Zona geometrică- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței delimitată de un contur închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

1. Formula ariei triunghiulare pentru latură și înălțime
   Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
   
2. Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza cercului circumscris
   
3. Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza unui cerc înscris
   Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.
   
unde S este aria triunghiului,
- lungimile laturilor triunghiului,
- înălțimea triunghiului,
- unghiul dintre laturi și,
- raza cercului înscris,
R - raza cercului circumscris,

Formule de suprafață pătrată

1. Formula pentru aria unui pătrat dată fiind lungimea unei laturi
   suprafata patrata este egal cu pătratul lungimii laturii sale.
2. Formula pentru aria unui pătrat având în vedere lungimea diagonalei
   suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
   

   S=	1	2
   	2

unde S este aria pătratului,
este lungimea laturii pătratului,
este lungimea diagonalei pătratului.

Formula zonei dreptunghiulare

Zona dreptunghiulară este egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale

unde S este aria dreptunghiului,
sunt lungimile laturilor dreptunghiului.

Formule pentru aria unui paralelogram

1. Formula ariei de paralelogram pentru lungimea și înălțimea laturii
   Zona paralelogramului
2. Formula pentru aria unui paralelogram dat două laturi și unghiul dintre ele
   Zona paralelogramului este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
   

   a b sinα

unde S este aria paralelogramului,
sunt lungimile laturilor paralelogramului,
este înălțimea paralelogramului,
este unghiul dintre laturile paralelogramului.

Formule pentru aria unui romb

1. Formula ariei romb datând lungimea și înălțimea laturii
   Zona rombului este egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
2. Formula pentru aria unui romb având în vedere lungimea laturii și unghiul
   Zona rombului este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
3. Formula pentru aria unui romb din lungimile diagonalelor sale
   Zona rombului este egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.
unde S este aria rombului,
- lungimea laturii rombului,
- lungimea înălțimii rombului,
- unghiul dintre laturile rombului,
1, 2 - lungimile diagonalelor.

Formulele zonei trapezului

1. Formula lui Heron pentru un trapez

   Unde S este aria trapezului,
   - lungimea bazelor trapezului,
   - lungimea laturilor trapezului,
   

I. Prefaţă

Asta e ghinion: după ce ai fost bolnav timp de două săptămâni, ai venit la școală și ai aflat că ai omis un subiect foarte important, sarcinile la care vor fi la examenele din clasa a 9-a - „Triunghiuri, patrulatere și zona lor”. Aici ar fi să te grăbești la profesorul de geometrie cu întrebările: „Cum să găsești aria unui patrulater?” Dar jumătate dintre elevi se tem să se apropie de profesori pentru a nu fi considerați în urmă, iar a doua jumătate întâlnește „ajutor” din partea profesorilor, asemănător cu „Uite în manual, totul este scris acolo!” sau „Nu ar fi trebuit să sari peste curs!” Dar în manual nu există deloc informații despre regulile pentru găsirea ariei triunghiurilor și patrulaterelor. Și lecțiile au fost ratate dintr-un motiv întemeiat, există adeverință de la medic. Dar mulți profesori vor renunța la aceste argumente. Desigur, ele pot fi înțelese: nu sunt plătiți pentru ciocanul suplimentar de material de lecție în capul elevilor care nu înțeleg nimic. Mulți studenți renunță la această sarcină inutilă și pică examenul un an mai târziu, fără a obține zece puncte pentru sarcina de a găsi aria triunghiurilor și patrulaterelor. Și doar câțiva merg la biblioteci și la cunoștințe cu întrebarea: „Cum să găsești aria unui patrulater?” Și diferiți oameni și cărți dau răspunsuri diferite și există o mare confuzie de reguli. Mai jos voi numi principalele modalități de a găsi ariile triunghiurilor și patrulaterelor.

II. Patraunghiuri

Să începem cu patrulatere. În școli și examene sunt luate în considerare doar patrulaterele convexe, așa că haideți să vorbim despre ele. La nivelul mediu de învățământ sunt studiate zonele paralelogramelor și trapezelor. Există mai multe tipuri de paralelograme: un dreptunghi, un pătrat, un romb și un paralelogram arbitrar, în care se observă doar caracteristicile sale principale: laturile sunt paralele și egale în perechi, suma unghiurilor adiacente este de 180 o. Dar metodele de găsire a zonelor tuturor acestor figuri sunt diferite. Să luăm în considerare fiecare separat.

