:
. Este negativă pe intervalul , prin urmare, funcția scade pe acest interval.

6. Semnul lui Raabe

Teorema 6. Dacă există o limită:

atunci: 1) pentru seria (A) converge, 2) pentru seria diverge.

Dovada. Se demonstrează o afirmație auxiliară:

Declarația 1. (12)

Dovada. Se consideră expresia:

Am luat logaritmii ambelor părți ale ecuației:

Revenit la limită:

Din egalitatea (11), pe baza definiției limitei unei secvențe numerice, rezultă că pentru orice mic arbitrar există astfel încât pentru inegalitate:

1) Să, atunci. Notăm, deci, pornind de la număr, din inegalitatea (13) rezultă că următoarea inegalitate este adevărată:

ia orice număr. Conform (12), pentru suficient de mare, următoarele vor fi adevărate:

De aici, conform (14), rezultă:

În dreapta - raportul dintre doi membri consecutivi ai seriei Dirichlet la; după aplicarea teoremei 4, convergența seriei (A) devine evidentă.

2) Fie, deci, în mod similar alin. (1), din (13) urmează următoarea inegalitate:

De aici am găsit imediat:

după aplicarea teoremei 4 seriei (A) și seriei Dirichlet, divergența seriei (A) devine clară.

Observația 5. Testul lui Raabe este mult mai puternic decât testul lui d'Alembert

Observație 6. Criteriul lui Raabe nu oferă un răspuns la întrebarea pusă.

11) Explorați seria folosind semnele lui d'Alembert și Raabe:

Testul lui d'Alembert nu dă un răspuns la întrebarea convergenţei acestei serii. Seria este investigată folosind testul Raabe:

Acest lucru a dus la o incertitudine de tip, așa că am aplicat prima regulă L'Hospital-Bernoulli:

Rad diverge la, converge la și la , semnul Raabe nu răspunde la întrebarea convergenței.

12) Explorați seria folosind semnul Raabe:

A rezultat incertitudinea de tip, dar înainte de aplicarea primei reguli L'Hopital-Bernoulli, se găsește derivata expresiei, pentru aceasta este logaritmizată și se caută derivata logaritmului:

Acum puteți găsi derivata expresiei:

Înapoi la limită. Se aplică prima regulă L'Hospital-Bernoulli:

Se ia în considerare expresia. După aplicarea primei reguli L'Hospital-Bernoulli:

Din aceasta rezultă că:

Înlocuiți această egalitate în expresia:

De aici, conform testului Raabe, rezultă că seria dată diverge la, converge la și când testul Raabe nu răspunde la întrebarea convergenței seriei.

Dodatkovі minte zbіzhnostі numere rânduri

Luați pentru semnele lui Kummer ca un rând rozbіzhny de rânduri armonice (3.1). Nu mă pot abține. Otrimana semnului bogăției poate fi formulată într-un asemenea rang. Teorema (semnul abrevierei lui Raabe). Un număr, zbіgaєtsya, de parcă ar exista așa ceva ...

serii alternante

Teoremă (testul Leibniz). O serie alternantă converge dacă: Secvența valorilor absolute a termenilor seriei scade monoton, adică ; Termenul comun al seriei tinde spre zero:. Mai mult, suma S a seriei satisface inegalitățile. Observatii...

Teorema 1 (testul d'Alembert). Să fie dată o serie în care toate > 0. Dacă există o limită, atunci la 0<1 ряд сходится, а при >1 rând converge.

Serii alternante si alternante

Teorema 2 (testul Cauchy). Să se dea o serie. (1) Dacă există o limită finită, atunci 1) pentru , seria converge; 2) pentru , seria diverge.

Serii alternante si alternante

Teorema 3 (criteriul integral de convergență). Fie definită funcția f(x), continuă, pozitivă și nu crescătoare pe rază. Apoi: 1) seria de numere converge...

Serii alternante si alternante

Definiție. Seria de numere a1 - a2 + a3 - … + (- 1) n - 1an + … , unde toate numerele an sunt pozitive, se numește alternante. Exemplu. O serie alternează semne, dar o serie nu alternează semne...

Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri

În aplicațiile matematice, precum și în rezolvarea unor probleme din economie, statistică și alte domenii, sunt luate în considerare sume cu un număr infinit de termeni. Aici vom defini ce se înțelege prin astfel de sume...

1.D.P.: Extindeți AC la AM1=OC și BD la DN1=OB. 2. Prin teorema lui Pitagora în?M1ON1: M1N1=10. 3. Desenați M1KN1D. MK?AK=K. 4. ?BOC=?KAM1 (pe baza: BO=KM1, OC=AM1, prin constructie, BOC=KM1A=90, situat transversal la BN1 KM1, M1C - secant) AK=BC. 5. M1KDN1 - paralelogram, DK=M1N1=10; MN=DK/2= (AD+BC)/2=5...

Diverse metode de rezolvare a problemelor planimetrice

1.D.P.: Extindeți AC la AM1=OC și BD la DN=OB. 2. Se consideră?OMN, NOM=90°, apoi după teorema lui Pitagora în?MON MN=10. 3. Să stăm în picioare: AEMN, DFMN, OKBC. 4. ?AME = ?KOC şi ?DFN=?BOK (pentru trăsătura II) ME=KC, FN=BKMN=BC+AD=a+b=10MN=10/2=5. Raspuns: MN=5...

Rezolvarea unei probleme de valoare la limită

Considerăm o problemă neliniară a valorii limită: (1) (2) Există o reprezentare (3) Operatorul este simetric liniar mărginit; are un spectru în interval; - este pozitiv, adică pentru orice inegalitate este valabilă...

Să se dea o serie pozitivă: , unde. (A) Teorema 5. Dacă există o limită: , (5) atunci: 1) pentru seria (A) converge, 2) pentru seria diverge. Dovada. Din egalitatea (5), pe baza definirii limitei succesiunii numerice, rezulta ...

Convergența seriilor pozitive

Teorema 6. Dacă există o limită: (18) atunci: 1) când seria (A) converge, 2) când - diverge. Dovada. Demonstrat folosind schema lui Kummer. Lasa. Considerăm o serie Să o comparăm cu o serie care diverge...

Stabilitate conform lui Lyapunov

Fie --- soluție a unui sistem de ecuații, definit pe un anumit interval și --- soluție a aceluiași sistem de ecuații, definit pe un anumit interval. Spunem că o soluție este o extensie a unei soluții dacă...

ARTICOLE SIMILARE