O ecuație cu o necunoscută, care, după deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, ia forma
ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.
De exemplu, toate ecuațiile:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - liniar.
Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o egalitate adevărată decizie sau rădăcina ecuației .
De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 \u003d 13 înlocuim numărul 2 în loc de necunoscutul x, atunci obținem egalitatea corectă 3 2 + 7 \u003d 13. Aceasta înseamnă că valoarea x \u003d 2 este soluția sau rădăcina ecuației.
Și valoarea x \u003d 3 nu transformă ecuația 3x + 7 \u003d 13 într-o egalitate adevărată, deoarece 3 2 + 7 ≠ 13. Prin urmare, valoarea x \u003d 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.
Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la soluția ecuațiilor de forma
ax + b = 0.
Transferăm termenul liber din partea stângă a ecuației la dreapta, în timp ce schimbăm semnul din fața lui b la opus, obținem
Dacă a ≠ 0, atunci x = – b/a .
Exemplul 1 Rezolvați ecuația 3x + 2 =11.
Transferăm 2 din partea stângă a ecuației la dreapta, în timp ce schimbăm semnul din fața lui 2 la opus, obținem
3x \u003d 11 - 2.
Să facem scăderea, atunci
3x = 9.
Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9:3.
Deci valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.
Răspuns: x = 3.
Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d 0. Această ecuație are infinit de soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b este, de asemenea, 0. Soluția acestei ecuații este orice număr.
Exemplul 2 Rezolvați ecuația 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Să extindem parantezele:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Iată membri similari:
0x = 0.
Răspuns: x este orice număr.
Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b ≠ 0.
Exemplul 3 Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.
Să grupăm termenii care conțin necunoscute în partea stângă și termenii liberi în partea dreaptă:
x - x \u003d 5 - 8.
Iată membri similari:
0x = - 3.
Răspuns: fără soluții.
Pe figura 1 este prezentată schema de rezolvare a ecuaţiei liniare
Să compunem o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor cu o variabilă. Luați în considerare soluția exemplului 4.
Exemplul 4 Să rezolvăm ecuația
1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.
2) După reducere obținem
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Pentru a separa membrii care conțin membri necunoscuți și liberi, deschideți paranteze:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Grupăm într-o parte termenii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - termeni liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Iată membri similari:
- 22x = - 154.
6) Împărțiți la - 22 , obținem
x = 7.
După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.
În general, așa ecuațiile pot fi rezolvate după cum urmează:
a) aduceți ecuația într-o formă întreagă;
b) paranteze deschise;
c) grupează termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației, iar termenii liberi în cealaltă;
d) aduce membri similari;
e) rezolvați o ecuație de forma aх = b, care s-a obținut după aducerea unor termeni similari.
Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvați multe ecuații mai simple, trebuie să începeți nu de la prima, ci de la a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. treisprezece) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.
Exemplul 5 Rezolvați ecuația 2x = 1/4.
Găsim necunoscutul x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .
Luați în considerare soluția unor ecuații liniare întâlnite la examenul de stat principal.
Exemplul 6 Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Răspuns: - 0,125
Exemplul 7 Rezolvați ecuația - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Răspuns: 2.3
Exemplul 8 Rezolvați ecuația
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
Exemplul 9 Găsiți f(6) dacă f (x + 2) = 3 7
Decizie
Deoarece trebuie să găsim f(6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.
Rezolvăm ecuația liniară x + 2 = 6,
obținem x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Dacă x = 4 atunci
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Raspuns: 27.
Dacă mai aveți întrebări, există dorința de a înțelege mai bine soluția ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele în PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!
TutorOnline vă recomandă, de asemenea, vizionarea unui nou tutorial video de la tutorele noastre Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.
site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Rezolvăm ecuația rațională fracțională 5/x = 100. Această ecuație poate fi rezolvată în două moduri. Să ne uităm la fiecare dintre ele.
Plan pentru rezolvarea ecuației 5/x = 100
- găsiți intervalul de valori admisibile pentru ecuația dată;
- prima modalitate de a rezolva o ecuație este considerând-o ca o proporție;
- a doua modalitate de a rezolva ecuația este găsirea divizorului necunoscut.
Găsirea termenului necunoscut al proporției
Mai întâi, să găsim ecuația ODZ. Există un semn de fracție în partea stângă a ecuației și este echivalent cu semnul diviziunii. Știm că nu poți împărți la zero. Deci din ODZ trebuie să excludem valorile care transformă numitorul la zero.
ODZ: x aparține lui R\(0).
Acum să ne uităm la ecuația noastră ca proporție.
Proprietatea de bază a proporției.
Produsul termenilor extremi ai unei proporții este egal cu produsul termenilor ei medii.
Pentru proporție a:b = c:d sau a/b = c/d proprietatea principală este scrisă astfel: a d = b c.