1. Dreptunghi

S din dreptunghi se găsește prin formula: S = a * b, undeA- partea orizontala, b- partea verticală.*

2. Suprafața pătratelor

S al pătratului se găsește prin formula: S = a * a, undeA- latura unui pătrat.

3. Zona romburilor

S al rombului se găsește prin formula: S \u003d 0,5 * (d 1 * d 2), unded1- diagonala mare,** d2- diagonala mai mica.

4. Aria unui paralelogram arbitrar

S al unui paralelogram arbitrar se găsește prin formula: S = a * h a, A- partea paralelogramului, h a

Nu tot?

Am terminat cu paralelogramele. — Ar trebui să învăț asta? întrebi ușor. Răspund: din paralelograme - da, doar atât. Dar mai există trapez și triunghiuri. Deci hai sa continuam.

III. Trape cși eu

Zona trapezului

S al unui trapez poate fi găsit cu o singură formulă, indiferent dacă este obișnuită sau isoscelă: S = ((a + b): 2) * h, undea, b- bazele sale, h- înălțimea acestuia. Asta e tot pentru trapez. Acum la întrebarea: „Cum să găsiți aria unui patrulater?” - nu poți doar să-ți răspunzi singur, ci și să-i luminezi pe ceilalți. Acum să trecem la triunghiuri.

IV. Triunghi

În geometrie, au fost identificate trei formule pentru a-și găsi aria: pentru triunghiuri dreptunghiulare, echilaterale și arbitrare.

1. Aria unui triunghi

S al unui triunghi arbitrar se calculează cu formula: S \u003d 0,5a * h A, A- latura triunghiului h a- înălțimea trasă în această parte.

2. Aria triunghiurilor echilaterale

S al unui triunghi echilateral poate fi găsit prin formula: S = 0,5a * h, undeA- baza triunghiului h este înălțimea acestui triunghi.

3. Aria triunghiurilor dreptunghiulare

Aria triunghiurilor dreptunghiulare se găsește prin formula: S = (a * b): 2, undeA- primul picior, b- al 2-lea picior.

Concluzie

Ei bine, asta e tot, după părerea mea. De asemenea, trebuie să înveți puțin despre triunghiuri, nu? Acum uitați-vă la ce am scris aici. "Firs-sticks, va dura o lună pentru a învăța asta!" – probabil exclami. Și cine a spus că totul se învață repede? Dar, pe de altă parte, atunci când înveți toate acestea, nu te vei teme de întrebările pe tema „Cum să găsești aria unui patrulater” sau „Zona unui triunghi arbitrar” la certificare în clasa a 9-a. Deci, dacă vreți să mergeți oriunde, studiați, studiați și fiți oameni de știință!

___________________________________

Notă

* - Ași b nu trebuie să fie în locurile pe care le-am stabilit. Când rezolvați probleme, puteți apela latura verticală A, și orizontală b;

** - diagonalele pot fi schimbate și numele lor pot fi schimbate în același mod ca în notă. *

La rezolvarea sarcinilor planimetrice ale unui curs de geometrie, este adesea întâlnită o figură cu 4 laturi. Da, este un patrulater. Un poligon arbitrar cu patru colțuri este mai puțin obișnuit decât cazurile sale speciale - trapeze, deltoide, paralelograme. Ultimul „grup” include și romburi, dreptunghiuri, pătrate.
Să luăm în considerare ce date ale figurii trebuie să știți pentru a calcula aria acesteia.

Cum să găsiți aria unui patrulater

Poligon arbitrar

Pentru a-i găsi aria, aveți nevoie de diagonalele figurii, precum și de unghiul obținut ca urmare a intersecției lor.

• S = (d1*d2*sinα)/2,
• d1, d2 - diagonale,
• α este unghiul obținut prin intersecția lor.

Poligon într-un cerc

Dacă patrulaterul dat este plasat într-un cerc, lungimea laturilor figurii este cunoscută, atunci raportul va ajuta la determinarea ariei poligonului:

S = √(p – m)(p – k)(p – l)(p – e), p = (m + k + l + e)/2.
m, k, l, e sunt laturile sale.

