Dacă urmărim definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la incrementul argumentului Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să calculați prin această formulă, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că așa-numitele funcții elementare pot fi distinse de întreaga varietate de funcții. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și introduse în tabel. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut, împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. Mai mult, nu este greu să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivatele funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(X) = C, C ∈ R	0 (da, da, zero!)
Gradul cu exponent rațional	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinusul	f(X) = păcat X	cos X
Cosinus	f(X) = cos X	− păcat X(minus sinus)
Tangentă	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangentă	f(X) = ctg X	− 1/sin2 X
logaritmul natural	f(X) = jurnal X	1/X
Logaritmul arbitrar	f(X) = jurnal A X	1/(X ln A)
Functie exponentiala	f(X) = e X	e X(Nimic nu s-a schimbat)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu prea elementare, dar și diferențiabile după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Lasă funcțiile f(X) și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare, diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, deci:

f ’(X) = (X 2+ păcat X)’ = (X 2)' + (păcat X)’ = 2X+ cosx;

Argumentăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivatul unui produs

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata sumei este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„\u003e egal cu produsul derivatelor. Dar smochine pentru tine! Derivatul produsului este calculat folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funcţie f(X) este un produs al două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X păcat X)

Funcţie g(X) primul multiplicator este puțin mai complicat, dar schema generală nu se schimbă de la aceasta. Evident, primul multiplicator al funcției g(X) este un polinom, iar derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Rețineți că în ultimul pas, derivata este factorizată. Formal, acest lucru nu este necesar, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a explora funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi găsite și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie descompusă în factori.

Dacă există două funcții f(X) și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție, puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Dar așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Există funcții elementare în numărătorul și numitorul fiecărei fracții, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Prin tradiție, factorăm numărătorul în factori - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luăm funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2+ln X. Se dovedește f(X) = păcat ( X 2+ln X) este o funcție complexă. Ea are și un derivat, dar nu va funcționa să-l găsești conform regulilor discutate mai sus.

Cum să fii? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și formula pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este mai bine să-l explicați cu exemple specifice, cu o descriere detaliată a fiecărui pas.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2+ln X)

Rețineți că dacă se află în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci obținem o funcție elementară f(X) = e X. Prin urmare, facem o substituție: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe prin formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuarea unei înlocuiri inverse: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne uităm la funcția g(X). Evident că trebuie înlocuit. X 2+ln X = t. Avem:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (păcat t)’ · t' = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2+ln X. Apoi:

g ’(X) = cos ( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum se poate observa din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea derivatei sumei.

Răspuns:
f ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos( X 2+ln X).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „accident vascular cerebral”. De exemplu, cursa sumei este egală cu suma curselor. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calculul derivatei se rezumă la a scăpa chiar de aceste lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5 . Dar dacă există ceva complicat sub rădăcină? Din nou, se va dovedi o funcție complexă - le place să ofere astfel de construcții în teste și examene.

O sarcină. Aflați derivata unei funcții:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Acum facem o înlocuire: let X 2 + 8X − 7 = t. Găsim derivata prin formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Facem o înlocuire inversă: t = X 2 + 8X− 7. Avem:

f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 atașamente de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Poate că pentru unii li se vor părea complicate următoarele două exemple, dar dacă sunt înțelese (cineva suferă), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar dreaptaÎNȚELEGE INVESTIȚII. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc un truc util: luăm valoarea experimentală „x”, de exemplu, și încercăm (psihic sau pe o schiță) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, astfel încât suma este cea mai adâncă cuibărit.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas, diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula de diferențiere a funcției complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Pare să nu aibă erori:

1) Luăm derivata rădăcinii pătrate.

2) Luăm derivata diferenței folosind regula

3) Derivata triplei este egala cu zero. În al doilea termen, luăm derivata gradului (cubul).

4) Luăm derivata cosinusului.

6) Și, în cele din urmă, luăm derivatul celui mai adânc cuibărit.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia tot farmecul și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la examen pentru a verifica dacă studentul înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pentru o soluție independentă.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai compact și mai frumos.
Nu este neobișnuit pentru o situație în care produsul nu a două, ci a trei funcții este dat într-un exemplu. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

În primul rând, ne uităm, dar este posibil să transformăm produsul a trei funcții într-un produs a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în acest exemplu, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri, este necesar rand pe rand aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că pentru „y” notăm produsul a două funcții: , iar pentru „ve” - logaritmul:. De ce se poate face asta? Este - acesta nu este produsul a doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

Puteți încă perverti și scoateți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul de mai sus poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, în probă se rezolvă în primul mod.

