CAPITOLUL VIII.

PROPORȚIONALITATEA LINIILOR. SIMILILARITATE DE FIGURE.

§ 93. CONSTRUIREA FIGURILOR SIMILARE.

1. Construcția triunghiurilor similare.

Știm deja că pentru a construi un triunghi asemănător celui dat, este suficient să trasezi o dreaptă paralelă cu latura triunghiului dintr-un punct luat pe latura triunghiului. Obținem un triunghi similar cu acesta (Fig. 382):

/\ DIA /\ A"C"B"

2. Construirea de poligoane similare.

Pentru a construi un poligon asemănător cu cel dat, putem proceda astfel: împărțim poligonul dat în triunghiuri prin diagonale trase din oricare dintre vârfurile sale (Fig. 383). Pe o parte a poligonului dat ABCDE, de exemplu, pe latura AE, luăm un punct E" și tragem o linie paralelă cu latura ED până când intersectează diagonala AD, de exemplu, în punctul D".

Din punctul D" trageți o linie paralelă cu latura DC până când intersectează diagonala AC în punctul C". Din punctul C" trageți o dreaptă paralelă cu latura CB până când aceasta se intersectează cu latura AB în punctul B". Poligonul rezultat AB"C"D"E este similar cu poligonul dat ABCDE.

Valabilitatea acestei afirmații este dovedită independent.

Dacă se cere construirea unui poligon similar cu cel dat cu coeficientul de asemănare specificat, atunci punctul de plecare E" este luat pe latura AE sau, respectiv, continuarea acestuia, conform coeficientului de asemănare dat.

3. Filmarea unui plan al terenului.

a) Filmarea planului se realizează cu ajutorul unui dispozitiv special numit pahar(dev. 384).

Menzula este o placă pătrată așezată pe un trepied. La desenarea unui plan, placa este adusă într-o poziție orizontală, care este verificată cu ajutorul unui nivel. Pentru a desena linii drepte în direcția dorită, se folosește o alidade echipată cu dioptrii. Fiecare dioptrie are o fantă în care părul este întins, ceea ce vă permite să direcționați cu precizie alidadea în direcția corectă. O foaie de hârtie albă este fixată de scară cu butoane, pe care este desenat planul.

Pentru a prelua un plan de pe terenul ABCDE, alegeți un punct O din interiorul parcelei astfel încât toate vârfurile terenului să fie vizibile din acesta (Fig. 385).

Cu ajutorul unei furculițe cu plumb (Fig. 386), scara se setează astfel încât punctul O, marcat pe o coală de hârtie, să cadă împotriva punctului O ales pe șantier.

Apoi, din punctul O pe o coală de hârtie atașată de pahar, se desenează raze cu o alidade în direcții către punctele A, B, C, D și E; măsura distanțe
OA, OB, OS, OD și OE și se așează pe aceste raze în segmentele de scară acceptate
OA", OB", OS, OD" și OE".

Punctele A, B, C, D și E sunt conectate. Rezultă poligonul A „B” C „D” E, care este un plan al terenului dat la scara acceptată.

Metoda de fotografiere la scară descrisă de noi se numește polară.

Există și alte modalități de a fotografia un avion cu o scară, despre care puteți citi în ghidurile speciale pentru fotografierea la scară.

Pe fiecare plan se dă de obicei o scară prin care se pot stabili dimensiunile reale ale zonei îndepărtate, precum și aria acesteia.

Planul indică și direcția punctelor cardinale.

Munca practica.

a) Realizați cea mai simplă machetă la scară în atelierul școlii și folosiți-o pentru a realiza un plan al unui mic teren.

b) Supravegherea planului terenului se poate face cu ajutorul unui astrolab.

Să presupunem că este necesară eliminarea planului terenului ABCDE. Să luăm unul dintre vârfurile secțiunii, de exemplu A, drept inițial și să folosim astrolabul pentru a măsura unghiurile la vârful A, adică.
/ 1, / 2, / 3 (dev. 387).

Apoi, folosind un lanț de măsurare, măsurăm distanțele AE, AD, AC și AB. În funcție de dimensiunea parcelei și de dimensiunea foii de hârtie pe care este aplicat planul, se selectează scara pentru desenarea planului.

