matrice inversă · Matricea B se numește inversul matricei dacă egalitatea este adevărată: . Desemnare: − Doar pătrat o matrice poate avea o matrice inversă. − Nu fiecare pătrat matricea are o matrice inversă. Proprietăți: 1. ; 2. ; 3. , unde matricele sunt pătrate și de aceeași dimensiune. În general, dacă pentru matricele nepătrate este posibil un produs, care va fi o matrice pătrată, atunci este posibilă și existența unei matrici inverse , deși 3-proprietatea este încălcată. Pentru a găsi matricea inversă, puteți utiliza metoda transformărilor elementare de rând: 1. Compuneți o matrice extinsă atribuind în dreapta matricei originale o matrice de identitate de dimensiunea corespunzătoare: . 2. Transformări elementare ale rândurilor matriceale G duce la forma: . − rangul necesar al matricei · Minorul ordinului k al unei matrice este un determinant compus din elemente ale matricei originale situate la intersecția oricăror k rânduri și k coloane ( ). cometariu. Fiecare element al matricei este minorul său de ordinul 1. Teorema. Dacă într-o matrice toți minorii de ordinul k sunt egali cu zero, atunci toți minorii de ordin superior sunt egali cu zero. Să extindem minorul (determinantul) ( k+1)ordinea prin elementele liniei I: . Complementele algebrice sunt în esență minore k- de ordin, care prin condițiile teoremei sunt egale cu zero. Prin urmare, . · Într-o matrice de ordine, un minor de ordin este numit de bază dacă nu este egal cu zero, iar toate minorele de ordin și mai mari sunt egale cu zero sau nu există deloc, adică. se potrivește cu cel mai mic dintre numere sau . Coloanele și rândurile matricei din care se află baza minoră se numesc bază. O matrice poate avea mai multe minore de bază diferite care au aceeași ordine. · Ordinea bazei minore a unei matrice se numește rangul matriceiȘi notat cu: , . Este evident că. De exemplu. 1. , . 2. . Matrice ÎN conține un singur element diferit de zero, care este un minor de ordinul 1. Toți determinanții de ordin superior vor conține al 0-lea rând și sunt, prin urmare, egali cu 0. Prin urmare, . matrice inversă 4. Sisteme de ecuații liniare. Noțiuni de bază. Sistem de ecuații algebrice liniare ( sistem liniar, sunt folosite și abrevieri SLAU, SLU) este un sistem de ecuații, fiecare ecuație în care este o ecuație liniară - algebrică de gradul I. Vedere generală a sistemului de ecuații algebrice liniare: Aici este numărul de ecuații și este numărul de variabile, sunt necunoscutele de determinat, coeficienții și termenii liberi se presupune că sunt cunoscute. Sistemul este numit omogen, dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero (), în caz contrar - eterogen. Soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare este un set de numere astfel încât înlocuirea corespunzătoare a lui în sistem transformă toate ecuațiile sale în identități. Un sistem se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are nicio soluție. Soluțiile sunt considerate diferite dacă cel puțin una dintre valorile variabilelor nu coincide. Un sistem comun cu o singură soluție se numește definit; dacă există mai multe soluții, se numește subdeterminat. Forma matriceală Un sistem de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice ca: sau: . Aici este matricea sistemului, este coloana de necunoscute și este coloana de termeni liberi. Dacă o coloană de termeni liberi este adăugată în dreapta unei matrice, atunci matricea rezultată se numește extinsă. Teorema Kronecker-Capelli Teorema Kronecker-Capelli stabilește o condiție necesară și suficientă pentru compatibilitatea unui sistem de ecuații algebrice liniare prin proprietățile reprezentărilor matriceale: un sistem este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sale coincide cu rangul matricei extinse. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare. Metoda matricei Fie dat un sistem de ecuații liniare cu necunoscute (pe un câmp arbitrar): Să-l rescriem sub formă de matrice: Vom găsi soluția sistemului folosind formula Vom găsi matricea inversă folosind formula: , unde este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei. Dacă, atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul folosind metoda matricei. În acest caz, sistemul este rezolvat prin metoda Gaussiană. Metoda lui Cramer Metoda lui Cramer (regula lui Cramer) este o metodă de rezolvare a SLAE-urilor cu numărul de ecuații egal cu numărul de necunoscute cu un determinant principal diferit de zero al matricei. Pentru un sistem de ecuații liniare cu necunoscute Înlocuim coloana i-a a matricei cu o coloană de termeni liberi b Exemplu: Sistem de ecuații liniare cu coeficienți reali: Calificări: În determinanți, coloana de coeficienți pentru necunoscuta corespunzătoare este înlocuită cu o coloană de termeni liberi ai sistemului. Soluţie: 5. Metoda Gaussiană Algoritm de rezolvare: 1. Scrieți matricea extinsă 2. Reduceți-o la o formă treptată prin transformări elementare 3. Inversați mișcarea, timp în care exprimăm termenii de bază în termeni de cei liberi. O matrice augmentată se obține prin adăugarea unei coloane de termeni inactivi la matrice. Există următoarele transformări elementare: 1. Rândurile matricei pot fi rearanjate. 2. Dacă există (sau au apărut) rânduri proporționale (ca caz special, identice) în matrice, atunci toate aceste rânduri ar trebui eliminate din matrice, cu excepția unuia. 3. Dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șters. 4. Un rând de matrice poate fi înmulțit (împărțit) cu orice număr, diferit de zero. 5. Puteți adăuga un alt rând la un rând de matrice, înmulțit cu un alt număr decât zero. Transformările elementare nu modifică soluția sistemului de ecuații.Revers: De obicei, acele variabile care sunt situate pe primele locuri în rândurile nenule ale matricei transformate a sistemului sunt luate ca variabile de bază, adică. pe „trepte”. În continuare, termenii de bază sunt exprimați în termeni liberi. Mergem „de jos în sus”, exprimând simultan termenii de bază și substituind rezultatele în ecuația superioară. Exemplu: variabilele de bază „stau” întotdeauna strict pe treptele matricei. În acest exemplu, variabilele de bază sunt și variabilele libere sunt toate variabilele rămase care nu au primit un pas. În cazul nostru sunt două dintre ele: – variabile libere. Acum ai nevoie de tot variabile de bază exprima numai prin variabile libere. Reversul algoritmului gaussian funcționează în mod tradițional de jos în sus

