Teorema principală de analiză

Teorema principală de analiză sau formula Newton-Leibniz dă relaţia dintre două operaţii: luarea unei integrale definite şi calcularea antiderivatei

Cuvântare

Luați în considerare integrala funcției y = f(X) în cadrul unui număr constant A până la număr X, pe care o vom considera variabilă. Scriem integrala sub forma următoare:

Acest tip de integrală se numește integrală cu o limită superioară variabilă. Folosind teorema integrală medie în definită, este ușor să arătăm că o funcție dată este continuă și derivabilă. Și, de asemenea, derivata acestei funcții în punctul x este egală cu funcția integrabilă în sine. De aici rezultă că orice funcţie continuă are o antiderivată sub forma unei pătraturi: . Și deoarece clasa de antiderivate a funcției f diferă printr-o constantă, este ușor să arătăm că: integrala definită a funcției f este egală cu diferența dintre valorile antiderivatelor la punctele b și a

Fundația Wikimedia. 2010 .

• Pleiadele
• 6174 (număr)

Vedeți ce este „Teorema principală a analizei” în alte dicționare:

Teorema fundamentală a reziduurilor- Teorema reziduului este un instrument puternic pentru calcularea integralei unei funcții meromorfe pe un contur închis. De asemenea, este adesea folosit pentru a calcula integrale reale. Este o generalizare a teoremei integrale Cauchy și a integralei ...... Wikipedia

Teorema fundamentală a algebrei- afirmă că fiecare polinom neconstant (al unei variabile) cu coeficienți complexi are cel puțin o rădăcină în câmpul numerelor complexe. Formularea echivalentă a teoremei este următoarea: Câmpul numerelor complexe ... ... Wikipedia

teorema lui Newton- Formula lui Newton Leibniz sau teorema principală de analiză dă relația dintre două operații: luarea unei integrale definite și calcularea antiderivatei. Dacă este continuă pe un segment și are orice antiderivat pe acest segment, atunci are ... Wikipedia

formula Newton-Leibniz

Formula Newton - Leibniz- Teorema principală de analiză sau formula Newton-Leibniz oferă relația dintre două operații: luarea unei integrale definite și calcularea antiderivatei Formulare Considerați integrala funcției y \u003d f (x) variind de la un număr constant a la .. ... Wikipedia

Integral- Integrală definită ca aria unei figuri Acest termen are alte semnificații, vezi Integrală (dezambiguizare). Integrala unei funcții ... Wikipedia - pentru o funcție, aceasta este colecția tuturor antiderivate ale unei anumite funcții. Dacă o funcție este definită și continuă pe interval și antiderivata ei, adică la, atunci ... Wikipedia

Odată, eu și tatăl meu conduceam departe cu o mașină. Și acesta este un motiv bun pentru o conversație inteligentă.

Vorbim despre „teoremele de bază”. Teorema de bază a aritmeticii este că orice număr întreg poate fi descompus într-un produs de numere prime și într-un mod unic. Teorema de bază a algebrei este că un polinom are tot atâtea rădăcini câte gradul său (deși există un iad cu formulările). Și atunci teorema principală a analizei mi-a zburat cumva din cap atunci.

Tatăl a sugerat că teorema fundamentală a analizei este teorema Newton-Leibniz. "Despre ce este vorba?" Am întrebat. Tatăl: „Nu îmi amintesc formularea exactă, dar ceva despre faptul că integrarea este o operație inversă diferențierii.”

Stai, nu-i așa prin definiție?

Ca întotdeauna în cazul acestor teoreme fundamentale, ceea ce spun ei pare evident după ce ai trecut deja prin asta. Dar, de fapt, este teorema principală care ne permite să considerăm integrarea și diferențierea ca operații inverse. Raționamentul profund antiștiințific va merge mai departe, acolo unde orice matematician va găsi 100500 de erori formale, dar acest lucru nu este important acum.

Ce este diferențierea? Acesta este momentul în care desenăm o tangentă în fiecare punct al funcției și găsim tangenta unghiului la care trece la orizont, astfel:

Acum, dacă fiecărui punct i se atribuie tangenta găsită, atunci se va obține o nouă funcție, care se numește derivată. Permiteți-mi să vă reamintesc că numărul e că derivata funcţiei ex este egal cu ex, adică în fiecare punct, tangenta unghiului este doar egală cu valoarea funcției în sine.