În punctul A, care este luat ca vârf al poligonului, construim trei unghiuri, respectiv egale cu / 1, / 2 și / 3; apoi, pe scara selectată pe părțile laterale ale acestor colțuri de la punctul A „înlăturați segmentele A „E”, A „D”, A „C” și A „B”. Conectarea punctelor A „și E”, E "și D", D "și C, C" și B", B" și A", obținem un poligon A"B"C"D"E", similar cu poligonul ABCDE. Acesta va fi un plan de acest teren, desenat la scara aleasă.

Când se rezolvă multe probleme de construcție, se folosește metoda similarității, a cărei esență este următoarea: mai întâi, se construiește o cifră similară cu cea dată, apoi această cifră crește (descrește) în raportul necesar (adică, o cifră similară este construit) care satisface conditia problemei.

Procesul de învățare a aplicării similitudinii la rezolvarea problemelor de construcție ar trebui împărțit în patru etape: pregătitoare, introductivă, formarea abilităților, îmbunătățirea abilităților. Fiecare etapă are propriul său scop didactic, care este atins atunci când elevii îndeplinesc sarcini special concepute.

Scopul didactic al etapei pregătitoare este formarea deprinderilor elevilor: să evidențieze datele care determină forma figurii, o mulțime de perechi de figuri asemănătoare între ele; construiți o figură în funcție de datele care definesc forma; trece de la figura construită la cea dorită.

După studierea primului semn de asemănare a triunghiurilor, putem propune următoarea mulțime sarcinile:

Construiți un triunghi cu două colțuri. Câte soluții are problema? Ce elemente determină forma triunghiurilor construite?

Numiți triunghiuri similare în Figura 35.

Se cunosc următoarele elemente ale unui triunghi: a) unghiuri de 75 şi 25; b) inaltime 1,5 cm; c) unghiuri de 75 și 25, înălțimea 1,5 cm. Care dintre aceste date determină singura cifră din fig.

Ce unghiuri determină forma triunghiurilor din figura 35?

Va fi posibilă determinarea dimensiunilor unuia dintre triunghiurile din fig. 35 dacă se cunosc următoarele date: a) unghiurile de la baza triunghiului; b) înălțimea triunghiului; c) lateral și colțuri la bază?

Triunghiurile ABC și ABC sunt similare în Figura 36 dacă ACAC? dacă sunt asemănătoare, care este coeficientul lor de asemănare?

Setul de sarcini prezentate elevilor după studierea semnelor 2 și 3 ale asemănării triunghiurilor sunt compilate într-un mod similar. Cu toate acestea, la trecerea de la această trăsătură la următoarea, întrebările devin ceva mai complicate și anume: se modifică locația triunghiurilor în figuri, îndepărtându-se de cea standard, setul elementului care definește singura figură variază. Sarcini, de exemplu, ar putea fi:

1. Triunghiurile ABC și ABC sunt similare dacă:

a) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, B=60º;

b) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, H=30º;

c) AB=3cm, BC=5cm, CA=7cm, AB=4,5cm, BC=7,5cm, CA=10,5cm;

d) AB=1,7cm, BC=3cm, SA=4,2cm, AB=34cm, BC=60cm, SA=84cm.

2. Într-un triunghi ABC cu unghi ascuțit C se desenează înălțimile AE și BD (Fig. 37). Demonstrați că ABC este similar cu EDC.

3. Demonstrați că perimetrele triunghiurilor similare sunt legate ca laturi corespunzătoare.

Scopul didactic al etapei introductive este de a explica elevilor structura procesului de construcție prin metoda similarității.

Explicația începe cu problema.

Sarcină. Construiți un triunghi având două unghiuri date și și o bisectoare de lungime d desenată din vârful celui de-al treilea unghi.

Analizând sarcina cu elevii, profesorul oferă sarcini - întrebări, răspunsurile la care sunt consemnate pe scurt pe tablă. Întrebările ar putea fi:

1. Ce date determină forma triunghiului cerut?

2. Ce date determină dimensiunile triunghiului dorit?

3. Câte triunghiuri pot fi construite cu două colțuri? Care va fi forma de construcție a tuturor triunghiurilor construite?

