Esența metodei coordonatelor pentru rezolvarea problemelor geometrice

Esența rezolvării problemelor folosind metoda coordonatelor este să introducem un sistem de coordonate care ne este convenabil într-un caz sau altul și să rescriem toate datele folosindu-l. După aceea, toate cantitățile sau dovezile necunoscute sunt păstrate folosind acest sistem. Cum să introduceți coordonatele punctelor în orice sistem de coordonate a fost discutat de noi într-un alt articol - nu ne vom opri aici.

Să introducem principalele afirmații care sunt utilizate în metoda coordonatelor.

Afirmația 1: Coordonatele vectoriale vor fi determinate de diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale sfârșitului acestui vector și începutul acestuia.

Afirmația 2: Coordonatele punctului de mijloc ale segmentului vor fi definite ca jumătate din suma coordonatelor corespunzătoare ale limitelor sale.

Afirmația 3: Lungimea oricărui vector $\overline(δ)$ cu coordonatele date $(δ_1,δ_2,δ_3)$ va fi determinată de formula

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Afirmația 4: Distanța dintre oricare două puncte date de coordonatele $(δ_1,δ_2,δ_3)$ și $(β_1,β_2,β_3)$ va fi determinată de formula

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Schema de rezolvare a problemelor geometrice folosind metoda coordonatelor

Pentru a rezolva probleme geometrice folosind metoda coordonatelor, cel mai bine este să folosiți această schemă:

Analizați ce este dat în problemă:

• Setați cel mai potrivit sistem de coordonate pentru sarcină;
• Condiția problemei, întrebarea problemei este scrisă matematic, se construiește un desen pentru această problemă.

1. Notați toate datele problemei în coordonatele sistemului de coordonate selectat.

2. Compuneți relațiile necesare din condițiile problemei și, de asemenea, conectați aceste relații cu ceea ce trebuie găsit (demonstrat în problemă).
3. Rezultatul obținut este tradus în limbajul geometriei.

Exemple de probleme rezolvate prin metoda coordonatelor

Următoarele sarcini pot fi evidențiate ca sarcini principale care duc la metoda coordonatelor (nu vom oferi soluțiile lor aici):

1. Sarcini pentru găsirea coordonatelor unui vector la sfârșitul și începutul acestuia.
2. Sarcini legate de împărțirea unui segment în orice privință.
3. Dovada că trei puncte se află pe aceeași dreaptă sau că patru puncte se află pe același plan.
4. Sarcini pentru a găsi distanța dintre două puncte date.
5. Probleme pentru găsirea volumelor și ariilor formelor geometrice.

Rezultatele rezolvării primei și a patra probleme sunt prezentate de noi ca principalele afirmații de mai sus și sunt destul de des folosite pentru a rezolva alte probleme folosind metoda coordonatelor.

Exemple de sarcini pentru aplicarea metodei coordonatelor

Exemplul 1

Găsiți latura unei piramide obișnuite a cărei înălțime este $3$ cm dacă latura bazei este $4$ cm.

Să ni se dea o piramidă obișnuită $ABCDS$, a cărei înălțime este $SO$. Să introducem un sistem de coordonate, ca în figura 1.

Deoarece punctul $A$ este centrul sistemului de coordonate pe care l-am construit, atunci

Deoarece punctele $B$ și $D$ aparțin axelor $Ox$ și, respectiv, $Oy$, atunci

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Deoarece punctul $C$ aparține planului $Oxy$, atunci

Deoarece piramida este regulată, atunci $O$ este punctul de mijloc al segmentului $$. Conform afirmației 2, obținem:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

Din moment ce înălțimea $SO$

Test la lecția de geometrie în clasa a 11-a

Subiect: " Metoda coordonatelor în spațiu”.

Ţintă: Verificați cunoștințele teoretice ale elevilor, abilitățile și abilitățile acestora de a aplica aceste cunoștințe în rezolvarea problemelor în moduri vectoriale, coordonate vectoriale.

Sarcini:

1 .Creează condiții de control (autocontrol, control reciproc) al asimilării cunoștințelor și aptitudinilor.

2. Dezvoltați gândirea matematică, vorbirea, atenția.

3. Să promoveze activitatea, mobilitatea, capacitatea de comunicare, cultura generală a studenților.

Formular de conduită: lucrul in grupuri.

