Lecția video „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric” este un material vizual pentru a asigura claritatea în explicarea subiectului din lecție. În timpul demonstrației, este luat în considerare principiul formării valorii funcțiilor trigonometrice dintr-un număr, sunt descrise o serie de exemple care învață cum să se calculeze valorile funcțiilor trigonometrice dintr-un număr. Cu ajutorul acestui manual este mai ușor să-ți formezi abilități în rezolvarea problemelor relevante, pentru a realiza memorarea materialului. Utilizarea manualului crește eficacitatea lecției, contribuie la atingerea rapidă a obiectivelor de învățare.

Titlul subiectului este afișat la începutul lecției. Apoi sarcina este de a găsi cosinusul corespunzător unui argument numeric. Se observă că această problemă este rezolvată simplu și acest lucru poate fi demonstrat în mod clar. Ecranul afișează un cerc unitar centrat la origine. Totodată, s-a observat că punctul de intersecție al cercului cu semiaxa pozitivă a axei absciselor este situat în punctul A (1; 0). Este dat un exemplu de punct M, care reprezintă argumentul t=π/3. Acest punct este marcat pe cercul unitar, iar din el coboară o perpendiculară pe axa absciselor. Abscisa găsită a punctului este cosinusul cos t. În acest caz, abscisa punctului va fi x=1/2. Prin urmare cos t=1/2.

Rezumând faptele luate în considerare, se observă că are sens să vorbim despre funcția s=cos t. Se remarcă faptul că elevii au deja unele cunoștințe despre această funcție. Se calculează unele valori ale cosinusului cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. De asemenea, legate de această funcție sunt și funcțiile s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Se observă că au un nume comun pentru toate - funcțiile trigonometrice.

Sunt demonstrate relații importante care sunt folosite în rezolvarea problemelor cu funcții trigonometrice: identitatea de bază sin 2 t+ cos 2 t=1, expresia tangentei și cotangentei în termeni de sinus și cosinus tg t=sin t/cos t, unde t≠ π/2+πk pentru kϵZ, ctg t= cos t/sin t, unde t≠πk pentru kϵZ, precum și raportul tangentei la cotangente tg t ctg t=1 unde t≠πk/2 pentru kϵZ.

În continuare, se propune să se considere demonstrația relației 1+ tan 2 t=1/ cos 2 t, cu t≠π/2+πk pentru kϵZ. Pentru a demonstra identitatea, este necesar să se reprezinte tg 2 t ca un raport dintre sinus și cosinus, iar apoi să se aducă termenii din partea stângă la un numitor comun 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Folosind identitatea trigonometrică de bază, obținem 1 la numărător, adică expresia finală 1/ cos 2 t. Q.E.D.

Identitatea 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t se dovedește în mod similar, cu t≠πk pentru kϵZ. La fel ca în demonstrația anterioară, cotangenta este înlocuită cu raportul corespunzător dintre cosinus și sinus, iar ambii termeni din partea stângă se reduc la un numitor comun 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin2t. După aplicarea identității trigonometrice de bază la numărător, obținem 1/ sin 2 t. Aceasta este expresia dorită.

Se are în vedere soluția de exemple, în care se aplică cunoștințele dobândite. În prima sarcină, trebuie să găsiți valorile costului, tgt, ctgt, dacă se cunoaște sinusul numărului sint=4/5 și t aparține intervalului π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

În continuare, luăm în considerare soluția unei probleme similare, în care tangenta tgt=-8/15 este cunoscută, iar argumentul este limitat de valorile 3π/2

Pentru a afla valoarea sinusului, folosim definiția tangentei tgt = sint / cost. Din el găsim sint= tgt cost=(-8/15)(15/17)=-8/17. Știind că cotangenta este funcția inversă a tangentei, găsim ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Lecția video „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric” este folosită pentru a crește eficiența unei lecții de matematică la școală. În cursul învățământului la distanță, acest material poate fi folosit ca ajutor vizual pentru formarea abilităților de rezolvare a problemelor, unde există funcții trigonometrice ale unui număr. Pentru a dobândi aceste abilități, studentului i se poate recomanda să ia în considerare în mod independent materialul vizual.

INTERPRETAREA TEXTULUI:

Tema lecției este „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric”.