Adăugarea matricei.

Proprietăți suplimentare:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Înmulțirea matricei.

Matrice inversă.

Proprietăți de calificare

4. Teorema substituției.

5. Teorema anulării.

completări la aceste elemente

unde i=,

Matrici de transpunere.

Matrice transpusă
A T [ i, j] = A[j, i].
De exemplu,

Și

Suprafețe cilindrice.

O suprafață formată prin mișcarea unei drepte L, care se deplasează în spațiu, menținând o direcție constantă și intersectând de fiecare dată o anumită curbă K, se numește suprafață sau cilindru cilindric; curba K este ghidajul cilindrului, iar L este generatorul acestuia.

Cilindru eliptic

Ecuație eliptică:

Un caz special cilindru eliptic este cilindru circular, ecuația sa este x 2 + y 2 = R 2 . Ecuația x 2 =2pz se definește în spațiu cilindru parabolic.

Ecuația: definește în spațiu cilindru hiperbolic.

Toate aceste suprafețe sunt numite cilindri de ordinul doi, deoarece ecuațiile lor sunt ecuații de gradul doi în raport cu coordonatele curente x, y, z.

62. Elipsoide.

Să examinăm suprafața definită de ecuație:

Să considerăm secțiuni ale unei suprafețe cu plane paralele cu planul xOy. Ecuațiile unor astfel de plane: z=h, unde h este orice număr. Linia obținută în secțiune este determinată de două ecuații:

Să examinăm suprafața:

Si daca Acea Linia de intersecție a suprafeței cu planele z=h nu există.

B) dacă , linia de intersecție degenerează în două puncte (0,0,c) și (0,0,-c). Planul z = c, z = - c atinge suprafața dată.

B) dacă , atunci ecuațiile pot fi rescrise astfel:
, după cum se vede, linia de intersecție este o elipsă cu semiaxele a1 = , b1 = . În acest caz, cu cât h este mai mic, cu atât semiaxele sunt mai mari. La n=0 ele ating cele mai mari valori: a1=a, b1=b. Ecuațiile vor lua forma:

Secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea suprafeței ca o suprafață ovală închisă. Suprafața se numește elipsoid Dacă vreo semiaxă este egală, elipsoidul triaxial se transformă într-un elipsoid de revoluție, iar dacă a=b=c, atunci într-o sferă.

Hiperboloizi.

1. Examinați suprafața . Intersectând suprafața cu planul z=h, obținem o dreaptă de intersecție ale cărei ecuații au forma

z=h. sau z=hsemiaxa: a1= b1=

semiaxele ating valoarea minimă la h=0: a1=a, b1=b. Pe măsură ce h crește, semiaxele elipsei vor crește. => x=0.

Analiza acestor secțiuni arată că suprafața definită de ecuație are forma unui tub în expansiune infinită. Suprafața se numește hiperboloid cu o singură foaie.

2. - ecuația suprafeței.

Și - o suprafață formată din 2 cavități în formă de boluri convexe nelimitate. Suprafața se numește hiperboloid cu două foi.

