Algebra și începutul analizei matematice

Diferențierea funcției exponențiale și logaritmice

Compilat de:

profesor de matematică MOU liceu №203 CHETs

Orașul Novosibirsk

Vidutova T.V.

Număr e. Funcţie y=e X, proprietățile sale, graficul, diferențierea

1. Să construim grafice pentru diverse baze a: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (Opțiunea 2) (Opțiunea 1) "width="640"

Luați în considerare funcția exponențială y = a X, unde un 1.

Să construim pentru diferite baze A diagrame:

1. y=2 X

3. y=10 X

2. y=3 X

(Opțiunea 2)

(1 opțiune)

1) Toate graficele trec prin punctul (0; 1);

2) Toate graficele au o asimptotă orizontală y = 0

la X  ∞;

3) Toate sunt întoarse cu o umflătură în jos;

4) Toate au tangente în toate punctele lor.

Desenați o tangentă la graficul funcției y=2 X la punct X= 0 si se masoara unghiul format de tangenta la axa X

Cu ajutorul construcțiilor exacte ale tangentelor la grafice, se poate observa că dacă baza A functie exponentiala y = a X baza crește treptat de la 2 la 10, apoi unghiul dintre tangenta la graficul funcției în punctul X= 0 și axa x crește treptat de la 35’ la 66,5’.

Prin urmare, există o bază A, pentru care unghiul corespunzător este de 45'. Și acest sens Aîncheiat între 2 şi 3, deoarece la A= 2 unghiul este de 35’, cu A= 3 este egal cu 48'.

În cursul analizei matematice, se dovedește că această bază există, este de obicei notat cu litera e.

Hotărât că e - un număr irațional, adică este o fracție zecimală neperiodică infinită:

e = 2,7182818284590... ;

În practică, de obicei se presupune că e ≈ 2,7.

Proprietăți grafice și funcții y = e X :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) crește;

4) nelimitat de sus, limitat de jos

5) nu are nici cel mai mare, nici cel mai mic

valori;

6) continuu;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) convex în jos;

9) este diferențiabilă.

Funcţie y = e X numit expozant .

În cursul analizei matematice, s-a dovedit că funcția y = e X are o derivată în orice punct X :

(e X ) = e X

(e 5x )" = 5e 5x

(e x-3 )" = e x-3

(e -4x+1 )" = -4e -4x-1

Exemplul 1 . Desenați o tangentă la graficul funcției în punctul x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ex

Răspuns:

Exemplul 2 .

X = 3.

Exemplul 3 .

Investigați o funcție pentru un extremum

x=0 și x=-2

X= -2 - punct maxim

X= 0 – punct minim

Dacă baza logaritmului este numărul e, atunci ei spun că dat logaritmul natural . Pentru logaritmii naturali, a fost introdusă o notație specială ln (l - logaritm, n - natural).

Graficul și proprietățile funcției y = ln x

Proprietățile funcției y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) nu este nici par, nici impar;

3) crește cu (0; + ∞);

4) nelimitat;

5) nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori;

6) continuu;

7) E (f) = (- ∞; + ∞);

8) vârf convex;

9) este diferențiabilă.

0 formula de diferențiere „width="640" este valabilă

În cursul analizei matematice, s-a dovedit că pentru orice valoare x0 formula de diferentiere este valabila

Exemplul 4:

Calculați valoarea derivatei unei funcții într-un punct X = -1.

De exemplu:

Resurse de internet:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Tema lecției: „Diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice. Antiderivată a funcției exponențiale „în sarcinile UNT

Ţintă : să dezvolte abilităţile elevilor în aplicarea cunoştinţelor teoretice pe tema „Diferenţierea funcţiilor exponenţiale şi logaritmice. O antiderivată a unei funcții exponențiale” pentru rezolvarea problemelor UNT.

Sarcini

Educational: să sistematizeze cunoștințele teoretice ale studenților, să consolideze abilitățile de rezolvare a problemelor pe această temă.

În curs de dezvoltare: dezvolta memoria, observația, gândirea logică, vorbirea matematică a elevilor, atenția, stima de sine și abilitățile de autocontrol.

Educational: promova:

formarea atitudinii responsabile a elevilor față de învățare;

dezvoltarea unui interes durabil pentru matematică;

crearea unei motivații intrinseci pozitive pentru studiul matematicii.

Metode de predare: verbal, vizual, practic.

Forme de lucru: individual, frontal, în perechi.