Orice număr real t poate fi asociat cu un număr definit în mod unic cos t. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați următorii pași:

1) pe planul de coordonate, poziționați cercul numeric astfel încât centrul cercului să coincidă cu originea coordonatelor, iar punctul de plecare A al cercului să lovească punctul (1; 0);

2) găsiți un punct pe cerc care corespunde numărului t;

3) găsiți abscisa acestui punct. Acesta este costul.

Prin urmare, vom vorbi despre funcția s \u003d cos t (es este egal cu cosinusul lui te), unde t este orice număr real. Avem deja o idee despre această funcție:

• a învățat cum să calculeze unele valori, de exemplu, cos 0=1, cos = 0, cos =, etc. (cosinusul lui zero este egal cu unu, cosinusul lui pi cu doi este egal cu zero, cosinusul lui pi cu trei este egal cu o secundă și așa mai departe).
• și din moment ce valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt interconectate, ne-am făcut o idee despre încă trei funcții: s= sint; s=tgt; s=ctgt. (es este egal cu sinusul lui te, es este egal cu tangenta lui te, es este egal cu cotangentei lui te)

Toate aceste funcții se numesc funcții trigonometrice ale argumentului numeric t.

Din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, urmează câteva relații:

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus pătrat te plus cosinus pătrat te este egal cu unu)

2) tgt = la t ≠ + πk, kϵZ

3) ctgt = la t ≠ πk, kϵZ (cotangenta lui te este egală cu raportul dintre cosinusul lui te și sinusul lui te când te nu este egal cu vârful lui ka, care aparține lui z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 pentru t ≠ , kϵZ

Demonstrăm încă două formule importante:

Un plus pătratul tangent al lui te este egal cu raportul dintre unu și pătratul cosinus al lui te atunci când te nu este egal cu pi cu doi plus pi.

Dovada. Unitatea de expresie plus pătratul tangentei te, o vom reduce la un numitor comun cosinus pătratul te. Obținem la numărător suma pătratelor cosinusului lui te și a sinusului lui te, care este egală cu unu. Iar numitorul rămâne pătratul cosinusului te.

Suma unității și pătratul cotangentei te este egală cu raportul unității la pătratul sinusului lui te atunci când te nu este egal cu vârful.

Dovada. Expresia unitate plus cotangenta la pătrat te, în mod similar, reducem la un numitor comun și aplicăm prima relație.

Luați în considerare exemple.

EXEMPLUL 1. Găsiți costul, tgt, ctgt dacă sint = și< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Decizie. Din prima relație, găsim pătratul cosinus te egal cu unu minus pătratul sinus te: cos 2 t \u003d 1 - sin 2 t.

Deci, cos 2 t = 1 -() 2 = (cosinusul pătratului lui te este nouă douăzeci și cincimi), adică cost = (cosinusul lui te este egal cu trei cincimi) sau cost = - (cosinusul lui te este egal cu trei cincimi) lui te este egal cu minus trei cincimi). Prin condiție, argumentul t aparține celui de-al doilea trimestru, iar în el cost t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Deci cosinusul te este egal cu minus trei cincimi, cost = - .

Calculați tangenta te:

tgt = = ׃ (-)= - ;(tangenta lui te este egală cu raportul dintre sinusul lui te și cosinusul lui te, ceea ce înseamnă patru cincimi la minus trei cincimi și este egală cu minus patru treimi)

În consecință, calculăm (cotangenta numărului te, deoarece cotangenta lui te este egală cu raportul dintre cosinusul lui te și sinusul lui te,) ctgt = = - .

(cotangenta lui te este minus trei sferturi).

Răspuns: cost = - , tgt= - ; ctgt = - . (Răspunsul va fi completat pe măsură ce decideți)

EXEMPLU 2. Se știe că tgt = - și< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Decizie. Folosim acest raport, înlocuind valoarea din această formulă, obținem:

1 + (-) 2 \u003d (unul pe pătrat cosinus al lui te este egal cu suma unu și pătratul minus opt cincisprezecele). De aici găsim cos 2 t =

(cosinusul pătrat al lui te este două sute douăzeci și cinci două sute optzeci și nouă de zecimi). Deci cost = (cosinus te este egal cu cincisprezece șaptesprezece) sau

cost = . Prin condiție, argumentul t aparține trimestrului al patrulea, unde cost>0. Prin urmare, cost = .(cosenus te este cincisprezece șaptesprezece)

