Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Variabile aleatoare”.

O sarcină 1 . Sunt 100 de bilete emise la loterie. S-a jucat o victorie de 50 USD. și zece câștiguri de 10 USD fiecare. Aflați legea distribuției valorii X - costul unui posibil câștig.

Soluţie. Valori posibile ale lui X: x 1 = 0; X 2 = 10 și x 3 = 50. Deoarece există 89 de bilete „goale”, atunci p 1 = 0,89, probabilitatea de castig este de 10 c.u. (10 bilete) – p 2 = 0,10 și pentru un câștig de 50 c.u. –p 3 = 0,01. În acest fel:

	0,89	0,10	0,01

Ușor de controlat: .

O sarcină 2. Probabilitatea ca cumpărătorul să se fi familiarizat în avans cu reclama produsului este de 0,6 (p = 0,6). Controlul selectiv al calității publicității este efectuat prin sondajul cumpărătorilor înaintea primului care a studiat reclama în prealabil. Faceți o serie de distribuție a numărului de cumpărători intervievați.

Soluţie. După condiţia problemei p = 0,6. Din: q=1 -p = 0,4. Înlocuind aceste valori, obținem:și construiți o serie de distribuție:

pi		0,24

O sarcină 3. Un computer este format din trei elemente care funcționează independent: o unitate de sistem, un monitor și o tastatură. Cu o singură creștere bruscă a tensiunii, probabilitatea de defecțiune a fiecărui element este de 0,1. Pe baza distribuției Bernoulli, întocmește legea distribuției pentru numărul de elemente defectate în timpul unei supratensiuni în rețea.

Soluţie. Considera distribuția Bernoulli(sau binom): probabilitatea ca în n teste, evenimentul A va apărea exact k o singura data: , sau:

	q n					p n

LA să revenim la sarcină.

Valori posibile ale lui X (număr de defecțiuni):

x 0 =0 - niciunul dintre elemente nu a eșuat;

x 1 =1 - defectarea unui element;

x 2 =2 - defectarea a două elemente;

x 3 =3 - defectarea tuturor elementelor.

Deoarece, prin condiție, p = 0,1, atunci q = 1 – p = 0,9. Folosind formula Bernoulli, obținem

, ,

, .

Control: .

Prin urmare, legea de distribuție dorită:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Sarcina 4. Produs 5000 de runde. Probabilitatea ca un cartuş să fie defect . Care este probabilitatea ca în întregul lot să fie exact 3 cartușe defecte?

Soluţie. Aplicabil Distribuția Poisson: această distribuție este utilizată pentru a determina probabilitatea ca, având în vedere o foarte mare

număr de încercări (încercări în masă), în fiecare dintre ele probabilitatea evenimentului A este foarte mică, evenimentul A va avea loc de k ori: , Unde .

Aici n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Găsim , apoi probabilitatea dorită: .

Sarcina 5. Când trageți înainte de prima lovitură cu probabilitatea de a lovi p = 0,6 pentru o lovitură, trebuie să găsiți probabilitatea ca lovitura să apară la a treia lovitură.

Soluţie. Să aplicăm distribuția geometrică: să se facă încercări independente, în fiecare din care evenimentul A are o probabilitate de apariție p (și de neapariție q = 1 - p). Încercările se încheie imediat ce apare evenimentul A.

În astfel de condiții, probabilitatea ca evenimentul A să se producă la testul k este determinată de formula: . Aici p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4;k \u003d 3. Prin urmare, .

Sarcina 6. Fie dată legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Găsiți așteptările matematice.

Soluţie. .

Rețineți că sensul probabilistic al așteptării matematice este valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Sarcina 7. Aflați varianța unei variabile aleatoare X cu următoarea lege de distribuție:

Soluţie. Aici .

Legea distribuției pătratului lui X 2 :

X 2

Varianta necesară: .

Dispersia caracterizează gradul de abatere (împrăștiere) a unei variabile aleatoare față de așteptările ei matematice.

Sarcina 8. Fie variabila aleatoare dată de distribuția:

			10m

Găsiți caracteristicile sale numerice.

Rezolvare: m, m 2 ,

M 2 , m.

Despre o variabilă aleatoare X, se poate spune fie - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o varianță de 13,04 m 2 , sau - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o abatere de m. A doua formulare este evident mai clară.

O sarcină 9. Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție:
.

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, valoarea X să capete o valoare cuprinsă în interval .

Soluţie. Probabilitatea ca X să ia o valoare dintr-un interval dat este egală cu incrementul funcției integrale în acest interval, i.e. . În cazul nostru și, prin urmare

.

O sarcină 10. Variabilă aleatorie discretă X dat de legea distributiei:

Găsiți funcția de distribuție F(x ) și construiește-i graficul.

