Analiza matematică este o ramură a matematicii care se ocupă cu studiul funcțiilor bazat pe ideea unei funcții infinit de mici.

Conceptele de bază ale analizei matematice sunt cantitate, mulțime, funcție, funcție infinitezimală, limită, derivată, integrală.

Valoare tot ceea ce poate fi măsurat și exprimat printr-un număr se numește.

mulți este o colecție de elemente unite printr-o trăsătură comună. Elementele unui set pot fi numere, figuri, obiecte, concepte etc.

Seturile sunt notate cu litere mari, iar elementele unui set cu litere mici. Elementele setului sunt cuprinse între acolade.

Dacă elementul X aparține setului X, apoi scrie X∈X (∈ - aparține).
Dacă setul A face parte din setul B, atunci scrieți A ⊂ B (⊂ - este cuprins).

O mulțime poate fi definită în unul din două moduri: prin enumerare și printr-o proprietate definitorie.

De exemplu, enumerarea definește următoarele seturi:

• A=(1,2,3,5,7) - set de numere
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) este o mulțime de elemente x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) este mulțimea numerelor naturale
• Z=(0,±1,±2,...,±n) este mulțimea numerelor întregi

Se numește mulțimea (-∞;+∞). linie numerică, iar orice număr este un punct al acestei linii. Fie a un punct arbitrar pe dreapta reală și δ un număr pozitiv. Se numește intervalul (a-δ; a+δ). δ-vecinatatea punctului a.

Mulțimea X este mărginită de sus (de jos) dacă există un astfel de număr c încât pentru orice x ∈ X inegalitatea x≤с (x≥c) este satisfăcută. Numărul c în acest caz este numit marginea de sus (de jos). mulţimile X. Se numeşte o mulţime mărginită atât deasupra cât şi dedesubt limitat. Cea mai mică (mai mare) dintre fețele superioare (inferioare) ale mulțimii se numește fața de sus (de jos) exactă acest set.

Seturi numerice de bază

N	(1,2,3,...,n) Mulțimea tuturor
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Setați numere întregi. Mulțimea numerelor întregi include mulțimea numerelor naturale.
Q	O multime de numere rationale. Pe lângă numerele întregi, există și fracții. O fracție este o expresie de forma , unde p este un număr întreg, q- naturală. Decimalele pot fi scrise și ca . De exemplu: 0,25 = 25/100 = 1/4. Numerele întregi pot fi scrise și ca . De exemplu, sub forma unei fracții cu numitorul „unu”: 2 = 2/1. Astfel, orice număr rațional poate fi scris ca o fracție zecimală - periodic finit sau infinit.
R	Multe dintre toate numere reale. Numerele iraționale sunt fracții neperiodice infinite. Acestea includ: Împreună, două mulțimi (numere raționale și iraționale) formează mulțimea numerelor reale (sau reale).

Dacă o mulțime nu conține elemente, atunci este numită set golși înregistrate Ø .

Elemente de simbolism logic

Notația ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

cuantificator

La scrierea expresiilor matematice se folosesc adesea cuantificatori.

cuantificator se numeşte simbol logic care caracterizează elementele care îl urmează în termeni cantitativi.

• ∀- cuantificator general, este folosit în locul cuvintelor „pentru toți”, „pentru oricine”.
• ∃- cuantificator existențial, este folosit în locul cuvintelor „există”, „are”. Se folosește și combinația de simboluri ∃!, care se citește deoarece există doar una.

Operații pe platouri

Două multimile A si B sunt egale(A=B) dacă sunt formate din aceleași elemente.
De exemplu, dacă A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), atunci A=B.

Unire (suma) mulţimile A şi B se numesc mulţimea A ∪ B, ale cărei elemente aparţin cel puţin uneia dintre aceste mulţimi.
De exemplu, dacă A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), atunci A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Intersecție (produs) multimile A si B se numesc multimea A ∩ B, ale carei elemente apartin atat multimii A cat si multimii B.
De exemplu, dacă A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), atunci A ∩ B = (2,4)

diferență mulţimile A şi B se numesc mulţimi AB, ale cărei elemente aparţin mulţimii A, dar nu aparţin mulţimii B.
De exemplu, dacă A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), atunci AB = (1,2)

Diferență simetrică multimile A si B se numesc multimea A Δ B, care este unirea diferentelor multimilor AB si BA, adica A Δ B = (AB) ∪ (BA).
De exemplu, dacă A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), atunci A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5.6)

Proprietățile operațiilor de set

Proprietăți de permutabilitate

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Proprietate asociativă

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Seturi numărabile și nenumărate

Pentru a compara oricare două mulțimi A și B, se stabilește o corespondență între elementele lor.

Dacă această corespondență este unu-la-unu, atunci mulțimile se numesc echivalente sau echivalente, A B sau B A.

Exemplul 1

Mulțimea punctelor catetei BC și ipotenuza AC a triunghiului ABC sunt de putere egală.

Set matematic

O multime de- unul dintre obiectele cheie ale matematicii, în special, teoria mulțimilor. „În cadrul ansamblului ne referim la unificarea într-un întreg a unor obiecte certe, complet distinse ale intuiției sau gândirii noastre” (G. Kantor). Aceasta nu este în sensul deplin o definiție logică a conceptului de mulțime, ci doar o explicație (pentru că a defini un concept înseamnă a găsi un astfel de concept generic în care acest concept este inclus ca specie, dar un set este poate cel mai larg concept de matematică și logică).

teorii

Există două abordări principale ale conceptului de set - naivși axiomatic teoria multimilor.

Teoria multimilor axiomatice

Astăzi, o mulțime este definită ca un model care satisface axiomele ZFC (axiomele Zermelo-Fraenkel cu axioma de alegere). Cu această abordare, în unele teorii matematice, apar colecții de obiecte care nu sunt mulțimi. Astfel de colecții se numesc clase (de diferite ordine).

Set element

Obiectele care alcătuiesc un set sunt numite elemente de set sau puncte de referință. Seturile sunt cel mai adesea notate cu majuscule ale alfabetului latin, elementele sale - prin cele mici. Dacă a este un element al mulțimii A, atunci scrieți a ∈ A (a aparține lui A). Dacă a nu este un element al mulțimii A, atunci scrieți a ∉ A (a nu aparține lui A).

Unele tipuri de seturi

• O mulțime ordonată este o mulțime pe care este dată relația de ordine.
• Un set (în special, o pereche ordonată). Spre deosebire de un set, este scris între paranteze: ( x 1 , x 2 , x 3 , …), iar elementele pot fi repetate.

După ierarhie:

Set de seturi Subset Superset

Prin limitare:

Operații pe platouri

Literatură

• Stoll R.R. seturi. Logici. teorii axiomatice. - M .: Educaţie, 1968. - 232 p.