Aflați valoarea argumentului sinus te. Deoarece din raport (aratați raportul tgt = la t ≠ + πk, kϵZ) sinusul lui te este egal cu produsul tangentei lui te cu cosinusul lui te, înlocuind apoi valoarea argumentului te..tangentei lui te este egal cu minus opt cincisprezecele .. prin condiție, iar cosinusul lui te este egal cu rezolvat mai devreme, obținem

sint = tgt ∙ cost = (-) ∙ = - , (sinusul lui te este egal cu minus opt șaptesprezecele)

ctgt == - . (deoarece cotangentei lui te este reciproca tangentei, înseamnă că cotangentei lui te este minus cincisprezece al optsprezecelea)

Definiția 1: Funcția numerică dată de formula y=sin x se numește sinus.

Această curbă se numește sinusoid.

Proprietățile funcției y=sin x

2. Domeniu de funcții: E(y)=[-1; unu]

3. Funcția de paritate:

y=sin x – impar,.

4. Periodicitate: sin(x+2πn)=sin x, unde n este un număr întreg.

Această funcție ia aceleași valori după un anumit interval. Această proprietate a unei funcții este numită periodicitate. Intervalul este perioada funcției.

Pentru funcția y=sin x, perioada este 2π.

Funcția y=sin x este periodică, cu perioada T=2πn, n este un număr întreg.

Cea mai mică perioadă pozitivă T=2π.

Matematic, aceasta poate fi scrisă ca: sin(x+2πn)=sin x, unde n este un număr întreg.

Definiția 2: Funcția numerică dată de formula y=cosx se numește cosinus.

Proprietățile funcției y=cos x

1. Domeniul de aplicare: D(y)=R

2. Domeniul de aplicare al funcției: E(y)=[-1;1]

3. Funcția de paritate:

y=cos x este par.

4. Periodicitate: cos(x+2πn)=cos x, unde n este un număr întreg.

Funcția y=cos x este periodică, cu perioada Т=2π.

Definiția 3: Funcția numerică dată de formula y=tg x se numește tangentă.

Proprietățile funcției y=tg x

1. Domeniul funcției: D(y) - toate numerele reale cu excepția π/2+πk, k este un număr întreg. Pentru că în aceste puncte tangenta nu este definită.

3. Funcția de paritate:

y=tg x este impar.

4. Periodicitate: tg(x+πk)=tg x, unde k este un număr întreg.

Funcția y=tg x este periodică cu perioada π.

Definiția 4: Funcția numerică dată de formula y=ctg x se numește cotangentă.

Proprietățile funcției y=ctg x

1. Domeniul funcției: D(y) - toate numerele reale, cu excepția πk, k este un număr întreg. Pentru că în aceste puncte cotangenta nu este definită.

2. Domeniul de aplicare al funcției: E(y)=R.

Am luat în considerare cele mai de bază funcții trigonometrice (nu vă lăsați păcăliți, pe lângă sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, există o mulțime de alte funcții, dar mai multe despre ele mai târziu), dar deocamdată vom lua în considerare câteva proprietăți de bază a funcţiilor deja studiate.

Funcții trigonometrice ale unui argument numeric

Oricare ar fi numărul real t, i se poate atribui un număr definit în mod unic sin(t) . Adevărat, regula corespondenței este destul de complicată și constă în următoarele.

Pentru a găsi valoarea lui sin(t) după numărul t, aveți nevoie de:

1. poziționați cercul numeric pe planul de coordonate astfel încât centrul cercului să coincidă cu originea, iar punctul de plecare A al cercului să lovească punctul (1; 0);
2. găsiți un punct pe cerc corespunzător numărului t;
3. găsiți ordonata acestui punct.
4. această ordonată este sin(t) dorită.

De fapt, vorbim despre funcția s = sin(t) , unde t este orice număr real. Putem calcula unele valori ale acestei funcții (de exemplu, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) etc.), cunoaștem unele dintre proprietățile sale.

În același mod, putem presupune că am primit deja câteva idei despre încă trei funcții: s = cos(t) s = tg(t) s = ctg(t) Toate aceste funcții se numesc funcții trigonometrice ale argumentului numeric t .