Soluţie. Deoarece funcţia de distribuţie

pentru , apoi

la ;

la ;

la ;

la ;

Graficul relevant:

Sarcina 11. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcția de distribuție diferențială: .

Găsiți probabilitatea de a lovi X la interval

Soluţie. Rețineți că acesta este un caz special al legii distribuției exponențiale.

Să folosim formula: .

O sarcină 12. Aflați caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete X date de legea distribuției:

	–5
	X 2 : x2 . , Unde este funcția Laplace. Valorile acestei funcții sunt găsite folosind un tabel. În cazul nostru: . Conform tabelului găsim:, prin urmare:

Definiție.Dispersare (împrăștiere) Variabila aleatoare discretă se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea sa matematică:

Exemplu. Pentru exemplul de mai sus, găsim

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt:

Valori posibile ale abaterii pătrate:

; ;

Dispersia este:

Cu toate acestea, în practică, această metodă de calcul a varianței este incomod, deoarece duce la calcule greoaie pentru un număr mare de valori ale unei variabile aleatorii. Prin urmare, se folosește o altă metodă.

Calculul variației

Teorema. Varianta este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptării sale matematice:

Dovada.Ținând cont de faptul că așteptarea matematică și pătratul așteptării matematice sunt valori constante, putem scrie:

Să aplicăm această formulă la exemplul de mai sus:

X
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Proprietăți de dispersie

1) Dispersia unei valori constante este zero:

2) Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:

.

3) Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:

4) Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:

Valabilitatea acestei egalități rezultă din proprietatea 2.

Teorema. Varianța numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a evenimentului este constantă, este egală cu produsul dintre numărul de încercări cu probabilitatea de apariție și probabilitatea evenimentului. nu au loc în fiecare proces:

Exemplu. Fabrica produce 96% din produsele de clasa întâi și 4% din produsele de clasa a doua. 1000 de articole sunt alese la întâmplare. Lăsa X- numarul de produse de clasa I din acest esantion. Găsiți legea distribuției, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare.

Astfel, legea distribuției poate fi considerată binomială.

Exemplu. Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete X– numărul de apariții ale evenimentului DARîn două încercări independente, dacă probabilitățile de apariție a acestui eveniment în fiecare proces sunt egale și se știe că

pentru că valoare aleatorie X distribuite conform legii binomiale, atunci

Exemplu. Testele independente sunt efectuate cu aceeași probabilitate de apariție a evenimentului DAR la fiecare test. Găsiți probabilitatea ca un eveniment să se producă DAR dacă varianța numărului de apariții ale evenimentului în trei încercări independente este de 0,63.

Conform formulei de dispersie a legii binomiale, obținem:

;

Exemplu. Este testat un dispozitiv format din patru dispozitive care funcționează independent. Probabilitățile de defecțiune ale fiecăruia dintre dispozitive sunt, respectiv, egale ; ; . Găsiți așteptările matematice și varianța numărului de dispozitive defectate.

Luând numărul de dispozitive eșuate ca variabilă aleatorie, vedem că această variabilă aleatoare poate lua valorile 0, 1, 2, 3 sau 4.

Pentru a întocmi o lege de distribuție pentru această variabilă aleatoare, este necesar să se determine probabilitățile corespunzătoare. Să acceptăm.

1) Niciun dispozitiv nu a eșuat:

2) Unul dintre dispozitive a eșuat.

Variabilă aleatorie Se numeste o cantitate care, in urma unor teste efectuate in aceleasi conditii, ia valori diferite, in general vorbind, in functie de factori aleatori care nu sunt luati in considerare. Exemple de variabile aleatoare: numărul de puncte aruncate pe un zar, numărul de produse defecte dintr-un lot, abaterea punctului de impact al proiectilului de la țintă, timpul de funcționare al dispozitivului etc. Distingeți variabile aleatoare discrete și continue . Discret Se numește o variabilă aleatorie, ale cărei valori posibile formează o mulțime numărabilă, finită sau infinită (adică, o astfel de mulțime, ale cărei elemente pot fi numerotate).

continuu Se numește o variabilă aleatorie, ale cărei valori posibile umplu continuu un interval finit sau infinit al axei numerice. Numărul de valori ale unei variabile aleatoare continue este întotdeauna infinit.

Variabilele aleatoare vor fi notate cu litere mari de la sfârșitul alfabetului latin: X, Y, . ; valorile unei variabile aleatoare - cu litere mici: X y. . În acest fel, X Indică întregul set de valori posibile ale unei variabile aleatoare și X - Un sens specific.

legea distributiei O variabilă aleatoare discretă este o corespondență dată sub orice formă între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestora.

