În această lecție, vom studia diferite opțiuni pentru interacțiunea unui cerc și a unei linii drepte. Reamintim definițiile larg utilizate în acest caz. O linie dreaptă este o figură geometrică axiomatică indefinibilă, care este o linie dreaptă fără început sau sfârșit. Un cerc este un set de puncte care se află echidistante de un centru comun (centrul cercului) conectate printr-o curbă comună. Cu alte cuvinte, un cerc este o curbă obișnuită închisă care conturează aria maximă posibilă.
Strict vorbind, există trei opțiuni pentru poziția relativă a cercului și a liniei. În primul caz, linia dreaptă se află complet în afara cercului dat, nici intersectându-l, nici atingându-l nicăieri. Dacă linia atinge exact un anumit punct din mulțimea de pe cerc, atunci această dreaptă se numește tangentă față de cercul dat.
Tangenta are o proprietate importantă. Raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe linia însăși. Videoclipul arată un cerc cu centrul O, dreapta A și punctul tangent K. Deoarece acest punct este la singular, linia A este tangentă la acest cerc. Și unghiul de la K, format din rază și orice parte a liniei, este drept - egal cu 90 de grade. De asemenea, merită remarcată o caracteristică importantă - tangenta are un singur punct de contact. Este imposibil să trasezi o linie dreaptă astfel încât să atingă două puncte de pe tangenta cercului.
Dacă linia noastră A trece prin întregul cerc, afectând regiunea sa interioară, atunci acesta este deja al treilea caz special al interacțiunii acestor figuri. În acest caz, linia dreaptă trece strict prin două puncte de pe cerc - să zicem, B și C. Se numește secanta cercului. Secanta trece întotdeauna numai prin oricare două puncte din setul de pe curbă. Deoarece există multe puncte într-un cerc, este posibil să se deseneze un număr infinit de secante (precum și tangente) pentru un cerc dat.
Partea interioară a dreptei secante, de fapt segmentul BC, este coarda pentru cerc. Dacă secanta trece prin centrul cercului, atunci partea sa interioară este reprezentată de cea mai mare coardă - diametrul. În acest caz, punctele de intersecție B și C sunt la cea mai mare distanță unul de celălalt (după proprietatea diametrului). Este ușor de înțeles că cazul special opus este o secantă care formează o coardă cu o valoare infinitezimală, de fapt, aceasta este deja o tangentă.
În probleme, se găsește adesea un segment P - conectează calea cea mai scurtă la un punct potrivit pe o linie dreaptă și centrul cercului însuși. Cu alte cuvinte, P este segmentul TO, unde T este un punct pe dreapta BC. Acest segment este o perpendiculară pe linie, continuarea sa către cerc însuși este raza sa. Valoarea liniară a acestui segment poate fi calculată prin cosinusul unghiului format de rază și linia secantă, cu vârful în punctul de secțiune.
Amintiți-vă o definiție importantă - definiția unui cerc]
Definiție:
Un cerc centrat în punctul O și raza R este mulțimea tuturor punctelor din plan care se află la o distanță R de punctul O.
Să fim atenți la faptul că mulțimea se numește cerc. toate puncte care satisfac condiția descrisă. Luați în considerare un exemplu:
Punctele A, B, C, D ale pătratului sunt echidistante de punctul E, dar nu sunt un cerc (Fig. 1).
Orez. 1. Ilustrație de exemplu
În acest caz, figura este un cerc, deoarece este tot un set de puncte echidistante de centru.
Dacă conectăm oricare două puncte ale cercului, obținem o coardă. Coarda care trece prin centru se numește diametru.
MB - acord; AB - diametru; MnB - arc, este contractat de coarda MB;
Colțul se numește central.
Punctul O este centrul cercului.
Orez. 2. Ilustrație de exemplu
Astfel, ne-am amintit ce este un cerc și elementele sale principale. Acum să trecem la luarea în considerare a poziției relative a cercului și a liniei.
