Instruire

lovitura cercîn patru părți egale este foarte simplu, este o sarcină banală. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să desenați două linii centrale perpendiculare una pe cealaltă. Punctele de la intersecția acestor drepte cu cerc tu și ea în patru părți. Mai obișnuit să se împartă cerc nu patru, ci opt părți egale. Pentru a face acest lucru, va trebui să împărțiți arcul, care este un sfert de cerc, în două părți egale. Apoi luați busola și întindeți-o la distanța indicată în imagine prin culoare. Acum rămâne doar să amânăm această distanță față de fiecare dintre cele patru puncte obținute mai devreme.

Pentru a rupe cercîn trei părți egale, întindeți picioarele pe raza cercului. După aceea, instalați acul busolei în orice punct de intersecție a liniilor axiale și a cercului. Desenați o linie subțire pentru a ajuta cerc. Trei părți egale prin puncte de intersecție și cercuri auxiliare, precum și un punct care se află pe linie, sau mai degrabă la capătul ei opus.

Și dacă trebuie să împărtășiți cercîn șase părți egale, atunci trebuie să faceți aproape totul la fel. Singura diferență este că acestea trebuie repetate pentru cealaltă linie centrală. În acest caz, obțineți șase puncte pe cerc deodată, așa cum se arată în figură.

De multe ori este necesar să se separe cercîn cinci părți egale. Nici acest lucru nu este greu de făcut. Mai întâi trebuie să împărțiți raza de pe linia centrală în două părți egale. În acest moment este nevoie de acul busolei. Stilul trebuie retras la punctul de intersecție al cercului și linia centrală perpendiculară pe acesta. Puteți vedea clar acest lucru în figură. Pe ea, această distanță este afișată cu roșu. Așezați această distanță pe cerc. Trebuie să începeți de la linia centrală și apoi să transferați acul în noul punct de intersecție rezultat. A sparge cerc pentru zece părți, repetați toți pașii de mai sus într-o oglindă.

Uneori, pentru fabricarea de șabloane, șabloane, desene, modele, meșteșuguri, este necesar să se separe pentru 6 piese.
De exemplu, trebuia să facem un șablon pentru o floare sub forma unei stele cu șase colțuri.

Pentru cei care au uitat de geometrie, vă reamintesc că există două moduri de a împărți un cerc în 6 părți:

1. Prin intermediul raportor.
2. Prin intermediul busolă.

1. Cum să împărțiți un cerc în 6 părți folosind un raportor

Împărțirea unui cerc cu un raportor este foarte ușor.

Desenăm o linie care leagă centrul și orice punct (de exemplu, punctul 1) de pe cerc. Din această linie, folosind un raportor, lăsăm deoparte un unghi de 60, 120, 180 de grade. Punem puncte pe cerc (de exemplu, punctele 2, 3, 4) Desfacem raportorul și împărțim cealaltă parte a cercului în același mod.

2. Cum să împărțiți un cerc în 6 părți folosind o busolă

Se întâmplă să nu existe raportor la îndemână. Apoi cercul poate fi împărțit în 6 părți egale folosind o busolă.

Desenăm un cerc, de exemplu, cu o rază de 5 cm (cerc roșu). Fără a schimba raza, transferăm piciorul busolei în cerc (punctul 1) și desenăm un alt cerc. Obținem două puncte de intersecție ale cercurilor negre și roșii 6 și 2.

Mutăm piciorul busolei în punctul 2 și desenăm din nou un cerc. Obtinem punctul 3.

Mutați piciorul busolei în punctul 3. Desenați din nou un cerc.

Astfel, continuăm să împărțim cercul până când îl împărțim în 6 părți egale.

Împărțirea unui cerc în părți egale, construind poligoane regulate

Împărțirea unui cerc în 4 și 8 părți egale

Capetele cu diametre reciproc perpendiculareACșiBD(Fig. 1) împărțiți cercul centrat în punctOîn 4 părți egale. Conectând capetele acestor diametre, puteți obține un pătratASoareD.

Dacă unghiulSOAîntre diametre reciproc perpendiculareAEșiCuG(Fig. 2) împărțiți în jumătate și trageți diametre reciproc perpendiculareD.H.șibf, apoi capetele lor vor împărți cercul centrat în punctOîn 8 părți egale. Conectând capetele acestor diametre, puteți obține un octogon obișnuitABCDEFGH.

Orez. 1 Fig. 2

Împărțirea unui cerc în 3, 6 și 12 părți

Pentru a împărți un cerc în 6 părți egale, utilizați egalitatea laturilor unui hexagon obișnuit cu raza cercului circumscris. Dat un cerc centrat într-un punctO(Fig. 3) și razaR, apoi de la capetele unuia dintre diametrele sale (puncteDARșiD), ca din centre, desenați arce de cerc cu razăR. Punctele de intersecție ale acestor arce cu un cerc dat îl vor împărți în 6 părți egale. Conectând în mod constant punctele găsite, obțineți hexagonul corectABCDEF.