Conectarea funcțiilor trigonometrice

După cum, sper, ghiciți că toate funcțiile trigonometrice sunt interconectate și chiar și fără a cunoaște valoarea uneia, aceasta poate fi găsită prin cealaltă.

De exemplu, cea mai importantă formulă a tuturor trigonometriei este identitate trigonometrică de bază:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

După cum puteți vedea, cunoscând valoarea sinusului, puteți găsi valoarea cosinusului și invers. De asemenea, formule foarte comune care relaționează sinusul și cosinusul cu tangenta și cotangenta:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Din ultimele două formule mai poate fi dedusă o identitate trigometrică, conectând de data aceasta tangenta și cotangenta:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Acum să vedem cum funcționează aceste formule în practică.

EXEMPLU 1. Simplificați expresia: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) În primul rând scriem tangenta, păstrând pătratul:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Acum introducem totul sub un numitor comun și obținem:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]

Și în sfârșit, după cum vedem, numărătorul poate fi redus la unu conform identității trigonometrice de bază, ca rezultat obținem: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Cu cotangenta, efectuam toate aceleasi actiuni, doar numitorul nu va mai avea cosinus, ci sinus, iar raspunsul va iesi astfel:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

După ce am finalizat această sarcină, am obținut încă două formule foarte importante care conectează funcțiile noastre, pe care trebuie să le cunoașteți ca dosul mâinii:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Trebuie să cunoașteți pe de rost toate formulele prezentate în cadru, altfel studiul suplimentar al trigonometriei fără ele este pur și simplu imposibil. Pe viitor vor fi mai multe formule și vor fi multe și vă asigur că cu siguranță le veți aminti multă vreme pe toate, sau poate nu le veți aminti, dar TOȚI ar trebui să știe aceste șase piese. !

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!

Obiectivele lecției:

Educational:

• Asigură repetarea, generalizarea și sistematizarea materialului temei „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric”;
• Creați condiții pentru controlul (autocontrolul) asimilării cunoștințelor și aptitudinilor.

În curs de dezvoltare:

• Să contribuie la formarea capacității de a aplica tehnici - comparații, generalizări, evidențierea principalului, transferarea cunoștințelor într-o situație nouă;
• Dezvoltarea perspectivei matematice, a gândirii, a vorbirii, a atenției și a memoriei.

Educational:

• Pentru a promova educația de interes pentru matematică, activitate, abilități de comunicare și o cultură comună.

Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor.

Metode de predare: căutare parțială, (euristică).

Test de verificare a nivelului de cunoștințe, rezolvarea problemelor de generalizare cognitivă, autoexaminare, generalizări de sistem.

Planul lecției.

1. Org. moment - 2 min.
2. Test de autoverificare - 10 min.
3. Raport pe subiect - 3 min.
4. Sistematizarea materialului teoretic - 15 min.
5. Muncă independentă diferențiată cu autoexaminare - 10 min.
6. Rezultatul muncii independente - 2 min.
7. Rezumatul lecției - 3 min.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Teme pentru acasă:

Alineatul 1, paragraful 1.4
- Lucru de testare (sarcinile au fost postate pe stand).

Scriitorul francez Anatole France a remarcat odată: „Învățatul nu poate fi decât distractiv. Pentru a digera cunoștințele, trebuie să le absorbi cu plăcere.” Să urmăm acest sfat al scriitorului de astăzi în lecție, să fim activi, atenți, să absorbim cunoștințele cu mare dorință. La urma urmei, acestea vă vor fi utile în viitor.

Astăzi avem ultima lecție pe tema: „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric”. Repetăm, generalizăm materialul studiat, metodele și tehnicile de rezolvare a expresiilor trigonometrice.

2. Test de autoverificare.

Lucrarea se desfășoară în două versiuni. întrebări de pe ecran.

