Lungimea segmentului pe axa de coordonate se află prin formula:
Lungimea segmentului pe planul de coordonate se caută prin formula:
Pentru a afla lungimea unui segment într-un sistem de coordonate tridimensional, se utilizează următoarea formulă:
Coordonatele mijlocului segmentului (pentru axa de coordonate se folosește doar prima formulă, pentru planul de coordonate - primele două formule, pentru sistemul de coordonate tridimensional - toate cele trei formule) sunt calculate prin formulele:
Funcţie este o corespondență a formei y= f(X) între variabile, datorită cărora fiecare a considerat valoarea unei variabile X(argument sau variabilă independentă) corespunde unei anumite valori a unei alte variabile, y(variabilă dependentă, uneori această valoare se numește pur și simplu valoarea funcției). Rețineți că funcția presupune acea valoare a argumentului X nu poate exista decât o singură valoare a variabilei dependente la. Totuși, aceeași valoare la se poate obtine cu diverse X.
Domeniul de aplicare a funcției sunt toate valorile variabilei independente (argumentul funcției, de obicei X) pentru care este definită funcția, i.e. sensul ei există. Este indicat domeniul de definire D(y). În general, ești deja familiarizat cu acest concept. Domeniul unei funcții este altfel numit domeniul valorilor valide, sau ODZ, pe care l-ați putut găsi de mult timp.
Gama de funcții sunt toate valorile posibile ale variabilei dependente a acestei funcții. Notat E(la).
Funcția crește pe intervalul în care valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mari a funcției. Funcție în scădere pe intervalul în care valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției.
Intervalele de funcții sunt intervalele variabilei independente la care variabila dependentă își păstrează semnul pozitiv sau negativ.
Zerourile funcției sunt acele valori ale argumentului pentru care valoarea funcției este egală cu zero. În aceste puncte, graficul funcției intersectează axa absciselor (axa OX). Foarte des, nevoia de a găsi zerourile unei funcții înseamnă simpla rezolvare a ecuației. De asemenea, adesea nevoia de a găsi intervale de semn constant înseamnă nevoia de a rezolva pur și simplu inegalitatea.
Funcţie y = f(X) sunt numite chiar X
Aceasta înseamnă că pentru orice valori opuse ale argumentului, valorile funcției pare sunt egale. Graficul unei funcții pare este întotdeauna simetric față de axa y a amplificatorului operațional.
Funcţie y = f(X) sunt numite ciudat, dacă este definită pe o mulțime simetrică și pentru oricare X din domeniul definiției egalitatea este îndeplinită:
Aceasta înseamnă că pentru orice valori opuse ale argumentului, valorile funcției impare sunt, de asemenea, opuse. Graficul unei funcții impare este întotdeauna simetric față de origine.
Suma rădăcinilor funcțiilor pare și impare (punctele de intersecție ale axei absciselor OX) este întotdeauna egală cu zero, deoarece pentru fiecare rădăcină pozitivă X are rădăcină negativă X.
Este important de reținut că anumite funcții nu trebuie să fie par sau impare. Există multe funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel de funcții sunt numite funcții generale, și nici una dintre egalitățile sau proprietățile de mai sus nu sunt valabile pentru ele.