Echipamente și surse de informații: ecran, proiector multimedia, foaie de calcul, carduri de credit, teste.

În timpul orelor

1. Moment mobilizator.

Lecție de utilizare a CSR; elevii sunt împărțiți în 3 grupe dinamice, în care elevii cu un nivel acceptabil, optim și avansat. Fiecare grup are un coordonator care gestionează munca întregului grup.

2 . Autodeterminarea elevilor pe baza anticipării.

Sarcină:stabilirea scopurilor conform schemei: amintiți-vă-învățați-puteți.

Test de admitere - Completați spațiile libere (pe tipărite)

proba de admitere

Completează spațiile…

1. Trei drepte perpendiculare perechi sunt trasate printr-un punct din spațiu

noi, pe fiecare dintre ele, sunt selectate direcția și unitatea de măsură a segmentelor,

apoi ei spun că este setat …………. in spatiu.

2. Liniile drepte cu direcțiile alese pe ele se numesc ……………..,

iar punctul lor comun este …………. .

3. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, fiecare punct M al spațiului este asociat cu un triplu de numere care îl numesc ………………..

4. Coordonatele unui punct din spațiu se numesc ………………..

5. Un vector a cărui lungime este egală cu unu se numește …………..

6. Vectori iyksunt numite………….

7. Cote Xyzîn descompunere A= Xi + yj + zk numit

……………vector A .

8. Fiecare coordonată a sumei a doi sau mai mulți vectori este egală cu ……………..

9. Fiecare coordonată a diferenței a doi vectori este egală cu ……………….

10. Fiecare coordonată a produsului unui vector și a unui număr este egală cu………………..

11.Fiecare coordonată a vectorului este egală cu…………….

12. Fiecare coordonată a mijlocului segmentului este egală cu……………….

13. Lungimea vectorului A { Xyz) se calculează cu formula ……………………

14. Distanța dintre punctele M 1(X 1 ; y 1; z 1) și M 2 (X 2; y 2 ; z2) se calculează cu formula …………………

15. Produsul scalar a doi vectori se numește……………..

16. Produsul scalar al vectorilor nenuli este egal cu zero………..

17. Produsul scalar al vectorilorA{ X 1; y 1; z 1} b { X 2 ; y 2 ; z 2) în exprimat prin formula …………………

Verificarea reciprocă a probei de admitere. Răspunsuri la sarcinile testului de pe ecran.

Criteriu de evaluare:

1-2 greșeli - „5”

3-4 erori - „4”

5-6 erori - „3”

În alte cazuri - „2”

3. A face munca. (pentru carduri).

Fiecare card conține două sarcini: Nr. 1 - teoretic cu dovezi, Nr. 2 include sarcini.

Explicați nivelul de dificultate al sarcinilor incluse în lucrare. Grupul îndeplinește o sarcină, dar având 2 părți. Coordonatorul grupului gestionează munca întregului grup. Discutarea aceleiași informații cu mai mulți parteneri crește responsabilitatea nu numai pentru propriul succes, ci și pentru rezultatele muncii colective, care are un efect pozitiv asupra microclimatului în echipă.

CARDUL #1

1. Deduceți formule care exprimă coordonatele mijlocului segmentului în termeni de coordonatele capetelor acestuia.

2. Sarcină: 1) Sunt date punctele A (-3; 1; 2) și B (1; -1; 2)

Găsi:

a) coordonatele punctului mijlociu al segmentului AB

b) coordonatele şi lungimea vectorului AB

2) Este dat cubul ABCDA1 B1 C1 D1. Folosind metoda coordonatelor, găsiți unghiul

între liniile AB1 și A1 D.

CARD#2

Deduceți o formulă pentru calcularea lungimii unui vector din coordonatele acestuia.

Sarcină: 1) Punctele date M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Aflați distanța de la originea coordonatelor până la mijlocul segmentului MN.

→ → → → →

2) Date vectoriale Ași b. Găsi b(a+b), dacă a(-2;3;6),b=6i-8k

CARDUL #3

Deduceți o formulă pentru calcularea distanței dintre punctele cu coordonate date.

Sarcină: 1) Sunt date punctele A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4).

