Considerăm un plan Q în spațiu. Poziția sa este complet determinată prin specificarea unui vector N perpendicular pe acest plan și a unui punct fix situat în planul Q. Vectorul N perpendicular pe planul Q se numește vector normal al acestui plan. Dacă notăm cu A, B și C proiecțiile vectorului normal N, atunci

Să derivăm ecuația planului Q care trece prin punctul dat și având vectorul normal dat. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un vector care conectează un punct cu un punct arbitrar al planului Q (Fig. 81).

Pentru orice poziție a punctului M pe planul Q, vectorul MXM este perpendicular pe vectorul normal N al planului Q. Prin urmare, produsul scalar Să scriem produsul scalar în termeni de proiecții. Din moment ce , și vector , atunci

și, prin urmare

Am arătat că coordonatele oricărui punct al planului Q satisfac ecuația (4). Este ușor de observat că coordonatele punctelor care nu se află pe planul Q nu satisfac această ecuație (în acest din urmă caz, ). Prin urmare, am obținut ecuația necesară a planului Q. Ecuația (4) se numește ecuația planului care trece prin punctul dat. Este de gradul I relativ la coordonatele curente

Deci, am arătat că orice plan corespunde unei ecuații de gradul I în raport cu coordonatele curente.

Exemplul 1. Scrieți ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector.

Decizie. Aici . Pe baza formulei (4), obținem

sau, după simplificare,

Dând coeficienților A, B și C ai ecuației (4) valori diferite, putem obține ecuația oricărui plan care trece prin punctul . Mulțimea de planuri care trec printr-un punct dat se numește o grămadă de planuri. Ecuația (4), în care coeficienții A, B și C pot lua orice valoare, se numește ecuația unui grup de plane.

Exemplul 2. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte, (Fig. 82).

Decizie. Să scriem ecuația pentru o grămadă de plane care trec printr-un punct

este ecuația generală a unui plan în spațiu

Vector plan normal

Un vector normal al unui plan este un vector diferit de zero ortogonal cu fiecare vector aflat în plan.

Ecuația unui plan care trece printr-un punct cu un vector normal dat

este ecuația planului care trece prin punctul M0 cu un vector normal dat

Vectorii de direcție plană

Doi vectori necoliniari paraleli cu planul se numesc vectori de direcție ai planului

Ecuații plane parametrice

– ecuația parametrică a planului în formă vectorială

este ecuația parametrică a planului în coordonate

Ecuația unui plan printr-un punct dat și doi vectori de direcție

-punct fix

doar un punct lol

sunt coplanare, deci produsul lor mixt este 0.

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date

– ecuație plană prin trei puncte

Ecuația unui plan în segmente

- ecuaţie plană în segmente

Dovada

Pentru a demonstra acest lucru, folosim faptul că planul nostru trece prin A, B, C și vectorul normal

Să substituim coordonatele punctului și ale vectorului n în ecuația planului cu vectorul normal

Împărțiți totul și obțineți

Așa merge.

Ecuația plană normală

este unghiul dintre ox și vectorul normal față de plan, care iese din O.

este unghiul dintre oy și vectorul normal față de plan, care iese din O.

este unghiul dintre oz și vectorul normal față de plan, care iese din O.

este distanța de la originea coordonatelor la plan.

Dovezi sau asemenea prostii

Semnul este opus lui D.

La fel și pentru alte cosinusuri. Sfârşit.

Distanța de la punct la plan

Punctul S, plan

este distanța orientată de la punctul S la plan

Dacă , atunci S și O se află pe părți opuse ale planului

Dacă , atunci S și O se află pe aceeași parte

Înmulțiți cu n

Dispunerea reciprocă a două linii în spațiu

Unghiul dintre planuri

La intersecție se formează două perechi de unghiuri diedrice verticale, cea mai mică se numește unghiul dintre plane

Linie dreaptă în spațiu

O linie în spațiu poate fi dată ca

Intersecția a două planuri:

Ecuații parametrice ale unei linii drepte

- ecuația parametrică a unei drepte în formă vectorială

este ecuația parametrică a unei drepte în coordonate

Ecuația canonică

este ecuația canonică a unei drepte.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date

– ecuația canonică a unei drepte în formă vectorială;

Dispunerea reciprocă a două linii în spațiu

Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui plan în spațiu

Unghiul dintre linie și plan

Distanța de la un punct la o dreaptă din spațiu

a este vectorul de direcție al dreptei noastre.

este un punct arbitrar aparținând unei linii date

- punctul până la care căutăm distanța.