Dacă cercul este în centru cu un punctO(Fig. 4) trebuie împărțit în 3 părți egale, apoi cu o rază egală cu raza acestui cerc, trebuie trasat un arc de la un singur capăt al diametrului, de exemplu, un punctD. puncteLAșiCuintersecția acestui arc cu un cerc dat, precum și un punctDARîmpărțiți pe acesta din urmă în 3 părți egale. Prin conectarea punctelorDAR, LAșiCu, puteți obține un triunghi echilateralABC.

Orez. 3 Fig. 4

Pentru a împărți cercul în 12 părți, împărțirea cercului în 6 părți se repetă de două ori (Fig. 5), folosind ca centre capetele diametrelor reciproc perpendiculare: puncteDARșiG, DșiJ. Punctele de intersecție ale arcelor desenate cu un cerc dat îl vor împărți în 12 părți. Prin conectarea punctelor construite, puteți obține dodecagonul corect.

Orez. 5

Împărțirea unui cerc în 5 părți

O(Fig. 6) în 5 părți, procedați după cum urmează. Una dintre razele cercului, de exempluOM, împărțit la jumătate prin metoda descrisă anterior. Din mijlocul segmentuluiOMpunctNrazăR1 , egal cu segmentulDARN, desenați un arc de cerc și marcați un punctRintersecția acestui arc cu diametrul căruia îi aparține razaOM. Segment de linieARegal cu latura unui pentagon regulat înscris într-un cerc. Deci de la finalDARdiametrul perpendicular peOM, razaR2 , egal cu segmentulAR, desenați un arc de cerc. puncteLAșiEintersecțiile acestui arc cu un cerc dat fac posibilă marcarea a două vârfuri ale pentagonului.

Încă două vârfuriCușiD) sunt punctele de intersecție ale arcelor de cerc cu razăR2 centrat în puncteLAșiEcu un cerc dat centrat în puncteO. Vârfurile unui pentagon regulatABCDEîmpărțiți cercul dat în 5 părți egale.

Orez. 6

Împărțirea unui cerc în 7 părți

A împărți un cerc centrat într-un punctO(Fig. 6) în 7 părți, este necesar să desenați un arc auxiliar din punctul 1 cu o razăR, egală cu raza cercului dat, care intersectează cercul în punctM. De la un punctNCobor perpendiculara pe linia centrală orizontală. De la un punctDARcu raza egală cu razaMN, faceți 7 serif în jurul cercului și obțineți șapte puncte dorite, conectând care obține un heptagon obișnuitABCDEFG.

Orez. 7

Împărțirea unui cerc într-un număr arbitrar de părți egale

Dacă niciuna dintre opțiunile considerate mai devreme nu satisface condiția sarcinii, atunci se folosește o tehnică care vă permite să împărțiți cercul într-un număr arbitrar de părți egale și să construiți poligoanele regulate înscrise în el cu un număr arbitrar de laturi, respectiv.

Luați în considerare o astfel de construcție folosind exemplul împărțirii unui cerc centrat într-un punctO(Fig. 8a) în 7 părți egale. În primul rând, trebuie să desenați două diametre reciproc perpendiculare, dintre care unul, de exemplu, trecând printr-un punctDAR, ar trebui împărțit în 7 părți egale, limitate de punctele 1 ... 7. De la un punctDAR, ca din centru, razaRegal cu diametrul unui cerc dat, este necesar să se deseneze un arc, a cărui intersecție cu continuarea celui de-al doilea diametru va determina puncteleR1 șiR2 . Apoi prin puncteR1 șiR2 (Fig. 8b), și chiar puncte obținute prin împărțirea diametruluiA7(punctele 2. 4 și 6), trageți linii drepte. puncteLA, Cu, DșiE, F, Gintersecția acestor drepte cu un cerc și un punct datDARîmpărțiți cercul cu centrulOîn 7 părți egale. Conectând în mod constant punctele construite, puteți desena un heptagon obișnuit înscris într-un cerc.

Orez. opt

Împărțirea unui cerc în patru părți egale și construirea unui patrulater regulat înscris(Fig. 6).

Două linii centrale reciproc perpendiculare împart cercul în patru părți egale. Prin legarea punctelor de intersecție ale acestor drepte cu cercul cu drepte se obține un patrulater regulat înscris.

Împărțirea unui cerc în opt părți egale și construirea unui octogon regulat înscris(Fig. 7).

Împărțirea cercului în opt părți egale se realizează folosind o busolă după cum urmează.