№	1 opțiune	Opțiunea 2
1	Definiți sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit	Definiți tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit
2	Ce funcții numerice se numesc tangentă și cotangentă? Dați o definiție.	Ce funcții numerice se numesc sinus și cosinus? Dați o definiție.
3	Un punct de pe cercul unității are coordonate. Găsiți valorile păcatului, deci.	Punctul cerc unitar are coordonate (-0,8; -0,6). Găsiți valoarea tg , ctg .
4	Care dintre funcțiile trigonometrice de bază sunt impare? Scrieți egalitățile corespunzătoare.	Care dintre funcțiile trigonometrice de bază sunt pare? Scrieți egalitățile corespunzătoare.
5	Cum se schimbă valorile sinusului și cosinusului atunci când unghiul se modifică cu un număr întreg de rotații? Scrieți egalitățile corespunzătoare.	Cum se schimbă valorile tangentei și cotangentei atunci când unghiul se modifică cu un număr întreg de rotații? Care este caracteristica? Scrieți egalitățile corespunzătoare.
6	Găsiți valorile sin cos, sin(- 630°), cos (- 630°).	Găsiți valorile tg , ctg , tg 540°, ctg(-450°).
7	Care figură arată graficul funcției y \u003d sin x?	Care figură arată graficul funcției y \u003d tg x?
8	Notați formulele de reducere pentru unghiurile (- ), (- ).	Notați formulele de reducere pentru unghiurile (+ ), (+ ).
9	Scrieți formule de adunare.	Scrieți identitățile trigonometrice de bază.
10	Scrieți formule pentru scăderea gradului.	Scrieți formule cu argument dublu.

Elevii marchează pași greșiți. Numărul de răspunsuri corecte este înregistrat în fișa de cunoștințe.

3. Mesaj.

Raport despre istoria dezvoltării trigonometriei (vorbește un elev instruit).

4. Sistematizarea materialului teoretic.

teme orale.

1) Despre ce vorbim? Ce este special?

Determinați semnul expresiei:

a) cos (700°) tg 380°,
b) cos (- 1) sin (- 2)

2) Ce spune acest bloc de formule? Unde este greseala?

3) Luați în considerare tabelul:

Transformări trigonometrice
Găsirea valorilor expresiilor trigonometrice	Găsirea valorii unei funcții trigonometrice dintr-o valoare cunoscută a unei anumite funcții trigonometrice	Simplificarea expresiilor trigonometrice	Identități

4) Rezolvarea problemelor fiecărui tip de transformări trigonometrice.

Găsirea valorilor expresiilor trigonometrice.

Aflarea valorii unei funcții trigonometrice din valoarea cunoscută a unei anumite funcții trigonometrice.

Dat: sin = ;< <

Găsiți cos2, ctg2.

Răspuns: .< < 2

Găsiți: cos2 , tg2

Al treilea nivel de dificultate:

Dat: sin = ;< <

Găsiți: sin2 ; sin(60° - ); tg (45° + )

Sarcină suplimentară.

Dovediți identitatea:

4 sin 4 - 4 sin 2 = cos 2 2 - 1

6. Rezultatul muncii independente.

Elevii își verifică munca și înregistrează rezultatele pe o fișă de lucru.

7. Lecția este rezumată.

În acest capitol, vom introduce funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric. Multe întrebări din matematică, mecanică, fizică și alte științe duc la funcții trigonometrice nu numai ale unghiului (arc), ci și ale argumentelor de cu totul altă natură (lungime, timp, temperatură etc.). Până acum, argumentul unei funcții trigonometrice a fost înțeles ca un unghi măsurat în grade sau radiani. Acum generalizăm conceptele de sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, secantă și cosecantă introducându-le ca funcții ale unui argument numeric.

Definiție. Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric sunt funcțiile trigonometrice cu același nume ale unui unghi egal cu radiani.

Să clarificăm această definiție cu exemple concrete.

Exemplul 1. Calculați valoarea lui . Aici ne referim la un număr abstract irațional. Prin definitie. Asa de, .

Exemplul 2. Calculați valoarea lui . Aici prin 1,5 înțelegem un număr abstract. După cum este definit (a se vedea anexa II).

Exemplul 3. Calculați valoarea În mod similar cu cea precedentă, obținem (vezi Anexa II).

Deci, pe viitor, sub argumentul funcțiilor trigonometrice, vom înțelege unghiul (arc) sau doar un număr, în funcție de problema pe care o rezolvăm. Și în unele cazuri, argumentul poate fi o valoare care are o altă dimensiune, precum timpul, etc. Numind argumentul unghi (arc), putem înțelege prin acesta numărul cu care se măsoară în radiani.