Matricea dimensiunilor m cu n.

Matrice dimensiunea m cu n este o colecție de mn numere reale sau elemente ale unei alte structuri (polinoame, funcții etc.), scrise sub forma unui tabel dreptunghiular, care este format din m rânduri și n coloane și luate în formă rotundă sau dreptunghiulară sau dublă paranteze drepte. În acest caz, numerele în sine sunt numite elemente de matrice și fiecare element este asociat cu două numere - numărul rândului și numărul coloanei.O matrice de dimensiunea n cu n se numește pătrat matrice de ordin al n-lea, i.e. numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane. Triunghiular - o matrice pătrată în care toate elementele de sub sau deasupra diagonalei principale sunt egale cu zero. O matrice pătrată se numește diagonală , dacă toate elementele sale în afara diagonalei sunt egale cu zero. Scalar matrice - o matrice diagonală ale cărei elemente diagonale principale sunt egale. Un caz special al unei matrice scalare este matricea de identitate. Diagonală se numește o matrice în care toate elementele diagonale sunt egale cu 1 singur matrice și se notează cu simbolul I sau E. Se numește o matrice ale cărei elemente sunt toate zero nul matrice și este notat cu simbolul O.

Înmulțirea matricei A cu un număr λ (simbol: λ A) constă în construirea unei matrice B, ale căror elemente se obțin prin înmulțirea fiecărui element al matricei A prin acest număr, adică fiecare element al matricei B egală

Proprietățile înmulțirii matricilor cu un număr

1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Adăugarea matricei A + B este operația de găsire a unei matrice C, ale căror toate elementele sunt egale cu suma pe perechi a tuturor elementelor matricei corespunzătoare AȘi B, adică fiecare element al matricei C egală

Proprietățile adunării matriceale

5.comutativitate) a+b=b+a

6.asociativitate.

7.adunare cu matrice zero;

8.existența unei matrice opuse (același lucru dar există minusuri peste tot înaintea fiecărui număr)

Înmulțirea matricei - exista o operatie de calcul matriceal C, ale căror elemente sunt egale cu suma produselor elementelor din rândul corespunzător al primului factor și coloana celui de-al doilea.

Numărul de coloane din matrice A trebuie să se potrivească cu numărul de rânduri din matrice B. Dacă matricea A are dimensiune, B- , apoi dimensiunea produsului lor AB = C Există .

Proprietățile înmulțirii matriceale

1.asociativitate; (vezi mai sus)

2. produsul nu este comutativ;

3.produsul este comutativ în cazul înmulțirii cu matricea identității;

4.echitatea dreptului distributiv; A*(B+C)=A*B+A*C.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. Determinant al unei matrice pătrate de ordinul întâi și al n-lea

Determinantul unei matrice este un polinom al elementelor unei matrice pătrate (adică unul în care numărul de rânduri și coloane este egal cu

Determinare prin expansiune în primul rând

Pentru o matrice de ordinul întâi determinant este singurul element al acestei matrice în sine:

Pentru o matrice de determinanți este definită ca

Pentru o matrice, determinantul este specificat recursiv:

, unde este un minor suplimentar pentru element A 1j. Această formulă se numește extinderea liniei.

În special, formula pentru calcularea determinantului unei matrice este:

= A 11 A 22 A 33 − A 11 A 23 A 32 − A 12 A 21 A 33 + A 12 A 23 A 31 + A 13 A 21 A 32 − A 13 A 22 A 31

Proprietățile determinanților

Când adăugați o combinație liniară de alte rânduri (coloane) la orice rând (coloană), determinantul nu se modifică.

§ Dacă două rânduri (coloane) ale unei matrice coincid, atunci determinantul acesteia este egal cu zero.

§ Dacă două (sau mai multe) rânduri (coloane) ale unei matrice sunt dependente liniar, atunci determinantul acesteia este egal cu zero.

§ Dacă rearanjați două rânduri (coloane) ale unei matrice, atunci determinantul acesteia se înmulțește cu (-1).

§ Factorul comun al elementelor oricărei serii a unui determinant poate fi scos din semnul determinantului.

§ Dacă cel puțin un rând (coloană) al matricei este zero, atunci determinantul este egal cu zero.