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „mult matematic” în alte dicționare:

Mulțimea Vitali este primul exemplu de set de numere reale care nu are măsura Lebesgue. Acest exemplu, devenit un clasic, a fost publicat în 1905 de matematicianul italian J. Vitali în articolul său „Sul problema della misura dei gruppi di punti ... ... Wikipedia

- (valoarea medie) a unei variabile aleatoare este o caracteristică numerică a unei variabile aleatoare. Dacă o variabilă aleatorie dată pe un spațiu de probabilitate (vezi Teoria probabilității), atunci M. o. MX (sau EX) este definit ca integrala Lebesgue: unde... Enciclopedia fizică

O variabilă aleatoare este caracteristica sa numerică. Dacă o variabilă aleatoare X are o funcție de distribuție F(x), atunci M. o. voi: . Dacă distribuția lui X este discretă, atunci М.о.: , unde x1, x2, ... sunt valori posibile ale variabilei aleatoare discrete X; p1... Enciclopedia Geologică

Suport matematic al ACS- , la fel ca software, software, un set de programe și algoritmi matematici, unul dintre subsistemele suport. De obicei, include multe programe pentru rezolvarea unor probleme specifice pe un computer, combinate de programul principal ... ... Dicţionar economic şi matematic

Software ACS- la fel ca software, software, un set de programe și algoritmi matematici, unul dintre subsistemele suport. Include de obicei multe programe pentru rezolvarea unor probleme specifice pe un computer, combinate cu programul principal de către dispecer. ...... Manualul Traducătorului Tehnic

- (matematic) vezi teoria multimilor...

Un model matematic este o reprezentare matematică a realității. Modelarea matematică este procesul de construire și studiere a modelelor matematice. Toate științele naturale și sociale folosind aparatul matematic, de fapt ... ... Wikipedia

O disciplină matematică dedicată teoriei și metodelor de rezolvare a problemelor de găsire a extremelor funcțiilor pe mulțimi ale unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite definite de constrângeri liniare și neliniare (egalități și inegalități). M. p. ...... Enciclopedie matematică

O disciplină matematică dedicată teoriei și metodelor de rezolvare a problemelor de găsire a extremelor funcțiilor pe mulțimi definite de constrângeri liniare și neliniare (egalități și inegalități). M. p. secțiunea științei ...... Marea Enciclopedie Sovietică

Acest termen are alte semnificații, vezi Dovada. În matematică, o demonstrație este un lanț de inferențe logice care arată că pentru un set de axiome și reguli de inferență, o anumită afirmație este adevărată. În funcție de... Wikipedia

Cărți

• Modelarea matematică a economiei, Malykhin V.I. Cartea discută principalele modele matematice ale economiei: modelul consumatorului individual (pe baza funcției de utilitate), modelul companiei producătoare (pe baza funcției de producție),...

Rezumat scurt

Sunt un fizician teoretician din punct de vedere al educației, dar am o pregătire bună în matematică. În magistratură una dintre subiecte a fost filosofia, a fost necesar să se aleagă o temă și să depună o lucrare pe aceasta. Deoarece majoritatea opțiunilor au fost de mai multe ori obmusoleny, am decis să aleg ceva mai exotic. Nu pretind noutate, doar am reușit să acumulez toată / aproape toată literatura disponibilă pe această temă. Filosofii și matematicienii pot arunca cu pietre în mine, nu voi fi recunoscător decât pentru criticile constructive.

P.S. Foarte „limbaj uscat”, dar destul de lizibil după programul universitar. În cea mai mare parte, definițiile paradoxurilor au fost preluate de pe Wikipedia (formulare simplificată și markup TeX gata făcut).

Introducere

Atât teoria mulțimilor în sine, cât și paradoxurile inerente acesteia au apărut nu cu mult timp în urmă, cu puțin peste o sută de ani în urmă. Totuși, în această perioadă s-a parcurs un drum lung, teoria mulțimilor, într-un fel sau altul, a devenit de fapt baza majorității secțiunilor de matematică. Paradoxurile sale, legate de infinitul lui Cantor, au fost explicate cu succes literalmente într-o jumătate de secol.

Ar trebui să începeți cu o definiție.

Ce este o multitudine? Întrebarea este destul de simplă, răspunsul la ea este destul de intuitiv. O mulțime este o mulțime de elemente reprezentate de un singur obiect. Kantor în opera sa Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre dă o definiție: prin „mulțime” înțelegem combinarea într-un anume întreg a anumitor obiecte bine distinse ale contemplației sau gândirii noastre (care vor fi numite „elemente” ale mulțimii). După cum puteți vedea, esența nu s-a schimbat, diferența este doar în partea care depinde de viziunea asupra lumii a determinantului. Istoria teoriei mulțimilor, atât în ​​logică, cât și în matematică, este foarte controversată. De fapt, Kantor a pus bazele acesteia în secolul al XIX-lea, apoi Russell și ceilalți au continuat munca.

Paradoxuri (logica și teoria mulțimilor) - (din alt grecesc παράδοξος - neașteptat, ciudat din alt grecesc παρα-δοκέω - par) - contradicții logice formale care apar în teoria mulțimilor semnificative și logica formală, păstrând în același timp corectitudinea logică a raționamentului. Paradoxurile apar atunci când două propoziții care se exclud reciproc (contradictorii) sunt la fel de demonstrate. Paradoxurile pot apărea atât în ​​cadrul teoriei științifice, cât și în raționamentul obișnuit (de exemplu, paradoxul lui Russell cu privire la setul tuturor seturilor normale este dat de Russell: „Bărbierul satului îi rade pe toți cei și numai pe acei locuitori ai satului său care nu se rad. se rade singur?"). Întrucât o contradicție formal-logică distruge raționamentul ca mijloc de descoperire și demonstrare a adevărului (într-o teorie în care apare un paradox, orice propoziție, atât adevărată cât și falsă, este dovedibilă), se pune problema identificării surselor unor astfel de contradicții și găsirea modalităților de a le elimina. Problema înțelegerii filozofice a soluțiilor specifice la paradoxuri este una dintre problemele metodologice importante ale logicii formale și ale fundamentelor logice ale matematicii.

Scopul acestei lucrări este de a studia paradoxurile teoriei mulțimilor ca moștenitori ai antinomiilor antice și consecințele destul de logice ale trecerii la un nou nivel de abstractizare - infinitul. Sarcina este de a lua în considerare principalele paradoxuri, interpretarea lor filozofică.

Paradoxurile de bază ale teoriei mulțimilor

Frizerul rade doar oamenii care nu se rad singuri. Se rade singur?

Să continuăm cu o scurtă excursie în istorie.

Unele dintre paradoxurile logice sunt cunoscute încă din cele mai vechi timpuri, dar datorită faptului că teoria matematică era limitată doar la aritmetică și geometrie, a fost imposibil să le coreleze cu teoria mulțimilor. În secolul al XIX-lea, situația s-a schimbat radical: Kantor a atins un nou nivel de abstractizare în lucrările sale. El a introdus conceptul de infinit, creând astfel o nouă ramură a matematicii și permițând astfel compararea diferitelor infinitate folosind conceptul de „putere a unei mulțimi”. Cu toate acestea, făcând acest lucru, el a creat multe paradoxuri. Primul este așa-numitul Paradoxul Burali-Forti. În literatura matematică, există diverse formulări bazate pe terminologii diferite și un set presupus de teoreme binecunoscute. Iată una dintre definițiile formale.

Se poate dovedi că dacă este o mulțime arbitrară de numere ordinale, atunci mulțimea sumă este un număr ordinal mai mare sau egal cu fiecare dintre elementele lui . Să presupunem acum că este mulțimea tuturor numerelor ordinale. Atunci este un număr ordinal mai mare sau egal cu oricare dintre numerele din . Dar atunci și este un număr ordinal, în plus, este deja strict mai mare și, prin urmare, nu este egal cu niciunul dintre numerele din . Dar aceasta contrazice condiția care este mulțimea tuturor numerelor ordinale.