Distanța dintre două linii care se intersectează

Distanța dintre două linii paralele

M1 - punct aparținând primei linii

M2 este un punct aparținând celei de-a doua linii

Curbe și suprafețe de ordinul doi

O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la care la două puncte date (focale) este o valoare constantă.

Ecuația canonică a unei elipse

Să-l înlocuim cu

Împarte la

Proprietăți elipse

Intersecția cu axele de coordonate

Simetrie despre

1. Originile

O elipsă este o curbă situată într-o parte limitată a unui plan

O elipsă poate fi obținută dintr-un cerc prin întinderea sau strângerea acestuia

Ecuația parametrică a unei elipse:

- directori

Hiperbolă

O hiperbolă este un set de puncte dintr-un plan pentru care modulul diferenței de distanțe până la 2 puncte date (focale) este o valoare constantă (2a)

Facem totul la fel ca și cu elipsa, obținem

Înlocui cu

Împarte la

Proprietățile unei hiperbole

;

- directori

Asimptotă

O asimptotă este o linie dreaptă de care curba se apropie la infinit, retrăgându-se la infinit.

Parabolă

proprietăți parabot

Relația dintre elipsă, hiperbolă și parabolă.

Relația dintre aceste curbe are o explicație algebrică: toate sunt date de ecuații de gradul doi. În orice sistem de coordonate, ecuațiile acestor curbe au forma: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, unde a, b, c, d, e, f sunt numere

Transformarea sistemelor de coordonate carteziene dreptunghiulare

Translația paralelă a sistemului de coordonate

–O’ în vechiul sistem de coordonate

– coordonatele punctului din vechiul sistem de coordonate

– coordonatele punctului din noul sistem de coordonate

Coordonatele punctului în noul sistem de coordonate.

Rotiți într-un sistem de coordonate carteziene

– nou sistem de coordonate

Matrice de tranziție de la vechea bază la cea nouă

- (sub prima coloană eu’ , sub al doilea j’ ) matricea de tranziție de la bază eu,j la baza eu’ ,j’

Caz general

1 opțiune

1. Rotația sistemului de coordonate

Opțiunea 2

1. Rotația sistemului de coordonate

   Traducerea paralelă a originii

Ecuația generală a liniilor de ordinul doi și reducerea acesteia la formă canonică

este forma generală a ecuațiilor curbei de ordinul doi

Clasificarea curbelor de ordinul doi

Elipsoid

Secțiuni transversale ale unui elipsoid

- elipsa

- elipsa

Elipsoidele revoluției

Elipsoidele revoluției sunt fie sferoide aplatizate, fie prolate, în funcție de ceea ce ne rotim.

Hiperboloid cu o bandă

Secțiuni ale unui hiperboloid cu o singură bandă

– hiperbola cu axa reală oy

este o hiperbolă cu axa x reală

Se dovedește o elipsă pentru orice h. Așa merge.

Hiperboloizi cu o singură bandă ai revoluției

Un hiperboloid de revoluție cu o singură foaie poate fi obținut prin rotirea unei hiperbole în jurul axei sale imaginare.

Hiperboloid cu două foi

Secțiuni ale unui hiperboloid cu două foi

- hiperbolă cu acţiune. axisoz

este o hiperbolă cu axa reală oz

Con

- o pereche de linii care se intersectează

- o pereche de linii care se intersectează

Paraboloid eliptic

- parabola

- parabola

Rotații

Dacă , atunci paraboloidul eliptic este o suprafață de revoluție formată prin rotația parabolei în jurul axei sale de simetrie.