64. paraboloizi.

.
-Acest paraboloid eliptic.

Ecuația canonică: (p>0, q>0).

p = q este un paraboloid de rotație în jurul axei Oz.

Secțiunile unui paraboloid eliptic sunt fie o elipsă, fie o parabolă, fie un punct.

2.
- paraboloid hiperbolic.

Secțiunile unui paraboloid hiperbolic pe planuri sunt fie o hiperbolă, fie o parabolă, fie o pereche de linii drepte (generatoare rectilinii).

65. Suprafețe canonice.

Ecuația canonică:

a = b - con de rotație (circular drept)
Secțiuni ale unui con pe plane: în planul care intersectează toate generatricele rectilinie - o elipsă; într-un plan paralel cu o generatoare rectilinie - o parabolă; într-un plan paralel cu două generatoare rectilinii - o hiperbolă; în planul care trece prin vârful conului - o pereche de drepte care se intersectează sau un punct (vârf).

66. Funcția. Noțiuni de bază. Modalități de a seta.

O funcție este o lege conform căreia un număr x dintr-o mulțime dată X este asociat cu un singur număr y, scris , în timp ce x se numește argumentul funcției, y

numită valoarea funcției.

1. Metodă analitică.

2. Metoda grafică.

3. Metoda verbală.

4. Metoda tabelară.

Teorema comparației.

în teoria ecuațiilor diferențiale, o teoremă care afirmă prezența unei anumite proprietăți a soluțiilor unei ecuații diferențiale (sau a unui sistem de ecuații diferențiale) sub ipoteza că o ecuație sau inegalitate auxiliară (sistem de ecuații diferențiale sau inegalități) are o anumită proprietate.

1) Teorema lui Sturm: orice soluție netrivială a ecuației dispare pe interval de cel mult de m ori dacă ecuația și pentru au această proprietate.

2) Inegalitatea diferențială: soluția problemei este nenegativă din punct de vedere al componentelor dacă soluția problemei are această proprietate și inegalitățile sunt satisfăcute

Prima este o limită minunată.

Când se calculează limitele expresiilor care conțin funcții trigonometrice, limita este adesea folosită numit prima limită remarcabilă.

Se citește: limita raportului dintre sinus și argumentul său este egală cu unu atunci când argumentul tinde spre zero.

Dovada:

Să luăm un cerc cu raza 1 și să notăm cu x măsura în radian a unghiului MOV. fie 0 , arcul MV este numeric egal cu unghiul central x, . Evident, avem. Pe baza formulelor de geometrie corespunzătoare, obținem . Să împărțim inegalitatea la >0, obținem 1<

Deoarece , apoi pe baza criteriului (pe limita unei funcţii intermediare) al existenţei limitelor .

Și dacă x<0 => , unde –x>0 =>

83. A doua limită remarcabilă.

După cum se știe, limita unei secvențe de numere
, are o limită egală cu e. . 1.Lasa . Fiecare valoare x este închisă între două numere întregi pozitive: , unde n=[x] este partea întreagă a lui x. Rezultă că prin urmare
. Dacă , Acea . De aceea:
,

Pe baza existenței limitelor: . 2. Lasă . Să facem înlocuirea –x=t, apoi = . Și numită a doua limită remarcabilă. Sunt utilizate pe scară largă în calcularea limitelor. În aplicațiile analitice, funcția exponențială cu baza e joacă un rol important. Funcţie se numește exponențial, se folosește și notația .

Dovada.

(ținând cont că dacă Dx®0, atunci Du®0, deoarece u = g(x) este o funcție continuă)

Apoi . Teorema a fost demonstrată.

teorema lui Cauchy

Teorema lui Cauchy: Dacă funcţiile f(x) şi sunt continue pe interval, diferențiabile pe intervalul (a,b) și Pentru , atunci există cel puțin un punct , astfel încât egalitatea
.

Matrici. Noțiuni de bază. Operații liniare pe matrice și proprietățile acestora.

O matrice de dimensiunea m cu n este o colecție de mn numere reale (complexe) sau elemente ale unei alte structuri (polinoame, funcții etc.), scrise sub forma unui tabel dreptunghiular, care constă din m rânduri și n coloane și luate în paranteze drepte rotunde sau dreptunghiulare sau duble. În acest caz, numerele în sine sunt numite elemente de matrice și fiecare element este asociat cu două numere - numărul rândului și numărul coloanei.

O matrice ale cărei elemente sunt toate zero se numește matrice zero

O matrice de mărimea n cu n se numește matrice pătrată de ordinul n-a, adică. numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane.

O matrice pătrată se numește diagonală dacă toate elementele sale în afara diagonalei sunt zero.

O matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu 1 se numește matrice de identitate
Adăugarea matricei.