Ce este integrarea? Aceasta înseamnă găsirea ariei unei figuri sub curba unei funcții delimitată de niște limite verticale. Ași b si axa orizontala:

Dacă împărțiți cu un număr tot mai mare de dreptunghiuri și vă uitați la limita sumei ariilor, atunci obțineți doar aria acestei cifre. Această zonă se numește integrală definită a funcției y = f(x) pe segmentul [ A; b] și este marcat astfel:

Sincer, nu este deloc evident că prostiile despre unghiuri și prostiile despre zonă sunt în general legate cumva.

Și așa sunt conectați. Derivata inversă a unei funcții se numește antiderivată. Antiderivat din f(x) este o astfel de funcție g(x) că derivatul său g´(x) = f(x). De exemplu, funcția y = X 2 + 8 derivat y = 2X. Deci pentru funcție y = X funcţie y = (X 2 / 2) + 4 este antiderivat.

Este ușor de observat că există un număr infinit de astfel de funcții. De exemplu, derivata funcției y = X 2 + 28 este de asemenea y = 2X. Deci pentru funcție y = X functie ( X 2 / 2) + 14 este, de asemenea, un antiderivat. Acest lucru este logic, deoarece derivata este unghiul din fiecare punct și este firesc ca acesta să nu se schimbe în funcție de înălțimea la care ridicăm pe verticală întregul grafic al funcției în ansamblu. Deci pentru funcție X primitiv este X 2/2 plus cât îți place.

Deci, se pare, pentru a găsi aria figurii sub funcție y = f(x) variind de la A inainte de b, trebuie să luați valorile oricăruia dintre antiderivatele sale g(x) la puncte bși A si scade unul din celalalt:

Aici g- deși oricare, dar totuși un fel de primitiv, prin urmare, „oricâte doriți” va fi la fel, vor fi scăzute unul de celălalt și nu vor afecta rezultatul. Puteți lua o funcție simplă, cum ar fi y = 2X, unde aria fără integrale este ușor de calculat în minte și de verificat. Lucrări!

Această formulă se numește teorema fundamentală a analizei sau teorema Newton-Leibniz. Dacă se dovedește, atunci putem deja numi constatarea integrării antiderivate și, în general, putem trata diferențierea și integrarea ca operații reciproc inverse.

§ 5. Teorema principală de analiză

1. Teorema principală. Conceptul de integrare și, într-o oarecare măsură, de diferențiere, a fost bine dezvoltat înainte de lucrările lui Newton și Leibniz. Dar era absolut necesar să se facă o descoperire foarte simplă pentru a da un impuls evoluției enorme a analizei matematice nou create. Două procese limită aparent necontigue, utilizate unul pentru diferențiere, celălalt pentru integrarea funcțiilor, s-au dovedit a fi strâns legate între ele. Într-adevăr, sunt reciproce

				operatii inverse,
				bun pentru operațiuni ca
				adunarea și scăderea, inteligent
				tăierea și împărțirea. diferit-
				socială şi integrală
				numerele sunt
				ceva unit.
				Marea realizare a lui New
				ton şi Leibniz este
				în aceea pentru prima dată ei
Orez. 274. Int jucat ca o funcție top				dar inteles si folosit
				această teoremă principală de analiză
				in spate. Fără îndoială, sunt deschiși

cravată lay n dar calea directă este dezvoltare științifică și deloc surprinzătoare Remarcabil, diferența Acești indivizi au ajuns independent și aproape simultan la o înțelegere clară a circumstanței de mai sus.

Pentru a formula cu precizie teorema principală, considerăm integrala funcției y = f(x) în intervalul de la un număr constant a la un număr x, pe care îl vom considera variabilă. Pentru a nu confunda limita superioară a integrării x cu variabila care apare sub semnul integral, scriem integrala sub următoarea formă (vezi pagina 428):

F(x)=Z

demonstrând astfel intenţia noastră de a studia integrala ca funcţie F(x) a limitei sale superioare (Fig. 274). Această funcție F (x) este aria de sub curba y = f(u) de la punctul u = a până la punctul u = x. Uneori, integrala F(x) cu o limită superioară variabilă se numește „integrală nedefinită”.