Fie valorile posibile ale variabilei aleatoare X Sunteți . Ca rezultat al testului, variabila aleatoare va lua una dintre aceste valori, i.e. Va avea loc un eveniment dintr-un grup complet de evenimente incompatibile pe perechi.

Să fie cunoscute și probabilitățile acestor evenimente:

Legea distribuției unei variabile aleatoare X Poate fi scris sub forma unui tabel numit Aproape de distribuție Variabilă aleatorie discretă:

variabile aleatoare. Variabilă aleatorie discretă.
Valorea estimata

A doua secțiune despre teoria probabilității dedicat variabile aleatoare , care ne-a însoțit invizibil la propriu în fiecare articol pe această temă. Și a sosit momentul să articulăm clar ce este:

Aleatoriu numit valoare, care în urma testului va lua unul si numai unul o valoare numerică care depinde de factori aleatori și nu este previzibilă în prealabil.

Variabile aleatorii sunt de obicei desemna prin * , și valorile lor în litere mici corespunzătoare cu indice, de exemplu, .

* Uneori folosite ca și literele grecești

Am dat peste un exemplu despre prima lecție de teoria probabilităților, unde am considerat de fapt următoarea variabilă aleatorie:

- numărul de puncte care vor cădea după aruncarea unui zar.

Acest test va avea ca rezultat unul și doar unul linia, care nu este previzibilă (trucurile nu sunt luate în considerare); în acest caz, variabila aleatoare poate lua una dintre următoarele valori:

- numarul de baieti din 10 nou-nascuti.

Este destul de clar că acest număr nu este cunoscut în prealabil, iar în următorii zece copii născuți pot exista:

Sau băieți - unul si numai unul dintre opțiunile enumerate.

Și, pentru a fi în formă, puțină educație fizică:

- distanta de saritura in lungime (în unele unități).

Nici măcar maestrul sportului nu este în stare să prevadă asta 🙂

Totuși, care sunt ipotezele tale?

De îndată ce set de numere reale infinit, atunci variabila aleatoare poate lua infinit de multe valori dintr-un anumit interval. Și aceasta este diferența sa fundamentală față de exemplele anterioare.

În acest fel, se recomandă împărțirea variabilelor aleatoare în 2 grupuri mari:

1) discret (intermitent) variabilă aleatoare - ia valori luate separat, izolate. Numărul acestor valori cu siguranță sau infinit dar numărabil.

... au fost desenați termeni de neînțeles? Repetați urgent bazele algebrei!

2) Variabilă aleatoare continuă - ia toate valori numerice dintr-un interval finit sau infinit.

Notă : abrevierile DSV și NSV sunt populare în literatura educațională

Mai întâi, să analizăm o variabilă aleatoare discretă, apoi - continuu.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

- aceasta este conformitateîntre valorile posibile ale acestei mărimi și probabilitățile acestora. Cel mai adesea, legea este scrisă într-un tabel:

Termenul este destul de comun rând distributie, dar în unele situații sună ambiguu și, prin urmare, voi respecta „legea”.

Si acum punct foarte important: din moment ce variabila aleatoare neapărat voi accepta una dintre valori, apoi se formează evenimentele corespunzătoare grup complet iar suma probabilităților apariției lor este egală cu unu:

sau, dacă este scris pliat:

Deci, de exemplu, legea distribuției probabilităților punctelor de pe un zar are următoarea formă:

Este posibil să aveți impresia că o variabilă aleatoare discretă poate lua numai valori întregi „bune”. Să risipim iluzia - pot fi orice:

Unele jocuri au următoarea lege de distribuire a plăților:

…probabil că visezi de mult timp la astfel de sarcini 🙂 Îți voi spune un secret - și mie. Mai ales după terminarea lucrărilor teoria câmpului.

Soluţie: deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar una din trei valori, se formează evenimentele corespunzătoare grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților lor este egală cu unu:

Îl expunem pe „partizanul”:

– astfel, probabilitatea de a câștiga unități convenționale este de 0,4.

Control: de ce ai nevoie pentru a te asigura.

Răspuns:

Nu este neobișnuit când legea distribuției trebuie elaborată independent. Pentru această utilizare definiția clasică a probabilității, teoreme de înmulțire/adunare pentru probabilitățile de evenimenteși alte chips-uri tervera:

În cutie sunt 50 de bilete de loterie, dintre care 12 sunt câștigătoare, iar 2 dintre ele câștigă 1000 de ruble fiecare, iar restul - 100 de ruble fiecare. Întocmește o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie - suma câștigurilor dacă un bilet este extras aleatoriu din casetă.

Soluţie: după cum ați observat, este obișnuit să plasați valorile unei variabile aleatoare în ordine crescătoare. Prin urmare, începem cu cele mai mici câștiguri, și anume ruble.

În total, sunt 50 - 12 = 38 de astfel de bilete, iar conform definiție clasică:
este probabilitatea ca un bilet extras aleatoriu să nu câștige.

Restul cazurilor sunt simple. Probabilitatea de a câștiga ruble este:

Si pentru :

Verificarea: - și acesta este un moment deosebit de plăcut al unor astfel de sarcini!

Răspuns: legea impusă de distribuire a plăților:

Următoarea sarcină pentru o decizie independentă:

Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de . Faceți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie - numărul de lovituri după 2 lovituri.

... Știam că ți-a fost dor de el 🙂 Ne amintim teoreme de înmulțire și adunare. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Legea distribuției descrie complet o variabilă aleatoare, dar în practică este util (și uneori mai util) să cunoști doar o parte din ea. caracteristici numerice .

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete

În termeni simpli, asta valoarea medie aşteptată cu teste repetate. Fie ca o variabilă aleatorie să ia valori cu probabilități, respectiv. Atunci așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare este egală cu suma lucrărilor toate valorile sale după probabilitățile corespunzătoare:

sau în formă pliată:

Să calculăm, de exemplu, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare - numărul de puncte aruncate pe un zar:

Care este semnificația probabilistică a rezultatului obținut? Dacă arunci zarul de destule ori, atunci Rău punctele scăzute vor fi aproape de 3,5 - și cu cât faci mai multe teste, cu atât mai aproape. De fapt, am vorbit deja despre acest efect în detaliu în lecția despre probabilitate statistică.

Acum să ne amintim jocul nostru ipotetic:

Apare întrebarea: este chiar profitabil să joci acest joc? ... cine are impresii? Așa că nu poți spune „de la îndemână”! Dar la această întrebare se poate răspunde cu ușurință prin calcularea așteptărilor matematice, în esență - medie ponderată probabilități de câștig:

Astfel, așteptările matematice ale acestui joc pierzând.

Nu aveți încredere în impresii - aveți încredere în numere!

Da, aici poți câștiga de 10 sau chiar de 20-30 de ori la rând, dar pe termen lung vom fi inevitabil ruinați. Și nu te-aș sfătui să joci astfel de jocuri 🙂 Ei bine, poate doar pentru distractie.

Din toate cele de mai sus, rezultă că așteptarea matematică NU este o valoare aleatorie.

Sarcina creativă pentru cercetare independentă:

Domnul X joacă la ruleta europeană după următorul sistem: pariază constant 100 de ruble pe roșu. Alcătuiți legea distribuției unei variabile aleatoare - profitul acesteia. Calculați așteptările matematice ale câștigurilor și rotunjiți-o la copeici. Cum in medie jucătorul pierde la fiecare sută de pariuri?

Referinţă : Ruleta europeană conține 18 sectoare roșii, 18 negre și 1 verde („zero”). În cazul unei căderi „roșii”, jucătorului i se plătește un pariu dublu, în caz contrar, acesta merge la venitul cazinoului.

Există multe alte sisteme de ruletă pentru care vă puteți crea propriile tabele de probabilități. Dar acesta este cazul când nu avem nevoie de nicio lege și tabele de distribuție, deoarece este stabilit cu siguranță că așteptările matematice ale jucătorului vor fi exact aceleași. Doar modificări de la sistem la sistem dispersie, despre care vom afla în partea 2 a lecției.

Dar înainte de asta, va fi util să întindeți degetele pe tastele calculatorului:

Variabila aleatoare este dată de propria sa lege de distribuție a probabilității:

Aflați dacă se știe că . Efectuați o verificare.

Apoi trecem la studiu dispersia unei variabile aleatoare discreteși dacă este posibil, CHIAR ACUM!!- pentru a nu pierde firul subiectului.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 3 Soluţie: după condiție - probabilitatea de a lovi ținta. Apoi:
este probabilitatea unei rateuri.

Să facem - legea distribuției loviturilor la două lovituri:

- nici o lovitură. De teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:

- o singură lovitură. De teoreme de adunare a probabilităţilor de incompatibilitate şi multiplicare a evenimentelor independente:

- două lovituri. Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:

Verificați: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Răspuns :

Notă : a fost posibil să se utilizeze denumiri - acest lucru nu este important.

Exemplul 4 Soluţie: jucătorul câștigă 100 de ruble în 18 cazuri din 37 și, prin urmare, legea de distribuire a câștigurilor sale are următoarea formă:

Să calculăm așteptările matematice:

Astfel, pentru fiecare sută pariată, jucătorul pierde în medie 2,7 ruble.

Exemplul 5 Soluţie: prin definiția așteptărilor matematice:

Să schimbăm părți și să facem simplificări:

prin urmare:

Sa verificam:

, care urma să fie verificat.