Proprietăți suplimentare:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

· Dacă O este o matrice zero, atunci A + O = O + A = A

Observație 1. Valabilitatea acestor proprietăți rezultă din definiția operației de adunare a matricei.

Observație 2. Rețineți că numai matrice de aceeași dimensiune pot fi adăugate.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Observație 1. Valabilitatea proprietăților rezultă din Definițiile 3.4 și 3.5.

Observația 2. Să numim diferența matricelor A și B o matrice C pentru care C+B=A, adică C=A+(-1)B.
Înmulțirea matricei.

Înmulțirea unei matrice cu o matrice necesită, de asemenea, să fie îndeplinite anumite condiții pentru dimensiunile factorilor și anume: numărul de coloane al primului factor trebuie să fie egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea.

Pentru matrice pătrată de același ordin, produsele AB și BA există și au aceeași dimensiune, dar elementele lor corespunzătoare nu sunt în general egale.

Cu toate acestea, în unele cazuri produsele AB și BA coincid

Matrice inversă.

O matrice pătrată A se numește singulară dacă ∆A=0 și nesingulară dacă ∆A≠0

O matrice pătrată B se numește inversul unei matrice pătrate A de același ordin dacă AB = BA = E. În acest caz, B se notează

Pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca matricea originală să fie nesingulară.

2. Determinant de matrice. Proprietățile determinanților.

Determinant (sau determinant) este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Determinantul unei matrice este un polinom al elementelor unei matrice pătrate (adică unul în care numărul de rânduri și coloane este egal). În general, o matrice poate fi definită peste orice inel comutativ, caz în care determinantul va fi un element al aceluiași inel. (∆A)

Proprietăți de calificare

· Determinantul este o funcție poliliniară oblică-simetrică a rândurilor (coloanelor) matricei. Multiliniaritatea înseamnă că determinantul este liniar pe toate rândurile (coloanele): , unde etc. sunt rândurile matricei, este determinantul unei astfel de matrice.

· Când adăugați o combinație liniară de alte rânduri (coloane) la orice rând (coloană), determinantul nu se va schimba.

· Dacă două rânduri (coloane) ale unei matrice coincid, atunci determinantul acesteia este zero.

· Dacă două (sau mai multe) rânduri (coloane) ale unei matrice sunt dependente liniar, atunci determinantul acesteia este egal cu zero.

· Dacă rearanjați două rânduri (coloane) ale unei matrice, atunci determinantul acesteia este înmulțit cu (-1).

· Factorul comun al elementelor oricărei serii a determinantului poate fi scos din semnul determinantului.

· Dacă cel puțin un rând (coloană) al matricei este zero, atunci determinantul este egal cu zero.

· Suma produselor tuturor elementelor oricărui rând prin complementele lor algebrice este egală cu determinantul.

· Suma produselor tuturor elementelor oricărei serii prin complementele algebrice ale elementelor corespondente ale unei serii paralele este zero.

· Determinantul produsului matricelor pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților acestora (vezi și formula Binet-Cauchy).

· Folosind notația de index, determinantul unei matrice 3x3 poate fi determinat folosind simbolul Levi-Civita din relația:

3. Minori și complemente algebrice.

Minorul unui element de matrice de ordinul n-lea este determinantul unei matrice de ordinul (n-1) obținut din matricea A prin ștergerea rândului i și coloanei j-a.

La scrierea determinantului ordinului (n-1), în determinantul inițial nu sunt luate în considerare elementele situate sub linii.
Complementul algebric Aij al unui element aij de o matrice de ordin al n-lea este minorul acestuia, luat cu un semn, în funcție de numărul rândului și numărul coloanei: adică complementul algebric coincide cu minorul atunci când suma rândului și numerele coloanei este un număr par și diferă de semnul minor, atunci când suma numerelor rândurilor și coloanelor este un număr impar.

4. Teorema substituției.

Sumele produselor numerelor arbitrare bi ,b2,...,b și complementele algebrice ale elementelor oricărei coloane sau rânduri ale unei matrice de ordinul n sunt egale cu determinantul matricei care se obține din cea dată. prin înlocuirea elementelor acestei coloane (rând) cu numerele b1,b2,...,bn.

5. Teorema anulării.

Suma produselor elementelor uneia dintre coloanele (rândurile) matricei și a complementelor algebrice corespunzătoare ale elementelor unei alte coloane (rânduri) este egală cu zero.

6. Câteva metode de calcul al determinanților.

Teorema (Laplace). Determinantul matricei de ordin N = suma produsului tuturor minorilor de ordinul k, care poate fi compus din k serii paralele alese arbitrar si complemente algebrice ale acestor minore

Teorema (cu privire la descompunerea determinantului în ceea ce privește elementele seriei). Calificativ mp. matrici = suma produselor elementelor unei anumite serii și algebrice

completări la aceste elemente

7. Înmulțirea matricei. Proprietățile înmulțirii.