Teorema principală de analiză este următoarea:

Derivata integralei nedefinite (1) fata de limita sa superioara x este egala cu valoarea functiei f(u) in punctul u = x:

F 0 (x) = f(x).

TEOREMA PRINCIPALĂ DE ANALIZĂ

Cu alte cuvinte, procesul de integrare care duce de la funcția f(x) la funcția F(x) este „distrus” prin procesul invers de diferențiere aplicat funcției F(x).

Pe o bază intuitivă, dovada acestei propuneri nu este dificilă. Se bazează pe interpretarea integralei F(x) ca zonă și ar fi ascunsă dacă am încerca să trasăm funcția F(x) și să interpretăm derivata F0(x) ca panta corespunzătoare. Lăsând deoparte interpretarea geometrică stabilită anterior a derivatei, vom reține interpretarea geometrică a integralei F (x) ca zonă și vom deveni o metodă analitică de diferențiere a funcției F (x). Diferență

F (x1 ) − F (x)

este pur și simplu aria de sub curba y = f(u) dintre limitele u = x1 și u = x (Fig. 275), și este ușor de înțeles că valoarea numerică a acestei zone se află între numerele (x1 − x )m și (x1 − x) M:

(x1 − x)m 6 F (x1 ) − F (x) 6 (x1 − x)M,

unde M și m sunt, respectiv, cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției f(u) în intervalul de la u = x la u = x1 . Într-adevăr, aceste produse dau zonele a două dreptunghiuri, dintre care unul conține regiunea curbilinie în cauză, iar celălalt este conținut în aceasta.

Orez. 275. Despre demonstrarea teoremei principale

asta implică

m 6 F (x1 ) − F (x) 6 M. x1 − x

Să presupunem că funcția f(u) este continuă, astfel încât, pe măsură ce x1 tinde spre x, ambele mărimi M și m tind spre valoarea funcției f(u) în punctul u = x, adică spre valoarea lui f(x). În acest caz, se poate lua în considerare

468 ANALIZA MATEMATICĂ Cap. VIII

dovedit că
F 0 (x) = lim	F (x1 ) − F (x)
x1→x	x1 − x

Sensul intuitiv al acestui rezultat este că, pe măsură ce crește, rata de modificare a ariei de sub curba y = f(x) este egală cu înălțimea curbei la x.

În unele manuale, conținutul acestei teoreme principale este ascuns din cauza unei terminologii prost alese. Și anume, mulți autori introduc mai întâi conceptul de derivată, iar apoi definesc „integrala nedefinită” pur și simplu ca rezultat al operației inverse față de diferențiere: ei spun că funcția G(x) este o integrală nedefinită a funcției f (x) dacă

G0 (x) = f(x).

Astfel, acest mod de prezentare leagă direct diferențierea cu cuvântul „integral”. Abia mai târziu este introdus conceptul de „integrală definită”, tratat ca o zonă sau ca limită a unei succesiuni de sume, și nu se subliniază suficient că cuvântul „integral” înseamnă acum cu totul altceva decât înainte. Și acum se dovedește că cel mai important lucru conținut în teorie este dobândit doar pe furiș - prin ușa din spate, iar studentul întâmpină dificultăți serioase în eforturile sale de a înțelege esența problemei. Preferăm să numim funcții G(x) pentru care G0 (x) = f(x) nu „integrale nedefinite”, ci antiderivate ale funcției f(x). Atunci teorema principală poate fi formulată după cum urmează:

Funcția F (x), care este o integrală a funcției f(x) cu o limită inferioară constantă și o limită superioară variabilă x, este una dintre antiderivatele funcției f(x).

Spunem „una dintre” funcțiile antiderivative din motivul că, dacă G(x) este o funcție antiderivată a lui f(x), atunci este imediat clar că orice funcție de forma H(x) = G(x) + c (c - constantă arbitrară) este de asemenea o antiderivată, deoarece H0 (x) = G0 (x). Este adevărat și invers. Două funcții antiderivate G(x)

iar H(x) poate diferi unul de celălalt doar printr-un termen constant. Într-adevăr, diferența U(x) = G(x) − H(x) are ca derivată U0 (x) = G0 (x) − H0 (x) = f(x) − f(x) = 0, adică. , Adică această diferență este constantă, deoarece este evident că dacă graficul unei funcții este orizontal în fiecare dintre punctele sale, atunci funcția în sine, reprezentată de grafic, trebuie să fie cu siguranță constantă.

