Conceptul de rădăcină a n-a a unui număr real. Rădăcina gradului al n-lea: definiții, denumire, exemple

Scriptul lecției în clasa a 11-a pe tema:

Rădăcina a n-a a unui număr real. »

Scopul lecției: Formarea la studenți a unei viziuni holistice asupra rădăcinii n-gradul și rădăcina aritmetică de gradul al n-lea, formarea abilităților de calcul, abilitățile de utilizare conștientă și rațională a proprietăților rădăcinii în rezolvarea diferitelor probleme care conțin un radical. Pentru a verifica nivelul de stăpânire a întrebărilor temei de către elevi.

Subiect:creați condiții semnificative și organizatorice pentru asimilarea materialului pe tema " Expresii numerice și alfabetice » la nivel de percepție, înțelegere și memorare primară; să formeze capacitatea de a aplica aceste informații atunci când se calculează rădăcina gradului al n-lea dintr-un număr real;

Metasubiect: promovează dezvoltarea abilităților de calcul; capacitatea de a analiza, compara, generaliza, trage concluzii;

Personal: de a cultiva capacitatea de a-și exprima punctul de vedere, de a asculta răspunsurile celorlalți, de a lua parte la un dialog, de a forma capacitatea de cooperare pozitivă.

Rezultat planificat.

Subiect: să poată aplica proprietățile rădăcinii de gradul al n-lea dintr-un număr real în procesul unei situații reale la calcularea rădăcinilor, rezolvarea ecuațiilor.

Personal: să formeze atenție și acuratețe în calcule, o atitudine exigentă față de sine și față de munca sa, să cultive un sentiment de asistență reciprocă.

Tip de lecție: lecție de studiu și consolidare primară a noilor cunoștințe

Motivația pentru activitățile de învățare:

Înțelepciunea răsăriteană spune: „Poți duce un cal la apă, dar nu-l poți face să bea”. Și este imposibil să forțezi o persoană să studieze bine dacă el însuși nu încearcă să învețe mai mult, nu are dorința de a lucra la dezvoltarea sa mentală. La urma urmei, cunoașterea este cunoaștere numai atunci când este dobândită prin eforturile gândirii cuiva, și nu numai prin memorie.

Lecția noastră se va desfășura sub motto-ul: „Vom cuceri orice vârf dacă ne străduim pentru el”. În timpul lecției, tu și cu mine trebuie să avem timp să depășim mai multe vârfuri și fiecare dintre voi trebuie să depună toate eforturile pentru a cuceri aceste vârfuri.

„Astăzi avem o lecție în care trebuie să ne familiarizăm cu un nou concept: „rădăcina a n-a” și să învățăm cum să aplicăm acest concept la transformarea diferitelor expresii.

Scopul tău este să activezi cunoștințele existente pe baza diverselor forme de muncă, să contribui la studiul materialului și să obții note bune.
Am studiat rădăcina pătrată a unui număr real în clasa a VIII-a. Rădăcina pătrată este legată de funcția de vizualizare y=X 2. Băieți, vă amintiți cum am calculat rădăcinile pătrate și ce proprietăți avea?
a) sondaj individual:

care este această expresie

ce este o rădăcină pătrată

care este rădăcina pătrată aritmetică

enumerați proprietățile rădăcinii pătrate

b) se lucrează în perechi: se calculează.