Cum să găsiți aria unui patrulater - un trapez

Această cifră se distinge prin prezența a 2 laturi paralele. Pentru a determina aria unui astfel de poligon, utilizați următorii parametri:

• Dacă sunt cunoscute mărimile laturilor paralele și înălțimea perpendiculară trasată pe ele, aria se calculează folosind expresia S = ((a + b) * h) / 2,
  a și b sunt baze,
  h - perpendicular-înălțime.
• Pe baza definiției liniei mediane (k = (a + b)/2)), formula anterioară va lua următoarea formă: S = k*h,
  k este linia de mijloc.
  Diagonalele cunoscute ale trapezului și gradul de măsură a unghiului format ca urmare a intersecției lor vor ajuta, de asemenea, la determinarea aria figurii: S = (d1*d2*sinβ)/2,
  d1, d2 - diagonale,
  β este unghiul obținut prin intersecția lor.
• Sunt date 4 laturi: S \u003d ((m + l) √ k 2 - ((m - l) 2 + k 2 - d 2) 2 / (4 (m - l) 2)) / 2,
  m, l - laturi paralele,
  k, d - laturile laterale.

Cum să găsiți aria unui patrulater - un deltoid

Un poligon deltoid se caracterizează prin prezența a 2 perechi de laturi egale. Calculați aria unui astfel de patrulater se calculează după cum urmează:

• Laturile figurii și unghiul format de laturile de lungimi diferite sunt cunoscute:
  S = m*l*sinϕ,
  m, l sunt părțile laterale ale deltoidului,
  ϕ este unghiul dintre ele.
• Se cunosc laturile figurii și unghiurile formate de laturi de lungime egală:
  S \u003d m 2 *sinα / 2 + l 2 * sinβ / 2,
  m, l sunt părțile laterale ale deltoidului,
  α, β sunt unghiurile dintre laturile egale.
• Prezența diagonalelor cunoscute vă permite, de asemenea, să determinați aria figurii:
  S = d1*d2/2,
  d1, d2 sunt diagonalele deltoidului.
• Dacă un cerc este înscris în figură, atunci cunoașterea razei sale vă permite să calculați aria deltoidului: S \u003d (m + l) * r,
  m, l sunt părțile laterale ale deltoidului,
  r este raza în cazul unui cerc înscris.

Cum să găsiți aria unui patrulater - un paralelogram

Dacă un poligon convex are 2 perechi de laturi care nu se intersectează, atunci ai un paralelogram în fața ta.

Expresie generală

Pentru a determina zona acestui tip de figuri, veți avea nevoie de:

• Latura patrulaterului și înălțimea coborâtă pe acesta: S = k * h (k),
  k - partea figurii,
  h(k) este înălțimea acestuia.
• Lungimea a două laturi care au un vârf și gradul de măsură a unghiului la un vârf dat:
  S = l*k*sinϕ,
  k, l sunt laturile poligonului,
  ϕ este unghiul dintre ele.
• Diagonalele figurii și unghiul obținut în urma intersecției lor: S = d1*d2*sinβ/2,
  d1, d2 - diagonale,
  β - unghi - rezultatul intersectării lor.

Romb

Acest patrulater este un caz special al unui paralelogram cu 4 laturi egale. Prin urmare, expresiile care sunt valabile pentru un paralelogram sunt valabile și pentru acesta. Apoi

• S = k*h(k),
  k este latura figurii, h(k) este înălțimea acesteia.
• S = k 2 *sinϕ,
  k este latura patrulaterului, ϕ este unghiul dintre laturi.
• S = d1*d2/2
  d1, d2 sunt diagonalele poligonului.

Dreptunghi

Un astfel de poligon are 2 perechi de laturi egale, iar gradul de măsurare a unghiurilor sale este de 90°. Pentru a-i găsi aria, sunt valabile următoarele expresii:

• S = k*l,
  k, l sunt laturile figurii.
• S = d 2 *sinβ/2,
  d - diagonalele patrulaterului, β - unghiul - rezultatul intersecției lor.
• S = 2R2 *sinβ,
  R este raza în cazul unui cerc circumscris.

Pătrat

În acest caz, rapoartele obținute în etapa anterioară vor lua următoarea formă (deoarece laturile acestui tip de dreptunghi sunt egale):

• S \u003d k 2, k este latura figurii.

• S = d 2 /2, d este diagonala pătratului.

• S = 2R 2 , R este raza în cazul cercului circumscris.
• S = 4r 4 , r este raza în cazul unui cerc înscris.

Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vezi abracadabra, șterge-ți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cea mai utilă resursă pentru

Definirea zonei

Ce este o zonă? Ciudată întrebare, nu-i așa? În viața obișnuită, suntem obișnuiți cu faptul că orice figuri plate (cum ar fi suprafața unei mese, scaun, podeaua apartamentelor noastre etc.) au nu numai lungime și lățime, ci și alte caracteristici pe care noi, fără ezitare, numim zona. Și acum să ne gândim: care este zona până la urmă?