Esența paradoxului este că, atunci când se formează mulțimea tuturor numerelor ordinale, se formează un nou tip ordinal, care nu era încă printre „toate” numerele ordinale transfinite care existau înainte de formarea mulțimii tuturor numerelor ordinale. Acest paradox a fost descoperit chiar de Cantor, descoperit și publicat independent de matematicianul italian Burali-Forti, erorile acestuia din urmă fiind corectate de Russell, după care formularea a căpătat forma finală.

Dintre toate încercările de a evita astfel de paradoxuri și de a încerca într-o oarecare măsură să le explice, ideea deja menționatului Russell merită cea mai mare atenție. El a propus excluderea din matematică și logică a propozițiilor impredicative în care definiția unui element al unei mulțimi depinde de aceasta din urmă, ceea ce provoacă paradoxuri. Regula sună așa: „nici o mulțime nu poate conține elemente definite doar în termeni de mulțime, precum și elemente care presupun această mulțime în definiția lor”. O astfel de restricție asupra definiției unei mulțimi ne permite să evităm paradoxurile, dar în același timp restrânge semnificativ domeniul de aplicare a acesteia în matematică. În plus, acest lucru nu este suficient pentru a explica natura și motivele apariției lor, înrădăcinate în dihotomia gândire și limbaj, în trăsăturile logicii formale. Într-o oarecare măsură, această restricție poate fi urmărită o analogie cu ceea ce într-o perioadă ulterioară psihologii cognitivi și lingviștii au început să numească „categorizare la nivel de bază”: definiția se reduce la cel mai ușor de înțeles și de studiat concept.

Paradoxul lui Cantor. Să presupunem că mulțimea tuturor mulțimilor există. În acest caz, este adevărat că fiecare mulțime este o submulțime de . Dar de aici rezultă că cardinalitatea oricărei mulțimi nu depășește cardinalitatea lui . Dar în virtutea axiomei mulțimii tuturor submulțimii, pentru , ca și orice mulțime, există o mulțime a tuturor submulților , și prin teorema lui Cantor, care contrazice afirmația anterioară. Prin urmare, nu poate exista, ceea ce intră în conflict cu ipoteza „naivă” că orice condiție logică corectă din punct de vedere sintactic definește o mulțime, adică aceea pentru orice formulă care nu conține liber. O dovadă remarcabilă a absenței unor astfel de contradicții pe baza teoriei axiomatizate a mulțimilor Zermelo-Fraenkel este dată de Potter.

Din punct de vedere logic, ambele paradoxuri de mai sus sunt identice cu „Mincinosul” sau „Bărbierul”: judecata exprimată este îndreptată nu numai către ceva obiectiv în raport cu el, ci și către el însuși. Cu toate acestea, ar trebui să acordați atenție nu numai laturii logice, ci și conceptului de infinit, care este prezent aici. Literatura se referă la opera lui Poincaré, în care el scrie: „credința în existența infinitului actual... face necesare aceste definiții nepredicative” .

În general, punctele principale sunt:

1. în aceste paradoxuri, se încalcă regula de a separa clar „sferele” predicatului și subiectului; gradul de confuzie este apropiat de substituirea unui concept cu altul;
2. de obicei în logică se presupune că în procesul de raționament subiectul și predicatul își păstrează volumul și conținutul, în acest caz are loc o trecere de la o categorie la alta, din care rezultă o discrepanță;
3. prezența cuvântului „toate” are sens pentru un număr finit de elemente, dar în cazul unui număr infinit de elemente, este posibil să existe unul care, pentru a se defini, ar necesita definirea unei mulțimi;
4. legile logice de bază sunt încălcate:
   1. legea identității este încălcată când se dezvăluie neidentitatea subiectului și a predicatului;
   2. legea contradictiei - cand doua judecati contradictorii sunt derivate cu acelasi drept;
   3. legea treimii excluse - când această treime trebuie recunoscută, și nu exclusă, deoarece nici prima, nici a doua nu pot fi recunoscute una fără cealaltă, deoarece sunt la fel de valabile.

Paradoxul lui Russell. Iată una dintre opțiunile lui. Fie mulțimea tuturor mulțimilor care nu se conțin ca element al lor. Se conține ca element? Dacă da, atunci, prin definiție, nu ar trebui să fie un element - o contradicție. Dacă nu - atunci, prin definiție, trebuie să fie un element - din nou o contradicție. Această afirmație este derivată logic din paradoxul lui Cantor, care arată relația lor. Cu toate acestea, esența filozofică se manifestă mai clar, deoarece „auto-mișcarea” conceptelor are loc chiar „în fața ochilor noștri”.

Paradoxul lui Tristram Shandy. În The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, de Stern, eroul constată că i-a luat un an întreg să povestească evenimentele din prima zi a vieții sale și încă un an pentru a descrie a doua zi. În acest sens, eroul se plânge că materialul biografiei sale se va acumula mai repede decât îl poate procesa și nu îl va putea finaliza niciodată. „Acum susțin,” obiectează Russell, „că dacă ar trăi pentru totdeauna și munca lui nu ar deveni o povară pentru el, chiar dacă viața lui ar continua să fie la fel de plină de evenimente ca la început, atunci nici o parte din biografia lui nu ar fi să nu rămână nescris.

Într-adevăr, Shandy ar putea descrie evenimentele din -a zi pentru al --lea an și, astfel, în autobiografia sa, fiecare zi ar fi surprinsă. Cu alte cuvinte, dacă viața ar dura la infinit, atunci ar avea tot atâtea ani cât și zile.

Russell face o analogie între acest roman și Zeno cu broasca țestoasă. În opinia sa, soluția constă în faptul că întregul este echivalent cu partea sa la infinit. Acestea. doar „axioma bunului simț” duce la o contradicție. Cu toate acestea, soluția problemei se află în domeniul matematicii pure. Evident, există două seturi - ani și zile, între elementele cărora există o corespondență unu-la-unu - o bijecție. Apoi, sub condiția vieții infinite a protagonistului, există două mulțimi infinite de puteri egale, care, dacă considerăm puterea ca o generalizare a conceptului de număr de elemente dintr-o mulțime, rezolvă paradoxul.

Paradoxul (teorema) lui Banach-Tarski sau paradoxul dublării mingii- o teoremă în teoria mulțimilor care afirmă că o minge tridimensională este compusă în mod egal din două dintre copiile sale.

Două submulțimi ale spațiului euclidian se numesc compuse egal dacă una poate fi împărțită într-un număr finit de părți, le-a mutat și a fost alcătuită din ele a doua. Mai exact, două mulțimi și sunt compuse în mod egal dacă pot fi reprezentate ca o uniune finită de submulțimi disjunse și astfel încât pentru fiecare submulțime să fie congruentă.

Dacă folosim teorema alegerii, atunci definiția sună astfel:

Axioma alegerii implică faptul că există o împărțire a suprafeței unei sfere unitare într-un număr finit de părți, care, prin transformări ale spațiului euclidian tridimensional care nu schimbă forma acestor componente, pot fi asamblate în două sfere cu raza unitară.

Evident, având în vedere cerința ca aceste părți să fie măsurabile, această afirmație nu este fezabilă. Faimosul fizician Richard Feynman a povestit în biografia sa cum a reușit la un moment dat să câștige disputa despre împărțirea unei portocale într-un număr finit de părți și recompunerea acesteia.