Operația de înmulțire a două matrice este introdusă numai în cazul în care numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua matrice.

Produsul matricei А m * n = (a i , g) și al matricei B n * p = (b i , k) este matricea Сm*p = (с i , k) astfel încât: ,

unde i=, , adică elementul coloanei i și k a matricei de produs C este egal cu suma produselor elementelor din rândul i al matricei A și elementele corespunzătoare ale coloanei k a matricei B .

Matricele A, n*m și B, m*n, numite. ne-am înțeles asupra. (Dacă A este consecvent cu B, atunci aceasta nu înseamnă că B este consecvent cu A).

Semnificația consistenței este că numărul de coloane din prima matrice se potrivește cu numărul de rânduri din a doua matrice. Pentru matrice consistentă se poate defini operația de înmulțire.

Dacă matricele A și B sunt pătrate și de aceeași dimensiune, atunci A*B și B*A există întotdeauna. Transpunerea este înlocuirea tuturor elementelor unei coloane cu elementele corespunzătoare ale unui rând. Dacă A T =A, atunci se numește matricea A. simetric (este neaparat patrat).

Matrici de transpunere.

Matrice transpusă- matrice obtinuta din matricea originala prin inlocuirea randurilor cu coloane.
Formal, matricea transpusă pentru matricea mărimii este matricea mărimii, definită ca A T [ i, j] = A[j, i].
De exemplu,

Și

Matrice inversă. O condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse. Aflarea matricei inverse.

Să fie o matrice A - nedegenerată.

A -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, unde E este matricea de identitate. A -1 are aceleași dimensiuni ca și A.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse:

1. În locul fiecărui element al matricei a ij notăm complementul algebric al acesteia.

A* este o matrice de unire.

2. transpuneți matricea de unire rezultată. LA

3. împărțiți fiecare element al matricei de unire la determinantul matricei A.

A -1 = A *T

Teorema: (despre anularea determinantului):
suma produselor elementelor unei anumite serii ale unui determinant prin complementul algebric la elementele unei alte serii paralele este întotdeauna egală cu zero.

10. Reprezentarea matricială a unui sistem de ecuații liniare și soluțiile acestuia.

Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:

Luați în considerare matricea sistemului și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi

Să găsim de lucru

acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris sub forma

sau mai scurt A∙X=B.

Iată matricele AȘi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.

Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei A: . Deoarece A -1 A = EȘi E∙X=X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B.

Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea A nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.

11. Rezolvarea sistemelor liniare nedegenerate, formule Cramer.

Se obișnuiește să scrieți SLAE-uri în formă de matrice, când necunoscutele în sine nu sunt indicate, ci sunt indicate doar matricea sistemului A și coloana de termeni liberi B.

Rezolvarea SLAE-urilor nedegenerate folosind metoda lui Cramer:

A -1 =

X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 + …+A n 1 b n)

Teorema: (Cramer):
rezolvarea ecuațiilor nedegenerate AX=B, se poate scrie asa:

, Ak se obține din A prin înlocuirea coloanei k-a cu coloana termenului liber B.

12. Rangul matricei. Proprietățile rangului matricei. Calcularea rangului unei matrice folosind transformări elementare.

Se numește numărul maxim de rânduri dependente liniar ale matricei A. rangul matricei și denotația r(a). Se numește cel mai mare dintre ordinele minore ale unei matrice date, alta decât 0 rangul matricei.

Proprietăți:

1) la transpunerea rang=const.

2) dacă tăiați rândul zero, atunci song=const;

3)rang=cost, cu transformări elementare.

3) pentru a calcula rangul folosind elementul, transformați matricea A în matricea B, al cărei rang este ușor de găsit.

4) rangul triunghiului matriceal = numărul de elemente nenule situate pe diagonalele principale.

Metode pentru găsirea rangului unei matrice:

1) metoda de limitare a minorilor

2) metoda transformărilor elementare

Metoda minorilor în graniță:

Metoda limitării minorilor vă permite să algoritmizați procesul de găsire a matricei de rang și vă permite să minimizați numărul de calcule ale minorilor.

1) dacă matricea are toate elementele zero, atunci rang = 0

2) dacă există cel puțin un element diferit de zero => r(a)>0

Acum vom margini M1 minor, i.e. vom construi toți minorii posibili de ordinul 2, ktr. conține al-lea rând și j-a coloană până când găsim un minor diferit de zero de ordinul 2.

Procesul va continua până când apare unul dintre următoarele evenimente:
1. Mărimea minorului va ajunge la numărul k.