Aceasta conduce la o regulă foarte importantă pentru calcularea integralei dintre a și b - presupunând că cunoaștem o funcție antiderivată G(x) a funcției f(x). Conform principalului nostru

TEOREMA PRINCIPALĂ DE ANALIZĂ

teoremă, funcție

exista si o functie antiderivativa a functiei f(x). Deci F(x) =

G(x) + c, unde c este o constantă. Se va determina valoarea acestei constante,

dacă luăm în considerare că F (a) = f(u) du = 0. Aceasta implică:

0 = G(a) + c, deci c = −G(a). Atunci integrala definită dintre a și x satisface identic egalitatea

F (x) = f(u) du = G(x) − G(a);

înlocuirea x prin b duce la formula

f(u) du = G(b) − G(a),

indiferent care dintre funcțiile antiderivate a fost „lansată”. Cu alte cuvinte: pentru a calcula un anumit in-

integral f(x) dx, este suficient să găsim o funcție G(x) pentru care

roiați G0 (x) = f(x), și apoi faceți diferența G(b) − G(a).

2. Primele aplicații. Integrarea funcțiilor xr , cos x, sin x. funcția arctg x. Aici este imposibil să oferim o idee exhaustivă a rolului teoremei principale și ne limităm la a oferi câteva exemple expresive. În problemele întâlnite în mecanică și fizică sau în matematică însăși, este de foarte multe ori necesar să se calculeze valoarea numerică a unei integrale definite. O încercare directă de a găsi integrala ca limită poate fi insurmontabil de dificilă. Pe de altă parte, așa cum am văzut în § 3, orice diferențiere se realizează relativ ușor și nu este greu să acumulați un număr foarte mare de formule de diferențiere. Fiecare astfel de formulă G0 (x) = f(x), invers, poate fi considerată ca o formulă care definește funcția antiderivată G(x) a funcției f(x).

Formula (3) permite utilizarea funcției antiderivate cunoscute pentru a calcula integrala funcției f(x) într-un interval dat.

Dacă, de exemplu, dorim să găsim integrale ale puterilor x2, x3 sau xn în general, atunci cel mai simplu lucru este să procedăm așa cum este indicat în § 1. Prin formula de diferențiere a puterii, derivata lui xn este nxn−1.

470 ANALIZA MATEMATICĂ Cap. VIII

deci derivata functiei

G(x) = n x
	1 (n 6= -1)

exista o functie

G0 (x) = n n + + 1 1 xn = xn .

xn+1

În acest caz, funcția n + 1 este funcția antiderivată

în raport cu funcția f(x) = xn , și prin urmare obținem imediat formula

x n dx = G(b) − G(a) = b n+1 − a n+1 . n + 1

Acest argument este incomparabil mai simplu decât procedura greoaie de calcul direct a integralei ca limită a sumei.

Ca un caz mai general, am constatat în § 3 că pentru orice s rațional, atât pozitiv, cât și negativ, derivata funcției xs este egală cu sxs−1 și, prin urmare, pentru s = r + 1, funcția

x r+1

are o derivată f(x) = G0 (x) = xr (presupunem că r 6= −1,

x r+1

adică că este 6= 0). Deci funcția r + 1 este funcția antiderivată sau

„integrală nedefinită” a lui xr și obținem (pentru pozitiv a și b și pentru r 6= −1) formula

xr dx =	b r+1 − a r+1

În formula (4), trebuie să presupunem că funcția xr sub integrală este definită și continuă în intervalul de integrare, deci punctul x = 0 trebuie exclus dacă r< 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.

Dacă stabilim G(x) = − cos x, atunci obținem G0 (x) = sin x și, prin urmare, apare relația

sin xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a.

În mod similar, dacă G(x) = sin x, atunci G0 (x) = cos x și, prin urmare

cos xdx \u003d sin a - sin 0 \u003d sin a.

§ 5 TEOREMA PRINCIPALĂ DE ANALIZĂ 471

Un rezultat deosebit de interesant se obține din formula de diferențiere a funcției arctg x:

	Deoarece funcția arctg x este antiderivată față de funcție
							1+x2

apoi, pe baza formulei (3), putem scrie

arctan b − arctan 0 = Z 0	1 + x2dx.