Luați în considerare exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge în mai multe moduri:

Sau cam asa:

Dar soluția poate fi scrisă mai compact dacă, în primul rând, folosim regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat în această formă, nu va fi o greșeală. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă, dar este posibil să simplificați răspunsul?

Aducem expresia numărătorului la un numitor comun și scăpăm de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea unei derivate, ci la transformări școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim tehnicile de găsire a derivatei, iar acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „îngrozitor” pentru diferențiere

Este absolut imposibil să rezolvi probleme fizice sau exemple în matematică fără cunoștințe despre derivată și metode de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , dat într-un anumit interval (a,b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența valorilor sale x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. Modificarea sau creșterea unei funcții este diferența dintre valorile funcției în două puncte. Definiție derivată:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Dar care:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata în timp a traseului este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din vremea școlii, toată lumea știe că viteza este o cale privată. x=f(t) si timpul t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: scoateți constanta

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatei. Mai mult, trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați ca regulă - dacă puteți simplifica expresia, asigurați-vă că simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom oferi o dovadă a acestei teoreme, ci mai degrabă luăm în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata unei funcții:

Regula trei: derivata produsului de funcții

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Aici este important de spus despre calculul derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus, întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, luăm în considerare mai întâi derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.

Regula a patra: derivata coeficientului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei unui cât de două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebare pe acest subiect și alte subiecte, puteți contacta serviciul pentru studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil control și să vă ocupați de sarcini, chiar dacă nu v-ați mai ocupat niciodată de calculul derivatelor.

Se dă dovada formulei pentru derivata unei funcții complexe. Cazurile în care o funcție complexă depinde de una sau două variabile sunt luate în considerare în detaliu. Se face o generalizare în cazul unui număr arbitrar de variabile.

Conţinut

Vezi si: Exemple de aplicare a formulei pentru derivata unei funcții complexe

Formule de bază

Prezentăm aici derivarea următoarelor formule pentru derivata unei funcții complexe.
Daca atunci
.
Daca atunci
.
Daca atunci
.

Derivată a unei funcții complexe a unei variabile

Fie o funcție a unei variabile x să fie reprezentată ca o funcție complexă în următoarea formă:
,
unde și există unele funcții. Funcția este diferențiabilă pentru o anumită valoare a variabilei x . Funcția este diferențiabilă pentru valoarea variabilei.
Atunci funcția complexă (compozită) este diferențiabilă în punctul x și derivata ei este determinată de formula:
(1) .

Formula (1) poate fi scrisă și după cum urmează:
;
.

Dovada

Să introducem următoarea notație.
;
.
Aici există o funcție de variabile și , există o funcție de variabile și . Dar vom omite argumentele acestor funcții pentru a nu aglomera calculele.

Deoarece funcțiile și sunt diferențiabile în punctele x și, respectiv, atunci în aceste puncte există derivate ale acestor funcții, care sunt următoarele limite:
;
.

Luați în considerare următoarea funcție:
.
Pentru o valoare fixă ​​a variabilei u , este o funcție de . Este evident că
.
Apoi
.

Deoarece funcția este o funcție diferențiabilă în punctul , atunci este continuă în acel punct. De aceea
.
Apoi
.

Acum găsim derivata.

.

Formula a fost dovedită.

Consecinţă

Dacă o funcţie a variabilei x poate fi reprezentată ca o funcţie complexă a unei funcţii complexe
,
atunci derivata sa este determinată de formula
.
Aici și există câteva funcții diferențiabile.

Pentru a demonstra această formulă, calculăm secvenţial derivata conform regulii de diferenţiere a unei funcţii complexe.
Luați în considerare o funcție complexă
.
Derivatul său
.
Luați în considerare funcția inițială
.
Derivatul său
.

Derivată a unei funcții complexe în două variabile

Acum, o funcție complexă depinde de mai multe variabile. Mai întâi luați în considerare cazul unei funcții complexe a două variabile.