Demonstrați că ∆ABC este isoscel și găsiți lungimea liniei mediane a triunghiului care leagă punctele de mijloc ale laturilor.

2) Calculați unghiul dintre liniile drepte AB și SD dacă A(1;1;0),

B(3;-1;2), D(0;1;0).

CARD#4

Deduceți formule pentru cosinusul unghiului dintre vectorii nenuli cu coordonate date.

Sarcină: 1) Sunt date coordonatele a trei vârfuri ale paralelogramului ABCD:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Aflați coordonatele punctului D.

2) Aflați unghiul dintre dreptele AB și CD, dacă A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

CARD#5

Spune-ne cum să calculăm unghiul dintre două linii în spațiu folosind vectorii de direcție ai acestor linii. →→

Sarcină: 1) Aflați produsul scalar al vectorilorAși b, dacă:

→ → → ^ →

a) | A| =4; | b| =√3 (Ab)=30◦

b) A {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) Sunt date punctele A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) și D(2;4;4). Demonstrați că ABCD este un romb.

4. Verificarea lucrului grupurilor dinamice pe carduri.

Ascultăm discursurile reprezentanților grupurilor. Munca grupelor este evaluată de profesor cu participarea elevilor.

5. Reflecție. Note pentru credit.

Test final cu o alegere de răspunsuri (în imprimate).

1) Se dau vectori A {2 ;-4 ;3} b(-3; ─ ; 1). Găsiți coordonatele vectoriale

→ 2

c = A+ b

a) (-5; 3 −; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 −; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Se dau vectori A(4; -3; 5) și b(-3; 1; 2). Găsiți coordonatele vectoriale

C=2 A – 3 b

a) (7;-2;3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Calculați produsul scalar al vectorilormși n, dacă m = A + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 A - b dacă | A|=2 , ‌| b |=3, (Ab‌)=60°, c ┴ A , c ┴ b.

a)-1; b) -27; în 1; d) 35.

4) Lungimea vectorului A { Xyz) este egal cu 5. Aflați coordonatele vectorului a dacăX=2, z=-√5

a) 16; b) 4 sau -4; la 9; d) 3 sau -3.

5) Aflați aria ∆ABC dacă A(1;-1;3); B(3;-1;1) şi C(-1;1;-3).

a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.

Test de validare încrucișată. Codurile de răspuns la sarcinile de testare de pe ecran: 1(b); 2(c);

3(a); 4(b); 5(c).

Criteriu de evaluare:

Totul este corect - „5”

1 greșeală - „4”

2 erori - „3”

În alte cazuri - „2”

Tabelul de cunoștințe al elevilor

Lucrați la

carduri

final

Test

Scorul de credit

Sarcini

teorie

practică

1 grup

2 grupa

3 grupa

Evaluarea pregătirii elevilor pentru test.

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu. Coordonatele vectoriale.

Sistem de coordonate dreptunghiular

Dacă se trasează trei drepte perpendiculare în perechi printr-un punct din spațiu, pe fiecare dintre ele se alege o direcție și se alege o unitate de măsură a segmentelor, atunci se spune că un sistem de coordonate dreptunghiular este stabilit în spațiu

Liniile drepte, cu direcțiile alese pe ele, se numesc axe de coordonate, iar punctul lor comun se numește originea coordonatelor. Este de obicei notat cu litera O. Axele de coordonate se notează astfel: Ox, Oy, O z - și au denumiri: axa absciselor, axa y, axa aplicată.

Întregul sistem de coordonate este notat Oxy z . Planele care trec prin axele de coordonate Ox și Oy, Oy și O z , O z și respectiv Ox se numesc planuri de coordonate și se notează Oxy, Oy z , O z x.

Punctul O împarte fiecare dintre axele de coordonate în două fascicule. Raza a cărei direcție coincide cu direcția axei se numește semiaxa pozitivă, iar cealaltă rază este semiaxa negativă.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, fiecare punct M al spațiului este asociat cu un triplu de numere, care se numesc coordonatele sale.

Figura prezintă șase puncte A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F(0; 0; -3).

Coordonatele vectoriale

Orice vector poate fi descompus în vectori de coordonate, adică poate fi reprezentat sub forma în care coeficienții de expansiune x, y, z sunt determinați în mod unic.