Să începem cu cel mai simplu. Se bazează pe faptul că:

Cu alte cuvinte, considerăm că aria unui pătrat cu latura unui metru este un „metru de suprafață”.

Privește cu atenție imaginea și asigură-te că este cu adevărat desenată acolo - „metru pătrat”! Și amintiți-vă notația.

Și acum întrebarea dificilă: ce este? Aria unui pătrat cu o latură? Dar nu!

Uite: un pătrat cu o latură.

Și pentru a obține metri pătrați (adică), trebuie să desenăm, de exemplu, astfel:

Și cum să obțineți, să zicem? Ei bine, de exemplu, așa:

Și, în general, dacă luăm un dreptunghi ale cărui laturi sunt egale cu metri și metri, atunci în acest dreptunghi:

Se potrivește exact metri pătrați. Privește cu atenție: avem „straturi”, fiecare dintre ele fiind exact metri pătrați.

Deci, în total, metri pătrați încap într-un dreptunghi de dimensiunea x. Acesta este numărul, câți metri pătrați încap în dreptunghi și există pătrat.

Și dacă figura nu este deloc un dreptunghi, ci un fel de abracadabră?

O să vă surprind - există astfel de farfurii groaznice pentru care este absolut imposibil să stabiliți câți metri pătrați există. Chiar și aproximativ! Din păcate, desenarea unor astfel de figuri este imposibilă.

Dar ei sunt! Arata ca, de exemplu, un astfel de „pieptene” cu dinti foarte fini.

Și astfel, pentru cifrele normale, puteți considera intuitiv (adică pentru dvs.) că aria figurii este un astfel de număr, câte unități pătrate (metri, centimetri etc.) „se potrivesc” în Această cifră.O definiție mai riguroasă, „reală” a zonelor, vezi următoarele niveluri de teorie.

Și imaginați-vă, pentru multe figuri, matematicienii au învățat să exprime zone prin niște elemente liniare (cele care pot fi măsurate cu o riglă) ale figurilor. Aceste expresii se numesc „formule de zonă”. Există destul de multe dintre aceste formule - matematicienii au încercat mult timp. Încercați să vă amintiți mai întâi cele mai simple și mai elementare formule, apoi pe cele mai dificile.

Formule de arie

Pătrat

Dreptunghi

Triunghi dreptunghic

Triunghi (arbitrar)

Pentru un triunghi, există mai multe formule de zonă simultan.

Formula de bază

A doua formulă de bază

A treia formulă

Ce formula sa alegi pentru problema ta? Principalele sunt formulele 1 și 2. A treia formulă trebuie aplicată dacă ți se dă totul: ambele trei laturi și raza cercului înscris. Dar asta nu se întâmplă, nu-i așa? Asa de Formula 3 pe care o folosim mai degrabă invers, pentru a afla raza unui cerc înscris. Apoi trebuie să găsiți zona folosind una dintre formulele 1, 2 sau 4 și apoi raza:.

Ei bine, formula 4 vă permite să găsiți zona de pe părțile a treia folosind aritmetica lungă. Și nu face greșeli la aritmetică când aplici formula lui Heron!

Patrulaterul arbitrar

Nu mai există nimic pentru un patrulater arbitrar, dar pentru patrulatere „bune” există și alte formule.

Paralelogram

Formula de bază

A doua formulă

Romb

Diagonalele unui romb sunt perpendiculare, deci de bază devine pentru el formulă:

A doua formulă

Și formula suplimentară devine

Trapez

Formula de bază

A doua formulă

„Întrebări dificile despre pătrat”

Pe lângă problemele în care pur și simplu cer să găsească zona, există și tot felul de întrebări. Ei bine, de exemplu:

Să răspundem la această întrebare în două moduri. Prima modalitate este formală: folosim formula ariei pătrate. Așa, a fost, așa - zona a crescut în timp!

În cazul pătratelor, există o a doua modalitate de a „simți” și de a verifica direct acest număr.

A desena:

Dacă nu aveți un pătrat, atunci tot ce rămâne este să înlocuiți noi valori în formule - și să nu fiți surprins dacă numerele se dovedesc brusc a fi destul de mari.

ZONA DE TRIANGUL SI CUADRANGULARE. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Triunghi dreptunghic

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

Dacă pe plan sunt desenate secvenţial mai multe segmente astfel încât fiecare următor să înceapă din locul unde s-a terminat precedentul, atunci se va obţine o linie întreruptă. Aceste segmente se numesc legături, iar locurile în care se intersectează sunt numite vârfuri. Când sfârșitul ultimului segment se intersectează cu punctul de început al primului, obțineți o linie întreruptă închisă care împarte planul în două părți. Unul dintre ele este finit, iar al doilea este infinit.