§ Suma produselor tuturor elementelor oricărui rând prin complementele lor algebrice este egală cu determinantul.

§ Suma produselor tuturor elementelor oricărei serii prin complementele algebrice ale elementelor corespondente ale unei serii paralele este egală cu zero.

§ Determinantul produsului matricelor pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților lor (vezi și formula Binet-Cauchy).

§ Folosind notația de index, determinantul unei matrice 3x3 poate fi definit folosind simbolul Levi-Civita din relația:

Matrice inversă.

Matrice inversă - o astfel de matrice A−1, atunci când este înmulțit cu care matricea originală A rezultă în matricea identităţii E:

Condiţional existenţă:

O matrice pătrată este inversabilă dacă și numai dacă este nesingulară, adică determinantul său nu este egal cu zero. Pentru matricele nepătrate și matricele singulare, nu există matrici inverse.

Formula pentru găsire

Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi matricea inversă puteți utiliza una dintre următoarele metode:

a) Folosind o matrice de adunări algebrice

CT- matrice transpusă de adunări algebrice;

Matricea rezultată A−1 și va fi invers. Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²)·O det.

Cu alte cuvinte, matricea inversă este egală cu una împărțită la determinantul matricei originale și înmulțită cu matricea transpusă de adunări algebrice (minorul se înmulțește cu (-1) la puterea spațiului pe care îl ocupă) din elementele matricei originale.

4. Sistem de ecuații liniare. Soluție de sistem. Compatibilitatea și incompatibilitatea sistemului. metoda matriceală pentru rezolvarea unui sistem de n ecuații liniare cu n variabile. teorema lui Krammer.

Sistem m ecuații liniare cu n necunoscut(sau, sistem liniar) în algebra liniară este un sistem de ecuații de forma

(1)

Aici X 1 , X 2 , …, x n- necunoscute care trebuie determinate. A 11 , A 12 , …, un mn- coeficienții sistemului - și b 1 , b 2 , … b m- membri liberi - se presupune că sunt cunoscuți. Indici de coeficienți ( a ij) sistemele denotă numere de ecuație ( i) și necunoscut ( j), la care se situează, respectiv, acest coeficient.

Sistemul (1) este numit omogen, dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), în caz contrar - eterogen.

Sistemul (1) este numit pătrat, dacă numărul m ecuații egale cu numărul n necunoscut.

Soluţie sisteme (1) - set n numere c 1 , c 2 , …, c n, astfel încât înlocuirea fiecăruia c iîn loc de x iîn sistemul (1) transformă toate ecuațiile sale în identități.

Sistemul (1) este numit comun, dacă are cel puțin o soluție, și nearticulată, dacă ea nu are o singură soluție.

Un sistem de îmbinare de tip (1) poate avea una sau mai multe soluții.

Soluții c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) și c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) se numesc sisteme de îmbinare de forma (1). variat, dacă cel puțin una dintre egalități este încălcată:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Forma matriceală

Un sistem de ecuații liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice ca:

AX = B.

Dacă o coloană de termeni liberi este adăugată la matricea A din dreapta, atunci matricea rezultată se numește extinsă.

Metode directe

Metoda lui Cramer (regula lui Cramer)- o metodă de rezolvare a sistemelor pătratice de ecuații algebrice liniare cu un determinant diferit de zero al matricei principale (și pentru astfel de ecuații există o soluție unică). Numit după Gabriel Cramer (1704–1752), care a inventat metoda.

Descrierea metodei

Pentru sistem n ecuații liniare cu n necunoscut (pe un câmp arbitrar)

cu determinantul matricei sistemului Δ diferit de zero, soluția se scrie sub forma

(coloana i-a a matricei sistemului este înlocuită cu o coloană de termeni liberi).
Într-o altă formă, regula lui Cramer este formulată după cum urmează: pentru orice coeficienți c 1, c 2, ..., c n este valabilă următoarea egalitate:

În această formă, formula lui Cramer este valabilă fără a presupune că Δ este diferit de zero; nici măcar nu este necesar ca coeficienții sistemului să fie elemente ale unui inel integral (determinantul sistemului poate fi chiar un divizor de zero în inel coeficient). De asemenea, putem presupune că fie seturile b 1 ,b 2 ,...,b nȘi X 1 ,X 2 ,...,x n, sau un set c 1 ,c 2 ,...,c n constau nu din elemente ale inelului coeficient al sistemului, ci dintr-un modul de deasupra acestui inel.