Funcție liniară se numeste functie ce poate fi data prin formula:
Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă și, în general, arată astfel (un exemplu este dat pentru cazul în care k> 0, în acest caz funcția este în creștere; pentru cazul k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graficul funcției cuadratice (Parabola)
Graficul unei parabole este dat de o funcție pătratică:
O funcție pătratică, ca orice altă funcție, intersectează axa OX în punctele care sunt rădăcinile sale: ( X 1; 0) și ( X 2; 0). Dacă nu există rădăcini, atunci funcția pătratică nu intersectează axa OX, dacă există o rădăcină, atunci în acest punct ( X 0; 0) funcția pătratică atinge doar axa OX, dar nu o intersectează. O funcție pătratică intersectează întotdeauna axa OY într-un punct cu coordonatele: (0; c). Graficul unei funcții pătratice (parabolă) poate arăta astfel (figura arată exemple care departe de a epuiza toate tipurile posibile de parabole):
în care:
- dacă coeficientul A> 0, în funcție y = topor 2 + bx + c, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus;
- dacă A < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Coordonatele vârfurilor parabolelor pot fi calculate folosind următoarele formule. X vârfuri (p- în figurile de mai sus) a unei parabole (sau punctul în care trinomul pătrat atinge valoarea maximă sau minimă):
Y vârfuri (q- în figurile de mai sus) a unei parabole sau maximul dacă ramurile parabolei sunt îndreptate în jos ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), valoarea trinomului pătrat:
Grafice ale altor funcții
functie de putere
Iată câteva exemple de grafice ale funcțiilor de putere:
Dependență invers proporțională numiți funcția dată de formula:
În funcție de semnul numărului k Un grafic invers proporțional poate avea două opțiuni fundamentale:
Asimptotă este dreapta de care linia graficului funcției se apropie la infinit, dar nu se intersectează. Asimptotele pentru graficele de proporționalitate inversă prezentate în figura de mai sus sunt axele de coordonate, de care graficul funcției se apropie infinit, dar nu le intersectează.
functie exponentiala cu baza A numiți funcția dată de formula:
A graficul unei funcții exponențiale poate avea două opțiuni fundamentale (vom da și exemple, vezi mai jos):
funcţie logaritmică numiți funcția dată de formula:
Depinde dacă numărul este mai mare sau mai mic decât unu A Graficul unei funcții logaritmice poate avea două opțiuni fundamentale:
Graficul funcției y = |X| după cum urmează:
Grafice ale funcțiilor periodice (trigonometrice).
Funcţie la = f(X) se numește periodic, dacă există un astfel de număr diferit de zero T, Ce f(X + T) = f(X), pentru oricine Xîn afara domeniului de aplicare f(X). Dacă funcţia f(X) este periodică cu punct T, apoi funcția:
Unde: A, k, b sunt numere constante și k nu este egal cu zero, de asemenea periodic cu punct T 1, care este determinată de formula:
Cele mai multe exemple de funcții periodice sunt funcții trigonometrice. Iată graficele principalelor funcții trigonometrice. Următoarea figură prezintă o parte din graficul funcției y= păcat X(întregul grafic continuă la nesfârșit la stânga și la dreapta), graficul funcției y= păcat X numit sinusoid:
Graficul funcției y= cos X numit unde cosinus. Acest grafic este prezentat în figura următoare. De la graficul sinusului, acesta continuă la nesfârșit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta:
Graficul funcției y=tg X numit tangentoid. Acest grafic este prezentat în figura următoare. Ca și graficele altor funcții periodice, acest grafic se repetă la nesfârșit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta.
Și în sfârșit, graficul funcției y=ctg X numit cotangentoid. Acest grafic este prezentat în figura următoare. Ca și graficele altor funcții periodice și trigonometrice, acest grafic se repetă la nesfârșit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta.
Implementarea cu succes, diligentă și responsabilă a acestor trei puncte vă va permite să arătați un rezultat excelent la CT, maximul de care sunteți capabil.
Ați găsit o eroare?
Dacă, după cum vi se pare, ați găsit o eroare în materialele de instruire, atunci vă rugăm să scrieți despre aceasta prin poștă. Puteți scrie despre eroare și pe rețeaua de socializare (). În scrisoare, indicați subiectul (fizică sau matematică), numele sau numărul subiectului sau testului, numărul sarcinii sau locul din text (pagină) în care, în opinia dumneavoastră, există o eroare. De asemenea, descrieți care este presupusa eroare. Scrisoarea ta nu va trece neobservată, eroarea fie va fi corectată, fie ți se va explica de ce nu este o greșeală.
