Mulți, puși în fața conceptului de „teoria probabilității”, sunt speriați, crezând că acesta este ceva copleșitor, foarte complex. Dar nu este chiar atât de tragic. Astăzi vom lua în considerare conceptul de bază al teoriei probabilităților, vom învăța cum să rezolvăm probleme folosind exemple specifice.

Știința

Ce studiază o astfel de ramură a matematicii ca „teoria probabilității”? Ea notează modele și mărimi. Pentru prima dată, oamenii de știință au devenit interesați de această problemă încă din secolul al XVIII-lea, când au studiat jocurile de noroc. Conceptul de bază al teoriei probabilităților este un eveniment. Este orice fapt care este constatat prin experiență sau observație. Dar ce este experiența? Un alt concept de bază al teoriei probabilităților. Înseamnă că această alcătuire a circumstanțelor nu a fost creată întâmplător, ci pentru un scop anume. În ceea ce privește observația, aici cercetătorul însuși nu participă la experiment, ci pur și simplu este un martor la aceste evenimente, el nu influențează în niciun fel ceea ce se întâmplă.

Evenimente

Am învățat că conceptul de bază al teoriei probabilităților este un eveniment, dar nu am luat în considerare clasificarea. Toate se încadrează în următoarele categorii:

• De încredere.
• Imposibil.
• Aleatoriu.

Indiferent de ce fel de evenimente sunt observate sau create în cursul experienței, toate sunt supuse acestei clasificări. Ne oferim să facem cunoștință cu fiecare dintre specii separat.

Eveniment credibil

Aceasta este o împrejurare înaintea căreia a fost luat setul de măsuri necesare. Pentru a înțelege mai bine esența, este mai bine să dați câteva exemple. Fizica, chimia, economia și matematica superioară sunt supuse acestei legi. Teoria probabilității include un concept atât de important ca un anumit eveniment. Aici sunt cateva exemple:

• Muncim și primim remunerație sub formă de salariu.
• Am trecut bine examenele, am promovat concursul, pentru asta primim o recompensă sub formă de admitere într-o instituție de învățământ.
• Am investit bani în bancă, dacă va fi nevoie, îi vom primi înapoi.

Astfel de evenimente sunt de încredere. Dacă am îndeplinit toate condițiile necesare, atunci cu siguranță vom obține rezultatul așteptat.

Evenimente imposibile

Acum luăm în considerare elementele teoriei probabilităților. Ne propunem să trecem la o explicație a următorului tip de eveniment și anume imposibilul. Pentru început, vom stipula cea mai importantă regulă - probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.

Este imposibil să devii de la această formulare atunci când rezolvi probleme. Pentru a clarifica, iată exemple de astfel de evenimente:

• Apa a înghețat la o temperatură de plus zece (acest lucru este imposibil).
• Lipsa energiei electrice nu afectează în niciun fel producția (la fel de imposibil ca în exemplul precedent).

Nu ar trebui date mai multe exemple, deoarece cele descrise mai sus reflectă foarte clar esența acestei categorii. Evenimentul imposibil nu se va întâmpla niciodată în timpul experienței sub nicio circumstanță.

evenimente aleatorii

Când se studiază elementele teoriei probabilităților, ar trebui să se acorde o atenție deosebită acestui tip particular de eveniment. Asta studiază știința. Ca rezultat al experienței, ceva se poate întâmpla sau nu. În plus, testul poate fi repetat de un număr nelimitat de ori. Exemple proeminente sunt:

• Aruncarea unei monede este o experiență sau un test, titlul este un eveniment.
• Scoaterea orbește a mingii din pungă este un test, o minge roșie este prinsă este un eveniment și așa mai departe.

Poate exista un număr nelimitat de astfel de exemple, dar, în general, esența ar trebui să fie clară. Pentru a rezuma și sistematiza cunoștințele acumulate despre evenimente, este dat un tabel. Teoria probabilității studiază doar ultimul tip din toate cele prezentate.

titlu	definiție
Credibil	Evenimente care au loc cu o garanție de 100%, cu anumite condiții.	Admitere într-o instituție de învățământ cu promovare bună a examenului de admitere.
Imposibil	Evenimente care nu se vor întâmpla niciodată sub nicio formă.	Ninge la o temperatură a aerului de plus treizeci de grade Celsius.
Aleatoriu	Un eveniment care poate sau nu să apară în timpul unui experiment/test.	Loviți sau ratați când aruncați o minge de baschet în cerc.

Legile

Teoria probabilității este o știință care studiază posibilitatea ca un eveniment să aibă loc. Ca și celelalte, are niște reguli. Există următoarele legi ale teoriei probabilităților:

• Convergența secvențelor de variabile aleatoare.
• Legea numerelor mari.

La calcularea posibilității complexului, un complex de evenimente simple poate fi folosit pentru a obține rezultatul într-un mod mai ușor și mai rapid. Rețineți că legile sunt ușor de demonstrat cu ajutorul unor teoreme. Să începem cu prima lege.

Convergența secvențelor de variabile aleatoare

Rețineți că există mai multe tipuri de convergență:

• Secvența variabilelor aleatoare este convergentă ca probabilitate.
• Aproape imposibil.
• Convergența RMS.
• Convergența distribuției.

Deci, din mers, este foarte greu să ajungi la fund. Iată câteva definiții pentru a vă ajuta să înțelegeți acest subiect. Să începem cu prima privire. Secvența este numită convergentă în probabilitate, dacă este îndeplinită următoarea condiție: n tinde spre infinit, numărul către care tinde șirul este mai mare decât zero și apropiat de unu.

Să trecem la următorul, aproape sigur. Se spune că secvența converge aproape sigur la o variabilă aleatoare cu n tinde spre infinit și P tinde către o valoare apropiată de unitate.

Următorul tip este Convergența RMS. Când se utilizează convergența SC, studiul proceselor aleatoare vectoriale se reduce la studiul proceselor aleatoare coordonate ale acestora.

Ultimul tip rămâne, să-l analizăm pe scurt pentru a trece direct la rezolvarea problemelor. Convergența distribuției are un alt nume - „slab”, vom explica de ce mai jos. Convergență slabă este convergența funcțiilor de distribuție în toate punctele de continuitate ale funcției de distribuție limită.

Cu siguranță ne vom îndeplini promisiunea: convergența slabă diferă de toate cele de mai sus prin faptul că variabila aleatoare nu este definită în spațiul probabilității. Acest lucru este posibil deoarece condiția este formată exclusiv folosind funcții de distribuție.

Legea numerelor mari

Asistenți excelenți în demonstrarea acestei legi vor fi teoremele teoriei probabilităților, cum ar fi:

• inegalitatea lui Cebyshev.
• teorema lui Cebyshev.
• Teorema lui Cebyshev generalizată.
• teorema lui Markov.

Dacă luăm în considerare toate aceste teoreme, atunci această întrebare poate dura câteva zeci de foi. Sarcina noastră principală este să aplicăm teoria probabilității în practică. Vă invităm să faceți acest lucru chiar acum. Dar înainte de asta, să luăm în considerare axiomele teoriei probabilităților, ele vor fi asistenții principali în rezolvarea problemelor.

Axiome

Pe primul l-am întâlnit deja când am vorbit despre evenimentul imposibil. Să ne amintim: probabilitatea unui eveniment imposibil este zero. Am dat un exemplu foarte viu și memorabil: zăpada a căzut la o temperatură a aerului de treizeci de grade Celsius.

Al doilea este după cum urmează: un anumit eveniment are loc cu o probabilitate egală cu unu. Acum să arătăm cum să-l notăm folosind limbajul matematic: P(B)=1.

În al treilea rând: un eveniment aleatoriu poate să apară sau nu, dar posibilitatea variază întotdeauna de la zero la unu. Cu cât valoarea este mai aproape de unu, cu atât șansa este mai mare; dacă valoarea se apropie de zero, probabilitatea este foarte mică. Să-l scriem în limbaj matematic: 0<Р(С)<1.

Luați în considerare ultima, a patra axiomă, care sună așa: probabilitatea sumei a două evenimente este egală cu suma probabilităților lor. Scriem în limbaj matematic: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Axiomele teoriei probabilităților sunt cele mai simple reguli care sunt ușor de reținut. Să încercăm să rezolvăm câteva probleme, pe baza cunoştinţelor deja acumulate.

Bilet de loterie

Pentru început, luați în considerare cel mai simplu exemplu - loteria. Imaginează-ți că ai cumpărat un bilet de loterie pentru noroc. Care este probabilitatea ca să câștigi cel puțin douăzeci de ruble? În total, o mie de bilete participă la circulație, dintre care unul are un premiu de cinci sute de ruble, zece de o sută de ruble, cincizeci de douăzeci de ruble și o sută de cinci. Problemele din teoria probabilității se bazează pe găsirea posibilității de noroc. Să aruncăm o privire împreună la soluția la problema de mai sus.

Dacă notăm cu litera A un câștig de cinci sute de ruble, atunci probabilitatea de a obține A va fi de 0,001. Cum l-am prins? Trebuie doar să împărțiți numărul de bilete „fericite” la numărul lor total (în acest caz: 1/1000).

B este un câștig de o sută de ruble, probabilitatea va fi egală cu 0,01. Acum am acționat pe același principiu ca în acțiunea anterioară (10/1000)

C - câștigurile sunt egale cu douăzeci de ruble. Găsim probabilitatea, este egală cu 0,05.

