„Alatorizarea nu este întâmplătoare”... Sună așa cum a spus un filozof, dar, de fapt, studiul accidentelor este lotul marii științe a matematicii. În matematică, șansa este teoria probabilității. Formule și exemple de sarcini, precum și principalele definiții ale acestei științe vor fi prezentate în articol.

Ce este teoria probabilității?

Teoria probabilității este una dintre disciplinele matematice care studiază evenimentele aleatoare.

Pentru a fi puțin mai clar, să dăm un mic exemplu: dacă arunci o monedă în sus, poate cădea capul sau coada. Atâta timp cât moneda este în aer, ambele posibilități sunt posibile. Adică, probabilitatea unor posibile consecințe corelează 1:1. Dacă unul este extras dintr-un pachet cu 36 de cărți, atunci probabilitatea va fi indicată ca 1:36. S-ar părea că nu există nimic de explorat și de prezis, mai ales cu ajutorul formulelor matematice. Cu toate acestea, dacă repetați o anumită acțiune de mai multe ori, atunci puteți identifica un anumit model și, pe baza acestuia, puteți prezice rezultatul evenimentelor în alte condiții.

Pentru a rezuma toate cele de mai sus, teoria probabilității în sens clasic studiază posibilitatea apariției unuia dintre evenimentele posibile în sens numeric.

Din paginile istoriei

Teoria probabilității, formulele și exemplele primelor sarcini au apărut în îndepărtatul Ev Mediu, când au apărut pentru prima dată încercările de a prezice rezultatul jocurilor de cărți.

Inițial, teoria probabilității nu avea nimic de-a face cu matematica. A fost justificată prin fapte empirice sau proprietăți ale unui eveniment care putea fi reprodus în practică. Primele lucrări în acest domeniu ca disciplină matematică au apărut în secolul al XVII-lea. Fondatorii au fost Blaise Pascal și Pierre Fermat. Multă vreme au studiat jocurile de noroc și au văzut anumite modele, despre care au decis să spună publicului.

Aceeași tehnică a fost inventată de Christian Huygens, deși nu era familiarizat cu rezultatele cercetărilor lui Pascal și Fermat. Conceptul de „teoria probabilității”, formule și exemple, care sunt considerate primele din istoria disciplinei, au fost introduse de el.

De importanță nu mică sunt lucrările lui Jacob Bernoulli, teoremele lui Laplace și Poisson. Ei au făcut din teoria probabilității mai mult o disciplină matematică. Teoria probabilității, formulele și exemplele de sarcini de bază și-au luat forma actuală datorită axiomelor lui Kolmogorov. Ca urmare a tuturor schimbărilor, teoria probabilității a devenit una dintre ramurile matematice.

Concepte de bază ale teoriei probabilităților. Evenimente

Conceptul principal al acestei discipline este „eveniment”. Evenimentele sunt de trei tipuri:

• De încredere. Cele care se vor întâmpla oricum (moneda va cădea).
• Imposibil. Evenimente care nu se vor întâmpla în niciun scenariu (moneda va rămâne agățată în aer).
• Aleatoriu. Cele care se vor întâmpla sau nu. Ele pot fi influențate de diverși factori care sunt foarte greu de prezis. Dacă vorbim despre o monedă, atunci factori aleatori care pot afecta rezultatul: caracteristicile fizice ale monedei, forma acesteia, poziția inițială, puterea aruncării etc.

Toate evenimentele din exemple sunt notate cu majuscule latine, cu excepția lui R, care are un rol diferit. De exemplu:

• A = „elevii au venit la prelegere”.
• Ā = „elevii nu au venit la curs”.

În sarcinile practice, evenimentele sunt de obicei înregistrate în cuvinte.

Una dintre cele mai importante caracteristici ale evenimentelor este posibilitatea lor egală. Adică, dacă arunci o monedă, toate variantele căderii inițiale sunt posibile până când aceasta cade. Dar evenimentele nu sunt la fel de probabile. Acest lucru se întâmplă atunci când cineva influențează în mod deliberat rezultatul. De exemplu, cărți de joc sau zaruri „marcate”, în care centrul de greutate este deplasat.

Evenimentele sunt, de asemenea, compatibile și incompatibile. Evenimentele compatibile nu exclud apariția reciprocă. De exemplu:

• A = „studentul a venit la curs”.
• B = „elevul a venit la curs”.

Aceste evenimente sunt independente unele de altele, iar apariția unuia dintre ele nu afectează aspectul celuilalt. Evenimentele incompatibile sunt definite prin faptul că apariția unuia exclude apariția celuilalt. Dacă vorbim despre aceeași monedă, atunci pierderea „cozilor” face imposibilă apariția „capetelor” în același experiment.

Acțiuni pe evenimente

Evenimentele pot fi multiplicate și adăugate, respectiv, în disciplină sunt introduse conexiuni logice „ȘI” și „SAU”.

Suma este determinată de faptul că fie evenimentul A, fie B, sau ambele pot avea loc în același timp. În cazul în care acestea sunt incompatibile, ultima opțiune este imposibilă, fie A sau B vor renunța.

Înmulțirea evenimentelor constă în apariția lui A și B în același timp.

Acum puteți da câteva exemple pentru a vă aminti mai bine elementele de bază, teoria probabilității și formulele. Exemple de rezolvare a problemelor de mai jos.

Exercitiul 1: Firma licitează pentru contracte pentru trei tipuri de lucrări. Evenimente posibile care pot apărea:

• A = „firma va primi primul contract”.
• A 1 = „firma nu va primi primul contract”.
• B = „firma va primi un al doilea contract”.
• B 1 = „firma nu va primi un al doilea contract”
• C = „firma va primi un al treilea contract”.
• C 1 = „firma nu va primi un al treilea contract”.

Să încercăm să exprimăm următoarele situații folosind acțiuni asupra evenimentelor:

• K = „firma va primi toate contractele”.

În formă matematică, ecuația va arăta astfel: K = ABC.

• M = „firma nu va primi un singur contract”.

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Complicam sarcina: H = „firma va primi un contract”. Deoarece nu se știe ce contract va primi firma (primul, al doilea sau al treilea), este necesar să se înregistreze întreaga gamă de evenimente posibile:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Iar 1 BC 1 este o serie de evenimente în care firma nu primește primul și al treilea contract, ci îl primește pe al doilea. Alte evenimente posibile sunt, de asemenea, înregistrate prin metoda corespunzătoare. Simbolul υ în disciplină denotă o grămadă de „SAU”. Dacă traducem exemplul de mai sus în limbaj uman, atunci compania va primi fie al treilea contract, fie al doilea, fie primul. În mod similar, puteți scrie și alte condiții la disciplina „Teoria probabilității”. Formulele și exemplele de rezolvare a problemelor prezentate mai sus vă vor ajuta să o faceți singur.

De fapt, probabilitatea

Poate că, în această disciplină matematică, probabilitatea unui eveniment este un concept central. Există 3 definiții ale probabilității:

• clasic;
• statistic;
• geometric.

Fiecare își are locul în studiul probabilităților. Teoria probabilității, formulele și exemplele (clasa a 9-a) folosesc în mare parte definiția clasică, care sună astfel:

• Probabilitatea situației A este egală cu raportul dintre numărul de rezultate care favorizează apariția acesteia și numărul tuturor rezultatelor posibile.

Formula arată astfel: P (A) \u003d m / n.

Și, de fapt, un eveniment. Dacă apare opusul lui A, acesta poate fi scris ca  sau A 1 .

m este numărul de cazuri favorabile posibile.

n - toate evenimentele care se pot întâmpla.

De exemplu, A \u003d „trageți o carte de costum de inimă”. Există 36 de cărți într-un pachet standard, 9 dintre ele sunt de inimi. În consecință, formula pentru rezolvarea problemei va arăta astfel:

P(A)=9/36=0,25.

Ca urmare, probabilitatea ca o carte cu culoarea inimii să fie extrasă din pachet va fi de 0,25.

la matematica superioară

Acum a devenit puțin cunoscut ce este teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a sarcinilor care se întâlnesc în programa școlară. Totuși, teoria probabilității se găsește și în matematica superioară, care se predă în universități. Cel mai adesea, ele operează cu definiții geometrice și statistice ale teoriei și formule complexe.

Teoria probabilității este foarte interesantă. Formulele și exemplele (matematică superioară) sunt mai bine să începeți să învățați de la unul mic - dintr-o definiție statistică (sau frecvență) a probabilității.

Abordarea statistică nu contrazice abordarea clasică, ci o extinde ușor. Dacă în primul caz a fost necesar să se determine cu ce grad de probabilitate va avea loc un eveniment, atunci în această metodă este necesar să se indice cât de des va avea loc. Aici este introdus un nou concept de „frecvență relativă”, care poate fi notat cu W n (A). Formula nu este diferită de cea clasică:

Dacă formula clasică este calculată pentru prognoză, atunci cea statistică este calculată în funcție de rezultatele experimentului. Luați, de exemplu, o sarcină mică.

Departamentul de control tehnologic verifică calitatea produselor. Dintre 100 de produse, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Cum să găsiți probabilitatea de frecvență a unui produs de calitate?

A = „aspectul unui produs de calitate”.

Wn (A)=97/100=0,97

Astfel, frecvența unui produs de calitate este de 0,97. De unde ai luat 97? Din cele 100 de produse care au fost verificate, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Scădem 3 din 100, obținem 97, aceasta este cantitatea unui produs de calitate.

Un pic despre combinatorie

O altă metodă de teorie a probabilității se numește combinatorică. Principiul său de bază este că dacă o anumită alegere A poate fi făcută în m moduri diferite, iar o alegere B în n moduri diferite, atunci alegerea lui A și B poate fi făcută prin înmulțire.

De exemplu, există 5 drumuri de la orașul A la orașul B. Există 4 rute de la orașul B la orașul C. Câte moduri există pentru a ajunge din orașul A în orașul C?

Este simplu: 5x4 = 20, adică există douăzeci de moduri diferite de a ajunge de la punctul A la punctul C.

Să facem sarcina mai grea. Câte moduri există de a juca cărți în solitaire? Într-un pachet de 36 de cărți, acesta este punctul de plecare. Pentru a afla numărul de moduri, trebuie să „scădeți” o carte din punctul de plecare și să înmulțiți.

Adică 36x35x34x33x32…x2x1= rezultatul nu se potrivește pe ecranul calculatorului, deci poate fi pur și simplu notat ca 36!. Semn "!" lângă număr indică faptul că întreaga serie de numere este înmulțită între ele.

În combinatorică, există concepte precum permutarea, plasarea și combinarea. Fiecare dintre ele are propria sa formulă.

Un set ordonat de elemente de set se numește aspect. Plasările pot fi repetitive, ceea ce înseamnă că un element poate fi folosit de mai multe ori. Și fără repetare, când elementele nu se repetă. n este toate elementele, m este elementele care participă la plasare. Formula de plasare fără repetări va arăta astfel:

A n m =n!/(n-m)!

Conexiunile a n elemente care diferă numai în ordinea plasării se numesc permutări. În matematică, aceasta arată astfel: P n = n!

Combinațiile de n elemente cu m sunt astfel de compuși în care este important ce elemente au fost și care este numărul lor total. Formula va arăta astfel:

A n m =n!/m!(n-m)!

formula Bernoulli

În teoria probabilității, ca și în fiecare disciplină, există lucrări ale unor cercetători remarcabili în domeniul lor care au dus-o la un nou nivel. Una dintre aceste lucrări este formula Bernoulli, care vă permite să determinați probabilitatea ca un anumit eveniment să se producă în condiții independente. Acest lucru sugerează că apariția lui A într-un experiment nu depinde de apariția sau neapariția aceluiași eveniment în testele anterioare sau ulterioare.

Ecuația lui Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Probabilitatea (p) de apariție a evenimentului (A) este neschimbată pentru fiecare încercare. Probabilitatea ca situația să se întâmple exact de m ori în n număr de experimente va fi calculată prin formula prezentată mai sus. În consecință, se pune întrebarea cum să aflați numărul q.

Dacă evenimentul A are loc de p de ori, în consecință, este posibil să nu apară. O unitate este un număr care este folosit pentru a desemna toate rezultatele unei situații dintr-o disciplină. Prin urmare, q este un număr care indică posibilitatea ca evenimentul să nu se producă.

Acum cunoașteți formula Bernoulli (teoria probabilității). Exemple de rezolvare a problemelor (primul nivel) vor fi luate în considerare mai jos.

Sarcina 2: Un vizitator al magazinului va face o achiziție cu o probabilitate de 0,2. 6 vizitatori au intrat independent în magazin. Care este probabilitatea ca un vizitator să facă o achiziție?

Soluție: Deoarece nu se știe câți vizitatori ar trebui să facă o achiziție, unul sau toți șase, este necesar să se calculeze toate probabilitățile posibile folosind formula Bernoulli.

A = „vizitatorul va face o achiziție”.

În acest caz: p = 0,2 (după cum este indicat în sarcină). În consecință, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (pentru că în magazin sunt 6 clienți). Numărul m se va schimba de la 0 (niciun client nu va face o achiziție) la 6 (toți vizitatorii magazinului vor cumpăra ceva). Ca rezultat, obținem soluția:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Niciunul dintre cumpărători nu va face o achiziție cu o probabilitate de 0,2621.

Cum altfel se folosește formula Bernoulli (teoria probabilității)? Exemple de rezolvare a problemelor (nivelul doi) de mai jos.

După exemplul de mai sus, apar întrebări despre unde au ajuns C și p. În ceea ce privește p, un număr cu puterea lui 0 va fi egal cu unu. În ceea ce privește C, acesta poate fi găsit prin formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Deoarece în primul exemplu m = 0, respectiv, C=1, ceea ce în principiu nu afectează rezultatul. Folosind noua formulă, să încercăm să aflăm care este probabilitatea de a cumpăra bunuri de către doi vizitatori.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria probabilității nu este atât de complicată. Formula Bernoulli, dintre care exemple sunt prezentate mai sus, este o dovadă directă a acestui lucru.

Formula Poisson

Ecuația Poisson este utilizată pentru a calcula situații aleatoare improbabile.

Formula de baza:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ).

În acest caz, λ = n x p. Iată o formulă Poisson atât de simplă (teoria probabilității). Exemple de rezolvare a problemelor vor fi luate în considerare mai jos.

Sarcina 3 R: Fabrica a produs 100.000 de piese. Aspectul unei piese defecte = 0,0001. Care este probabilitatea ca într-un lot să fie 5 piese defecte?

După cum puteți vedea, căsătoria este un eveniment puțin probabil și, prin urmare, formula Poisson (teoria probabilității) este utilizată pentru calcul. Exemplele de rezolvare a problemelor de acest fel nu diferă de alte sarcini ale disciplinei, înlocuim datele necesare în formula de mai sus:

A = „o parte aleasă aleatoriu va fi defectă”.

p = 0,0001 (conform condiției de atribuire).

n = 100000 (număr de piese).

m = 5 (piese defecte). Inlocuim datele din formula si obtinem:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

La fel ca formula Bernoulli (teoria probabilității), exemple de soluții folosind care sunt scrise mai sus, ecuația Poisson are un e necunoscut. În esență, poate fi găsită prin formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Cu toate acestea, există tabele speciale care conțin aproape toate valorile lui e.

Teorema lui De Moivre-Laplace

Dacă în schema Bernoulli numărul de încercări este suficient de mare, iar probabilitatea de apariție a evenimentului A în toate schemele este aceeași, atunci probabilitatea de apariție a evenimentului A de un anumit număr de ori într-o serie de încercări poate fi găsită prin formula Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Pentru a reține mai bine formula Laplace (teoria probabilității), exemple de sarcini de mai jos.

Mai întâi găsim X m , înlocuim datele (toate sunt indicate mai sus) în formulă și obținem 0,025. Folosind tabele, găsim numărul ϕ (0,025), a cărui valoare este 0,3988. Acum puteți înlocui toate datele din formula:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Deci probabilitatea ca fluturașul să lovească exact de 267 de ori este de 0,03.

Formula Bayes

Formula Bayes (teoria probabilității), exemple de rezolvare a sarcinilor folosind care vor fi date mai jos, este o ecuație care descrie probabilitatea unui eveniment pe baza circumstanțelor care ar putea fi asociate acestuia. Formula principală este următoarea:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A și B sunt evenimente determinate.

P(A|B) - probabilitate condiționată, adică evenimentul A poate avea loc, cu condiția ca evenimentul B să fie adevărat.

Р (В|А) - probabilitatea condiționată a evenimentului В.

Deci, partea finală a cursului scurt „Teoria probabilității” este formula Bayes, exemple de rezolvare a problemelor cu care sunt mai jos.

Sarcina 5: La depozit au fost aduse telefoane de la trei firme. În același timp, o parte din telefoanele care sunt fabricate la prima fabrică este de 25%, la a doua - 60%, la a treia - 15%. De asemenea, se știe că procentul mediu de produse defecte la prima fabrică este de 2%, la a doua - 4%, iar la a treia - 1%. Este necesar să găsiți probabilitatea ca un telefon selectat aleatoriu să fie defect.

A = „telefon luat la întâmplare”.

B 1 - telefonul pe care l-a făcut prima fabrică. În consecință, vor apărea B 2 și B 3 introductive (pentru a doua și a treia fabrică).

Ca rezultat, obținem:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - deci am găsit probabilitatea fiecărei opțiuni.

Acum trebuie să găsiți probabilitățile condiționate ale evenimentului dorit, adică probabilitatea produselor defecte în firme:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Acum înlocuim datele în formula Bayes și obținem:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Articolul prezintă teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a problemelor, dar acesta este doar vârful aisbergului unei discipline vaste. Și după tot ce s-a scris, va fi logic să ne punem întrebarea dacă teoria probabilității este necesară în viață. Este dificil pentru o persoană simplă să răspundă, este mai bine să întrebi pe cineva care a lovit jackpot-ul de mai multe ori cu ajutorul ei.

Teoria probabilității este o știință matematică care permite, prin probabilitățile unor evenimente aleatorii, să se găsească probabilitățile altor evenimente aleatoare legate într-un fel de primul.

O declarație cu care are loc un eveniment probabilitate, egal, de exemplu, ½, nu reprezintă încă în sine valoarea finală, deoarece ne străduim să obținem cunoștințe de încredere. Valoarea cognitivă finală sunt acele rezultate ale teoriei probabilității, care ne permit să afirmăm că probabilitatea de apariție a oricărui eveniment A este foarte apropiată de unitate sau (ceea ce este aceeași) probabilitatea de a nu se produce evenimentul A este foarte mică. . În conformitate cu principiul „neglijării probabilităților suficient de mici”, un astfel de eveniment este, pe bună dreptate, considerat practic sigur. Mai jos (în secțiunea Teoreme limită) se arată că concluziile de acest fel care prezintă interes științific și practic se bazează de obicei pe presupunerea că apariția sau neapariția evenimentului A depinde de un număr mare de factori aleatori care sunt puțin legate între ele. Prin urmare, putem spune și că teoria probabilității este o știință matematică care explică tiparele care apar atunci când un număr mare de factori aleatori interacționează.

Subiectul teoriei probabilităților.

Pentru a descrie o legătură regulată între anumite condiții S și un eveniment A, a cărui apariție sau neapariție în condiții date pot fi stabilite cu precizie, știința naturii utilizează de obicei una dintre următoarele două scheme:

a) la fiecare implementare a condițiilor S are loc un eveniment A. De exemplu, toate legile mecanicii clasice au această formă, care afirmă că în condiții inițiale date și forțe care acționează asupra unui corp sau a unui sistem de corpuri, mișcarea se va produce într-un mod unic definit.

b) În condițiile S, evenimentul A are o anumită probabilitate P (A / S) egală cu p. Deci, de exemplu, legile radiațiilor radioactive afirmă că pentru fiecare substanță radioactivă există o anumită probabilitate ca un anumit număr N de atomi să se descompună dintr-o anumită cantitate de substanță într-o anumită perioadă de timp.

Să numim frecvența evenimentului A într-o serie dată de n încercări (adică a n implementări repetate ale condițiilor S) raportul h = m/n dintre numărul m al acelor încercări în care A a avut loc și numărul lor total n . Faptul că evenimentul A în condițiile S are o anumită probabilitate egală cu p se manifestă prin faptul că în aproape fiecare serie suficient de lungă de încercări frecvența evenimentului A este aproximativ egală cu p.

Regularitățile statistice, adică regularitățile descrise printr-o schemă de tip (b), au fost descoperite pentru prima dată pe exemplul jocurilor de noroc precum zarurile. Regularitățile statistice ale nașterii și morții sunt, de asemenea, cunoscute de foarte mult timp (de exemplu, probabilitatea ca un nou-născut să fie băiat este de 0,515). Sfârșitul secolului al XIX-lea și prima jumătate a secolului al XX-lea. marcat de descoperirea unui număr mare de regularităţi statistice în fizică, chimie, biologie etc.

Posibilitatea aplicării metodelor teoriei probabilităților la studiul regularităților statistice legate de domenii foarte îndepărtate ale științei se bazează pe faptul că probabilitățile evenimentelor satisfac întotdeauna unele relații simple, care vor fi discutate mai jos (vezi secțiunea Concepte de bază ale probabilității). Teorie). Studiul proprietăților probabilităților evenimentelor pe baza acestor relații simple este subiectul teoriei probabilităților.

Concepte de bază ale teoriei probabilităților.

Conceptele de bază ale teoriei probabilităților ca disciplină matematică sunt definite cel mai simplu în cadrul așa-numitei teorii elementare a probabilității. Fiecare încercare T considerată în teoria probabilității elementare este de așa natură încât se încheie cu unul și numai unul dintre evenimentele E1, E2,..., ES (unul sau altul, după caz). Aceste evenimente sunt numite rezultate ale procesului. Fiecare rezultat Ek este asociat cu un număr pozitiv pk - probabilitatea acestui rezultat. Numerele pk trebuie să adună până la unu. Apoi sunt luate în considerare evenimentele A, care constau în faptul că „se produce fie Ei, fie Ej, ..., fie Ek”. Rezultatele Ei, Ej,..., Ek sunt numite favorabile A și, prin definiție, probabilitatea P (A) a evenimentului A se presupune a fi egală cu suma probabilităților rezultatelor favorabile:

P(A) = pi + ps + … + pk. (unu)

Cazul special p1 = p2 =... ps = 1/S conduce la formula

P(A) = r/s. (2)

Formula (2) exprimă așa-numita definiție clasică a probabilității, conform căreia probabilitatea oricărui eveniment A este egală cu raportul dintre numărul r de rezultate care îl favorizează pe A și numărul s al tuturor rezultatelor „la fel de posibile”. Definiția clasică a probabilității doar reduce noțiunea de „probabilitate” la noțiunea de „echiposibilitate”, care rămâne fără o definiție clară.

Exemplu. Când aruncați două zaruri, fiecare dintre cele 36 de rezultate posibile poate fi desemnat (i, j), unde i este numărul de puncte care cade pe primul zar, j - pe al doilea. Se presupune că rezultatele sunt la fel de probabile. Evenimentul A - „suma punctelor este 4”, este favorizat de trei rezultate (1; 3), (2; 2), (3; 1). Prin urmare, P(A) = 3/36 = 1/12.

Pe baza oricăror date despre evenimente, se pot defini două evenimente noi: uniunea (suma) și combinația (produsul) lor. Un eveniment B se numește unire a evenimentelor A 1, A 2,..., Ar,-, dacă are forma: „sau A1, fie A2,..., fie Ar are loc”.

Un eveniment C se numește o combinație de evenimente A1, A.2,..., Ar, dacă are forma: „A1, A2,... și Ar apar”. Combinația de evenimente este notată prin semnul È, iar combinația - prin semnul Ç. Astfel, ei scriu:

B = A1 È A2 È … È Ar, C = A1 Ç A2 Ç … Ç Ar.

Evenimentele A și B sunt numite incompatibile dacă implementarea lor simultană este imposibilă, adică dacă nu există un singur rezultat favorabil al testului atât pentru A, cât și pentru B.

Cele două teoreme principale ale lui V. t., teoremele adunării și înmulțirii probabilităților, sunt legate de operațiile introduse de combinare și suprapunere a evenimentelor.

Teorema adunării probabilităților. Dacă evenimentele A1, A2,..., Ar sunt astfel încât fiecare două dintre ele sunt incompatibile, atunci probabilitatea unirii lor este egală cu suma probabilităților lor.

Deci, în exemplul de mai sus cu aruncarea a două zaruri, evenimentul B - „suma punctelor nu depășește 4”, este unirea a trei evenimente incompatibile A2, A3, A4, care constau în faptul că suma punctelor este 2. , 3, respectiv 4. Probabilităţile acestor evenimente 1/36; 2/36; 3/36. Prin teorema adunării, probabilitatea P(B) este egală cu

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Probabilitatea condiționată a unui eveniment B în condiția A este determinată de formula

care, după cum se poate arăta, este în deplin acord cu proprietățile frecvențelor. Evenimentele A1, A2,..., Ar sunt numite independente dacă probabilitatea condiționată a fiecăruia dintre ele, cu condiția ca oricare dintre celelalte să fi avut loc, este egală cu probabilitatea sa „necondiționată”.

Teorema înmulțirii probabilităților. Probabilitatea combinării evenimentelor A1, A2,..., Ar este egală cu probabilitatea evenimentului A1, înmulțită cu probabilitatea evenimentului A2, luată cu condiția ca A1 să fi avut loc,..., înmulțită cu probabilitatea evenimentului Ar, cu condiția ca A1, A2,.. ., Ar-1 să fi sosit. Pentru evenimente independente, teorema înmulțirii conduce la formula:

P (A1 Ç A2 Ç … Ç Ar) = P (A1) Ї P (A2) Ї … Ї P (Ar), (3)

adică probabilitatea combinării evenimentelor independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Formula (3) rămâne valabilă dacă unele dintre evenimentele din ambele părți ale acesteia sunt înlocuite cu altele opuse.

Exemplu. Trage 4 lovituri la țintă cu o probabilitate de lovire de 0,2 la o singură lovitură. Loviturile țintei pentru diferite lovituri sunt presupuse a fi evenimente independente. Care este probabilitatea de a lovi ținta de exact trei ori?

Fiecare rezultat al testului poate fi indicat printr-o succesiune de patru litere [de exemplu, (y, n, n, y) înseamnă că prima și a patra lovitură au lovit (reușit), iar a doua și a treia lovitură nu au (eșuat)]. În total vor fi 2Ї2Ї2Ї2 = 16 rezultate. În conformitate cu ipoteza independenței rezultatelor loviturilor individuale, formula (3) și o notă la aceasta ar trebui să fie utilizate pentru a determina probabilitățile acestor rezultate. Deci, probabilitatea rezultatului (y, n. n, n) ar trebui stabilită egală cu 0,2 0,8 0,8 0,8 = 0,1024; aici 0,8 \u003d 1-0,2 - probabilitatea unei rateuri cu o singură lovitură. Evenimentul „ținta este lovită de trei ori” este favorizat de rezultate (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), probabilitatea fiecăruia este aceeași:

0,2Ї0,2Ї0,2Ї0,8 \u003d ...... \u003d 0,8 0,2 0,2 ​​0,2 ​​\u003d 0,0064;

prin urmare, probabilitatea dorită este egală cu

4Ї0,0064 = 0,0256.

Generalizând raționamentul exemplului analizat, putem deriva una dintre formulele de bază ale teoriei probabilităților: dacă evenimentele A1, A2,..., An sunt independente și fiecare are probabilitate p, atunci probabilitatea de apariție a exact m dintre ele. este egal cu

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

aici Cnm denotă numărul de combinații de n elemente prin m. Pentru n mare, calculele folosind formula (4) devin dificile. Fie ca numărul de lovituri din exemplul anterior să fie 100, iar întrebarea este să găsim probabilitatea x ca numărul de lovituri să se încadreze în intervalul de la 8 la 32. Aplicând formula (4) și teorema de adunare oferă o exactă, dar practic. expresie nepotrivită pentru probabilitatea dorită

O valoare aproximativă a probabilității x poate fi găsită folosind teorema lui Laplace

iar eroarea nu depășește 0,0009. Rezultatul găsit arată că evenimentul 8 £ m £ 32 este aproape sigur. Acesta este cel mai simplu, dar tipic exemplu de utilizare a teoremelor limită ale teoriei probabilităților.

Formulele de bază ale teoriei probabilităților elementare includ și așa-numita formulă a probabilității totale: dacă evenimentele A1, A2,..., Ar sunt incompatibile perechi și unirea lor este un anumit eveniment, atunci pentru orice eveniment B probabilitatea sa este egală. la suma

Teorema înmulțirii probabilităților este utilă în special atunci când se iau în considerare testele compuse. Se spune că un studiu T este compus din încercări T1, T2,..., Tn-1, Tn, dacă fiecare rezultat al studiului T este o combinație a unor rezultate Ai, Bj,..., Xk, Yl ale corespunzătoare. încercări T1, T2,... , Tn-1, Tn. Dintr-un motiv sau altul, probabilitățile sunt adesea cunoscute

Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vezi abracadabra, șterge-ți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cea mai utilă resursă pentru

Ce este o probabilitate?

În fața acestui termen pentru prima dată, nu aș înțelege ce este. Așa că voi încerca să explic într-un mod de înțeles.

Probabilitatea este șansa ca evenimentul dorit să se producă.

De exemplu, ați decis să vizitați un prieten, să vă amintiți intrarea și chiar podeaua pe care locuiește. Dar am uitat numărul și locația apartamentului. Și acum stai pe casa scării, iar în fața ta sunt ușile din care poți alege.

Care este șansa (probabilitatea) ca, dacă suni la prima sonerie, prietenul tău să ți-o deschidă? Întregul apartament și un prieten locuiește doar în spatele unuia dintre ei. Cu șanse egale, putem alege orice ușă.

Dar care este această șansă?

Uși, ușa potrivită. Probabilitatea de a ghici prin sunetul primei uși: . Adică, o dată din trei vei ghici cu siguranță.

Vrem să știm, sunând o dată, cât de des vom ghici ușa? Să ne uităm la toate opțiunile:

1. ai sunat la 1 o usa
2. ai sunat la al 2-lea o usa
3. ai sunat la al 3-lea o usa

Și acum luați în considerare toate opțiunile în care poate fi un prieten:

A. In spate 1 uşă
b. In spate al 2-lea uşă
în. In spate al 3-lea uşă

Să comparăm toate opțiunile sub forma unui tabel. O bifă indică opțiunile când alegerea dvs. se potrivește cu locația unui prieten, o cruce - când nu se potrivește.

Cum vezi totul eventual Opțiuni locația prietenului și alegerea ta asupra ușii să sune.

DAR rezultate favorabile tuturor . Adică veți ghici orele de la sunând o dată la ușă, adică. .

Aceasta este probabilitatea - raportul dintre un rezultat favorabil (când alegerea ta a coincis cu locația unui prieten) și numărul de evenimente posibile.

Definiția este formula. Probabilitatea se notează de obicei p, deci:

Nu este foarte convenabil să scrieți o astfel de formulă, așa că să luăm pentru - numărul de rezultate favorabile și pentru - numărul total de rezultate.

Probabilitatea poate fi scrisă ca procent, pentru aceasta trebuie să înmulțiți rezultatul rezultat cu:

Probabil, cuvântul „rezultate” ți-a atras atenția. Deoarece matematicienii numesc diverse acțiuni (pentru noi, o astfel de acțiune este o sonerie) experimente, se obișnuiește să numim rezultatul unor astfel de experimente un rezultat.

Ei bine, rezultatele sunt favorabile și nefavorabile.

Să revenim la exemplul nostru. Să presupunem că am sunat la una dintre uși, dar ne-a deschis un străin. Nu am ghicit. Care este probabilitatea ca, dacă sunăm la una dintre ușile rămase, prietenul nostru să ne deschidă?

Dacă ai crezut asta, atunci aceasta este o greșeală. Să ne dăm seama.

Mai avem două uși. Deci avem pași posibili:

1) Sunați la 1 o usa
2) Sună al 2-lea o usa

Un prieten, cu toate acestea, este cu siguranță în spatele unuia dintre ei (la urma urmei, el nu era în spatele celui pe care l-am sunat):

a) un prieten 1 uşă
b) un prieten pentru al 2-lea uşă

Să desenăm din nou tabelul:

După cum puteți vedea, există toate opțiunile, dintre care - favorabile. Adică probabilitatea este egală.

De ce nu?

Situația pe care am luat-o în considerare este exemplu de evenimente dependente. Primul eveniment este prima sonerie, al doilea eveniment este a doua sonerie.

Și se numesc dependenți pentru că afectează următoarele acțiuni. La urma urmei, dacă un prieten ar deschide ușa după primul sunet, care ar fi probabilitatea ca el să fie în spatele unuia dintre ceilalți doi? Corect, .

Dar dacă există evenimente dependente, atunci trebuie să existe independent? Adevărat, există.

Un exemplu de manual este aruncarea unei monede.

1. Aruncăm o monedă. Care este probabilitatea ca, de exemplu, să apară capete? Așa este - pentru că opțiunile pentru orice (fie capete sau cozi, vom neglija probabilitatea ca o monedă să stea pe margine), dar ni se potrivește doar nouă.
2. Dar cozile au căzut. Bine, hai să o facem din nou. Care este probabilitatea de a veni acum în cap? Nimic nu s-a schimbat, totul este la fel. Câte opțiuni? Două. De cât de mult suntem mulțumiți? Unu.

Și lăsați cozile să cadă de cel puțin o mie de ori la rând. Probabilitatea de a cădea capete dintr-o dată va fi aceeași. Există întotdeauna opțiuni, dar favorabile.

Distingerea evenimentelor dependente de evenimentele independente este ușoară:

1. Dacă experimentul este efectuat o dată (odată ce o monedă este aruncată, soneria sună o dată etc.), atunci evenimentele sunt întotdeauna independente.
2. Dacă experimentul este efectuat de mai multe ori (o monedă este aruncată o dată, soneria este sună de mai multe ori), atunci primul eveniment este întotdeauna independent. Și apoi, dacă se modifică numărul de rezultate favorabile sau numărul tuturor rezultatelor, atunci evenimentele sunt dependente, iar dacă nu, sunt independente.

Să exersăm puțin pentru a determina probabilitatea.

Exemplul 1

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea de a primi heads-up de două ori la rând?

Decizie:

Luați în considerare toate opțiunile posibile:

1. vultur vultur
2. vultur cozi
3. cozi-vultur
4. Cozi-cozi

După cum puteți vedea, toate opțiunile. Dintre acestea, doar noi suntem mulțumiți. Aceasta este probabilitatea:

Dacă condiția cere pur și simplu găsirea probabilității, atunci răspunsul trebuie dat ca fracție zecimală. Dacă s-ar indica că răspunsul trebuie dat ca procent, atunci am înmulți cu.

Răspuns:

Exemplul 2

Într-o cutie de ciocolată, toate bomboanele sunt ambalate în același ambalaj. Totuși, din dulciuri - cu nuci, coniac, cireșe, caramel și nuga.

Care este probabilitatea de a lua o bomboană și de a obține o bomboană cu nuci. Dați răspunsul dvs. în procente.

Decizie:

Câte rezultate posibile există? .

Adică, luând o bomboană, va fi una dintre cele din cutie.

Și câte rezultate favorabile?

Pentru ca cutia contine doar ciocolata cu nuci.

Răspuns:

Exemplul 3

Într-o cutie de bile. dintre care sunt albe și negre.

1. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă?
2. Am adăugat mai multe bile negre în cutie. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă acum?

Decizie:

a) În cutie sunt doar bile. dintre care sunt albe.

Probabilitatea este:

b) Acum sunt bile în cutie. Și au mai rămas la fel de mulți albi.

Răspuns:

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

De exemplu, într-o cutie de bile roșii și verzi. Care este probabilitatea de a extrage o minge roșie? Minge verde? Minge rosie sau verde?

Probabilitatea de a extrage o minge roșie

bila verde:

Minge roșie sau verde:

După cum puteți vedea, suma tuturor evenimentelor posibile este egală cu (). Înțelegerea acestui punct vă va ajuta să rezolvați multe probleme.

Exemplul 4

În cutie sunt pixuri: verde, roșu, albastru, galben, negru.

Care este probabilitatea de a trage NU un marcator roșu?

Decizie:

Să numărăm numărul rezultate favorabile.

NU un marker roșu, adică verde, albastru, galben sau negru.

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Știți deja ce sunt evenimentele independente.

Și dacă trebuie să găsiți probabilitatea ca două (sau mai multe) evenimente independente să aibă loc la rând?

Să presupunem că vrem să știm care este probabilitatea ca, aruncând o monedă o dată, să vedem un vultur de două ori?

Am luat în considerare deja - .

Dacă aruncăm o monedă? Care este probabilitatea de a vedea un vultur de două ori la rând?

Total opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Nu știu despre tine, dar am greșit această listă o dată. Wow! Și singura variantă (prima) ni se potrivește.

Pentru 5 role, puteți face singur o listă cu posibilele rezultate. Dar matematicienii nu sunt la fel de harnici ca tine.

Prin urmare, ei au observat mai întâi și apoi au demonstrat că probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente scade de fiecare dată cu probabilitatea unui eveniment.

Cu alte cuvinte,

Luați în considerare exemplul aceleiași, nefericite monede.

Probabilitatea de a veni cap într-un proces? . Acum aruncăm o monedă.

Care este probabilitatea de a obține cozi la rând?

Această regulă nu funcționează numai dacă ni se cere să găsim probabilitatea ca același eveniment să se producă de mai multe ori la rând.

Dacă am dori să găsim secvența TAILS-EAGLE-TAILS pe ​​flip-uri consecutive, am face același lucru.

Probabilitatea de a obține cozi - , capete - .

Probabilitatea de a obține secvența TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Puteți verifica singur făcând un tabel.

Regula de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile.

Așa că oprește-te! Definiție nouă.

Să ne dăm seama. Să luăm moneda noastră uzată și să o întoarcem o dată.
Opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Deci aici sunt evenimente incompatibile, aceasta este o anumită secvență dată de evenimente. sunt evenimente incompatibile.

Dacă vrem să determinăm care este probabilitatea a două (sau mai multe) evenimente incompatibile, atunci adăugăm probabilitățile acestor evenimente.

Trebuie să înțelegeți că pierderea unui vultur sau a cozilor este două evenimente independente.

Dacă vrem să determinăm care este probabilitatea ca o secvență) (sau oricare alta) să cadă, atunci folosim regula înmulțirii probabilităților.
Care este probabilitatea de a obține cap la prima aruncare și cozi la a doua și a treia?

Dar dacă vrem să știm care este probabilitatea de a obține una dintre mai multe secvențe, de exemplu, când capetele apar exact o dată, i.e. opțiuni și, atunci trebuie să adăugăm probabilitățile acestor secvențe.

Opțiunile totale ni se potrivesc.

Putem obține același lucru prin adunarea probabilităților de apariție a fiecărei secvențe:

Astfel, adăugăm probabilități atunci când dorim să determinăm probabilitatea unor secvențe de evenimente incompatibile.

Există o regulă grozavă care vă ajută să nu vă încurcați când să înmulțiți și când să adăugați:

Să ne întoarcem la exemplul în care am aruncat o monedă de ori și vrem să știm probabilitatea de a vedea capete o dată.
Ce se va întâmpla?

Ar trebui să cadă:
(capete ŞI cozi ŞI cozi) SAU (cozi ŞI capete ŞI cozi) SAU (cozi ŞI cozi ŞI capete).
Și așa rezultă:

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 5

În cutie sunt creioane. roșu, verde, portocaliu și galben și negru. Care este probabilitatea de a desena creioane roșii sau verzi?

Decizie:

Exemplul 6

Un zar este aruncat de două ori, care este probabilitatea ca un total de 8 să apară?

Decizie.

Cum putem obține puncte?

(și) sau (și) sau (și) sau (și) sau (și).

Probabilitatea de a cădea dintr-o (orice) față este de .

Calculăm probabilitatea:

A face exerciţii fizice.

Cred că acum v-a devenit clar când trebuie să numărați probabilitățile, când să le adăugați și când să le înmulțiți. Nu-i asa? Hai să facem niște exerciții.

Sarcini:

Să luăm un pachet de cărți în care cărțile sunt pică, inimioare, 13 bâte și 13 tamburine. De la Asul fiecarui costum.

1. Care este probabilitatea de a extrage crose la rând (punem prima carte extrasă înapoi în pachet și amestecăm)?
2. Care este probabilitatea de a extrage o carte neagră (piccă sau bâte)?
3. Care este probabilitatea de a face o imagine (joc, regină, rege sau as)?
4. Care este probabilitatea de a extrage două imagini la rând (înlăturăm prima carte extrasă din pachet)?
5. Care este probabilitatea, luând două cărți, de a colecta o combinație - (Jack, Queen sau King) și As. Secvența în care vor fi extrase cărțile nu contează.

Raspunsuri:

Dacă ai reușit să rezolvi singur toate problemele, atunci ești un om grozav! Acum sarcinile pe teoria probabilității în examen veți face clic ca pe nucile!

TEORIA PROBABILITĂȚII. NIVEL MIJLOCIU

Luați în considerare un exemplu. Să zicem că aruncăm un zar. Ce fel de os este acesta, știi? Acesta este numele unui cub cu numere pe fețe. Câte fețe, atâtea numere: de la la câte? Inainte de.

Așa că aruncăm un zar și vrem să vină cu un sau. Și cădem.

În teoria probabilității ei spun ce s-a întâmplat eveniment favorabil(a nu se confunda cu bine).

Dacă ar cădea, evenimentul ar fi, de asemenea, de bun augur. În total, pot apărea doar două evenimente favorabile.

Câte rele? Deoarece toate evenimentele posibile, atunci cele nefavorabile dintre ele sunt evenimente (acest lucru este dacă cade sau).

Definiție:

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.. Adică, probabilitatea arată ce proporție dintre toate evenimentele posibile sunt favorabile.

Ele denotă probabilitatea cu o literă latină (aparent, din cuvântul englezesc probabilitate - probabilitate).

Se obișnuiește să se măsoare probabilitatea ca procent (vezi subiectul). Pentru a face acest lucru, valoarea probabilității trebuie înmulțită cu. În exemplul cu zaruri, probabilitatea.

Și în procente: .

Exemple (decideți singur):

1. Care este probabilitatea ca aruncarea unei monede să cadă pe capete? Și care este probabilitatea unei cozi?
2. Care este probabilitatea ca un număr par să apară atunci când este aruncat un zar? Și cu ce - ciudat?
3. Într-un sertar de creioane simple, albastre și roșii. Desenăm la întâmplare un creion. Care este probabilitatea de a scoate unul simplu?

Solutii:

1. Câte opțiuni există? Capete și cozi - doar două. Și câte dintre ele sunt favorabile? Doar unul este un vultur. Deci probabilitatea

   La fel cu cozile: .

2. Opțiuni totale: (câte laturi are un cub, atât de multe opțiuni diferite). Cele favorabile: (acestea sunt toate numere pare :).
   Probabilitate. Cu ciudat, desigur, același lucru.
3. Total: . Favorabil: . Probabilitate: .

Probabilitate deplină

Toate creioanele din sertar sunt verzi. Care este probabilitatea de a desena un creion roșu? Nu există șanse: probabilitate (la urma urmei, evenimente favorabile -).

Un astfel de eveniment se numește imposibil.

Care este probabilitatea de a desena un creion verde? Există exact la fel de multe evenimente favorabile câte evenimente totale (toate evenimentele sunt favorabile). Deci probabilitatea este sau.

Un astfel de eveniment se numește cert.

Dacă în cutie sunt creioane verzi și roșii, care este probabilitatea de a desena unul verde sau unul roșu? Încă o dată. Rețineți următorul lucru: probabilitatea de a trage verde este egală, iar roșu este .

În concluzie, aceste probabilități sunt exact egale. adica suma probabilităților tuturor evenimentelor posibile este egală cu sau.

Exemplu:

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a nu trage verde?

Decizie:

Amintiți-vă că toate probabilitățile se adună. Și probabilitatea de a trage verde este egală. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a nu trage verde este egală.

Amintiți-vă acest truc: Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Evenimente independente și regula înmulțirii

Răsturnești o monedă de două ori și vrei să iasă capul de ambele ori. Care este probabilitatea asta?

Să trecem prin toate opțiunile posibile și să stabilim câte sunt:

Vultur-Vultur, Cozi-Vultur, Vultur-Cozi, Cozi-Cozi. Ce altceva?

Toată varianta. Dintre acestea, doar unul ni se potrivește: Vulturul-Vultur. Deci, probabilitatea este egală.

Bun. Acum să aruncăm o monedă. Numără-te. S-a întâmplat? (Răspuns).

Poate ați observat că, odată cu adăugarea fiecărei aruncări următoare, probabilitatea scade cu un factor. Regula generală se numește regula înmulțirii:

Probabilitățile de evenimente independente se modifică.

Ce sunt evenimentele independente? Totul este logic: acestea sunt cele care nu depind unul de celălalt. De exemplu, atunci când aruncăm o monedă de mai multe ori, de fiecare dată când se face o nouă aruncare, rezultatul căruia nu depinde de toate aruncările anterioare. Cu același succes, putem arunca două monede diferite în același timp.

Mai multe exemple:

1. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca acesta să apară de ambele ori?
2. O monedă este aruncată de ori. Care este probabilitatea de a primi cap mai întâi și apoi cozi de două ori?
3. Jucătorul aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma numerelor de pe ele să fie egală?

Raspunsuri:

1. Evenimentele sunt independente, ceea ce înseamnă că regula înmulțirii funcționează: .
2. Probabilitatea unui vultur este egală. Probabilitatea de cozi de asemenea. Înmulțim:
3. 12 poate fi obținut numai dacă cad două -ki: .

Evenimente incompatibile și regula adunării

Evenimentele incompatibile sunt evenimente care se completează unul pe altul la probabilitate deplină. După cum sugerează și numele, acestea nu pot avea loc în același timp. De exemplu, dacă aruncăm o monedă, fie capete, fie cozi pot cădea.

Exemplu.

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a trage verde sau roșu?

Decizia .

Probabilitatea de a desena un creion verde este egală. Roșu - .

Evenimente de bun augur pentru toate: verde + roșu. Deci probabilitatea de a desena verde sau roșu este egală.

Aceeași probabilitate poate fi reprezentată sub următoarea formă: .

Aceasta este regula de adunare: se adună probabilitățile de evenimente incompatibile.

Sarcini mixte

Exemplu.

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea ca rezultatul aruncărilor să fie diferit?

Decizia .

Aceasta înseamnă că, dacă capetele apar pe primul loc, cozile ar trebui să fie pe locul doi și invers. Se dovedește că aici există două perechi de evenimente independente, iar aceste perechi sunt incompatibile între ele. Cum să nu fii confuz cu privire la unde să înmulți și unde să adaugi.

Există o regulă simplă pentru astfel de situații. Încercați să descrieți ce ar trebui să se întâmple conectând evenimentele cu sindicatele „ȘI” sau „SAU”. De exemplu, în acest caz:

Trebuie să se rostogolească (capete și cozi) sau (cozi și capete).

Acolo unde există o uniune „și”, va exista înmulțire, iar unde „sau” este adunare:

Incearca-l tu insuti:

1. Care este probabilitatea ca două aruncări de monede să apară de două ori cu aceeași față?
2. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca suma să scadă puncte?

Solutii:

Alt exemplu:

Aruncăm o monedă o dată. Care este probabilitatea ca capetele să apară măcar o dată?

Decizie:

TEORIA PROBABILITĂȚII. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă apariția unuia nu modifică probabilitatea ca celălalt să se producă.

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente este egală cu produsul probabilităților fiecăruia dintre evenimente.

Evenimente incompatibile

Evenimentele incompatibile sunt acele evenimente care nu pot avea loc simultan ca urmare a unui experiment. Un număr de evenimente incompatibile formează un grup complet de evenimente.

Probabilitățile de evenimente incompatibile se adună.

După ce am descris ce ar trebui să se întâmple, folosind uniunile „ȘI” sau „SAU”, în loc de „ȘI” punem semnul înmulțirii, iar în loc de „SAU” - adunare.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

Teoria probabilității este o ramură a matematicii care studiază tiparele fenomenelor aleatoare: evenimente aleatoare, variabile aleatoare, proprietățile lor și operațiunile asupra lor.

Multă vreme, teoria probabilității nu a avut o definiție clară. A fost formulat abia în 1929. Apariția teoriei probabilităților ca știință este atribuită Evului Mediu și primelor încercări de analiză matematică a jocurilor de noroc (aruncarea, zarurile, ruleta). Matematicienii francezi din secolul al XVII-lea Blaise Pascal și Pierre de Fermat au descoperit primele modele probabilistice care apar la aruncarea zarurilor în timp ce studiază predicția câștigurilor în jocurile de noroc.

Teoria probabilității a apărut ca știință din credința că anumite regularități stau la baza evenimentelor aleatorii masive. Teoria probabilității studiază aceste modele.

Teoria probabilității se ocupă cu studiul evenimentelor, a căror apariție nu este cunoscută cu siguranță. Vă permite să judecați gradul de probabilitate a apariției unor evenimente în comparație cu altele.

De exemplu: este imposibil să se determine fără ambiguitate rezultatul aruncării unei monede cu capete sau cozi, dar cu aruncări repetate, aproximativ același număr de capete și cozi cade, ceea ce înseamnă că probabilitatea ca capul sau cozile să cadă ", este egală. la 50%.

Testîn acest caz, se numește implementarea unui anumit set de condiții, adică, în acest caz, aruncarea unei monede. Provocarea poate fi jucată de un număr nelimitat de ori. În acest caz, complexul de condiții include factori aleatori.

Rezultatul testului este eveniment. Evenimentul are loc:

1. Fiabil (apare întotdeauna ca rezultat al testării).
2. Imposibil (nu se întâmplă niciodată).
3. Aleatoriu (poate să apară sau nu ca rezultat al testului).

De exemplu, atunci când aruncați o monedă, un eveniment imposibil - moneda va ajunge pe margine, un eveniment aleatoriu - pierderea „capetelor” sau „cozilor”. Rezultatul testului specific este numit eveniment elementar. În urma testului, apar doar evenimente elementare. Se numește totalitatea tuturor rezultatelor posibile, diferite, specifice ale testului spațiu de eveniment elementar.

Concepte de bază ale teoriei

Probabilitate- gradul de posibilitate a producerii evenimentului. Atunci când motivele pentru care un eveniment posibil să apară efectiv depășesc motivele opuse, atunci acest eveniment se numește probabil, în caz contrar - improbabil sau improbabil.

Valoare aleatoare- aceasta este o valoare care, în urma testului, poate lua una sau alta valoare și nu se știe dinainte care dintre ele. De exemplu: numărul de stații de pompieri pe zi, numărul de lovituri cu 10 lovituri etc.

Variabilele aleatoare pot fi împărțite în două categorii.

1. Variabilă aleatoare discretă se numește o astfel de mărime care, în urma testului, poate lua anumite valori cu o anumită probabilitate, formând o mulțime numărabilă (o mulțime ale cărei elemente pot fi numerotate). Acest set poate fi fie finit, fie infinit. De exemplu, numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei este o variabilă aleatorie discretă, deoarece această valoare poate lua un număr infinit, deși numărabil, de valori.
2. Variabilă aleatoare continuă este o astfel de mărime care poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit. Evident, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit.

Spațiu de probabilitate- conceptul introdus de A.N. Kolmogorov în anii 1930 pentru a oficializa conceptul de probabilitate, care a dat naștere dezvoltării rapide a teoriei probabilităților ca disciplină matematică riguroasă.

Spațiul de probabilitate este un triplu (uneori încadrat între paranteze unghiulare: , unde

Acesta este o mulțime arbitrară, ale cărei elemente sunt numite evenimente elementare, rezultate sau puncte;
- sigma-algebra de submultimi numite evenimente (aleatorie);
- măsură sau probabilitate probabilistă, i.e. măsură finită sigma-aditivă astfel încât .

Teorema lui De Moivre-Laplace- una dintre teoremele limitative ale teoriei probabilităților, stabilită de Laplace în 1812. Ea afirmă că numărul de succese în repetarea aceluiași experiment aleatoriu cu două rezultate posibile este distribuit aproximativ normal. Vă permite să găsiți o valoare aproximativă a probabilității.

Dacă, pentru fiecare dintre încercările independente, probabilitatea apariției unui eveniment aleatoriu este egală cu () și este numărul de încercări în care are loc efectiv, atunci probabilitatea de valabilitate a inegalității este apropiată (pentru mari ) la valoarea integralei Laplace.

Funcția de distribuție în teoria probabilităților- o funcţie care caracterizează distribuţia unei variabile aleatoare sau a unui vector aleator; probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să ia o valoare mai mică sau egală cu x, unde x este un număr real arbitrar. În anumite condiții, determină complet o variabilă aleatorie.

Valorea estimata- valoarea medie a unei variabile aleatoare (aceasta este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare, considerată în teoria probabilității). În literatura engleză, este notat cu, în rusă -. În statistică, notația este adesea folosită.

Să fie date un spațiu de probabilitate și o variabilă aleatoare definite pe acesta. Adică, prin definiție, o funcție măsurabilă. Atunci, dacă există o integrală Lebesgue a supra-spațiului , atunci se numește așteptare matematică, sau valoare medie, și se notează cu .

Varianta unei variabile aleatoare- o măsură a răspândirii unei variabile aleatoare date, adică abaterea acesteia de la așteptările matematice. Desemnat în literatura rusă și în străinătate. În statistică, denumirea sau este adesea folosită. Rădăcina pătrată a varianței se numește abatere standard, abatere standard sau spread standard.

Fie o variabilă aleatoare definită pe un spațiu de probabilitate. Apoi

unde simbolul denotă așteptarea matematică.

În teoria probabilității, sunt numite două evenimente aleatoare independent dacă apariţia unuia dintre ele nu modifică probabilitatea apariţiei celuilalt. În mod similar, sunt numite două variabile aleatoare dependent dacă valoarea unuia dintre ele afectează probabilitatea valorilor celuilalt.

Cea mai simplă formă a legii numerelor mari este teorema lui Bernoulli, care afirmă că dacă probabilitatea unui eveniment este aceeași în toate încercările, atunci pe măsură ce numărul de încercări crește, frecvența evenimentului tinde spre probabilitatea evenimentului și încetează să fie aleatoriu.

Legea numerelor mari din teoria probabilității afirmă că media aritmetică a unui eșantion finit dintr-o distribuție fixă ​​este apropiată de media teoretică a acelei distribuții. În funcție de tipul de convergență, există o lege slabă a numerelor mari, când are loc convergența în probabilitate, și o lege puternică a numerelor mari, când convergența are loc aproape sigur.

Sensul general al legii numerelor mari este că acțiunea comună a unui număr mare de factori aleatori identici și independenți duce la un rezultat care, în limită, nu depinde de întâmplare.

Metodele de estimare a probabilității bazate pe analiza unui eșantion finit se bazează pe această proprietate. Un bun exemplu este predicția rezultatelor alegerilor pe baza unui sondaj efectuat pe un eșantion de alegători.

Teoreme limite centrale- o clasă de teoreme din teoria probabilităților care afirmă că suma unui număr suficient de mare de variabile aleatoare slab dependente care au aproximativ aceeași scară (niciunul dintre termeni nu domină, nu aduce o contribuție decisivă la sumă) are o distribuție apropiată de normal.

Deoarece multe variabile aleatoare din aplicații se formează sub influența mai multor factori aleatori slab dependenți, distribuția lor este considerată normală. În acest caz, trebuie observată condiția ca niciunul dintre factori să nu fie dominant. Teoremele limită centrale în aceste cazuri justifică aplicarea distribuției normale.

Evenimentele care au loc în realitate sau în imaginația noastră pot fi împărțite în 3 grupe. Acestea sunt anumite evenimente care trebuie să se întâmple, evenimente imposibile și evenimente aleatorii. Teoria probabilității studiază evenimente aleatoare, de ex. evenimente care pot să apară sau nu. Acest articol va prezenta pe scurt teoria formulelor probabilităților și exemple de rezolvare a problemelor în teoria probabilităților, care se vor afla în sarcina a 4-a a Examenului de stat unificat la matematică (nivel de profil).

De ce avem nevoie de teoria probabilității

Din punct de vedere istoric, necesitatea studierii acestor probleme a apărut în secolul al XVII-lea în legătură cu dezvoltarea și profesionalizarea jocurilor de noroc și apariția cazinourilor. A fost un fenomen real care a necesitat studiul și cercetarea lui.

Jocul de cărți, zaruri, ruletă a creat situații în care ar putea avea loc oricare dintr-un număr finit de evenimente la fel de probabile. Era nevoie să se dea estimări numerice ale posibilității de apariție a unui eveniment.

În secolul al XX-lea, a devenit clar că această știință aparent frivolă joacă un rol important în înțelegerea proceselor fundamentale care au loc în microcosmos. A fost creată teoria modernă a probabilității.

Concepte de bază ale teoriei probabilităților

Obiectul de studiu al teoriei probabilităților îl reprezintă evenimentele și probabilitățile lor. Dacă evenimentul este complex, atunci poate fi împărțit în componente simple, ale căror probabilități sunt ușor de găsit.

Suma evenimentelor A și B se numește eveniment C, care constă în faptul că fie evenimentul A, fie evenimentul B, fie evenimentele A și B s-au petrecut în același timp.

Produsul evenimentelor A și B este evenimentul C, care constă în faptul că atât evenimentul A cât și evenimentul B s-au petrecut.

Se spune că evenimentele A și B sunt incompatibile dacă nu pot avea loc în același timp.

Se spune că un eveniment A este imposibil dacă nu se poate întâmpla. Un astfel de eveniment este notat cu simbolul .

Un eveniment A se numește sigur dacă va avea loc cu siguranță. Un astfel de eveniment este notat cu simbolul .

Fiecărui eveniment A i se atribuie un număr P(A). Acest număr P(A) se numește probabilitatea evenimentului A dacă sunt îndeplinite următoarele condiții cu o astfel de corespondență.

Un caz particular important este situația în care există rezultate elementare la fel de probabile, iar arbitrare dintre aceste rezultate formează evenimentele A. În acest caz, probabilitatea poate fi introdusă prin formula . Probabilitatea introdusă în acest fel se numește probabilitate clasică. Se poate dovedi că proprietățile 1-4 sunt valabile în acest caz.

Problemele din teoria probabilității, care se găsesc la examenul de matematică, sunt legate în principal de probabilitatea clasică. Astfel de sarcini pot fi foarte simple. Deosebit de simple sunt problemele din teoria probabilității în versiunile demonstrative. Este ușor de calculat numărul de rezultate favorabile, numărul tuturor rezultatelor este scris direct în condiție.

Primim răspunsul conform formulei.

Un exemplu de sarcină de la examenul de matematică pentru a determina probabilitatea

Pe masă sunt 20 de plăcinte - 5 cu varză, 7 cu mere și 8 cu orez. Marina vrea să ia o plăcintă. Care este probabilitatea ca ea să ia prăjitura de orez?

Decizie.

Există 20 de rezultate elementare equiprobabile în total, adică Marina poate lua oricare dintre cele 20 de plăcinte. Dar trebuie să estimăm probabilitatea ca Marina să ia chiflă de orez, adică unde A este alegerea chiflă de orez. Aceasta înseamnă că avem un total de 8 rezultate favorabile (alegerea plăcintelor cu orez), apoi probabilitatea va fi determinată de formula:

Evenimente independente, opuse și arbitrare

Cu toate acestea, sarcinile mai complexe au început să apară în banca deschisă de sarcini. Prin urmare, să atragem atenția cititorului asupra altor întrebări studiate în teoria probabilității.

Evenimentele A și B sunt numite independente dacă probabilitatea fiecăruia dintre ele nu depinde de faptul dacă celălalt eveniment a avut loc.

Evenimentul B constă în faptul că evenimentul A nu a avut loc, adică. evenimentul B este opus evenimentului A. Probabilitatea evenimentului opus este egală cu unu minus probabilitatea evenimentului direct, adică. .

Teoreme de adunare și înmulțire, formule

Pentru evenimentele arbitrare A și B, probabilitatea sumei acestor evenimente este egală cu suma probabilităților lor fără probabilitatea evenimentului lor comun, i.e. .

Pentru evenimentele independente A și B, probabilitatea produsului acestor evenimente este egală cu produsul probabilităților lor, i.e. în acest caz .

Ultimele 2 afirmatii se numesc teoreme ale adunarii si inmultirii probabilitatilor.

Nu întotdeauna numărarea numărului de rezultate este atât de simplă. În unele cazuri, este necesar să se utilizeze formule combinatorice. Cel mai important este să numărați numărul de evenimente care îndeplinesc anumite condiții. Uneori, astfel de calcule pot deveni sarcini independente.

În câte moduri pot fi așezați 6 studenți pe 6 locuri goale? Primul elev va ocupa oricare dintre cele 6 locuri. Fiecare dintre aceste opțiuni corespunde a 5 moduri de plasare a celui de-al doilea student. Pentru al treilea elev sunt 4 locuri libere, pentru al patrulea - 3, pentru al cincilea - 2, al şaselea va ocupa singurul loc rămas. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să găsiți produsul, care este notat cu simbolul 6! și citiți „factorial șase”.

În cazul general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de permutări ale n elemente.În cazul nostru, .

Luați în considerare un alt caz cu studenții noștri. În câte moduri pot fi așezați 2 elevi în 6 locuri goale? Primul elev va ocupa oricare dintre cele 6 locuri. Fiecare dintre aceste opțiuni corespunde a 5 moduri de plasare a celui de-al doilea student. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să găsiți produsul.

În cazul general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de plasări a n elemente de către k elemente

În cazul nostru .

Și ultimul din această serie. Câte moduri există de a alege 3 elevi din 6? Primul elev poate fi ales în 6 moduri, al doilea în 5 moduri, iar al treilea în 4 moduri. Dar dintre aceste opțiuni, aceiași trei elevi apar de 6 ori. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să calculați valoarea: . În cazul general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de combinații de elemente pe elemente:

În cazul nostru .

Exemple de rezolvare a problemelor de la examenul la matematică pentru determinarea probabilității

Sarcina 1. Din colecție, ed. Iascenko.

Pe farfurie sunt 30 de plăcinte: 3 cu carne, 18 cu varză și 9 cu cireșe. Sasha alege la întâmplare o plăcintă. Găsiți probabilitatea ca el să ajungă cu o cireșă.

.

Răspuns: 0,3.

Problema 2. Din culegere, ed. Iascenko.

În fiecare lot de 1000 de becuri, în medie 20 de becuri defecte. Găsiți probabilitatea ca un bec ales la întâmplare dintr-un lot să fie bun.

Soluție: Numărul de becuri reparabile este 1000-20=980. Atunci probabilitatea ca un bec luat la întâmplare din lot să fie util este:

Răspuns: 0,98.

Probabilitatea ca elevul U. să rezolve corect mai mult de 9 probleme la un test de matematică este de 0,67. Probabilitatea ca U. să rezolve corect mai mult de 8 probleme este de 0,73. Aflați probabilitatea ca U. să rezolve corect exact 9 probleme.

Dacă ne imaginăm o dreaptă numerică și marchem punctele 8 și 9 pe ea, atunci vom vedea că condiția „U. rezolva corect exact 9 probleme” este inclusă în condiția „U. rezolva corect mai mult de 8 probleme”, dar nu se aplică condiției „W. rezolva corect mai mult de 9 probleme.

Cu toate acestea, condiția „U. rezolva corect mai mult de 9 probleme” este cuprinsă în condiția „U. rezolva corect mai mult de 8 probleme. Astfel, dacă desemnăm evenimente: „W. rezolva corect exact 9 probleme" - prin A, "U. rezolva corect mai mult de 8 probleme" - prin B, "U. rezolvați corect mai mult de 9 probleme ”prin C. Apoi soluția va arăta astfel:

Răspuns: 0,06.

La examenul de geometrie, studentul răspunde la o întrebare din lista de întrebări de examen. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare de trigonometrie este de 0,2. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare Outer Corners este de 0,15. Nu există întrebări legate de aceste două subiecte în același timp. Găsiți probabilitatea ca studentul să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.

Să ne gândim la ce evenimente avem. Ni se dau două evenimente incompatibile. Adică, fie întrebarea se va referi la subiectul „Trigonometrie”, fie la subiectul „Unghiuri externe”. Conform teoremei probabilității, probabilitatea evenimentelor incompatibile este egală cu suma probabilităților fiecărui eveniment, trebuie să găsim suma probabilităților acestor evenimente, adică:

Răspuns: 0,35.

Camera este iluminată de un felinar cu trei lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,29. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă într-un an.

Să luăm în considerare posibilele evenimente. Avem trei becuri, fiecare dintre ele se poate arde sau nu independent de orice alt bec. Acestea sunt evenimente independente.

Apoi vom indica variantele unor astfel de evenimente. Acceptăm notația: - becul este aprins, - becul este ars. Și imediat după aceea calculăm probabilitatea unui eveniment. De exemplu, probabilitatea unui eveniment în care au avut loc trei evenimente independente „becul ars”, „becul aprins”, „becul aprins”: unde probabilitatea evenimentului „becul aprins” este calculată ca probabilitatea de un eveniment opus evenimentului „bec stins”, și anume .