O funcție pătratică este o funcție de forma:
y=a*(x^2)+b*x+c,
unde a este coeficientul la cel mai înalt grad al necunoscutului x,
b - coeficient la x necunoscut,
iar c este membru liber.
Graficul unei funcții pătratice este o curbă numită parabolă. Vederea generală a parabolei este prezentată în figura de mai jos.
Fig.1 Vedere generală a parabolei.
Există mai multe moduri diferite de a reprezenta grafic o funcție pătratică. Vom lua în considerare principalele și cele mai generale dintre ele.
Algoritm pentru trasarea graficului unei funcții pătratice y=a*(x^2)+b*x+c
1. Construiți un sistem de coordonate, marcați un singur segment și etichetați axele de coordonate.
2. Determinați direcția ramurilor parabolei (în sus sau în jos).
Pentru a face acest lucru, trebuie să vă uitați la semnul coeficientului a. Dacă plus - atunci ramurile sunt îndreptate în sus, dacă minus - atunci ramurile sunt îndreptate în jos.
3. Determinați coordonata x a vârfului parabolei.
Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați formula Tops = -b / 2 * a.
4. Determinați coordonatele din vârful parabolei.
Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea Topului găsit în pasul anterior în ecuația Topului = a * (x ^ 2) + b * x + c în loc de x.
5. Puneți punctul rezultat pe grafic și trasați prin el o axă de simetrie, paralelă cu axa de coordonate Oy.
6. Aflați punctele de intersecție ale graficului cu axa x.
Acest lucru necesită rezolvarea ecuației pătratice a*(x^2)+b*x+c = 0 folosind una dintre metodele cunoscute. Dacă ecuația nu are rădăcini reale, atunci graficul funcției nu intersectează axa x.
7. Aflați coordonatele punctului de intersecție al graficului cu axa Oy.
Pentru a face acest lucru, înlocuim valoarea x = 0 în ecuație și calculăm valoarea lui y. Marcam acest lucru și punctul simetric față de acesta pe grafic.
8. Aflați coordonatele unui punct arbitrar A (x, y)
Pentru a face acest lucru, alegem o valoare arbitrară a coordonatei x și o înlocuim în ecuația noastră. Obținem valoarea lui y în acest moment. Pune un punct pe grafic. Și, de asemenea, marcați un punct pe grafic care este simetric cu punctul A (x, y).
9. Conectați punctele obținute pe grafic cu o linie netedă și continuați graficul dincolo de punctele extreme, până la capătul axei de coordonate. Semnați graficul fie pe înștiințare, fie, dacă spațiul permite, de-a lungul graficului în sine.
Un exemplu de trasare a unui grafic
Ca exemplu, să reprezentăm o funcție pătratică dată de ecuația y=x^2+4*x-1
1. Desenați axele de coordonate, semnați-le și marcați un singur segment.
2. Valorile coeficienților a=1, b=4, c= -1. Deoarece un \u003d 1, care este mai mare decât zero, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.
3. Determinați coordonata X a vârfului parabolei Vârfurile = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Determinați coordonata În vârful parabolei
Vârfurile = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Marcați vârful și desenați o axă de simetrie.
6. Găsim punctele de intersecție ale graficului unei funcții pătratice cu axa Ox. Rezolvăm ecuația pătratică x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Marcam valorile obtinute pe grafic.
7. Aflați punctele de intersecție ale graficului cu axa Oy.
x=0; y=-1
8. Alegeți un punct arbitrar B. Fie ca acesta să aibă coordonata x=1.
Atunci y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Conectăm punctele primite și semnăm graficul.
Sarcinile privind proprietățile și graficele unei funcții pătratice, după cum arată practica, provoacă dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece funcția pătratică este trecută în clasa a VIII-a, iar apoi întregul prim trimestru al clasei a IX-a este „chinuit” de proprietățile parabolei și graficele acesteia sunt construite pentru diverși parametri.