Biletele rămase nu ne interesează, deoarece fondul lor de premii este mai mic decât cel specificat în condiție. Să aplicăm a patra axiomă: probabilitatea de a câștiga cel puțin douăzeci de ruble este P(A)+P(B)+P(C). Litera P indică probabilitatea apariției acestui eveniment, le-am găsit deja în pașii anteriori. Rămâne doar să adăugăm datele necesare, în răspuns obținem 0,061. Acest număr va fi răspunsul la întrebarea temei.

pachet de cărți

Problemele din teoria probabilității sunt, de asemenea, mai complexe, de exemplu, luați următoarea sarcină. Înaintea ta este un pachet de treizeci și șase de cărți. Sarcina ta este să trageți două cărți la rând fără a amesteca grămada, prima și a doua cărți trebuie să fie ași, culoarea nu contează.

Pentru început, găsim probabilitatea ca prima carte să fie un as, pentru aceasta împărțim patru la treizeci și șase. L-au pus deoparte. Scoatem a doua carte, va fi un as cu o probabilitate de trei treizeci și cincimi. Probabilitatea celui de-al doilea eveniment depinde de ce carte am extras prima, ne interesează dacă a fost un as sau nu. Rezultă că evenimentul B depinde de evenimentul A.

Următorul pas este să găsim probabilitatea implementării simultane, adică înmulțim A și B. Produsul lor se găsește astfel: înmulțim probabilitatea unui eveniment cu probabilitatea condiționată a altuia, pe care o calculăm, presupunând că primul evenimentul a avut loc, adică am tras un as cu prima carte.

Pentru a clarifica totul, să dăm o denumire unui astfel de element ca evenimente. Se calculează presupunând că evenimentul A a avut loc. Se calculează după cum urmează: P(B/A).

Să continuăm soluția problemei noastre: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) sau P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Probabilitatea este (4/36) * ((3/35)/(4/36). Calculați prin rotunjire la sutimi. Avem: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 Probabilitatea ca va trage doi ași la rând este de nouă sutimi. Valoarea este foarte mică, rezultă că probabilitatea de apariție a evenimentului este extrem de mică.

Numar uitat

Ne propunem să analizăm câteva opțiuni suplimentare pentru sarcinile care sunt studiate de teoria probabilității. Ai văzut deja exemple de rezolvare a unora dintre ele în acest articol, hai să încercăm să rezolvăm următoarea problemă: băiatul a uitat ultima cifră a numărului de telefon al prietenului său, dar întrucât apelul era foarte important, a început să formeze totul pe rând. Trebuie să calculăm probabilitatea ca el să sune de cel mult trei ori. Rezolvarea problemei este cea mai simplă dacă se cunosc regulile, legile și axiomele teoriei probabilităților.

Înainte de a căuta soluția, încercați să o rezolvați singur. Știm că ultima cifră poate fi de la zero la nouă, adică există zece valori în total. Probabilitatea de a obține cea potrivită este de 1/10.

În continuare, trebuie să luăm în considerare opțiunile pentru originea evenimentului, să presupunem că băiatul a ghicit corect și a marcat imediat cel potrivit, probabilitatea unui astfel de eveniment este de 1/10. A doua opțiune: primul apel este ratat, iar al doilea este la țintă. Calculăm probabilitatea unui astfel de eveniment: înmulțim 9/10 cu 1/9, ca urmare obținem și 1/10. A treia variantă: primul și al doilea apel s-au dovedit a fi la adresa greșită, doar din a treia băiatul a ajuns unde a vrut. Calculăm probabilitatea unui astfel de eveniment: înmulțim 9/10 cu 8/9 și cu 1/8, obținem ca rezultat 1/10. În funcție de starea problemei, nu ne interesează alte opțiuni, așa că rămâne să adunăm rezultatele, ca urmare avem 3/10. Răspuns: Probabilitatea ca băiatul să sune de cel mult trei ori este de 0,3.

Cărți cu numere

Există nouă cărți în fața ta, fiecare dintre ele conține un număr de la unu la nouă, numerele nu se repetă. Au fost puse într-o cutie și amestecate bine. Trebuie să calculați probabilitatea ca

• va apărea un număr par;
• două cifre.

Înainte de a trece la soluție, să precizăm că m este numărul de cazuri reușite și n este numărul total de opțiuni. Aflați probabilitatea ca numărul să fie par. Nu va fi greu de calculat că există patru numere pare, acesta va fi m-ul nostru, există nouă opțiuni în total, adică m = 9. Atunci probabilitatea este 0,44 sau 4/9.

Luăm în considerare al doilea caz: numărul de opțiuni este nouă și nu pot exista deloc rezultate de succes, adică m este zero. Probabilitatea ca cartea extrasă să conțină un număr din două cifre este, de asemenea, zero.

Universitatea Tehnică de Stat Nijni Novgorod

lor. A.E. Alekseeva

Eseu asupra disciplinei teoria probabilității

Completat de: Ruchina N.A gr 10MENz

Verificat: Gladkov V.V.

Nijni Novgorod, 2011

Teoria probabilității……………………………………

Subiectul teoriei probabilităților…………………………

Concepte de bază ale teoriei probabilităților……………

Evenimente aleatorii, probabilități de evenimente……………………………………………………

Teoreme limită……………………………………………

Procese aleatorii…………………………………………

Referință istorică………………………………………

Cărți uzate …………………………………………

Teoria probabilității

Teoria probabilității - o știință matematică care permite, prin probabilitățile unor evenimente aleatorii, să se găsească probabilitățile altor evenimente aleatoare legate într-un fel de primul.

Afirmație că un eveniment are loc cu probabilitate , egal cu, de exemplu, 0,75, nu reprezintă încă în sine valoarea finală, deoarece ne străduim să obținem cunoștințe de încredere. Valoarea cognitivă finală sunt acele rezultate ale teoriei probabilității, care ne permit să afirmăm că probabilitatea apariției oricărui eveniment DAR foarte aproape de unitate sau (care este la fel) probabilitatea ca evenimentul să nu se producă DAR foarte mic. În conformitate cu principiul „neglijării probabilităților suficient de mici”, un astfel de eveniment este, pe bună dreptate, considerat practic sigur. Concluziile de interes științific și practic de acest fel se bazează de obicei pe presupunerea că apariția sau neapariția unui eveniment DAR depinde de un număr mare de factori aleatori, puțin legați . Prin urmare, putem spune și că teoria probabilității este o știință matematică care explică tiparele care apar atunci când un număr mare de factori aleatori interacționează.

Subiectul teoriei probabilităților

Subiectul teoriei probabilităților. Pentru a descrie o relație regulată între anumite condiții Sși eveniment DAR, a cărei apariție sau neapariție, în condiții date, poate fi stabilită cu precizie, știința naturii utilizează de obicei una dintre următoarele două scheme:

a) de fiecare dată când sunt îndeplinite condiţiile S are loc un eveniment DAR. De exemplu, toate legile mecanicii clasice au această formă, care afirmă că în condiții inițiale date și forțe care acționează asupra unui corp sau a unui sistem de corpuri, mișcarea se va produce într-un mod unic definit.

b) În condiţiile S eveniment DAR are o anumită probabilitate P(LA FEL DE), egal cu R. Deci, de exemplu, legile radiațiilor radioactive afirmă că pentru fiecare substanță radioactivă există o anumită probabilitate ca dintr-o anumită cantitate de substanță să se descompună într-o anumită perioadă de timp. N atomi.

Să numim frecvența evenimentului DARîn această serie de n teste (ex. n repunerea în aplicare a condițiilor S) relație h = m/n numerele m testele în care DAR a ajuns, la numărul lor total n. Prezența evenimentului DAR in conditii S o anumită probabilitate egală cu R, se manifestă prin faptul că în aproape fiecare serie suficient de lungă de teste, frecvenţa evenimentului DAR aproximativ egal cu R.

Regularitățile statistice, adică regularitățile descrise printr-o schemă de tip (b), au fost descoperite pentru prima dată pe exemplul jocurilor de noroc precum zarurile. Regularitățile statistice ale nașterii și morții sunt, de asemenea, cunoscute de foarte mult timp (de exemplu, probabilitatea ca un nou-născut să fie băiat este de 0,515). Sfârșitul secolului al XIX-lea și prima jumătate a secolului al XX-lea. marcat de descoperirea unui număr mare de regularităţi statistice în fizică, chimie, biologie etc.

Posibilitatea de a aplica metodele teoriei probabilităților la studiul regularităților statistice referitoare la domenii foarte îndepărtate ale științei se bazează pe faptul că probabilitățile evenimentelor satisfac întotdeauna anumite relații simple. Studiul proprietăților probabilităților evenimentelor pe baza acestor relații simple este subiectul teoriei probabilităților.

Concepte de bază ale teoriei probabilităților

Concepte de bază ale teoriei probabilităților. Conceptele de bază ale teoriei probabilităților, ca disciplină matematică, sunt cel mai simplu definite în cadrul așa-numitei teorii elementare a probabilității. Fiecare test T, considerată în teoria probabilității elementare este de așa natură încât se încheie cu unul și numai unul dintre evenimente E 1 , E 2 ,..., E S (una sau alta, dupa caz). Aceste evenimente sunt numite rezultate ale procesului. Cu fiecare rezultat E k leagă un număr pozitiv R la - probabilitatea acestui rezultat. Numerele p k trebuie să adună până la unul. Apoi sunt luate în considerare evenimentele. DAR, constând în faptul că „vine sau E i , sau E j ,..., sau E k". rezultate E i , E j ,..., E k sunt numite favorabile DAR,și prin definiție presupune probabilitatea R(DAR) evenimente DAR egal cu suma probabilităților de rezultate favorabile:

P(A) =p i +p s +… +p k . (1)

caz special p 1 =p 2 =...p s= 1/S duce la formula

R(DAR) =r/s.(2)

Formula (2) exprimă așa-numita definiție clasică a probabilității, conform căreia probabilitatea unui eveniment DAR este egală cu raportul numărului r rezultate favorabile DAR, la număr s toate rezultatele „la fel de posibile”. Definiția clasică a probabilității doar reduce noțiunea de „probabilitate” la noțiunea de „echiposibilitate”, care rămâne fără o definiție clară.