Din punctele 1 și 3 (punctele de intersecție ale liniilor centrale cu cercul) cu o rază arbitrară R, se trasează arce la intersecția reciprocă, cu aceeași rază din punctul 5, se face o crestătură pe arcul trasat din punctul 3. .

Se trasează linii drepte prin punctele de intersecție ale serifurilor și centrul cercului până când se intersectează cu cercul în punctele 2, 4, 6, 8.

Dacă cele opt puncte obținute sunt legate în serie prin linii drepte, atunci se va obține un octogon regulat înscris.

Împărțirea unui cerc în trei părți egale și construirea unui triunghi regulat înscris(Fig. 8).

Opțiunea 1.

Când împărțiți cercul cu o busolă în trei părți egale din orice punct al cercului, de exemplu, punctul A al intersecției liniilor centrale cu cercul, trageți un arc cu o rază R egală cu raza cercului, obțineți punctele 2 și 3. Al treilea punct de împărțire (punctul 1) va fi situat la capătul opus al diametrului , trecând prin punctul A. legând succesiv punctele 1, 2 și 3 se obține un triunghi regulat înscris.

Opțiunea 2.

La construirea unui triunghi înscris regulat, dacă se dă unul dintre vârfurile acestuia, de exemplu, punctul 1, se găsește punctul A. Pentru a face acest lucru, se trasează un diametru printr-un punct dat (Fig. 8). Punctul A va fi la capătul opus acestui diametru. Apoi se trasează un arc cu raza R egală cu raza cercului dat, se obțin punctele 2 și 3.

Împărțirea unui cerc în șase părți egale și construirea unui hexagon regulat înscris(Fig. 9).

Când se împarte cercul în șase părți egale folosind o busolă de la două capete de același diametru cu o rază egală cu raza cercului dat, se trasează arce până când se intersectează cu cercul în punctele 2, 6 și 3, 5. Conectarea punctele obţinute succesiv se obţine un hexagon regulat înscris.

Împărțirea unui cerc în douăsprezece părți egale și construirea unui dodecagon regulat înscris(Fig. 10).

La împărțirea unui cerc cu o busolă de la cele patru capete a două diametre reciproc perpendiculare ale cercului, se trasează un arc cu raza egală cu raza cercului dat, până când se intersectează cu cercul (Fig. 10). Prin conectarea punctelor de intersecție obținute în succesiune se obține un dodecagon regulat înscris.

Împărțirea unui cerc în cinci părți egale și construirea unui pentagon regulat înscris ( Fig.11).

La împărțirea unui cerc cu o busolă, jumătate din orice diametru (rază) se împarte în jumătate, se obține punctul A. Din punctul A, ca din centru, se trasează un arc cu o rază egală cu distanța de la punctul A la punct. 1, până când se intersectează cu a doua jumătate a acestui diametru în punctul B. Segmentul 1B este egal cu coarda care subtinde arcul, a cărei lungime este egală cu 1/5 din circumferință. Făcând serif pe un cerc cu raza R1 egală cu segmentul 1B, cercul este împărțit în cinci părți egale. Punctul de plecare A este ales în funcție de locația pentagonului.

Punctele 2 și 5 se construiesc din punctul 1, apoi punctul 3 se construiește din punctul 2, iar punctul 4 se construiește din punctul 5. Distanța de la punctul 3 până la punctul 4 se verifică cu o busolă; daca distanta dintre punctele 3 si 4 este egala cu segmentul 1B, atunci constructiile au fost executate exact.

Este imposibil să se efectueze serif secvențial, într-o direcție, deoarece erorile de măsurare se acumulează și ultima parte a pentagonului se dovedește a fi înclinată. Conectând în mod constant punctele găsite, se obține un pentagon regulat înscris.

Împărțirea unui cerc în zece părți egale și construirea unui decagon regulat înscris(Fig. 12).

Împărțirea cercului în zece părți egale se realizează în mod similar cu împărțirea cercului în cinci părți egale (Fig. 11), dar mai întâi cercul este împărțit în cinci părți egale, începând de la punctul 1 și apoi de la punctul 6, situat la capătul opus al diametrului. Prin legarea tuturor punctelor în serie se obține un decagon regulat înscris.

Împărțirea unui cerc în șapte părți egale și construirea unui heptagon regulat înscris(Fig. 13).

Din orice punct al cercului, de exemplu, punctul A, se trasează un arc cu raza unui cerc dat până când se intersectează cu un cerc în punctele B și D ale unei linii drepte.

Jumătate din segmentul rezultat (în acest caz, segmentul BC) va fi egal cu coarda care subtinde arcul, care este 1/7 din circumferință. Cu o rază egală cu segmentul BC, serifurile sunt făcute pe cerc în succesiunea prezentată la construirea unui pentagon regulat. Prin conectarea tuturor punctelor în serie, se obține un heptagon regulat înscris.