Acest lucru se datorează faptului că forțând elevii să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirii” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor primite din imagine. Aparent, se presupune că, după ce a construit două duzini de grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspectul graficului. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o astfel de generalizare este necesară o experiență serioasă în mini-cercetare matematică, pe care, desigur, majoritatea elevilor de clasa a IX-a nu o au. Între timp, în GIA își propun să se determine semnele coeficienților tocmai după grafic.
Nu vom cere imposibilul de la școlari și pur și simplu oferim unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.
Deci, o funcție a formei y=ax2+bx+c se numește pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, componenta principală este toporul 2. Acesta este A nu trebuie să fie egal cu zero, coeficienții rămași ( bȘi Cu) poate fi egal cu zero.
Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul parabolei.
Cea mai simplă dependență pentru coeficient A. Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă A> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x2 - 3x + 1
În acest caz A = 0,5
Și acum pentru A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
În acest caz A = - 0,5
Influența coeficientului Cu de asemenea, destul de ușor de urmărit. Imaginați-vă că vrem să găsim valoarea unei funcții într-un punct X= 0. Înlocuiți zero în formula:
y = A 0 2 + b 0 + c = c. Se pare că y = c. Acesta este Cu este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De regulă, acest punct este ușor de găsit pe diagramă. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. Acesta este Cu> 0 sau Cu < 0.
Cu > 0:
y=x2+4x+3
Cu < 0
y = x 2 + 4x - 3
În consecință, dacă Cu= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:
y=x2+4x
Mai dificil cu parametrul b. Punctul prin care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din A. Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonatele axei X) se găsește prin formula x în \u003d - b / (2a). Prin urmare, b = - 2ax in. Adică, procedăm astfel: pe grafic găsim vârful parabolei, determinăm semnul abscisei acesteia, adică privim în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.
Cu toate acestea, acesta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului A. Adică pentru a vedea unde sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2ax in determina semnul b.
Luați în considerare un exemplu:
Ramuri îndreptate în sus A> 0, parabola traversează axa la sub zero înseamnă Cu < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Deci b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Cu < 0.
Funcția formei , unde este numită funcţie pătratică.
Graficul funcției pătratice − parabolă.
Luați în considerare cazurile:
CAZUL I, PARABOLA CLASICĂ
Acesta este , ,
Pentru a construi, completați tabelul înlocuind valorile x în formula:
Marcați puncte (0;0); (1;1); (-1;1) etc. pe planul de coordonate (cu cât pasul luăm valorile x mai mici (în acest caz, pasul 1) și cu cât luăm mai multe valori x, cu atât curba este mai netedă), obținem o parabolă:
Este ușor de observat că dacă luăm cazul , , , adică, atunci obținem o parabolă simetrică față de axă (ox). Este ușor să verificați acest lucru completând un tabel similar:
II CAZ, „a” DIFERIT DE UNU
Ce se va întâmpla dacă luăm , , ? Cum se va schimba comportamentul parabolei? Cu title="Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Prima imagine (vezi mai sus) arată clar că punctele din tabel pentru parabolă (1;1), (-1;1) au fost transformate în puncte (1;4), (1;-4), adică cu aceleași valori, ordonata fiecărui punct este înmulțită cu 4. Acest lucru se va întâmpla cu toate punctele cheie ale tabelului original. Argumentăm în mod similar în cazurile imaginilor 2 și 3.
Și când parabola „devine mai largă” parabola:
Să recapitulăm:
1)Semnul coeficientului este responsabil pentru direcția ramurilor. Cu title="Redată de QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Valoare absolută coeficientul (modulul) este responsabil pentru „expansiunea”, „comprimarea” parabolei. Cu cât este mai mare, cu atât parabola este mai îngustă, cu atât |a| mai mic, cu atât parabola este mai largă.
CAZUL III, „C” APARE
Acum să punem în joc (adică luăm în considerare cazul când ), vom lua în considerare parabole de forma . Este ușor să ghiciți (vă puteți referi oricând la tabel) că parabola se va deplasa în sus sau în jos de-a lungul axei, în funcție de semn:
CAZUL IV, AARE „b”.