Exemplu. Când aruncați două zaruri, fiecare dintre cele 36 de rezultate posibile poate fi etichetat ( i,j), Unde i- numărul de puncte aruncate pe primul zar, j- Pe al doilea. Se presupune că rezultatele sunt la fel de probabile. eveniment DAR -„suma punctelor este 4”, trei rezultate favorizează (1; 3), (2; 2), (3; 1). Prin urmare, R(A) = 3/36= 1/12.

Pe baza oricăror date despre evenimente, se pot defini două evenimente noi: uniunea (suma) și combinația (produsul) lor.

Eveniment LA se numește unirea evenimentelor A 1 , A 2 ,..., A r ,-, dacă arată de genul: „vin sau A 1 , sau DAR 2 ,..., sau A r ».

Evenimentul C se numește coincidența evenimentelor A 1 , DAR. 2 ,..., A r , daca arata ca: „vine si A 1 , și A 2 ,..., și A r » . Combinația de evenimente se notează prin semnul , iar combinația - prin semnul . Astfel, ei scriu:

B = A 1  A 2  …  A r , C = A 1  A 2  …  A r .

Evenimente DARși LA sunt numite incompatibile dacă implementarea lor simultană este imposibilă, adică dacă nu există un singur favorabil și DARși LA.

Două teoreme principale ale teoriei probabilității sunt legate de operațiile introduse de combinare și combinare a evenimentelor - teoremele de adunare și înmulțire a probabilităților.

Teorema de adunare a probabilității: Dacă evenimentele A 1 ,A 2 ,...,A r sunt astfel încât fiecare două dintre ele sunt incompatibile, atunci probabilitatea unirii lor este egală cu suma probabilităților lor.

Deci, în exemplul de mai sus cu aruncarea a două zaruri, evenimentul AT -„suma punctelor nu depășește 4”, există o unire a trei evenimente incompatibile A 2 ,A 3 ,A 4 , constând în faptul că suma punctelor este egală cu 2, 3, respectiv 4. Probabilitățile acestor evenimente sunt 1/36; 2/36; 3/36. Prin teorema de adunare, probabilitatea R(LA) este egal cu

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Evenimente A 1 ,A 2 ,...,A r se numesc independent dacă probabilitatea condiționată a fiecăruia dintre ele, cu condiția ca oricare dintre celelalte să fi avut loc, este egală cu probabilitatea sa „necondiționată”.

Teorema înmulțirii probabilităților: Probabilitatea coincidenței evenimentelor A 1 ,A 2 ,...,A r este egal cu probabilitatea evenimentului A 1 , înmulțit cu probabilitatea evenimentului A 2 luate cu condiția ca DAR 1 sa întâmplat,..., înmulțit cu probabilitatea evenimentului A r cu condiția ca A 1 ,A 2 ,...,A r-1 au sosit. Pentru evenimente independente, teorema înmulțirii conduce la formula:

P(A 1 A 2 …A r) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A r), (3)

adică probabilitatea combinării evenimentelor independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Formula (3) rămâne valabilă dacă unele dintre evenimentele din ambele părți ale acesteia sunt înlocuite cu altele opuse.

Exemplu. Trage 4 lovituri la țintă cu o probabilitate de lovire de 0,2 la o singură lovitură. Loviturile țintei pentru diferite lovituri sunt presupuse a fi evenimente independente. Care este probabilitatea de a lovi ținta de exact trei ori?

Fiecare rezultat al testului poate fi indicat printr-o succesiune de patru litere [de exemplu, (y, n, n, y) înseamnă că prima și a patra lovitură au fost lovite (reușit), iar a doua și a treia lovitură nu au fost (eșec)]. În total vor fi 2 2 2 2 = 16 rezultate. În conformitate cu ipoteza independenței rezultatelor loviturilor individuale, formula (3) și o notă la aceasta ar trebui să fie utilizate pentru a determina probabilitățile acestor rezultate. Deci, probabilitatea rezultatului (y, n. n, n) ar trebui stabilită egală cu 0,2 0,8 0,8 0,8 = 0,1024; aici 0,8 \u003d 1-0,2 - probabilitatea unei rateuri cu o singură lovitură. Evenimentul „ținta este lovită de trei ori” este favorizat de rezultate (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), probabilitatea fiecăruia este aceeași:

0,2 0,2 ​​0,2 ​​0,8 =...... = 0,8 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,0064;

prin urmare, probabilitatea dorită este egală cu

4 0,0064 = 0,0256.

Generalizând raționamentul exemplului analizat, putem deriva una dintre formulele de bază ale teoriei probabilităților: dacă evenimentele A 1 , A 2 ,..., A n sunt independente și fiecare are o probabilitate R, atunci probabilitatea de exact m dintre care este egal cu

P n (m)=C n m p m (1-p) n-m ; (4)

Aici C n m denotă numărul de combinații de n elemente prin m.În mare n calculele prin formula (4) devin dificile.

Printre formulele de bază ale teoriei probabilităților elementare se numără și așa-numita formula probabilității totale: dacă evenimentele A 1 , A 2 ,..., A r sunt incompatibile perechi și unirea lor este un anumit eveniment, apoi pentru orice eveniment LA probabilitatea sa este egală cu suma lor.

Teorema înmulțirii probabilităților este utilă în special atunci când se iau în considerare testele compuse. Ei spun testul T alcătuit din procese T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n, dacă fiecare rezultat al testului T există o combinație a unor rezultate A i , B j ,..., X k , Y l teste aferente T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n. Dintr-un motiv sau altul, probabilitățile sunt adesea cunoscute

P(A i), P(B j /A i), …,P(Y l /A i B j …X k). (5)

Probabilitățile (5) pot fi utilizate pentru a determina probabilitățile R(E) pentru toate rezultatele E test compozit și, în același timp, probabilitățile tuturor evenimentelor asociate cu acest test. Din punct de vedere practic, două tipuri de teste compozite par a fi cele mai semnificative:

a) componentele testului sunt independente, adică probabilitățile (5) sunt egale cu probabilitățile necondiționate P(A i), P(B j),...,P(Y l);

b) probabilitățile rezultatelor oricărui test sunt afectate doar de rezultatele testului imediat precedent, adică probabilitățile (5) sunt egale, respectiv: P(A i), P(B j /A i),...,P(Y i / X k). În acest caz, se vorbește despre teste legate într-un lanț Markov. Probabilitățile tuturor evenimentelor asociate cu un test compus sunt complet determinate aici de probabilitățile inițiale R(DAR i) și probabilitățile de tranziție P(B j / A i),...,P(Y l / X k).

Formule de bază în teoria probabilităților

Formule ale teoriei probabilităților.

1. Formule de bază ale combinatoriei

a) permutări.

\b) plasare

c) combinatii .

2. Definiția clasică a probabilității.

Unde este numărul de rezultate favorabile pentru eveniment, este numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile.

3. Probabilitatea sumei evenimentelor

Teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile:

Teorema adunării probabilităților evenimentelor comune:

4. Probabilitatea producerii evenimentelor

Teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:

Teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor dependente:

,

Probabilitatea condiționată a unui eveniment dat fiind faptul că evenimentul a avut loc,

Probabilitatea condiționată a unui eveniment dat fiind faptul că evenimentul a avut loc.

Combinatoria este o ramură a matematicii care studiază întrebări despre câte combinații diferite, supuse anumitor condiții, pot fi făcute din obiecte date. Elementele de bază ale combinatoriei sunt foarte importante pentru estimarea probabilităților evenimentelor aleatorii, deoarece ei sunt cei care fac posibilă calcularea numărului fundamental posibil de scenarii diferite pentru desfășurarea evenimentelor.

Formula combinatorică de bază

Să fie k grupuri de elemente, iar grupul i este format din ni elemente. Să alegem câte un element din fiecare grup. Atunci numărul total N de moduri în care se poate face o astfel de alegere este determinat de relația N=n1*n2*n3*...*nk.

Exemplul 1 Să explicăm această regulă cu un exemplu simplu. Să fie două grupuri de elemente, primul grup format din n1 elemente și al doilea grup format din n2 elemente. Câte perechi diferite de elemente pot fi făcute din aceste două grupuri, astfel încât perechea să conțină câte un element din fiecare grup? Să presupunem că am luat primul element din primul grup și, fără a-l schimba, am trecut prin toate perechile posibile, schimbând doar elementele din a doua grupă. Există n2 astfel de perechi pentru acest element. Apoi luăm al doilea element din primul grup și, de asemenea, facem toate perechile posibile pentru el. Vor exista și n2 astfel de perechi. Deoarece există doar n1 elemente în primul grup, vor exista n1 * n2 opțiuni posibile.

Exemplul 2. Câte numere pare din trei cifre pot fi făcute din cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dacă cifrele pot fi repetate?

Soluție: n1=6 (deoarece puteți lua orice cifră din 1, 2, 3, 4, 5, 6 ca primă cifră), n2=7 (pentru că puteți lua orice cifră de la 0 ca a doua cifră , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (deoarece puteți lua orice cifră de la 0, 2, 4, 6 ca a treia cifră).

Deci, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

În cazul în care toate grupurile constau din același număr de elemente, i.e. n1=n2=...nk=n putem presupune că fiecare alegere este făcută din același grup, iar elementul după alegere este returnat din nou grupului. Atunci numărul tuturor metodelor de selecție este egal cu nk. O astfel de metodă de selecție se numește eșantionare cu returnare.

Exemplu. Câte numere din patru cifre pot fi făcute din numerele 1, 5, 6, 7, 8?

Decizie. Există cinci posibilități pentru fiecare cifră a unui număr de patru cifre, deci N=5*5*5*5=54=625.

