Numere complexe

Noțiuni de bază

Datele inițiale ale numărului se referă la Epoca de Piatră - Paleomelită. Acestea sunt „unul”, „puțini” și „mulți”. Au fost înregistrate sub formă de crestături, noduri etc. Dezvoltarea proceselor de muncă și apariția proprietății l-au obligat pe om să inventeze numerele și numele acestora. Numerele naturale au apărut pentru prima dată N obţinute prin numărarea obiectelor. Apoi, odată cu necesitatea numărării, oamenii au avut nevoia de a măsura lungimi, suprafețe, volume, timp și alte cantități, acolo unde era necesar să se țină cont de părți din măsura utilizată. Așa s-au născut fracțiile. Fundamentarea formală a conceptelor de număr fracționar și negativ a fost efectuată în secolul al XIX-lea. Set de numere întregi Z sunt numere naturale, numere naturale cu semnul minus și zero. Numerele întregi și fracționale au format o mulțime de numere raționale Q, dar chiar și aceasta s-a dovedit a fi insuficientă pentru studierea variabilelor în continuă schimbare. Geneza a arătat din nou imperfecțiunea matematicii: imposibilitatea de a rezolva o ecuație de forma X 2 = 3, în legătură cu care au apărut numerele iraționale eu. Unirea mulțimii numerelor raționale Qși numere iraționale eu este mulțimea numerelor reale (sau reale). R. Drept urmare, linia numerică a fost completată: fiecărui număr real corespundea unui punct de pe el. Dar pe platou R nu există nicio modalitate de a rezolva ecuația X 2 = – A 2. În consecință, din nou a fost nevoie de extinderea conceptului de număr. Deci în 1545 au apărut numerele complexe. Creatorul lor, J. Cardano, le-a numit „pur negativ”. Denumirea „imaginar” a fost introdusă în 1637 de francezul R. Descartes, în 1777 Euler a sugerat folosirea primei litere a numărului francez i pentru a desemna unitatea imaginară. Acest simbol a intrat în uz general datorită lui K. Gauss.

În secolele al XVII-lea și al XVIII-lea, a continuat discuția despre natura aritmetică a imaginarilor și interpretarea lor geometrică. Danezul H. Wessel, francezul J. Argan și germanul K. Gauss au sugerat în mod independent ca un număr complex să fie reprezentat printr-un punct pe planul de coordonate. Mai târziu s-a dovedit că era și mai convenabil să reprezinte numărul nu ca un punct, ci ca un vector care merge în acest punct de la origine.

Abia la sfârșitul secolului al XVIII-lea - începutul secolului al XIX-lea numerele complexe și-au luat locul cuvenit în analiza matematică. Prima lor utilizare a fost în teoria ecuațiilor diferențiale și în teoria hidrodinamicii.

Definiția 1.număr complex se numește o expresie de forma , unde Xși y sunt numere reale și i este unitatea imaginară, .

două numere complexe și egal dacă și numai dacă , .

Dacă , atunci numărul este apelat pur imaginar; dacă , atunci numărul este un număr real, ceea ce înseamnă că mulțimea R Cu, Unde Cu este multimea numerelor complexe.

Conjugat unui număr complex se numește număr complex.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

Orice număr complex poate fi reprezentat printr-un punct. M(X, y) avion Oxy. O pereche de numere reale denotă, de asemenea, coordonatele vectorului rază , adică între mulţimea vectorilor de pe plan şi mulţimea numerelor complexe se poate stabili o corespondenţă unu-la-unu: .

Definiția 2.Parte reală X.

Desemnare: X= Re z(din latinescul Realis).

Definiția 3.parte imaginară număr complex se numește număr real y.

Desemnare: y= Sunt z(din latinescul Imaginarius).

Re z se depune pe axa ( Oh), Sunt z se depune pe axa ( Oi), atunci vectorul corespunzător numărului complex este vectorul rază a punctului M(X, y), (sau M(Re z, Sunt z)) (Fig. 1).

Definiția 4. Se numește un plan ale cărui puncte sunt asociate cu o mulțime de numere complexe plan complex. Abscisa se numește axa reală, deoarece conține numere reale . Axa y se numește axa imaginară, conține numere complexe pur imaginare . Se notează mulțimea numerelor complexe Cu.

Definiția 5.modul număr complex z = (X, y) este lungimea vectorului : , i.e. .

Definiția 6.Argument număr complex se numește unghiul dintre direcția pozitivă a axei ( Oh) și vector: .

Numere complexe

Imaginar și numere complexe. Abscisa si ordonata

număr complex. Conjugați numere complexe.

Operații cu numere complexe. Geometric

reprezentarea numerelor complexe. plan complex.

Modulul și argumentul unui număr complex. trigonometric

formă de număr complex. Operatii cu complexe

numere în formă trigonometrică. Formula Moivre.

Informații de bază despre imaginar și numere complexe sunt date în secțiunea „Numere imaginare și complexe”. Necesitatea acestor numere de tip nou a apărut la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru acest cazD< 0 (здесь Deste discriminantul ecuației pătratice). Multă vreme, aceste numere nu și-au găsit utilizare fizică, motiv pentru care au fost numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii.