Fie ca funcția în funcție de variabila x să fie reprezentată ca o funcție complexă a două variabile în următoarea formă:
,
Unde
și există funcții diferențiabile pentru o anumită valoare a variabilei x ;
este o funcție a două variabile, diferențiabile în punctul , . Apoi funcția complexă este definită într-o anumită vecinătate a punctului și are o derivată, care este determinată de formula:
(2) .

Dovada

Deoarece funcțiile și sunt diferențiabile în punctul , ele sunt definite într-o anumită vecinătate a acestui punct, sunt continue în punct, iar derivatele lor în punct există, care sunt următoarele limite:
;
.
Aici
;
.
Datorită continuității acestor funcții la un punct, avem:
;
.

Deoarece funcția este diferențiabilă în punctul , este definită într-o anumită vecinătate a acestui punct, este continuă în acest punct, iar incrementul ei poate fi scris după cum urmează:
(3) .
Aici

- incrementarea funcției atunci când argumentele sale sunt incrementate cu valorile și ;
;

- derivate parţiale ale funcţiei faţă de variabilele şi .
Pentru valorile fixe ale și , și există funcții ale variabilelor și . Ele tind la zero ca și:
;
.
De când și , atunci
;
.

Creșterea funcției:

. :
.
Inlocuitor (3):



.

Formula a fost dovedită.

Derivată a unei funcții complexe a mai multor variabile

Derivarea de mai sus este ușor de generalizat în cazul în care numărul de variabile ale unei funcții complexe este mai mare de două.

De exemplu, dacă f este funcţia a trei variabile, apoi
,
Unde
, și există funcții diferențiabile pentru o anumită valoare a variabilei x ;
este o funcție diferențiabilă, în trei variabile, în punctul , , .
Apoi, din definiția diferențiabilității funcției, avem:
(4)
.
Deoarece, din cauza continuității,
; ; ,
apoi
;
;
.

Împărțind (4) la și trecând la limita , obținem:
.

Și, în sfârșit, luați în considerare cel mai general caz.
Fie o funcție a unei variabile x să fie reprezentată ca o funcție complexă a n variabile în următoarea formă:
,
Unde
există funcții diferențiabile pentru o anumită valoare a variabilei x ;
- functie diferentiabila a n variabile intr-un punct
, , ... , .
Apoi
.

Vezi si:

derivate complexe. Derivată logaritmică.
Derivată a funcției exponențiale

Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul acoperit, vom lua în considerare derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi trucuri și trucuri pentru găsirea derivatei, în special, cu derivata logaritmică.

Acei cititori care au un nivel scăzut de pregătire ar trebui să consulte articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții ceea ce vă va permite să vă ridicați abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții compuse, înțelegeți și rezolvați toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând, iar după ce o stăpânești, vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să rămâneți la poziția „Unde altundeva? Da, și este suficient!”, Deoarece toate exemplele și soluțiile sunt luate din teste reale și se găsesc adesea în practică.

Să începem cu repetarea. La lecție Derivată a unei funcții compuse am luat în considerare o serie de exemple cu comentarii detaliate. În timpul studierii calculului diferențial și a altor secțiuni ale analizei matematice, va trebui să diferențiezi foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să pictezi exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa în găsirea orală a derivaților. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu:

Conform regulii de diferenţiere a unei funcţii complexe :

Când studiați alte subiecte de matan în viitor, o înregistrare atât de detaliată nu este de cele mai multe ori necesară, se presupune că studentul este capabil să găsească derivate similare pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața a sunat telefonul, iar o voce plăcută a întrebat: „Care este derivata tangentei a doi x?”. Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va fi destinat imediat unei soluții independente.

Exemplul 1

Găsiți pe cale orală următoarele derivate, într-un singur pas, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina, trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu și-a amintit deja). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția Derivată a unei funcții compuse.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 atașamente de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Poate că pentru unii li se vor părea complicate următoarele două exemple, dar dacă sunt înțelese (cineva suferă), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar dreaptaÎNȚELEGE INVESTIȚII. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc un truc util: luăm valoarea experimentală „x”, de exemplu, și încercăm (psihic sau pe o schiță) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, astfel încât suma este cea mai adâncă cuibărit.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas, diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula de diferențiere a funcției complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu este nicio eroare...

(1) Luăm derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata tripluului este egală cu zero. În al doilea termen, luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luăm derivata cosinusului.

(5) Luăm derivata logaritmului.

(6) În cele din urmă, luăm derivatul celui mai adânc cuibărit.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia tot farmecul și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la examen pentru a verifica dacă studentul înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pentru o soluție independentă.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai compact și mai frumos.
Nu este neobișnuit pentru o situație în care produsul nu a două, ci a trei funcții este dat într-un exemplu. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

În primul rând, ne uităm, dar este posibil să transformăm produsul a trei funcții într-un produs a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în acest exemplu, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri, este necesar rand pe rand aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că pentru „y” notăm produsul a două funcții: , iar pentru „ve” - logaritmul:. De ce se poate face asta? Este - acesta nu este produsul a doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

Puteți încă perverti și scoateți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul de mai sus poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, în probă se rezolvă în primul mod.

Luați în considerare exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge în mai multe moduri:

Sau cam asa:

Dar soluția poate fi scrisă mai compact dacă, în primul rând, folosim regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat în această formă, nu va fi o greșeală. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă, dar este posibil să simplificați răspunsul? Aducem expresia numărătorului la un numitor comun și scăpați de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea unei derivate, ci la transformări școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim tehnicile de găsire a derivatei, iar acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „îngrozitor” pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți parcurge un drum lung, folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei o derivată neplăcută de grad fracționar și apoi și dintr-o fracție.

De aceea inainte de cum să luați derivatul logaritmului „fantezist”, acesta este anterior simplificat folosind proprietăți școlare binecunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule chiar acolo. Dacă nu aveți caiet, desenați-le pe o foaie de hârtie, deoarece restul exemplelor lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi formulată astfel:

Să transformăm funcția:

Găsim derivata:

Transformarea preliminară a funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.

Și acum câteva exemple simple pentru o soluție independentă:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile la sfârșitul lecției.

derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea, este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate sa! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Exemple similare pe care le-am luat în considerare recent. Ce să fac? Se poate aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului, iar apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că obțineți o fracțiune uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat ca derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Notă : deoarece funcția poate lua valori negative, atunci, în general, trebuie să utilizați module: , care dispar ca urmare a diferențierii. Cu toate acestea, designul actual este, de asemenea, acceptabil, unde implicit complex valorile. Dar dacă cu toată rigoarea, atunci în ambele cazuri este necesar să se facă o rezervă că.

Acum trebuie să „descompuneți” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formule în fața ochilor?). Voi descrie acest proces în detaliu:

Să începem cu diferențierea.
Încheiem ambele părți cu o lovitură:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.

Dar partea stângă?

Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „y” sub logaritm?”.

Faptul este că această „o litera y” - ESTE O FUNCȚIE în sine(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este o funcție internă. Și folosim regula de diferențiere a funcției compuse :

În partea stângă, ca prin farmec, avem un derivat. În plus, conform regulii proporției, aruncăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum ne amintim despre ce fel de „joc”-funcție am vorbit la diferențiere? Să ne uităm la starea:

Răspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Exemplu de proiect al unui exemplu de acest tip la sfârșitul lecției.

Cu ajutorul derivatei logaritmice a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple și, poate, utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a funcției exponențiale

Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială este o funcție care are iar gradul și baza depind de "x". Un exemplu clasic care vă va fi dat în orice manual sau la orice prelegere:

Cum se află derivata unei funcții exponențiale?

Este necesar să se folosească tehnica tocmai considerată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, gradul este scos de sub logaritmul din partea dreaptă:

Ca urmare, în partea dreaptă avem un produs a două funcții, care va fi diferențiat conform formulei standard .

Găsim derivata, pentru aceasta includem ambele părți sub linii:

Următorii pași sunt simpli:

In cele din urma:

Dacă o transformare nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul 11.

În sarcinile practice, funcția exponențială va fi întotdeauna mai complicată decât exemplul de prelegere considerat.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului lui x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). La diferențierea unei constante, așa cum ne amintim, este mai bine să o scoateți imediat din semnul derivatului, astfel încât să nu ia în cale; și, bineînțeles, aplicați regula familiară :