O linie închisă simplă, împreună cu partea de plan cuprinsă în ea (cea care este finită) se numește poligon. Segmentele sunt laturi, iar unghiurile formate de ele sunt vârfuri. Numărul de laturi ale oricărui poligon este egal cu numărul vârfurilor acestuia. O figură care are trei laturi se numește triunghi, iar patru se numește patrulater. Poligonul este caracterizat numeric de o astfel de valoare precum aria, care arată dimensiunea figurii. Cum să găsiți aria unui patrulater? Acest lucru este predat de ramura matematicii - geometrie.

Pentru a găsi aria unui patrulater, trebuie să știți ce tip îi aparține - convex sau neconvex? întregul se află relativ drept (și conține în mod necesar una dintre laturile sale) pe o latură. În plus, există astfel de tipuri de patrulatere precum un paralelogram cu laturi opuse egale și paralele în perechi (varietățile sale: un dreptunghi cu unghiuri drepte, un romb cu laturi egale, un pătrat cu toate unghiurile drepte și patru laturi egale), un trapez cu două laturi opuse paralele și deltoid cu două perechi de laturi adiacente care sunt egale.

Zonele oricărui poligon se găsesc prin aplicarea metodei generale, care este împărțirea lui în triunghiuri, calcularea aria unui triunghi arbitrar pentru fiecare și adăugarea rezultatelor. Orice patrulater convex este împărțit în două triunghiuri, neconvex - în două sau trei; în acest caz, poate fi adăugat din suma și diferența rezultatelor. Aria oricărui triunghi este calculată ca jumătate din produsul bazei (a) și înălțimea (ħ) trasă la bază. Formula utilizată în acest caz pentru calcul este scrisă ca: S \u003d ½. A. ħ.

Cum să găsiți aria unui patrulater, de exemplu, un paralelogram? Trebuie să știți lungimea bazei (a), lungimea laturii (ƀ) și să găsiți sinusul unghiului α format de bază și latura (sinα), formula de calcul va arăta astfel: S = a . ƀ. sinα. Deoarece sinusul unghiului α este produsul dintre baza paralelogramului și înălțimea acestuia (ħ = ƀ) - o dreaptă perpendiculară pe bază, aria sa se calculează înmulțind baza sa cu înălțimea: S = a. ħ. Această formulă este, de asemenea, potrivită pentru calcularea ariei unui romb și a unui dreptunghi. Deoarece latura dreptunghiului ƀ coincide cu înălțimea ħ, aria lui se calculează cu formula S = a. ƀ. deoarece a = ƀ va fi egal cu pătratul laturii sale: S = a. a = a². calculată ca jumătate din suma laturilor sale înmulțită cu înălțimea (este desenată perpendicular pe baza trapezului): S = ½. (a + ƀ) . ħ.

Cum să găsiți aria unui patrulater dacă lungimile laturilor sale sunt necunoscute, dar diagonalele (e) și (f) sunt cunoscute, precum și sinusul unghiului α? În acest caz, aria este calculată ca jumătate din produsul diagonalelor sale (liniile care leagă vârfurile poligonului) înmulțit cu sinusul unghiului α. Formula poate fi scrisă sub această formă: S = ½. (e.f). sinα. În special, în acest caz, va fi egal cu jumătate din produsul diagonalelor (linii care leagă colțurile opuse ale rombului): S = ½. (e. f).

Cum să găsiți aria unui patrulater care nu este un paralelogram sau un trapez, este de obicei numit patrulater arbitrar. Aria unei astfel de figuri este exprimată în termeni de semiperimetrul său (Ρ este suma a două laturi cu un vârf comun), laturile a, ƀ, c, d și suma a două unghiuri opuse (α + β): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ-c) . (Ρ - d) - a. ƀ. c. d. cos² ½ (α + β)].

Dacă un φ \u003d 180 °, atunci pentru a-și calcula aria, utilizați formula lui Brahmagupta (un astronom și matematician indian care a trăit în secolele VI-VII ale erei noastre): S \u003d √ [(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ-c) . (Ρ - d)]. Dacă patrulaterul este circumscris de un cerc, atunci (a + c = ƀ + d), și se calculează aria lui: S = √[ a . ƀ. c. d] . sin ½ (α + β). Dacă un patrulater este atât circumscris de un cerc, cât și înscris într-un alt cerc, atunci se utilizează următoarea formulă pentru a calcula aria: S = √.