În timpul orelor

Epigraf: „Mintea constă nu numai în cunoaștere, ci și în capacitatea de a aplica cunoștințele în practică” Aristotel (diapozitivul 2)

I. Moment organizatoric.

II. Rezolvarea cuvintelor încrucișate. (diapozitivul 3-21)

Matematicianul francez din secolul al XVII-lea Pierre Fermat a definit această linie drept „linia dreaptă cea mai apropiată de curbă într-o mică vecinătate a unui punct”.

Tangentă

Funcția care este dată de formula y = log A X.

logaritmică

Funcția care este dată de formula y = A X.

Demonstrație

În matematică, acest concept este folosit la găsirea vitezei unui punct material și a pantei tangentei la graficul unei funcții într-un punct dat.

Derivat

Care este numele funcției F (x) pentru funcția f (x), dacă condiția F "(x) \u003d f (x) este îndeplinită pentru orice punct din intervalul I.

antiderivat

Cum se numește relația dintre X și Y, în care fiecare element al lui X este asociat cu un singur element al lui Y.

Derivată a deplasării

Viteză

O funcție care este dată de formula y \u003d e x.

Expozant

Dacă funcția f(x) poate fi reprezentată ca f(x)=g(t(x)), atunci această funcție se numește...

III. Dictare matematică (diapozitivul 22)

1. Notați formula derivatei funcției exponențiale. ( A x)" = A x ln A

2. Notați formula derivatei exponentului. (e x)" = e x

3. Scrieți formula pentru derivata logaritmului natural. (lnx)"=

4. Notați formula derivatei funcției logaritmice. (Buturuga A x)"=

5. Notați forma generală a antiderivatelor pentru funcția f(x) = A X. F(x)=

6. Notați forma generală a antiderivatelor pentru funcția f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Verificați lucrarea (răspunsurile pe diapozitivul 23).

IV. Rezolvarea problemelor UNT (simulator)

A) Nr. 1,2,3,6,10,36 pe tablă și în caiet (diapozitivul 24)

B) Lucrați în perechi nr. 19.28 (simulator) (diapozitivul 25-26)

V. 1. Găsiți erori: (diapozitivul 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f(x)= log 5 (7x+1),f "(x)=

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

VI. Prezentarea elevilor.

Epigraf: „Cunoașterea este un lucru atât de prețios încât nu este rușinos să o obții din orice sursă” Toma d’Aquino (diapozitivul 28)

VII. Tema Nr. 19,20 p.116

VIII. Test (sarcină de rezervă) (diapozitivul 29-32)

IX. Rezumatul lecției.

„Dacă vrei să participi la marea viață, umple-ți capul cu matematică cât poți. Ea vă va oferi apoi un mare ajutor pe tot parcursul vieții” M. Kalinin (diapozitivul 33)

Lasa
(1)
este o funcție diferențiabilă a lui x . În primul rând, îl vom considera pe mulțimea de valori x pentru care y ia valori pozitive: . În cele ce urmează, vom arăta că toate rezultatele obținute sunt aplicabile și pentru valorile negative ale .

În unele cazuri, pentru a găsi derivata funcției (1), este convenabil să luăm preliminar logaritmul
,
și apoi calculați derivata. Apoi, conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe,
.
De aici
(2) .

Derivata logaritmului unei functii se numeste derivata logaritmica:
.

Derivata logaritmica a functiei y = f(x) este derivata logaritmului natural al acestei funcții: (log f(x))′.

Cazul valorilor negative y

Acum luați în considerare cazul în care variabila poate lua atât valori pozitive, cât și negative. În acest caz, luați logaritmul modulului și găsiți derivata acestuia:
.
De aici
(3) .
Adică, în cazul general, trebuie să găsiți derivata logaritmului modulului funcției.

Comparând (2) și (3) avem:
.
Adică, rezultatul formal al calculării derivatei logaritmice nu depinde dacă am luat modulo sau nu. Prin urmare, atunci când calculăm derivata logaritmică, nu trebuie să ne îngrijorăm cu privire la semnul funcției.

Această situație poate fi clarificată cu ajutorul numerelor complexe. Fie, pentru unele valori ale lui x, negative: . Dacă luăm în considerare numai numerele reale, atunci funcția nu este definită. Totuși, dacă introducem numere complexe în considerare, obținem următoarele:
.
Adică, funcțiile și diferă printr-o constantă complexă:
.
Deoarece derivata unei constante este zero, atunci
.