Se consideră o mulțime formată din n elemente. Acest set va fi numit populația generală.

Definiție 1. Un aranjament de n elemente după m este orice mulțime ordonată de m elemente diferite selectate dintr-o populație de n elemente.

Exemplu. Aranjamente diferite de trei elemente (1, 2, 3) două câte două vor fi seturi (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3). , 2). Plasamentele pot diferi unele de altele atât ca elemente, cât și în ordinea lor.

Numărul de plasări este notat cu A, m din n și se calculează cu formula:

Notă: n!=1*2*3*...*n (a se citi: „en factorial”), în plus, se presupune că 0!=1.

Exemplul 5. Câte numere din două cifre sunt în care cifra zecilor și cifra unităților sunt diferite și impare?

Soluție: pentru că există cinci cifre impare și anume 1, 3, 5, 7, 9, atunci această problemă se reduce la alegerea și plasarea a două din cele cinci cifre diferite în două poziții diferite, i.e. numerele date vor fi:

Definiție 2. O combinație de n elemente prin m este orice set neordonat de m elemente diferite selectate dintr-o populație generală de n elemente.

Exemplul 6. Pentru mulțimea (1, 2, 3), combinațiile sunt (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Numărul de combinații este notat cu Cnm și se calculează cu formula:

Definiția 3. O permutare a n elemente este orice mulțime ordonată a acestor elemente.

Exemplul 7a. Toate permutările posibile ale unei mulțimi formate din trei elemente (1, 2, 3) sunt: ​​(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Numărul de permutări diferite ale n elemente se notează cu Pn și se calculează prin formula Pn=n!.

Exemplul 8. În câte moduri pot fi aranjate pe un raft pe un rând șapte cărți de autori diferiți?

Soluție: Această problemă se referă la numărul de permutări a șapte cărți diferite. Există P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 moduri de aranjare a cărților.

Discuţie. Vedem că numărul de combinații posibile poate fi calculat după diferite reguli (permutări, combinații, plasări), iar rezultatul va fi diferit, deoarece principiul numărării și formulele în sine sunt diferite. Privind îndeaproape definițiile, puteți vedea că rezultatul depinde de mai mulți factori în același timp.

În primul rând, din câte elemente le putem combina mulțimile (cât de mare este populația generală de elemente).

În al doilea rând, rezultatul depinde de ce dimensiune seturi de elemente avem nevoie.

În sfârșit, este important să știm dacă ordinea elementelor din mulțime este semnificativă pentru noi. Să explicăm ultimul factor cu următorul exemplu.

Exemplu. Sunt 20 de persoane la întâlnirea cu părinții. Câte opțiuni diferite pentru componența comitetului de părinte există dacă ar trebui să includă 5 persoane?

Soluție: În acest exemplu, nu ne interesează ordinea numelor de pe lista comisiilor. Dacă, în consecință, în compoziția sa apar aceleași persoane, atunci în ceea ce privește semnificația pentru noi, aceasta este aceeași opțiune. Prin urmare, putem folosi formula pentru a număra numărul de combinații de 20 de elemente cu 5.

Lucrurile vor fi diferite dacă fiecare membru al comitetului este inițial responsabil pentru un anumit domeniu de activitate. Apoi, cu același statul de plată al comitetului, sunt posibile 5 în interiorul acestuia! opțiuni de permutare care contează. Numărul de opțiuni diferite (atât în ​​ceea ce privește compoziția, cât și zona de responsabilitate) este determinat în acest caz de numărul de plasări a 20 de elemente cu 5.

Definiția geometrică a probabilității

Să fie considerat un test aleatoriu ca aruncând un punct la întâmplare într-o regiune geometrică G (pe o linie, un plan sau un spațiu). Rezultatele elementare sunt puncte individuale G, orice eveniment este o submulțime a acestei zone, spațiul rezultatelor elementare G. Putem presupune că toate punctele G sunt „egale” și atunci probabilitatea ca un punct să cadă într-o anumită submulțime este proporțională cu acesta. măsura (lungime, suprafață, volum) și independent de locația și forma acestuia.

Probabilitatea geometrică a evenimentului A este determinată de relația: , unde m(G), m(A) sunt măsuri geometrice (lungimi, arii sau volume) ale întregului spațiu al rezultatelor elementare și al evenimentului A.

Exemplu. Un cerc cu raza r () este aruncat aleatoriu pe un plan delimitat de benzi paralele de lățime 2d, a căror distanță dintre liniile axiale este egală cu 2D. Găsiți probabilitatea ca cercul să intersecteze o bandă.

Decizie. Ca rezultat elementar al acestui test, vom lua în considerare distanța x de la centrul cercului până la linia centrală a benzii cea mai apropiată de cerc. Atunci întregul spațiu al rezultatelor elementare este un segment. Intersecția unui cerc cu o bandă va avea loc dacă centrul acestuia cade în bandă, adică sau este situat la o distanță mai mică decât raza de la marginea benzii, adică.

Pentru probabilitatea dorită, obținem: .

Clasificarea evenimentelor în posibile, probabile și aleatorii. Conceptele de evenimente elementare simple și complexe. Operațiuni pe evenimente. Definiția clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu și proprietățile acestuia. Elemente de combinatorică în teoria probabilităților. probabilitate geometrică. Axiomele teoriei probabilităților.

1. Clasificarea evenimentelor

Unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților este conceptul de eveniment. Prin eveniment se înțelege orice fapt care poate apărea ca urmare a unei experiențe sau a unui test. Prin experiență, sau test, se înțelege implementarea unui anumit set de condiții.

Exemple de evenimente:

- lovirea țintei la tragerea cu pistolul (experiență - produsul unei împușcături; eveniment - lovirea țintei);

- pierderea a două steme în timpul unei aruncări de trei ori a unei monede (experiență - o aruncare de trei ori a unei monede; un eveniment - pierderea a două steme);

- aparitia unei erori de masurare in limitele specificate la masurarea distantei pana la tinta (experiment - masurare distanta; eveniment - eroare de masurare).

Nenumărate astfel de exemple ar putea fi citate. Evenimentele sunt indicate cu majuscule ale alfabetului latin etc.

Distingeți între evenimentele comune și cele non-comunite. Evenimentele sunt numite comune dacă apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt. În caz contrar, evenimentele sunt numite incompatibile. De exemplu, două zaruri sunt aruncate. Eveniment - pierderea a trei puncte pe primul zar, eveniment - pierderea a trei puncte pe al doilea zar și - evenimente comune. Lăsați magazinul să primească un lot de pantofi de același stil și mărime, dar de altă culoare. Un eveniment - o cutie luată la întâmplare va fi cu pantofi negri, un eveniment - o cutie va fi cu pantofi maro și - evenimente incompatibile.

Un eveniment se numește sigur dacă va avea loc în mod necesar în condițiile unui experiment dat.

Se spune că un eveniment este imposibil dacă nu poate avea loc în condițiile experienței date. De exemplu, cazul în care o piesă standard este luată dintr-un lot de piese standard este cert, dar o piesă nestandard este imposibilă.

Un eveniment este numit posibil sau aleatoriu dacă, ca urmare a experienței, poate sau nu să apară. Un exemplu de eveniment aleatoriu este detectarea defectelor de produs în timpul controlului unui lot de produse finite, discrepanța dintre dimensiunea produsului procesat și cel dat, defecțiunea uneia dintre verigile sistemului de control automat.

Se spune că evenimentele sunt la fel de probabile dacă, în condițiile testului, niciunul dintre aceste evenimente nu este obiectiv mai probabil decât celelalte. De exemplu, să presupunem că un magazin este furnizat cu becuri (și în cantități egale) de mai mulți producători. Evenimentele constând în cumpărarea unui bec de la oricare dintre aceste fabrici sunt la fel de probabile.

Un concept important este grupul complet de evenimente. Mai multe evenimente dintr-un experiment dat formează un grup complet dacă cel puțin unul dintre ele apare în mod necesar ca rezultat al experimentului. De exemplu, într-o urnă există zece bile, dintre care șase sunt roșii și patru sunt albe, dintre care cinci sunt numerotate. - apariția unei mingi roșii cu un singur desen, - apariția unei mingi albe, - apariția unei mingi cu un număr. Evenimentele formează un grup complet de evenimente comune.

Să introducem conceptul de eveniment opus sau suplimentar. Un eveniment opus este un eveniment care trebuie să aibă loc în mod necesar dacă un eveniment nu a avut loc. Evenimentele opuse sunt incompatibile și singurele posibile. Ele formează un grup complet de evenimente. De exemplu, dacă un lot de produse fabricate este format din produse bune și defecte, atunci când un produs este îndepărtat, se poate dovedi fie bun - un eveniment, fie defect - un eveniment.

2. Operațiuni pe evenimente

Atunci când se dezvoltă aparatul și metodologia pentru studierea evenimentelor aleatoare în teoria probabilității, conceptul de sumă și produs al evenimentelor este foarte important.

Teoria probabilității este o ramură a matematicii care studiază tiparele fenomenelor aleatoare: evenimente aleatoare, variabile aleatoare, proprietățile lor și operațiunile asupra lor.

Multă vreme, teoria probabilității nu a avut o definiție clară. A fost formulat abia în 1929. Apariția teoriei probabilităților ca știință este atribuită Evului Mediu și primelor încercări de analiză matematică a jocurilor de noroc (aruncarea, zarurile, ruleta). Matematicienii francezi din secolul al XVII-lea Blaise Pascal și Pierre de Fermat au descoperit primele modele probabilistice care apar la aruncarea zarurilor în timp ce studiază predicția câștigurilor în jocurile de noroc.

Teoria probabilității a apărut ca știință din credința că anumite regularități stau la baza evenimentelor aleatorii masive. Teoria probabilității studiază aceste modele.