2. la un moment dat, toți minorii granițați se vor dovedi a fi = 0.

În ambele cazuri, mărimea matricei de rang va fi egală cu ordinul minorului mai mare, diferit de zero.

Metoda elementară de transformare:
După cum se știe, conceptul de matrice triunghiulară este definit doar pentru matrice pătrată. Pentru matricele dreptunghiulare, un analog este conceptul de matrice trapezoidală.

De exemplu:
rang = 2.

Matrice inversă a unuia dat.

Nu orice matrice are un invers.

Teorema 1. Cele mai simple proprietăți ale unei matrici inverse.

1°. Orice matrice poate avea cel mult un invers.

2°. E –1 = E.

3°. ( A –1) –1 = A.

4°. ( AB) –1 = B –1 A –1 .

Matrici pătrate singulare și nesingulare.

Teorema 2. Criteriul inversibilității matricei.

O matrice este inversabilă dacă și numai dacă este nesingulară.

Lema 1. Orice transformare elementară de rând (coloană) a unei matrice poate fi implementată prin înmulțirea acestei matrice din stânga (dreapta) cu matricea elementară corespunzătoare.

Lema 2. Pentru ca o matrice să fie nesingulară, este necesar și suficient ca ea să poată fi redusă la matricea de identitate folosind doar transformări elementare pe rând.

Lema 3. Dacă rândurile (coloanele) matricei A (B) sunt dependente liniar și C = AB, atunci exact aceeași dependență liniară este valabilă pentru rândurile (coloanele) ale matricei CU.

O modalitate practică de a calcula matricea inversă:

A|E ... E|A –1 .

Ecuații matriceale.

Înregistrarea SLE-urilor sub forma unei ecuații matriceale a unei forme speciale. Turnul lui Cramer sub formă de matrice.

Permutări și substituții

Permutări. Înregistrare de permutare. Numărul de permutări n elemente. Inversiunile. Permutări pare și impare. Transpuneri.

Teorema. Proprietăţile transpoziţiilor.

1°. Puteți trece de la orice permutare la orice altă permutare folosind mai multe transpoziții.

2°. Fiecare transpunere schimbă paritatea permutării.

Înlocuiri. S n. Înregistrarea înlocuirilor. Paritatea de substituție. Corectitudinea determinării parității unei substituții. Wildcard. (–1) s (p) .

Definiţia determinant

Definiţia determinant.

Exemple de calculare a determinanților matricelor de ordinul doi și trei, determinantul matricei triunghiulare superioare (inferioare), determinantul unei matrici în care toate elementele de sub (deasupra) diagonalei laterale sunt egale cu zero.

Proprietățile determinantului

Teorema. Proprietățile determinantului.

1°. det t A= det A.

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. Dacă unul dintre rândurile matricei este zero, atunci determinantul matricei este egal cu zero.

6°. Dacă oricare două rânduri ale unei matrice sunt egale, atunci determinantul matricei este zero.

7°. Dacă oricare două rânduri ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul matricei este zero.

8°. Dacă unul dintre rândurile matricei este înmulțit cu un număr și adăugat la un alt rând, determinantul nu se va schimba.

9°. Determinantul unei matrice singulare este egal cu zero.

10°. Determinantul unei matrici nesingulare este diferit de zero.

Notă. Proprietățile 1°–4° sunt dovedite prin definiție, restul proprietăților sunt derivate folosind proprietățile 1°–4°.

Corolarul 1. Criteriul de nedegenerare a unei matrice.

O matrice pătrată este nesingulară dacă și numai dacă determinantul său este diferit de zero.

Corolarul 2. Un sistem omogen de ecuații liniare constând din n ecuatii cu n necunoscut, are soluții diferite de zero dacă și numai dacă determinantul matricei sistemului este egal cu zero.

Minori și complemente algebrice. Descompunerea determinantului în rând și coloană

Minor M ij matrice pătrată. Complement algebric A ij element a ij matrice pătrată.

Teorema despre descompunere.

det A = un k 1 A k 1 +un k 2 A k 2 + ... +a kn A kn, det A = A 1k A 1k +A 2k A 2k + ... +a nk A nk

pentru orice k =

Etapele probei

1. Pentru o matrice în care A n = e n, prin definiție det.

2. Pentru o matrice în care A i = e j, prin reducerea la cazul 1, luând în considerare semnul A iși imuabilitate M ij.

3. Caz general prin reprezentare A i ca suma n vectori și reducerea la cazul 2.

O altă proprietate a determinantului

11°. un k 1 A p 1 +un k 2 A p 2 + ... +a kn A pn,A 1 k A 1 p+A 2 k A 2 p+ ... +a nk A np, Dacă k ¹ p.

