O ecuație pătratică este o ecuație de forma a*x^2 +b*x+c=0, unde a,b,c sunt numere reale (reale) arbitrare, iar x este o variabilă. Și numărul a=0.

Numerele a,b,c se numesc coeficienți. Numărul a - se numește coeficient principal, numărul b este coeficientul la x, iar numărul c este numit membru liber.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice

A rezolva o ecuație pătratică înseamnă a găsi toate rădăcinile ei sau a stabili faptul că ecuația pătratică nu are rădăcini. Rădăcina ecuației pătratice a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 este orice valoare a variabilei x, astfel încât trinomul pătrat a * x ^ 2 + b * x + c dispare. Uneori, o astfel de valoare a lui x este numită rădăcina unui trinom pătrat.

Există mai multe moduri de a rezolva ecuații pătratice. Luați în considerare unul dintre ele - cel mai versatil. Poate fi folosit pentru a rezolva orice ecuație pătratică.

Formule pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice

Formula pentru rădăcinile ecuației pătratice este a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), unde D =b^2-4*a*c.

Această formulă se obține prin rezolvarea ecuației a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 în formă generală, prin evidențierea pătratului binomului.

În formula rădăcinilor unei ecuații pătratice, expresia D (b^2-4*a*c) se numește discriminantul ecuației pătratice a*x^2 +b*x+c=0. Acest nume provine din limba latină, tradus „distingător”. În funcție de valoarea discriminantului, ecuația pătratică va avea două sau o rădăcină, sau nicio rădăcină.

Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci ecuația pătratică are două rădăcini. (x=(-b±√D)/(2*a))

Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică are o rădăcină. (x=(-b/(2*a))

Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică nu are rădăcini.

Algoritm general pentru rezolvarea unei ecuații pătratice

Pe baza celor de mai sus, formulăm un algoritm general pentru rezolvarea ecuației pătratice a*x^2 +b*x+c=0 folosind formula:

1. Aflați valoarea discriminantului folosind formula D =b^2-4*a*c.

2. În funcție de valoarea discriminantului, calculați rădăcinile folosind formulele:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Acest algoritm este universal și potrivit pentru rezolvarea oricăror ecuații pătratice. Complet și incomplet, citat și necitat.

Descriere bibliografica: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice // Tânăr om de știință. - 2016. - Nr. 6.1. - S. 17-20..04.2019).



Proiectul nostru este dedicat modalităților de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Scopul proiectului: să învețe cum să rezolvi ecuațiile pătratice în moduri care nu sunt incluse în programa școlară. Sarcină: găsiți toate modalitățile posibile de a rezolva ecuații pătratice și învățați cum să le utilizați singur și prezentați-le colegilor de clasă aceste metode.

Ce sunt „ecuațiile pătratice”?

Ecuație cuadratică- ecuația formei topor2 + bx + c = 0, Unde A, b, c- unele numere ( a ≠ 0), X- necunoscut.

Numerele a, b, c sunt numite coeficienți ai ecuației pătratice.

• a se numește primul coeficient;
• b se numește al doilea coeficient;
• c - membru liber.

Și cine a fost primul care a „inventat” ecuații pătratice?

Unele tehnici algebrice pentru rezolvarea ecuațiilor liniare și pătratice erau cunoscute încă de acum 4000 de ani în Babilonul Antic. Tabletele antice de lut babiloniene găsite, datate undeva între 1800 și 1600 î.Hr., sunt cele mai vechi dovezi ale studiului ecuațiilor pătratice. Aceleași tablete conțin metode de rezolvare a anumitor tipuri de ecuații pătratice.

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu doar de gradul I, ci și de gradul II în antichitate a fost cauzată de necesitatea rezolvării problemelor legate de găsirea zonelor de pământ și de terasamente cu caracter militar, precum și de dezvoltarea astronomiei și matematica în sine.

Regula de rezolvare a acestor ecuații, enunțată în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum dau doar probleme cu soluțiile enunțate sub formă de rețete, fără nicio indicație despre cum au fost găsite. În ciuda nivelului ridicat de dezvoltare al algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Matematicienii babilonieni din aproximativ secolul al IV-lea î.Hr. a folosit metoda complementului pătrat pentru a rezolva ecuații cu rădăcini pozitive. În jurul anului 300 î.Hr. Euclid a venit cu o metodă de soluție geometrică mai generală. Primul matematician care a găsit soluții la o ecuație cu rădăcini negative sub forma unei formule algebrice a fost un om de știință indian. Brahmagupta(India, secolul al VII-lea d.Hr.).

Brahmagupta a subliniat o regulă generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

ax2 + bx = c, a>0

În această ecuație, coeficienții pot fi negativi. Regula lui Brahmagupta coincide în esență cu a noastră.

În India, competițiile publice pentru rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Într-una dintre cărțile vechi indiene, despre astfel de competiții se spune următoarele: „Așa cum soarele strălucește stelele cu strălucirea sa, tot așa o persoană învățată va eclipsa gloria în adunările publice, propunând și rezolvând probleme algebrice”. Sarcinile erau adesea îmbrăcate în formă poetică.

Într-un tratat algebric Al-Khwarizmi se dă o clasificare a ecuaţiilor liniare şi pătratice. Autorul enumeră 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax2 = bx.

2) „Pătratele sunt egale cu numărul”, adică ax2 = c.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ax2 = c.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax2 + c = bx.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ax2 + bx = c.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c == ax2.

Pentru Al-Khwarizmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt adunări, nu scăderi. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive, evident, nu sunt luate în considerare. Autorul conturează metodele de rezolvare a acestor ecuații, folosind tehnicile al-jabr și al-muqabala. Decizia lui, desigur, nu coincide complet cu a noastră. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip, Al-Khwarizmi, ca toți matematicienii dinainte de secolul al XVII-lea, nu ține cont de zero. soluție, probabil pentru că în sarcini practice specifice, nu contează. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, Al-Khwarizmi stabilește regulile pentru rezolvarea lor folosind exemple numerice particulare și apoi dovezile geometrice ale acestora.

Formele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice pe modelul lui Al-Khwarizmi în Europa au fost descrise pentru prima dată în „Cartea Abacului”, scrisă în 1202. matematician italian Leonard Fibonacci. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și a fost primul din Europa care a abordat introducerea numerelor negative.

Această carte a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe sarcini din această carte au fost transferate în aproape toate manualele europene din secolele XIV-XVII. Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică x2 + bx = c pentru toate combinațiile posibile de semne și coeficienți b, c, a fost formulată în Europa în 1544. M. Stiefel.

Vieta are o derivație generală a formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice, dar Vieta a recunoscut doar rădăcini pozitive. matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli printre primele din secolul al XVI-lea. luați în considerare, pe lângă rădăcinile pozitive și negative. Abia în secolul al XVII-lea. datorită muncii Girard, Descartes, Newtonși alți oameni de știință, modul de rezolvare a ecuațiilor pătratice ia o formă modernă.

Luați în considerare mai multe moduri de a rezolva ecuații pătratice.

Modalități standard de rezolvare a ecuațiilor pătratice din programa școlară:

1. Factorizarea părții stângi a ecuației.
2. Metoda de selecție a pătratului complet.
3. Rezolvarea ecuațiilor pătratice prin formulă.
4. Rezolvarea grafică a unei ecuații pătratice.
5. Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Vieta.

Să ne oprim mai în detaliu asupra soluției ecuațiilor pătratice reduse și nereduse folosind teorema lui Vieta.

Amintiți-vă că pentru a rezolva ecuațiile pătratice de mai sus, este suficient să găsiți două numere astfel încât produsul cărora să fie egal cu termenul liber, iar suma să fie egală cu al doilea coeficient cu semnul opus.

Exemplu.X 2 -5x+6=0

Trebuie să găsiți numere al căror produs este 6 și suma este 5. Aceste numere vor fi 3 și 2.

Raspuns: x 1 =2,x 2 =3.

Dar puteți folosi această metodă pentru ecuații cu primul coeficient diferit de unul.

Exemplu.3x 2 +2x-5=0

Luăm primul coeficient și îl înmulțim cu termenul liber: x 2 +2x-15=0

Rădăcinile acestei ecuații vor fi numere al căror produs este egal cu - 15, iar suma este egală cu - 2. Aceste numere sunt 5 și 3. Pentru a găsi rădăcinile ecuației inițiale, împărțim rădăcinile obținute la primul coeficient .

Raspuns: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rezolvarea ecuațiilor prin metoda „transferului”.

Se consideră ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0, unde a≠0.

Înmulțind ambele părți cu a, obținem ecuația a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Fie ax = y, de unde x = y/a; atunci ajungem la ecuația y 2 + prin + ac = 0, care este echivalentă cu cea dată. Găsim rădăcinile sale la 1 și la 2 folosind teorema Vieta.

În cele din urmă obținem x 1 = y 1 /a și x 2 = y 2 /a.

Cu această metodă, coeficientul a este înmulțit cu termenul liber, parcă „transferat” acestuia, de aceea se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când este ușor de găsit rădăcinile unei ecuații folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Exemplu.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Să „transferăm” coeficientul 2 la termenul liber și făcând înlocuirea obținem ecuația y 2 - 11y + 30 = 0.

Conform teoremei inverse a lui Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Raspuns: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Proprietăţile coeficienţilor unei ecuaţii pătratice.

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Dacă a + b + c \u003d 0 (adică, suma coeficienților ecuației este zero), atunci x 1 \u003d 1.

2. Dacă a - b + c \u003d 0 sau b \u003d a + c, atunci x 1 \u003d - 1.

Exemplu.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Deoarece a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), atunci x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Raspuns: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exemplu.132x 2 + 247x + 115 = 0

pentru că a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), apoi x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Raspuns: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Există și alte proprietăți ale coeficienților unei ecuații pătratice. dar utilizarea lor este mai complicată.

8. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind o nomogramă.

Fig 1. Nomograma

Aceasta este o metodă veche și uitată în prezent de rezolvare a ecuațiilor pătratice, plasată la p. 83 a colecției: Bradis V.M. Tabelele matematice din patru cifre. - M., Educaţie, 1990.

Tabelul XXII. Nomograma pentru rezolvarea ecuațiilor z2 + pz + q = 0. Această nomogramă permite, fără a rezolva ecuația pătratică, să se determine rădăcinile ecuației prin coeficienții ei.

Scara curbilinie a nomogramei este construită după formulele (Fig. 1):

Presupunând OS = p, ED = q, OE = a(toate în cm), din Fig. 1 asemănarea triunghiurilor SANși CDF obținem proporția

de unde, după substituții și simplificări, urmează ecuația z 2 + pz + q = 0, iar scrisoarea zînseamnă eticheta oricărui punct de pe scara curbă.

Orez. 2 Rezolvarea unei ecuații pătratice folosind o nomogramă

Exemple.

1) Pentru ecuație z 2 - 9z + 8 = 0 nomograma dă rădăcinile z 1 = 8,0 și z 2 = 1,0

Răspuns: 8,0; 1.0.

2) Rezolvați ecuația folosind nomograma

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Împărțiți coeficienții acestei ecuații la 2, obținem ecuația z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomograma dă rădăcinile z 1 = 4 și z 2 = 0,5.

Răspuns: 4; 0,5.

9. Metoda geometrică de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Exemplu.X 2 + 10x = 39.

În original, această problemă este formulată după cum urmează: „Pătratul și zece rădăcini sunt egale cu 39”.

Luați în considerare un pătrat cu latura x, dreptunghiuri sunt construite pe laturile sale, astfel încât cealaltă parte a fiecăruia dintre ele să fie de 2,5, prin urmare, aria plajei este de 2,5x. Cifra rezultată este apoi completată cu un nou pătrat ABCD, completând patru pătrate egale în colțuri, latura fiecăruia dintre ele este 2,5 și aria este 6,25

Orez. 3 Mod grafic de a rezolva ecuația x 2 + 10x = 39

Aria S a pătratului ABCD poate fi reprezentată ca suma ariilor: pătratul original x 2, patru dreptunghiuri (4 ∙ 2,5x = 10x) și patru pătrate atașate (6,25 ∙ 4 = 25), adică. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Înlocuind x 2 + 10x cu numărul 39, obținem acel S \u003d 39 + 25 \u003d 64, ceea ce implică că latura pătratului ABCD, adică. segment AB \u003d 8. Pentru latura dorită x a pătratului original, obținem

10. Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Bezout.

teorema lui Bezout. Restul după împărțirea polinomului P(x) la binomul x - α este egal cu P(α) (adică valoarea lui P(x) la x = α).

Dacă numărul α este rădăcina polinomului P(x), atunci acest polinom este divizibil cu x -α fără rest.

Exemplu.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Împărțiți P(x) la (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, sau x-3=0, x=3; Raspuns: x1 =2, x2 =3.

Concluzie: Capacitatea de a rezolva rapid și rațional ecuații pătratice este pur și simplu necesară pentru rezolvarea unor ecuații mai complexe, de exemplu, ecuații raționale fracționale, ecuații de puteri mai mari, ecuații biquadratice și, în liceu, ecuații trigonometrice, exponențiale și logaritmice. După ce am studiat toate metodele găsite pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, putem sfătui colegii, pe lângă metodele standard, să rezolve prin metoda transferului (6) și să rezolve ecuații prin proprietatea coeficienților (7), deoarece acestea sunt mai accesibile pentru înțelegere. .

Literatură:

1. Bradis V.M. Tabelele matematice din patru cifre. - M., Educaţie, 1990.
2. Algebră clasa a 8-a: manual pentru clasa a 8-a. educatie generala instituții Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky ed. a XV-a, revizuită. - M.: Iluminismul, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Un ghid pentru profesori. / Ed. V.N. Mai tanar. - M.: Iluminismul, 1964.

1. Găsiți discriminantul D conform formulei D= -4ac.

2.Dacă D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Dacă D=0, atunci ecuația are o rădăcină:

4. Dacă D>0, atunci ecuația are două rădăcini:

Acum să începem să ne rezolvăm ecuația 3 -10x+3=0,

unde =3, b=-10 și c=3.

Găsirea discriminantului:

D= -4*3*3=64

Deoarece D>0, atunci această ecuație are două rădăcini. Le gasim:

; .

Astfel, rădăcinile polinomului f(x)=3 -10+3 vor fi numerele 3 și .

Schema lui Horner

Schema lui Horner(sau regula lui Horner, metoda lui Horner) - un algoritm pentru calcularea valorii unui polinom, scris ca o sumă de polinoame (monoame), pentru o valoare dată a unei variabile . Ea, la rândul său, ne ajută să aflăm dacă numărul este rădăcina unui polinom dat sau nu.

În primul rând, luați în considerare modul în care este împărțit polinomul f(x) într-un binom g(x).

Aceasta poate fi scrisă după cum urmează: f(x):g(x)=n(x), Unde f(x)- dividend, g(x)- divizor a n(x)- privat.

Dar în cazul când f(x) nedivizibil cu g(x) există o notaţie generală a expresiei

Aici, gradul r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Luați în considerare împărțirea unui polinom la un binom. Lasa

,

Primim

Unde r este un număr deoarece gradul lui r trebuie să fie mai mic decât gradul lui (x-c).

Să ne înmulțim s x) pe și ajunge

Astfel, la împărțirea la un binom, este posibil să se determine coeficienții coeficientului din formulele obținute. Această metodă de determinare a coeficienților se numește schema lui Horner.

				...
	+			...
c				...	r

Acum să ne uităm la câteva exemple de aplicare a schemei lui Horner.

Exemplu. Efectuați împărțirea polinomială f(x)= pe x+3.

Decizie. La început este necesar să scrieți x+3) la fel de ( X-(-3)), deoarece exact -3 va participa la schema în sine.În linia de sus vom scrie coeficienții, în linia de jos - rezultatul acțiunilor.

f(x)=(x-2)(1)+16.

Găsirea rădăcinilor după schema lui Horner. Tipuri de rădăcină

Conform schemei lui Horner, se pot găsi rădăcini întregi ale unui polinom f(x). Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu. Găsiți toate rădăcinile întregi ale unui polinom f(x)= , folosind schema Horner.

Decizie. Coeficienții acestui polinom sunt numere întregi. Coeficientul de dinaintea gradului cel mai înalt (în cazul nostru anterior) este egal cu unu. Prin urmare, vom căuta rădăcinile întregi ale polinomului printre divizorii termenului liber (avem 15), acestea sunt numere:

Să începem cu numărul 1.

Tabelul 1

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38

Din tabelul rezultat se poate observa că pentru =1 polinomul polinomului f(x)= , am primit restul r=192, nu 0, ceea ce înseamnă că unitatea nu este o rădăcină. Prin urmare, continuăm verificarea la =-1. Pentru a face acest lucru, nu vom crea un tabel nou, ci vom continua în cel vechi și vom tăia datele care nu mai sunt necesare.

Tabelul numărul 2

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22

După cum putem vedea din tabel, ultima celulă sa dovedit a fi zero, ceea ce înseamnă că r=0. Prin urmare? numărul -1 este rădăcina acestui polinom. Împărțirea polinomului nostru polinom f(x)= pe ()=x+1 avem un polinom

f(x)=(x+1)(),

coeficienții pentru care am luat din a treia linie a tabelului nr.2.

Putem face și notația echivalentă

(x+1)(). Etichetează-l (1)

Acum este necesar să continuăm căutarea rădăcinilor întregi, dar abia acum vom căuta deja rădăcinile polinomului. Vom căuta aceste rădăcini printre termenul liber al polinomului, numărul 45.

Să verificăm din nou numărul -1.

Tabelul #3

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22

Astfel, numărul -1 este rădăcina polinomului, se poate scrie ca

Ținând cont de egalitatea (2), putem scrie egalitatea (1) în forma următoare

Acum căutăm rădăcini pentru polinom, din nou printre divizorii termenului liber. Să verificăm din nou numărul -1.

Tabelul nr. 4

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21

Conform tabelului, vedem că numărul -1 este rădăcina polinomului.

Având în vedere (3*), putem rescrie egalitatea (2*) ca:

Acum vom căuta rădăcina pentru . Din nou ne uităm la divizorii termenului liber. Să începem verificarea din nou cu numărul -1.

Tabelul numărul 5

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19

Am obținut un rest care nu este egal cu zero, ceea ce înseamnă că numărul -1 nu este o rădăcină pentru polinom. Să verificăm următorul număr 1.

Tabelul nr. 6

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21

Și vedem că din nou nu se potrivește, restul este r(x) = 24. Luăm un nou număr.

Să verificăm numărul 3.

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15

Tabelul numărul 7

r(x)= 0, aceasta înseamnă că numărul 3 este rădăcina polinomului, putem scrie acest polinom ca:

=(x-3)( )

Având în vedere expresia rezultată, putem scrie egalitatea (5) după cum urmează:

(x-3)( ) (6)

Să verificăm acum polinomul

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+

Tabelul nr. 8

Pe baza tabelului, vedem că numărul 3 este rădăcina polinomului . Acum să scriem următoarele:

Scriem egalitatea (5*), ținând cont de expresia rezultată, astfel:

(x-3)()= = .

Găsiți rădăcina binomului dintre divizorii termenului liber.

Să luăm numărul 5

Tabelul nr. 9

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+
	+	-5
-5

r(x)=0, deci 5 este rădăcina binomului.

Astfel, putem scrie

Soluția pentru acest exemplu va fi tabelul numărul 8.

După cum se poate vedea din tabel, numerele -1; 3; 5 sunt rădăcinile polinomului.

Acum să trecem direct la tipuri de rădăcini.

1 este rădăcina gradului al treilea, deoarece paranteza (x + 1) este în gradul al treilea;

3- rădăcina gradului II, paranteză (x-3) în gradul II;

5 este rădăcina primului grad sau, cu alte cuvinte, simplu.

Ecuațiile cuadratice apar adesea într-o serie de probleme de matematică și fizică, astfel încât fiecare elev ar trebui să le poată rezolva. Acest articol discută în detaliu principalele metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice și oferă, de asemenea, exemple de utilizare a acestora.

Ce ecuație se numește pătratică

În primul rând, vom răspunde la întrebarea acestui paragraf pentru a înțelege mai bine ce se va discuta în articol. Deci, ecuația pătratică are următoarea formă generală: c + b * x + a * x 2 \u003d 0, unde a, b, c sunt niște numere, care se numesc coeficienți. Aici a≠0 este o condiție obligatorie, altfel ecuația indicată degenerează într-una liniară. Coeficienții rămași (b, c) pot lua absolut orice valoare, inclusiv zero. Deci, expresii ca a*x 2 =0, unde b=0 și c=0 sau c+a*x 2 =0, unde b=0, sau b*x+a*x 2 =0, unde c=0 - sunt și ecuații pătratice, care se numesc incomplete, deoarece în ele fie coeficientul liniar b este egal cu zero, fie termenul liber c este zero, fie ambele dispar.

O ecuație în care a \u003d 1 se numește redus, adică are forma: x 2 + c / a + (b / a) * x \u003d 0.

Soluția unei ecuații pătratice este de a găsi astfel de valori ale lui x care să-i satisfacă egalitatea. Aceste valori se numesc rădăcini. Deoarece ecuația luată în considerare este o expresie de gradul doi, aceasta înseamnă că numărul maxim al rădăcinilor sale nu poate depăși două.

Ce metode de rezolvare a ecuațiilor pătrate există

În general, există 4 metode de soluție. Numele lor sunt enumerate mai jos:

1. Factorizarea.
2. Complement la pătrat.
3. Folosind o formulă cunoscută (prin discriminant).
4. Soluția este geometrică.

După cum reiese clar din lista de mai sus, primele trei metode sunt algebrice, deci sunt folosite mai des decât ultima, care implică trasarea unui grafic al funcției.

Există o altă modalitate de a rezolva ecuațiile pătrate folosind teorema Vieta. Ar putea fi inclus pe locul 5 în lista de mai sus, însă acest lucru nu se face, deoarece teorema lui Vieta este o consecință simplă a celei de-a 3-a metode.

Metoda numărul 1. Factorizarea

Există un nume frumos pentru această metodă în matematica ecuațiilor pătratice: factorizarea. Esența acestei metode este următoarea: este necesar să se prezinte ecuația pătratică ca un produs al doi termeni (expresii), care ar trebui să fie egal cu zero. După o astfel de reprezentare, se poate folosi proprietatea produsului, care va fi egală cu zero numai atunci când unul sau mai mulți (toți) membrii săi sunt zero.

Acum luați în considerare succesiunea de acțiuni specifice care trebuie efectuate pentru a găsi rădăcinile ecuației:

1. Transferați toți membrii într-o parte a expresiei (de exemplu, la stânga), astfel încât să rămână doar 0 în cealaltă parte (dreapta).
2. Exprimați suma termenilor dintr-o parte a ecuației ca produs al două ecuații liniare.
3. Echivalează fiecare dintre expresiile liniare cu zero și rezolvă-le.

După cum puteți vedea, algoritmul de factorizare este destul de simplu, cu toate acestea, majoritatea studenților au dificultăți în timpul implementării punctului 2, așa că îl vom explica mai detaliat.

Pentru a ghici care 2 expresii liniare, atunci când sunt înmulțite între ele, vor da ecuația pătratică dorită, trebuie să vă amintiți două reguli simple:

• Coeficienții liniari ai două expresii liniare, atunci când sunt înmulțiți unul cu celălalt, ar trebui să dea primul coeficient al ecuației pătratice, adică numărul a.
• Termenii liberi ai expresiilor liniare, atunci când sunt înmulțiți, trebuie să dea numărul c al ecuației dorite.

După ce au fost selectate toate numerele de factori, acestea ar trebui înmulțite și, dacă dau ecuația dorită, treceți la pasul 3 din algoritmul de mai sus, altfel factorii ar trebui modificați, dar acest lucru ar trebui făcut astfel încât regulile de mai sus sunt întotdeauna îndeplinite.

Un exemplu de soluție de factorizare

Vom arăta clar cum să compunem un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice și să găsim rădăcini necunoscute. Să fie dată o expresie arbitrară, de exemplu, 2*x-5+5*x 2 -2*x 2 = x 2 +2+x 2 +1. Să trecem la soluția sa, observând succesiunea punctelor de la 1 la 3, care sunt expuse în paragraful anterior al articolului.

Punctul 1. Să mutăm toți termenii în partea stângă și să-i construim în secvența clasică pentru o ecuație pătratică. Avem următoarea egalitate: 2*x+(-8)+x 2 =0.

Punctul 2. O despărțim într-un produs de ecuații liniare. Deoarece a=1 și c=-8, atunci vom selecta, de exemplu, un astfel de produs (x-2)*(x+4). Îndeplinește regulile de găsire a factorilor așteptați, expuși în paragraful de mai sus. Dacă deschidem parantezele, obținem: -8+2*x+x 2 , adică obținem exact aceeași expresie ca în partea stângă a ecuației. Aceasta înseamnă că am ghicit corect multiplicatorii și putem trece la pasul 3 al algoritmului.

Punctul 3. Echivalăm fiecare factor cu zero, obținem: x=-4 și x=2.

Dacă există îndoieli cu privire la rezultatul obținut, se recomandă verificarea prin înlocuirea rădăcinilor găsite în ecuația originală. În acest caz, avem: 2*2+2 2 -8=0 și 2*(-4)+(-4) 2 -8=0. Rădăcinile găsite corect.

Astfel, prin metoda factorizării, am constatat că ecuația dată are două rădăcini diferite: 2 și -4.

Metoda #2. Complement la pătratul complet

În algebra ecuațiilor pătrate, metoda multiplicatorului nu poate fi întotdeauna utilizată, deoarece în cazul valorilor fracționale ale coeficienților ecuației pătratice, apar dificultăți în implementarea paragrafului 2 al algoritmului.

Metoda pătratului complet, la rândul său, este universală și poate fi aplicată ecuațiilor pătratice de orice tip. Esența sa este de a efectua următoarele operații:

1. Termenii ecuației care conține coeficienții a și b trebuie transferați într-o parte a egalității, iar termenul liber c în cealaltă.
2. În plus, părțile egalității (dreapta și stânga) ar trebui să fie împărțite la coeficientul a, adică, ecuația trebuie prezentată în formă redusă (a=1).
3. Suma termenilor cu coeficienții a și b este reprezentată ca pătrat al unei ecuații liniare. Deoarece a \u003d 1, atunci coeficientul liniar va fi egal cu 1, ca și pentru termenul liber al ecuației liniare, atunci ar trebui să fie egal cu jumătate din coeficientul liniar al ecuației pătratice reduse. După ce s-a întocmit pătratul expresiei liniare, este necesar să se adauge numărul corespunzător în partea dreaptă a egalității, unde se află termenul liber, care se obține prin deschiderea pătratului.
4. Luați rădăcina pătrată cu semnele „+” și „-” și rezolvați ecuația liniară deja obținută.

Algoritmul descris poate fi perceput la prima vedere ca destul de complicat, cu toate acestea, în practică, este mai ușor de implementat decât metoda de factorizare.

Un exemplu de soluție folosind complementul pătratului complet

Dăm un exemplu de ecuație pătratică pentru antrenarea soluției acesteia prin metoda descrisă în paragraful anterior. Să fie dată ecuația pătratică -10 - 6*x+5*x 2 = 0. Începem să o rezolvăm, urmând algoritmul descris mai sus.

Punctul 1. Folosim metoda transferului la rezolvarea ecuațiilor pătrate, obținem: - 6 * x + 5 * x 2 = 10.

Punctul 2. Forma redusă a acestei ecuații se obține prin împărțirea la numărul 5 al fiecăruia dintre membrii săi (dacă egalitățile sunt ambele părți împărțite sau înmulțite cu același număr, atunci egalitatea se va păstra). Ca rezultat al transformărilor, obținem: x 2 - 6/5 * x = 2.

Elementul 3. Jumătate din coeficient - 6/5 este egală cu -6/10 = -3/5, folosim acest număr pentru a face un pătrat întreg, obținem: (-3/5 + x) 2 . O extindem și termenul liber rezultat ar trebui să fie scăzut din partea stângă a egalității pentru a satisface forma originală a ecuației pătratice, ceea ce este echivalent cu adăugarea acesteia în partea dreaptă. Ca rezultat, obținem: (-3/5+x) 2 = 59/25.

Punctul 4. Calculăm rădăcina pătrată cu semne pozitive și negative și găsim rădăcinile: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. Cele două rădăcini găsite au următoarele valori: x 1 = (√59+3)/5 și x 1 = (3-√59)/5.

Deoarece calculele efectuate sunt legate de rădăcini, există o mare probabilitate de a face o greșeală. Prin urmare, se recomandă verificarea corectitudinii rădăcinilor x 2 și x 1 . Pentru x 1: 5*((3+√59)/5) 2 -6*(3+√59)/5 - 10 = (9+59+6*√59)/5 - 18/5 - 6 *√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. Acum înlocuiți x 2: 5*((3-√59)/5) 2 -6*(3-√59)/5 - 10 = (9+59-6*√59)/5 - 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.

Astfel, am arătat că rădăcinile găsite ale ecuației sunt adevărate.

Metoda numărul 3. Aplicarea formulei binecunoscute

Această metodă de rezolvare a ecuațiilor pătratice este poate cea mai simplă, deoarece constă în înlocuirea coeficienților într-o formulă cunoscută. Pentru a-l folosi, nu trebuie să vă gândiți la compilarea algoritmilor de soluție, este suficient să vă amintiți o singură formulă. Este prezentat în figura de mai sus.

În această formulă, expresia rădăcină (b 2 -4*a*c) se numește discriminant (D). Din valoarea sa depinde de ce rădăcini se obțin. Sunt posibile 3 cazuri:

• D>0, atunci ecuația rădăcină a două are unele reale și diferite.
• D=0, atunci se obține o rădăcină, care poate fi calculată din expresia x = -b / (a ​​* 2).
• D<0, тогда получается два различных мнимых корня, которые представляются в виде комплексных чисел. Например, число 3-5*i является комплексным, при этом мнимая единица i удовлетворяет свойству: i 2 =-1.

Un exemplu de soluție prin calculul discriminantului

Iată un exemplu de ecuație pătratică de exersat folosind formula de mai sus. Aflați rădăcinile pentru -3*x 2 -6+3*x+4*x = 0. Mai întâi, calculați valoarea discriminantului, obținem: D = b 2 -4*a*c = 7 2 -4* (-3)* (-6) = -23.

De când a primit D<0, значит, корни рассматриваемого уравнения являются числами комплексными. Найдем их, подставив найденное значение D в приведенную в предыдущем пункте формулу (она также представлена на фото выше). Получим: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.

Metoda numărul 4. Utilizarea graficului unei funcții

Se mai numește și metoda grafică de rezolvare a ecuațiilor pătratice. De spus că este folosit, de regulă, nu pentru o analiză cantitativă, ci pentru o analiză calitativă a ecuației luate în considerare.

Esența metodei este reprezentarea grafică a unei funcții pătratice y = f(x), care este o parabolă. Apoi, este necesar să se determine în ce puncte se intersectează axa absciselor (X) a parabolei, acestea vor fi rădăcinile ecuației corespunzătoare.

Pentru a spune dacă o parabolă va intersecta axa x, este suficient să cunoaștem poziția minimului (maximului) și direcția ramurilor sale (pot fie să crească, fie să scadă). Există două proprietăți ale acestei curbe de reținut:

• Dacă a>0 - parabolele ramului sunt îndreptate în sus, invers, dacă a<0, то они идут вниз.
• Coordonata minimului (maximului) parabolei este întotdeauna x = -b/(2*a).

De exemplu, este necesar să se determine dacă ecuația -4*x+5*x 2 +10 = 0 are rădăcini.Parabola corespunzătoare va fi îndreptată în sus, deoarece a=5>0. Extremul său are coordonatele: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5) 2 +10 = 9,2. Deoarece minimul curbei se află deasupra axei x (y=9,2), nu o intersectează pe aceasta din urmă pentru nicio valoare a lui x. Adică, ecuația dată nu are rădăcini reale.

teorema lui Vieta

După cum sa menționat mai sus, această teoremă este o consecință a metodei nr. 3, care se bazează pe aplicarea unei formule cu un discriminant. Esența teoremei Vieta este că vă permite să conectați coeficienții ecuației și rădăcinile acesteia în egalitate. Obținem egalitățile corespunzătoare.

Să folosim formula pentru calcularea rădăcinilor prin discriminant. Să adăugăm două rădăcini, obținem: x 1 + x 2 \u003d -b / a. Acum înmulțim rădăcinile între ele: x 1 * x 2, după o serie de simplificări, obținem numărul c / a.

Astfel, pentru a rezolva ecuațiile pătratice prin teorema Vieta, puteți folosi cele două egalități obținute. Dacă toți cei trei coeficienți ai unei ecuații sunt cunoscuți, atunci rădăcinile pot fi găsite prin rezolvarea sistemului adecvat al acestor două ecuații.

Un exemplu de utilizare a teoremei lui Vieta

Este necesar să se întocmească o ecuație pătratică dacă se știe că are forma x 2 + c \u003d -b * x și rădăcinile sale sunt 3 și -4.

Deoarece în ecuația luată în considerare a \u003d 1, atunci formulele Vieta vor arăta astfel: x 2 + x 1 \u003d -b și x 2 * x 1 \u003d c. Înlocuind valorile cunoscute ale rădăcinilor, obținem: b = 1 și c = -12. Ca rezultat, ecuația pătratică restaurată va arăta astfel: x 2 -12 = -1*x. Puteți înlocui valoarea rădăcinilor în ea și vă asigurați că egalitatea este valabilă.

Aplicarea inversă a teoremei Vieta, adică calculul rădăcinilor după forma cunoscută a ecuației, vă permite să găsiți rapid (intuitiv) soluții pentru numerele întregi mici a, b și c.

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a 8-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este esențială.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a , b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, observăm că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac .

Această formulă trebuie cunoscută pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului, puteți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:

1. Daca D< 0, корней нет;
2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Scriem coeficienții pentru prima ecuație și găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci, discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație în același mod:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămâne:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este egal cu zero - rădăcina va fi una.

Rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor - dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alegeți singuri: viteza sau calitatea.

Apropo, dacă vă „umpleți mâna”, după un timp nu va mai fi nevoie să scrieți toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de multe.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluție. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - obțineți același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar atunci când coeficienții negativi sunt înlocuiți în formulă. Aici, din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: priviți formula literal, pictați fiecare pas - și scăpați de greșeli foarte curând.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca ecuația pătratică să fie oarecum diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că unul dintre termeni lipsește din aceste ecuații. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu trebuie să calculeze discriminantul. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil atunci când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b \u003d c \u003d 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 \u003d 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură ecuație. rădăcină: x \u003d 0.

Să luăm în considerare alte cazuri. Fie b \u003d 0, apoi obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c \u003d 0. Să o transformăm ușor:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar atunci când (−c / a ) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 satisface inegalitatea (−c / a ) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c / a )< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, discriminantul nu a fost necesar - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici măcar nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c / a ) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea lui x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne ocupăm de ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteză

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, vom analiza câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nu există rădăcini, pentru că pătratul nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.