Paraboloid hiperbolic

Parabolă

- parabola

h>0 hiperbola cu axa reală paralelă cu x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Sub cilindru ne referim la suprafata care se va obtine atunci cand o dreapta se misca in spatiu, care nu isi schimba directia, daca linia dreapta se misca fata de oz, atunci ecuatia cilindrului este ecuatia unei sectiuni dupa plan. xoy.

Cilindru eliptic

cilindru hiperbolic

cilindru parabolic

Generatoare rectilinii de suprafețe de ordinul doi

Liniile care se află complet pe suprafață sunt numite generatoare rectilinii ale suprafeței.

Suprafețe de revoluție

La naiba lol

Afişa

prin afișare Să numim regula conform căreia fiecare element al mulțimii A este asociat cu unul sau mai multe elemente ale mulțimii B. Dacă fiecăruia i se atribuie un singur element al mulțimii B, atunci maparea este numită lipsit de ambiguitate, in caz contrar ambiguu.

Transformare multimea se numeste mapare unu-la-unu a unei multimi pe sine

Injecţie

Injectarea sau maparea unu-la-unu a setului A la setul B

(diferitele elemente ale lui a corespund diferitelor elemente ale lui B) de exemplu y=x^2

surjecție

Supraiecția sau maparea unei mulțimi A pe o mulțime B

Pentru fiecare B, există cel puțin un A (de exemplu, un sinus)

Fiecare element al mulțimii B corespunde unui singur element al mulțimii A. (de exemplu, y=x)

În acest articol, vom lua în considerare ecuația normală a planului. Să dăm exemple de construcție a ecuației normale a planului în funcție de unghiul de înclinare a vectorului normal al planului din axe Ox, Oy, Oz si prin distanta r de la origine la plan. Să prezentăm o metodă de reducere a ecuației generale a unei linii drepte la forma normală. Luați în considerare exemple numerice.

Fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene în spațiu. Apoi ecuația normală a planului Ω reprezentată prin următoarea formulă:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,

(1)

Unde r− distanta de la origine la plan Ω , A α,β,γ sunt unghiurile dintre vectorul unitar n, ortogonală cu planul Ω și axele de coordonate Ox, Oy, Oz, respectiv (Fig.1). (În cazul în care un r>0, apoi vectorul nîndreptată spre avion Ω , dacă planul trece prin origine, atunci direcția vectorului n alese în mod arbitrar).

Obținem formula (1). Să fie date în spațiu un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene și un plan Ω (Fig.1). Desenați o linie prin origine Q, perpendicular pe plan Ω , iar punctul de intersecție va fi notat cu R. Pe această linie, selectăm vectorul unitar n, cu direcția care coincide cu vectorul . (Dacă punctele Oși R potrivirea, apoi direcția n poate fi luată în mod arbitrar).

Exprimăm ecuația planului Ω prin următorii parametri: lungimea segmentului şi unghiurile de înclinare α, β, γ între vector nși topoare Ox, Oy, Oz, respectiv.

Din moment ce vectorul n este un vector unitar, apoi proiecțiile sale pe Ox, Oy, Oz va avea urmatoarele coordonate:

Produsul punctual al vectorilor n si are urmatoarea forma:

Dat fiind n={cosα, cosβ, cosγ}, , vom lua:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.

(7)

Am obținut ecuația normală a planului Ω . Ecuația (7) (sau (1)) se mai numește ecuație plană normalizată. Vector n numit vector normal plan.

După cum sa menționat mai sus, numărul rîn ecuația (1) arată distanța planului de la origine. Prin urmare, având ecuația normală a planului, este ușor de determinat distanța planului de la origine. Pentru a verifica dacă o anumită ecuație a unui plan este o ecuație în formă normală, trebuie să verificați lungimea vectorului normal al acestui plan și semnul numărului r, adică dacă | n|=1 și r>0, atunci această ecuație este o ecuație normală (normalizată) a planului.

Exemplul 1. Având în vedere următoarea ecuație plană:

Să determinăm lungimea vectorului n:

Deoarece ecuațiile (1) și (8) trebuie să determine aceeași linie dreaptă (Propunerea 2 din articolul „Ecuația generală a planului”), atunci există un astfel de număr t, ce

Simplificați expresia și găsiți t:

t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2)=1,

.