Coeficienții x, y și z în expansiunea unui vector în termeni de vectori de coordonate se numesc coordonatele vectorului în sistemul de coordonate dat.

Luați în considerare regulile care ne permit să găsim coordonatele sumei și diferenței lor, precum și coordonatele produsului unui vector dat cu un număr dat, folosind coordonatele acestor vectori.

zece . Fiecare coordonată a sumei a doi sau mai mulți vectori este egală cu suma coordonatelor corespunzătoare acestor vectori. Cu alte cuvinte, dacă a (x 1, y 1, z 1) și b (x 2, y 2, z 2 ) sunt vectori dați, atunci vectorul a + b are coordonatele (x 1 + x 2, y 1 + y2, z1 + z2).

20 . Fiecare coordonată a diferenței a doi vectori este egală cu diferența coordonatelor corespunzătoare acestor vectori. Cu alte cuvinte, dacă a (x 1, y 1, z 1) și b (x 2 y 2; z 2) sunt vectori dați, atunci vectorul a - b are coordonatele (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z1-z2).

treizeci . Fiecare coordonată a produsului unui vector cu un număr este egală cu produsul coordonatei corespunzătoare a vectorului cu acel număr. Cu alte cuvinte, dacă a (x; y; x) este un vector dat, α este un număr dat, atunci vectorul α a are coordonate (αx; αy; α z).

Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note

Fișă didactică „Un set de note pentru elevi pe tema „Metoda coordonatelor în spațiu” pentru desfășurarea lecțiilor sub formă de prelegeri. Geometrie clasa 10-11....

Scopul lecției: Testarea cunoștințelor, aptitudinilor și abilităților elevilor pe tema „Folosirea metodei coordonatelor în spațiu pentru rezolvarea sarcinilor C2 UTILIZARE.” Rezultate educaționale planificate: Elevii demonstrează: ...

Metoda coordonatelor este o modalitate foarte eficientă și versatilă de a găsi orice unghiuri sau distanțe între obiectele stereometrice din spațiu. Dacă profesorul tău de matematică este înalt calificat, atunci ar trebui să știe asta. În caz contrar, aș sfătui ca partea „C” să schimbe tutorele. Pregătirea mea pentru examenul de matematică C1-C6 include de obicei o analiză a algoritmilor și formulelor de bază descrise mai jos.

Unghiul dintre liniile a și b

Unghiul dintre liniile din spațiu este unghiul dintre toate liniile care se intersectează paralele cu acestea. Acest unghi este egal cu unghiul dintre vectorii de direcție ai acestor linii (sau îl completează la 180 de grade).

Ce algoritm folosește profesorul de matematică pentru a găsi unghiul?

1) Alegeți orice vector și având direcțiile liniilor a și b (paralele cu acestea).
2) Determinăm coordonatele vectorilor și după coordonatele corespunzătoare ale începuturilor și sfârșiturilor acestora (coordonatele începutului trebuie scăzute din coordonatele sfârșitului vectorului).
3) Inlocuim coordonatele gasite in formula:
. Pentru a găsi unghiul în sine, trebuie să găsiți arcul cosinus al rezultatului.

Normal la avion

O normală la un plan este orice vector perpendicular pe acel plan.
Cum să găsești normalul? Pentru a găsi coordonatele normalei, este suficient să cunoaștem coordonatele oricăror trei puncte M, N și K situate în planul dat. Folosind aceste coordonate, găsim coordonatele vectorilor și și necesită ca condițiile și să fie îndeplinite. Echivalând produsul scalar al vectorilor cu zero, compunem un sistem de ecuații cu trei variabile, din care putem afla coordonatele normalei.

Nota profesorului de matematică : Nu este necesar să rezolvați complet sistemul, deoarece este suficient să alegeți cel puțin unul normal. Pentru a face acest lucru, puteți înlocui orice număr (de exemplu, unul) în loc de oricare dintre coordonatele sale necunoscute și puteți rezolva un sistem de două ecuații cu celelalte două necunoscute. Dacă nu are soluții, atunci aceasta înseamnă că în familia normale nu există nimeni care să aibă o unitate pentru variabila selectată. Apoi înlocuiți una cu o altă variabilă (o altă coordonată) și rezolvați un nou sistem. Dacă ratați din nou, atunci normalul dvs. va avea o unitate pe ultima coordonată și se va dovedi a fi paralelă cu un plan de coordonate (în acest caz, este ușor să o găsiți fără un sistem).

Să presupunem că ni se dă o dreaptă și un plan cu coordonatele vectorului de direcție și ale normalului
Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan se calculează folosind următoarea formulă:

Fie și fie oricare două normale la planurile date. Atunci cosinusul unghiului dintre plane este egal cu modulul cosinusului unghiului dintre normale:

Ecuația unui plan în spațiu

Punctele care satisfac egalitatea formează un plan cu normala. Coeficientul este responsabil pentru cantitatea de abatere (deplasare paralelă) între două plane cu aceeași normală dată. Pentru a scrie ecuația unui plan, trebuie mai întâi să îi găsiți normala (așa cum este descris mai sus), apoi să înlocuiți coordonatele oricărui punct din plan, împreună cu coordonatele normalei găsite, în ecuație și să găsiți coeficientul .

Pentru a utiliza metoda coordonatelor, trebuie să cunoașteți bine formulele. Sunt trei dintre ele:

La prima vedere, pare amenințător, dar doar puțină practică - și totul va funcționa grozav.

Sarcină. Aflați cosinusul unghiului dintre vectorii a = (4; 3; 0) și b = (0; 12; 5).

Decizie. Deoarece ni se dau coordonatele vectorilor, le înlocuim în prima formulă:

Sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) și K = (2; 1; 0), dacă se știe că nu trece prin originea.

Decizie. Ecuația generală a planului: Ax + By + Cz + D = 0, dar din moment ce planul dorit nu trece prin origine - punctul (0; 0; 0) - atunci punem D = 1. Deoarece acest plan trece prin punctele M, N și K, atunci coordonatele acestor puncte ar trebui să transforme ecuația într-o egalitate numerică adevărată.

Să înlocuim coordonatele punctului M = (2; 0; 1) în loc de x, y și z. Noi avem:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

În mod similar, pentru punctele N = (0; 1; 1) și K = (2; 1; 0) obținem ecuațiile:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Deci avem trei ecuații și trei necunoscute. Compunem și rezolvăm sistemul de ecuații:

Am obținut că ecuația planului are forma: − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0.

Sarcină. Planul este dat de ecuația 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Aflați coordonatele vectorului perpendicular pe planul dat.

Decizie. Folosind a treia formulă, obținem n = (7; − 2; 4) - asta e tot!

Calculul coordonatelor vectorilor

Dar dacă nu există vectori în problemă - există doar puncte situate pe linii drepte și este necesar să se calculeze unghiul dintre aceste linii drepte? Este simplu: cunoscând coordonatele punctelor - începutul și sfârșitul vectorului - puteți calcula coordonatele vectorului în sine.

Pentru a găsi coordonatele unui vector, este necesar să se scadă coordonatele începutului din coordonatele sfârșitului său.

Această teoremă funcționează în mod egal în plan și în spațiu. Expresia „scăderea coordonatelor” înseamnă că coordonatele x a altui punct se scad din coordonatele x a unui punct, apoi același lucru trebuie făcut cu coordonatele y și z. Aici sunt cateva exemple:

Sarcină. Există trei puncte în spațiu, date de coordonatele lor: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) și C = (− 4; 3; − 2). Aflați coordonatele vectorilor AB, AC și BC.

Se consideră vectorul AB: începutul său este în punctul A, iar sfârșitul său este în punctul B. Prin urmare, pentru a-i găsi coordonatele, este necesar să scădem coordonatele punctului A din coordonatele punctului B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

În mod similar, începutul vectorului AC este în continuare același punct A, dar sfârșitul este punctul C. Prin urmare, avem:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

În cele din urmă, pentru a găsi coordonatele vectorului BC, este necesar să scădem coordonatele punctului B din coordonatele punctului C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Răspuns: AB = (2; − 7; 4); AC = (−5;−3;−5); BC = (−7; 4; − 9)

Atenție la calculul coordonatelor ultimului vector BC: mulți oameni greșesc atunci când lucrează cu numere negative. Acest lucru se aplică variabilei y: punctul B are coordonata y = − 1, iar punctul C are y = 3. Obținem exact 3 − (− 1) = 4, și nu 3 − 1, așa cum cred mulți oameni. Nu faceti asemenea greseli stupide!

Calcularea vectorilor de direcție pentru linii drepte

Dacă citiți cu atenție problema C2, veți fi surprins să descoperiți că nu există vectori acolo. Există doar linii drepte și plane.

Să începem cu linii drepte. Totul este simplu aici: pe orice linie există cel puțin două puncte diferite și, invers, oricare două puncte diferite definesc o singură linie...

Înțelege cineva ce scrie în paragraful anterior? Eu nu am înțeles-o, așa că o voi explica mai simplu: în problema C2, liniile sunt întotdeauna date de o pereche de puncte. Dacă introducem un sistem de coordonate și considerăm un vector cu începutul și sfârșitul în aceste puncte, obținem așa-numitul vector de direcție pentru o dreaptă:

De ce este necesar acest vector? Ideea este că unghiul dintre două drepte este unghiul dintre vectorii lor de direcție. Astfel, trecem de la linii drepte de neînțeles la vectori specifici, ale căror coordonate sunt ușor de calculat. Ce usor? Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Liniile AC și BD 1 sunt trasate în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Aflați coordonatele vectorilor de direcție ai acestor drepte.

Deoarece lungimea muchiilor cubului nu este specificată în condiție, punem AB = 1. Să introducem un sistem de coordonate cu originea în punctul A și axele x, y, z direcționate de-a lungul liniilor AB, AD și AA. 1, respectiv. Segmentul unitar este egal cu AB = 1.

Acum să găsim coordonatele vectorului direcție pentru dreapta AC. Avem nevoie de două puncte: A = (0; 0; 0) și C = (1; 1; 0). De aici obținem coordonatele vectorului AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - acesta este vectorul de direcție.

Acum să ne ocupăm de linia dreaptă BD 1 . Are și două puncte: B = (1; 0; 0) și D 1 = (0; 1; 1). Se obține vectorul direcție BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Răspuns: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Sarcină. Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, sunt trasate drepte AB 1 și AC 1. Aflați coordonatele vectorilor de direcție ai acestor drepte.

Introducem un sistem de coordonate: originea este în punctul A, axa x coincide cu AB, axa z coincide cu AA 1 , axa y formează planul OXY cu axa x, care coincide cu planul ABC .

Mai întâi, să ne ocupăm de linia dreaptă AB 1 . Totul este simplu aici: avem punctele A = (0; 0; 0) și B 1 = (1; 0; 1). Se obține vectorul direcție AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Acum să găsim vectorul de direcție pentru AC 1 . Totul este la fel - singura diferență este că punctul C 1 are coordonate iraționale. Deci, A = (0; 0; 0), deci avem:

Răspuns: AB 1 = (1; 0; 1);

O notă mică, dar foarte importantă despre ultimul exemplu. Dacă începutul vectorului coincide cu originea, calculele sunt mult simplificate: coordonatele vectorului sunt pur și simplu egale cu coordonatele sfârșitului. Din păcate, acest lucru este valabil doar pentru vectori. De exemplu, atunci când lucrați cu avioane, prezența originii coordonatelor pe ele complică doar calculele.

Calculul vectorilor normali pentru avioane

Vectorii normali nu sunt vectori care merg bine sau care se simt bine. Prin definiție, un vector normal (normal) pe un plan este un vector perpendicular pe planul dat.

Cu alte cuvinte, o normală este un vector perpendicular pe orice vector dintr-un plan dat. Cu siguranță ați dat peste o astfel de definiție - totuși, în loc de vectori, era vorba despre linii drepte. Cu toate acestea, chiar mai sus s-a arătat că în problema C2 se poate opera cu orice obiect convenabil - chiar și o linie dreaptă, chiar și un vector.

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că orice plan este definit în spațiu prin ecuația Ax + By + Cz + D = 0, unde A, B, C și D sunt niște coeficienți. Fără a diminua generalitatea soluției, putem presupune D = 1 dacă planul nu trece prin origine, sau D = 0 dacă o trece. În orice caz, coordonatele vectorului normal la acest plan sunt n = (A; B; C).

Deci, avionul poate fi înlocuit cu succes și cu un vector - același normal. Orice plan este definit în spațiu prin trei puncte. Cum să găsiți ecuația planului (și, prin urmare, normalul), am discutat deja chiar la începutul articolului. Cu toate acestea, acest proces cauzează probleme pentru mulți, așa că voi mai oferi câteva exemple:

Sarcină. Secţiunea A 1 BC 1 este desenată în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Găsiți vectorul normal pentru planul acestei secțiuni, dacă originea este în punctul A și axele x, y și z coincid cu muchiile AB, AD și, respectiv, AA 1.

Deoarece planul nu trece prin origine, ecuația lui arată astfel: Ax + By + Cz + 1 = 0, adică. coeficientul D \u003d 1. Deoarece acest plan trece prin punctele A 1, B și C 1, coordonatele acestor puncte transformă ecuația planului în egalitatea numerică corectă.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

În mod similar, pentru punctele B = (1; 0; 0) și C 1 = (1; 1; 1) obținem ecuațiile:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Dar coeficienții A = − 1 și C = − 1 ne sunt deja cunoscuți, așa că rămâne de găsit coeficientul B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Obținem ecuația planului: - A + B - C + 1 = 0, Prin urmare, coordonatele vectorului normal sunt n = (- 1; 1; - 1).

Sarcină. O secțiune AA 1 C 1 C este desenată în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Găsiți vectorul normal pentru planul acestei secțiuni dacă originea este în punctul A, iar axele x, y și z coincid cu muchiile AB, AD și respectiv AA 1.

În acest caz, planul trece prin origine, deci coeficientul D \u003d 0, iar ecuația planului arată astfel: Ax + By + Cz \u003d 0. Deoarece planul trece prin punctele A 1 și C, coordonatele acestor puncte transformă ecuația planului în egalitatea numerică corectă.

Să înlocuim coordonatele punctului A 1 = (0; 0; 1) în loc de x, y și z. Noi avem:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

În mod similar, pentru punctul C = (1; 1; 0) obținem ecuația:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Fie B = 1. Atunci A = − B = − 1, iar ecuația întregului plan este: − A + B = 0. Prin urmare, coordonatele vectorului normal sunt n = (− 1; 1; 0).

În general vorbind, în problemele de mai sus este necesar să se compună un sistem de ecuații și să-l rezolve. Vor fi trei ecuații și trei variabile, dar în al doilea caz una dintre ele va fi liberă, adică. ia valori arbitrare. De aceea avem dreptul să punem B = 1 - fără a aduce atingere generalității soluției și corectitudinii răspunsului.

Foarte des în problema C2 este necesar să se lucreze cu puncte care împart segmentul la jumătate. Coordonatele unor astfel de puncte sunt ușor de calculat dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor segmentului.

Deci, lăsați segmentul să fie dat de capetele sale - punctele A \u003d (x a; y a; z a) și B \u003d (x b; y b; z b). Apoi coordonatele mijlocului segmentului - îl notăm cu punctul H - pot fi găsite prin formula:

Cu alte cuvinte, coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor acestuia.

Sarcină. Cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este plasat în sistemul de coordonate astfel încât axele x, y și z să fie direcționate de-a lungul muchiilor AB, AD și respectiv AA 1, iar originea coincide cu punctul A. Punctul K este punctul de mijloc al muchiei A 1 B unul . Găsiți coordonatele acestui punct.

Deoarece punctul K este mijlocul segmentului A 1 B 1 , coordonatele acestuia sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Să notăm coordonatele capetelor: A 1 = (0; 0; 1) și B 1 = (1; 0; 1). Acum să găsim coordonatele punctului K:

Sarcină. Cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este plasat în sistemul de coordonate astfel încât axele x, y și z să fie direcționate de-a lungul muchiilor AB, AD și respectiv AA 1, iar originea coincide cu punctul A. Aflați coordonatele a punctului L unde se intersectează diagonalele pătratului A 1 B 1 C 1 D 1 .

Din cursul planimetriei se știe că punctul de intersecție al diagonalelor unui pătrat este echidistant de toate vârfurile acestuia. În special, A 1 L = C 1 L, adică. punctul L este mijlocul segmentului A 1 C 1 . Dar A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), deci avem:

Răspuns: L = (0,5; 0,5; 1)