Dat un cerc cu centrul O și raza r. Linia P, distanța de la centru la linie, adică perpendiculara OM, este egală cu d.
Presupunem că punctul O nu se află pe dreapta P.
Având în vedere un cerc și o linie dreaptă, trebuie să găsim numărul de puncte comune.
Cazul 1 - distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza cercului:
În primul caz, când distanța d este mai mică decât raza cercului r, punctul M se află în interiorul cercului. Din acest punct vom pune deoparte două segmente - MA și MB, a căror lungime va fi. Cunoaștem valorile lui r și d, d este mai mică decât r, ceea ce înseamnă că expresia există și punctele A și B există. Aceste două puncte se află pe o linie dreaptă prin construcție. Să verificăm dacă se întind pe un cerc. Calculați distanța dintre OA și OB folosind teorema lui Pitagora:
Orez. 3. Ilustrația cazului 1
Distanța de la centru la două puncte este egală cu raza cercului, așa că am demonstrat că punctele A și B aparțin cercului.
Deci, punctele A și B aparțin dreptei prin construcție, aparțin cercului prin ceea ce s-a dovedit - cercul și dreapta au două puncte comune. Să demonstrăm că nu există alte puncte (Fig. 4).
Orez. 4. Ilustrație pentru dovadă
Pentru a face acest lucru, luați un punct arbitrar C pe o linie dreaptă și presupuneți că se află pe un cerc - distanța OS = r. În acest caz, triunghiul este isoscel și mediana sa ON, care nu coincide cu segmentul OM, este înălțimea. Am obținut o contradicție: două perpendiculare sunt coborâte din punctul O către dreaptă.
Astfel, pe dreapta P nu există alte puncte comune cu cercul. Am demonstrat că în cazul în care distanța d este mai mică decât raza r a cercului, linia și cercul au doar două puncte comune.
Cazul doi - distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este egală cu raza cercului (Fig. 5):
Orez. 5. Ilustrația cazului 2
Amintiți-vă că distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, în acest caz OH este perpendiculara. Deoarece, prin condiție, lungimea OH este egală cu raza cercului, atunci punctul H aparține cercului, deci punctul H este comun dreptei și cercului.
Să demonstrăm că nu există alte puncte comune. Dimpotrivă: să presupunem că punctul C de pe dreaptă aparține cercului. În acest caz, distanța OC este r, iar apoi OC este OH. Dar într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza OS este mai mare decât catetul OH. Avem o contradicție. Astfel, presupunerea este greșită și nu există alt punct decât H care să fie comun dreptei și cercului. Am demonstrat că în acest caz punctul comun este unic.
Cazul 3 - distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mare decât raza cercului:
Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei. Tragem o perpendiculară de la punctul O la dreapta P, obținem punctul H, care nu se află pe cerc, deoarece OH este, prin condiție, mai mare decât raza cercului. Să demonstrăm că orice alt punct al dreptei nu se află pe cerc. Acest lucru se vede clar din triunghiul dreptunghic, a cărui ipotenuză OM este mai mare decât catetul OH și, prin urmare, mai mare decât raza cercului, deci punctul M nu aparține cercului, ca orice alt punct de pe linie. Am demonstrat că în acest caz cercul și dreapta nu au puncte comune (Fig. 6).
Orez. 6. Ilustrația cazului 3
Considera teorema . Să presupunem că linia AB are două puncte în comun cu cercul (Fig. 7).
Orez. 7. Ilustrație pentru teoremă
Avem un acord AB. Punctul H, conform condiției, este mijlocul coardei AB și se află pe diametrul CD.
Se cere să se demonstreze că în acest caz dimetrul este perpendicular pe coardă.
Dovada:
Considerăm un triunghi isoscel OAB, acesta este isoscel, deoarece .