Dar arctan 0 = 0 (o valoare zero a tangentei corespunde unei valori zero a unghiului). Deci avem

arctg b = Z 0

1+x2

În special,

sens

tangentă,

1, meci

la 45◦, care în măsura în radiani corespunde

pune p . Astfel, noi

primim

minunat

1 + x2dx.

spectacole

ce zonă

programa

1 + x 2 variind de la x = 0 la x =

1 este egal cu un sfert din suprafața unității

276. Zona sub Cree

nici un cerc.

în

3. Formula

Leibniz

1+x2

Oportunitati

pentru p . Ultimul rezultat

dintre cele mai frumoase

formule matematice descoperite în secolul al XVII-lea – la o variabilă de semn

la seria Leibniz, care permite calcularea p:

4 p = 1 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + 9 1 − 11 1 + . . .

+ simbol. . . ar trebui înțeles în sensul că succesiunea de „sume parțiale” finite obținute atunci când partea dreaptă a

de egalități, se iau numai n termeni ai sumei, tinde spre limita p at

creștere nelimitată de n.

ANALIZA MATEMATICĂ

Pentru a demonstra această formulă remarcabilă, trebuie doar să ne amintim formula pentru suma unei progresii geometrice finite

1 − qn = 1 + q + q2 + . . . + qn−1 ,

unde „termenul rezidual” Rn este exprimat prin formula

Rn = (−1)n x 2n 2 .

Egalitatea (8) poate fi integrată în intervalul de la 0 la 1. Urmând regula a) de la § 3, trebuie să luăm suma integralelor termenilor individuali din partea dreaptă. Pe baza (4) știm că

xm dx =

bm+1

− am+1

în special, primim

xm dx =

de unde, până

1+x2

1 − 3 +

Si in consecinta,

− 7

+ . . . + (−1)n−1

2n − 1 + Tn ,

p R0

1+x2

Tn = (

Conform formulei (5), partea stângă a formularului este

ly (9 ) este

diferență între

și sumă privată

(−1)n−1

Sn = 1 -

− Sn = Tn . Rămâne de demonstrat că Tn tinde spre zero ca

crescând n. Avem o inegalitate

x 2n 6 x2n .

1+x2

Reamintind formula (13) § 1, care stabilește inegalitatea

f(x) dx 6 g(x) dx pentru f(x) 6 g(x) și a< b,

Conceptul de integrare și, într-o oarecare măsură, de diferențiere, a fost bine dezvoltat înainte de lucrările lui Newton și Leibniz. Dar era absolut necesar să se facă o descoperire foarte simplă pentru a da un impuls evoluției enorme a analizei matematice nou create. Două procese limitative aparent necontigue, utilizate unul pentru diferențiere, celălalt pentru integrarea funcțiilor, s-au dovedit a fi strâns legate. Într-adevăr, ele sunt operații reciproc inverse, precum operații precum adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea. Calculul diferențial și integral sunt un singur lucru.

Marea realizare a lui Newton și Leibniz este că pentru prima dată au realizat și utilizat clar această teoremă de analiză de bază. Fără îndoială, descoperirea lor se afla în calea directă a dezvoltării științifice naturale și nu este deloc surprinzător că diferite persoane au ajuns independent și aproape simultan la o înțelegere clară a circumstanței de mai sus.

Orez. 274. Integrală ca funcție a limitei superioare

Pentru a formula cu precizie teorema principală, considerăm integrala unei funcții care variază de la un număr constant a la un număr x, pe care o vom considera variabilă. Pentru a nu confunda limita superioară a integrării x cu variabila care apare sub semnul integral, scriem integrala sub următoarea formă (vezi p. 459):

demonstrând astfel intenţia noastră de a studia integrala în funcţie de limita sa superioară (Fig. 274). Această funcție este aria de sub curba de la un punct la altul. Uneori, o integrală cu o limită superioară variabilă este numită „integrală nedefinită”.