5.Minor de ordinul kth. Rangul matricei. Transformări elementare ale matricelor. Teorema Kronecker-Capelli privind condițiile de compatibilitate pentru un sistem de ecuații liniare. Metoda eliminării variabilelor (Gauss) pentru un sistem de ecuații liniare.

Minor matrici A este determinantul matricei pătrate de ordine k(care se mai numește și ordinea acestui minor), ale cărui elemente apar în matrice A la intersecția rândurilor cu numere și coloanelor cu numere.

Rang sistem matrice de rânduri (coloană). A Cu m linii şi n coloane este numărul maxim de rânduri (coloane) diferite de zero.

Se spune că mai multe rânduri (coloane) sunt liniar independente dacă niciunul dintre ele nu poate fi exprimat liniar în termenii celorlalte. Rangul sistemului de rânduri este întotdeauna egal cu rangul sistemului de coloane, iar acest număr se numește rangul matricei.

Kronecker - teorema Capelli (criteriul de consistență pentru un sistem de ecuații algebrice liniare) -

un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse (cu termeni liberi), iar sistemul are o soluție unică dacă rangul este egal cu numărul de necunoscute și un număr infinit de soluții dacă rangul este mai mic decât numărul de necunoscute.

metoda Gauss - o metodă clasică de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare (SLAE). Aceasta este o metodă de eliminare secvenţială a variabilelor, când, folosind transformări elementare, un sistem de ecuaţii este redus la un sistem echivalent de formă treaptă (sau triunghiulară), din care toate celelalte variabile se găsesc secvenţial, începând cu ultima (prin număr) variabile.

6. Segment direcționat și vector. Concepte de bază ale algebrei vectoriale. Suma vectorilor și produsul dintre un vector și un număr. Condiție pentru coordonarea vectorilor. Proprietăți ale operațiilor liniare pe vectori.

Operații pe vectori

Plus

Operația de adăugare a vectorilor geometrici poate fi definită în diferite moduri, în funcție de situație și de tipul de vectori luați în considerare:

Doi vectori u, v iar vectorul sumei lor

Regula triunghiului. Pentru a adăuga doi vectori și conform regulii triunghiului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât începutul unuia dintre ei să coincidă cu sfârșitul celuilalt. Apoi vectorul sumă este dat de a treia latură a triunghiului rezultat, iar începutul său coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul său cu sfârșitul celui de-al doilea vector.

Regula paralelogramului. Pentru a adăuga doi vectori și conform regulii paralelogramului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât originile lor să coincidă. Atunci vectorul sumă este dat de diagonala paralelogramului construit pe ele, pornind de la originea lor comună.

Și modulul (lungimea) vectorului sumă determinată de teorema cosinusului unde este unghiul dintre vectori când începutul unuia coincide cu sfârșitul celuilalt. Formula este folosită și acum - unghiul dintre vectori care ies dintr-un punct.

Opera de artă vectorială

Opera de artă vectorială vector cu vector este un vector care îndeplinește următoarele cerințe:

Proprietățile vectorului C

§ lungimea unui vector este egala cu produsul dintre lungimile vectorilor si sinusul unghiului φ dintre ei

§ vectorul este ortogonal cu fiecare dintre vectori si

§ directia vectorului C este determinata de regula Buravchik

Proprietățile unui produs vectorial:

1. La rearanjarea factorilor, produsul vectorial își schimbă semnul (anticomutativitatea), adică.

2. Produsul vectorial are proprietatea de combinare în raport cu factorul scalar, adică

3. Produsul vectorial are proprietatea de distribuție:

Sistem de bază și de coordonate în plan și în spațiu. Descompunerea unui vector pe bază. Bază ortonormală și sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în plan și în spațiu. Coordonatele unui vector și ale unui punct pe un plan și în spațiu. Proiectii ale unui vector pe axele de coordonate.

Bază (greaca veche βασις, bază) - un set de vectori dintr-un spațiu vectorial astfel încât orice vector din acest spațiu poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație liniară de vectori din această mulțime - vectori de bază.