4. Ce segment trebuie desenat într-un triunghi asemănător cu cel dorit?

5. Cum se construiește triunghiul dorit?

Răspunsurile la întrebări sunt însoțite de un desen cu mână liberă pe tablă (Fig. 38).

a) ABC: A=, B=;

b) construiți bisectoarea unghiului C în triunghiul ABC,

c) construct СN=d, NCD;

d) trageți o dreaptă prin punctul N, AB;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC - cel dorit: A=, B= (deoarece ABC ABC prin 1 caracteristică) și CN=d prin construcție. Scopul didactic al etapei, care formează capacitatea de a rezolva probleme de tipul luat în considerare, este deja clar din denumire. Principala formă de activitate în această etapă este căutarea individuală. Se încheie cu o conversație rezumativă.

Iată câteva exemple de sarcini care pot fi propuse în această etapă.

Sarcină. În interiorul unghiului AOB este dat un punct F. Construiți un punct M pe latura OA, la fel de îndepărtat de F și de latura OB

Decizie.

1. Analiza. Să ne întoarcem la Figura 39. Să fie construit punctul M, apoi MF=MP. Aceasta înseamnă că punctul dorit M este centrul unui cerc de rază MF cu centrul M, atingând latura OB în punctul P.

Dacă luăm un punct arbitrar M pe OA și aruncăm MP în CB și găsim F intersecția cercului cu centrul M al razei MP cu linia dreaptă OF, atunci MFP va fi similar cu MFP. Din aceasta rezultă construcția necesară.

2. Construcție. Tragem OF, luăm un punct arbitrar M pe CA și coborâm MP la CB. Desenăm un cerc de rază MP centrat în punctul M. Fie F punctul de intersecție al acestui cerc cu OF. Desenăm FM și apoi tragem o linie dreaptă prin punctul FFM. Punctul M de intersecție a acestei drepte cu OA este cel necesar.

3. Dovada. Este evident din analiza efectuată.

4. Cercetare. Problema are 2 solutii. Aceasta rezultă din faptul că cercul se intersectează cu OF în 2 puncte.

Sarcină. Construiți un triunghi cu 2 colțuri și un perimetru.

Decizie.

1. Analiza. Fie și unghiuri date și P perimetrul triunghiului dorit (Fig. 40). Să presupunem că triunghiul dorit este construit, atunci dacă considerăm orice ABC similar celui dorit, raportul dintre perimetrul P ABC și perimetrul P ABC este egal cu raportul laturilor AC și AC.

2. Construcție. Să construim un ABC asemănător cu cel dorit. Pe raza AB, lăsați deoparte segmentele AD=P și AD=P, apoi conectați punctele D și C și trasați o linie DC prin punctul D. Fie C punctul de intersecție al dreptei cu raza AC. Desenați o dreaptă CB prin punctul C și notați punctul de intersecție al acestei drepte cu AD, atunci ABC este cel necesar.

3. Dovada. Evident, ACD este similar cu ACD, prin urmare. Raportul de aspect este egal cu raportul dintre perimetrele ABC și ABC similare, prin urmare perimetrul ABC \u003d P, prin urmare, ABC este cel dorit.

4. Cercetare. Deoarece suma oricăror două unghiuri ale unui triunghi<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Sarcină. Având în vedere AOB și punctul M, situat în regiunea interioară a acestui colț. Construiți un cerc care trece prin punctul A și atingând laturile unghiului AOB.

Decizie.

1. Analiza. Fie dat AOB și punctul M, situat în regiunea interioară a colțului (Fig. 41).

Să desenăm un alt cerc atingând părțile laterale ale AOB. Fie M punctul de intersecție al cercului cu dreapta OM și considerăm OMN și OMN (N și N centrele cercului și).

Aceste triunghiuri sunt similare în două unghiuri, astfel încât construcția cercului dorit se poate face după cum urmează:

2. Construcție. Deoarece centrul cercului dorit se află pe bisectoarea AOB, desenăm bisectoarea unghiului. În plus, luăm aici punctul N și construim un cerc cu centrul N care atinge AOB. Apoi desenăm dreapta SM și notăm cu M - punctul de intersecție al dreptei cu cercul (există două astfel de puncte - M și M - luăm unul dintre ele). Desenăm dreapta MN și linia ei prin punctul M. Atunci N este intersecția dreptei cu bisectoarea unghiului și este centrul cercului dorit, iar raza lui este egală cu MN. Hai să o facem să treacă.

3. Dovada. Prin construcție, cercul este similar, O este centrul asemănării. Acest lucru rezultă din asemănarea triunghiurilor OMN și OMN, prin urmare, deoarece cercul atinge laturile unghiului, atunci cercul va atinge și laturile unghiului.

4. Cercetare. Problema are două soluții, pentru că OM se intersectează cu cercul în două puncte M și M, fiecare dintre ele va corespunde propriului cerc care trece prin punctul M și atinge laturile lui AOB.

Scopul didactic al etapei care îmbunătățește capacitatea de a rezolva probleme de tipul considerat mai sus este transferul deprinderii formate la probleme mai complexe, în special la următoarele situații: figura dorită ocupă o anumită poziție în raport cu punctele date sau linii, în timp ce eliminarea uneia dintre condițiile problemei duce la un sistem de figuri similare sau omotetice. Să dăm un exemplu de astfel de sarcină.

Sarcină. Înscrieți un pătrat într-un triunghi dat, astfel încât două dintre vârfurile sale să se afle pe o parte a triunghiului, iar celelalte două să se afle pe celelalte două laturi.

Sarcinile corespunzătoare obiectivelor acestei etape sunt excluse din sarcinile de nivel obligatoriu. Prin urmare, acestea sunt oferite doar studenților cu performanțe bune. În această etapă, atenția principală este acordată activității de căutare individuală a elevilor.

De regulă, două triunghiuri sunt considerate similare dacă au aceeași formă, chiar dacă sunt de dimensiuni diferite, rotite sau chiar inversate.

Reprezentarea matematică a două triunghiuri similare A 1 B 1 C 1 și A 2 B 2 C 2 prezentate în figură este scrisă după cum urmează:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Două triunghiuri sunt similare dacă:

1. Fiecare unghi al unui triunghi este egal cu unghiul corespunzător al altui triunghi:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2și ∠C1 = ∠C2

2. Raporturile dintre laturile unui triunghi și laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relații două părți a unui triunghi la laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele și în același timp
unghiurile dintre aceste laturi sunt egale:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ și $\angle A_1 = \angle A_2$
sau
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ și $\angle B_1 = \angle B_2$
sau
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ și $\angle C_1 = \angle C_2$

Triunghiuri similare nu trebuie confundate cu triunghiuri egale. Triunghiurile congruente au laturile corespunzătoare lungimii. Deci pentru triunghiuri egale:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

De aici rezultă că toate triunghiurile egale sunt similare. Cu toate acestea, nu toate triunghiurile similare sunt egale.

Deși notația de mai sus arată că pentru a afla dacă două triunghiuri sunt similare sau nu, trebuie să cunoaștem valorile celor trei unghiuri sau lungimile celor trei laturi ale fiecărui triunghi, pentru a rezolva probleme cu triunghiuri similare, este suficient să cunoașteți oricare trei valori din cele de mai sus pentru fiecare triunghi. Aceste valori pot fi în diferite combinații:

1) trei unghiuri ale fiecărui triunghi (lungimile laturilor triunghiurilor nu trebuie cunoscute).

Sau cel puțin 2 unghiuri ale unui triunghi trebuie să fie egale cu 2 unghiuri ale altui triunghi.
Deoarece dacă două unghiuri sunt egale, atunci și al treilea unghi va fi egal.(Valoarea celui de-al treilea unghi este 180 - unghi1 - unghi2)

2) lungimile laturilor fiecărui triunghi (nu este nevoie să cunoaștem unghiurile);

3) lungimile celor două laturi și unghiul dintre ele.

În continuare, luăm în considerare rezolvarea unor probleme cu triunghiuri similare. În primul rând, vom analiza problemele care pot fi rezolvate folosind direct regulile de mai sus, apoi vom discuta câteva probleme practice care pot fi rezolvate folosind metoda triunghiurilor similare.

Probleme practice cu triunghiuri similare

Exemplul #1: Arătați că cele două triunghiuri din figura de mai jos sunt similare.

Decizie:
Deoarece lungimile laturilor ambelor triunghiuri sunt cunoscute, a doua regulă poate fi aplicată aici:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exemplul #2: Arătați că două triunghiuri date sunt similare și găsiți lungimile laturilor PQși relatii cu publicul.

Decizie:
∠A = ∠Pși ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(deoarece ∠C = 180 - ∠A - ∠B și ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

De aici rezultă că triunghiurile ∆ABC și ∆PQR sunt similare. Prin urmare:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ și
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exemplul #3: Determinați lungimea ABîn acest triunghi.

Decizie:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDși ∠A comun => triunghiuri ΔABCși ΔADE Sunt asemănătoare.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\time AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Exemplul #4: Determinați lungimea AD(x) figura geometrică din figură.

Triunghiurile ∆ABC și ∆CDE sunt similare deoarece AB || DE și au un colț superior comun C.
Vedem că un triunghi este o versiune la scară a celuilalt. Cu toate acestea, trebuie să o demonstrăm matematic.

AB || DE, CD || AC și BC || eu
∠BAC = ∠EDC și ∠ABC = ∠DEC

Pe baza celor de mai sus și ținând cont de prezența unui unghi comun C, putem afirma că triunghiurile ∆ABC și ∆CDE sunt similare.

Prin urmare:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Exemple practice

Exemplul #5: Fabrica folosește o bandă transportoare înclinată pentru a transporta produsele de la nivelul 1 la nivelul 2, care se află la 3 metri deasupra nivelului 1, așa cum se arată în figură. Transportorul înclinat este deservit de la un capăt la nivelul 1 și de la celălalt capăt la o stație de lucru situată la o distanță de 8 metri de punctul de operare de la nivelul 1.

Fabrica vrea să modernizeze transportorul pentru a accesa noul nivel, care se află la 9 metri deasupra nivelului 1, menținând în același timp unghiul transportorului.

Determinați distanța la care trebuie să configurați o nouă stație de lucru pentru a vă asigura că transportorul funcționează la noul său capăt la nivelul 2. Calculați, de asemenea, distanța suplimentară pe care o va parcurge produsul atunci când trece la un nou nivel.

Decizie:

Mai întâi, să etichetăm fiecare punct de intersecție cu o literă specifică, așa cum se arată în figură.

Pe baza raționamentului dat mai sus în exemplele anterioare, putem concluziona că triunghiurile ∆ABC și ∆ADE sunt similare. Prin urmare,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Astfel, noul punct trebuie instalat la o distanță de 16 metri de punctul existent.

Și deoarece structura este alcătuită din triunghiuri dreptunghiulare, putem calcula distanța de călătorie a produsului după cum urmează:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

În mod similar, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
care este distanța pe care produsul o parcurge în momentul în care atinge nivelul existent.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Aceasta este distanța suplimentară pe care trebuie să o parcurgă un produs pentru a atinge un nou nivel.

Exemplul #6: Steve vrea să-și viziteze prietenul care s-a mutat recent într-o casă nouă. Harta rutieră pentru a ajunge la Steve și casa prietenului său, împreună cu distanțele cunoscute de Steve, este prezentată în figură. Ajută-l pe Steve să ajungă la casa prietenului său în cel mai scurt drum.

Decizie:

Foaia de parcurs poate fi reprezentată geometric în următoarea formă, așa cum se arată în figură.

Vedem că triunghiurile ∆ABC și ∆CDE sunt similare, prin urmare:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Declarația de sarcină precizează că:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km și DE = 5 km

Folosind aceste informații, putem calcula următoarele distanțe:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve poate ajunge la casa prietenului său folosind următoarele rute:

A -> B -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, distanta totala este de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Prin urmare, ruta #3 este cea mai scurtă și poate fi oferită lui Steve.

Exemplul 7:
Trisha vrea să măsoare înălțimea casei, dar nu are instrumentele potrivite. Ea a observat că în fața casei creștea un copac și a decis să-și folosească ingeniozitatea și cunoștințele de geometrie dobândite la școală pentru a determina înălțimea clădirii. Ea a măsurat distanța de la copac până la casă, rezultatul a fost de 30 m. Apoi a stat în fața copacului și a început să se îndepărteze până când marginea de sus a clădirii a fost vizibilă deasupra vârfului copacului. Trisha a marcat locul și a măsurat distanța de la acesta până la copac. Aceasta distanta a fost de 5 m.

Înălțimea copacului este de 2,8 m, iar înălțimea ochilor lui Trisha este de 1,6 m. Ajută-l pe Trisha să determine înălțimea clădirii.

Decizie:

Reprezentarea geometrică a problemei este prezentată în figură.

Mai întâi folosim asemănarea triunghiurilor ∆ABC și ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5) + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \time AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Apoi putem folosi similaritatea triunghiurilor ∆ACB și ∆AFG sau ∆ADE și ∆AFG. Să alegem prima variantă.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0,16) = 10 m$

Sarcina 1. Construiți un triunghi, cunoscând cele două unghiuri și perimetrul acestuia.

Decizie. Cunoașterea unghiurilor unui triunghi îl determină deja până la o transformare de similaritate. Prin urmare, pentru a rezolva problema, construim orice triunghi LS, cu unghiurile date (Fig. 277). Rămâne să transformăm în mod similar triunghiul, astfel încât perimetrul său să devină egal cu valoarea dată.

Pentru a face acest lucru, lăsați deoparte laturile sale pe prelungirile laturii, segmentul va fi egal cu perimetrul triunghiului. Luați orice segment KL paralel cu segmentul, dar egal cu perimetrul dat. Conectăm capetele ambelor segmente paralele și luăm ca centru de asemănare punctul O al intersecției dreptelor. Construcția vârfurilor A și C ale triunghiului dorit poate fi văzută din Fig. 277, laturile sale AB și CB sunt paralele cu laturile corespunzătoare ale triunghiului.

În cazul unui triunghi - deja dorit.

Sarcina 2. Având în vedere unghiul format de razele OA și OB și punctul N din interiorul acestui unghi. Construiți un cerc tangent la laturile colțului și care trece prin punctul dat N (Fig. 278).

Decizie. Un cerc tangent la laturile unui unghi trebuie să fie centrat pe bisectoarea acelui unghi. Să luăm un punct arbitrar pe această bisectoare și să construim un cerc centrat pe laturile colțului (raza acestuia este pur și simplu egală cu distanța punctului de laturile colțului). Dacă acum transformăm acest cerc în mod similar cu centrul de similitudine la vârful unghiului O, atunci din nou obținem un cerc centrat pe bisectoare; un astfel de cerc va atinge din nou laturile colțului, deoarece raza lui care duce la punctul de contact va trece, în virtutea conservării unghiurilor, într-o rază perpendiculară pe latura colțului. Rămâne să se asigure îndeplinirea celei de-a doua condiții: cercul transformat trebuie să treacă prin punctul N. Aceasta implică rezolvarea problemei. Desenați raza ON până la intersecția cu cercul în puncte și construiți-i razele care conduc la aceste puncte. Printr-un punct dat N trasăm drepte NC și NC paralele cu aceste raze; punctele lor de intersecție C, C cu bisectoarea și dați pozițiile posibile ale centrului cercului dorit. Problema are două soluții. Cum se va schimba soluția dacă punctul N se află pe bisectoarea unghiului?

Exerciții

1. Perimetrul unui triunghi este de 10 cm, iar aria lui Care este perimetrul unui triunghi similar dacă aria lui este?

2. Demonstrați că triunghiurile isoscele cu unghiuri de vârf egale sunt similare.

3. Construiți un triunghi asemănător celui dat și înscris într-un cerc de rază dată.

4. Înscrieți un pătrat într-un triunghi dat ABC, astfel încât una dintre laturile sale să se afle pe latura BC a triunghiului, iar două vârfuri să fie pe celelalte două laturi ale triunghiului.