În anumite puncte, acest paradox este folosit pentru a respinge axioma alegerii, dar problema este că ceea ce considerăm geometrie elementară nu este esențială. Acele concepte pe care le considerăm intuitive ar trebui extinse la nivelul proprietăților funcțiilor transcendentale.

Pentru a slăbi și mai mult încrederea celor care cred că axioma alegerii este greșită, ar trebui menționat teorema lui Mazurkiewicz și Sierpinski, care afirmă că există o submulțime nevidă a planului euclidian care are două submulțimi disjunse, fiecare dintre ele. pot fi împărțite într-un număr finit de părți, astfel încât acestea să poată fi traduse prin izometrii într-o acoperire a mulțimii. Dovada nu necesită utilizarea axiomei alegerii. Construcțiile ulterioare bazate pe axioma certitudinii oferă o rezoluție paradoxului Banach-Tarski, dar nu prezintă un asemenea interes.

1. Paradoxul lui Richard: Este necesar să se numească „cel mai mic număr care nu este menționat în această carte”. Contradicția este că, pe de o parte, acest lucru se poate face, deoarece există cel mai mic număr numit în această carte. Pornind de la ea, se poate numi și pe cel mai mic fără nume. Dar aici apare o problemă: continuum-ul este nenumărabil, între oricare două numere puteți introduce un număr infinit de numere intermediare. Pe de altă parte, dacă am putea numi acest număr, s-ar muta automat din clasa nemenționată în carte în clasa menționată.
2. Paradoxul Grelling-Nilson: cuvintele sau semnele pot denota o proprietate și în același timp o au sau nu. Cea mai banală formulare sună astfel: cuvântul „eterologic” (care înseamnă „nu se aplică la sine”) este heterologic?.. Este foarte asemănător cu paradoxul lui Russell datorită prezenței unei contradicții dialectice: dualitatea formei și conținutului. este încălcat. În cazul cuvintelor care au un nivel ridicat de abstractizare, este imposibil să se decidă dacă aceste cuvinte sunt heterologice.
3. Paradoxul Skolem: folosind teorema de completitudine a lui Gödel și teorema Löwenheim-Skolem, obținem că teoria axiomatică a mulțimilor rămâne adevărată chiar și atunci când doar o mulțime numărabilă de mulțimi este asumată (disponibilă) pentru interpretarea ei. În același timp, teoria axiomatică include deja amintita teorema Cantor, care ne conduce la nenumărate mulțimi infinite.

Rezolvarea paradoxurilor

Crearea teoriei mulțimilor a dat naștere a ceea ce este considerată a treia criză a matematicii, care nu a fost încă rezolvată satisfăcător pentru toată lumea. Din punct de vedere istoric, prima abordare a fost teoretică a seturilor. S-a bazat pe folosirea infinitului actual, când se considera că orice succesiune infinită este completată în infinit. Ideea a fost că în teoria mulțimilor trebuia adesea să se opereze pe mulțimi care ar putea fi părți ale altor mulțimi mai mari. Acțiunile de succes în acest caz au fost posibile doar într-un singur caz: mulțimile date (finite și infinite) sunt finalizate. Un anumit succes a fost evident: teoria axiomatică a mulțimilor a lui Zermelo-Fraenkel, o întreagă școală de matematică a lui Nicolas Bourbaki, care există de mai bine de jumătate de secol și provoacă încă multe critici.

Logicismul a fost o încercare de a reduce toată matematica cunoscută la termenii aritmeticii, iar apoi de a reduce termenii aritmeticii la conceptele logicii matematice. Frege a preluat acest lucru îndeaproape, dar după ce a terminat lucrul la lucrare, a fost nevoit să-și sublinieze inconsecvența, după ce Russell a subliniat contradicțiile din teorie. Același Russell, așa cum am menționat mai devreme, a încercat să elimine utilizarea definițiilor impredicative cu ajutorul „teoriei tipurilor”. Cu toate acestea, conceptele sale de mulțime și infinit, precum și axioma reductibilității, s-au dovedit a fi ilogice. Problema principală a fost că nu au fost luate în considerare diferențele calitative dintre logica formală și cea matematică, precum și prezența conceptelor superflue, inclusiv a celor de natură intuitivă.
Ca urmare, teoria logicismului nu a putut elimina contradicțiile dialectice ale paradoxurilor asociate infinitului. Au existat doar principii și metode care au făcut posibilă scăparea de definiții cel puțin nepredicative. În propriul său raționament, Russell era moștenitorul lui Cantor.

La sfârșitul secolului XIX - începutul secolului XX. răspândirea punctului de vedere formalist asupra matematicii a fost asociată cu dezvoltarea metodei axiomatice și a programului de fundamentare a matematicii, care a fost propus de D. Hilbert. Importanța acestui fapt este indicată de faptul că prima dintre cele douăzeci și trei de probleme pe care le-a prezentat comunității matematice a fost problema infinitului. Formalizarea a fost necesară pentru a dovedi consistența matematicii clasice, „excluzând în același timp toată metafizica din ea”. Având în vedere mijloacele și metodele folosite de Hilbert, scopul său s-a dovedit a fi fundamental imposibil, dar programul său a avut un impact uriaș asupra întregii dezvoltări ulterioare a fundamentelor matematicii. Hilbert a lucrat la această problemă mult timp, după ce a construit mai întâi axiomatica geometriei. Deoarece rezolvarea problemei s-a dovedit a fi destul de reușită, el a decis să aplice metoda axiomatică la teoria numerelor naturale. Iată ce a scris el în legătură cu aceasta: „Urmez un scop important: eu sunt cel care aș dori să mă ocup de chestiunile fundamentului matematicii ca atare, transformând fiecare afirmație matematică într-o formulă strict derivabilă”. În același timp, s-a planificat să scape de infinit prin reducerea lui la un anumit număr finit de operații. Pentru a face acest lucru, a apelat la fizică cu atomismul ei, pentru a arăta întreaga inconsecvență a cantităților infinite. De fapt, Hilbert a pus problema relației dintre teorie și realitatea obiectivă.

O idee mai mult sau mai puțin completă a metodelor finite este dată de studentul lui Hilbert J. Herbran. Prin raționament finit, el înțelege un astfel de raționament care îndeplinește următoarele condiții: paradoxuri logice

Numai un număr finit și definit de obiecte și funcții este întotdeauna luat în considerare;

Funcțiile au o definiție precisă, iar această definiție ne permite să le calculăm valoarea;

Nu afirmă niciodată „Acest obiect există” decât dacă este cunoscută o modalitate de a-l construi;

Mulțimea tuturor obiectelor X din orice colecție infinită nu este niciodată luată în considerare;

Dacă se știe că orice raționament sau teoremă este adevărată pentru toate aceste X , atunci aceasta înseamnă că acest raționament general poate fi repetat pentru fiecare X specific, iar acest raționament general în sine ar trebui considerat doar ca un model pentru un astfel de raționament specific.

Cu toate acestea, la momentul ultimei publicații în acest domeniu, Gödel primise deja rezultatele sale, în esență el a descoperit și a aprobat din nou prezența dialecticii în procesul de cunoaștere. În esență, dezvoltarea ulterioară a matematicii a demonstrat eșecul programului lui Hilbert.