Se numește matricea A -1 versoîn raport cu o matrice pătrată A, dacă la înmulțirea acestei matrice cu matricea A atât în ​​dreapta cât și în stânga, se obține matricea de identitate: A -1 * A = A * A -1 = E.

Din definiție rezultă că matricea inversă este o matrice pătrată de același ordin ca și matricea A.

Se poate observa că conceptul de matrice inversă este similar cu conceptul de număr invers (acesta este un număr care, înmulțit cu un număr dat, dă unul: a*a -1 = a*(1/ a) = 1).

Toate numerele cu excepția zero au reciproce.

Pentru a rezolva întrebarea dacă o matrice pătrată are o inversă, este necesar să-i găsim determinantul. Dacă determinantul unei matrice este zero, atunci se numește o astfel de matrice degenerat, sau special.

Condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse: Matricea inversă există și este unică dacă și numai dacă matricea originală este nesingulară.

Să dovedim necesitatea. Fie matricea A să aibă o matrice inversă A -1, adică. A -1 * A = E. Atunci |A -1 * A| = |A -1 | * |A| = |E| = 1. Prin urmare, |A|0.

Să demonstrăm suficiența. Pentru a dovedi, trebuie pur și simplu să descriem o metodă de calcul a matricei inverse, pe care o putem aplica întotdeauna unei matrice nesingulare.

Deci să fie |A| 0. Transpunem matricea A. Pentru fiecare element A T găsim un complement algebric și compunem din ele o matrice, care se numește anexat(reciproc, aliat):
.

Să găsim produsul dintre matricea adjunctă și cel original
. Primim
. Astfel, matricea B este diagonală. Pe diagonala sa principală există determinanți ai matricei originale, iar toate celelalte elemente sunt zerouri:

În mod similar, se poate demonstra că
.

Dacă împărțiți toate elementele matricei la |A|, veți obține matricea de identitate E.

Prin urmare
, adică
.

Să demonstrăm unicitatea matricei inverse. Să presupunem că există o altă matrice inversă pentru A, diferită de A -1. Să o notăm X. Atunci A * X = E. Să înmulțim ambele părți ale egalității cu A -1 din stânga.

A -1 * A * X = A -1 * E

Unicitatea a fost dovedită.

Deci, algoritmul de calcul al matricei inverse constă din următorii pași:

1. Aflați determinantul matricei |A| . Dacă |A| = 0, atunci matricea A este singulară, iar matricea inversă nu poate fi găsită. Dacă |A| 0, apoi treceți la pasul următor.

2. Construiți matricea transpusă A T.

3. Aflați complementele algebrice ale elementelor matricei transpuse și construiți matricea adiacentă .

4. Calculați matricea inversă împărțind matricea adiacentă la |A|.

5. Puteți verifica corectitudinea calculului matricei inverse în conformitate cu definiția: A -1 * A = A * A -1 = E.

Să găsim determinantul acestei matrice folosind regula triunghiurilor:

Să sărim peste verificare.

Următoarele proprietăți ale inversării matricei pot fi dovedite:

1) |A -1 | = 1/|A|

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 =B -1 * A -1

5) (A -1) T = (A T) -1

Rangul matricei

Minork-a ordine matricele A de dimensiunea m x n sunt numite determinantul unei matrici pătrate de ordinul k, care se obține din matricea A prin ștergerea oricăror rânduri și coloane.

Din definiție rezultă că ordinea minorului nu o depășește pe cea mai mică dintre dimensiunile sale, adică. kmin(m;n). De exemplu, dintr-o matrice A de 5x3 puteți obține submatrici pătrate de ordinul întâi, al doilea și al treilea (în consecință, calculați minorele acestor ordine).

Rang matricele sunt de ordinul cel mai înalt dintre minorele diferite de zero ale acestei matrice (notate cu rangul A sau r(A)).

Din definiţie rezultă că

1) rangul matricei nu depășește dimensiunile sale mai mici, adică. r(A)min(m;n);

2) r(A) = 0 dacă și numai dacă matricea este zero (toate elementele matricei sunt egale cu zero), adică r(A) = 0A = 0;

3) pentru o matrice pătrată de ordinul al n-lea r(A) = n dacă și numai dacă această matrice A este nesingulară, adică r(A) = n|A|0.

De fapt, pentru a face acest lucru, este suficient să calculați doar un astfel de minor (cel obținut prin tăierea celei de-a treia coloane (pentru că restul va avea o a treia coloană zero și, prin urmare, sunt egale cu zero).