Punctul H, prin condiție, este mijlocul coardei, ceea ce înseamnă mijlocul medianei AB a unui triunghi isoscel. Știm că mediana unui triunghi isoscel este perpendiculară pe baza acestuia, ceea ce înseamnă că este înălțimea: deci, astfel, se demonstrează că diametrul care trece prin mijlocul coardei este perpendicular pe acesta.
corect şi teorema inversă : dacă diametrul este perpendicular pe coardă, atunci trece prin punctul său de mijloc.
Având în vedere un cerc cu centrul O, diametrul său CD și coarda AB. Se știe că diametrul este perpendicular pe coardă, este necesar să se demonstreze că trece prin mijlocul acesteia (Fig. 8).
Orez. 8. Ilustrație pentru teoremă
Dovada:
Considerăm un triunghi isoscel OAB, acesta este isoscel, deoarece . OH, prin condiție, este înălțimea triunghiului, deoarece diametrul este perpendicular pe coardă. Înălțimea într-un triunghi isoscel este și o mediană, deci AH = HB, ceea ce înseamnă că punctul H este mijlocul coardei AB, ceea ce înseamnă că se demonstrează că diametrul perpendicular pe coardă trece prin mijlocul acesteia.
Teorema directă și inversă poate fi generalizată după cum urmează.
Teorema:
Un diametru este perpendicular pe o coardă dacă și numai dacă trece prin punctul său de mijloc.
Deci, am luat în considerare toate cazurile de aranjare reciprocă a unei linii drepte și a unui cerc. În lecția următoare, vom lua în considerare tangenta la un cerc.
Bibliografie
- Aleksandrov A.D. etc Geometrie Clasa 8. - M.: Educație, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie 8. - M.: Iluminismul, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie nota 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru ().
Teme pentru acasă
Sarcina 1. Aflați lungimile a două segmente ale coardei, în care diametrul cercului îl împarte, dacă lungimea coardei este de 16 cm, iar diametrul este perpendicular pe acesta.
Sarcina 2. Indicați numărul de puncte comune ale unei linii drepte și ale unui cerc dacă:
a) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 6 cm, iar raza cercului este de 6,05 cm;
b) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 6,05 cm, iar raza cercului este de 6 cm;
c) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 8 cm, iar raza cercului este de 16 cm.
Sarcina 3. Aflați lungimea coardei dacă diametrul este perpendicular pe acesta, iar unul dintre segmentele tăiate de diametrul acesteia este de 2 cm.
Cerc- o figură geometrică formată din toate punctele planului situate la o distanţă dată de un punct dat.
Acest punct (O) se numește centrul cercului.
Raza cercului este un segment de dreaptă care leagă centrul de un punct al cercului. Toate razele au aceeași lungime (prin definiție).
Coardă Un segment de linie care leagă două puncte dintr-un cerc. Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru. Centrul unui cerc este punctul de mijloc al oricărui diametru.
Oricare două puncte de pe cerc îl împart în două părți. Fiecare dintre aceste părți este numită arc de cerc. Arcul se numește semicerc dacă segmentul care îi leagă capetele are un diametru.
Lungimea unui semicerc unitar se notează cu π
.
Suma gradelor a două arce de cerc cu capete comune este 360º.
Se numește partea de plan mărginită de un cerc în jurul.
sector circular- o parte de cerc delimitată de un arc și două raze care leagă capetele arcului de centrul cercului. Arcul care delimitează sectorul se numește arc sectorial.
Se numesc două cercuri care au un centru comun concentric.
Două cercuri care se intersectează în unghi drept sunt numite ortogonală.
Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui cerc
- Dacă distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza cercului ( d), atunci linia și cercul au două puncte comune. În acest caz, linia este numită secantăîn raport cu cercul.
- Dacă distanța de la centrul cercului la linie este egală cu raza cercului, atunci linia și cercul au un singur punct comun. O astfel de linie se numește tangentă la cerc, iar punctul lor comun se numește punct de contact între o linie și un cerc.
- Dacă distanța de la centrul cercului la linie este mai mare decât raza cercului, atunci linia și cercul nu au puncte comune .