Teorema principală de analiză se arată în felul următor: Derivata integralei nedefinite (1) în raport cu limita sa superioară x este egală cu valoarea funcției în punctul

Cu alte cuvinte, procesul de integrare care duce de la funcție la funcție este „distrus” de procesul invers de diferențiere aplicat funcției

Orez. 275. Despre demonstrarea teoremei principale

Pe o bază intuitivă, dovada acestei propuneri nu este dificilă. Se bazează pe interpretarea integralei ca zonă și ar fi ascunsă dacă am încerca să trasăm funcția și să interpretăm derivata ca panta corespunzătoare. Lăsând deoparte interpretarea geometrică stabilită anterior a derivatei, vom reține interpretarea geometrică a integralei ca zonă și vom deveni o metodă analitică de diferențiere a unei funcții. Diferență

există pur și simplu aria de sub curba dintre limite (Fig. 275) și nu este greu de înțeles că valoarea numerică a acestei zone este închisă între numere.

unde sunt (respectiv, cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției în intervalul de la până la) Într-adevăr, aceste produse dau ariile a două dreptunghiuri, dintre care unul conține regiunea curbilinie în cauză, iar celălalt este conținut în aceasta.

Asta implică:

Să presupunem că funcția este continuă, astfel încât ambele mărimi tind spre valoarea funcției

la punctul , adică la valoarea În acest caz, putem considera că este dovedit că

Semnificația intuitivă a acestui rezultat este că, pe măsură ce crește, rata de modificare a zonei de sub curbă este egală cu înălțimea curbei la x.

În unele manuale, conținutul acestei teoreme principale este ascuns din cauza unei terminologii prost alese. Și anume, mulți autori introduc mai întâi conceptul de derivată, iar apoi definesc „integrala nedefinită” pur și simplu ca rezultat al operației inverse diferențierii: ei spun că o funcție este o integrală nedefinită a unei funcții dacă

Astfel, acest mod de prezentare leagă direct diferențierea cu cuvântul „integral”. Abia mai târziu este introdus conceptul de „integrală definită”, tratat ca o zonă sau ca limită a unei succesiuni de sume, și nu se subliniază suficient că cuvântul „integral” înseamnă acum cu totul altceva decât înainte. Și acum se dovedește că cel mai important lucru conținut în teorie este dobândit doar pe furiș - prin ușa din spate, iar studentul întâmpină dificultăți serioase în eforturile sale de a înțelege esența problemei. Preferăm funcții pentru care numim „integrale nedefinite”, ci funcții antiderivate ale unei funcții, atunci teorema principală poate fi formulată după cum urmează:

O funcție care este o integrală a unei funcții cu o limită inferioară constantă și o limită superioară variabilă x este una dintre funcțiile antiderivative ale funcției

Spunem „una dintre” funcțiile antiderivate din motivul că dacă este o funcție antiderivată a atunci este imediat clar că orice funcție a formei (c este o constantă arbitrară) este și o antiderivată, deoarece afirmația inversă este și adevărată. Două funcții antiderivate pot diferi una de cealaltă doar printr-un termen constant. Într-adevăr, diferența are ca derivată i.e. această diferență este constantă, deoarece este evident că dacă funcția grafică în fiecare

Conceptul de integrare și, într-o oarecare măsură, de diferențiere, a fost bine dezvoltat înainte de lucrările lui Newton și Leibniz. Dar era absolut necesar să se facă o descoperire foarte simplă pentru a da un impuls evoluției enorme a analizei matematice nou create. Două procese limitative aparent necontigue, utilizate unul pentru diferențiere, celălalt pentru integrarea funcțiilor, s-au dovedit a fi strâns legate. Într-adevăr, ele sunt operații reciproc inverse, precum operații precum adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea. Calculul diferențial și integral sunt un singur lucru.

Marea realizare a lui Newton și Leibniz este că pentru prima dată au recunoscut și folosit clar acest lucru teorema principală de analiză. Fără îndoială, descoperirea lor se afla în calea directă a dezvoltării științifice naturale și nu este deloc surprinzător că diferite persoane au ajuns independent și aproape simultan la o înțelegere clară a circumstanței de mai sus.

Pentru a formula exact teorema principală, considerăm integrala funcției y=f(x) variind de la un număr constant a la un număr x, pe care îl vom considera variabil. Pentru a nu confunda limita superioară a integrării x cu variabila care apare sub semnul integral, scriem integrala sub următoarea formă (vezi p. 435):

demonstrând astfel intenția noastră de a studia integrala în funcție de F(x) a limitei sale superioare (Fig. 274). Această funcție F(x) este aria de sub curbă y=f(u) din punct de vedere u = a până la punctul u=x. Uneori, integrala F(x) cu o limită superioară variabilă se numește „integrală nedefinită”.