și tehnologie: inginerie electrică, hidro- și aerodinamică, teoria elasticității etc.

Numere complexe sunt scrise ca:a+bi. Aici Ași b – numere reale , A i – unitate imaginară. e. i 2 = –1. Număr A numit abscisă, A b - ordonatănumăr complexa + b .Două numere complexea+biși a-bi numit conjuga numere complexe.

Principalele acorduri:

1. Număr realApoate fi scris și sub formănumăr complex:un + 0 i sau A - 0 i. De exemplu, intrările 5 + 0iși 5 - 0 iînseamnă același număr 5 .

2. Numărul complex 0 + binumit pur imaginar număr. Înregistrarebiînseamnă la fel ca 0 + bi.

3. Două numere complexea+bi șic + disunt considerate egale dacăa = cși b = d. In caz contrar numerele complexe nu sunt egale.

Plus. Suma numerelor complexea+biși c + dise numește număr complex (a+c ) + (b+d ) eu .Prin urmare, când se adaugă numerele complexe, abscisele și ordonatele acestora se adună separat.

Această definiție urmează regulile de a face cu polinoamele obișnuite.

Scădere. Diferența dintre două numere complexea+bi(redus) și c + di(scăzut) se numește număr complex (a-c ) + (b-d ) eu .

Prin urmare, la scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele acestora se scad separat.

Multiplicare. Produsul numerelor complexea+biși c + di se numește număr complex.

(ac-bd ) + (ad+bc ) eu .Această definiție provine din două cerințe:

1) numere a+biși c + diar trebui să se înmulțească ca algebric binoame,

2) număr iare principala proprietate:i 2 = – 1.

EXEMPLU ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Prin urmare, muncă

două numere complexe conjugate este egală cu realul

număr pozitiv.

Divizia. Împărțiți un număr complexa+bi (divizibil) cu altulc + di(divizor) - înseamnă a găsi al treilea număre + fi(chat), care, atunci când este înmulțit cu un divizorc + di, care are ca rezultat dividendula + b .

Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.

EXEMPLU Găsiți (8+i ) : (2 – 3 i) .

Soluție. Să rescriem acest raport ca o fracție:

Înmulțirea numărătorului și numitorului cu 2 + 3i

Și după efectuarea tuturor transformărilor, obținem:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:

Aici este ideea Aînseamnă numărul -3, punctB este numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe planul de coordonate. Pentru aceasta, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complexa+bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisă a si ordonata b (vezi fig.). Acest sistem de coordonate este numit plan complex .

modul număr complex se numește lungimea vectoruluiOP, ilustrând un număr complex pe coordonată ( cuprinzător) avion. Modulul numărului complexa+bi notat cu | a+bi| sau scrisoare r

Numere complexe, reprezentarea lor în plan. Operații algebrice pe numere complexe. Conjugare complexă. Modulul și argumentul unui număr complex. Formele algebrice și trigonometrice ale unui număr complex. Rădăcinile numerelor complexe. Funcția exponențială a unui argument complex. Formula lui Euler. Forma exponențială a unui număr complex.

Când se studiază una dintre principalele metode de integrare - integrarea fracțiilor raționale - se cere să se ia în considerare polinoamele din domeniul complex pentru demonstrații riguroase. Prin urmare, să studiem mai întâi unele proprietăți ale numerelor complexe și operațiunile asupra lor.

Definiție 7.1. Un număr complex z este o pereche ordonată de numere reale (a, b): z = (a, b) (termenul „ordonat” înseamnă că ordinea numerelor a și b este importantă în scrierea unui număr complex: (a , b) )). În acest caz, primul număr a se numește partea reală a numărului complex z și se notează a = Re z, iar al doilea număr b se numește partea imaginară a lui z: b = Im z.

Definiție 7.2. Două numere complexe z 1 \u003d (a 1, b 1) și z 2 \u003d (a 2, b 2) sunt egale dacă și numai dacă au părți reale și imaginare egale, adică a 1 \u003d a 2, b 1 \u003d b2.

Acțiuni asupra numerelor complexe.

1. sumă numere complexe z1 =(a 1, b 1) și z2 =(a 2, b 2 z=(a,b) astfel încât a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 . Proprietăți suplimentare: a) z1 + z2 = z2 + z1; b) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; c) există un număr complex 0 = (0,0): z+ 0 =z pentru orice număr complex z.

2. muncă numere complexe z1 =(a 1, b 1) și z2 =(a 2, b 2) se numește număr complex z=(a,b) astfel încât a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1. Proprietăți de multiplicare: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z3, în) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Cometariu. O submulțime a mulțimii de numere complexe este mulțimea de numere reale definite ca numere complexe de forma ( A, 0). Se poate observa că în acest caz definirea operațiilor pe numere complexe păstrează regulile cunoscute ale operațiilor corespunzătoare pe numere reale. În plus, numărul real 1 = (1,0) își păstrează proprietatea atunci când este înmulțit cu orice număr complex: 1∙ z = z.