(11)

Numitorul din (11) este diferit de zero, deoarece cel puțin unul dintre coeficienți A, B, C nu este egal cu zero (altfel (8) nu ar reprezenta ecuația unei linii drepte).

Află ce semn t. Să fim atenți la a patra egalitate din (9). La fel de r este distanța de la origine la plan, atunci r≥0. Apoi produsul tD trebuie să aibă un semn negativ. Acestea. semn tîn (11) trebuie să fie opus semnului D.

Înlocuind în (1) în loc de cosα, cosβ, cosγ și −r valorile de la (9), obținem tax+tBy+tCz+tD=0. Acestea. pentru a aduce ecuația generală a planului la forma normală, trebuie să înmulțiți ecuația dată cu factorul (11). Se numește factorul (11). factor de normalizare.

Exemplul 2. Este dată ecuația generală a planului

La fel de D>0, apoi semnează t negativ:

Rețineți că numărul este distanța de la origine la linia dreaptă (12).

Poziția planului în spațiu va fi complet determinată dacă îi stabilim distanța față de originea O, adică lungimea perpendicularei OT, coborâtă din punctul O spre plan, și vectorul unitar n°, perpendicular pe plan. şi îndreptată de la originea O către plan (Fig. 110).

Când punctul M se mișcă de-a lungul planului, atunci vectorul său de rază se modifică astfel încât este întotdeauna legat de o anumită condiție. Să vedem care este această condiție. Evident, pentru orice punct situat pe avion, avem:

Această condiție este valabilă numai pentru punctele din plan; este încălcat dacă punctul M se află în afara planului. Astfel, egalitatea (1) exprimă o proprietate care este comună tuturor punctelor planului și numai acestora. Conform § 7 Ch. 11 avem:

și, prin urmare, ecuația (1) poate fi rescrisă ca:

Ecuația (D) exprimă condiția în care punctul ) se află pe un plan dat și se numește ecuația normală a acestui plan. Vectorul rază a unui punct arbitrar M al planului se numește vectorul rază curentă.

Ecuația (1) a planului se scrie sub formă vectorială. Revenind la coordonate și plasând originea coordonatelor la originea vectorilor - punctul O, observăm că proiecțiile vectorului unitar pe axele de coordonate sunt cosinusurile unghiurilor compuse din axele cu acest vector, iar proiecții ale vectorului rază a punctului M

sunt coordonatele punctului , adică avem:

Ecuația (D) intră într-o coordonată:

La translatarea ecuației vectoriale (Г) a planului în ecuația de coordonate (2), am folosit formula (15) § 9 Ch. 11 exprimând produsul scalar în termeni de proiecții vectoriale. Ecuația (2) exprimă condiția în care punctul M(x, y, z) se află pe un plan dat și se numește ecuația normală a acestui plan sub formă de coordonate. Ecuația rezultată (2) este de gradul I în raport cu , adică orice plan poate fi reprezentat printr-o ecuație de gradul I în raport cu coordonatele curente.

Rețineți că ecuațiile derivate (1") și (2) rămân valabile chiar și atunci când , și anume, planul dat trece prin origine. În acest caz, oricare dintre cei doi vectori unitari perpendicular pe plan și diferă unul de altă direcție.

Cometariu. Ecuația plană normală (2) poate fi derivată fără a utiliza metoda vectorială.

Luați un plan arbitrar și trageți o linie dreaptă I prin originea perpendiculară pe aceasta. Setați o direcție pozitivă pe această linie de la origine la plan (dacă planul selectat a trecut prin origine, atunci direcția pe linie poate fi luată orice ).

Poziția acestui plan în spațiu este complet determinată de distanța sa de la origine, adică de lungimea segmentului de axe l de la origine până la punctul de intersecție cu planul (în Fig. 111 - segment) și de unghiurile dintre axa și axele de coordonate. Când un punct se mișcă de-a lungul planului cu coordonatele sale, coordonatele sale se schimbă în așa fel încât sunt întotdeauna legate de o anumită condiție. Să vedem care este această condiție.