Este adesea convenabil să alegeți lungimea (norma) fiecăruia dintre vectorii de bază să fie unitate, o astfel de bază se numește normalizat.

Reprezentarea unui anumit (orice) vector de spațiu ca o combinație liniară de vectori de bază (suma vectorilor de bază prin coeficienți numerici), de exemplu

sau, folosind semnul sumei Σ:

numit extinderea acestui vector pe această bază.

Coordonatele unui vector și ale unui punct pe un plan și în spațiu.

Coordonata axei x a punctului A este un număr egal în valoare absolută cu lungimea segmentului OAx: pozitivă dacă punctul A se află pe axa x pozitivă și negativă dacă se află pe semiaxa negativă.

Un vector unitar sau un vector unitar este un vector a cărui lungime este egală cu unu și care este îndreptat de-a lungul oricărei axe de coordonate.

Apoi proiecție vectorială AB pe axa l este diferența x1 – x2 dintre coordonatele proiecțiilor capătului și începutului vectorului pe această axă.

8.Lungimea și cosinusurile de direcție ale unui vector, relația dintre cosinusurile de direcție. Orth vector. Coordonatele sunt suma vectorilor, produsul unui vector și un număr.

Lungimea vectorului este determinată de formula

Direcția vectorului este determinată de unghiurile α, β, γ formate de acesta cu axele de coordonate Ox, Oy, Oz. Cosinusurile acestor unghiuri (așa-numitele vector cosinus de direcție ) se calculează folosind formulele:

Vector unitar sau ort (vector unitar al unui spațiu vectorial normalizat) este un vector a cărui normă (lungime) este egală cu unu.

Vectorul unitar, coliniar cu unul dat (vector normalizat), este determinat de formula

Vectorii unitari sunt adesea aleși ca vectori de bază, deoarece acest lucru simplifică calculele. Se numesc astfel de baze normalizat. Dacă acești vectori sunt și ortogonali, o astfel de bază se numește bază ortonormală.

Coordonatele coliniare

Coordonatele egal

Coordonatele vector sumă doi vectori satisfac relațiile:

Coordonatele coliniare vectorii satisfac relatia:

Coordonatele egal vectorii satisfac relatiile:

Vector sumă doi vectori:

Suma mai multor vectori:

Produsul unui vector și al unui număr:

Produsul încrucișat al vectorilor. Aplicații geometrice ale produsului încrucișat. Condiție de coliniaritate a vectorilor. Proprietățile algebrice ale unui produs mixt. Exprimarea produsului vectorial prin coordonatele factorilor.

Produsul încrucișat al unui vector iar vectorul b se numește vector c, care:

1. Perpendicular pe vectorii a și b, adică c^a și c^b;

2. Are o lungime egală numeric cu aria unui paralelogram construit pe vectorii a și b ca laturi (vezi Fig. 17), adică.

3.Vectorii a, b și c formează un triplu dreptaci.

Aplicații geometrice:

Stabilirea coliniarității vectorilor

Aflarea ariei unui paralelogram și a unui triunghi

Conform definiţiei produsului vectorial al vectorilor Ași b |a xb | =|a| * |b |sing, adică S perechi = |a x b |. Și, prin urmare, DS =1/2|a x b |.

Determinarea momentului de forță în jurul unui punct

Din fizică se știe că momentul fortei F relativ la punct DESPRE numit vector M, care trece prin punct DESPREȘi:

1) perpendicular pe planul care trece prin puncte O, A, B;

2) egal numeric cu produsul forței pe braț

3) formează un triplu drept cu vectorii OA și A B.

Prin urmare, M = OA x F.

Găsirea vitezei de rotație liniară

Viteza v a unui punct M al unui corp rigid care se rotește cu o viteză unghiulară w în jurul unei axe fixe este determinată de formula lui Euler v =w xr, unde r =OM, unde O este un punct fix al axei (vezi Fig. 21).

Condiție de coliniaritate a vectorilor - o condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea unui vector diferit de zero și a unui vector este existența unui număr care satisface egalitatea.

Proprietățile algebrice ale unui produs mixt

Produsul mixt al vectorilor nu se modifică atunci când factorii sunt rearanjați circular și își schimbă semnul invers când doi factori sunt interschimbați, menținându-și modulul.