Definiție 7.3. Număr complex (0, b) se numește pur imaginar. În special, se numește numărul (0,1). unitate imaginarăși sunt simbolizate i.

Proprietățile unității imaginare:

1) i∙i=i² = -1; 2) un număr pur imaginar (0, b) poate fi reprezentat ca produs al unui număr real ( b, 0) și i: (b, 0) = b∙i.

Prin urmare, orice număr complex z = (a,b) poate fi reprezentat ca: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Definiție 7.4. O notație de forma z = a + ib se numește forma algebrică a unui număr complex.

Cometariu. Notarea algebrică a numerelor complexe face posibilă efectuarea de operații asupra lor conform regulilor obișnuite ale algebrei.

Definiție 7.5. Un număr complex se numește conjugatul complex al lui z = a + ib.

3. Scădere numerele complexe sunt definite ca operația inversă de adunare: z=(a,b) se numește diferența numerelor complexe z1 =(a 1, b 1) și z2 =(a 2, b 2), dacă a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2.

4. Divizia numerele complexe este definită ca operația inversă de înmulțire: număr z = a + ib se numește coeficient de împărțire z 1 = a 1 + ib 1și z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0) dacă z 1 = z∙z 2 . Prin urmare, părțile reale și imaginare ale coeficientului pot fi găsite din soluția sistemului de ecuații: a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1.

Interpretarea geometrică a numerelor complexe.

Număr complex z=(a,b) poate fi reprezentat ca un punct pe planul cu coordonate ( a,b) sau un vector cu originea la origine și sfârșitul în punctul ( a,b).

În acest caz, se numește modulul vectorului rezultat modul număr complex, iar unghiul format de vectorul cu direcția pozitivă a axei x este argument numerele. Dat fiind a = p cos φ, b = ρ păcat φ, Unde ρ = |z| - modul z,și φ = arg z este argumentul său, putem obține o altă formă de scriere a unui număr complex:

Definiție 7.6. Vizualizați înregistrarea

z = p(cos φ + i păcat φ ) (7.1)

numit formă trigonometrică notarea unui număr complex.

La rândul lor, modulul și argumentul unui număr complex pot fi exprimate în termeni de Ași b: . Prin urmare, argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci până la un termen care este un multiplu de 2π.

Este ușor de observat că operația de adunare a numerelor complexe corespunde operației de adunare a vectorilor. Luați în considerare interpretarea geometrică a înmulțirii. Lasă atunci

Prin urmare, modulul produsului a două numere complexe este egal cu produsul modulelor lor, iar argumentul este suma argumentelor lor. În consecință, la împărțire, modulul coeficientului este egal cu raportul dintre modulele dividendului și divizorului, iar argumentul este diferența dintre argumentele lor.

Un caz special al operației de înmulțire este exponențiația:

- formula lui De Moivre.

Folosind relațiile obținute, enumerăm principalele proprietăți ale numerelor conjugate complexe:

Numerele complexe și
coordona
avion

Modelul geometric al mulțimii R de numere reale este dreapta numerică. Fiecare număr real corespunde unui singur punct

pe
linie numerică și orice punct de pe linie
doar unul se potriveste
numar real!

Adăugând la linia numerică corespunzătoare mulțimii tuturor numerelor reale încă o dimensiune - o linie care conține mulțimea de pur m

Adăugarea la linia numerică corespunzătoare setului
din toate numerele reale încă o dimensiune -
linie care conține mulțimea numerelor pur imaginare -
obţinem un plan de coordonate în care fiecare
poate fi asociat un număr complex a + bi
litera (a; b) din planul de coordonate.
i=0+1i corespunde punctului (0;1)
2+3i corespunde punctului (2;3)
-i-4 se potrivește cu punct (-4;-1)
5=5+1i corespunde melancoliei (5;0)

Sensul geometric al operației de conjugare

! Operația de conjugare este axială
simetrie față de axa x.
!! Conectați unul la altul
numerele complexe sunt echidistante de
originea coordonatelor.
!!! Vectori care înfățișează
numere conjugate, înclinate spre axă
abscisă în același unghi, dar
situat pe laturile opuse ale
această axă.

Imagine cu numere reale

Imaginea numerelor complexe

Algebric
cale
Imagini:
Număr complex
a+bi este afișat
punct plan
cu coordonate
(a;b)

Exemple de reprezentare a numerelor complexe pe planul de coordonate

(Suntem interesati de
numere complexe
z=x+yi , pentru care
x=-4. Aceasta este ecuația
Drept,
axa paralela
ordonată)
la
X= - 4
Valabil
partea este -4
0
X

Desenați pe planul de coordonate mulțimea tuturor numerelor complexe pentru care:

parte imaginară
este chiar
lipsit de ambiguitate
natural
număr
(Suntem interesati de
numere complexe
z=x+yi
y=2,4,6,8.
Imagine geometrică
este format din patru
linii drepte, paralele
abscisă)
la
8
6
4
2
0
X