Să o aplicăm și să obținem o ecuație liniară:
100 * x = 5 * 1;
Împărțiți ambele părți ale ecuației la 100, scăpând astfel de coeficientul din fața variabilei x:
Găsirea divizorului necunoscut
Să privim ecuația ca pe una privată. Unde dividendul este 5, divizorul este x, iar rezultatul împărțirii este coeficientul este 100.
Amintiți-vă regula cum să găsiți un divizor necunoscut - trebuie să împărțiți dividendul la coeficient.
Rădăcina găsită aparține ecuației ODZ.
Să verificăm soluția găsită a ecuației. Pentru a face acest lucru, înlocuim rădăcina găsită în ecuația originală și efectuăm calculele:
Solutia a fost gasita corect.
Una dintre cele mai importante abilități în admiterea in clasa a V-a este capacitatea de a rezolva ecuații simple. Deoarece clasa a 5-a nu este încă atât de departe de școala elementară, nu există atât de multe tipuri de ecuații pe care un elev să le poată rezolva. Vă vom prezenta toate tipurile principale de ecuații pe care aveți nevoie pentru a le putea rezolva dacă doriți inscrie-te la o scoala de fizica si matematica.
1 tip: "bulbos"
Acestea sunt ecuații pe care aproape sigur le vei întâlni când admiterea la orice școală sau un cerc de clasa a 5-a ca sarcină separată. Sunt ușor de distins de altele: conțin o variabilă o singură dată. De exemplu, sau.
Se rezolvă foarte simplu: trebuie doar să „ajungi” la necunoscut, „eliminând” treptat tot ce este de prisos care îl înconjoară – ca și cum ai curăța o ceapă – de unde și numele. Pentru a o rezolva, este suficient să ne amintim câteva reguli din clasa a doua. Să le enumerăm pe toate:
Plus
- termen1 + termen2 = suma
- termen1 = suma - termen2
- termen2 = suma - termen1
Scădere
- minuend - subtraend = diferență
- minuend = subtraend + diferență
- subtrahend = minuend - diferență
Multiplicare
- multiplicator1 * multiplicator2 = produs
- multiplicator1 = produs: multiplicator2
- multiplicator2 = produs: multiplicator1
Divizia
- dividend: divizor = coeficient
- dividend = divizor * coeficient
- divisor = dividend: coeficient
Să ne uităm la un exemplu de aplicare a acestor reguli.
Rețineți că împărtășim pe și obținem . În această situație, cunoaștem divizorul și câtul. Pentru a găsi dividendul, trebuie să înmulțiți divizorul cu câtul:
Ne-am apropiat puțin de noi înșine. Acum vedem că adaugat si obtinut. Deci, pentru a găsi unul dintre termeni, trebuie să scădeți termenul cunoscut din sumă:
Și încă un „strat” este îndepărtat din necunoscut! Acum vedem o situație cu o valoare cunoscută a produsului () și un multiplicator cunoscut ().
Acum situația este „redusă - scăzută = diferență”
Iar ultimul pas este produsul cunoscut () și unul dintre factorii ()
2 tip: ecuații cu paranteze
Ecuațiile de acest tip se găsesc cel mai adesea în probleme - 90% din toate problemele pt admiterea in clasa a 5-a. Spre deosebire de „ecuații de ceapă” variabila de aici poate apărea de mai multe ori, deci este imposibil să o rezolvi folosind metodele din paragraful anterior. Ecuații tipice: sau
Principala dificultate este deschiderea corectă a parantezelor. După ce am reușit să facem acest lucru corect, ar trebui să aducem termeni similari (numere la numere, variabile la variabile), iar după aceea obținem cei mai simpli „ecuația ceapă” pe care le putem rezolva. Dar mai întâi lucrurile.
Extindere suport. Vom oferi câteva reguli care ar trebui folosite în acest caz. Dar, așa cum arată practica, elevul începe să deschidă corect parantezele numai după 70-80 de probleme rezolvate. Regula de bază este următoarea: orice factor din afara parantezei trebuie înmulțit cu fiecare termen din paranteze. Iar minusul dinaintea parantezei schimbă semnul tuturor expresiilor care se află înăuntru. Deci, regulile de bază de dezvăluire:
Aducerea asemănătoare. Totul este mult mai ușor aici: prin transferul termenilor prin semnul egal, trebuie să vă asigurați că, pe de o parte, există numai termeni cu necunoscut, iar pe de altă parte - numai numere. Regula de bază este următoarea: fiecare termen transportat își schimbă semnul - dacă a fost cu, atunci va deveni cu și invers. După un transfer reușit, este necesar să numărați numărul total de necunoscute, numărul final de cealaltă parte a egalității decât variabilele și să rezolvați o simplă „ecuația ceapă”.