Semnul de multiplicare vectorială „ ” din interiorul unui produs mixt poate fi plasat între oricare dintre factorii săi.

Un produs mixt este distributiv în raport cu oricare dintre factorii săi: (de exemplu) dacă , atunci

Exprimarea produsului încrucișat în termeni de coordonate

sistemul de coordonate corect

sistemul de coordonate stânga

12.Produs mixt al vectorilor. Semnificația geometrică a unui produs mixt, condiția de coplanaritate a vectorilor. Proprietățile algebrice ale unui produs mixt. Exprimarea unui produs mixt prin coordonatele factorilor.

Amestecat Produsul unui triplu ordonat de vectori (a,b,c) este produsul scalar al primului vector și produsul vectorial al celui de-al doilea vector și al treilea.

Proprietățile algebrice ale unui produs vectorial

Anticomutativitatea

Asociativitatea în raport cu înmulțirea cu un scalar

Distributivitatea prin adunare

Identitatea Jacobi. Funcționează în R3 și se rupe în R7

Produșii vectoriali ai vectorilor de bază se găsesc prin definiție

Concluzie

unde sunt coordonatele atât vectorului de direcție al dreptei cât și coordonatele unui punct aparținând dreptei.

Vector normal al unei linii într-un plan. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat. Ecuația generală a unei drepte. Ecuații ale unei drepte cu coeficient unghiular. Poziția relativă a două drepte pe un plan

Normal un vector al unei linii este orice vector diferit de zero perpendicular pe această dreaptă.

- ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Ax + Wu + C = 0- ecuația generală a unei linii.

Ecuația dreaptă de forma y=kx+b

numit ecuația unei drepte cu panta, iar coeficientul k se numește panta acestei drepte.

Teorema. În ecuația unei drepte cu panta y=kx+b

coeficientul unghiular k este egal cu tangentei unghiului de înclinare a dreptei la axa absciselor:

Aranjament reciproc:

– ecuații generale a două drepte pe planul de coordonate Oxy. Apoi

1) dacă , atunci liniile coincid;

2) dacă , atunci drept și paralel;

3) dacă , atunci liniile se intersectează.

Dovada . Condiția este echivalentă cu coliniaritatea vectorilor normali ai liniilor date:

Prin urmare, dacă , atunci liniile drepte se intersectează.

Dacă , apoi , , iar ecuația dreptei ia forma:

Sau , adică Drept Meci. Rețineți că coeficientul de proporționalitate este , altfel toți coeficienții ecuației generale ar fi egali cu zero, ceea ce este imposibil.

Dacă liniile nu coincid și nu se intersectează, atunci rămâne cazul, adică. Drept paralel.

Ecuația unei drepte în segmente

Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С≠0, atunci, împărțind la –С, obținem: sau , unde

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul A este coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Ox și b– coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oy.

Ecuația normală a unei linii

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + By + C = 0 sunt împărțite la un număr numit factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ecuația normală a unei linii.

Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ ? CU< 0.

p este lungimea perpendicularei coborâte de la origine la dreapta, iar φ este unghiul format de această perpendiculară cu direcția pozitivă a axei Ox.

C Trebuie remarcat faptul că nu orice dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii paralele cu axele sau care trec prin origine.

17. Elipsa. Ecuația canonică a unei elipse. Proprietăți geometrice și construcția unei elipse. Condiții speciale.

Elipsă - locul punctelor M Plan euclidian, pentru care suma distanțelor până la două puncte date F 1 și F 2 (numite focare) este constantă și mai mare decât distanța dintre focare, adică | F 1 M | + | F 2 M | = 2A, și | F 1 F 2 | < 2A.

Ecuație canonică

Pentru orice elipsă, puteți găsi un sistem de coordonate carteziene astfel încât elipsa să fie descrisă de ecuația (ecuația canonică a elipsei):

Descrie o elipsă centrată la origine, ale cărei axe coincid cu axele de coordonate.