Teoria probabilității se ocupă cu studiul evenimentelor, a căror apariție nu este cunoscută cu siguranță. Vă permite să judecați gradul de probabilitate a apariției unor evenimente în comparație cu altele.

De exemplu: este imposibil să se determine fără ambiguitate rezultatul aruncării unei monede cu capete sau cozi, dar cu aruncări repetate, aproximativ același număr de capete și cozi cade, ceea ce înseamnă că probabilitatea ca capul sau cozile să cadă ", este egală. la 50%.

Testîn acest caz, se numește implementarea unui anumit set de condiții, adică, în acest caz, aruncarea unei monede. Provocarea poate fi jucată de un număr nelimitat de ori. În acest caz, complexul de condiții include factori aleatori.

Rezultatul testului este eveniment. Evenimentul are loc:

1. Fiabil (apare întotdeauna ca rezultat al testării).
2. Imposibil (nu se întâmplă niciodată).
3. Aleatoriu (poate să apară sau nu ca rezultat al testului).

De exemplu, atunci când aruncați o monedă, un eveniment imposibil - moneda va ajunge pe margine, un eveniment aleatoriu - pierderea „capetelor” sau „cozilor”. Rezultatul testului specific este numit eveniment elementar. În urma testului, apar doar evenimente elementare. Se numește totalitatea tuturor rezultatelor posibile, diferite, specifice ale testului spațiu de eveniment elementar.

Concepte de bază ale teoriei

Probabilitate- gradul de posibilitate a producerii evenimentului. Atunci când motivele pentru care un eveniment posibil să apară efectiv depășesc motivele opuse, atunci acest eveniment se numește probabil, în caz contrar - improbabil sau improbabil.

Valoare aleatoare- aceasta este o valoare care, în urma testului, poate lua una sau alta valoare și nu se știe dinainte care dintre ele. De exemplu: numărul de stații de pompieri pe zi, numărul de lovituri cu 10 lovituri etc.

Variabilele aleatoare pot fi împărțite în două categorii.

1. Variabilă aleatoare discretă se numește o astfel de mărime care, în urma testului, poate lua anumite valori cu o anumită probabilitate, formând o mulțime numărabilă (o mulțime ale cărei elemente pot fi numerotate). Acest set poate fi fie finit, fie infinit. De exemplu, numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei este o variabilă aleatorie discretă, deoarece această valoare poate lua un număr infinit, deși numărabil, de valori.
2. Variabilă aleatoare continuă este o mărime care poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit. Evident, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit.

Spațiu de probabilitate- conceptul introdus de A.N. Kolmogorov în anii 1930 pentru a oficializa conceptul de probabilitate, care a dat naștere dezvoltării rapide a teoriei probabilităților ca disciplină matematică riguroasă.

Spațiul de probabilitate este un triplu (uneori încadrat între paranteze unghiulare: , unde

Acesta este o mulțime arbitrară, ale cărei elemente sunt numite evenimente elementare, rezultate sau puncte;
- sigma-algebra de submultimi numite evenimente (aleatorie);
- măsură sau probabilitate probabilistă, i.e. măsură finită sigma-aditivă astfel încât .

Teorema lui De Moivre-Laplace- una dintre teoremele limitative ale teoriei probabilităților, stabilită de Laplace în 1812. Ea afirmă că numărul de succese în repetarea aceluiași experiment aleatoriu cu două rezultate posibile este distribuit aproximativ normal. Vă permite să găsiți o valoare aproximativă a probabilității.

Dacă, pentru fiecare dintre încercările independente, probabilitatea apariției unui eveniment aleatoriu este egală cu () și este numărul de încercări în care are loc efectiv, atunci probabilitatea de valabilitate a inegalității este apropiată (pentru mari ) la valoarea integralei Laplace.

Funcția de distribuție în teoria probabilităților- o funcţie care caracterizează distribuţia unei variabile aleatoare sau a unui vector aleator; probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să ia o valoare mai mică sau egală cu x, unde x este un număr real arbitrar. În anumite condiții, determină complet o variabilă aleatorie.

Valorea estimata- valoarea medie a unei variabile aleatoare (aceasta este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare, considerată în teoria probabilității). În literatura engleză, este notat cu, în rusă -. În statistică, notația este adesea folosită.

Să fie date un spațiu de probabilitate și o variabilă aleatoare definite pe acesta. Adică, prin definiție, o funcție măsurabilă. Atunci, dacă există o integrală Lebesgue a supra-spațiului , atunci se numește așteptare matematică, sau valoare medie, și se notează cu .

Varianta unei variabile aleatoare- o măsură a răspândirii unei variabile aleatoare date, adică abaterea acesteia de la așteptările matematice. Desemnat în literatura rusă și în străinătate. În statistică, denumirea sau este adesea folosită. Rădăcina pătrată a varianței se numește abatere standard, abatere standard sau spread standard.

Fie o variabilă aleatoare definită pe un spațiu de probabilitate. Apoi

unde simbolul denotă așteptarea matematică.

În teoria probabilității, sunt numite două evenimente aleatoare independent dacă apariţia unuia dintre ele nu modifică probabilitatea apariţiei celuilalt. În mod similar, sunt numite două variabile aleatoare dependent dacă valoarea unuia dintre ele afectează probabilitatea valorilor celuilalt.

Cea mai simplă formă a legii numerelor mari este teorema lui Bernoulli, care afirmă că dacă probabilitatea unui eveniment este aceeași în toate încercările, atunci pe măsură ce numărul de încercări crește, frecvența evenimentului tinde spre probabilitatea evenimentului și încetează să fie aleatoriu.

Legea numerelor mari din teoria probabilității afirmă că media aritmetică a unui eșantion finit dintr-o distribuție fixă ​​este apropiată de media teoretică a acelei distribuții. În funcție de tipul de convergență, se distinge o lege slabă a numerelor mari, când are loc convergența în probabilitate, și o lege puternică a numerelor mari, când convergența are loc aproape sigur.

Sensul general al legii numerelor mari este că acțiunea comună a unui număr mare de factori aleatori identici și independenți duce la un rezultat care, în limită, nu depinde de întâmplare.

Metodele de estimare a probabilității bazate pe analiza unui eșantion finit se bazează pe această proprietate. Un bun exemplu este predicția rezultatelor alegerilor pe baza unui sondaj efectuat pe un eșantion de alegători.

Teoreme limite centrale- o clasă de teoreme din teoria probabilităților care afirmă că suma unui număr suficient de mare de variabile aleatoare slab dependente care au aproximativ aceeași scară (niciunul dintre termeni nu domină, nu aduce o contribuție decisivă la sumă) are o distribuție apropiată de normal.

Deoarece multe variabile aleatoare din aplicații se formează sub influența mai multor factori aleatori slab dependenți, distribuția lor este considerată normală. În acest caz, trebuie observată condiția ca niciunul dintre factori să nu fie dominant. Teoremele limită centrale în aceste cazuri justifică aplicarea distribuției normale.

„Alatorizarea nu este întâmplătoare”... Sună ca a spus un filozof, dar de fapt, studiul accidentelor este destinul marii științe a matematicii. În matematică, șansa este teoria probabilității. Formule și exemple de sarcini, precum și principalele definiții ale acestei științe vor fi prezentate în articol.

Ce este teoria probabilității?

Teoria probabilității este una dintre disciplinele matematice care studiază evenimentele aleatoare.

Pentru a fi puțin mai clar, să dăm un mic exemplu: dacă arunci o monedă în sus, poate cădea capul sau coada. Atâta timp cât moneda este în aer, ambele posibilități sunt posibile. Adică, probabilitatea unor posibile consecințe corelează 1:1. Dacă unul este extras dintr-un pachet cu 36 de cărți, atunci probabilitatea va fi indicată ca 1:36. S-ar părea că nu există nimic de explorat și de prezis, mai ales cu ajutorul formulelor matematice. Cu toate acestea, dacă repetați o anumită acțiune de mai multe ori, atunci puteți identifica un anumit model și, pe baza acestuia, puteți prezice rezultatul evenimentelor în alte condiții.

Pentru a rezuma toate cele de mai sus, teoria probabilității în sens clasic studiază posibilitatea apariției unuia dintre evenimentele posibile în sens numeric.

Din paginile istoriei

Teoria probabilității, formulele și exemplele primelor sarcini au apărut în îndepărtatul Ev Mediu, când au apărut pentru prima dată încercările de a prezice rezultatul jocurilor de cărți.

Inițial, teoria probabilității nu avea nimic de-a face cu matematica. A fost justificată prin fapte empirice sau proprietăți ale unui eveniment care putea fi reprodus în practică. Primele lucrări în acest domeniu ca disciplină matematică au apărut în secolul al XVII-lea. Fondatorii au fost Blaise Pascal și Pierre Fermat. Multă vreme au studiat jocurile de noroc și au văzut anumite modele, despre care au decis să spună publicului.

Aceeași tehnică a fost inventată de Christian Huygens, deși nu era familiarizat cu rezultatele cercetărilor lui Pascal și Fermat. Conceptul de „teoria probabilității”, formule și exemple, care sunt considerate primele din istoria disciplinei, au fost introduse de el.

De importanță nu mică sunt lucrările lui Jacob Bernoulli, teoremele lui Laplace și Poisson. Ei au făcut din teoria probabilității mai mult o disciplină matematică. Teoria probabilității, formulele și exemplele de sarcini de bază și-au luat forma actuală datorită axiomelor lui Kolmogorov. Ca urmare a tuturor schimbărilor, teoria probabilității a devenit una dintre ramurile matematice.