2. Actualizarea cunoștințelor și crearea unei situații problematice: Rezolvați ecuația x 4 =1. Cum o putem rezolva? (Analitic și grafic). Să o rezolvăm grafic. Pentru a face acest lucru, într-un sistem de coordonate, construim un grafic al funcției y \u003d x 4 linie dreaptă y \u003d 1 (Fig. 164 a). Ele se intersectează în două puncte: A (-1;1) și B(1;1). Abcisele punctelor A și B, adică. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, sunt rădăcinile ecuației x 4 \u003d 1.
Argumentând în același mod, găsim rădăcinile ecuației x 4 \u003d 16: Acum să încercăm să rezolvăm ecuația x 4 \u003d 5; ilustrația geometrică este prezentată în fig. 164 b. Este clar că ecuația are două rădăcini x 1 și x 2, iar aceste numere, ca și în cele două cazuri precedente, sunt reciproc opuse. Dar pentru primele două ecuații, rădăcinile au fost găsite fără dificultate (au putut fi găsite și fără a folosi grafice) și există probleme cu ecuația x 4 \u003d 5: conform desenului, nu putem indica valorile \ u200b\u200din rădăcini, dar putem stabili doar că o rădăcină este situată în punctul din stânga -1, iar a doua - în dreapta punctului 1.

x 2 \u003d - (a se citi: „a patra rădăcină din cinci”).

Am vorbit despre ecuația x 4 \u003d a, unde a 0. Cu succes egal, am putea vorbi despre ecuația x 4 \u003d a, unde a 0 și n este orice număr natural. De exemplu, rezolvând grafic ecuația x 5 \u003d 1, găsim x \u003d 1 (Fig. 165); rezolvând ecuația x 5 "= 7, stabilim că ecuația are o rădăcină x 1, care este situată pe axa x puțin la dreapta punctului 1 (vezi Fig. 165). Pentru numărul x 1, introducem notaţie.

Definiția 1. Rădăcina gradului al n-lea al unui număr nenegativ a (n = 2, 3,4, 5, ...) este un număr nenegativ care, ridicat la puterea lui n, are ca rezultat numărul a.

Acest număr este notat, numărul a se numește număr rădăcină, iar numărul n este indicele rădăcină.
Dacă n = 2, atunci de obicei nu spun „rădăcină de gradul doi”, ci spun „„rădăcină pătrată”. În acest caz, ei nu scriu. Acesta este cazul special pe care l-ai studiat special în al VIII-lea curs de algebră de grad.

Dacă n \u003d 3, atunci în loc de „rădăcină de gradul trei” se spune adesea „rădăcină cubă”. Prima ta cunoștință cu rădăcina cubă a avut loc și la cursul de algebră de clasa a VIII-a. Am folosit rădăcina cubă la cursul de algebră de clasa a IX-a.

Deci, dacă a ≥0, n= 2,3,4,5,…, atunci 1) ≥ 0; 2) () n = a.

În general, =b și b n =a - aceeași relație între numerele nenegative a și b, dar al doilea este descris într-un limbaj mai simplu (folosește simboluri mai simple) decât primul.

Operația de găsire a rădăcinii unui număr nenegativ se numește de obicei extragerea rădăcinii. Această operație este inversul creșterii la puterea corespunzătoare. Comparaţie:

Fiți atenți din nou: în tabel apar numai numere pozitive, deoarece acest lucru este stipulat în definiția 1. Și, deși, de exemplu, (-6) 6 \u003d 36 este egalitatea corectă, treceți de la ea la notație folosind rădăcina pătrată, adică. scrie ce nu poți. Prin definiție - un număr pozitiv, deci = 6 (și nu -6). În același mod, deși 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16, trecând la semnele rădăcinilor, trebuie să scriem \u003d 2 (și în același timp ≠-2).

Uneori, expresia este numită un radical (de la cuvântul latin gadix - „rădăcină”). În rusă, termenul radical este folosit destul de des, de exemplu, „schimbări radicale” înseamnă „schimbări radicale”. Apropo, însăși desemnarea rădăcinii amintește de cuvântul gadix: simbolul este o litera stilizată r.

Operația de extragere a rădăcinii este determinată și pentru un număr negativ de rădăcină, dar numai în cazul unui exponent rădăcină impar. Cu alte cuvinte, ecuația (-2) 5 = -32 poate fi rescrisă în forma echivalentă ca =-2. Aici se folosește următoarea definiție.