Constructie: 1) Folosind o busolă

2) Două trucuri și un fir întins

3) Elipsograf (Elipsograful este format din două glisoare care se pot deplasa de-a lungul a două caneluri sau ghidaje perpendiculare. Glisoarele sunt atașate de tijă prin intermediul unor balamale și sunt situate la o distanță fixă ​​unul de celălalt de-a lungul tijei. Glisoarele se deplasează înainte și înapoi - fiecare de-a lungul propriului canal, - iar capătul tijei descrie o elipsă pe plan. Semiaxele elipsei a și b reprezintă distanțele de la capătul tijei până la balamalele de pe glisoare. De obicei, distanțele a și b pot fi variate, modificând astfel forma și dimensiunile elipsei descrise)

Excentricitatea caracterizează alungirea elipsei. Cu cât excentricitatea este mai aproape de zero, cu atât elipsa seamănă mai mult cu un cerc și invers, cu cât excentricitatea este mai aproape de unitate, cu atât este mai alungită.

Parametru focal

Ecuație canonică

18.Hiperbolă. Ecuații canonice ale hiperbolelor. Proprietăți geometrice și construcția unei hiperbole. Condiții speciale

Hiperbolă(greaca veche ὑπερβολή, din greaca veche βαλειν - „arunca”, ὑπερ - „peste”) - locul punctelor M Plan euclidian, pentru care valoarea absolută a diferenței de distanțe de la M până la două puncte selectate F 1 și F 2 (numite focare) constant. Mai precis,

Mai mult | F 1 F 2 | > 2A > 0.

Rapoarte

Pentru caracteristicile hiperbolelor definite mai sus, ele se supun următoarelor relații

2. Direcricele hiperbolei sunt indicate prin linii de grosime dublă și sunt indicate D 1 și D 2. Excentricitate ε egal cu raportul dintre distanțele punctelor P pe hiperbola la focalizare și la directrixa corespunzătoare (afișată cu verde). Vârfurile hiperbolei sunt desemnate ca ± A. Parametrii hiperbolei înseamnă următoarele:

A- distanta fata de centru C la fiecare dintre vârfuri
b- lungimea perpendicularei a scăzut de la fiecare dintre vârfuri la asimptote
c- distanta fata de centru C la oricare dintre focusuri, F 1 și F 2 ,
θ este unghiul format de fiecare dintre asimptote și axa trasată între vârfuri.

Proprietăți

§ Pentru orice punct situat pe o hiperbolă, raportul dintre distanțe de la acest punct la focar și distanța de la același punct la directrice este o valoare constantă.

§ O hiperbolă are simetrie în oglindă în jurul axelor reale și imaginare, precum și simetrie de rotație atunci când este rotită printr-un unghi de 180° în jurul centrului hiperbolei.

§ Fiecare hiperbola are hiperbola conjugată, pentru care axele reale și cele imaginare își schimbă locurile, dar asimptotele rămân aceleași. Aceasta corespunde înlocuirii AȘi b unul peste altul într-o formulă care descrie o hiperbolă. Hiperbola conjugată nu este rezultatul rotirii hiperbolei inițiale printr-un unghi de 90°; ambele hiperbole diferă ca formă.

19. Parabola. Ecuația canonică a unei parabole. Proprietăți geometrice și construcția unei parabole. Condiții speciale.

Parabolă - locul geometric al punctelor echidistante de o dreaptă dată (numită directrice a unei parabole) și un punct dat (numit focarul parabolei).

Ecuația canonică a unei parabole într-un sistem de coordonate dreptunghiular:

(sau dacă schimbi axele).

Proprietăți

§ 1 O parabolă este o curbă de ordinul doi.

§ 2Are o axă de simetrie numită axa parabolei. Axa trece prin focar și este perpendiculară pe directrice.

§ 3 Proprietate optică. Un fascicul de raze paralel cu axa parabolei, reflectat în parabolă, este colectat la focarul său. Și invers, lumina dintr-o sursă situată în focalizare este reflectată de o parabolă într-un fascicul de raze paralel cu axa ei.

§ 4Pentru o parabolă, focalizarea este în punctul (0,25; 0).

Pentru o parabolă, focalizarea este în punctul (0; f).

§ 5 Dacă focarul unei parabole este reflectat în raport cu tangenta, atunci imaginea ei se va afla pe directrice.

§ 6 O parabolă este antipoderul unei linii.