Concepte de bază ale teoriei probabilităților. Evenimente

Conceptul principal al acestei discipline este „eveniment”. Evenimentele sunt de trei tipuri:

• De încredere. Cele care se vor întâmpla oricum (moneda va cădea).
• Imposibil. Evenimente care nu se vor întâmpla în niciun scenariu (moneda va rămâne agățată în aer).
• Aleatoriu. Cele care se vor întâmpla sau nu. Ele pot fi influențate de diverși factori care sunt foarte greu de prezis. Dacă vorbim despre o monedă, atunci factori aleatori care pot afecta rezultatul: caracteristicile fizice ale monedei, forma acesteia, poziția inițială, forța de aruncare etc.

Toate evenimentele din exemple sunt notate cu majuscule latine, cu excepția lui R, care are un rol diferit. De exemplu:

• A = „elevii au venit la prelegere”.
• Ā = „elevii nu au venit la curs”.

În sarcinile practice, evenimentele sunt de obicei înregistrate în cuvinte.

Una dintre cele mai importante caracteristici ale evenimentelor este posibilitatea lor egală. Adică, dacă arunci o monedă, toate variantele căderii inițiale sunt posibile până când aceasta cade. Dar evenimentele nu sunt la fel de probabile. Acest lucru se întâmplă atunci când cineva influențează în mod deliberat rezultatul. De exemplu, cărți de joc sau zaruri „marcate”, în care centrul de greutate este deplasat.

Evenimentele sunt, de asemenea, compatibile și incompatibile. Evenimentele compatibile nu exclud apariția reciprocă. De exemplu:

• A = „studentul a venit la curs”.
• B = „elevul a venit la curs”.

Aceste evenimente sunt independente unele de altele, iar apariția unuia dintre ele nu afectează aspectul celuilalt. Evenimentele incompatibile sunt definite prin faptul că apariția unuia exclude apariția celuilalt. Dacă vorbim despre aceeași monedă, atunci pierderea „cozilor” face imposibilă apariția „capetelor” în același experiment.

Acțiuni pe evenimente

Evenimentele pot fi multiplicate și adăugate, respectiv, în disciplină sunt introduse conexiuni logice „ȘI” și „SAU”.

Suma este determinată de faptul că fie evenimentul A, fie B, sau ambele pot avea loc în același timp. În cazul în care acestea sunt incompatibile, ultima opțiune este imposibilă, fie A sau B vor renunța.

Înmulțirea evenimentelor constă în apariția lui A și B în același timp.

Acum puteți da câteva exemple pentru a vă aminti mai bine elementele de bază, teoria probabilității și formulele. Exemple de rezolvare a problemelor de mai jos.

Exercitiul 1: Firma licitează pentru contracte pentru trei tipuri de lucrări. Evenimente posibile care pot apărea:

• A = „firma va primi primul contract”.
• A 1 = „firma nu va primi primul contract”.
• B = „firma va primi un al doilea contract”.
• B 1 = „firma nu va primi un al doilea contract”
• C = „firma va primi un al treilea contract”.
• C 1 = „firma nu va primi un al treilea contract”.

Să încercăm să exprimăm următoarele situații folosind acțiuni asupra evenimentelor:

• K = „firma va primi toate contractele”.

În formă matematică, ecuația va arăta astfel: K = ABC.

• M = „firma nu va primi un singur contract”.

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Complicam sarcina: H = „firma va primi un contract”. Deoarece nu se știe ce contract va primi firma (primul, al doilea sau al treilea), este necesar să se înregistreze întreaga gamă de evenimente posibile:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Iar 1 BC 1 este o serie de evenimente în care firma nu primește primul și al treilea contract, ci îl primește pe al doilea. Alte evenimente posibile sunt, de asemenea, înregistrate prin metoda corespunzătoare. Simbolul υ în disciplină denotă o grămadă de „SAU”. Dacă traducem exemplul de mai sus în limbaj uman, atunci compania va primi fie al treilea contract, fie al doilea, fie primul. În mod similar, puteți scrie și alte condiții la disciplina „Teoria probabilității”. Formulele și exemplele de rezolvare a problemelor prezentate mai sus vă vor ajuta să o faceți singur.

De fapt, probabilitatea

Poate că, în această disciplină matematică, probabilitatea unui eveniment este un concept central. Există 3 definiții ale probabilității:

• clasic;
• statistic;
• geometric.

Fiecare își are locul în studiul probabilităților. Teoria probabilității, formulele și exemplele (clasa a 9-a) folosesc în mare parte definiția clasică, care sună astfel:

• Probabilitatea situației A este egală cu raportul dintre numărul de rezultate care favorizează apariția acesteia și numărul tuturor rezultatelor posibile.

Formula arată astfel: P (A) \u003d m / n.

Și, de fapt, un eveniment. Dacă apare opusul lui A, acesta poate fi scris ca  sau A 1 .

m este numărul de cazuri favorabile posibile.

n - toate evenimentele care se pot întâmpla.

De exemplu, A \u003d „trageți o carte de costum de inimă”. Există 36 de cărți într-un pachet standard, 9 dintre ele sunt de inimi. În consecință, formula pentru rezolvarea problemei va arăta astfel:

P(A)=9/36=0,25.

Ca urmare, probabilitatea ca o carte cu culoarea inimii să fie extrasă din pachet va fi de 0,25.

la matematica superioară

Acum a devenit puțin cunoscut ce este teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a sarcinilor care se întâlnesc în programa școlară. Totuși, teoria probabilității se găsește și în matematica superioară, care se predă în universități. Cel mai adesea, ele operează cu definiții geometrice și statistice ale teoriei și formule complexe.

Teoria probabilității este foarte interesantă. Formulele și exemplele (matematică superioară) sunt mai bine să începeți să învățați de la unul mic - dintr-o definiție statistică (sau frecvență) a probabilității.

Abordarea statistică nu contrazice abordarea clasică, ci o extinde ușor. Dacă în primul caz a fost necesar să se determine cu ce grad de probabilitate va avea loc un eveniment, atunci în această metodă este necesar să se indice cât de des va avea loc. Aici este introdus un nou concept de „frecvență relativă”, care poate fi notat cu W n (A). Formula nu este diferită de cea clasică:

Dacă formula clasică este calculată pentru prognoză, atunci cea statistică este calculată în funcție de rezultatele experimentului. Luați, de exemplu, o sarcină mică.

Departamentul de control tehnologic verifică calitatea produselor. Dintre 100 de produse, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Cum să găsiți probabilitatea de frecvență a unui produs de calitate?

A = „aspectul unui produs de calitate”.

Wn (A)=97/100=0,97

Astfel, frecvența unui produs de calitate este de 0,97. De unde ai luat 97? Din cele 100 de produse care au fost verificate, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Scădem 3 din 100, obținem 97, aceasta este cantitatea unui produs de calitate.

Un pic despre combinatorie

O altă metodă de teorie a probabilității se numește combinatorică. Principiul său de bază este că dacă o anumită alegere A poate fi făcută în m moduri diferite, iar o alegere B în n moduri diferite, atunci alegerea lui A și B poate fi făcută prin înmulțire.

De exemplu, există 5 drumuri de la orașul A la orașul B. Există 4 rute de la orașul B la orașul C. Câte moduri există pentru a ajunge din orașul A în orașul C?

Este simplu: 5x4 = 20, adică există douăzeci de moduri diferite de a ajunge de la punctul A la punctul C.

Să facem sarcina mai grea. Câte moduri există de a juca cărți în solitaire? Într-un pachet de 36 de cărți, acesta este punctul de plecare. Pentru a afla numărul de moduri, trebuie să „scădeți” o carte din punctul de plecare și să înmulțiți.

Adică 36x35x34x33x32…x2x1= rezultatul nu se potrivește pe ecranul calculatorului, deci poate fi pur și simplu notat ca 36!. Semn "!" lângă număr indică faptul că întreaga serie de numere este înmulțită între ele.

În combinatorică, există concepte precum permutarea, plasarea și combinarea. Fiecare dintre ele are propria sa formulă.

Un set ordonat de elemente de set se numește aspect. Plasările pot fi repetitive, ceea ce înseamnă că un element poate fi folosit de mai multe ori. Și fără repetare, când elementele nu se repetă. n este toate elementele, m este elementele care participă la plasare. Formula de plasare fără repetări va arăta astfel:

A n m =n!/(n-m)!

Conexiunile a n elemente care diferă numai în ordinea plasării se numesc permutări. În matematică, aceasta arată astfel: P n = n!

Combinațiile de n elemente cu m sunt astfel de compuși în care este important ce elemente au fost și care este numărul lor total. Formula va arăta astfel:

A n m =n!/m!(n-m)!

formula Bernoulli

În teoria probabilității, ca și în fiecare disciplină, există lucrări ale unor cercetători remarcabili în domeniul lor care au dus-o la un nou nivel. Una dintre aceste lucrări este formula Bernoulli, care vă permite să determinați probabilitatea ca un anumit eveniment să se producă în condiții independente. Acest lucru sugerează că apariția lui A într-un experiment nu depinde de apariția sau neapariția aceluiași eveniment în testele anterioare sau ulterioare.

Ecuația lui Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Probabilitatea (p) de apariție a evenimentului (A) este neschimbată pentru fiecare încercare. Probabilitatea ca situația să se întâmple exact de m ori în n număr de experimente va fi calculată prin formula prezentată mai sus. În consecință, se pune întrebarea cum să aflați numărul q.

Dacă evenimentul A are loc de p de ori, în consecință, este posibil să nu apară. O unitate este un număr care este folosit pentru a desemna toate rezultatele unei situații dintr-o disciplină. Prin urmare, q este un număr care indică posibilitatea ca evenimentul să nu se producă.

Acum cunoașteți formula Bernoulli (teoria probabilității). Exemple de rezolvare a problemelor (primul nivel) vor fi luate în considerare mai jos.