Definiția 2. Rădăcina unui grad impar n dintr-un număr negativ a (n = 3,5, ...) este un număr negativ care, ridicat la puterea lui n, are ca rezultat numărul a.

Acest număr, ca în definiția 1, este notat cu , numărul a este numărul rădăcinii, numărul n este indicele rădăcinii.
Deci, dacă a, n=,5,7,…, atunci: 1) 0; 2) () n = a.

Astfel, o rădăcină pară are sens (adică este definită) numai pentru o expresie radicală nenegativă; o rădăcină ciudată are sens pentru orice expresie radicală.

5. Consolidarea primară a cunoștințelor:

1. Calculați: Nr. Nr. 33,5; 33,6; 33,74 33,8 oral a) ; b) ; în); G).

d) Spre deosebire de exemplele anterioare, nu putem specifica valoarea exactă a numărului. Este clar doar că este mai mare decât 2, dar mai mic decât 3, deoarece 2 4 \u003d 16 (acesta este mai mic decât 17) și 3 4 \u003d 81 (acest mai mult de 17). Rețineți că 24 este mult mai aproape de 17 decât de 34, așa că există motive să folosiți un semn aproximativ egal:
2. Găsiți valorile următoarelor expresii.

Pune litera corespunzătoare lângă exemplu.

Câteva informații despre marele om de știință. René Descartes (1596-1650) nobil francez, matematician, filozof, fiziolog, gânditor. Rene Descartes a pus bazele geometriei analitice, a introdus denumirile literelor x 2 , y 3 . Toată lumea știe coordonatele carteziene care definesc o funcție a unei variabile.

3 . Rezolvați ecuațiile: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Decizie: a) Dacă = -2, atunci y = -8. De fapt, trebuie să cubăm ambele părți ale ecuației date. Se obține: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Argumentând ca în exemplul a), ridicăm ambele părți ale ecuației la a patra putere. Se obține: x=1.

c) Aici nu este necesară ridicarea la puterea a patra, această ecuație nu are soluții. De ce? Pentru că, conform definiției 1, rădăcina unui grad par este un număr nenegativ.
Există mai multe sarcini pentru atenția dvs. Când veți finaliza aceste sarcini, veți afla numele și prenumele marelui matematician. Acest om de știință în 1637 a fost primul care a introdus semnul rădăcinii.

6. Hai să ne odihnim.

Clasa ridică mâinile - acesta este „timpul”.

Capul s-a întors - sunt „doi”.

Cu mâinile în jos, așteptați înainte - acesta este „trei”.

Mâinile s-au întors mai largi în lateral pe „patru”,

Apăsarea lor împotriva mâinilor cu forță este „cinci”.

Toți băieții trebuie să se așeze - acesta este „șase”.

7. Munca independentă:

opțiune: 2 opțiune:

b) 3-. b) 12 -6.

2. Rezolvați ecuația: a) x 4 \u003d -16; b) 0,02x6 -1,28=0; a) x 8 \u003d -3; b) 0,3x 9 - 2,4 \u003d 0;

c) = -2; c)= 2

8. Repetiție: Aflați rădăcina ecuației = - x. Dacă ecuația are mai multe rădăcini, scrieți cea mai mică dintre rădăcini în răspuns.

9. Reflecție: Ce ai învățat la lecție? Ce a fost interesant? Ce a fost dificil?

X 4 =1 și rezolvați-l grafic. Pentru a face acest lucru, într-un sistem de coordonate, construim un grafic al funcției y \u003d x n o linie dreaptă y \u003d 1 (Fig. 164 a). Se intersectează în două puncte:

Ele sunt rădăcinile ecuației x 4 \u003d 1.
Argumentând în același mod, găsim rădăcinile ecuației x 4 \u003d 16:

Și acum să încercăm să rezolvăm ecuația x 4 \u003d 5; ilustrația geometrică este prezentată în fig. 164 b. Este clar că ecuația are două rădăcini x 1 și x 2, iar aceste numere, ca și în cele două cazuri precedente, sunt reciproc opuse. Dar pentru primele două ecuații rădăcini au fost găsite fără dificultate (au putut fi găsite fără a folosi grafice), dar există probleme cu ecuația x 4 \u003d 5: conform desenului, nu specificăm valorile rădăcinilor, dar putem doar stabiliți că o rădăcină este situată la stânga punctului -1, iar a doua - la dreapta punctului 1.
Se poate dovedi (în același mod în care sa făcut în manualul nostru de Algebra-8 pentru numărul l / b) că x 1 și x 2 sunt numere iraționale (adică fracții zecimale neperiodice infinite).

Întâlnind o astfel de situație pentru prima dată, matematicienii și-au dat seama că trebuie să vină cu o modalitate de a o descrie în limbaj matematic. Au introdus în considerare un nou simbol pe care l-au numit rădăcina gradului al patrulea și, cu ajutorul acestui simbol, rădăcinile ecuației x 4 \u003d 5 au fost scrise după cum urmează: (a se citi: „a patra rădăcină din cinci”).

Observație 1. Comparați aceste argumente cu argumente similare din § 17, 32 și 38. Noi termeni și noi notații în matematică apar atunci când sunt necesari pentru a descrie un nou calcul matematic. modele. Aceasta este o reflectare a particularităților limbajului matematic: funcția sa principală nu este comunicativă - pentru comunicare, ci organizatoare - pentru organizarea muncii de succes cu modele matematice în diferite domenii de cunoaștere.

Am vorbit despre ecuația x 4 \u003d a, unde a > 0. Cu succes egal, am putea vorbi și despre ecuația x 4 \u003d a, unde a > 0 și n este orice număr natural. De exemplu, rezolvând grafic ecuația x 5 \u003d 1, găsim x \u003d 1 (Fig. 165); rezolvând ecuația x 5 "= 7, stabilim că ecuația are o rădăcină xr, care este situată pe axa x puțin la dreapta punctului 1 (vezi Fig. 165). Pentru numărul xx, introducem notația Hh .

În general, rezolvând ecuația x n \u003d a, unde a> 0, n e N, n> 1, obținem două rădăcini în cazul lui n par: (Fig. 164, c); în cazul lui n impar - o rădăcină (se citește: „rădăcina gradului al n-lea din numărul a”). Rezolvând ecuația x p \u003d 0, obținem singura rădăcină x \u003d 0.

Observația 2.În limbajul matematic, ca și în limbajul obișnuit, se întâmplă ca același termen să fie aplicat unor concepte diferite; deci, în propoziția anterioară, cuvântul „rădăcină” este folosit în două sensuri: ca rădăcină a ecuației (te-ai obișnuit de mult cu o astfel de interpretare) și ca rădăcină a gradului l al numărului (nou interpretare). De obicei, din context reiese clar ce interpretare a termenului se referă.

Acum suntem gata să oferim o definiție precisă.

Definiția 1. Rădăcina l a unui număr nenegativ a (n = 2, 3.4, 5, ...) este un număr nenegativ care, atunci când este ridicat la o putere a lui n, are ca rezultat numărul a.

Acest număr este notat, numărul a se numește număr rădăcină, iar numărul n este indicele rădăcină.
Dacă n \u003d 2, atunci de obicei nu spun „rădăcină de gradul doi”, ci spun „”rădăcină pătrată”. În acest caz, nu scrieți Acesta este cazul special pe care l-ați studiat în mod special la cursul de algebră de clasa a VIII-a.

În general, este același model matematic (aceeași relație între numerele nenegative a și b), dar doar al doilea este descris într-un limbaj mai simplu (folosește simboluri mai simple) decât primul.

Operația de găsire a rădăcinii unui număr nenegativ se numește de obicei extragerea rădăcinii. Această operație este inversul creșterii la puterea corespunzătoare. Comparaţie:

Fiți atenți încă o dată: în tabel apar numai numere pozitive, deoarece acest lucru este stipulat în definiția 1. Și, deși, de exemplu, (-6) 6 \u003d 36 este egalitatea corectă, treceți de la aceasta la notație folosind rădăcina pătrată, adică scrie ce nu poți. A-prioriu

Exemplul 1 Calculati:

Cu toate acestea, o valoare aproximativă mai precisă a numărului poate fi găsită folosind un calculator care conține operația de extragere a rădăcinii, este aproximativ egală cu
Operația de extragere a rădăcinii este determinată și pentru un număr negativ de rădăcină, dar numai în cazul unui exponent rădăcină impar. Cu alte cuvinte, egalitatea (-2)5 =-32 poate fi rescrisă într-o formă echivalentă ca . Aici se folosește următoarea definiție.

Definiția 2. Rădăcina unui grad impar l dintr-un număr negativ a (n \u003d 3,5, ...) este un număr negativ care, atunci când este ridicat la puterea lui n, are ca rezultat numărul a.

Acest număr, ca în definiția 1, este notat cu , numărul a este numărul rădăcinii, numărul n este indicele rădăcinii.
Asa de,

Astfel, o rădăcină pară are sens (adică este definită) numai pentru o expresie radicală nenegativă; o rădăcină ciudată are sens pentru orice expresie radicală.
Exemplul 2. Rezolvarea ecuațiilor:

Decizie: si daca De fapt, trebuie să cubăm ambele părți ale ecuației date. Primim:

b) Argumentând ca în exemplul a), ridicăm ambele părți ale ecuației la a patra putere. Primim:

c) Aici nu este necesară ridicarea la puterea a patra, această ecuație nu are soluții. De ce? Pentru că, conform definiției 1, rădăcina unui grad par este un număr nenegativ.
d) Ridicând ambele părți ale ecuației la a șasea putere, obținem:

A.G. Algebră Mordkovich, clasa a 10-a

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, instruiri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole cipuri pentru pătuțuri curioase manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment în manual elemente de inovare în lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru anul recomandări metodologice ale programului de discuții Lecții integrate

Lecție și prezentare pe tema: „rădăcina a n-a a unui număr real”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
„Sarcini interactive pentru construirea în spațiu pentru clasele a 10-a și a 11-a”

Rădăcina gradului n. Repetarea trecutului.

Băieți, subiectul lecției de astăzi se numește „rădăcina a n-a a unui număr real”.
Am studiat rădăcina pătrată a unui număr real în clasa a VIII-a. Rădăcina pătrată este asociată cu o funcție de forma $y=x^2$. Băieți, vă amintiți cum am calculat rădăcinile pătrate și ce proprietăți avea? Repetați singur acest subiect.
Să considerăm o funcție de forma $y=x^4$ și să trasăm graficul acesteia.

Acum rezolvați grafic ecuația: $x^4=16$.
Să desenăm o linie dreaptă $y=16$ pe graficul funcției noastre și să vedem în ce puncte se intersectează cele două grafice.
Graficul funcției arată clar că avem două soluții. Funcțiile se intersectează în două puncte cu coordonatele (-2;16) și (2;16). Abcisele punctelor noastre sunt soluțiile ecuației noastre: $x_1=-2$ și $x_2=2$. De asemenea, este ușor să găsiți rădăcinile ecuației $x^4=1$, evident $x_1=-1$ și $x_2=1$.
Ce se întâmplă dacă există o ecuație $x^4=7$.
Să reprezentăm grafic funcțiile noastre:
Graficul nostru arată clar că ecuația are și două rădăcini. Ele sunt simetrice față de axa y, adică sunt opuse. Nu se poate găsi soluția exactă din graficul funcțiilor. Putem spune doar că soluțiile noastre sunt modulo mai mici decât 2, dar mai mari decât 1. De asemenea, putem spune că rădăcinile noastre sunt numere iraționale.
În fața unei astfel de probleme, matematicienii au trebuit să o descrie. Au introdus o nouă notație: $\sqrt()$, pe care au numit-o a patra rădăcină. Atunci rădăcinile ecuației noastre $x^4=7$ vor fi scrise sub această formă: $x_1=-\sqrt(7)$ și $x_2=\sqrt(7)$. Se citește ca a patra rădăcină din șapte.
Am vorbit despre o ecuație de forma $x^4=a$, unde $a>0$ $(a=1,7,16)$. Putem considera ecuații de forma: $x^n=a$, unde $a>0$, n este orice număr natural.
Ar trebui să fim atenți la gradul de la x, indiferent dacă gradul este par sau impar - numărul de soluții se modifică. Să ne uităm la un exemplu concret. Să rezolvăm ecuația $x^5=8$. Să construim grafice ale funcției:
Graficul funcțiilor arată clar că în cazul nostru avem o singură soluție. Soluția este de obicei notată ca $\sqrt(8)$. Rezolvând o ecuație de forma $x^5=a$ și rulând de-a lungul întregii axe y, este ușor de înțeles că această ecuație va avea întotdeauna o singură soluție. În acest caz, valoarea lui a poate fi mai mică decât zero.

Rădăcina gradului n. Definiție

Definiție. Rădăcina gradului al n-lea ($n=2,3,4…$) a unui număr nenegativ a este un astfel de număr nenegativ, când este ridicat la puterea lui n, se obține numărul a.

Acest număr este notat cu $\sqrt[n](a)$. Numărul a se numește numărul rădăcinii, n este indicele rădăcinii.

Rădăcinile gradului al doilea și al treilea se numesc rădăcini pătrate și, respectiv, cubice. Le-am studiat în clasa a VIII-a și a IX-a.
Dacă $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, atunci:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
Operația de găsire a rădăcinii unui număr nenegativ se numește "extracția rădăcinilor".
Exponentiația și extracția rădăcinilor sunt aceeași dependență:

Băieți, vă rugăm să rețineți că numai numerele pozitive sunt prezentate în tabel. În definiție, am stipulat că rădăcina este luată numai dintr-un număr nenegativ a. În continuare, vom face precizări când este posibil să extragem rădăcina dintr-un număr negativ a.

Rădăcina gradului n. Exemple de soluții

Calculati:
a) $\sqrt(64)$.
Rezolvare: $\sqrt(64)=8$ deoarece $8>0$ și $8^2=64$.

B) $\sqrt(0,064)$.
Rezolvare: $\sqrt(0,064)=0,4$ deoarece $0,4>0$ și $0,4^3=0,064$.

C) $\sqrt(0)$.
Rezolvare: $\sqrt(0)=0$.

D) $\sqrt(34)$.
Soluție: În acest exemplu, nu putem afla valoarea exactă, numărul nostru este irațional. Dar putem spune că este mai mare decât 2 și mai mic decât 3, deoarece 2 la puterea a 5-a este 32, iar 3 la puterea a 5-a este 243. 34 se află între aceste numere. Putem găsi o valoare aproximativă folosind un calculator care poate calcula rădăcinile lui $\sqrt(34)≈2,02$ cu o precizie de miimi.
În definiția noastră, am fost de acord să calculăm rădăcinile gradului al n-lea numai din numere pozitive. La începutul lecției, am văzut un exemplu în care puteți extrage rădăcinile gradului n din numere negative. Am luat în considerare exponentul impar al funcției și acum să facem câteva precizări.

Definiție. Rădăcina unui grad impar n (n = 3,5,7,9 ...) dintr-un număr negativ a este un astfel de număr negativ, atunci când este ridicat la puterea lui n, se obține a.

Denumirea este de obicei folosită la fel.
Dacă $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
O rădăcină pară are sens numai pentru un număr de rădăcină pozitiv, o rădăcină impară are sens pentru orice număr de rădăcină.

Exemple.
a) Rezolvați ecuațiile: $\sqrt(3x+3)=-3$.
Rezolvare: Dacă $\sqrt(y)=-3$ atunci $y=-27$. Adică, ambele părți ale ecuației noastre trebuie să fie cuburi.
$3x+3=-27$.
$3x=-30$.
$x=-10$.

B) Rezolvați ecuațiile: $\sqrt(2x-1)=1$.
Ridicați ambele părți la a patra putere:
$2x-1=1$.
$2x=2$.
$x=1$.

C) Rezolvați ecuațiile: $\sqrt(4x-1)=-5$.
Soluție: Conform definiției noastre, rădăcina unui grad par poate fi luată doar dintr-un număr pozitiv și ni se dă unul negativ, atunci nu există rădăcini.

D) Rezolvați ecuațiile: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
Soluție: Ridicați ambele părți ale ecuației la a cincea putere:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ și $x_2=3$.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Calculați:
a) $\sqrt(81)$.
b) $\sqrt(0,0016)$.
c) $\sqrt(1)$.
d) $\sqrt(70)$.
2. Rezolvați ecuațiile:
a) $\sqrt(2x+6)=2$.
b) $\sqrt(3x-5)=-1$.
c) $\sqrt(4x-8)=-4$.
d) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

sau folosind formula diferenței de pătrate astfel:

(x 2 -4) * (x 2 +4) \u003d 0.

Produsul a doi factori este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre ei este egal cu zero.

Expresia x 2 +4 nu poate fi egală cu zero, prin urmare, rămâne doar (x 2 -4)=0.

Rezolvăm, primim două răspunsuri.

Răspuns: x=-2 și x=2.

Am obținut că ecuația x 4 \u003d 16 are doar 2 rădăcini reale. Acestea sunt rădăcinile gradului al patrulea din numărul 16. Mai mult, rădăcina pozitivă se numește rădăcina aritmetică a gradului al patrulea din numărul 16. Și ele notează 4√16. Adică 4√16=2.

Definiție

Rădăcina aritmetică a unui grad natural n>=2 dintr-un număr nenegativ a este un număr nenegativ, când este ridicat la puterea lui n, se obține numărul a.

Se poate dovedi că pentru orice a nenegativ și n natural, ecuația x n = a va avea o singură rădăcină nenegativă. Această rădăcină este numită rădăcina aritmetică de gradul al n-lea din numărul a.

Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea din numărul a se notează după cum urmează n√a.

Numărul a în acest caz se numește expresie rădăcină.

În cazul în care n = 2, ei nu scriu un deuce, ci pur și simplu scrie √a.

Rădăcinile aritmetice de gradul doi și trei au numele lor speciale.

Rădăcina aritmetică de gradul doi se numește rădăcină pătrată, iar rădăcina aritmetică de gradul al treilea se numește rădăcină cubă.

Folosind doar definiția unei rădăcini aritmetice, se poate demonstra că n√a este egal cu b. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătați că:

1. b este mai mare sau egal cu zero.
2. b n =a.

De exemplu, 3√(64) = 4, deoarece 1. 4>0, 2. 4 3 =64.

Consecință din definiția unei rădăcini aritmetice.

(n√a) n = a.
n√(a n) = a.

De exemplu, (5√2) 5 = 2.

Extragerea a n-a rădăcină

Extragerea rădăcinii gradului al n-lea este acțiunea prin care se găsește rădăcina gradului al n-lea. Luarea a n-a rădăcină este inversul creșterii la a n-a putere.

Luați în considerare un exemplu.

Rezolvați ecuația x 3 = -27.

Să rescriem această ecuație ca (-x) 3 =27.

Punem y \u003d -x, apoi y 3 \u003d 27. Această ecuație are o rădăcină pozitivă y= 3√27 = 3.

Această ecuație nu are rădăcini negative, deoarece y 3

Obținem că ecuația y 3 \u003d 27 are o singură rădăcină.

Revenind la ecuația inițială, aflăm că are și o singură rădăcină x=-y=-3.

Gradul de rădăcină n dintr-un număr real A, Unde n- un număr natural, se numește un astfel de număr real X, n a cărui putere este egală cu A.

rădăcină de grad n din număr A indicat prin simbol. Conform acestei definiţii.

Găsirea rădăcinii n gradul dintre A numită extragerea rădăcinilor. Număr A se numește număr rădăcină (expresie), n- un indicator al rădăcinii. Pentru ciudat n există o rădăcină n-gradul pentru orice număr real A. Chiar n există o rădăcină n-gradul numai pentru număr nenegativ A. Pentru a elimina ambiguitatea rădăcinii n gradul dintre A, se introduce conceptul de rădăcină aritmetică n gradul dintre A.

Conceptul de rădăcină aritmetică de gradul N

Dacă n- număr natural mai mare decât 1 , atunci există și un singur număr nenegativ X, astfel încât egalitatea să fie valabilă. Acest număr X numită rădăcină aritmetică n a-a putere a unui număr nenegativ A si se noteaza. Număr A numit numărul rădăcină n- un indicator al rădăcinii.

Deci, conform definiției, notația , unde , înseamnă, în primul rând, că și, în al doilea rând, că , i.e. .

Conceptul de grad cu exponent rațional

Gradul cu exponent natural: lat A este un număr real și n este un număr natural mai mare decât unu n-a-a putere a unui număr A sunați la lucru n multiplicatori, fiecare dintre care este egal cu A, adică . Număr A- baza gradului, n- exponent. Exponent cu exponent zero: prin definiție, dacă , atunci . Puterea zero a unui număr 0 nu are sens. Putere cu un exponent întreg negativ: prin definiție, dacă și n este un număr natural, atunci . Gradul cu un exponent fracționar: prin definiție, dacă și n- numar natural, m este un număr întreg, atunci .

Operații cu rădăcini.

În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcina aritmetică (expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorului:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de n ori și ridicați simultan numărul rădăcinii la a n-a putere, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de n ori și, în același timp, extrageți rădăcina gradului al n-lea din numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:

Extinderea conceptului de grad. Până acum, am luat în considerare grade doar cu un indicator natural; dar operațiile cu puteri și rădăcini pot duce și la exponenți negativi, zero și fracționari. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Gradul cu exponent negativ. Puterea unui număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:

Acum formula a m: a n \u003d a m - n poate fi folosită nu numai pentru m mai mare decât n, ci și pentru m mai mic decât n.

EXEMPLU a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Dacă dorim ca formula a m: a n = a m - n să fie valabilă pentru m = n , trebuie să definim gradul zero.

Gradul cu exponent zero. Gradul oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina gradului al n-lea din puterea a m a acestui număr a:

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.

Cazul 1

Unde a ≠ 0 nu există.

Într-adevăr, dacă presupunem că x este un anumit număr, atunci, conform definiției operației de împărțire, avem: a = 0 · x, i.e. a = 0, ceea ce contrazice condiția: a ≠ 0

Cazul 2

Orice număr.

Într-adevăr, dacă presupunem că această expresie este egală cu un număr x, atunci conform definiției operației de împărțire, avem: 0 = 0 · x . Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, care trebuia demonstrat.

Într-adevăr,

Soluție. Luați în considerare trei cazuri principale:

1) x = 0 - această valoare nu satisface această ecuație

2) pentru x > 0 obținem: x / x = 1, adică. 1 = 1, de unde rezultă că x este orice număr; dar având în vedere că în cazul nostru x > 0 , răspunsul este x > 0 ;

3) la x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

in acest caz nu exista solutie. Deci x > 0.

Portal pentru student. Autoinstruire