Să ne amintim mai întâi definiția unei soluții a unui sistem de ecuații în două variabile.

Definiția 1

O pereche de numere se numește soluție a unui sistem de ecuații cu două variabile dacă, atunci când sunt substituite în ecuație, se obține egalitatea corectă.

În cele ce urmează, vom lua în considerare sisteme de două ecuații cu două variabile.

Exista patru modalități de bază de a rezolva sisteme de ecuații: metoda substituirii, metoda adaugarii, metoda grafica, metoda noua de gestionare a variabilelor. Să ne uităm la aceste metode cu exemple specifice. Pentru a descrie principiul utilizării primelor trei metode, vom lua în considerare un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:

Metoda de înlocuire

Metoda substituției este următoarea: se ia oricare dintre aceste ecuații și se exprimă $y$ în termeni de $x$, apoi se substituie $y$ în ecuația sistemului, de unde se găsește variabila $x.$. După aceea, putem calcula cu ușurință variabila $y.$

Exemplul 1

Să exprimăm din a doua ecuație $y$ în termeni de $x$:

Înlocuiți în prima ecuație, găsiți $x$:

\ \ \

Găsiți $y$:

Răspuns: $(-2,\ 3)$

Metoda de adunare.

Luați în considerare această metodă cu un exemplu:

Exemplul 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Înmulțind a doua ecuație cu 3, obținem:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Acum să adunăm ambele ecuații împreună:

\ \ \

Găsiți $y$ din a doua ecuație:

\[-6-y=-9\] \

Răspuns: $(-2,\ 3)$

Observație 1

Rețineți că în această metodă este necesar să se înmulțească una sau ambele ecuații cu astfel de numere încât la adăugarea uneia dintre variabile „dispare”.

Mod grafic

Metoda grafică este următoarea: ambele ecuații ale sistemului sunt afișate pe planul de coordonate și se găsește punctul de intersecție a acestora.

Exemplul 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Să exprimăm $y$ din ambele ecuații în termeni de $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Să desenăm ambele grafice pe același plan:

Poza 1.

Răspuns: $(-2,\ 3)$

Cum se introduc noi variabile

Vom lua în considerare această metodă în următorul exemplu:

Exemplul 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Decizie.

Acest sistem este echivalent cu sistemul

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ dreapta.\]

Fie $2^x=u\ (u>0)$ și $3^y=v\ (v>0)$, obținem:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Rezolvăm sistemul rezultat prin metoda adunării. Să adăugăm ecuațiile:

\ \

Apoi, din a doua ecuație, obținem asta

Revenind la înlocuire, obținem un nou sistem de ecuații exponențiale:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Primim:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Mai fiabilă decât metoda grafică discutată în paragraful anterior.

Metoda de înlocuire

Am folosit această metodă în clasa a VII-a pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare. Algoritmul care a fost dezvoltat în clasa a VII-a este destul de potrivit pentru rezolvarea sistemelor de oricare două ecuații (nu neapărat liniare) cu două variabile x și y (desigur, variabilele pot fi notate cu alte litere, ceea ce nu contează). De fapt, am folosit acest algoritm în paragraful anterior, când problema unui număr de două cifre a condus la un model matematic, care este un sistem de ecuații. Am rezolvat mai sus acest sistem de ecuații prin metoda substituției (vezi exemplul 1 din § 4).

Algoritm pentru utilizarea metodei substituției la rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două variabile x, y.

1. Exprimați y în termeni de x dintr-o ecuație a sistemului.
2. Înlocuiți expresia rezultată în loc de y într-o altă ecuație a sistemului.
3. Rezolvați ecuația rezultată pentru x.
4. Înlocuiți pe rând fiecare dintre rădăcinile ecuației găsite la a treia etapă în loc de x în expresia de la y la x obținută la prima etapă.
5. Notați răspunsul sub formă de perechi de valori (x; y), care au fost găsite, respectiv, în pasul al treilea și al patrulea.

4) Înlocuiți pe rând fiecare dintre valorile găsite ale lui y în formula x \u003d 5 - Zy. Daca atunci
5) Perechi (2; 1) și soluții ale unui sistem de ecuații dat.

Răspuns: (2; 1);

Metoda adunării algebrice

Această metodă, ca și metoda substituției, vă este familiară de la cursul de algebră de clasa a VII-a, unde a fost folosită pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Reamintim esența metodei în exemplul următor.

Exemplul 2 Rezolvați un sistem de ecuații

Înmulțim toți termenii primei ecuații a sistemului cu 3 și lăsăm neschimbată a doua ecuație:
Scădeți a doua ecuație a sistemului din prima sa ecuație:

Ca rezultat al adunării algebrice a două ecuații ale sistemului original, s-a obținut o ecuație care este mai simplă decât prima și a doua ecuație a sistemului dat. Cu această ecuație mai simplă, avem dreptul de a înlocui orice ecuație a unui sistem dat, de exemplu, pe a doua. Apoi sistemul de ecuații dat va fi înlocuit cu un sistem mai simplu:

Acest sistem poate fi rezolvat prin metoda substituției. Din a doua ecuație găsim Înlocuind această expresie în loc de y în prima ecuație a sistemului, obținem

Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale x în formulă

Dacă x = 2 atunci

Astfel, am găsit două soluții la sistem:

Metoda de introducere a noilor variabile

Te-ai familiarizat cu metoda de introducere a unei noi variabile la rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă la cursul de algebră de clasa a VIII-a. Esența acestei metode de rezolvare a sistemelor de ecuații este aceeași, dar din punct de vedere tehnic, există câteva caracteristici pe care le vom discuta în exemplele următoare.

Exemplul 3 Rezolvați un sistem de ecuații

Să introducem o nouă variabilă. Atunci prima ecuație a sistemului poate fi rescrisă într-o formă mai simplă: Să rezolvăm această ecuație în raport cu variabila t:

Ambele valori satisfac condiția și, prin urmare, sunt rădăcinile unei ecuații raționale cu variabila t. Dar asta înseamnă fie de unde găsim că x = 2y, fie
Astfel, cu ajutorul metodei de introducere a unei noi variabile, am putut, parcă, să „stratificăm” prima ecuație a sistemului, care este destul de complexă în aparență, în două ecuații mai simple:

x = 2 y; y - 2x.

Ce urmeaza? Și apoi fiecare dintre cele două ecuații simple obținute trebuie luată în considerare pe rând într-un sistem cu ecuația x 2 - y 2 \u003d 3, pe care nu ne-am amintit încă. Cu alte cuvinte, problema se reduce la rezolvarea a două sisteme de ecuații:

Este necesar să găsiți soluții pentru primul sistem, al doilea sistem și să includeți toate perechile de valori rezultate în răspuns. Să rezolvăm primul sistem de ecuații:

Să folosim metoda substituției, mai ales că totul este gata pentru asta aici: înlocuim expresia 2y în loc de x în a doua ecuație a sistemului. obține

Deoarece x \u003d 2y, găsim x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Astfel, se obțin două soluții pentru sistemul dat: (2; 1) și (-2; -1). Să rezolvăm al doilea sistem de ecuații:

Să folosim din nou metoda substituției: înlocuim expresia 2x în loc de y în a doua ecuație a sistemului. obține

Această ecuație nu are rădăcini, ceea ce înseamnă că sistemul de ecuații nu are soluții. Astfel, doar soluțiile primului sistem ar trebui incluse în răspuns.

Răspuns: (2; 1); (-2;-1).

Metoda introducerii de noi variabile în rezolvarea sistemelor de două ecuații cu două variabile este utilizată în două versiuni. Prima opțiune: o nouă variabilă este introdusă și utilizată într-o singură ecuație a sistemului. Este exact ceea ce sa întâmplat în exemplul 3. A doua opțiune: două variabile noi sunt introduse și utilizate simultan în ambele ecuații ale sistemului. Acesta va fi cazul în exemplul 4.

Exemplul 4 Rezolvați un sistem de ecuații

Să introducem două variabile noi:

Învățăm asta atunci

Acest lucru ne va permite să rescriem sistemul dat într-o formă mult mai simplă, dar cu privire la noile variabile a și b:

Deoarece a \u003d 1, atunci din ecuația a + 6 \u003d 2 găsim: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Astfel, pentru variabilele a și b, avem o soluție:

Revenind la variabilele x și y, obținem sistemul de ecuații

Aplicam metoda adunarii algebrice pentru a rezolva acest sistem:

De atunci din ecuația 2x + y = 3 găsim:
Astfel, pentru variabilele x și y, avem o soluție:

Să încheiem această secțiune cu o scurtă, dar destul de serioasă discuție teoretică. Ai acumulat deja ceva experiență în rezolvarea diverselor ecuații: liniare, pătrate, raționale, iraționale. Știți că ideea principală a rezolvării unei ecuații este trecerea treptat de la o ecuație la alta, mai simplă, dar echivalentă cu cea dată. În secțiunea anterioară, am introdus noțiunea de echivalență pentru ecuațiile cu două variabile. Acest concept este folosit și pentru sistemele de ecuații.

Definiție.

Se spune că două sisteme de ecuații cu variabile x și y sunt echivalente dacă au aceleași soluții sau dacă ambele sisteme nu au soluții.

Toate cele trei metode (substituție, adunare algebrică și introducere de noi variabile) pe care le-am discutat în această secțiune sunt absolut corecte din punct de vedere al echivalenței. Cu alte cuvinte, folosind aceste metode, înlocuim un sistem de ecuații cu altul, mai simplu, dar echivalent cu sistemul original.

Metoda grafica de rezolvare a sistemelor de ecuatii

Am învățat deja cum să rezolvăm sisteme de ecuații în moduri atât de comune și de încredere, cum ar fi metoda de substituție, adunarea algebrică și introducerea de noi variabile. Și acum să ne amintim metoda pe care ați studiat-o deja în lecția anterioară. Adică să repetăm ​​ceea ce știi despre metoda soluției grafice.

Metoda de rezolvare grafică a sistemelor de ecuații este construirea unui grafic pentru fiecare dintre ecuațiile specifice care sunt incluse în acest sistem și se află în același plan de coordonate și, de asemenea, acolo unde este necesar să se găsească intersecția punctelor acestor grafice. . Pentru a rezolva acest sistem de ecuații sunt coordonatele acestui punct (x; y).

Trebuie amintit că este obișnuit ca un sistem grafic de ecuații să aibă fie o singură soluție corectă, fie un număr infinit de soluții, fie să nu aibă deloc soluții.

Acum să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre aceste soluții. Și astfel, sistemul de ecuații poate avea o soluție unică dacă liniile, care sunt graficele ecuațiilor sistemului, se intersectează. Dacă aceste drepte sunt paralele, atunci un astfel de sistem de ecuații nu are absolut nicio soluție. În cazul coincidenței graficelor directe ale ecuațiilor sistemului, atunci un astfel de sistem vă permite să găsiți multe soluții.

Ei bine, acum să aruncăm o privire la algoritmul pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu 2 necunoscute folosind o metodă grafică:

Mai întâi, la început construim un grafic al primei ecuații;
Al doilea pas va fi trasarea unui grafic care se referă la a doua ecuație;
În al treilea rând, trebuie să găsim punctele de intersecție ale graficelor.
Și, ca rezultat, obținem coordonatele fiecărui punct de intersecție, care va fi soluția sistemului de ecuații.

Să ne uităm la această metodă mai detaliat cu un exemplu. Ni se oferă un sistem de ecuații de rezolvat:

Rezolvarea ecuațiilor

1. Mai întâi, vom construi un grafic al acestei ecuații: x2+y2=9.

Dar trebuie remarcat faptul că acest grafic al ecuațiilor va fi un cerc centrat la origine, iar raza lui va fi egală cu trei.

2. Următorul nostru pas va fi reprezentarea unei ecuații precum: y = x - 3.

În acest caz, trebuie să construim o dreaptă și să găsim punctele (0;−3) și (3;0).

3. Să vedem ce avem. Vedem că linia intersectează cercul în două dintre punctele sale A și B.

Acum căutăm coordonatele acestor puncte. Vedem că coordonatele (3;0) corespund punctului A, iar coordonatele (0;−3) corespund punctului B.

Și ce obținem ca rezultat?

Numerele (3;0) și (0;−3) obținute la intersecția unei drepte cu un cerc sunt tocmai soluțiile ambelor ecuații ale sistemului. Și de aici rezultă că aceste numere sunt și soluții ale acestui sistem de ecuații.

Adică răspunsul acestei soluții sunt numerele: (3;0) și (0;−3).

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect al cursului de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii sunt reduse la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul creării acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

• alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
• studiază teoria metodei alese,
• rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare, luând în considerare în detaliu soluțiile exemplelor și problemelor tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile și conceptele necesare și introducem unele notații.

În continuare, avem în vedere metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, să ne concentrăm pe metoda Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării succesive a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în diferite moduri.

După aceea, trecem la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este degenerată. Formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (în cazul compatibilității lor) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Asigurați-vă că vă opriți asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, luăm în considerare sistemele de ecuații care se reduc la cele liniare, precum și diverse probleme, în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n ) de forma

Variabile necunoscute, - coeficienți (unele numere reale sau complexe), - membri liberi (și numere reale sau complexe).

Această formă de SLAE se numește coordona.

LA formă matriceală acest sistem de ecuații are forma ,
Unde - matricea principală a sistemului, - matricea-coloana de variabile necunoscute, - matricea-coloana de membri liberi.

Dacă adăugăm la matricea A ca (n + 1)-a coloană coloana matricei de termeni liberi, atunci obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, matricea mărită este desemnată cu litera T, iar coloana de membri liberi este separată printr-o linie verticală de restul coloanelor, adică

Prin rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute, care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute se transformă, de asemenea, într-o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă sistemul de ecuații nu are soluții, atunci se numește incompatibil.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - incert.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, in caz contrar - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații de sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci vom numi astfel de SLAE-uri elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.

Am început să studiem astfel de SLAE în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda lui Cramer.

Să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și sunt determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu o astfel de notație, variabilele necunoscute sunt calculate prin formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Exemplu.

Metoda Cramer .

Decizie.

Matricea principală a sistemului are forma . Calculați determinantul acestuia (dacă este necesar, consultați articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Compuneți și calculați determinanții necesari (determinantul se obține prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de membri liberi, determinantul - prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de membri liberi, - prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de membri liberi. ):

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații ale sistemului este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei (folosind matricea inversă).

Fie sistemul de ecuații algebrice liniare dat sub formă de matrice , unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , atunci matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă . Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu din stânga, atunci obținem o formulă pentru găsirea matricei coloanelor de variabile necunoscute. Deci am obținut soluția sistemului de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda matricei.

Decizie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

La fel de

atunci SLAE poate fi rezolvat prin metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice de complemente algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat - matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse pe coloana-matrice a membrilor liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Principala problemă în găsirea de soluții la sistemele de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât a treia.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în excluderea succesivă a variabilelor necunoscute: în primul rând, x 1 este exclus din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuațiile, începând cu a treia, și așa mai departe, până la doar variabila necunoscută. x n rămâne în ultima ecuație. Se numește un astfel de proces de transformare a ecuațiilor sistemului pentru eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute metoda Gauss directă. După ce se termină rularea înainte a metodei Gauss, x n este găsit din ultima ecuație, x n-1 este calculat din penultima ecuație folosind această valoare și așa mai departe, x 1 este găsit din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit metoda Gauss inversă.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem întotdeauna realiza acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Excludem variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, adăugați prima ecuație înmulțită cu la a doua ecuație a sistemului, adăugați prima înmulțită cu la a treia ecuație și așa mai departe, adăugați prima înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un .

Am ajunge la același rezultat dacă am exprima x 1 în termeni de alte variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am înlocui expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, acționăm în mod similar, dar numai cu o parte a sistemului rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, adăugați a doua ecuație înmulțită cu la a treia ecuație a sistemului, adăugați a doua înmulțită cu la a patra ecuație și așa mai departe, adăugați a doua înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, trecem la eliminarea necunoscutului x 3, acționând în același timp cu partea din sistem marcată în figură

Deci continuăm cursul direct al metodei Gauss până când sistemul ia forma

Din acest moment, începem cursul invers al metodei Gauss: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda gaussiana.

Decizie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații, adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum excludem x 2 din a treia ecuație prin adăugarea părților din stânga și din dreapta părților din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Pe aceasta, cursul înainte al metodei Gauss este finalizat, începem cursul invers.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat, găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și aceasta completează cursul invers al metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În cazul general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și degenerată.

Teorema Kronecker-Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este incompatibil dă Teorema Kronecker–Capelli:
pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n ) să fie consistent este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică Rank( A)=Rang(T).

Să considerăm ca exemplu aplicarea teoremei Kronecker-Cappelli pentru determinarea compatibilității unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Decizie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să trecem peste minorii de ordinul trei care îl înconjoară:

Deoarece toți minorii de ordinul al treilea învecinați sunt egali cu zero, rangul matricei principale este de doi.

La rândul său, rangul matricei augmentate este egal cu trei, deoarece minorul de ordinul trei

diferit de zero.

Prin urmare, Rang(A) , prin urmare, conform teoremei Kronecker-Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Nu există un sistem de soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența sistemului folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești soluția SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de teorema privind rangul unei matrice.

Se numește minorul de ordin superior al matricei A, altul decât zero de bază.

Din definirea bazei minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero, pot exista mai multe minore de bază; există întotdeauna un minor de bază.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece nu sunt zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este r, atunci toate elementele rândurilor (și coloanelor) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor corespunzătoare ale rândurilor (și coloanelor). ) care formează baza minoră.

Ce ne oferă teorema rangului matricei?

Dacă, prin teorema Kronecker-Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice minor de bază al matricei principale a sistemului (ordinea acesteia este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu formează minorul de bază ales. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca urmare, după eliminarea ecuațiilor excesive ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Exemplu.

.

Decizie.

Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul al treilea este egal cu zero

iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker-Capelli, se poate afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2 .

Ca bază minoră, luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:


A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea minorului de bază, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema rangului matricei:


Astfel am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm prin metoda lui Cramer:


Răspuns:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n, atunci lăsăm termenii care formează minorul de bază în părțile din stânga ecuațiilor și transferăm termenii rămași în părțile din dreapta ale ecuațiilor lui sistemul cu semnul opus.

Variabilele necunoscute (există r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor se numesc principal.

Sunt numite variabile necunoscute (există n - r dintre ele) care au ajuns în partea dreaptă liber.

Acum presupunem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele r variabile necunoscute vor fi exprimate în termeni de variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Să luăm un exemplu.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații algebrice liniare .

Decizie.

Aflați rangul matricei principale a sistemului prin metoda minorilor limitrofe. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor de ordinul întâi diferit de zero. Să începem să căutăm un minor de ordinul doi diferit de zero în jurul acestui minor:


Așa că am găsit un minor diferit de zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:


Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei augmentate este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

Minorul non-zero găsit de ordinul al treilea va fi luat drept cel de bază.

Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:


Lăsăm termenii care participă la minorul de bază în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:


Oferim variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică luăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE ia forma


Rezolvăm sistemul elementar de ecuații algebrice liniare obținut prin metoda Cramer:


Prin urmare, .

În răspuns, nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

Răspuns:

Unde sunt numerele arbitrare.

Rezuma.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare de formă generală, aflăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker-Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este inconsecvent.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci alegem minorul de bază și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea minorului de bază ales.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci în partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și atribuim valori arbitrare. la variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat, găsim principalele variabile necunoscute prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Folosind metoda Gauss, se pot rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără investigația lor preliminară pentru compatibilitate. Procesul de excludere succesivă a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre inconsecvența SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere al muncii computaționale, este de preferat metoda gaussiană.

Vezi descrierea sa detaliată și exemplele analizate în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Înregistrarea soluției generale a sistemelor algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectorii sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune, ne vom concentra asupra sistemelor comune omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem de decizie fundamental a unui sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o mulțime de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă desemnăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt coloane matrice de dimensiunea n prin 1 ) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari С 1 , С 2 , …, С (n-r), adică .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Semnificația este simplă: formula specifică toate soluțiile posibile la SLAE inițial, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , conform formulei pe care o avem va obține una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem seta toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții pentru un SLAE omogen.

Alegem minorul de bază al sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse toți termenii care conțin variabile necunoscute libere. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,…,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, prin metoda Cramer. Astfel, se va obține X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (2) . etc. Dacă dăm variabilelor necunoscute libere valorile 0,0,…,0,1 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (n-r) . Așa se va construi sistemul fundamental de soluții al SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată ca

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Decizie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale prin metoda franjării minorilor. Ca un minor de ordinul întâi, diferit de zero, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Găsiți minorul care se limitează la zero de ordinul doi:

Se găsește un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este de doi. Să luăm minorul de bază. Pentru claritate, notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE original nu participă la formarea minorului de bază, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea minorului său de bază este două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.

Sistemele de ecuații sunt utilizate pe scară largă în industria economică în modelarea matematică a diferitelor procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.

Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în domeniul matematicii, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.

Un sistem de ecuații liniare este un termen pentru două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să se găsească o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.

Ecuație liniară

Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele, a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea ecuației prin reprezentarea graficului acesteia va arăta ca o dreaptă, toate punctele căreia sunt soluția polinomului.

Tipuri de sisteme de ecuații liniare

Cele mai simple sunt exemplele de sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.

F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.

Rezolvați un sistem de ecuații - înseamnă să găsești astfel de valori (x, y) pentru care sistemul devine o egalitate adevărată sau să stabilești că nu există valori adecvate ale lui x și y.

O pereche de valori (x, y), scrisă ca coordonate punctuale, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.

Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, se numesc echivalente.

Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul „egal” are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem nu este omogen.

Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.

În fața sistemelor, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă neapărat cu numărul de necunoscute, dar nu este așa. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile, poate exista un număr arbitrar de mare al acestora.

Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații

Nu există o modalitate analitică generală de a rezolva astfel de sisteme, toate metodele se bazează pe soluții numerice. Cursul de matematică școlar descrie în detaliu metode precum permutarea, adunarea algebrică, substituția, precum și metoda grafică și matriceală, soluția prin metoda Gauss.

Sarcina principală în predarea metodelor de rezolvare este de a învăța cum să analizăm corect sistemul și să găsim algoritmul optim de soluție pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorați un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegeți principiile aplicării unei anumite metode.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare din clasa a VII-a a programului școlar de învățământ general este destul de simplă și este explicată în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda lui Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primele cursuri ale instituțiilor de învățământ superior.

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției

Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile prin a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o singură formă variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem

Să dăm un exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa a 7-a prin metoda substituției:

După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în ecuația a 2-a. . Soluția acestui exemplu nu provoacă dificultăți și vă permite să obțineți valoarea Y. Ultimul pas este verificarea valorilor obținute.

Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și expresia variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, soluția de substituție este, de asemenea, nepractică.

Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:

Rezolvare folosind adunarea algebrică

La căutarea unei soluții la sisteme prin metoda adunării, se efectuează adunarea termen cu termen și înmulțirea ecuațiilor cu diverse numere. Scopul final al operațiilor matematice este o ecuație cu o variabilă.

Aplicațiile acestei metode necesită practică și observație. Nu este ușor să rezolvi un sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării cu numărul de variabile 3 sau mai mult. Adunarea algebrică este utilă atunci când ecuațiile conțin fracții și numere zecimale.

Algoritm de acțiune a soluției:

1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un număr. Ca urmare a operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei trebuie să devină egal cu 1.
2. Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
3. Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.

Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile

O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul trebuie să găsească o soluție pentru nu mai mult de două ecuații, numărul de necunoscute ar trebui, de asemenea, să nu fie mai mare de două.

Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată în raport cu necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este utilizată pentru a determina variabila inițială.

Din exemplu se poate observa că prin introducerea unei noi variabile t a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la un trinom pătrat standard. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.

Este necesar să se afle valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt multiplicatorii polinomului. În exemplul dat, a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o singură soluție: x= -b / 2*a.

Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.

O metodă vizuală pentru rezolvarea sistemelor

Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda constă în trasarea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor vor fi soluția generală a sistemului.

Metoda grafică are o serie de nuanțe. Luați în considerare câteva exemple de rezolvare vizuală a sistemelor de ecuații liniare.

După cum se poate observa din exemplu, s-au construit două puncte pentru fiecare linie, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.

Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.

În exemplul următor, este necesară găsirea unei soluții grafice a sistemului de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.

După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.

Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite, devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie reținut că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă sistemul are o soluție sau nu, este întotdeauna necesar să construim un grafic.

Matrix și soiurile sale

Matricele sunt folosite pentru a scrie pe scurt un sistem de ecuații liniare. O matrice este un tip special de tabel plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.

O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice cu o singură coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.

O matrice inversă este o astfel de matrice, atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-una unitară, o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.

Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice

În ceea ce privește sistemele de ecuații, coeficienții și membrii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere ale matricei, o ecuație este un rând al matricei.

Un rând de matrice este numit diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este egal cu zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.

Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.

La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite succesiv cu un număr.

Opțiuni pentru găsirea matricei inverse

Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 este matricea inversă și |K| - determinant matriceal. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.

Determinantul este ușor de calculat pentru o matrice două câte două, este necesar doar să înmulțim elementele în diagonală între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numerele coloanei și rândurilor elementelor să nu se repete în produs.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda matricei

Metoda matriceală de găsire a unei soluții face posibilă reducerea intrărilor greoaie la rezolvarea sistemelor cu un număr mare de variabile și ecuații.

În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabilele, iar b n sunt termenii liberi.

Rezolvarea sistemelor prin metoda Gauss

În matematica superioară, metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a unei soluții la sisteme se numește metoda soluției Gauss-Cramer. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabilele sistemelor cu un număr mare de ecuații liniare.

Metoda Gaussiană este foarte asemănătoare cu soluțiile de substituție și adiție algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlii, soluția Gauss este folosită pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a aduce sistemul la forma unui trapez inversat. Prin transformări și substituții algebrice, valoarea unei variabile se găsește într-una din ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute și 3 și 4 - cu 3 și, respectiv, 4 variabile.

După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.

În manualele școlare pentru clasa a 7-a, un exemplu de soluție Gauss este descris după cum urmează:

După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.

Teorema 5, care este menționată în text, spune că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.

Metoda Gauss este greu de înțeles de elevii de gimnaziu, dar este una dintre cele mai interesante modalități de a dezvolta ingeniozitatea copiilor care studiază în programul de studii avansate la orele de matematică și fizică.

Pentru ușurința înregistrării calculelor, este obișnuit să faceți următoarele:

Coeficienții ecuației și termenii liberi se scriu sub forma unei matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de partea dreaptă. Numerele romane denotă numerele de ecuații din sistem.

În primul rând, notează matricea cu care să lucreze, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată se scrie după semnul „săgeată” și se continuă operațiile algebrice necesare până la obținerea rezultatului.

Ca rezultat, ar trebui să se obțină o matrice în care una dintre diagonale este 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o singură formă. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numerele ambelor părți ale ecuației.

Această notație este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea numeroaselor necunoscute.

Aplicarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și o anumită experiență. Nu toate metodele sunt aplicate. Unele moduri de a găsi soluții sunt mai preferabile într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopul învățării.

Materialul acestui articol este destinat primei cunoștințe cu sistemele de ecuații. Aici introducem definiția unui sistem de ecuații și soluțiile acestuia și, de asemenea, luăm în considerare cele mai comune tipuri de sisteme de ecuații. Ca de obicei, vom da exemple explicative.

Navigare în pagină.

Ce este un sistem de ecuații?

Vom aborda treptat definirea sistemului de ecuații. La început, vom spune doar că este convenabil să o acordăm, evidențiind două puncte: în primul rând, tipul de înregistrare și, în al doilea rând, sensul încorporat în această înregistrare. Să ne oprim asupra lor pe rând și apoi să generalizăm raționamentul în definirea sistemelor de ecuații.

Să-i avem pe câțiva dintre ei în fața noastră. De exemplu, să luăm două ecuații 2 x+y=−3 și x=5 . Le scriem una sub alta și le unim cu o paranteză în stânga:

Înregistrările de acest fel, care sunt mai multe ecuații aranjate într-o coloană și unite în stânga cu o paranteză, sunt înregistrări ale sistemelor de ecuații.

Ce înseamnă astfel de înregistrări? Ei definesc mulțimea tuturor astfel de soluții ale ecuațiilor sistemului, care sunt soluția fiecărei ecuații.

Nu strica sa o descrii cu alte cuvinte. Să presupunem că unele soluții ale primei ecuații sunt soluții ale tuturor celorlalte ecuații ale sistemului. Și astfel, înregistrarea sistemului doar le desemnează.

Acum suntem gata să acceptăm în mod adecvat definiția unui sistem de ecuații.

Definiție.

Sisteme de ecuații se numesc inregistrari, care sunt ecuatii situate una sub alta, unite in stanga printr-o paranteza, care denota multimea tuturor solutiilor ecuatiilor care sunt simultan solutii la fiecare ecuatie a sistemului.

O definiție similară este dată în manual, dar acolo este dată nu pentru cazul general, ci pentru două ecuații raționale cu două variabile.

Principalele tipuri

Este clar că există infinit de multe ecuații diferite. Desigur, există și infinite de sisteme de ecuații compilate folosindu-le. Prin urmare, pentru comoditatea studierii și a lucrului cu sisteme de ecuații, este logic să le împărțim în grupuri în funcție de caracteristici similare și apoi să treceți la luarea în considerare a sistemelor de ecuații de tipuri individuale.

Prima subdiviziune se sugerează prin numărul de ecuații incluse în sistem. Dacă există două ecuații, atunci putem spune că avem un sistem de două ecuații, dacă sunt trei, atunci un sistem de trei ecuații etc. Este clar că nu are sens să vorbim despre un sistem cu o ecuație, deoarece în acest caz, de fapt, avem de-a face cu ecuația în sine, și nu cu sistemul.

Următoarea împărțire se bazează pe numărul de variabile implicate în scrierea ecuațiilor sistemului. Dacă există o variabilă, atunci avem de-a face cu un sistem de ecuații cu o variabilă (se spune și cu o necunoscută), dacă sunt două, atunci cu un sistem de ecuații cu două variabile (cu două necunoscute), etc. De exemplu, este un sistem de ecuații cu două variabile x și y .

Aceasta se referă la numărul tuturor variabilelor diferite implicate în înregistrare. Nu trebuie să fie incluse toate deodată în înregistrarea fiecărei ecuații, este suficient să le aveți în cel puțin o ecuație. De exemplu, este un sistem de ecuații cu trei variabile x, y și z. În prima ecuație, variabila x este prezentă în mod explicit, în timp ce y și z sunt implicite (putem presupune că aceste variabile au zero), iar în a doua ecuație, x și z sunt prezente, iar variabila y nu este reprezentată explicit. Cu alte cuvinte, prima ecuație poate fi privită ca , iar al doilea ca x+0 y−3 z=0 .

Al treilea punct în care sistemele de ecuații diferă este forma ecuațiilor în sine.

La școală, studiul sistemelor de ecuații începe cu sisteme de două ecuații liniare în două variabile. Adică, astfel de sisteme constituie două ecuații liniare. Iată câteva exemple: și . Pe ele se învață elementele de bază ale lucrului cu sisteme de ecuații.

La rezolvarea unor probleme mai complexe, se pot întâlni și sisteme de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Mai departe, în clasa a IX-a, la sistemele de două ecuații cu două variabile se adaugă ecuații neliniare, în cea mai mare parte ecuații întregi de gradul doi, mai rar - de grade superioare. Aceste sisteme sunt numite sisteme de ecuații neliniare; dacă este necesar, este specificat numărul de ecuații și necunoscute. Să arătăm exemple de astfel de sisteme de ecuații neliniare: și .

Și apoi în sisteme există și, de exemplu,. Ele sunt de obicei numite simplu sisteme de ecuații, fără a specifica ce ecuații. Aici este de remarcat faptul că cel mai adesea ei spun pur și simplu despre un sistem de ecuații „un sistem de ecuații”, iar rafinamentele sunt adăugate numai dacă este necesar.

În liceu, pe măsură ce materialul este studiat, în sisteme pătrund ecuații iraționale, trigonometrice, logaritmice și exponențiale: , , .

Dacă te uiți și mai departe în programul primelor cursuri ale universităților, atunci accentul principal este pus pe studiul și soluționarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE), adică ecuații, în părțile din stânga cărora sunt polinoame ale gradul întâi, iar în dreapta - niște numere. Dar acolo, spre deosebire de școală, nu sunt deja luate două ecuații liniare cu două variabile, ci un număr arbitrar de ecuații cu un număr arbitrar de variabile, de multe ori care nu coincid cu numărul de ecuații.

Care este soluția unui sistem de ecuații?

Termenul „soluție a unui sistem de ecuații” se referă direct la sisteme de ecuații. Școala oferă o definiție a rezolvării unui sistem de ecuații cu două variabile :

Definiție.

Rezolvarea unui sistem de ecuații cu două variabile se numește o pereche de valori ale acestor variabile, care transformă fiecare ecuație a sistemului în cea corectă, cu alte cuvinte, care este soluția fiecărei ecuații a sistemului.

De exemplu, o pereche de valori variabile x=5 , y=2 (se poate scrie ca (5, 2) ) este o soluție a unui sistem de ecuații prin definiție, deoarece ecuațiile sistemului, când x= 5 , y=2 sunt substituite în ele, se transformă în adevărate egalități numerice 5+2=7 și respectiv 5−2=3. Dar perechea de valori x=3, y=0 nu este o soluție pentru acest sistem, deoarece atunci când aceste valori sunt înlocuite în ecuații, prima dintre ele se va transforma într-o egalitate incorectă 3+0=7.

Definiții similare pot fi formulate pentru sisteme cu o variabilă, precum și pentru sisteme cu trei, patru etc. variabile.

Definiție.

Rezolvarea unui sistem de ecuații cu o variabilă va exista o valoare variabilă care este rădăcina tuturor ecuațiilor sistemului, adică care transformă toate ecuațiile în egalități numerice adevărate.

Să luăm un exemplu. Se consideră un sistem de ecuații cu o variabilă t de formă . Numărul −2 este soluția sa, deoarece ambele (−2) 2 =4 și 5·(−2+2)=0 sunt egalități numerice adevărate. Și t=1 nu este o soluție pentru sistem, deoarece înlocuirea acestei valori va da două egalități incorecte 1 2 =4 și 5·(1+2)=0 .

Definiție.

Rezolvarea unui sistem cu trei, patru etc. variabile numit triplu, cvadruplu etc. valorile variabilelor, respectiv, care convertesc toate ecuațiile sistemului în egalități adevărate.

Deci, prin definiție, triplul valorilor variabilelor x=1, y=2, z=0 este soluția sistemului , deoarece 2 1=2 , 5 2=10 și 1+2+0=3 sunt egalități numerice corecte. Și (1, 0, 5) nu este o soluție pentru acest sistem, deoarece atunci când aceste valori ale variabilelor sunt înlocuite în ecuațiile sistemului, a doua dintre ele se transformă într-o egalitate incorectă 5 0=10, iar a treia unul este de asemenea 1+0+5=3 .

Rețineți că sistemele de ecuații pot să nu aibă soluții, pot avea un număr finit de soluții, de exemplu, una, două, ... sau pot avea infinite de soluții. Veți vedea acest lucru pe măsură ce aprofundați subiectul.

Ținând cont de definițiile unui sistem de ecuații și ale soluțiilor acestora, putem concluziona că soluția unui sistem de ecuații este intersecția mulțimilor de soluții ale tuturor ecuațiilor sale.

În concluzie, iată câteva definiții înrudite:

Definiție.

incompatibil daca nu are solutii, in caz contrar se apeleaza sistemul comun.

Definiție.

Sistemul de ecuații se numește incert dacă are infinit de soluții și anumit, dacă are un număr finit de soluții sau nu are deloc.

Acești termeni sunt introduși, de exemplu, într-un manual, dar sunt folosiți rar la școală, mai des pot fi auziți în instituțiile de învățământ superior.

Bibliografie.

1. Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A. G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A. G. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. La ora 14.00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Curs de algebră superioară.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometrie analitică: Manual: Pentru universități. – ed. a 5-a. – M.: Știință. Fizmatlit, 1999. - 224 p. – (Curs de matematică superioară și fizică matematică). – ISBN 5-02-015234 – X (Numărul 3)