§ Toate parabolele sunt similare. Distanța dintre focalizare și directrice determină scara.

§ 7 Când o parabolă se rotește în jurul axei de simetrie, se obține un paraboloid eliptic.

Directria unei parabole

Raza focală

20.Vector plan normal. Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat este perpendiculară pe un vector dat. Ecuația planului general, un caz special al ecuației planului general. Ecuația vectorială a unui plan. Poziția relativă a două plane.

Avion- unul dintre conceptele de bază ale geometriei. Într-o prezentare sistematică a geometriei, conceptul de plan este de obicei luat ca unul dintre conceptele inițiale, care este determinat doar indirect de axiomele geometriei.

Ecuația unui plan cu punct și vector normal
În formă vectorială

În coordonate

Unghiul dintre planuri

Cazuri speciale ale ecuației planului general.

Pentru a afișa corect legile naturii în fizică, sunt necesare instrumente matematice adecvate.

În geometrie și fizică există mărimi caracterizate atât prin valoare numerică, cât și prin direcție.

Este recomandabil să le înfățișați ca segmente direcționate sau vectori.

In contact cu

Astfel de cantități au un început (afișat printr-un punct) și un sfârșit, indicat printr-o săgeată. Lungimea unui segment se numește (lungime).

• viteză;
• accelerare;
• puls;
• forta;
• moment;
• putere;
• in miscare;
• intensitatea câmpului etc.

Coordonatele planului

Să definim un segment pe plan îndreptat de la punctul A (x1,y1) la punctul B (x2,y2). Coordonatele sale a (a1, a2) sunt numerele a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Modulul este calculat folosind teorema lui Pitagora:

Începutul vectorului zero coincide cu sfârșitul. Coordonatele și lungimea sunt 0.

Suma vectorială

Exista mai multe reguli pentru calcularea sumei

• regula triunghiului;
• regula poligonului;
• regula paralelogramului.

Regula de adunare a vectorilor poate fi explicată folosind probleme de dinamică și mecanică. Să luăm în considerare adăugarea vectorilor după regula triunghiului folosind exemplul forțelor care acționează asupra unui corp punctual și mișcările succesive ale corpului în spațiu.

Să presupunem că un corp se mișcă mai întâi din punctul A în punctul B și apoi din punctul B în punctul C. Deplasarea finală este un segment direcționat de la punctul de început A la punctul de sfârșit C.

Rezultatul a două mișcări sau suma lor s = s1+ s2. Această metodă se numește regula triunghiului.

Săgețile sunt aliniate într-un lanț una după alta, efectuând transfer paralel dacă este necesar. Segmentul total închide secvența. Începutul său coincide cu începutul primului, sfârșitul său cu sfârșitul ultimului. În manualele străine această metodă se numește "coada la cap".

Coordonatele rezultatului c = a + b sunt egale cu suma coordonatelor corespunzătoare termenilor c (a1+ b1, a2+ b2).

Suma vectorilor paraleli (coliniari) este determinată și de regula triunghiului.

Dacă două segmente originale sunt perpendiculare unul pe celălalt, atunci rezultatul adunării lor este ipotenuza triunghiului dreptunghic construit pe ele. Lungimea sumei se calculează folosind teorema lui Pitagora.

Exemple:

• Viteza unui corp aruncat orizontal este perpendicular accelerarea căderii libere.
• Cu mișcare de rotație uniformă, viteza liniară a corpului este perpendiculară pe accelerația centripetă.

Adăugarea a trei sau mai mulți vectori produce conform regula poligonului, "coada la cap"

Să presupunem că forțele F1 și F2 sunt aplicate unui corp punct.

Experiența demonstrează că efectul combinat al acestor forțe este echivalent cu acțiunea unei forțe îndreptate de-a lungul diagonalei paralelogramului construit pe ele. Această forță rezultantă este egală cu suma lor F = F1 + F 2. Se numește metoda de adunare de mai sus regula paralelogramului.

Lungimea în acest caz este calculată prin formula

Unde θ este unghiul dintre laturi.

Regulile triunghiului și paralelogramului sunt interschimbabile. În fizică, regula paralelogramului este folosită mai des, deoarece mărimile direcționale ale forțelor, vitezelor și accelerațiilor sunt de obicei aplicate unui singur punct. Într-un sistem de coordonate tridimensional, se aplică regula paralelipipedului.

Elemente de algebră

1. Adunarea este o operație binară: doar o pereche poate fi adăugată la un moment dat.
2. Comutativitate: suma din rearanjarea termenilor nu modifică a + b = b + a. Acest lucru este clar din regula paralelogramului: diagonala este întotdeauna aceeași.
3. Asociativitatea: suma unui număr arbitrar de vectori nu depinde de ordinea adunării lor (a + b) + c = a + (b + c).
4. Însumarea cu un vector zero nu schimbă nici direcția, nici lungimea: a +0= a .
5. Pentru fiecare vector există opus. Suma lor este egală cu zero a +(-a)=0, iar lungimile sunt aceleași.

Înmulțirea cu un scalar

Rezultatul înmulțirii cu un scalar este un vector.

Coordonatele produsului se obțin înmulțind cu un scalar coordonatele corespunzătoare ale originalului.

Un scalar este o valoare numerică cu semnul plus sau minus, mai mare sau mai mic decât unu.

Exemple de mărimi scalare în fizică:

• greutate;
• timp;
• încărca;
• lungime;
• pătrat;
• volum;
• densitate;
• temperatura;
• energie.

Exemplu:

Munca este produsul scalar al forței și deplasării A = Fs.

La studierea diferitelor ramuri ale fizicii, mecanicii si stiintelor tehnice se intalnesc marimi care sunt complet determinate prin precizarea valorilor lor numerice. Se numesc astfel de cantități scalar sau, pe scurt, scalari.

Mărimile scalare sunt lungimea, aria, volumul, masa, temperatura corpului etc. Pe lângă mărimile scalare, în diverse probleme există mărimi pentru care, pe lângă valoarea lor numerică, este necesar să se cunoască și direcția lor. Astfel de cantități sunt numite vector. Exemple fizice de mărimi vectoriale pot fi deplasarea unui punct material care se mișcă în spațiu, viteza și accelerația acestui punct, precum și forța care acționează asupra acestuia.

Mărimile vectoriale sunt reprezentate folosind vectori.

Definiție vectorială. Un vector este un segment direcționat al unei linii drepte care are o anumită lungime.

Un vector este caracterizat de două puncte. Un punct este punctul de început al vectorului, celălalt punct este punctul final al vectorului. Dacă notăm începutul vectorului cu un punct A , iar capătul vectorului este un punct ÎN , atunci vectorul însuși este notat . Un vector poate fi de asemenea notat cu o literă latină mică cu o bară deasupra (de exemplu, ).

Grafic, un vector este notat printr-un segment cu o săgeată la capăt.

Începutul vectorului se numește punctul său de aplicare. Dacă punctul A este începutul vectorului , atunci vom spune că vectorul este aplicat în punct A.

Un vector este caracterizat de două mărimi: lungime și direcție.

Lungimea vectorului – distanța dintre punctul de început A și punctul final B. O altă denumire pentru lungimea unui vector este modulul vectorului și este indicată prin simbol . Se notează modulul vectorial Vector , a cărui lungime este 1 se numește vector unitar. Adică condiția pentru vectorul unitar

Un vector cu lungime zero se numește vector zero (notat cu ). Evident, vectorul zero are aceleași puncte de început și de sfârșit. Vectorul zero nu are o direcție specifică.

Definiţia colinear vectors. Vectorii și situati pe aceeași linie sau pe linii paralele se numesc coliniari .

Rețineți că vectorii coliniari pot avea lungimi diferite și direcții diferite.

Determinarea vectorilor egali. Se spune că doi vectori sunt egali dacă sunt coliniari, au aceeași lungime și aceeași direcție.

În acest caz ei scriu:

cometariu. Din definiția egalității vectorilor rezultă că un vector poate fi transferat în paralel plasându-și originea în orice punct din spațiu (în special, un plan).

Toți vectorii zero sunt considerați egali.

Determinarea vectorilor opuși. Doi vectori sunt numiți opuși dacă sunt coliniari, au aceeași lungime, dar direcția opusă.

În acest caz ei scriu:

Cu alte cuvinte, vectorul opus vectorului este notat ca .