În acest articol, vom arunca o privire cuprinzătoare asupra . Identitățile trigonometrice de bază sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi și vă permit să găsiți oricare dintre aceste funcții trigonometrice printr-un altul cunoscut.

Enumerăm imediat principalele identități trigonometrice, pe care le vom analiza în acest articol. Le notăm într-un tabel, iar mai jos dăm derivarea acestor formule și dăm explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Relația dintre sinus și cosinus unui unghi

Uneori vorbesc nu despre principalele identități trigonometrice enumerate în tabelul de mai sus, ci despre una singură identitate trigonometrică de bază drăguț . Explicația pentru acest fapt este destul de simplă: egalitățile sunt obținute din identitatea trigonometrică de bază după împărțirea ambelor părți la și, respectiv, și egalitățile și rezultă din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Vom discuta acest lucru mai detaliat în paragrafele următoare.

Adică, egalitatea este de interes deosebit, căreia i s-a dat numele identității trigonometrice principale.

Înainte de a demonstra identitatea trigonometrică de bază, dăm formularea acesteia: suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este identic egală cu unu. Acum să demonstrăm.

Identitatea trigonometrică de bază este foarte des folosită în transformarea expresiilor trigonometrice. Acesta permite ca suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi să fie înlocuită cu unul. Nu mai rar, identitatea trigonometrică de bază este folosită în ordine inversă: unitatea este înlocuită cu suma pătratelor sinusului și cosinusului oricărui unghi.

Tangenta si cotangenta prin sinus si cosinus

Identități care leagă tangenta și cotangenta cu sinusul și cosinusul unui unghi al formei și urmează imediat din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Într-adevăr, prin definiție, sinusul este ordonata lui y, cosinusul este abscisa lui x, tangenta este raportul dintre ordonată și abscisa, adică , iar cotangenta este raportul dintre abscisă și ordonată, adică .

Datorită acestei evidenţe a identităţilor şi adesea definițiile tangentei și cotangentei sunt date nu prin raportul dintre abscisă și ordonată, ci prin raportul dintre sinus și cosinus. Deci tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinusul acestui unghi, iar cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.

Pentru a încheia această secțiune, trebuie remarcat faptul că identitățile și Ține loc pentru toate astfel de unghiuri pentru care funcțiile trigonometrice din ele au sens. Deci formula este valabilă pentru orice altceva decât (altfel numitorul va fi zero și nu am definit împărțirea cu zero), iar formula - for all , diferit de , unde z este oricare .

Relația dintre tangentă și cotangentă

O identitate trigonometrică și mai evidentă decât cele două anterioare este identitatea care leagă tangentei și cotangentei unui unghi al formei . Este clar că are loc pentru orice alte unghiuri decât , altfel nici tangenta, fie cotangenta nu sunt definite.

Dovada formulei foarte simplu. Prin definiție și de unde . Dovada ar fi putut fi realizată într-un mod ușor diferit. Din moment ce și , apoi .

Deci, tangenta și cotangenta unui unghi, la care au sens, este.

Lectura: Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi arbitrar

Sinus, cosinus al unui unghi arbitrar

Pentru a înțelege ce sunt funcțiile trigonometrice, să trecem la un cerc cu o rază unitară. Acest cerc este centrat la origine pe planul de coordonate. Pentru a determina funcțiile date, vom folosi vectorul rază SAU, care începe din centrul cercului și punctul R este un punct pe cerc. Acest vector rază formează un unghi alfa cu axa OH. Deoarece cercul are o rază egală cu unu, atunci SAU = R = 1.

Dacă din punct de vedere R scăpați o perpendiculară pe axă OH, atunci obținem un triunghi dreptunghic cu ipotenuză egală cu unu.

Dacă vectorul rază se mișcă în sensul acelor de ceasornic, atunci această direcție se numește negativ, dar dacă se mișcă în sens invers acelor de ceasornic - pozitiv.

Sinusul unui unghi SAU, este ordonata punctului R vectori pe un cerc.

Adică, pentru a obține valoarea sinusului unui unghi alfa dat, este necesar să se determine coordonatele La la suprafata.

Cum a fost obținută această valoare? Deoarece știm că sinusul unui unghi arbitrar dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză, obținem că

Și de când R=1, apoi sin(α) = y 0 .

În cercul unitar, valoarea ordonatei nu poate fi mai mică de -1 și mai mare de 1, ceea ce înseamnă că

Sinusul este pozitiv în primul și al doilea sferturi ale cercului unitar și negativ în al treilea și al patrulea.

Cosinusul unui unghi cerc dat format din vectorul rază SAU, este abscisa punctului R vectori pe un cerc.

Adică, pentru a obține valoarea cosinusului unui unghi alfa dat, este necesar să se determine coordonatele X la suprafata.

Cosinusul unui unghi arbitrar într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză, obținem că

Și de când R=1, apoi cos(α) = x 0 .

În cercul unitar, valoarea abscisei nu poate fi mai mică de -1 și mai mare de 1, ceea ce înseamnă că

Cosinusul este pozitiv în primul și al patrulea cadran al cercului unitar și negativ în al doilea și al treilea.

tangentăunghi arbitrar se calculează raportul dintre sinus și cosinus.

Dacă luăm în considerare un triunghi dreptunghic, atunci acesta este raportul dintre catetul opus și cel alăturat. Dacă vorbim despre un cerc unitar, atunci acesta este raportul dintre ordonate și abscisă.

Judecând după aceste relații, se poate înțelege că tangenta nu poate exista dacă valoarea abscisei este zero, adică la un unghi de 90 de grade. Tangenta poate lua toate celelalte valori.

Tangenta este pozitivă în primul și al treilea sferturi ale cercului unitar și negativă în al doilea și al patrulea.

Acest articol a colectat tabele de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. În primul rând, oferim un tabel cu valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice, adică un tabel cu sinusuri, cosinus, tangente și cotangente ale unghiurilor 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 de grade ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). După aceea, vom oferi un tabel cu sinusuri și cosinusuri, precum și un tabel cu tangente și cotangente de V. M. Bradis și vom arăta cum să folosiți aceste tabele atunci când găsiți valorile funcțiilor trigonometrice.

Navigare în pagină.

Tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente pentru unghiurile 0, 30, 45, 60, 90, ... grade

Bibliografie.

• Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.
• Bradis V. M. Tabele matematice din patru cifre: Pentru învățământul general. manual stabilimente. - Ed. a II-a. - M.: Butarda, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

|BD| - lungimea arcului de cerc centrat în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.

Tangenta ( tgα) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .
Cotangent ( ctgα) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .

Tangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
;
;
.

Graficul funcției tangente, y = tg x

Cotangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, cotangenta se notează după cum urmează:
.
De asemenea, a fost adoptată următoarea notație:
;
;
.

Graficul funcției cotangente, y = ctg x

Proprietățile tangentei și cotangentei

Periodicitate

Funcțiile y= tg xși y= ctg x sunt periodice cu perioada π.

Paritate

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.

Domenii de definiție și valori, crescător, descendent

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue pe domeniul lor de definiție (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( n- întreg).

	y= tg x	y= ctg x
Domeniul de aplicare și continuitatea
Gama de valori	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Ascendent		-
Descendentă	-
Extreme	-	-
Zerouri, y= 0
Puncte de intersecție cu axa y, x = 0	y= 0	-

Formule

Expresii în termeni de sinus și cosinus

; ;
; ;
;

Formule pentru tangente și cotangente a sumei și diferenței

Restul formulelor sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

Acest tabel arată valorile tangentelor și cotangentelor pentru unele valori ale argumentului.

Expresii în termeni de numere complexe

Expresii în termeni de funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; .

.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangente > > > ; pentru cotangent >>>

Integrale

Extinderi în serie

Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xși cos xși împărțiți aceste polinoame unele în altele , . Rezultă următoarele formule.

La .

la .
Unde B n- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
;
;
Unde .
Sau conform formulei Laplace:

Funcții inverse

Funcțiile inverse la tangentă și cotangentă sunt arctangentă și, respectiv, arctangentă.

Arctangent, arctg

, Unde n- întreg.

Arc tangentă, arcctg

, Unde n- întreg.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru cercetători și ingineri, 2012.

Vezi si:

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.