Sarcina 2: Un vizitator al magazinului va face o achiziție cu o probabilitate de 0,2. 6 vizitatori au intrat independent în magazin. Care este probabilitatea ca un vizitator să facă o achiziție?

Soluție: Deoarece nu se știe câți vizitatori ar trebui să facă o achiziție, unul sau toți șase, este necesar să se calculeze toate probabilitățile posibile folosind formula Bernoulli.

A = „vizitatorul va face o achiziție”.

În acest caz: p = 0,2 (după cum este indicat în sarcină). În consecință, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (pentru că în magazin sunt 6 clienți). Numărul m se va schimba de la 0 (niciun client nu va face o achiziție) la 6 (toți vizitatorii magazinului vor cumpăra ceva). Ca rezultat, obținem soluția:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Niciunul dintre cumpărători nu va face o achiziție cu o probabilitate de 0,2621.

Cum altfel se folosește formula Bernoulli (teoria probabilității)? Exemple de rezolvare a problemelor (nivelul doi) de mai jos.

După exemplul de mai sus, apar întrebări despre unde au ajuns C și p. În ceea ce privește p, un număr cu puterea lui 0 va fi egal cu unu. În ceea ce privește C, acesta poate fi găsit prin formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Deoarece în primul exemplu m = 0, respectiv, C=1, ceea ce în principiu nu afectează rezultatul. Folosind noua formulă, să încercăm să aflăm care este probabilitatea de a cumpăra bunuri de către doi vizitatori.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria probabilității nu este atât de complicată. Formula Bernoulli, dintre care exemple sunt prezentate mai sus, este o dovadă directă a acestui lucru.

Formula Poisson

Ecuația Poisson este utilizată pentru a calcula situații aleatoare improbabile.

Formula de baza:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ).

În acest caz, λ = n x p. Iată o formulă Poisson atât de simplă (teoria probabilității). Exemple de rezolvare a problemelor vor fi luate în considerare mai jos.

Sarcina 3 R: Fabrica a produs 100.000 de piese. Aspectul unei piese defecte = 0,0001. Care este probabilitatea ca într-un lot să fie 5 piese defecte?

După cum puteți vedea, căsătoria este un eveniment puțin probabil și, prin urmare, formula Poisson (teoria probabilității) este utilizată pentru calcul. Exemplele de rezolvare a problemelor de acest fel nu diferă de alte sarcini ale disciplinei, înlocuim datele necesare în formula de mai sus:

A = „o parte aleasă aleatoriu va fi defectă”.

p = 0,0001 (conform condiției de atribuire).

n = 100000 (număr de piese).

m = 5 (piese defecte). Inlocuim datele din formula si obtinem:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

La fel ca formula Bernoulli (teoria probabilității), exemple de soluții folosind care sunt scrise mai sus, ecuația Poisson are un e necunoscut. În esență, poate fi găsită prin formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Cu toate acestea, există tabele speciale care conțin aproape toate valorile lui e.

Teorema lui De Moivre-Laplace

Dacă în schema Bernoulli numărul de încercări este suficient de mare, iar probabilitatea de apariție a evenimentului A în toate schemele este aceeași, atunci probabilitatea de apariție a evenimentului A de un anumit număr de ori într-o serie de încercări poate fi găsită prin formula Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Pentru a reține mai bine formula Laplace (teoria probabilității), exemple de sarcini de mai jos.

Mai întâi găsim X m , înlocuim datele (toate sunt indicate mai sus) în formulă și obținem 0,025. Folosind tabele, găsim numărul ϕ (0,025), a cărui valoare este 0,3988. Acum puteți înlocui toate datele din formula:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Deci probabilitatea ca fluturașul să lovească exact de 267 de ori este de 0,03.

Formula Bayes

Formula Bayes (teoria probabilității), exemple de rezolvare a sarcinilor folosind care vor fi date mai jos, este o ecuație care descrie probabilitatea unui eveniment pe baza circumstanțelor care ar putea fi asociate acestuia. Formula principală este următoarea:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A și B sunt evenimente determinate.

P(A|B) - probabilitate condiționată, adică evenimentul A poate avea loc, cu condiția ca evenimentul B să fie adevărat.

Р (В|А) - probabilitatea condiționată a evenimentului В.

Deci, partea finală a cursului scurt „Teoria probabilității” este formula Bayes, exemple de rezolvare a problemelor cu care sunt mai jos.

Sarcina 5: La depozit au fost aduse telefoane de la trei firme. În același timp, o parte din telefoanele care sunt fabricate la prima fabrică este de 25%, la a doua - 60%, la a treia - 15%. De asemenea, se știe că procentul mediu de produse defecte la prima fabrică este de 2%, la a doua - 4%, iar la a treia - 1%. Este necesar să găsiți probabilitatea ca un telefon selectat aleatoriu să fie defect.

A = „telefon luat la întâmplare”.

B 1 - telefonul pe care l-a făcut prima fabrică. În consecință, vor apărea B 2 și B 3 introductive (pentru a doua și a treia fabrică).

Ca rezultat, obținem:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - deci am găsit probabilitatea fiecărei opțiuni.

Acum trebuie să găsiți probabilitățile condiționate ale evenimentului dorit, adică probabilitatea produselor defecte în firme:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Acum înlocuim datele în formula Bayes și obținem:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Articolul prezintă teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a problemelor, dar acesta este doar vârful aisbergului unei discipline vaste. Și după tot ce s-a scris, va fi logic să ne punem întrebarea dacă teoria probabilității este necesară în viață. Este dificil pentru o persoană simplă să răspundă, este mai bine să întrebi pe cineva care a lovit jackpot-ul de mai multe ori cu ajutorul ei.

INTRODUCERE

Multe lucruri ne sunt de neînțeles, nu pentru că conceptele noastre sunt slabe;
ci pentru că aceste lucruri nu intră în cercul conceptelor noastre.
Kozma Prutkov

Scopul principal al studierii matematicii în instituțiile de învățământ secundar de specialitate este acela de a oferi studenților un set de cunoștințe și abilități matematice necesare studierii altor discipline de program care folosesc matematica într-un grad sau altul, pentru capacitatea de a efectua calcule practice, pentru formarea și dezvoltarea. a gândirii logice.

În această lucrare, toate conceptele de bază ale secțiunii de matematică „Fundamentele teoriei probabilităților și statisticii matematice”, prevăzute de program și de standardele educaționale de stat ale învățământului secundar profesional (Ministerul Educației al Federației Ruse. M., 2002). ), sunt introduse consecvent, se formulează principalele teoreme, dintre care majoritatea nu sunt dovedite. Sunt luate în considerare principalele sarcini și metode pentru soluționarea lor și tehnologiile de aplicare a acestor metode la rezolvarea problemelor practice. Prezentarea este însoțită de comentarii detaliate și de numeroase exemple.

Instrucțiunile metodice pot fi folosite pentru familiarizarea inițială cu materialul studiat, la luarea notițelor prelegerilor, pentru pregătirea pentru exerciții practice, pentru consolidarea cunoștințelor, deprinderilor și abilităților dobândite. În plus, manualul va fi util studenților de licență ca instrument de referință care vă permite să restaurați rapid în memorie ceea ce a fost studiat anterior.

La sfârșitul lucrării sunt date exemple și sarcini pe care elevii le pot îndeplini în modul de autocontrol.

Instrucțiunile metodologice sunt destinate studenților de la forma de învățământ prin corespondență și cu normă întreagă.

NOȚIUNI DE BAZĂ

Teoria probabilității studiază regularitățile obiective ale evenimentelor aleatoare de masă. Este o bază teoretică pentru statistica matematică, care se ocupă cu dezvoltarea metodelor de colectare, descriere și procesare a rezultatelor observațiilor. Prin observatii (teste, experimente), i.e. experiență în sensul larg al cuvântului, există o cunoaștere a fenomenelor din lumea reală.

În activitățile noastre practice, întâlnim adesea fenomene, al căror rezultat nu poate fi prezis, al căror rezultat depinde de întâmplare.

Un fenomen aleatoriu poate fi caracterizat prin raportul dintre numărul de apariții ale acestuia și numărul de încercări, în fiecare dintre acestea, în aceleași condiții ale tuturor încercărilor, ar putea să apară sau nu.

Teoria probabilității este o ramură a matematicii în care fenomenele aleatoare (evenimentele) sunt studiate și regularitățile sunt relevate în timpul repetării lor în masă.

Statistica matematică este o ramură a matematicii care are ca subiect studiul metodelor de colectare, sistematizare, prelucrare și utilizare a datelor statistice pentru a obține concluzii bazate științific și a lua decizii.

În același timp, datele statistice sunt înțelese ca un set de numere care reprezintă caracteristicile cantitative ale trăsăturilor obiectelor studiate care ne interesează. Datele statistice sunt obținute ca rezultat al experimentelor și observațiilor special concepute.

Datele statistice în esență depind de mulți factori aleatori, astfel încât statistica matematică este strâns legată de teoria probabilității, care este baza sa teoretică.

I. PROBABILITATE. TEOREME DE ADIUNARE ȘI DE MULTIPLICARE A PROBABILITĂȚII

1.1. Concepte de bază ale combinatoriei

La secţiunea de matematică numită combinatorică se rezolvă unele probleme legate de luarea în considerare a mulţimilor şi alcătuirea diferitelor combinaţii de elemente ale acestor mulţimi. De exemplu, dacă luăm 10 numere diferite 0, 1, 2, 3,:, 9 și facem combinații ale acestora, vom obține numere diferite, de exemplu 143, 431, 5671, 1207, 43 etc.

Vedem că unele dintre aceste combinații diferă doar în ordinea cifrelor (de exemplu, 143 și 431), altele în numerele incluse în ele (de exemplu, 5671 și 1207), iar altele diferă și prin numărul de cifre ( de exemplu, 143 și 43).