Teorema principală de analiză este următoarea: Derivata integralei nedefinite (1) fata de limita sa superioara x este egala cu valoarea functiei f (u) in punctul u = x:

F "(x) \u003d f (x).

Cu alte cuvinte, procesul de integrare care duce de la funcția f(x) la funcția F(x) este „distrus” prin procesul invers de diferențiere aplicat funcției F(x).

Pe o bază intuitivă, dovada acestei propuneri nu este dificilă. Se bazează pe interpretarea integralei F(x) ca zonă și ar fi ascunsă dacă am încerca să trasăm funcția F(x) și să interpretăm derivata F"(x) ca panta corespunzătoare. Lăsând deoparte cele de mai sus interpretarea geometrică stabilită a derivatei , vom păstra interpretarea geometrică a integralei F (x) ca zonă și diferențierea funcției F (x) va deveni o metodă analitică.

F (x 1) - F (x)

este doar aria de sub curbă y=f(u)între limitele u = x 1 şi u=x(Fig. 275), și este ușor de înțeles că valoarea numerică a acestei zone este cuprinsă între numere (x 1 - x)mși (x 1 - x) M:

(x 1 - x)m≤F (x 1) - F (x) ≤(x 1 - x) M,

unde M și m sunt, respectiv, cele mai mari și, respectiv, cele mai mici valori ale funcției f (u) în intervalul de la u = x la u = x 1 . Într-adevăr, aceste produse dau zonele a două dreptunghiuri, dintre care unul conține regiunea curbilinie în cauză, iar celălalt este conținut în aceasta.

Asta implică:

Să presupunem că funcția f (u) este continuă, astfel încât, pe măsură ce x 1 tinde spre x, ambele mărimi M și m tind la valoarea funcției f (u) în punctul u \u003d x, adică la valoarea lui f (x). În acest caz, se poate considera dovedit că

Semnificația intuitivă a acestui rezultat este că, pe măsură ce rata de modificare a zonei de sub curbă crește, y=f(x) egală cu înălțimea curbei la x.

În unele manuale, conținutul acestei teoreme principale este ascuns de o terminologie prost aleasă. Și anume, mulți autori introduc mai întâi conceptul de derivată, iar apoi definesc „integrala nedefinită” pur și simplu ca rezultat al operației inverse diferențierii: ei spun că funcția G (x) este o integrală nedefinită a funcției f (x). ) dacă

G"(x) = f(x).

Astfel, acest mod de prezentare leagă direct diferențierea cu cuvântul „integral”. Abia mai târziu este introdus conceptul de „integrală definită”, tratat ca o zonă sau ca limită a unei succesiuni de sume, și nu se subliniază suficient că cuvântul „integral” înseamnă acum cu totul altceva decât înainte. Și acum se dovedește că cel mai important lucru conținut în teorie este dobândit doar pe furiș din ușa din spate, iar studentul întâmpină dificultăți serioase în eforturile sale de a înțelege esența problemei. Preferăm funcțiile G(x) pentru care G "(x) \u003d f (x), nu numesc „integrale nedefinite”, ci funcții antiderivate din funcția f(x). Atunci teorema principală poate fi formulată după cum urmează:

Funcția F (x), care este integrala funcției f (x) cu limită inferioară și superioară constantă x, este una dintre antiderivatele funcției f (x).

Spunem „una dintre” funcțiile antiderivative din motivul că, dacă G(x) este o funcție antiderivată a lui f(x), atunci este imediat clar că orice funcție de forma H(x) = G(x) + c(c este o constantă arbitrară) este, de asemenea, o antiderivată, deoarece H „(x) = G” (x). Este adevărat și invers. Cele două funcții antiderivate G(x) și H(x) pot diferi una de cealaltă doar printr-un termen constant.Într-adevăr, diferența U(x) = G(x) - H(x) are ca derivat U "(x) \u003d G" (x) - H "(x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0, adică această diferență este constantă, deoarece este evident că dacă graficul unei funcții este orizontal în fiecare dintre punctele sale, atunci funcția însăși, reprezentată de grafic, trebuie să fie cu siguranță constantă.