Împărțirea cercului în paisprezece părți egale și construirea unui unghi de paisprezece înscris regulat (Fig. 14).

Împărțirea cercului în paisprezece părți egale se realizează în mod similar cu împărțirea cercului în șapte părți egale (Fig. 13), dar mai întâi cercul este împărțit în șapte părți egale, începând de la punctul 1 și apoi de la punctul 8, situat la capătul opus al diametrului. Conectând toate punctele în serie, ele obțin un tetragon obișnuit înscris.

Cu ajutorul unei busole și a unei linii drepte, este posibil să împărțiți un cerc în mai mult decât orice număr de părți. Matematicienii au dovedit că este posibil să se împartă în 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, ..., 257, ... părți, dar nu în 7, 9, 11, 13, 14, ... părți .

Din păcate, nu există o modalitate unică de a împărți. Să aruncăm o privire la cele mai importante.

1) Împărțirea cercului în 6, 3, 12, 24, …, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) părți egale.

Incepand cu împărțind cercul în 6 părți. Pentru a face acest lucru, cu aceeași soluție a busolei cu care a fost desenat cercul, din orice punct al cercului, ca și din centru, este necesar să se deseneze un cerc. Apoi repetați procedura, luând ca centru punctul de intersecție al cercului inițial și al noului.

Pentru a împărți un cerc în 3 părți, trebuie să-l împărțiți în 6 părți și să luați puncte printr-una (Fig. 5a). Pentru a împărți un cerc în 12 părți, trebuie să-l împărțiți în 6 părți și să împărțiți fiecare arc în jumătate, apoi procesul de împărțire a arcurilor în jumătate poate fi continuat la nesfârșit.

Lungimea perpendicularei coborâte de la centrul cercului spre latura hexagonului este o bună aproximare pentru lungimea laturii heptagonului înscris în cerc (prezentată în Figura 5a prin hașurare). Lungimea perpendiculară ≈0,866R, lungimea laturii heptagonului ≈0,868R – precizie ≈2%.

2) Împărțirea cercului în 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) părți egale.

Puteți împărți cercul în 2 părți folosind o riglă trasând o linie dreaptă prin centrul cercului. Dar este posibil să amânați de 3 ori raza cercului din orice punct al cercului. Punctele de început și de sfârșit traversează cercul (prin ele se poate trasa un diametru - Fig. 5a). Pentru a împărți cercul în 4 părți, este necesar să împărțiți arcurile rezultate în jumătate. Execuția consecventă a împărțirii în jumătate a arcurilor rezultate asigură împărțirea cercului în 8, 16 etc. părți.

3) Împărțirea cercului în 5 părți.

Metoda de construcție adoptată în desen folosește raportul dintre latura unui decagon obișnuit ( un 10) și un pentagon regulat ( un 5)- a 5 2 = R 2 + a 10 2 . Construcția se realizează după cum urmează. Să trasăm 2 drepte perpendiculare prin centrul cercului O. A și B sunt punctele de intersecție cu cercul. Din punctul A, ca din centru, desenăm un cerc de aceeași rază (găsim mijlocul segmentului AO - punctul C). Din mijlocul segmentului AO al punctului C, desenăm un alt cerc cu raza CB. Segmentul BE este egal cu latura pentagonului, OE este egal cu decagonul (Fig. 5b).

Puteți împărți cercul în 5 și 10 părți în modul prezentat în Figura 5c. Segmentul BC este latura pentagonului, AC este latura decagonului. Despre proprietățile remarcabile ale pentagonului și decagonului și de ce metoda de construcție prezentată în Figura 5c este corectă, vom spune în capitolul următor.

Madrasah Kukeldash (secolul al XVI-lea, Tașkent)

Figura 5d demonstrează primirea unei soluții geometrice aproximative la problema împărțirii unui cerc în orice număr de părți. Să fie, de exemplu, să se împartă cercul dat în 7 părți egale. Construim un triunghi echilateral ABC pe diametrul cercului AB și împărțim diametrul AB la punctul D în raport cu AD:AB=2:7 (în general 2:n). Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați o linie auxiliară, să lăsați deoparte n + 2 segmente identice pe ea, să conectați punctul extrem cu punctul B și să trasați o linie paralelă cu linia BF prin al doilea punct. Desenați o linie DC până la intersecția cu cercul. Arcul AE va fi partea a 7-a a cercului (în cazul general, a n-a). Această metodă pentru n<11 дает погрешность не более 1%.

Algoritmii pentru împărțirea unui cerc în părți egale pot fi folosiți, de exemplu, pentru a construi puncte de referință pentru spirale - spirala lui Arhimede, numită după marele om de știință grec antic Arhimede (secolul III î.Hr.), care a studiat pentru prima dată această linie și spirala logaritmică. .