Ce anume a dovedit Gödel? Există trei rezultate principale:

1. Gödel a arătat imposibilitatea unei dovezi matematice a consistenței oricărui sistem suficient de mare pentru a include toată aritmetica, o dovadă care nu ar folosi alte reguli de inferență decât cele găsite în sistemul însuși. O astfel de dovadă, care folosește o regulă de inferență mai puternică, poate fi utilă. Dar dacă aceste reguli de inferență sunt mai puternice decât mijloacele logice ale calculului aritmetic, atunci nu va exista încredere în consistența ipotezelor utilizate în demonstrație. În orice caz, dacă metodele folosite nu sunt finitiste, atunci programul lui Hilbert se va dovedi a fi impracticabil. Gödel arată doar inconsecvența calculelor pentru a găsi o demonstrație finitistă a consistenței aritmeticii.

2. Godel a subliniat limitările fundamentale ale posibilităților metodei axiomatice: sistemul Principia Mathematica, ca orice alt sistem cu care se construiește aritmetica, este în esență incomplet, adică pentru orice sistem consistent de axiome aritmetice există propoziții aritmetice adevărate care sunt nu derivat din axiomele acestui sistem.

3. Teorema lui Gödel arată că nicio extensie a unui sistem aritmetic nu îl poate face complet și chiar dacă îl umplem cu un set infinit de axiome, atunci în noul sistem va exista întotdeauna adevărat, dar nu deductibil prin intermediul acestui sistem, pozitii. Abordarea axiomatică a aritmeticii numerelor naturale nu poate acoperi întregul domeniu al propozițiilor aritmetice adevărate, iar ceea ce înțelegem prin procesul de demonstrare matematică nu se limitează la utilizarea metodei axiomatice. După teorema lui Godel, a devenit lipsit de sens să ne așteptăm ca conceptul de demonstrație matematică convingătoare să poată fi dat o dată pentru totdeauna forme delimitate.

Cel mai recent din această serie de încercări de a explica teoria mulțimilor a fost intuiționismul.

A parcurs o serie de etape în evoluția sa - semi-intuiționism, intuiționism propriu-zis, ultra-intuiționism. În diferite etape, matematicienii au fost îngrijorați de diferite probleme, dar una dintre principalele probleme ale matematicii este problema infinitului. Conceptele matematice de infinit și continuitate au făcut obiectul analizei filozofice încă de la începuturi (ideile atomiștilor, aporii lui Zenon din Elea, metodele infinitezimale din antichitate, calculul infinitezimalelor în timpurile moderne etc.). Cea mai mare controversă a fost cauzată de utilizarea diferitelor tipuri de infinit (potențial, actual) ca obiecte matematice și interpretarea lor. Toate aceste probleme, în opinia noastră, au fost generate de o problemă mai profundă - rolul subiectului în cunoașterea științifică. Cert este că starea de criză în matematică este generată de incertitudinea epistemologică a comparației dintre lumea obiectului (infinitul) și lumea subiectului. Matematicianul ca subiect are posibilitatea de a alege mijloacele de cunoaștere – fie infinitate potențiale, fie actuale. Folosirea infinitului potențial ca devenire îi oferă posibilitatea de a realiza, de a construi un set infinit de construcții care se pot construi deasupra unora finite, fără a avea un pas finit, fără a finaliza construcția, este doar posibil. Utilizarea infinitului actual îi oferă posibilitatea de a lucra cu infinitul ca deja realizabil, finalizat în construcția lui, așa cum este dat de fapt în același timp.

În stadiul semi-intuiționismului, problema infinitului nu era încă independentă, ci a fost țesut în problema construirii obiectelor matematice și a modalităților de a o justifica. Semiintuiționismul lui A. Poincaré și reprezentanții școlii pariziene de teorie a funcției Baire, Lebesgue și Borel a fost îndreptat împotriva acceptării axiomei alegerii libere, care demonstrează teorema lui Zermelo, care afirmă că orice mulțime poate fi făcută complet ordonată. , dar fără a indica o modalitate teoretică de a determina elementele oricărei submulțimi a mulțimilor dorite. Nu există nicio modalitate de a construi un obiect matematic și nu există nici un obiect matematic în sine. Matematicienii credeau că prezența sau absența unei metode teoretice de construire a unei secvențe de obiecte de studiu poate servi drept bază pentru fundamentarea sau infirmarea acestei axiome. În versiunea rusă, conceptul semi-intuiționist din fundamentele filozofice ale matematicii a fost dezvoltat într-o direcție precum efectismul dezvoltat de N.N. Luzin. Eficacismul este o opoziție cu principalele abstractizări ale doctrinei lui Cantor despre infinit - actualitatea, alegerea, inducția transfinită etc.

Pentru efectism, abstracția fezabilității potențiale este mai valoroasă din punct de vedere epistemologic decât abstracția infinitului actual. Datorită acestui fapt, devine posibilă introducerea conceptului de ordinale transfinite (numere ordinale infinite) pe baza conceptului efectiv de creștere a funcțiilor. Setarea epistemologică a efectivismului pentru afișarea continuului (continuum) s-a bazat pe medii discrete (aritmetică) și pe teoria descriptivă a mulțimilor (funcțiilor) creată de N.N. Luzin. Intuiționismul olandezului L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heyting vede secvențele care apar liber de diferite tipuri ca un obiect tradițional de studiu. În această etapă, rezolvând problemele matematice propriu-zise, ​​inclusiv restructurarea întregii matematici pe o bază nouă, intuiționiștii au ridicat problema filozofică a rolului matematicianului ca subiect de cunoaștere. Care este poziția sa, unde este mai liber și mai activ în alegerea mijloacelor de cunoaștere? Intuiționiștii au fost primii (și în stadiul de semi-intuiționism) care au criticat conceptul de infinit real, teoria mulțimilor a lui Cantor, văzând în aceasta încălcarea capacității subiectului de a influența procesul de căutare științifică a unei soluții la o problemă constructivă. . În cazul utilizării infinitului potențial, subiectul nu se înșală, deoarece pentru el ideea de infinit potențial este intuitiv mult mai clară decât ideea de infinit real. Pentru un intuitionist, un obiect este considerat ca exista daca este dat direct unui matematician sau daca este cunoscuta metoda de construire a lui. În orice caz, subiectul poate începe procesul de finalizare a construcției unui număr de elemente ale setului său. Obiectul neconstruit nu există pentru intuiţionişti. În același timp, subiectul care lucrează cu infinitul actual va fi lipsit de această oportunitate și va simți dubla vulnerabilitate a poziției adoptate:

1) nu este niciodată posibil să se realizeze această construcție infinită;

2) el decide să opereze cu infinitul actual ca cu un obiect finit, iar în acest caz își pierde specificul conceptului de infinit. Intuiționismul limitează în mod conștient posibilitățile unui matematician prin faptul că poate construi obiecte matematice exclusiv prin mijloace care, deși obținute cu ajutorul conceptelor abstracte, sunt eficiente, convingătoare, demonstrabile, constructive din punct de vedere funcțional tocmai practic și sunt ele însele intuitiv clare ca construcții, construcții, a căror fiabilitate în practică nu există nicio îndoială. Intuiționismul, bazându-se pe conceptul de infinit potențial și pe metode de cercetare constructivă, se ocupă de matematica devenirii, teoria mulțimilor se referă la matematica ființei.