Să construim în Fig. 111 polilinie de coordonate OPSM a unui punct arbitrar M al planului. Să luăm proiecția acestei linii întrerupte pe axa l. Observând că proiecția liniei întrerupte este egală cu proiecția segmentului său de închidere (Capitolul I, § 3), avem.

Ecuația plană. Cum se scrie o ecuație pentru un avion?
Aranjamentul reciproc al avioanelor. Sarcini

Geometria spațială nu este cu mult mai complicată decât geometria „plată”, iar zborurile noastre în spațiu încep cu acest articol. Pentru a înțelege subiectul, trebuie să înțelegeți bine vectori, în plus, este de dorit să fiți familiarizați cu geometria planului - vor exista multe asemănări, multe analogii, astfel încât informațiile vor fi digerate mult mai bine. Într-o serie de lecții mele, lumea 2D se deschide cu un articol Ecuația unei drepte pe un plan. Dar acum Batman a părăsit televizorul cu ecran plat și se lansează din Cosmodromul Baikonur.

Să începem cu desene și simboluri. Schematic, planul poate fi desenat ca un paralelogram, ceea ce dă impresia de spațiu:

Avionul este infinit, dar avem ocazia să înfățișăm doar o bucată din el. În practică, pe lângă paralelogram, se desenează și un oval sau chiar un nor. Din motive tehnice, îmi este mai convenabil să înfățișez avionul în acest fel și în această poziție. Planurile reale, pe care le vom lua în considerare în exemple practice, pot fi aranjate în orice fel - luați mental desenul în mâini și răsuciți-l în spațiu, dând planului orice pantă, orice unghi.

Notaţie: se obișnuiește să se desemneze avioanele cu litere mici grecești, aparent pentru a nu le confunda cu direct în avion sau cu drept în spațiu. Sunt obișnuit să folosesc litera . În desen, este litera „sigma” și nu este deloc o gaură. Deși, un avion gol, este cu siguranță foarte amuzant.

În unele cazuri, este convenabil să folosiți aceleași litere grecești cu indice pentru a desemna avioane, de exemplu, .

Evident, planul este determinat în mod unic de trei puncte diferite care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Prin urmare, denumirile de trei litere ale avioanelor sunt destul de populare - în funcție de punctele care le aparțin, de exemplu, etc. Adesea literele sunt cuprinse între paranteze: , pentru a nu confunda planul cu o altă figură geometrică.

Pentru cititorii experimentați, voi oferi meniu de comenzi rapide:

• Cum se scrie o ecuație pentru un plan folosind un punct și doi vectori?
• Cum se scrie o ecuație pentru un plan folosind un punct și un vector normal?

și nu vom lâncevi în așteptări lungi:

Ecuația generală a planului

Ecuația generală a planului are forma , unde coeficienții sunt simultan nenuli.

O serie de calcule teoretice și probleme practice sunt valabile atât pentru baza ortonormală obișnuită, cât și pentru baza afină a spațiului (dacă uleiul este ulei, reveniți la lecție Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială). Pentru simplitate, vom presupune că toate evenimentele au loc pe o bază ortonormală și un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian.

Și acum să antrenăm puțină imaginație spațială. E în regulă dacă o ai rău, acum o vom dezvolta puțin. Chiar și jocul pe nervi necesită practică.

În cel mai general caz, când numerele nu sunt egale cu zero, planul intersectează toate cele trei axe de coordonate. De exemplu, așa:

Repet încă o dată că avionul continuă la nesfârșit în toate direcțiile și avem ocazia să înfățișăm doar o parte din el.

Luați în considerare cele mai simple ecuații ale planelor:

Cum să înțelegem această ecuație? Gândește-te: „Z” ÎNTOTDEAUNA, pentru orice valoare a lui „X” și „Y” este egal cu zero. Aceasta este ecuația planului de coordonate „nativ”. Într-adevăr, formal ecuația poate fi rescrisă după cum urmează: , de unde este clar că nu ne pasă, ce valori iau „x” și „y”, este important ca „z” să fie egal cu zero.

În mod similar:
este ecuația planului de coordonate ;
este ecuația planului de coordonate.