Unghiuri centrale și înscrise
Colț central este unghiul cu vârful în centrul cercului.
Unghi înscris Un unghi al cărui vârf se află pe cerc și ale cărui laturi intersectează cercul.
Teorema unghiului înscris
Un unghi înscris este măsurat cu jumătate din arcul pe care îl interceptează.
- Consecința 1.
Unghiurile înscrise care subtind același arc sunt egale. - Consecința 2.
Un unghi înscris care intersectează un semicerc este un unghi drept.
Teoremă asupra produsului segmentelor de coarde care se intersectează.
Dacă două acorduri ale unui cerc se intersectează, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celeilalte coarde.
Formule de bază
- Circumferinţă:
- Lungimea arcului:
- Diametru:
- Lungimea arcului:
Unde α - măsura în grade a lungimii unui arc de cerc)
- Aria unui cerc:
- Zona sectorului circular:
Ecuația cercului
- Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, ecuația pentru un cerc cu rază r centrat pe un punct C(x o; y o) are forma:
- Ecuația pentru un cerc cu raza r centrat la origine este:
Scopul didactic: formarea de noi cunoștințe.
Obiectivele lecției.
Tutoriale:
- pentru a forma concepte matematice: o tangentă la un cerc, poziția relativă a unei drepte și a unui cerc, pentru a realiza înțelegerea și reproducerea de către studenți a acestor concepte prin implementarea lucrărilor de cercetare practică.
Salvarea sănătății:
- crearea unui climat psihologic favorabil în sala de clasă;
În curs de dezvoltare:
- de a dezvolta interesul cognitiv al elevilor, capacitatea de a explica, generaliza rezultatele, compara, contrasta, trage concluzii.
Educational:
- educaţia prin intermediul matematicii culturii personalităţii.
Forme de studiu:
- continut - conversatie, munca practica;
- privind organizarea activităților - individuale, frontale.
Planul lecției
| Blocuri | Etapele lecției |
| 1 bloc | Organizarea timpului. Pregătirea pentru studiul de material nou prin repetarea și actualizarea cunoștințelor de bază. |
| 2 bloc | Stabilirea obiectivelor. |
| 3 bloc | Introducere în material nou. Lucrări practice de cercetare. |
| 4 bloc | Consolidarea materialului nou prin rezolvarea problemelor |
| 5 bloc | Reflecţie. Executarea lucrarilor conform desenului finit. |
| 6 bloc | Rezumând lecția. Stabilirea temelor. |
Echipament:
- computer, ecran, proiector;
- Înmânează.
Resurse educaționale:
1. Matematică. Manual pentru instituțiile de învățământ clasa a VI-a; / G.V. Dorofeev, M., Iluminismul, 2009
2. Markova V.I. Caracteristici ale predării geometriei în contextul implementării standardului educațional de stat: linii directoare, Kirov, 2010
3. Atanasyan L.S. Manual „Geometrie 7-9”.
În timpul orelor
| 1. Moment organizatoric. Pregătirea pentru studiul de material nou prin repetarea și actualizarea cunoștințelor de bază. |
Salutarea elevilor. Indică subiectul lecției. Află ce asocieri apar cu cuvântul „cerc” |
Scrieți data și subiectul lecției în caiet. Răspunde la întrebarea profesorului. |
| 2. Stabilirea scopului lecției | Rezumă scopurile formulate de elevi, stabilește obiectivele lecției | Formulați obiectivele lecției. |
| 3. Cunoașterea materialului nou. | Organizează o conversație, solicită modelelor să arate cum pot fi localizate un cerc și o linie dreaptă. Organizați lucrări practice. Organizează munca cu manualul. |
Răspunde la întrebările profesorului. Efectuați lucrări practice, trageți o concluzie. Ei lucrează cu manualul, găsesc o concluzie și o compară cu a lor. |
| 4. Înțelegerea primară, consolidarea prin rezolvarea problemelor. | Organizează munca în funcție de desene gata făcute. Lucrați cu manualul: p. 103 Nr. 498, Nr. 499. Rezolvarea problemelor |
Rezolvați oral problemele și comentați soluția. Efectuați rezolvarea problemelor și comentați. |
| 5. Reflecție. Executarea lucrarilor conform desenului finit | Instruiește munca de făcut. | Finalizează sarcina pe cont propriu. Autotestare. Rezumând. |
| 6. Rezumând. Stabilirea temelor | Elevii sunt invitați să analizeze clusterul alcătuit la începutul lecției, să îl perfecționeze ținând cont de cunoștințele acumulate. | Rezumând. Elevii apelează la obiectivele stabilite, analizează rezultatele: ce au învățat nou, ce au învățat în lecție |
1. Moment organizatoric. Actualizare de cunoștințe.
Profesorul spune tema lecției. Află ce asocieri apar cu cuvântul „cerc”.
Care este diametrul cercului dacă raza este de 2,4 cm?
Care este raza dacă diametrul este de 6,8 cm?
2. Stabilirea obiectivelor.
Elevii își stabilesc obiectivele pentru lecție, profesorul le rezumă și stabilește obiectivele lecției.
Se întocmește un program de activități în cadrul lecției.
3. Cunoașterea materialului nou.
1) Lucrul cu modele: „Arătați pe modele cum pot fi amplasate o linie dreaptă și un cerc pe un plan.”
Câte puncte au în comun?
2) Implementarea lucrărilor de cercetare practică.
Ţintă. Setați proprietatea poziției relative a liniei și a cercului.
Echipament: un cerc desenat pe o bucată de hârtie și un băț ca linie dreaptă, o riglă.
- În figură (pe o foaie de hârtie), setați poziția relativă a cercului și a liniei drepte.
- Măsurați raza cercului R și distanța de la centrul cercului la dreapta d.
- Înregistrați rezultatele studiului într-un tabel.
| Imagine | Aranjament reciproc | Numărul de puncte comune | Raza cercului R | Distanța de la centrul cercului la linia d | Comparați R și d |
4. Faceți o concluzie despre poziția relativă a dreptei și a cercului, în funcție de raportul dintre R și d.
Concluzie: Dacă distanța de la centrul cercului la linie este egală cu raza, atunci linia atinge cercul și are un punct comun cu cercul. Dacă distanța de la centrul cercului la linie este mai mare decât raza, atunci cercul și linia nu au puncte comune. Dacă distanța de la centrul cercului la linie este mai mică decât raza, linia intersectează cercul și are două puncte comune cu acesta.
5. Înțelegerea primară, consolidarea prin rezolvarea problemelor.
1) Teme de manuale: Nr. 498, Nr. 499.
2) Determinați poziția relativă a dreptei și a cercului dacă:
- 1. R=16cm, d=12cm
- 2. R=5cm, d=4,2cm
- 3. R=7,2 dm, d=3,7 dm
- 4. R=8 cm, d=1,2dm
- 5. R=5cm, d=50mm
a) o dreaptă și un cerc nu au puncte comune;
b) linia este tangentă la cerc;
c) o linie intersectează un cerc.
- d este distanța de la centrul cercului la linia dreaptă, R este raza cercului.
3) Ce se poate spune despre poziția relativă a dreptei și a cercului, dacă diametrul cercului este de 10,3 cm, iar distanța de la centrul cercului la linie este de 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.
4) Dat un cerc cu centrul O si punctul A. Unde este punctul A daca raza cercului este de 7 cm, iar lungimea segmentului OA este: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.
6. Reflecție
Ce ai învățat la lecție?
Ce regula a fost stabilita?
Finalizați următoarele sarcini de pe cărți:
Desenați o linie prin fiecare două puncte. Câte puncte comune are fiecare dintre linii cu cercul.
Linia ______ și cercul nu au puncte comune.
Linia ______ și cercul au un singur punct ___________.
Dreptele ______, _______, ________, _______ și cercul au două puncte comune.
7. Rezumând. Stabilirea temelor:
1) analizați clusterul alcătuit la începutul lecției, perfecționați-l ținând cont de cunoștințele acumulate;
2) manual: Nr. 500;
3) completați tabelul (pe cartonașe).
| Raza cercului | 4 cm | 6,2 cm | 3,5 cm | 1,8 cm | ||
| Distanța de la centrul cercului la linie | 7 cm | 5,12 cm | 3,5 cm | 9,3 cm | 8,25 m | |
| Concluzie despre poziția relativă a cercului și a dreptei | Drept traversează cercul |
Drept atinge cercul |
Drept nu traversează cercul |
Amintiți-vă o definiție importantă - definiția unui cerc]
Definiție:
Un cerc centrat în punctul O și raza R este mulțimea tuturor punctelor din plan care se află la o distanță R de punctul O.
Să fim atenți la faptul că mulțimea se numește cerc. toate puncte care satisfac condiția descrisă. Luați în considerare un exemplu:
Punctele A, B, C, D ale pătratului sunt echidistante de punctul E, dar nu sunt un cerc (Fig. 1).
Orez. 1. Ilustrație de exemplu
În acest caz, figura este un cerc, deoarece este tot un set de puncte echidistante de centru.
Dacă conectăm oricare două puncte ale cercului, obținem o coardă. Coarda care trece prin centru se numește diametru.
MB - acord; AB - diametru; MnB - arc, este contractat de coarda MB;
Colțul se numește central.
Punctul O este centrul cercului.
Orez. 2. Ilustrație de exemplu
Astfel, ne-am amintit ce este un cerc și elementele sale principale. Acum să trecem la luarea în considerare a poziției relative a cercului și a liniei.
Dat un cerc cu centrul O și raza r. Linia P, distanța de la centru la linie, adică perpendiculara OM, este egală cu d.
Presupunem că punctul O nu se află pe dreapta P.
Având în vedere un cerc și o linie dreaptă, trebuie să găsim numărul de puncte comune.
Cazul 1 - distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza cercului:
În primul caz, când distanța d este mai mică decât raza cercului r, punctul M se află în interiorul cercului. Din acest punct vom pune deoparte două segmente - MA și MB, a căror lungime va fi. Cunoaștem valorile lui r și d, d este mai mică decât r, ceea ce înseamnă că expresia există și punctele A și B există. Aceste două puncte se află pe o linie dreaptă prin construcție. Să verificăm dacă se întind pe un cerc. Calculați distanța dintre OA și OB folosind teorema lui Pitagora:
Orez. 3. Ilustrația cazului 1
Distanța de la centru la două puncte este egală cu raza cercului, așa că am demonstrat că punctele A și B aparțin cercului.
Deci, punctele A și B aparțin dreptei prin construcție, aparțin cercului prin ceea ce s-a dovedit - cercul și dreapta au două puncte comune. Să demonstrăm că nu există alte puncte (Fig. 4).
Orez. 4. Ilustrație pentru dovadă
Pentru a face acest lucru, luați un punct arbitrar C pe o linie dreaptă și presupuneți că se află pe un cerc - distanța OS = r. În acest caz, triunghiul este isoscel și mediana sa ON, care nu coincide cu segmentul OM, este înălțimea. Am obținut o contradicție: două perpendiculare sunt coborâte din punctul O către dreaptă.
Astfel, pe dreapta P nu există alte puncte comune cu cercul. Am demonstrat că în cazul în care distanța d este mai mică decât raza r a cercului, linia și cercul au doar două puncte comune.
Cazul doi - distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este egală cu raza cercului (Fig. 5):
Orez. 5. Ilustrația cazului 2
Amintiți-vă că distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, în acest caz OH este perpendiculara. Deoarece, prin condiție, lungimea OH este egală cu raza cercului, atunci punctul H aparține cercului, deci punctul H este comun dreptei și cercului.
Să demonstrăm că nu există alte puncte comune. Dimpotrivă: să presupunem că punctul C de pe dreaptă aparține cercului. În acest caz, distanța OC este r, iar apoi OC este OH. Dar într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza OS este mai mare decât catetul OH. Avem o contradicție. Astfel, presupunerea este greșită și nu există alt punct decât H care să fie comun dreptei și cercului. Am demonstrat că în acest caz punctul comun este unic.
Cazul 3 - distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mare decât raza cercului:
Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei. Tragem o perpendiculară de la punctul O la dreapta P, obținem punctul H, care nu se află pe cerc, deoarece OH este, prin condiție, mai mare decât raza cercului. Să demonstrăm că orice alt punct al dreptei nu se află pe cerc. Acest lucru se vede clar din triunghiul dreptunghic, a cărui ipotenuză OM este mai mare decât catetul OH și, prin urmare, mai mare decât raza cercului, deci punctul M nu aparține cercului, ca orice alt punct de pe linie. Am demonstrat că în acest caz cercul și dreapta nu au puncte comune (Fig. 6).
Orez. 6. Ilustrația cazului 3
Considera teorema . Să presupunem că linia AB are două puncte în comun cu cercul (Fig. 7).
Orez. 7. Ilustrație pentru teoremă
Avem un acord AB. Punctul H, conform condiției, este mijlocul coardei AB și se află pe diametrul CD.
Se cere să se demonstreze că în acest caz dimetrul este perpendicular pe coardă.
Dovada:
Considerăm un triunghi isoscel OAB, acesta este isoscel, deoarece .
Punctul H, prin condiție, este mijlocul coardei, ceea ce înseamnă mijlocul medianei AB a unui triunghi isoscel. Știm că mediana unui triunghi isoscel este perpendiculară pe baza acestuia, ceea ce înseamnă că este înălțimea: deci, astfel, se demonstrează că diametrul care trece prin mijlocul coardei este perpendicular pe acesta.
corect şi teorema inversă : dacă diametrul este perpendicular pe coardă, atunci trece prin punctul său de mijloc.
Având în vedere un cerc cu centrul O, diametrul său CD și coarda AB. Se știe că diametrul este perpendicular pe coardă, este necesar să se demonstreze că trece prin mijlocul acesteia (Fig. 8).
Orez. 8. Ilustrație pentru teoremă
Dovada:
Considerăm un triunghi isoscel OAB, acesta este isoscel, deoarece . OH, prin condiție, este înălțimea triunghiului, deoarece diametrul este perpendicular pe coardă. Înălțimea într-un triunghi isoscel este și o mediană, deci AH = HB, ceea ce înseamnă că punctul H este mijlocul coardei AB, ceea ce înseamnă că se demonstrează că diametrul perpendicular pe coardă trece prin mijlocul acesteia.
Teorema directă și inversă poate fi generalizată după cum urmează.
Teorema:
Un diametru este perpendicular pe o coardă dacă și numai dacă trece prin punctul său de mijloc.
Deci, am luat în considerare toate cazurile de aranjare reciprocă a unei linii drepte și a unui cerc. În lecția următoare, vom lua în considerare tangenta la un cerc.
Bibliografie
- Aleksandrov A.D. etc Geometrie Clasa 8. - M.: Educație, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie 8. - M.: Iluminismul, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie nota 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru ().
Teme pentru acasă
Sarcina 1. Aflați lungimile a două segmente ale coardei, în care diametrul cercului îl împarte, dacă lungimea coardei este de 16 cm, iar diametrul este perpendicular pe acesta.
Sarcina 2. Indicați numărul de puncte comune ale unei linii drepte și ale unui cerc dacă:
a) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 6 cm, iar raza cercului este de 6,05 cm;
b) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 6,05 cm, iar raza cercului este de 6 cm;
c) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 8 cm, iar raza cercului este de 16 cm.
Sarcina 3. Aflați lungimea coardei dacă diametrul este perpendicular pe acesta, iar unul dintre segmentele tăiate de diametrul acesteia este de 2 cm.