Proprietatea derivatei logaritmice

Dintr-o asemenea consideraţie rezultă că derivata logaritmică nu se modifică dacă funcția este înmulțită cu o constantă arbitrară :
.
Intr-adevar, aplicand proprietățile logaritmului, formule sumă derivatăși derivată a unei constante, noi avem:

.

Aplicarea derivatei logaritmice

Este convenabil să folosiți derivata logaritmică în cazurile în care funcția originală constă dintr-un produs de putere sau funcții exponențiale. În acest caz, operația cu logaritm transformă produsul funcțiilor în suma lor. Acest lucru simplifică calculul derivatei.

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții:
.

Decizie

Luăm logaritmul funcției originale:
.

Diferențierea față de x .
În tabelul derivatelor găsim:
.
Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe.
;
;
;
;
(P1.1) .
Să înmulțim cu:

.

Deci, am găsit derivata logaritmică:
.
De aici găsim derivata funcției originale:
.

Notă

Dacă vrem să folosim numai numere reale, atunci ar trebui să luăm logaritmul modulului funcției originale:
.
Apoi
;
.
Și am obținut formula (A1.1). Prin urmare, rezultatul nu s-a schimbat.

Răspuns

Exemplul 2

Folosind derivata logaritmică, găsiți derivata unei funcții
.

Decizie

Logaritm:
(P2.1) .
Diferențierea față de x:
;
;

;
;
;
.

Să înmulțim cu:
.
De aici obținem derivata logaritmică:
.

Derivată a funcției originale:
.

Notă

Aici funcția originală este nenegativă: . Este definit la . Dacă nu presupunem că logaritmul poate fi determinat pentru valori negative ale argumentului, atunci formula (A2.1) ar trebui scrisă după cum urmează:
.
În măsura în care

și
,
nu va afecta rezultatul final.

Răspuns

Exemplul 3

Găsiți derivata
.

Decizie

Diferențierea se realizează folosind derivata logaritmică. Logaritm, dat fiind că:
(P3.1) .

Prin diferențiere, obținem derivata logaritmică.
;
;
;
(P3.2) .

Pentru că atunci

.

Notă

Să facem calculele fără a presupune că logaritmul poate fi definit pentru valorile negative ale argumentului. Pentru a face acest lucru, luați logaritmul modulului funcției originale:
.
Atunci în loc de (A3.1) avem:
;

.
Comparând cu (A3.2) vedem că rezultatul nu s-a schimbat.

Când se diferențiază o funcție de putere exponențială sau expresii fracționale greoaie, este convenabil să se folosească derivata logaritmică. În acest articol, vom analiza exemple de aplicare a acestuia cu soluții detaliate.

Prezentarea ulterioară implică capacitatea de a utiliza tabelul de derivate, regulile de diferențiere și cunoașterea formulei pentru derivata unei funcții complexe.

Derivarea formulei pentru derivata logaritmică.

Mai întâi, luăm logaritmul la baza e, simplificăm forma funcției folosind proprietățile logaritmului și apoi găsim derivata funcției date implicit:

De exemplu, să găsim derivata funcției de putere exponențială x la puterea lui x.

Logaritmul dă . După proprietățile logaritmului. Diferențierea ambelor părți ale egalității conduce la rezultatul:

Răspuns: .

Același exemplu poate fi rezolvat fără a utiliza derivata logaritmică. Puteți face unele transformări și puteți trece de la diferențierea unei funcții de putere exponențială la găsirea derivatei unei funcții complexe:

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții .

Decizie.

În acest exemplu, funcția este o fracție și derivata ei poate fi găsită folosind regulile de diferențiere. Dar din cauza expresiei greoaie, acest lucru va necesita multe transformări. În astfel de cazuri, este mai rezonabil să folosiți formula pentru derivata logaritmică . De ce? Vei intelege acum.

Să-l găsim mai întâi. În transformări, vom folosi proprietățile logaritmului (logaritmul unei fracții este egal cu diferența logaritmilor, iar logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor și gradul expresiei sub semnul logaritmului poate fi, de asemenea, scos ca coeficient în fața logaritmului):

Aceste transformări ne-au condus la o expresie destul de simplă, a cărei derivată este ușor de găsit:

Înlocuim rezultatul obținut în formula derivatei logaritmice și obținem răspunsul:

Pentru a consolida materialul, mai dăm câteva exemple fără explicații detaliate.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții de putere exponențială