Conform regulii triunghiului = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Deoarece toți minorii de ordinul trei sunt zero, r(A)2. Deoarece există un minor diferit de zero de ordinul doi, de exemplu,

Evident, metodele pe care le-am folosit (având în vedere tot felul de minori) nu sunt potrivite pentru determinarea rangului în cazuri mai complexe din cauza complexității ridicate a acestora. De obicei, pentru a găsi rangul unei matrice, se folosesc unele transformări, care sunt numite elementar:

1). Eliminarea rândurilor (coloanelor) nule.

2). Înmulțirea tuturor elementelor unui rând sau coloanei unei matrice cu un alt număr decât zero.

3). Modificarea ordinii rândurilor (coloanelor) unei matrice.

4). Adăugarea fiecărui element dintr-un rând (coloană) a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțit cu orice număr.

5). Transpunerea.

Dacă matricea A se obține din matricea B prin transformări elementare, atunci aceste matrici se numesc echivalentși notat cu AB.

Teorema. Transformările matriceale elementare nu își schimbă rangul.

Demonstrarea teoremei rezultă din proprietățile determinantului matricei. De fapt, în timpul acestor transformări determinanții matricilor pătrate sunt fie păstrați, fie înmulțiți cu un număr care nu este egal cu zero. Ca urmare, cel mai înalt ordin al minorilor diferit de zero din matricea originală rămâne același, adică. rangul ei nu se schimbă.

Folosind transformări elementare, matricea este adusă la așa-numita formă în trepte (transformată în matricea pasilor), adică ele asigură că în matricea echivalentă există doar zero elemente sub diagonala principală și elemente diferite de zero pe diagonala principală:

Rangul unei matrice pas este egal cu r, deoarece prin ștergerea coloanelor din ea, pornind de la (r + 1)-a și mai departe, se poate obține o matrice triunghiulară de ordinul r, al cărei determinant va fi non- zero, deoarece va fi produsul elementelor diferite de zero (prin urmare, există un minor de ordinul r care nu este egal cu zero):

Exemplu. Aflați rangul unei matrice

1). Dacă a 11 = 0 (ca și în cazul nostru), atunci prin rearanjarea rândurilor sau coloanelor ne vom asigura că un 11 0. Aici schimbăm primul și al doilea rând al matricei:

2). Acum un 11 0. Folosind transformări elementare, ne vom asigura că toate celelalte elemente din prima coloană sunt egale cu zero. În a doua linie, 21 = 0. În a treia linie, 31 = -4. Pentru ca în loc de (-4) să fie 0, adăugați la a treia linie prima linie înmulțită cu 2 (adică cu (-a 31 / a 11) = -(-4)/2 = 2). În mod similar, la a patra linie adăugăm prima linie (înmulțită cu unu, adică cu (-a 41 /a 11) = -(-2)/2 = 1).

3). În matricea rezultată a 22 0 (dacă a 22 = 0, atunci rândurile ar putea fi rearanjate din nou). Să ne asigurăm că există și zerouri sub diagonală în a doua coloană. Pentru a face acest lucru, adăugați a doua linie la a treia și a patra linie, înmulțită cu -3 ((-a 32 /a 22) = (-a 42 /a 22) = -(-3)/(-1) = - 3):

4). În matricea rezultată, ultimele două rânduri sunt zero și pot fi aruncate:

Se obține o matrice de etape formată din două rânduri. Prin urmare, r(A) = 2.

Matrice nesingulară este o matrice pătrată de ordinul al n-lea al cărei determinant este diferit de zero. În caz contrar, se numește matricea degenerat.

Teorema ( unicitatea existenței unei matrice inverse): Dacă o matrice are o matrice inversă, atunci aceasta este unică.

Dovada.

Să fie o matrice pentru care și o matrice pentru care .

Atunci, adică. Să înmulțim ambele părți ale egalității cu matricea, obținem , unde și .

Aceasta înseamnă că asta trebuie dovedit.

12. Ecuații matriceale, rezolvarea lor folosind matricea inversă.

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, HA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt matricele specificate, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea din ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

13. Sisteme pătratice de ecuații liniare. regula lui Cramer.

Un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute (sau, sistem liniar) în algebră liniară este un sistem de ecuații de forma

Metoda lui Cramer (regula lui Cramer) este o metodă de rezolvare a sistemelor pătratice de ecuații algebrice liniare cu un determinant diferit de zero al matricei principale (și pentru astfel de ecuații există o soluție unică). Numit după Gabriel Cramer (1704–1752), care a inventat metoda.

Pentru un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute (pe un câmp arbitrar)

cu determinantul matricei sistemului Δ diferit de zero, soluția se scrie sub forma

(coloana i-a a matricei sistemului este înlocuită cu o coloană de termeni liberi).

Într-o altă formă, regula lui Cramer este formulată după cum urmează: pentru orice coeficienți c 1, c 2, ..., c n este valabilă următoarea egalitate:

Sistem de ecuații liniare: