O figură este un set arbitrar de puncte dintr-un plan. Un punct, o linie, un segment de linie, o rază, un triunghi, un cerc, un pătrat și așa mai departe sunt toate exemple de forme geometrice.

Principalele figuri geometrice de pe plan sunt punctul și linia. Aceste figuri din geometrie nu sunt definite.

Figurile geometrice indefinibile de pe plan sunt un punct și o dreaptă.

Se obișnuiește să se desemneze punctele cu majuscule latine: A, B, C, D .... Liniile drepte sunt notate cu litere latine mici: a, b, c, d ....

Figuri studiate prin planimetrie:

3. Paralelogram (cazuri speciale: pătrat, dreptunghi, romb)

4. Trapez

5. Cercul

6. Triunghi

7. Poligon

În geometrie, topologie și ramurile conexe ale matematicii, un punct este un obiect abstract din spațiu care nu are nici volum, nici arie, nici lungime, nici alte caracteristici similare de dimensiuni mari. Astfel, un obiect cu dimensiune zero se numește punct. Ideea este unul dintre conceptele fundamentale din matematică.

Un punct este unul dintre conceptele fundamentale ale geometriei, deci „punct” nu are definiție. Euclid a definit un punct ca fiind ceva ce nu poate fi împărțit.

De asemenea, în geometrie nu există o definiție a „liniei drepte” (adică o linie dreaptă).

Linia dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei.

O linie dreaptă geometrică (linie dreaptă) este un obiect geometric neînchis pe ambele părți, extins și necurbat, a cărui secțiune transversală tinde spre zero, iar proiecția longitudinală pe plan dă un punct.

Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca unul dintre conceptele inițiale, care este determinată doar indirect de axiomele geometriei.

Dacă baza pentru construirea geometriei este conceptul de distanță dintre două puncte din spațiu, atunci o linie dreaptă poate fi definită ca o linie de-a lungul căreia calea este egală cu distanța dintre două puncte.

3) Paralelogram

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi, adică se află pe drepte paralele. Cazurile speciale ale unui paralelogram sunt un dreptunghi, un pătrat și un romb.

Cazuri speciale:

Un pătrat este un patrulater regulat sau un romb, în ​​care toate unghiurile sunt drepte, sau un paralelogram, în care toate laturile și unghiurile sunt egale.

Un pătrat poate fi definit ca:

un dreptunghi cu două laturi adiacente egale

§ Un romb cu toate unghiurile drepte (orice pătrat este un romb, dar nu orice romb este un pătrat).

Un dreptunghi este un paralelogram în care toate unghiurile sunt unghiuri drepte (egale cu 90 de grade).

Un romb este un paralelogram cu toate laturile egale. Un romb cu unghiuri drepte se numește pătrat.

4) Trapez

Un trapez este un patrulater cu exact o pereche de laturi opuse paralele.

Uneori, un trapez este definit ca un patrulater în care o pereche de laturi opuse sunt paralele (cealaltă nu este specificată), caz în care un paralelogram este un caz special al unui trapez. În special, există un concept ca un trapez curbiliniu.

Trapez dreptunghiular

5) Cercul

Un cerc este un loc de puncte dintr-un plan care sunt echidistante de un punct dat, numit centru, la o distanta data diferita de zero, numita raza lui.

6) Triunghi

Un triunghi este cel mai simplu poligon având 3 vârfuri (unghiuri) și 3 laturi; o parte a unui plan mărginită de trei puncte și trei segmente de dreaptă care leagă aceste puncte în perechi.

Dacă toate cele trei puncte ale unui triunghi se află pe aceeași dreaptă, acesta se numește degenerat.

7) Poligon

Un poligon este o figură geometrică, definită ca o linie întreruptă închisă. Există trei definiții diferite:

§ Linii întrerupte plate închise;

§ Linii întrerupte plate închise fără auto-intersecții;

§ Părţi ale planului delimitate prin linii întrerupte.

Vârfurile poliliniei sunt numite vârfuri ale poligonului, iar segmentele sunt numite laturile poligonului.

Pagina 1 din 3

§unu. întrebări de testare
Întrebare 1. Dați exemple de forme geometrice.
Răspuns. Exemple de forme geometrice: triunghi, pătrat, cerc.

Intrebarea 2. Numiți formele geometrice de bază din plan.
Răspuns. Principalele figuri geometrice de pe plan sunt punctul și linia.

Întrebarea 3. Cum sunt definite punctele și liniile?
Răspuns. Punctele sunt indicate cu majuscule latine: A, B, C, D, .... Liniile drepte sunt notate cu litere latine mici: a, b, c, d, ....
O linie poate fi notata cu doua puncte situate pe ea. De exemplu, linia a din figura 4 ar putea fi etichetată AC, iar linia b ar putea fi etichetată BC.

Întrebarea 4. Formulați proprietățile de bază ale apartenenței punctelor și liniilor.
Răspuns. Indiferent de linie, există puncte care aparțin acestei linii și puncte care nu îi aparțin.
Prin oricare două puncte poți trage o linie și doar una.
Întrebarea 5. Explicați ce este un segment cu capete în puncte date.
Răspuns. Un segment este o parte a unei linii drepte care constă din toate punctele acestei linii drepte care se află între două puncte date ale acesteia. Aceste puncte se numesc capetele segmentului. Un segment este indicat prin indicarea capetelor sale. Când spun sau scriu: „segment AB”, înseamnă un segment cu capete în punctele A și B.

Întrebarea 6. Formulați proprietatea principală a locației punctelor pe o dreaptă.
Răspuns. Dintre cele trei puncte de pe o linie, unul și doar unul se află între celelalte două.
Întrebarea 7. Formulați principalele proprietăți ale segmentelor de măsurare.
Răspuns. Fiecare segment are o anumită lungime mai mare decât zero. Lungimea unui segment este egală cu suma lungimilor părților în care este împărțit la oricare dintre punctele sale.
Întrebarea 8. Care este distanța dintre două puncte date?
Răspuns. Lungimea segmentului AB se numește distanța dintre punctele A și B.
Întrebarea 9. Care sunt proprietățile împărțirii unui plan în două semiplane?
Răspuns.Împărțirea unui plan în două semiplane are următoarea proprietate. Dacă capetele oricărui segment aparțin aceluiași semiplan, atunci segmentul nu intersectează dreapta. Dacă capetele unui segment aparțin unor semiplane diferite, atunci segmentul intersectează linia.

Figurile geometrice sunt un complex de puncte, linii, solide sau suprafețe. Aceste elemente pot fi localizate atât în ​​plan, cât și în spațiu, formând un număr finit de linii.

Termenul „figură” înseamnă mai multe seturi de puncte. Acestea trebuie să fie situate pe unul sau mai multe planuri și limitate simultan la un anumit număr de linii finalizate.

Principalele figuri geometrice sunt punctul și linia. Sunt plate. Pe lângă acestea, printre figurile simple, se disting o rază, o linie întreruptă și un segment.

Punct

Aceasta este una dintre principalele figuri ale geometriei. Este foarte mic, dar este întotdeauna folosit pentru a construi diverse forme pe un plan. Punctul este figura principală pentru absolut toate construcțiile, chiar și cea mai mare complexitate. În geometrie, este de obicei notat cu o literă din alfabetul latin, de exemplu, A, B, K, L.

Din punctul de vedere al matematicii, un punct este un obiect spațial abstract care nu are caracteristici precum aria, volumul, dar rămâne în același timp un concept fundamental în geometrie. Acest obiect cu dimensiune zero pur și simplu nu are nicio definiție.

Drept

Această cifră este complet plasată într-un singur plan. Linia dreaptă nu are o definiție matematică specifică, deoarece constă dintr-un număr mare de puncte situate pe o singură linie fără sfârșit, care nu are limită și limite.

Există și o tăietură. Aceasta este, de asemenea, o linie dreaptă, dar începe și se termină cu un punct, ceea ce înseamnă că are restricții geometrice.

De asemenea, linia se poate transforma într-un fascicul direcțional. Acest lucru se întâmplă atunci când linia începe dintr-un punct, dar nu are un sfârșit clar. Dacă puneți un punct în mijlocul liniei, atunci acesta va fi împărțit în două raze (suplimentare), în plus, îndreptate opus una față de cealaltă.

Mai multe segmente care sunt conectate succesiv între ele prin capete într-un punct comun și care nu sunt situate pe aceeași linie dreaptă sunt denumite în mod obișnuit linie întreruptă.

Injecţie

Formele geometrice, ale căror nume le-am discutat mai sus, sunt considerate elemente cheie utilizate în construcția unor modele mai complexe.

Unghiul este o construcție formată dintr-un vârf și două raze care ies din acesta. Adică, părțile laterale ale acestei figuri sunt conectate la un punct.

Avion

Luați în considerare un alt concept primar. Un plan este o figură care nu are sfârșit sau început, precum și o linie dreaptă și un punct. La luarea în considerare a acestui element geometric, se ia în considerare doar o parte a acestuia, limitată de contururile unei linii închise întrerupte.

Orice suprafață netedă mărginită poate fi considerată un plan. Ar putea fi o masă de călcat, o foaie de hârtie sau chiar o ușă.

Patraunghiuri

Un paralelogram este o figură geometrică ale cărei laturi opuse sunt paralele între ele în perechi. Printre tipurile private ale acestui design, se disting un romb, un dreptunghi și un pătrat.

Un dreptunghi este un paralelogram în care toate laturile se ating în unghi drept.

Un pătrat este un patrulater cu laturile și unghiurile egale.

Un romb este o figură în care toate fețele sunt egale. În acest caz, unghiurile pot fi complet diferite, dar în perechi. Fiecare pătrat este considerat un romb. Dar în direcția opusă, această regulă nu funcționează întotdeauna. Nu orice romb este un pătrat.

Trapez

Formele geometrice sunt complet diferite și bizare. Fiecare dintre ele are o formă și proprietăți unice.

Un trapez este o figură care seamănă oarecum cu un patrulater. Are două laturi opuse paralele și este considerat curbiliniu.

Un cerc

Această figură geometrică implică amplasarea pe același plan a punctelor echidistante de centrul său. În acest caz, un anumit segment diferit de zero este de obicei numit rază.

Triunghi

Aceasta este o figură geometrică simplă care este foarte des întâlnită și studiată.

Un triunghi este considerat o subspecie a unui poligon, situat pe același plan și limitat de trei fețe și trei puncte de contact. Aceste elemente sunt conectate în perechi.

Poligon

Vârfurile poligoanelor sunt punctele care leagă segmentele. Iar aceștia din urmă, la rândul lor, sunt considerați a fi părți.

Forme geometrice volumetrice

• prismă;
• sferă;
• con;
• cilindru;
• piramidă;

Aceste corpuri au ceva în comun. Toate sunt limitate la o suprafață închisă, în interiorul căreia se află multe puncte.

Corpurile volumetrice sunt studiate nu numai în geometrie, ci și în cristalografie.

Fapte curioase

Cu siguranță veți fi interesat să citiți informațiile furnizate mai jos.

• Geometria s-a format ca știință în cele mai vechi timpuri. Acest fenomen este de obicei asociat cu dezvoltarea artei și a diferitelor meșteșuguri. Și numele formelor geometrice indică utilizarea principiilor determinării asemănării și asemănării.
• Tradus din greaca veche, termenul „trapez” înseamnă o masă pentru masă.
• Dacă luați figuri diferite al căror perimetru este același, atunci cercul este garantat să aibă cea mai mare suprafață.
• Tradus din greacă, termenul „con” înseamnă un con de pin.
• Există un tablou faimos de Kazemir Malevich, care a atras atenția multor pictori încă din secolul trecut. Lucrarea „Pătratul Negru” a fost întotdeauna mistică și misterioasă. Figura geometrică pe o pânză albă încântă și uimește în același timp.

Există un număr mare de forme geometrice. Toate diferă în parametri și, uneori, chiar surprind cu forme.

1. Conceptul de figură geometrică.

3. Drepte paralele și perpendiculare.

4. Triunghiuri.

5. Patraunghiuri.

6. Poligoane.

7. Cerc și cerc.

8. Construirea figurilor geometrice pe plan.

9. Transformări ale figurilor geometrice. Conceptul de transformare

Literatura principală;

literatură suplimentară

Conceptul de figură geometrică

Figura geometrică definit ca orice set de puncte.

Segment, linie dreaptă, cerc, minge- figuri geometrice.

Dacă toate punctele unei figuri geometrice aparțin aceluiași plan, se numește apartament .

De exemplu, un segment, un dreptunghi sunt figuri plate. Sunt cifre care nu sunt plate. Acesta este, de exemplu, un cub, o minge, o piramidă.

Deoarece conceptul de figură geometrică este definit prin conceptul de mulțime, putem spune că o figură este inclusă în alta (sau este cuprinsă în alta), putem lua în considerare uniunea, intersecția și diferența de figuri.

De exemplu, unirea a două grinzi ABși MK(Fig. 1) este o linie dreaptă KV, iar intersecția lor este un segment A.M.

K A M V

Figurile convexe sunt un plan, o linie, o rază, un segment, un punct. Este ușor de verificat că o figură convexă este un cerc (Fig. 3). Dacă continuăm segmentul XY până la intersecția cu cercul, obținem o coardă AB. Deoarece coarda este conținută în cerc, segmentul XY este și el conținut în cerc și, prin urmare, cercul este o figură convexă.

Pentru poligoane, se cunoaște o altă definiție: Un poligon se numește convex dacă se află pe o parte a fiecărei linii care îi conține latura. .

Deoarece s-a dovedit echivalența acestei definiții și a celei date mai sus pentru un poligon, ambele pot fi utilizate.

Pe baza acestor concepte, vom avea în vedere și alte forme geometrice studiate la cursul școlar de planimetrie. Să luăm în considerare definițiile și proprietățile lor de bază, acceptându-le fără dovezi. Cunoașterea acestui material și capacitatea de a-l aplica la rezolvarea unor probleme geometrice simple reprezintă baza pe care puteți construi o metodologie de predare a geometriei elementare elevilor mai tineri.

colțuri

Amintește-ți asta Un unghi este o figură geometrică care constă dintr-un punct și două raze care emană din acel punct.

Razele sunt numite laturile unghiului, iar începutul lor comun este vârful său.

Unghiul se notează în diferite moduri: indicați fie vârful său, fie laturile sale, fie trei puncte: vârful și două puncte de pe laturile unghiului: Ð A, Ð (k, l), Ð ABC.

Se numește unghi dislocat , dacă laturile sale se află pe aceeași linie dreaptă.

Un unghi care este jumătate de unghi drept se numește direct. Se numește un unghi mai mic decât un unghi drept ascuțit. Se numește un unghi mai mare decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept prost .

Pe lângă conceptul de unghi prezentat mai sus, conceptul de unghi plan este considerat în geometrie.

Un unghi plat este o parte a unui plan delimitată de două raze diferite care emană din același punct.

Unghiurile considerate in planimetrie nu depasesc unghiul dezvoltat.

Cele două colțuri sunt numite adiacent, dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.

Suma unghiurilor adiacente este 180°. Valabilitatea acestei proprietăți rezultă din definiția unghiurilor adiacente.

Cele două colțuri sunt numite vertical, dacă laturile unui unghi sunt semiliniile complementare ale laturilor celuilalt. Unghiurile AOB și SOV, precum și unghiurile AOC și D0B, sunt verticale (Fig. 4).

2.1. Figuri geometrice în plan

În ultimii ani, a existat tendința de a include o cantitate semnificativă de material geometric în cursul inițial de matematică. Dar pentru a-i putea introduce pe elevi în diverse forme geometrice, pentru a-i învăța cum să le înfățișeze corect, are nevoie de o pregătire matematică adecvată. Profesorul ar trebui să fie familiarizat cu ideile principale ale cursului de geometrie, să cunoască proprietățile de bază ale formelor geometrice și să fie capabil să le construiască.

Când înfățișați o figură plată, nu există probleme geometrice. Desenul servește fie ca o copie exactă a originalului, fie reprezintă o figură similară cu acesta. Luând în considerare imaginea unui cerc din desen, obținem aceeași impresie vizuală ca și când am fi luat în considerare cercul original.

Prin urmare, studiul geometriei începe cu planimetrie.

Planimetria este o ramură a geometriei care studiază figurile pe un plan.

O figură geometrică este definită ca orice set de puncte.

Segment, linie, cerc - forme geometrice.

Dacă toate punctele unei figuri geometrice aparțin aceluiași plan, aceasta se numește plată.

De exemplu, un segment, un dreptunghi sunt figuri plate.

Sunt cifre care nu sunt plate. Acesta este, de exemplu, un cub, o minge, o piramidă.

Deoarece conceptul de figură geometrică este definit prin conceptul de mulțime, putem spune că o figură este inclusă în alta, putem lua în considerare unirea, intersecția și diferența de figuri.

De exemplu, unirea a două raze AB și MK este linia dreaptă KB, iar intersecția lor este segmentul AM.

Există figuri convexe și neconvexe. O figură se numește convexă dacă, împreună cu două dintre punctele sale, conține și un segment care le leagă.

Figura F1 este convexă, iar figura F2 este neconvexă.

Figurile convexe sunt un plan, o linie, o rază, un segment, un punct. este ușor de verificat că o figură convexă este un cerc.

Dacă continuăm segmentul XY până la intersecția cu cercul, obținem coarda AB. Deoarece coarda este conținută în cerc, segmentul XY este și el conținut în cerc și, prin urmare, cercul este o figură convexă.

Principalele proprietăți ale celor mai simple figuri de pe plan sunt exprimate în următoarele axiome:

1. Indiferent de linie, există puncte care aparțin acestei linii și nu îi aparțin.

Prin oricare două puncte poți trage o linie și doar una.

Această axiomă exprimă proprietatea principală a apartenenței punctelor și dreptelor în plan.

2. Dintre cele trei puncte de pe o linie, unul și numai unul se află între celelalte două.

Această axiomă exprimă proprietatea principală a locației punctelor pe o dreaptă.

3. Fiecare segment are o anumită lungime mai mare decât zero. Lungimea unui segment este egală cu suma lungimilor părților în care este împărțit la oricare dintre punctele sale.

Evident, axioma 3 exprimă principala proprietate a măsurării segmentelor.

Această propoziție exprimă proprietatea principală a locației punctelor în raport cu o dreaptă pe un plan.

5. Fiecare unghi are o anumită măsură de grad, mai mare decât zero. Unghiul extins este de 180 o. Gradul de măsurare a unui unghi este egal cu suma gradelor de măsură ale unghiurilor în care este împărțit de orice rază care trece între laturile sale.

Această axiomă exprimă proprietatea de bază a măsurării unghiurilor.

6. Pe orice semi-linie de la punctul său de pornire, se poate trasa un segment de o lungime dată și doar unul.

7. Din orice semi-linie dintr-un semiplan dat, puteți lăsa deoparte un unghi cu o măsură dată de grad mai mică de 180 O și doar unul.

Aceste axiome reflectă proprietățile de bază ale așezării unghiurilor și segmentelor.

Principalele proprietăți ale celor mai simple figuri includ existența unui triunghi egal cu cel dat.

8. Oricare ar fi triunghiul, există un triunghi egal într-o locație dată în raport cu o semi-linie dată.

Principalele proprietăți ale dreptelor paralele sunt exprimate prin următoarea axiomă.

9. Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, pe plan poate fi trasată cel mult o dreaptă paralelă cu dreapta dată.

Luați în considerare câteva forme geometrice care sunt studiate în școala elementară.

Un unghi este o figură geometrică care constă dintr-un punct și două raze care emană din acest punct. Razele sunt numite laturile unghiului, iar începutul lor comun este vârful său.

Un unghi se numește drept dacă laturile lui se află pe aceeași linie dreaptă.

Un unghi care este jumătate de unghi drept se numește unghi drept. Un unghi mai mic decât un unghi drept se numește unghi ascuțit. Un unghi mai mare decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept se numește unghi obtuz.

Pe lângă conceptul de unghi prezentat mai sus, conceptul de unghi plan este considerat în geometrie.

Un colț plat este o parte a unui plan delimitată de două raze diferite care emană din același punct.

Există două unghiuri plate formate din două raze cu o origine comună. Se numesc figuranti. Figura prezintă două colțuri plate cu laturile OA și OB, unul dintre ele este umbrit.

Colțurile sunt adiacente și verticale.

Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.

Suma unghiurilor adiacente este de 180 de grade.

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt semiliniile complementare ale laturilor celuilalt.

Unghiurile AOD și SOV, precum și unghiurile AOS și DOV, sunt verticale.

Unghiurile verticale sunt egale.

Drepte paralele și perpendiculare.

Două drepte dintr-un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează.

Dacă linia a este paralelă cu dreapta b, atunci scrieți a II c.

Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.

Dacă linia a este perpendiculară pe dreapta b, atunci scrieți a.

Triunghiuri.

Un triunghi este o figură geometrică care constă din trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă și trei segmente perechi care le unesc.

Orice triunghi împarte planul în două părți: interioară și externă.

În orice triunghi se disting următoarele elemente: laturi, unghiuri, înălțimi, bisectoare, mediane, linii mediane.

Altitudinea unui triunghi coborât de la un vârf dat este perpendiculara trasă de la acel vârf pe linia care conține latura opusă.

Bisectoarea unui triunghi este segmentul bisectoarei unghiului unui triunghi care leagă un vârf de un punct de pe latura opusă.

Mediana unui triunghi desenat dintr-un vârf dat este segmentul care leagă acest vârf de punctul de mijloc al laturii opuse.

Linia mediană a unui triunghi este segmentul de dreaptă care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale.

Patraunghiuri.

Un patrulater este o figură care constă din patru puncte și patru segmente care le unesc în serie și niciunul dintre aceste puncte nu trebuie să se afle pe aceeași linie dreaptă, iar segmentele care le leagă nu trebuie să se intersecteze. Aceste puncte sunt numite vârfuri ale triunghiului, iar segmentele de legătură sunt numite laturile sale.

Laturile unui patrulater care provin din același vârf se numesc laturi opuse.

În patrulaterul ABCD, vârfurile A și B sunt adiacente, iar vârfurile A și C sunt opuse; laturile AB și BC sunt adiacente, BC și AD sunt opuse; segmentele AC și BD sunt diagonalele acestui patrulater.

Există patrulatere convexe și neconvexe. Astfel, patrulaterul ABCD este convex, în timp ce patrulaterul KRMT este neconvex.

Dintre patrulaterele convexe se disting paralelogramele și trapezele.

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele.

Un trapez este un patrulater în care doar două laturi opuse sunt paralele. Aceste laturi paralele se numesc bazele trapezului. Celelalte două laturi se numesc laterale. Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linia mediană a trapezului.

BC și AD sunt bazele trapezului; AB și SD - laterale; KM - linia de mijloc a trapezului.

Dintre numeroasele paralelograme se disting dreptunghiuri și romburi.

Un dreptunghi este un paralelogram cu toate unghiurile drepte.

Un romb este un paralelogram în care toate laturile sunt egale.

Din setul de dreptunghiuri sunt selectate pătratele.

Un pătrat este un dreptunghi în care toate laturile sunt egale.

Cerc.

Un cerc este o figură care constă din toate punctele planului echidistante de un punct dat, care se numește centru.

Distanța de la puncte la centrul său se numește rază. Un segment de linie care leagă două puncte dintr-un cerc se numește coardă. Coarda care trece prin centru se numește diametru. OA este raza, SD este coarda, AB este diametrul.

Un unghi central într-un cerc este un unghi plat cu un vârf în centru. Partea de cerc situată în interiorul unghiului plat se numește arc de cerc corespunzător acestui unghi central.

Conform manualelor noi în programe noi M.I. Moro, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova, S.I. Volkova, S.V. Stepanova în clasa a IV-a primește sarcini de construcție, astfel încât nu existau mai devreme în programul de matematică din școala elementară. Acestea sunt sarcini precum:

Construiți o perpendiculară pe dreaptă;

Împărțiți segmentul în jumătate;

Construiți un triunghi pe trei laturi;

Construiți un triunghi regulat, un triunghi isoscel;

Construiți un hexagon;

Construiți un pătrat folosind proprietățile diagonalelor unui pătrat;

Construiți un dreptunghi folosind proprietatea diagonalelor dreptunghiului.

Luați în considerare construcția figurilor geometrice pe plan.

Secțiunea de geometrie care studiază construcțiile geometrice se numește geometrie constructivă. Conceptul de bază al geometriei constructive este conceptul de „construiți o figură”. Principalele propuneri se formează sub formă de axiome și se reduc la următoarele.

1. Fiecare figură dată este construită.

2. Dacă se construiesc două (sau mai multe) figuri, atunci se construiește și unirea acestor figuri.

3. Dacă sunt construite două figuri, atunci este posibil să se determine dacă intersecția lor va fi un set gol sau nu.

4. Dacă intersecția a două figuri construite nu este goală, atunci este construită.

5. Dacă se construiesc două figuri, atunci este posibil să se determine dacă diferența lor va fi un set gol sau nu.

6. Dacă diferența dintre cele două figuri construite nu este o mulțime goală, atunci se construiește.

7. Puteți desena un punct aparținând figurii desenate.

8. Puteți construi un punct care nu aparține figurii construite.

Pentru a construi figuri geometrice care au unele dintre proprietățile specificate, se folosesc diverse instrumente de desen. Cele mai simple dintre ele sunt: ​​o riglă cu o singură față (denumită în continuare pur și simplu o riglă), o riglă cu două fețe, un pătrat, o busolă etc.

Diverse instrumente de desen vă permit să efectuați diferite construcții. Proprietățile instrumentelor de desen utilizate pentru construcțiile geometrice sunt exprimate și sub formă de axiome.

Deoarece construcția figurilor geometrice cu ajutorul unui compas și al unei rigle este luată în considerare la cursul de geometrie școlară, ne vom opri și asupra construcțiilor de bază realizate de aceste desene particulare cu unelte.

Deci, cu ajutorul unei rigle, puteți efectua următoarele construcții geometrice.

1. construiți un segment care leagă două puncte construite;

2. construiți o dreaptă care trece prin două puncte construite;

3. construiți o rază care începe de la punctul construit și trece prin punctul construit.

Busola vă permite să efectuați următoarele construcții geometrice:

1. construiți un cerc dacă se construiesc centrul și un segment egal cu raza cercului;

2. construiți oricare dintre cele două arce de cerc suplimentare, dacă sunt construite centrul cercului și capetele acestor arce.

Sarcini elementare pentru constructii.

Sarcinile de construcție sunt probabil cele mai vechi probleme matematice, ele ajută la înțelegerea mai bună a proprietăților formelor geometrice, contribuie la dezvoltarea abilităților grafice.

Problema construcției se consideră rezolvată dacă se precizează metoda de construire a figurii și se demonstrează că în urma construcțiilor specificate se obține efectiv o figură cu proprietățile cerute.

Luați în considerare câteva sarcini elementare de construcție.

1. Construiți un segment SD pe o dreaptă dată, egală cu un anumit segment AB.

Posibilitatea numai construcției decurge din axioma amânării unui segment. Cu ajutorul unei busole și a unei rigle, se realizează după cum urmează. Să fie date o dreaptă a și un segment AB. Marcam punctul C pe linie dreaptă și construim un cerc cu dreapta a centrată în punctul C și notăm D. Obținem segmentul SD egal cu AB.

2. Printr-un punct dat, trasează o dreaptă perpendiculară pe dreapta dată.

Să fie date punctele O și o dreaptă a. Sunt posibile două cazuri:

1. Punctul O se află pe dreapta a;

2. Punctul O nu se află pe dreapta a.

În primul caz din notăm un punct C care nu se află pe dreapta a. Din punctul C ca și din centru scriem un cerc de rază arbitrară. Fie A și B punctele de intersecție. Din punctele A și B descriem un cerc de o rază. Fie punctul O punctul de intersecție al acestora, diferit de C. Atunci semi-linia CO este bisectoarea unghiului dezvoltat, precum și perpendiculara pe dreapta a.

În al doilea caz, din punctul O ca din centru trasăm un cerc care intersectează dreapta a, iar apoi din punctele A și B cu aceeași rază mai desenăm două cercuri. Fie O punctul de intersecție a acestora situat într-un semiplan diferit de cel în care se află punctul O. Dreapta OO/ este perpendiculară pe dreapta dată a. Să demonstrăm.

Notăm cu C punctul de intersecție al dreptelor AB și OO/. Triunghiurile AOB și AO/B au trei laturi egale. Prin urmare, unghiul OAC este egal cu unghiul O/AC este egal pe două laturi și unghiul dintre ele. Prin urmare, din unghiurile ACO și ACO/ sunt egale. Și deoarece unghiurile sunt adiacente, sunt unghiuri drepte. Astfel, OS este o perpendiculară pe dreapta a.

3. Printr-un punct dat, trasează o dreaptă paralelă cu cea dată.

Să fie date o dreaptă a și un punct A în afara acestei drepte. Să luăm un punct B de pe dreapta a și să-l conectăm cu punctul A. Desenați o dreaptă C prin punctul A, formând același unghi cu AB ca și AB formele cu dreapta dată a, dar pe partea opusă față de AB. Linia construită va fi paralelă cu dreapta a., care rezultă din egalitatea unghiurilor încrucișate formate la intersecția dreptelor a și cu secanta AB.

4. Construiți o tangentă la cercul care trece printr-un punct dat de pe acesta.

Dat: 1) cercul X (O, h)

2) punctul A x

Construcție: tangentă AB.

Constructie.

2. cercul X (A, h), unde h este o rază arbitrară (axioma 1 a busolei)

3. punctele M și N de intersecție ale cercului x 1, și dreapta AO, adică (M, N) = x 1 AO (axioma 4 este generală)

4. cerc x (M, r 2), unde r 2 este o rază arbitrară, astfel încât r 2 r 1 (axioma 1 a busolei)

Și în exterior - prin comportamentul lor deschis și în interior - prin procesele și sentimentele lor mentale. Concluzii privind prima secțiune Pentru desfășurarea tuturor proceselor cognitive ale unui elev mai mic, trebuie respectate următoarele condiții: 1. Activitatea educațională trebuie să aibă un scop, să trezească și să mențină un interes constant în rândul elevilor; 2. Extindeți și dezvoltați interesele cognitive ale...

Întregul test în ansamblu, ceea ce indică faptul că nivelurile lor de dezvoltare a operațiilor mentale de comparație și generalizare sunt mai ridicate decât cele ale școlarilor cu performanțe slabe. Dacă analizăm datele individuale prin subtestare, atunci dificultățile de a răspunde la întrebări individuale indică o cunoaștere slabă a acestor operații logice. Aceste dificultăți se întâlnesc cel mai adesea la școlari cu rezultate slabe. Aceasta este...

Student junior. Obiectul de studiu: dezvoltarea gândirii figurative în rândul elevilor clasei a II-a a gimnaziului nr.1025. Metoda: testare. Capitolul 1. Fundamentele teoretice ale studiului gândirii figurative 1.1. Conceptul de gândire Cunoașterea noastră despre realitatea înconjurătoare începe cu senzații și percepție și continuă cu gândirea. Funcția gândirii este de a extinde granițele cunoașterii depășind...