Astfel, combinatiile obtinute satisfac diverse conditii.

În funcție de regulile de compilare, se pot distinge trei tipuri de combinații: permutări, plasări, combinații.

Să ne familiarizăm mai întâi cu conceptul factorial.

Se numește produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n inclusiv n-factorial si scrie.

Calculați: a) ; b) ; în) .

Decizie. A) .

b) precum și , apoi îl puteți scoate din paranteze

Apoi primim

în) .

Permutări.

O combinație de n elemente care diferă între ele doar în ordinea elementelor se numește permutare.

Permutările sunt notate prin simbol P n , unde n este numărul de elemente din fiecare permutare. ( R- prima literă a cuvântului francez permutare- permutare).

Numărul de permutări poate fi calculat folosind formula

sau cu factorial:

Să ne amintim asta 0!=1 și 1!=1.

Exemplul 2. În câte moduri pot fi aranjate șase cărți diferite pe un raft?

Decizie. Numărul dorit de moduri este egal cu numărul de permutări a 6 elemente, adică

Cazare.

Destinații de plasare din m elemente în nîn fiecare se numesc astfel de compuși care diferă unul de celălalt fie prin elementele în sine (cel puțin unul), fie prin ordinea locației.

Locațiile sunt notate cu simbolul , unde m este numărul tuturor elementelor disponibile, n este numărul de elemente din fiecare combinație. ( DAR- prima literă a cuvântului francez aranjament, care înseamnă „așezarea, punerea în ordine”).

În același timp, se presupune că nm.

Numărul de plasări poate fi calculat folosind formula

,

acestea. numărul tuturor plasărilor posibile de la m elemente prin n este egal cu produsul n numere întregi consecutive, dintre care cel mai mare este m.

Scriem această formulă în formă factorială:

Exemplul 3. Câte opțiuni pentru distribuirea a trei vouchere la un sanatoriu de diverse profiluri pot fi făcute pentru cinci solicitanți?

Decizie. Numărul dorit de opțiuni este egal cu numărul de plasări a 5 elemente cu 3 elemente, adică.

.

Combinații.

Combinațiile sunt toate combinațiile posibile ale m elemente prin n, care diferă unele de altele prin cel puțin un element (aici mși n- numere naturale și nm).

Numărul de combinații de la m elemente prin n sunt notate ( Cu- prima literă a cuvântului francez combinaţie- combinație).

În general, numărul de m elemente prin n egal cu numărul de plasări din m elemente prin nîmpărțit la numărul de permutări din n elemente:

Folosind formule factoriale pentru numere de plasare și permutare, obținem:

Exemplul 4. Într-o echipă de 25 de persoane, trebuie să alocați patru pentru a lucra într-o anumită zonă. În câte moduri se poate face acest lucru?

Decizie. Deoarece ordinea celor patru persoane alese nu contează, acest lucru se poate face în moduri.

Găsim prin prima formulă

.

În plus, la rezolvarea problemelor, se folosesc următoarele formule care exprimă principalele proprietăți ale combinațiilor:

(prin definiție și sunt presupuse);

.

1.2. Rezolvarea problemelor combinatorii

Sarcina 1. La facultate se studiază 16 materii. Luni, trebuie să puneți 3 subiecte în program. În câte moduri se poate face acest lucru?

Decizie. Există tot atâtea moduri de a programa trei articole din 16 câte sunt plasări de 16 elemente a câte 3 fiecare.

Sarcina 2. Din 15 obiecte, trebuie selectate 10 obiecte. În câte moduri se poate face acest lucru?

Sarcina 3. Patru echipe au participat la competiție. Câte opțiuni de repartizare a locurilor între ele sunt posibile?

.

Problema 4. În câte moduri se poate forma o patrulă de trei soldați și un ofițer dacă sunt 80 de soldați și 3 ofițeri?

Decizie. Soldatul de patrulare poate fi selectat

căi, iar căile ofițerilor. Deoarece orice ofițer poate merge cu fiecare echipă de soldați, există doar moduri.

Sarcina 5. Aflați dacă se știe că .

De când, primim

,

,

Prin definiția combinației rezultă că , . Acea. .

1.3. Conceptul de eveniment aleatoriu. Tipuri de evenimente. Probabilitatea evenimentului

Orice acțiune, fenomen, observație cu mai multe rezultate diferite, realizată într-un anumit set de condiții, va fi numită Test.

Rezultatul acestei acțiuni sau observații se numește eveniment .

Dacă un eveniment în condiții date poate să apară sau nu, atunci este numit Aleatoriu . În cazul în care un eveniment trebuie să aibă loc cu siguranță, acesta este numit de încredere , iar în cazul în care cu siguranță nu se poate întâmpla, - imposibil.

Evenimentele sunt numite incompatibil dacă numai unul dintre ei poate apărea de fiecare dată.

Evenimentele sunt numite comun dacă, în condiţiile date, producerea unuia dintre aceste evenimente nu exclude apariţia celuilalt în cadrul aceluiaşi test.

Evenimentele sunt numite opus , dacă în condițiile de testare ele, fiind singurele sale rezultate, sunt incompatibile.

Evenimentele sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin: A, B, C, D, : .

Un sistem complet de evenimente A 1 , A 2 , A 3 , : , A n este un set de evenimente incompatibile, apariția a cel puțin a unuia dintre acestea fiind obligatorie pentru un test dat.

Dacă un sistem complet este format din două evenimente incompatibile, atunci astfel de evenimente sunt numite opuse și sunt notate cu A și .

Exemplu. Într-o cutie sunt 30 de bile numerotate. Determinați care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, sigure, opuse:

a primit o minge numerotată (DAR);

trage o bilă cu număr par (LA);

a tras o minge cu un număr impar (CU);

am o minge fără număr (D).

Care dintre ei formează un grup complet?

Decizie . DAR- eveniment anume; D- eveniment imposibil;

In si Cu- evenimente opuse.

Grupul complet de evenimente este DARși D, Vși Cu.

Probabilitatea unui eveniment este considerată ca o măsură a posibilității obiective de apariție a unui eveniment aleatoriu.

1.4. Definiția clasică a probabilității

Se numește numărul, care este o expresie a măsurii posibilității obiective de apariție a unui eveniment probabilitate acest eveniment și este notat cu simbolul P(A).

Definiție. Probabilitatea unui eveniment DAR este raportul dintre numărul de rezultate m care favorizează apariția unui anumit eveniment DAR, la număr n toate rezultatele (incompatibile, unice și la fel de posibile), adică .

Prin urmare, pentru a afla probabilitatea unui eveniment, este necesar, după analizarea diferitelor rezultate ale testului, să se calculeze toate posibilele rezultate incompatibile. n, alegeți numărul de rezultate care ne interesează m și calculați raportul m la n.

Următoarele proprietăți rezultă din această definiție:

Probabilitatea oricărei încercări este un număr nenegativ care nu depășește unu.

Într-adevăr, numărul m al evenimentelor dorite se află în . Împărțirea ambelor părți în n, primim

2. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu, deoarece .

3. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero deoarece .

Problema 1. Există 200 de câștigători din 1000 de bilete la loterie. Un bilet este extras la întâmplare. Care este probabilitatea ca acest bilet să câștige?

Decizie. Numărul total de rezultate diferite este n=1000. Numărul de rezultate care favorizează câștigul este m=200. Conform formulei, obținem

.

Sarcina 2. Într-un lot de 18 piese, sunt 4 defecte. 5 piese sunt alese la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca două din aceste 5 piese să fie defecte.

Decizie. Numărul tuturor rezultatelor independente la fel de posibile n este egal cu numărul de combinații de la 18 la 5, adică

Să calculăm numărul m care favorizează evenimentul A. Printre cele 5 părți alese aleatoriu, ar trebui să existe 3 de înaltă calitate și 2 defecte. Numărul de moduri de a selecta două piese defecte din 4 piese defecte disponibile este egal cu numărul de combinații de la 4 la 2:

Numărul de moduri de a selecta trei piese de calitate din 14 piese de calitate disponibile este egal cu

.

Orice grup de piese de calitate poate fi combinat cu orice grup de piese defecte, deci numărul total de combinații m este

Probabilitatea dorită a evenimentului A este egală cu raportul dintre numărul de rezultate m care favorizează acest eveniment și numărul n al tuturor rezultatelor independente la fel de posibile:

.

Suma unui număr finit de evenimente este un eveniment constând în apariția a cel puțin unuia dintre ele.

Suma a două evenimente este notată prin simbolul A + B și suma n simbolul evenimentelor A 1 +A 2 + : +A n .

Teorema adunării probabilităților.

Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.

Corolarul 1. Dacă evenimentul А 1 , А 2 , : , А n formează un sistem complet, atunci suma probabilităților acestor evenimente este egală cu unu.

Corolarul 2. Suma probabilităților de evenimente opuse și este egală cu unu.

.

Problema 1. Există 100 de bilete de loterie. Se știe că 5 bilete obțin un câștig de 20.000 de ruble, 10 - 15.000 de ruble, 15 - 10.000 de ruble, 25 - 2.000 de ruble. si nimic in rest. Găsiți probabilitatea ca biletul achiziționat să câștige cel puțin 10.000 de ruble.

Decizie. Fie A, B și C evenimente constând în faptul că pe biletul achiziționat cade un premiu egal cu 20.000, 15.000 și 10.000 de ruble. întrucât evenimentele A, B și C sunt incompatibile, atunci

Sarcina 2. Secția de corespondență a școlii tehnice primește teste la matematică din orașe A, Bși Cu. Probabilitatea de primire a lucrărilor de control din oraș DAR egal cu 0,6, din oras LA- 0,1. Găsiți probabilitatea ca următoarea lucrare de control să vină din oraș Cu.