Răspuns :

(Mergeți la pagina principală)

Muncă de calitate fără plagiat - Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Variabile aleatoare discrete

Variabilă aleatorie se numește o variabilă care, în urma fiecărui test, ia o valoare necunoscută anterior, în funcție de cauze aleatorii. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ După tipul lor, variabilele aleatoare pot fi discretși continuu.

Variabilă aleatorie discretă- aceasta este o astfel de variabilă aleatoare, ale cărei valori nu pot fi mai mult decât numărabile, adică fie finite, fie numărabile. Numărabilitatea înseamnă că pot fi enumerate valorile unei variabile aleatorii.

Exemplul 1 . Să dăm exemple de variabile aleatoare discrete:

a) numărul de lovituri pe țintă cu $n$ lovituri, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) numărul de steme care au căzut la aruncarea unei monede, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) numărul de nave care au ajuns la bord (un set numărabil de valori).

d) numărul de apeluri care sosesc la centrală (un set numărabil de valori).

1. Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.

O variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua valorile $x_1,\dots ,\ x_n$ cu probabilități $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Corespondența dintre aceste valori și probabilitățile lor se numește legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. De regulă, această corespondență este specificată folosind un tabel, în primul rând al căruia sunt indicate valorile $x_1,\dots ,\ x_n$, iar în a doua linie probabilitățile corespunzătoare acestor valori sunt $ p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$

Exemplul 2 . Fie variabila aleatoare $X$ numărul de puncte aruncate atunci când un zar este aruncat. O astfel de variabilă aleatorie $X$ poate lua următoarele valori $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitățile tuturor acestor valori sunt egale cu $1/6$. Apoi legea distribuției probabilității pentru variabila aleatoare $X$:

$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

cometariu. Deoarece evenimentele $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formează un grup complet de evenimente în legea distribuției variabilei aleatoare discrete $X$, suma probabilităților trebuie să fie egală cu unu, adică $\sum

2. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii specifică valoarea sa „centrală”. Pentru o variabilă aleatorie discretă, așteptarea matematică este calculată ca suma produselor valorilor $x_1,\dots ,\ x_n$ și a probabilităților $p_1,\dots ,\p_n$ corespunzătoare acestor valori, adică: $M\left(X\right)=\sum ^n_ $. În literatura engleză, se folosește o altă notație $E\left(X\right)$.

Proprietăți de așteptare$M\stânga(X\dreapta)$:

1. $M\left(X\right)$ este între cele mai mici și cele mai mari valori ale variabilei aleatoare $X$.
2. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta în sine, adică. $M\left(C\right)=C$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemplul 3 . Să găsim așteptările matematice ale variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

Putem observa că $M\left(X\right)$ se află între cea mai mică ($1$) și cea mai mare ($6$) valori ale variabilei aleatoare $X$.

Exemplul 4 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=2$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $3X+5$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Exemplul 5 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=4$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $2X-9$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersia unei variabile aleatoare discrete.

Valorile posibile ale variabilelor aleatoare cu așteptări matematice egale se pot împrăștia diferit în jurul valorilor lor medii. De exemplu, în două grupe de studenți, scorul mediu la examen la teoria probabilității s-a dovedit a fi 4, dar într-o grupă toți s-au dovedit a fi elevi buni, iar în celălalt grup, doar studenți C și studenți excelenți. Prin urmare, este nevoie de o astfel de caracteristică numerică a unei variabile aleatoare, care să arate răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice. Această caracteristică este dispersia.

Dispersia unei variabile aleatoare discrete$X$ este:

În literatura engleză, se folosește notația $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Foarte des, varianța $D\left(X\right)$ este calculată prin formula $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Proprietăți de dispersie$D\stânga(X\dreapta)$:

1. Dispersia este întotdeauna mai mare sau egală cu zero, adică. $D\stanga(X\dreapta)\ge 0$.
2. Dispersia dintr-o constantă este egală cu zero, adică. $D\stanga(C\dreapta)=0$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie, cu condiția ca acesta să fie pătrat, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\dreapta)$.
4. Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
5. Varianța diferenței variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.

Exemplul 6 . Să calculăm varianța variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

Exemplul 7 . Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=2$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $4X+1$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ stânga(X\dreapta)=16\cdot 2=32$.

Exemplul 8 . Se știe că varianța lui $X$ este egală cu $D\left(X\right)=3$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $3-2X$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ stânga(X\dreapta)=4\cdot 3=12$.

4. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.

Metoda de reprezentare a unei variabile aleatoare discrete sub forma unei serii de distribuție nu este singura și, cel mai important, nu este universală, deoarece o variabilă aleatoare continuă nu poate fi specificată folosind o serie de distribuție. Există o altă modalitate de a reprezenta o variabilă aleatoare - funcția de distribuție.

functie de distributie variabila aleatoare $X$ este o funcție $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă ​​$x$, adică $F\left(x\ dreapta)$ )=P\left(X 6$, apoi $F\left(x\right)=P\left(X=1\dreapta)+P\left(X=2\dreapta)+P\left( X=3\dreapta)+P\stanga(X=4\dreapta)+P\stanga(X=5\dreapta)+P\stanga(X=6\dreapta)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.

Graficul funcției de distribuție $F\left(x\right)$:

Legile de bază ale distribuției

1. Legea distribuției binomiale.

Legea distribuției binomiale descrie probabilitatea de apariție a evenimentului A de m ori în n încercări independente, cu condiția ca probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare să fie constantă.

De exemplu, departamentul de vânzări al unui magazin de hardware primește, în medie, o comandă pentru achiziționarea de televizoare în 10 apeluri. Scrieți o lege de distribuție a probabilității pentru achiziționarea de m televizoare. Construiți un poligon al distribuției de probabilitate.

În tabel, m este numărul de comenzi primite de companie pentru achiziționarea unui televizor. C n m este numărul de combinații de m televizoare cu n, p este probabilitatea apariției evenimentului A, adică. comandarea unui televizor, q este probabilitatea ca evenimentul A să nu aibă loc, adică necomandând un televizor, P m,n este probabilitatea de a comanda m televizoare din n. Figura 1 prezintă poligonul distribuției de probabilitate.

2.Repartiția geometrică.

Distribuția geometrică a unei variabile aleatoare are următoarea formă:

P m este probabilitatea de apariție a evenimentului A în numărul de încercare m.
p este probabilitatea de apariție a evenimentului A într-o singură încercare.
q = 1 - p

Exemplu. O firmă de reparații electrocasnice a primit un lot de 10 unități de schimb pentru mașini de spălat. Există cazuri când un lot conține 1 bloc defect. Se efectuează o verificare până la găsirea unui bloc defect. Este necesar să se întocmească o lege de repartizare a numărului de blocuri verificate. Probabilitatea ca un bloc să fie defect este de 0,1. Construiți un poligon al distribuției de probabilitate.

Din tabel se poate observa că odată cu creșterea numărului m, probabilitatea ca un bloc defect să fie detectat scade. Ultima linie (m=10) combină două probabilități: 1 - că al zecelea bloc s-a dovedit a fi defect - 0,038742049 , 2 - că toate blocurile verificate s-au dovedit a fi funcționale - 0,34867844. Deoarece probabilitatea eșecului unui bloc este relativ scăzută (p=0,1), probabilitatea ultimului eveniment Pm (10 blocuri testate) este relativ mare. Fig.2.

3. Distribuția hipergeometrică.

Distribuția hipergeometrică a unei variabile aleatoare are următoarea formă:

De exemplu, întocmește o lege a distribuției a 7 numere ghicite din 49. În acest exemplu, numerele totale N=49, n=7 numere au fost eliminate, M - numerele totale care au o proprietate dată, adică. numere ghicite corect, m este numărul de numere ghicite corect dintre cele retrase.

Tabelul arată că probabilitatea de a ghici un număr m=1 este mai mare decât atunci când m=0. Cu toate acestea, atunci probabilitatea începe să scadă rapid. Astfel, probabilitatea de a ghici 4 numere este deja mai mică de 0,005, iar 5 este neglijabilă.

4. Legea distribuției Poisson.

O variabilă aleatoare X are o distribuție Poisson dacă legea sa de distribuție are forma:

Np = const
n este numărul de încercări care tind spre infinit
p este probabilitatea ca evenimentul să se producă, tinde spre zero
m este numărul de apariții ale evenimentului A

De exemplu, în medie, o companie de televiziune primește aproximativ 100 de apeluri pe zi. Probabilitatea de a comanda un televizor marca A este de 0,08; B - 0,06 și C - 0,04. Întocmește legea distribuției comenzilor pentru achiziționarea de televizoare de mărci A, B și C. Construiește un poligon de distribuție a probabilității.

Din condiția avem: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 =4 (?10)

(tabelul nu este complet)

Dacă n este suficient de mare pentru a merge la infinit și p ajunge la zero, astfel încât produsul np să ajungă la un număr constant, atunci această lege este o aproximare a legii distribuției binomiale. Din grafic se poate observa că cu cât probabilitatea p este mai mare, cu atât curba este mai aproape de axa m, adică. mai blând. (Fig.4)

Trebuie remarcat faptul că legile distribuției binomiale, geometrice, hipergeometrice și Poisson exprimă distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.

5. Legea distribuirii uniforme.

Dacă densitatea de probabilitate? (x) este o valoare constantă pe un anumit interval, atunci legea distribuției se numește uniformă. Figura 5 prezintă graficele funcției de distribuție a probabilității și densitatea de probabilitate a legii distribuției uniforme.

6. Legea distribuției normale (legea Gauss).

Dintre legile distribuției variabilelor aleatoare continue, cea mai comună este legea distribuției normale. O variabilă aleatorie este distribuită conform legii distribuției normale dacă densitatea sa de probabilitate are forma:

Unde
a este așteptarea matematică a unei variabile aleatoare
? - deviație standard

Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare cu o lege de distribuție normală este simetric față de dreapta x=a, adică x egal cu așteptarea matematică. Astfel, dacă x=a, atunci curba are un maxim egal cu:

Când valoarea așteptărilor matematice se schimbă, curba se va deplasa de-a lungul axei Ox. Graficul (Fig. 6) arată că la x=3 curba are un maxim, deoarece așteptarea matematică este 3. Dacă așteptarea matematică ia o valoare diferită, de exemplu, a=6, atunci curba va avea un maxim la x=6. Vorbind despre abaterea standard, după cum puteți vedea din grafic, cu cât deviația standard este mai mare, cu atât valoarea maximă a densității de probabilitate a variabilei aleatoare este mai mică.

O funcție care exprimă distribuția unei variabile aleatoare pe intervalul (-?, x) și având o lege de distribuție normală, este exprimată prin funcția Laplace după următoarea formulă:

Acestea. probabilitatea unei variabile aleatoare X constă din două părți: probabilitatea în care x ia valori de la minus infinit la a, egale cu 0,5, iar a doua parte este de la a la x. (Fig.7)

Învățând Împreună

Materiale utile pentru studenți, lucrări de diplomă și semestre la comandă

Lecția: legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este corespondența dintre valorile posibile și probabilitățile acestora. Poate fi specificat tabelar, grafic și analitic.

Ce este o variabilă aleatoare este discutat în această lecție.

Cu modul tabelar de setare, primul rând al tabelului conține valori posibile, iar al doilea probabilitățile acestora, adică

Această mărime se numește serie de distribuție. variabilă aleatoare discretă.

X=x1, X=x2, X=xn formează un grup complet, deoarece într-o încercare variabila aleatoare va lua una și o singură valoare posibilă. Prin urmare, suma probabilităților lor este egală cu unu, adică p1 + p2 + pn = 1 sau

Dacă setul de valori al lui X este infinit, atunci Exemplul 1. Există 100 de bilete emise într-o loterie în numerar. Se joacă un câștig de 1000 de ruble și 10 din 100 de ruble. Găsiți legea distribuției unei variabile aleatoare X - costul unui posibil câștig pentru proprietarul unui bilet de loterie.

Legea distribuției dorite are forma:

Control; 0,01+0,1+0,89=1.
Cu o metodă grafică de stabilire a legii de distribuție, punctele sunt construite pe planul de coordonate (Xi: Pi), apoi sunt conectate prin segmente de linie dreaptă. Linia întreruptă rezultată se numește poligon de distribuție. De exemplu 1, poligonul de distribuție este prezentat în Figura 1.

În metoda analitică de stabilire a legii distribuției, este indicată o formulă care pune în legătură probabilitățile unei variabile aleatoare cu valorile ei posibile.

Exemple de distribuții discrete

Distribuție binomială

Să se facă n încercări, în fiecare dintre ele evenimentul A are loc cu o probabilitate constantă p, prin urmare, nu are loc cu o probabilitate constantă q = 1- p. Luați în considerare o variabilă aleatorie X- numărul de apariții ale evenimentului A în aceste n încercări. Valorile posibile ale lui X sunt x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Probabilitatea acestor posibile

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete se numește Windows XP Word 2003 Excel 2003 Legile distribuției variabilelor aleatoare discrete Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este orice relație care stabilește o relație între valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete variabilă și […]

Organizația SRL „EXPERTIZA LOCUINȚEI ȘI CONSTRUCȚII” Inclus în registrul întreprinderilor mici și mijlocii: din 08.01.2016 ca microîntreprindere Adresa juridică: 150047, REGIUNEA YAROSLAVSKAYA, YAROSLAVL G, BELINSKOGO UL, DOM 29, BIROUL 29 OKFS: 16 - Proprietate privată a OKOGU: 4210014 - Organizații înființate […]

Pensia pentru persoanele cu handicap din al doilea grup în 2018 în Federația Rusă Atribuirea oricărei forme de handicap în Federația Rusă are loc numai pe indicatori medicali și sociali. Dizabilitatea din a doua categorie este atribuită persoanelor care sunt considerate cu handicap, dar care nu au nevoie de îngrijire constantă. Acești cetățeni au dreptul să primească […]

Moștenirea monogenă a trăsăturilor. Moștenirea autozomală și legată de sex Datorită faptului că cariotipul unui organism este un set diploid de cromozomi, majoritatea genelor din celulele somatice sunt reprezentate de perechi alelice. Genele alelice situate în regiunile corespunzătoare ale cromozomilor omologi, interacționând […]

Dovada Tipuri de dovezi Algoritm de dispută pentru analiza logică a argumentării 1. Evidențiați teza în text 2. Evidențierea argumentelor, stabilirea fiabilității acestora 3. Evidențierea formei de argumentare, stabilirea stricteței conexiunii logice a argumentelor și a tezei 4 . Dați o concluzie despre natura argumentării, […]

Ordinul Ministerului Transporturilor al Federației Ruse N 124, al Ministerului Justiției al Federației Ruse N 315, al Ministerului Afacerilor Interne al Federației Ruse N 817, al Ministerului Sănătății și Dezvoltării Sociale al Federației Ruse N 714. 10.10.2006 „Cu privire la aprobarea condițiilor și procedurii de certificare profesională a experților-tehnici care efectuează o examinare tehnică independentă a vehiculelor, inclusiv a cerințelor pentru experți TEHNICIENI” Înmatriculat […]

Baza legislativă a Federației Ruse Consultare gratuită Legislația federală…]

Organizația OJSC "NEFTEL" Adresa: G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 Adresa juridică: 443020, G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 OKFS: 42 - Proprietate mixtă rusă cu o cotă în proprietatea entităților constitutive ale Rusiei Federația OKOGU: 4210014 - Organizații înființate de persoane juridice sau cetățeni sau persoane juridice și […]

După cum se știe, variabilă aleatorie se numește o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor sunt notate cu litere mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

Variabilă aleatorie discretă este o variabilă aleatorie care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.

1 . Legea distribuției poate fi dată de tabelul:

unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

în) prin utilizarea funcția de distribuție F(x) , care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).

Proprietățile funcției F(x)

3 . Legea distribuției poate fi stabilită grafic – poligon de distribuție (poligon) (vezi problema 3).

Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

Caracteristicile numerice de bază ale unei variabile aleatoare discrete :

• Așteptări matematice (valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i.
  Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
• Dispersia variabilă aleatoare discretă D(X)=M2 sau D(X) = M(X 2) − 2. Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
  Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ
• Deviație standard (deviație standard) σ(X)=√D(X).

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete”

Sarcina 1.

Au fost emise 1000 de bilete de loterie: 5 dintre ele câștigă 500 de ruble, 10 - 100 de ruble, 20 - 50 de ruble, 50 - 10 ruble. Determinați legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X - câștiguri pe bilet.

Soluţie. În funcție de starea problemei, sunt posibile următoarele valori ale variabilei aleatoare X: 0, 10, 50, 100 și 500.

Numărul de bilete fără câștig este 1000 - (5+10+20+50) = 915, apoi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

În mod similar, găsim toate celelalte probabilități: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=0,01). =500) = 5/1000=0,005. Prezentăm legea rezultată sub forma unui tabel:

Aflați așteptările matematice ale lui X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Sarcina 3.

Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment, construiește un poligon de distribuție. Găsiți funcția de distribuție F(x) și trasați-o. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete.

Soluţie. 1. Variabila aleatorie discretă X=(numărul de elemente eșuate într-un experiment) are următoarele valori posibile: x 1 =0 (niciunul dintre elementele dispozitivului nu a eșuat), x 2 =1 (un element a eșuat), x 3 =2 ( două elemente au eșuat ) și x 4 \u003d 3 (trei elemente au eșuat).

Eșecurile elementelor sunt independente unele de altele, probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt egale între ele, prin urmare, este aplicabil formula lui Bernoulli . Având în vedere că, prin condiție, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinăm probabilitățile valorilor:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verificați: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Astfel, legea de distribuție binomială dorită X are forma:

Pe axa absciselor, graficăm valorile posibile x i, iar pe axa ordonatelor, probabilitățile corespunzătoare р i . Să construim punctele M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Conectând aceste puncte cu segmente de linie, obținem poligonul de distribuție dorit.

3. Găsiți funcția de distribuție F(x) = P(X

Pentru x ≤ 0 avem F(x) = P(X<0) = 0;
pentru 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
pentru 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
pentru 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pentru x > 3 va fi F(x) = 1, deoarece evenimentul este sigur.

Graficul funcției F(x)

4. Pentru distribuția binomială X:
- așteptarea matematică М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersia D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- abaterea standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.