Să complicăm puțin problema, să considerăm un plan (aici și mai departe în paragraf presupunem că coeficienții numerici nu sunt egali cu zero). Să rescriem ecuația sub forma: . Cum să-l înțelegi? „X” este ÎNTOTDEAUNA, pentru orice valoare a lui „y” și „z” este egală cu un anumit număr. Acest plan este paralel cu planul de coordonate. De exemplu, un plan este paralel cu un plan și trece printr-un punct.

În mod similar:
- ecuația planului, care este paralelă cu planul de coordonate;
- ecuația unui plan care este paralel cu planul de coordonate.

Adăugați membri: . Ecuația poate fi rescrisă astfel: , adică „Z” poate fi orice. Ce înseamnă? „X” și „y” sunt legate de raport, care trasează o anumită linie dreaptă în plan (veți recunoaște ecuația unei drepte într-un plan?). Deoarece Z poate fi orice, această linie este „replicată” la orice înălțime. Astfel, ecuația definește un plan paralel cu axa de coordonate

În mod similar:
- ecuaţia planului, care este paralelă cu axa de coordonate;
- ecuația planului, care este paralelă cu axa de coordonate.

Dacă termenii liberi sunt zero, atunci planurile vor trece direct prin axele corespunzătoare. De exemplu, clasicul „proporționalitate directă”:. Desenați o linie dreaptă în plan și înmulțiți-o mental în sus și în jos (deoarece „z” este oricare). Concluzie: planul dat de ecuație trece prin axa de coordonate.

Încheiem trecerea în revistă: ecuația planului trece prin origine. Ei bine, aici este destul de evident că punctul satisface ecuația dată.

Și, în sfârșit, cazul care este prezentat în desen: - planul este prieten cu toate axele de coordonate, în timp ce întotdeauna „taie” un triunghi care poate fi situat în oricare dintre cei opt octanți.

Inegalități liniare în spațiu

Pentru a înțelege informațiile, este necesar să studiezi bine inegalități liniare în plan pentru că multe lucruri vor fi asemănătoare. Paragraful va fi o scurtă prezentare generală cu câteva exemple, deoarece materialul este destul de rar în practică.

Dacă ecuația definește un plan, atunci inegalitățile
cere semi-spații. Dacă inegalitatea nu este strictă (ultimele două din listă), atunci soluția inegalității, în plus față de semi-spațiu, include planul însuși.

Exemplul 5

Găsiți vectorul normal unitar al planului .

Decizie: Un vector unitar este un vector a cărui lungime este unu. Să notăm acest vector cu . Este destul de clar că vectorii sunt coliniari:

În primul rând, eliminăm vectorul normal din ecuația planului: .

Cum să găsiți vectorul unitar? Pentru a găsi vectorul unitar, aveți nevoie fiecare coordonata vectorială împărțită la lungimea vectorului.

Să rescriem vectorul normal în forma și să îi găsim lungimea:

Conform celor de mai sus:

Răspuns:

Verificare: , care a fost necesar să se verifice.

Cititorii care au studiat cu atenție ultimul paragraf al lecției, probabil au observat asta coordonatele vectorului unitar sunt exact cosinusurile de direcție ale vectorului:

Să ne abatem de la problema dezasamblată: când vi se oferă un vector arbitrar diferit de zero, iar prin condiție se cere să-i găsească cosinusurile direcției (vezi ultimele sarcini ale lecției Produsul punctual al vectorilor), atunci, de fapt, găsiți și un vector unitar coliniar cu cel dat. De fapt, două sarcini într-o sticlă.

Necesitatea de a găsi un vector normal unitar apare în unele probleme de analiză matematică.

Ne-am dat seama de pescuitul vectorului normal, acum vom răspunde la întrebarea opusă:

Cum se scrie o ecuație pentru un plan folosind un punct și un vector normal?

Această construcție rigidă a unui vector normal și a unui punct este bine cunoscută de o țintă de săgeți. Vă rugăm să întindeți mâna înainte și să selectați mental un punct arbitrar din spațiu, de exemplu, o pisică mică într-un bufet. Evident, prin acest punct, poți desena un singur plan perpendicular pe mâna ta.

Ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector este exprimată prin formula: