Sunt prezentate principalele tipuri de inegalități, inclusiv inegalitățile Bernoulli, Cauchy-Bunyakovsky, Minkovsky, Chebyshev. Sunt luate în considerare proprietățile inegalităților și acțiunile asupra acestora. Sunt prezentate principalele metode de rezolvare a inegalităților.
Formule pentru inegalitățile de bază
Formule pentru inegalitățile universale
Inegalitățile universale sunt satisfăcute pentru orice valoare a cantităților incluse în acestea. Principalele tipuri de inegalități universale sunt enumerate mai jos.
1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |
2) |a| + |b| ≥ | a-b | ≥ | |a| - |b| |
3)
Egalitatea are loc numai atunci când a 1 = a 2 = ... = a n .
4)
Inegalitatea Cauci-Bunyakovsky
Egalitatea este valabilă dacă și numai dacă α a k = β b k pentru toate k = 1, 2, ..., n și unele α, β, |α| + |β| > 0 .
5)
inegalitatea lui Minkowski, pentru p ≥ 1
Formule pentru inegalități satisfăcătoare
Inegalitățile satisfăcătoare sunt satisfăcute pentru anumite valori ale cantităților incluse în acestea.
1)
Inegalitatea lui Bernoulli:
.
Mai general:
,
unde , numere de același semn și mai mari decât -1
:
.
Lema lui Bernoulli:
.
Vezi „Dovezile inegalităților și lema lui Bernoulli”.
2)
pentru a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .
3)
inegalitatea lui Cebyshev
la 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Și 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
La 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Și b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
4)
Inegalități generalizate de la Cebișev
la 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Și 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
si k naturale
.
La 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Și b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
Proprietățile inegalităților
Proprietățile inegalităților sunt un set de acele reguli care sunt îndeplinite atunci când sunt transformate. Mai jos sunt proprietățile inegalităților. Se înțelege că inegalitățile inițiale sunt satisfăcute pentru valorile x i (i = 1, 2, 3, 4) aparținând unui interval predeterminat.
1) La schimbarea ordinii laturilor, semnul inegalității este inversat.
Dacă x 1< x 2
,
то x 2 >x 1 .
Dacă x 1 ≤ x 2, atunci x 2 ≥ x 1.
Dacă x 1 ≥ x 2, atunci x 2 ≤ x 1.
Dacă x 1 > x 2 atunci x 2< x 1
.
2) O egalitate este echivalentă cu două inegalități nestrictive de semn diferit.
Dacă x 1 = x 2, atunci x 1 ≤ x 2 și x 1 ≥ x 2.
Dacă x 1 ≤ x 2 și x 1 ≥ x 2, atunci x 1 = x 2.
3) Proprietatea tranzitivității
Dacă x 1< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Dacă x 1< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Dacă x 1 ≤ x 2 și x 2< x 3
,
то x 1 < x 3
.
Dacă x 1 ≤ x 2 și x 2 ≤ x 3 atunci x 1 ≤ x 3 .
4) Puteți adăuga (scădea) același număr la ambele părți ale inegalității.
Dacă x 1< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Dacă x 1 ≤ x 2 atunci x 1 + A ≤ x 2 + A .
Dacă x 1 ≥ x 2 atunci x 1 + A ≥ x 2 + A .
Dacă x 1 > x 2, atunci x 1 + A > x 2 + A.
5) Dacă există două sau mai multe inegalități cu semnul aceleiași direcții, atunci părțile lor din stânga și din dreapta pot fi adăugate.
Dacă x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Dacă x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Dacă x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Dacă x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , atunci x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Expresii similare au loc pentru semnele ≥, >.
Dacă inegalitățile inițiale conțin semne de inegalități nestricte și cel puțin o inegalitate strictă (dar toate semnele au aceeași direcție), atunci adunarea are ca rezultat o inegalitate strictă.
6) Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu un număr pozitiv.
Dacă x 1< x 2
и A >0, apoi A x 1< A · x 2
.
Dacă x 1 ≤ x 2 și A > 0 , atunci A x 1 ≤ A x 2 .
Dacă x 1 ≥ x 2 și A > 0, atunci A x 1 ≥ A x 2.
Dacă x 1 > x 2 și A > 0, atunci A x 1 > A x 2.
7) Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu un număr negativ. În acest caz, semnul inegalității se va schimba în sens invers.
Dacă x 1< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >A · x 2 .
Dacă x 1 ≤ x 2 și A< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Dacă x 1 ≥ x 2 și A< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Dacă x 1 > x 2 și A< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8) Dacă există două sau mai multe inegalități cu termeni pozitivi, cu un semn de aceeași direcție, atunci părțile lor din stânga și din dreapta pot fi înmulțite între ele.
Dacă x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 apoi x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Dacă x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 apoi x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Dacă x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 apoi x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Dacă x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 atunci x 1 x 3 ≤ x 2 x 4 .
Expresii similare au loc pentru semnele ≥, >.
Dacă inegalitățile inițiale conțin semne de inegalități nestricte și cel puțin o inegalitate strictă (dar toate semnele au aceeași direcție), atunci înmulțirea are ca rezultat o inegalitate strictă.
9) Fie f(x) o funcție crescătoare monotonă. Adică, pentru orice x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) . Atunci această funcție poate fi aplicată ambelor părți ale inegalității, din care semnul inegalității nu se schimbă.
Dacă x 1< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Dacă x 1 ≤ x 2 atunci f(x 1) ≤ f(x 2) .
Dacă x 1 ≥ x 2, atunci f(x 1) ≥ f(x 2) .
Dacă x 1 > x 2, atunci f(x 1) > f(x 2) .
10) Fie f (x) o funcție monotonă descrescătoare, adică pentru orice x 1 > x 2, f (x 1)< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Dacă x 1< x 2
,
то f(x 1) >f(x2) .
Dacă x 1 ≤ x 2 atunci f(x 1) ≥ f(x 2) .
Dacă x 1 ≥ x 2 atunci f(x 1) ≤ f(x 2) .
Dacă x 1 > x 2, atunci f(x 1)< f(x 2)
.
Metode de rezolvare a inegalităților
Rezolvarea inegalităților prin metoda intervalului
Metoda intervalului este aplicabilă dacă inegalitatea include o variabilă, pe care o notăm x , și are forma:
f(x) > 0
unde f(x) este o funcție continuă cu un număr finit de puncte de discontinuitate. Semnul de inegalitate poate fi orice: >, ≥,<, ≤
.
Metoda intervalului este următoarea.
1) Aflați domeniul funcției f(x) și marcați-l cu intervale pe axa reală.
2) Aflați punctele de discontinuitate ale funcției f(x) . De exemplu, dacă este o fracție, atunci găsim punctele în care numitorul dispare. Marcam aceste puncte pe axa numerică.
3) Rezolvați ecuația
f(x) = 0 .
Rădăcinile acestei ecuații sunt marcate pe linia numerică.
4) Ca urmare, axa numerică va fi împărțită de puncte în intervale (segmente). În cadrul fiecărui interval inclus în domeniul definiției, selectăm orice punct și în acest moment calculăm valoarea funcției. Dacă această valoare este mai mare decât zero, atunci punem semnul „+” peste segment (interval). Dacă această valoare este mai mică decât zero, atunci deasupra segmentului (interval) punem semnul „-”.
5) Dacă inegalitatea are forma: f(x) > 0 , atunci alegeți intervalele cu semnul „+”. Soluția inegalității este unirea acestor intervale care nu includ limitele lor.
Dacă inegalitatea are forma: f(x) ≥ 0 , atunci adăugăm la soluție punctele în care f(x) = 0 . Adică, unele dintre intervale pot avea limite închise (limita aparține intervalului). cealaltă parte poate avea limite deschise (limita nu aparține intervalului).
În mod similar, dacă inegalitatea este: f(x)< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Dacă inegalitatea arată astfel: f(x) ≤ 0 , atunci adăugăm la soluție punctele în care f(x) = 0 .
Rezolvarea inegalităților prin aplicarea proprietăților acestora
Această metodă este aplicabilă inegalităților de orice complexitate. Constă în aplicarea proprietăților (prezentate mai sus) pentru a reduce inegalitățile la o formă mai simplă și a obține o soluție. Este foarte posibil ca acest lucru să aibă ca rezultat nu unul, ci un sistem de inegalități. Aceasta este o metodă universală. Se aplică oricăror inegalități.
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
Lecție și prezentare pe tema: „Principalele proprietăți ale inegalităților numerice și cum să le rezolve”.
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.
Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a VIII-a
Combinatorică și teoria probabilităților Ecuații și inegalități
Introducere în inegalitățile numerice
Băieți, am întâlnit deja inegalități, de exemplu, când am început să ne familiarizăm cu conceptul de rădăcină pătrată. Este intuitiv clar că cu ajutorul inegalităților este posibil să se estimeze care dintre numerele date este mai mare sau mai mică. Pentru o descriere matematică, este suficient să adăugați un simbol special care va însemna fie mai mult, fie mai puțin.Scrierea expresiei $a>b$ în limbaj matematic înseamnă că numărul $a$ este mai mare decât numărul $b$. La rândul său, aceasta înseamnă că $a-b$ este un număr pozitiv. Ca aproape toate obiectele matematice, inegalitățile au anumite proprietăți. Vom studia aceste proprietăți în această lecție. Proprietatea 1. Dovada. Această proprietate poate fi afișată mai clar folosind o linie numerică. Dacă $a>b$, atunci numărul $a$ de pe linia reală se va afla în dreapta lui $b$. În consecință, dacă $b>c$, atunci numărul $b$ se va afla în dreapta numărului $c$. Proprietatea 2. Proprietatea 3. Proprietatea 4. Dovada. Proprietatea 5. Dovada. Definiție. Apoi proprietatea 5 poate fi reformulată. Când se înmulțesc inegalități cu același sens, pentru care părțile din stânga și din dreapta sunt pozitive, se obține o inegalitate de același sens. Proprietatea 6. Proprietatea 7. Dovada. Știm că $a-b$ este un număr pozitiv, iar produsul a două numere pozitive este, de asemenea, un număr pozitiv, adică. $ab>0$. proprietatea 8. Dovada. Proprietatea 9. Inegalitatea lui Cauchy (media aritmetică este mai mare sau egală cu media geometrică). Dovada. Soluţie. B) Să folosim proprietatea 3. Înmulțiți cu un număr negativ, ceea ce înseamnă că semnul inegalității se modifică. D) Înmulțiți toate părțile inegalității $3.1 E) Toate părțile inegalității sunt pozitive, la pătrat, obținem o inegalitate de același sens. E) Gradul de inegalitate este ciudat, atunci puteți ridica în siguranță la o putere și nu schimba semnul. G) Să folosim proprietatea 7. Exemplul 2 Soluţie. Câmpul numerelor reale are proprietatea de ordine (articolul 6, p. 35): pentru orice numere a, b, una și numai una dintre cele trei relații este valabilă: sau . În acest caz, notația a > b înseamnă că diferența este pozitivă, iar diferența de notație este negativă. Spre deosebire de câmpul numerelor reale, câmpul numerelor complexe nu este ordonat: pentru numerele complexe nu sunt definite conceptele „mai mare decât” și „mai mic decât”; prin urmare, acest capitol tratează numai numerele reale. Numim relațiile inegalități, numerele a și b sunt membri (sau părți) ale inegalității, semnele > (mai mari decât) și inegalitățile a > b și c > d se numesc inegalități de același (sau același) sens; inegalităţile a > b şi c Din definiţia inegalităţii rezultă imediat că 1) orice număr pozitiv mai mare decât zero; 2) orice număr negativ mai mic decât zero; 3) orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ; 4) din două numere negative, cel a cărui valoare absolută este mai mică este mai mare. Toate aceste afirmații admit o interpretare geometrică simplă. Lasă direcția pozitivă a axei numerelor să meargă la dreapta punctului de plecare; apoi, oricare ar fi semnele numerelor, cel mai mare dintre ele este reprezentat de un punct situat în dreapta punctului care reprezintă numărul mai mic. Inegalitățile au următoarele proprietăți principale. 1. Asimetrie (ireversibilitate): dacă , atunci , și invers. Într-adevăr, dacă diferența este pozitivă, atunci diferența este negativă. Ei spun că atunci când termenii inegalității sunt rearanjați, sensul inegalității trebuie schimbat la opus. 2. Tranzitivitate: dacă , atunci . Într-adevăr, pozitivitatea diferențelor implică pozitivitatea Pe lângă semnele de inegalitate, sunt folosite și semnele de inegalitate și.. Acestea sunt definite după cum urmează: o înregistrare înseamnă că fie sau Prin urmare, de exemplu, puteți scrie și, de asemenea. De obicei, inegalitățile scrise cu semne se numesc inegalități stricte, iar cele scrise cu semne se numesc inegalități nestricte. În consecință, semnele în sine sunt numite semne ale inegalității stricte sau non-stricte. Proprietățile 1 și 2 discutate mai sus sunt valabile și pentru inegalitățile nestricte. Luați în considerare acum operațiile care pot fi efectuate asupra uneia sau mai multor inegalități. 3. De la adăugarea aceluiași număr la membrii inegalității, sensul inegalității nu se schimbă. Dovada. Să fie date o inegalitate și un număr arbitrar. Prin definiție, diferența este pozitivă. Adăugăm acestui număr două numere opuse din care nu se va schimba, adică. Această egalitate poate fi rescrisă astfel: De aici rezultă că diferența este pozitivă, adică că iar asta trebuia dovedit. Aceasta este baza pentru posibilitatea de a deforma orice termen al inegalității de la una dintre părțile sale la alta cu semnul opus. De exemplu, din inegalitate urmează că 4. La înmulțirea termenilor inegalității cu același număr pozitiv, sensul inegalității nu se schimbă; atunci când termenii inegalității sunt înmulțiți cu același număr negativ, semnificația inegalității se schimbă la opus. Dovada. Fie atunci Dacă, deoarece produsul numerelor pozitive este pozitiv. Expandând parantezele din partea stângă a ultimei inegalități, obținem , adică . Cazul este analizat într-un mod similar. Exact aceeași concluzie se poate trage cu privire la împărțirea părților inegalității cu un număr diferit de zero, deoarece împărțirea cu un număr este echivalentă cu înmulțirea cu un număr și numerele au aceleași semne. 5. Fie termenii inegalității pozitivi. Apoi, când membrii săi sunt ridicați la aceeași putere pozitivă, sensul inegalității nu se schimbă. Dovada. Fie în acest caz, prin proprietatea tranzitivității, și . Apoi, datorită creșterii monotone a funcției de putere la și pozitiv, avem În special, dacă unde este un număr natural, atunci obținem adică, la extragerea rădăcinii din ambele părți ale inegalității cu termeni pozitivi, sensul inegalității nu se schimbă. Fie ca termenii inegalității să fie negativi. Atunci este ușor de demonstrat că atunci când termenii săi sunt ridicați la o putere naturală impară, semnificația inegalității nu se schimbă, iar când este ridicată la o putere naturală pară, se schimbă la opus. Din inegalitățile cu termeni negativi, puteți extrage și rădăcina unui grad impar. Mai departe, termenii inegalității au semne diferite. Apoi, când este ridicată la o putere impară, sensul inegalității nu se schimbă, iar când este ridicată la o putere pară, nu se poate spune nimic cert în cazul general despre semnificația inegalității rezultate. Într-adevăr, atunci când un număr este ridicat la o putere impară, semnul numărului este păstrat și, prin urmare, sensul inegalității nu se schimbă. Când ridicați inegalitatea la o putere egală, se formează o inegalitate cu termeni pozitivi, iar semnificația ei va depinde de valorile absolute ale termenilor inegalității originale, o inegalitate de același sens ca cea originală, o inegalitate de sens opus și chiar egalitatea poate fi obținută! Este util să verificați tot ce s-a spus despre creșterea inegalităților la o putere folosind următorul exemplu. Exemplul 1. Ridicați următoarele inegalități la puterea indicată, schimbând, dacă este necesar, semnul inegalității în opus sau în semnul egal. a) 3 > 2 la puterea lui 4; b) la puterea lui 3; c) la puterea lui 3; d) la puterea lui 2; e) la puterea lui 5; e) la puterea lui 4; g) 2 > -3 la puterea lui 2; h) la puterea lui 2, 6. De la inegalitate, se poate trece la inegalitatea dintre dacă termenii inegalității sunt ambii pozitivi sau ambii negativi, atunci între reciprocele lor există o inegalitate de sens opus: Dovada. Dacă a și b sunt de același semn, atunci produsul lor este pozitiv. Împărțiți prin inegalitate adică care era necesar pentru a obține. Dacă termenii inegalității au semne opuse, atunci inegalitatea dintre reciprocele lor are același sens, deoarece semnele reciprocelor sunt aceleași cu semnele cantităților înseși. Exemplul 2. Verificați ultima proprietate 6 pe următoarele inegalități: 7. Logaritmul inegalităților se poate realiza numai în cazul în care termenii inegalităților sunt pozitivi (numerele negative și zero nu au logaritmi). Lăsa . Atunci când va si cand va Corectitudinea acestor afirmații se bazează pe monotonitatea funcției logaritmice, care crește dacă baza și scade dacă Deci, la luarea logaritmului unei inegalități formate din termeni pozitivi, cu o bază mai mare decât unu, se formează o inegalitate de același sens cu cea dată, iar la luarea logaritmului acesteia cu o bază pozitivă mai mică de unu, se formează o inegalitate de sens opus. 8. Dacă , atunci dacă , dar , atunci . Aceasta rezultă imediat din proprietățile de monotonitate ale funcției exponențiale (Sec. 42), care crește în caz și scade dacă Când se adună inegalități cu același sens termen cu termen, se formează o inegalitate cu același sens ca și datele. Dovada. Să demonstrăm această afirmație pentru două inegalități, deși este adevărată pentru orice număr de inegalități însumate. Lasă inegalitățile Prin definiție, numerele vor fi pozitive; atunci și suma lor se dovedește a fi pozitivă, adică. Grupând termenii diferit, obținem și, prin urmare iar asta trebuia dovedit. Nimic cert nu poate fi spus în cazul general despre semnificația unei inegalități rezultată din adăugarea a două sau mai multe inegalități de înțelesuri diferite. 10. Dacă dintr-o inegalitate se scade termen cu termen o altă inegalitate de sens opus, atunci se formează o inegalitate de acelaşi sens ca şi prima. Dovada. Să fie date două inegalități cu semnificații diferite. Al doilea dintre ele, prin proprietatea ireversibilității, poate fi rescris astfel: d > c. Să adăugăm acum două inegalități cu același sens și să obținem inegalitatea același înțeles. Din acestea din urmă găsim iar asta trebuia dovedit. Nimic cert nu se poate spune în cazul general despre semnificația unei inegalități obținute prin scăderea unei alte inegalități de același sens dintr-o inegalitate. Inegalitățile în matematică joacă un rol proeminent. La școală ne ocupăm mai ales de inegalități numerice, cu definiția căreia vom începe acest articol. Și apoi listăm și justificăm proprietăţile inegalităţilor numerice, pe care se bazează toate principiile lucrului cu inegalitățile. Observăm imediat că multe proprietăți ale inegalităților numerice sunt similare. Prin urmare, vom prezenta materialul după aceeași schemă: formulăm proprietatea, dăm justificarea și exemplele acesteia, apoi trecem la următoarea proprietate. Navigare în pagină. Când am introdus conceptul de inegalitate, am observat că inegalitățile sunt adesea definite prin modul în care sunt scrise. Așadar, am numit inegalități expresii algebrice semnificative care conțin semne care nu sunt egale ≠, mai mici decât<, больше >, mai mic sau egal cu ≤ sau mai mare sau egal cu ≥. Pe baza definiției de mai sus, este convenabil să definiți inegalitatea numerică: Întâlnirea cu inegalitățile numerice are loc la lecțiile de matematică din clasa I imediat după familiarizarea cu primele numere naturale de la 1 la 9 și familiarizarea cu operația de comparare. Adevărat, acolo ele sunt numite pur și simplu inegalități, omițând definiția de „numeric”. Pentru claritate, nu strica să oferim câteva exemple de cele mai simple inegalități numerice din acea etapă a studiului lor: 1<2
, 5+2>3
. Și mai departe de numerele naturale, cunoașterea se extinde și la alte tipuri de numere (numere întregi, raționale, reale), sunt studiate regulile de comparare a acestora, iar acest lucru extinde semnificativ diversitatea de specii a inegalităților numerice: −5> −72, 3> −0,275 (7−5,6) ,. În practică, lucrul cu inegalități permite un număr de proprietăţile inegalităţilor numerice. Ele decurg din conceptul de inegalitate introdus de noi. În ceea ce privește numerele, acest concept este dat de următoarea afirmație, care poate fi considerată definiția relațiilor „mai mic decât” și „mai mare decât” pe setul de numere (se numește adesea definiția diferenței a inegalității): Definiție.
Această definiție poate fi transformată într-o definiție mai mică sau egală cu și mai mare decât sau egală cu. Iată formularea acestuia: Definiție.
Vom folosi aceste definiții pentru a demonstra proprietățile inegalităților numerice, pe care acum le vom revizui. Începem revizuirea noastră cu trei proprietăți de bază ale inegalităților. De ce sunt esențiale? Pentru că sunt o reflectare a proprietăților inegalităților în sensul cel mai general, și nu doar în raport cu inegalitățile numerice. Inegalitățile numerice scrise folosind semne< и >, caracteristic: În ceea ce privește inegalitățile numerice scrise folosind semnele de inegalitate nestrict ≤ și ≥, acestea au proprietatea de reflexivitate (mai degrabă decât antireflexivitate), întrucât inegalitățile a≤a și a≥a includ cazul egalității a=a . De asemenea, se caracterizează prin antisimetrie și tranzitivitate. Deci, inegalitățile numerice scrise folosind semnele ≤ și ≥ au următoarele proprietăți: Dovada lor este foarte asemănătoare cu cele date deja, așa că nu ne vom opri asupra lor, ci trecem la alte proprietăți importante ale inegalităților numerice. Să completăm proprietățile de bază ale inegalităților numerice cu o serie de rezultate de mare importanță practică. Metodele de evaluare a valorilor expresiilor se bazează pe acestea, principiile rezolvarea inegalitățilorși așa mai departe. Prin urmare, este indicat să te descurci bine cu ei. În această secțiune, vom formula proprietățile inegalităților doar pentru un semn de inegalități stricte, dar trebuie avut în vedere că proprietăți similare vor fi valabile și pentru semnul opus, precum și pentru semnele de inegalități nestrictive. Să explicăm acest lucru cu un exemplu. Mai jos formulăm și demonstrăm următoarea proprietate a inegalităților: dacă a
Pentru comoditate, prezentăm proprietățile inegalităților numerice sub forma unei liste, dând în același timp declarația corespunzătoare, scriind-o formal folosind litere, dând o dovadă și apoi arătând exemple de utilizare. Și la sfârșitul articolului vom rezuma toate proprietățile inegalităților numerice într-un tabel. Merge! Adăugarea (sau scăderea) oricărui număr de ambele părți ale unei inegalități numerice adevărate dă o inegalitate numerică adevărată. Cu alte cuvinte, dacă numerele a și b sunt astfel încât a
Pentru a demonstra acest lucru, să compunem diferența dintre părțile din stânga și din dreapta ultimei inegalități numerice și să arătăm că este negativă în condiția a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Întrucât prin condiția a
Nu ne oprim pe demonstrarea acestei proprietăți a inegalităților numerice pentru scăderea numărului c, întrucât pe mulțimea numerelor reale scăderea poate fi înlocuită prin adăugarea −c . De exemplu, dacă adăugați numărul 15 la ambele părți ale inegalității numerice corecte 7>3, atunci obțineți inegalitatea numerică corectă 7+15>3+15, care este aceeași, 22>18. Dacă ambele părți ale inegalității numerice corecte sunt înmulțite (sau împărțite) cu același număr pozitiv c, atunci se va obține inegalitatea numerică corectă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite (sau împărțite) cu un număr negativ c, iar semnul inegalității este inversat, atunci se va obține inegalitatea corectă. În formă literală: dacă numerele a și b satisfac inegalitatea a bc. Dovada. Să începem cu cazul când c>0 . Alcătuiți diferența dintre părțile din stânga și din dreapta inegalității numerice care se dovedește: a·c−b·c=(a−b)·c . Întrucât prin condiția a 0 , atunci produsul (a−b) c va fi un număr negativ ca produsul dintre un număr negativ a−b și un număr pozitiv c (care decurge din ). Prin urmare, a c−b c<0
, откуда a·c Nu ne oprim pe demonstrarea proprietății considerate pentru împărțirea ambelor părți ale unei inegalități numerice adevărate la același număr c, deoarece împărțirea poate fi întotdeauna înlocuită cu înmulțirea cu 1/c. Să arătăm un exemplu de aplicare a proprietății analizate la numere concrete. De exemplu, puteți ambele părți ale inegalității numerice corecte 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Din proprietatea tocmai examinată de a înmulți ambele părți ale unei egalități numerice cu un număr, urmează două rezultate practic valoroase. Așa că le formulăm sub formă de corolare. Toate proprietățile discutate mai sus în acest paragraf sunt unite de faptul că la început se dă o inegalitate numerică corectă, iar din aceasta, prin unele manipulări cu părțile inegalității și semnului, se obține o altă inegalitate numerică corectă. Acum vom da un bloc de proprietăți în care nu sunt date inițial una, ci mai multe inegalități numerice corecte și se obține un nou rezultat din utilizarea lor comună după adăugarea sau înmulțirea părților lor. Dacă pentru numerele a , b , c și d inegalitățile a
Să demonstrăm că (a+c)−(b+d) este un număr negativ, aceasta va demonstra că a+c Prin inducție, această proprietate se extinde la adăugarea termen cu termen a trei, patru și, în general, la orice număr finit de inegalități numerice. Deci, dacă pentru numere a 1 , a 2 , …, a n și b 1 , b 2 , …, b n inegalități a 1 a 1 +a 2 +…+a n . De exemplu, ni se dau trei inegalități numerice corecte de același semn −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Puteți înmulți inegalitățile numerice termen cu termen de același semn, ambele părți ale cărora sunt reprezentate prin numere pozitive. În special, pentru două inegalități a
Pentru a demonstra acest lucru, putem înmulți ambele părți ale inegalității a
Această proprietate este valabilă și pentru înmulțirea oricărui număr finit de inegalități numerice valide cu părți pozitive. Adică dacă a 1 , a 2 , …, a n și b 1 , b 2 , …, b n sunt numere pozitive și a 1 a 1 a 2 ... a n . Separat, este de remarcat faptul că, dacă notația inegalităților numerice conține numere nepozitive, atunci înmulțirea lor termen cu termen poate duce la inegalități numerice incorecte. De exemplu, inegalitățile numerice 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство. Consecinţă. Înmulțirea termen cu termen a inegalităților adevărate identice de forma a
În încheierea articolului, așa cum am promis, vom colecta toate proprietățile studiate în tabelul de proprietăți al inegalităților numerice: Bibliografie.
Scrierea unei expresii $a
Dacă $a>b$ și $b>c$, atunci $a>c$.
Este evident că $10>5$ și $5>2$ și, desigur, $10>2$. Dar matematica iubește dovezile riguroase pentru cazul cel mai general.
Dacă $a>b$, atunci $a-b$ este un număr pozitiv. Dacă $b>c$, atunci $b-c$ este un număr pozitiv. Să adunăm cele două numere pozitive.
$a-b+b-c=a-c$.
Suma a două numere pozitive este un număr pozitiv, dar atunci $a-c$ este și un număr pozitiv. Din care rezultă că $a>c$. Proprietatea a fost dovedită.
După cum se poate observa din figură, punctul $a$ în cazul nostru este situat în dreapta punctului $c$, ceea ce înseamnă că $a>c$.
Dacă $a>b$, atunci $a+c>b+c$.
Cu alte cuvinte, dacă numărul $a$ este mai mare decât numărul $b$, atunci orice număr adăugăm (pozitiv sau negativ) acestor numere, semnul inegalității va fi de asemenea păstrat. Această proprietate se dovedește foarte ușor. Trebuie să faci o scădere. Variabila care a fost adăugată va dispărea și inegalitatea inițială va fi corectă.
a) Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu un număr pozitiv, atunci semnul inegalității se păstrează.
Dacă $a>b$ și $c>0$ atunci $ac>bc$.
b) Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu un număr negativ, atunci semnul inegalității ar trebui inversat.
Daca $a>b$ si $c Daca $a
Când împărțiți, ar trebui să acționați în același mod (împărțiți la un număr pozitiv - semnul este păstrat, împărțiți la un număr negativ - semnul se schimbă).
Dacă $a>b$ și $c>d$, atunci $a+c>b+d$.
Din condiția: $a-b$ este un număr pozitiv și $c-d$ este un număr pozitiv.
Atunci suma $(a-b)+(c-d)$ este de asemenea un număr pozitiv.
Să schimbăm câțiva termeni $(a+с)-(b+d)$.
De la o schimbare a locurilor termenilor, suma nu se modifică.
Deci $(a+c)-(b+d)$ este un număr pozitiv și $a+c>b+d$.
Proprietatea a fost dovedită.
Dacă $a, b ,c, d$ sunt numere pozitive și $a>b$, $c>d$, atunci $ac>bd$.
Deoarece $a>b$ și $c>0$, atunci, folosind proprietatea 3, avem $ac>bc$.
Deoarece $c>d$ și $b>0$, atunci, folosind proprietatea 3, avem $cb>bd$.
Deci $ac>bc$ și $bc >bd$.
Apoi, folosind proprietatea 1, obținem $ac>bd$. Q.E.D.
Inegalitățile de forma $a>b$ și $c>d$ ($a
Dacă $a>b$ ($a>0$, $b>0$), atunci $a^n>b^n$, unde $n$ este orice număr natural.
Dacă ambele părți ale inegalității sunt numere pozitive și sunt ridicate la aceeași putere naturală, atunci se va obține o inegalitate de același sens.
Rețineți că dacă $n$ este un număr impar, atunci proprietatea 6 este valabilă pentru orice numere întregi $a$ și $b$ cu orice semn.
Dacă $a>b$ ($a>0$, $b>0$), atunci $\frac(1)(a)
Pentru a demonstra această proprietate, este necesar să scădem $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ pentru a obține un număr negativ.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.
Atunci $\frac(-(a-b))(ab)$ este un număr negativ. Proprietatea a fost dovedită.
Dacă $a>0$, atunci următoarea inegalitate este valabilă: $a+\frac(1)(a)≥2$.
Să luăm în considerare diferența.
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ este un număr nenegativ.
Proprietatea a fost dovedită.
Dacă $a$ și $b$ sunt numere nenegative, atunci următoarea inegalitate este valabilă: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.
Luați în considerare diferența:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b))^2)(2)$ este un număr nenegativ.
Proprietatea a fost dovedită.Exemple de rezolvare a inegalităților
Exemplul 1
Se știe că -1,5 USD
b) $-2b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^2$.
f) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
a) Folosim proprietatea 3. Înmulțim cu un număr pozitiv, ceea ce înseamnă că semnul inegalității nu se modifică.
$-1.5*3
$-2*3,1>-2*b>-2*5,3$.
$-10.3
c) Adăugând inegalități de același sens, obținem o inegalitate de același sens.
$-1.5+3.1
Acum să efectuăm operația de adăugare.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac(1)(5,3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
Comparați numerele:
a) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ și $2+\sqrt(8)$.
b) $π+\sqrt(8)$ și $4+\sqrt(10)$.
a) Să punem la pătrat fiecare dintre numere.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$.
Să calculăm diferența dintre pătratele acestor pătrate.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140)-\sqrt(128)$.
Evident, a primit un număr pozitiv, ceea ce înseamnă:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
Deoarece ambele numere sunt pozitive, atunci:
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$.Sarcini pentru soluție independentă
1. Se stie ca $-2,2
a) $4a$.
b) $-3b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^4$.
f) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
2. Comparați numerele:
a) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ și $3+\sqrt(7)$.
b) $π+\sqrt(5)$ și $2+\sqrt(3)$. 
Inegalități numerice: definiție, exemple
Proprietățile inegalităților numerice
Proprietăți de bază
Alte proprietăți importante ale inegalităților numerice