Pentru intuiționistul Brouwer, ca reprezentant al empirismului matematic, logica este secundară; el o critică și legea mijlocului exclus.

În lucrările sale parțial mistice, el nu neagă existența infinitului, dar nu permite actualizarea lui, ci doar potențializarea. Principalul lucru pentru el este interpretarea și justificarea mijloacelor logice utilizate practic și a raționamentului matematic. Restricţia adoptată de intuiţionişti depăşeşte incertitudinea utilizării conceptului de infinit în matematică şi exprimă dorinţa de a depăşi criza în fundamentul matematicii.

Ultraintuiționismul (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov ș.a.) este ultima etapă a dezvoltării intuiționismului, la care ideile sale principale sunt modernizate, suplimentate și transformate semnificativ, fără a-i schimba esența, ci depășind neajunsurile și consolidând aspectele pozitive, ghidate de criteriile de rigoare matematică. Slăbiciunea abordării intuiționiste a fost o înțelegere îngustă a rolului intuiției ca singura sursă de justificare a corectitudinii și eficacității metodelor matematice. Luând „claritatea intuitivă” drept criteriu al adevărului în matematică, intuiţioniştii au sărăcit metodologic posibilităţile unui matematician ca subiect de cunoaştere, şi-au redus activitatea doar la operaţii mentale bazate pe intuiţie şi nu au inclus practica în procesul cunoaşterii matematice. Programul ultra-intuiționist de fundamentare a matematicii este o prioritate a Rusiei. De aceea, matematicienii domestici, depășind limitările intuiționismului, au adoptat metodologia eficientă a dialecticii materialiste, recunoscând practica umană ca sursă de formare atât a conceptelor matematice, cât și a metodelor matematice (inferențe, construcții). Ultraintuiționiștii au rezolvat problema existenței obiectelor matematice, bazându-se nu pe conceptul subiectiv nedefinit al intuiției, ci pe practica matematică și pe un mecanism specific de construire a unui obiect matematic - un algoritm exprimat printr-o funcție computabilă, recursivă.

Ultraintuiționismul sporește avantajele intuiționismului, care constau în posibilitatea ordonării și generalizării metodelor de rezolvare a problemelor constructive folosite de matematicienii de orice direcție. Prin urmare, intuiționismul din ultima etapă (ultraintuiționismul) este aproape de constructivism în matematică. Sub aspectul epistemologic, principalele idei şi principii ale ultraintuiţionismului sunt următoarele: critica axiomaticii clasice a logicii; utilizarea și întărirea semnificativă (pe instrucțiunile explicite ale lui A.A. Markov) a rolului de abstractizare a identificării (abstracția mentală de la proprietățile diferite ale obiectelor și izolarea simultană a proprietăților generale ale obiectelor) ca modalitate de construire și înțelegere constructivă a abstractului. concepte, judecăți matematice; dovada consistentei teoriilor consistente. În aspectul formal, aplicarea abstracției identificării este justificată prin cele trei proprietăți (axiome) ale egalității – reflexivitate, tranzitivitate și simetrie.

Să rezolve principala contradicție din matematică cu privire la problema infinitului, care a dat naștere unei crize a fundamentelor sale, în stadiul de ultra-intuiționism în lucrările lui A.N. Kolmogorov a sugerat căi de ieșire din criză prin rezolvarea problemei relațiilor dintre logica clasică și intuiționistă, matematica clasică și intuiționistă. Intuiționismul lui Brouwer în ansamblu a negat logica, dar întrucât orice matematician nu se poate lipsi de logică, practica raționamentului logic era încă păstrată în intuiționism, au fost permise unele principii ale logicii clasice, care aveau ca bază axiomatica. S.K. Kleene, R. Wesley notează chiar că matematica intuiționistă poate fi descrisă ca un fel de calcul, iar calculul este o modalitate de organizare a cunoștințelor matematice pe baza logicii, a formalizării și a formei sale - algoritmizarea. O nouă versiune a relației dintre logică și matematică în cadrul cerințelor intuiționiste pentru claritatea intuitivă a judecăților, în special a celor care includeau negația, A.N. Kolmogorov a propus astfel: el a prezentat logica intuiționistă, strâns legată de matematica intuiționistă, sub forma unui calcul minimal implicativ axiomatic de propoziții și predicate. Astfel, omul de știință a prezentat un nou model de cunoaștere matematică, depășind limitările intuiționismului în recunoașterea doar a intuiției ca mijloc de cunoaștere și a limitărilor logicismului, care absolutizează posibilitățile logicii în matematică. Această poziție a făcut posibilă demonstrarea în formă matematică a sintezei intuitivului și logicului ca bază a raționalității flexibile și a eficacității sale constructive.

Astfel, aspectul epistemologic al cunoștințelor matematice ne permite să evaluăm schimbările revoluționare din stadiul crizei fundamentelor matematicii la începutul secolelor XIX-XX. din noi poziții în înțelegerea procesului de cunoaștere, a naturii și a rolului subiectului în acesta. Subiectul epistemologic al teoriei tradiționale a cunoașterii, corespunzător perioadei de dominare a demersului teoretic multimilor în matematică, este un subiect abstract, incomplet, „parțial”, reprezentat în relații subiect-obiect, rupt de abstracțiuni, logică, formalismul din realitate, rațional, teoretic cunoscându-și obiectul și înțeles ca o oglindă, reflectând și copiend cu acuratețe realitatea. De fapt, subiectul a fost exclus de la cunoaștere ca proces real și rezultat al interacțiunii cu obiectul. Intrarea intuiționismului în arena luptei tendințelor filozofice din matematică a condus la o nouă înțelegere a matematicianului ca subiect al cunoașterii - o persoană care știe, a cărei abstracție filosofică trebuie construită, parcă, din nou. Matematicianul a apărut ca subiect empiric, înțeles deja ca persoană reală integrală, incluzând toate acele proprietăți din care au fost abstrase în subiectul epistemologic - concretețe empirică, variabilitate, istoricitate; este acționarea și cunoașterea în cunoaștere reală, un subiect creativ, intuitiv, inventiv. Filosofia matematicii intuiționiste a devenit baza, fundamentul paradigmei epistemologice moderne, construită pe conceptul de raționalitate flexibilă, în care o persoană este subiect integral (holistic) al cunoașterii, posedând noi calități cognitive, metode, proceduri; el își sintetizează natura și forma abstract-epistemologică și logico-metodologică și primește în același timp o înțelegere existențial-antropologică și „istoric-metafizică”.

Un punct important este și intuiția în cunoaștere și, în special, în formarea conceptelor matematice. Din nou, există o luptă cu filozofia, încercări de a exclude legea mijlocului exclus, ca neavând sens în matematică și venind în ea din filozofie. Cu toate acestea, prezența unui accent excesiv pe intuiție și lipsa unor justificări matematice clare nu au permis transferul matematicii pe o bază solidă.

Cu toate acestea, după apariția unui concept riguros de algoritm în anii 1930, ștafeta intuiționismului a fost preluată de constructivismul matematic, ai cărui reprezentanți au adus o contribuție semnificativă la teoria modernă a computabilității. În plus, în anii 1970 și 1980, s-au descoperit conexiuni semnificative între unele dintre ideile intuiționiştilor (chiar și cele care păreau anterior absurde) și teoria matematică a toposului. Matematica găsită în unele topoi este foarte asemănătoare cu cea pe care intuiționiștii încercau să o creeze.

Ca rezultat, se poate face o afirmație: majoritatea paradoxurilor de mai sus pur și simplu nu există în teoria mulțimilor cu proprietăți de sine. Dacă o astfel de abordare este definitivă este discutabil, vor arăta lucrările ulterioare în acest domeniu.

Concluzie

Analiza dialectico-materialistă arată că paradoxurile sunt o consecință a dihotomiei limbaj și gândire, o expresie a dialecticii profunde (teorema lui Gödel a făcut posibilă manifestarea dialecticii în procesul de cunoaștere) și a dificultăților epistemologice asociate conceptelor de obiect și subiect. zonă în logica formală, o mulțime (clasă) în logică și teoria mulțimilor, cu utilizarea principiului abstracției, care permite introducerea de noi obiecte (abstracte) (infinit), cu metode de definire a obiectelor abstracte în știință etc. Prin urmare, o nu poate fi dat un mod universal de a elimina toate paradoxurile.

Fie că a treia criză a matematicii s-a încheiat (pentru că era într-o relație cauzală cu paradoxurile; acum paradoxurile sunt o parte integrantă) - opiniile diferă aici, deși paradoxurile cunoscute formal au fost eliminate până în 1907. Cu toate acestea, acum în matematică există și alte circumstanțe care pot fi considerate fie criză, fie prefigurează o criză (de exemplu, absența unei justificări riguroase pentru integrala căii).

În ceea ce privește paradoxurile, cunoscutul paradox al mincinosului a jucat un rol foarte important în matematică, precum și o serie întreagă de paradoxuri în așa-numita teorie a mulțimilor naive (precedente axiomatice) care au provocat o criză de fundamente (unul dintre aceste paradoxuri a jucat). un rol fatal în viaţa lui G. Frege) . Dar, poate, unul dintre cele mai subestimate fenomene din matematica modernă, care poate fi numit atât paradoxal, cât și criză, este soluția lui Paul Cohen în 1963 a primei probleme a lui Hilbert. Mai exact, nu chiar faptul deciziei, ci natura acestei decizii.

Literatură

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. ÎN. Burova. Paradoxurile teoriei mulțimilor și ale dialecticii. Știință, 1976.
3. M.D. Olar. Teoria mulțimilor și filosofia ei: o introducere critică. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Jukov N.I. Fundamentele filozofice ale matematicii. Minsk: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. Desigur, glumesti, domnule Feynman!: aventurile unui om uimitor, povestite de el lui R. Layton. Pasărea colibri, 2008.
6. O. M. Mijevici. Două moduri de a depăși paradoxurile în teoria mulțimilor a lui G. Kantor. Studii logice și filozofice, (3):279-299, 2005.
7. S. I. Masalova. FILOZOFIA MATEMATICII INTUITIONISTE. Buletinul DSTU, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Teoria multimilor cu auto-proprietate (fundamente si unele aplicatii). Permanent. stat un-t. – Perm, 2012.
9. S. N. Tronin. Scurt rezumat al prelegerilor la disciplina „Filosofia matematicii”. Kazan, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Studii în teoria mulțimilor și logica neclasică. Știință, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: această ghirlandă nesfârșită. Bahrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Introducere în logica matematică. Editura „Nauka”, 1976.
13. DA. Bochvar. Pe problema paradoxurilor logicii matematice și teoriei mulțimilor. Colecția matematică, 57(3):369-384, 1944.

Descrierea domeniului de subiect (crearea ontologiei sale) începe cu selecția obiectelor și clasificarea lor, care constă în mod tradițional în compilarea unui arbore de clase de subclase și atribuirea unor indivizi acestora. În același timp, termenul „clasă”, de fapt, este folosit în sensul „mult”: trimiterea unui obiect la o clasă este considerată ca incluzându-l ca element în mulțimea corespunzătoare. Scopul acestui text este de a arăta că o astfel de abordare unificată a descrierii structurii domeniului subiectului este o simplificare puternică și nu permite fixarea varietății relațiilor semantice ale obiectelor.

Să ne uităm la trei opțiuni pentru clasificarea individului Bug:

1. Animal - câine - husky - Bug.
2. Service - călărie - Bug.
3. Canisa - echipă de câini - Zhuchka.

Prima secvență de entități subordonate este descrisă fără ambiguitate prin specificarea claselor și subclaselor: bug-ul este un individ din clasa „like”, clasa „like” este o subclasă de câini, iar aceasta este o subclasă a clasei „animal” . În acest caz, clasa „animale” este tratată ca un set de toate animalele, iar clasa „preț” ca un subset al setului „câini”. Cu toate acestea, o astfel de descriere, în ciuda faptului că este destul de clară, este semnificativ tautologică, autoreferențială: numim individul Bug husky dacă este inclus în setul de husky, iar setul de husky în sine este definit ca totalitatea tuturor indivizilor huskiilor - adică includerea în setul de nume duplicat semnificativ. În plus, descrierea unui set de clase este complet epuizată de descrierea unui individ care se încadrează în conceptul care definește clasa. De asemenea, trebuie remarcat faptul că funcționarea unor astfel de seturi de clase nu depinde de numărul de elemente din ele: husky-ul Bug-ului va fi un husky chiar și atunci când rămâne singurul, ultimul husky de pe Pământ. Mai mult, putem opera cu astfel de clase-seturi chiar și în absența indivizilor din ele: putem construi o ontologie a dinozaurilor deja dispăruți, ne putem gândi la o clasă care doar în viitor va include un dispozitiv unic în curs de proiectare sau putem construi un model. din domeniul animalelor mitice, eroi ai basmelor, deși, în același timp, cardinalitatea tuturor grupurilor de clasă va fi egală cu zero.

Deci, dacă vorbim despre latura de conținut a clasificării analizate (animal - câine - husky - Bug), atunci aceasta (latura de conținut) nu poate fi exprimată în niciun fel prin relația de mulțimi și submulțimi. În acest caz, avem de-a face cu conceptualizarea – selecția conceptelor și stabilirea relaţiilor gen-specieîntre ele. În același timp, numărul real de elemente ale clasei conceptuale, adică sfera de aplicare a conceptului, nu apare în definiția sa și este menționat (și chiar și atunci fără sens) doar atunci când un concept ("like") cade. sub altul („câine”), adică când ca un fel de gen. Da, putem afirma că sfera conceptului „câine” este mai mare decât sfera conceptului „ca”, dar raportul numeric real al acestor mulțimi nu are nicio semnificație ontologică. Depășirea volumului unei clase a volumului unei subclase în relațiile gen-specie reflectă doar faptul că, conform definiției unui gen, ar trebui să includă mai multe specii - altfel această clasificare devine lipsită de sens. Adică, în clasificarea conceptuală gen-specie, ne interesează conținutul conceptelor - cum diferă tipul „câine” de tipul „pisica” (care se încadrează și în conceptul generic de „animal” pentru ei) și nu cum sunt legate volumele seturilor genului și speciei și cu atât mai mult volumele conceptelor specifice („câine” și „pisica”). Și pentru a distinge clasele conceptuale de mulțimile cu adevărat numărabile, ar fi mai corect să vorbim despre care se încadrează în conceptul si nu despre includereîntr-o clasă/set. Este clar că în notația formală, afirmațiile „aparține conceptului de X” și „este un element al clasei X” pot arăta la fel, dar neînțelegerea diferenței esențiale dintre aceste două descrieri poate duce la erori grave în construirea ontologiei.

În cea de-a doua variantă (service - conducere - Bug), nu ne interesează nici să comparăm conceptul de „conducere” cu orice set: conținutul semantic al afirmației „Bug - conducere” nu depinde dacă este singurul condus. unul sau sunt multe dintre ele. S-ar părea că aici avem de-a face cu relații gen-specie: conceptul de „conducere” poate fi considerat ca o specie relativ la conceptul generic de „serviciu”. Dar legătura individului „Bug” cu conceptul de „conducere” diferă semnificativ de legătura cu conceptul „ca”: al doilea concept, conceptual, este imanent și invariabil inerent individului, iar primul reflectă localul. la timp specializare. Bug-ul nu s-a născut ca călăreț și poate că odată cu vârsta poate înceta să mai fie și să treacă în categoria paznicilor, iar la bătrânețe, în general, își va pierde orice „meserie”. Adică, vorbind de specializare, putem distinge întotdeauna evenimentele de achiziție și pierderea conexiunii cu un anumit concept. De exemplu, Bug-ul ar putea fi recunoscut drept campionul absolut al rasei, iar apoi să piardă acest titlu, care este fundamental imposibil cu concepte conceptuale: Bug-ul de la naștere până la moarte, adică pe întreaga perioadă a existenței sale ca individ, este un câine și un husky. Deci, o persoană rămâne conceptul de „om” toată viața, dar situațional (de la eveniment la eveniment) poate intra sub conceptele de specialitate „copil”, „elev”, „medic”, „soț”, etc. Și ca deja remarcat, legătura cu aceste concepte nu înseamnă deloc includerea într-un anumit set (deși poate arăta așa) - atribuirea unui concept de specializare este întotdeauna rezultatul unei relații specifice a unui individ cu alți indivizi: intrarea într-un școală, universitate, obținerea unei diplome, înregistrarea unei căsătorii etc. Prin urmare, conceptele de specializare pot fi numite și relaționale. Din exemplele de mai sus, urmează o altă diferență semnificativă între clasificarea conceptuală și specializare: un individ poate avea mai multe specializări (un bug poate fi un câine de sanie și un campion al rasei, o persoană este un student și un soț), dar nu poate simultan. introduceți mai mult de o ierarhie conceptuală (un bug nu poate fi un câine și o pisică).

Și numai în cea de-a treia versiune a descrierii lui Zhuchka - ca aparținând unei anumite canisa și ca membru al unei echipe specifice care trage săniile prin tundra - este pur și simplu necesar să menționăm multitudinea. Numai în acest caz, avem dreptul să spunem că un individ este un element al unei mulțimi concrete cu un număr numărabil de elemente, și nu se încadrează în conceptul, care poate fi reprezentat ca o mulțime abstractă, fixând condiționat sfera de aplicare a acest concept. Și aici este important ca un individ să facă parte dintr-un alt individ, definit inițial ca un set: o canisa și o echipă sunt în mod necesar un set negoal de câini, iar numărul de elemente din acest set este în mod necesar inclus în definițiile lor. ca indivizi. Adică, în acest caz, ar trebui să vorbim despre relație parte-întreg: bug-ul face parte din canisa și face parte din echipă. Mai mult, intrarea sau neintrarea Bug-ului într-o anumită echipă își schimbă conținutul (de echipă): dacă am avut o echipă-două, atunci după eliminarea Bug-ului, echipa se transformă într-o singură echipă. În astfel de cazuri, avem de-a face nu doar cu un set numărabil (câini într-o canisa), ci cu un individ a cărui esență se schimbă atunci când compoziția elementelor sale se modifică, este determinată de această compoziție, adică de sistem. Dacă o canisa este doar un grup individual, descris printr-un set de elemente incluse în ea, atunci o echipă este un sistem, a cărui esență depinde de numărul și specificul părților sale.

În consecință, atunci când construim o ontologie a unui domeniu, se pot evidenția seturi de obiecte reale, definite tocmai ca o colecție a unui anumit număr de indivizi. Acestea sunt: ​​o clasă la școală, mărfuri într-o cutie într-un depozit, părți ale unui bloc de dispozitive electronice etc. Și aceste seturi pot fi subseturi ale altor seturi numărabile reale: toți elevii dintr-o școală, toate bunurile dintr-un depozit, toate părți ale unui dispozitiv. La distingerea acestor seturi, este esențial ca ele (aceste seturi) să acționeze ca indivizi independenți (o echipă, un lot de mărfuri, un set de piese), al cărui atribut principal este tocmai numărul de elemente incluse în ele. Mai mult, o schimbare a acestui atribut poate duce la o schimbare a statutului obiectului, de exemplu, cu o creștere a numărului de elemente, transformarea unui cvartet într-un cvintet sau a unui regiment într-o brigadă. De asemenea, este important ca descrierea acestor set-obiecte, obiecte complexe, să nu se limiteze la descrierea indivizilor incluși în ele, deși poate include o indicație a tipului admisibil al acestora din urmă (cvartet de coarde, echipă de cai). Și astfel de relații - nu între mulțimi abstracte, ci între mulțimi care sunt indivizi, obiecte complexe - sunt descrise mai precis ca relații parțial-întreg, și nu clasă-subclasă.

Deci, clasificarea tradițională a indivizilor prin alocarea lor anumitor clase-mulțimi nu poate fi considerată omogenă. Este necesar să se facă distincția între (1) includerea indivizilor ca părți într-un obiect complex (întreg), a cărui specificitate semantică nu se limitează la descrierea elementelor sale. În același timp (1.1.), un obiect-întreg poate fi considerat doar ca un set numit de indivizi (părți dintr-un pachet, o colecție de picturi), pentru care, de fapt, doar numărul de părți este important. Astfel de obiecte pot fi numite grupuri (sau colecții)). De asemenea (1.2.) un întreg obiect poate fi determinat în mod semnificativ (și nu doar cantitativ) de părțile sale și, ca urmare, poate avea atribute pe care părțile nu le au. O astfel de integritate este numită în mod tradițional sisteme, și părți ale sistemelor - elemente. A doua opțiune pentru descrierea obiectelor prin atribuirea lor subclaselor este (2) căderea indivizilor sub concept, care poate fi descrisă doar formal, tautologic ca includerea indivizilor într-un set a cărui putere este egală cu puterea conceptului. Descrierea conceptuală a indivizilor, la rândul său, poate fi clasificată în (2.1) conceptual, fixând global tipul individului și (2.2) specializat (relațional), local în timp și spațiu (din punct de vedere al evenimentelor) conectând individul cu alte obiecte.

Raționamentul de mai sus ridică, în primul rând, problema suficienței și adecvării abordării tradiționale de a descrie domeniul de studiu folosind o clasificare bazată pe teoria mulțimilor. Și se propune concluzia: pentru a fixa întreaga varietate de relații de obiect în ontologii, sunt necesare instrumente de clasificare mai diferențiate (grupuri, sisteme, concepte conceptuale și de specializare). Formalismul teoriei mulțimilor poate fi folosit doar ca o simplificare locală pentru nevoile de inferență, și nu ca metodă principală de descriere.