Când se va „smulge” parabola din axă și, în cele din urmă, va „mergi” de-a lungul întregului plan de coordonate? Când încetează să mai fie egal.
Aici, pentru a construi o parabolă, avem nevoie formula pentru calcularea vârfului: , .
Deci în acest punct (ca și în punctul (0; 0) al noului sistem de coordonate) vom construi o parabolă, care este deja în puterea noastră. Dacă avem de-a face cu cazul , atunci de sus punem deoparte un segment de unitate la dreapta, unul în sus, - punctul rezultat este al nostru (în mod similar, un pas la stânga, un pas în sus este punctul nostru); dacă avem de-a face cu, de exemplu, atunci de sus punem deoparte un singur segment la dreapta, două în sus etc.
De exemplu, vârful unei parabole:
Acum, principalul lucru de înțeles este că la acest vârf vom construi o parabolă conform șablonului de parabolă, deoarece în cazul nostru.
La construirea unei parabole după găsirea coordonatelor vârfului este foarteEste convenabil să luați în considerare următoarele puncte:
1) parabolă trebuie să treacă prin punct . Într-adevăr, înlocuind x=0 în formulă, obținem că . Adică, ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa (oy), aceasta este. În exemplul nostru (mai sus), parabola intersectează axa y la , deoarece .
2) axa de simetrie parabole este o linie dreaptă, deci toate punctele parabolei vor fi simetrice față de ea. În exemplul nostru, luăm imediat punctul (0; -2) și construim o parabolă simetrică față de axa de simetrie, obținem punctul (4; -2), prin care va trece parabola.
3) Echivalând cu , aflăm punctele de intersecție ale parabolei cu axa (ox). Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația. În funcție de discriminant, vom obține unul (, ), doi ( title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . În exemplul anterior, avem rădăcina discriminantului - nu un număr întreg, atunci când îl construim, nu are sens să găsim rădăcinile, dar putem vedea clar că vom avea două puncte de intersecție cu (oh) axa (deoarece titlu = " Redat de QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Deci haideți să ne descurcăm
Algoritm pentru construirea unei parabole dacă este dat sub forma
1) determinați direcția ramurilor (a>0 - sus, a<0 – вниз)
2) găsiți coordonatele vârfului parabolei cu formula , .
3) găsim punctul de intersecție al parabolei cu axa (oy) prin termenul liber, construim un punct simetric celui dat față de axa de simetrie a parabolei (de remarcat că se întâmplă să fie neprofitabil să marchezi acest punct, de exemplu, deoarece valoarea este mare... sărim peste acest punct...)
4) În punctul găsit - vârful parabolei (ca și în punctul (0; 0) al noului sistem de coordonate), construim o parabolă. Dacă title="Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa (oy) (dacă ei înșiși nu au „apărut încă”), rezolvând ecuația
Exemplul 1
Exemplul 2
Observație 1. Dacă parabola ne este dată inițial sub forma , unde sunt unele numere (de exemplu, ), atunci va fi și mai ușor să o construim, deoarece ni s-au dat deja coordonatele vârfului . De ce?
Să luăm un trinom pătrat și să selectăm un pătrat complet în el: Uite, aici avem că , . Am numit anterior vârful parabolei, adică acum,.
De exemplu, . Marcăm vârful parabolei pe plan, înțelegem că ramurile sunt îndreptate în jos, parabola este extinsă (relativ). Adică efectuăm pașii 1; 3; 4; 5 din algoritmul pentru construirea unei parabole (vezi mai sus).
Observația 2. Dacă parabola este dată într-o formă similară cu aceasta (adică reprezentată ca produs a doi factori liniari), atunci vedem imediat punctele de intersecție ale parabolei cu axa (x). În acest caz - (0;0) și (4;0). În rest, acționăm conform algoritmului, deschizând parantezele.
