Este practic dificil să găsești o asemenea valoare cu, la care (b-a)f(c) ar fi exact egal cu . Pentru a obține o valoare mai precisă, aria unui trapez curbiliniu este împărțită în n dreptunghiuri ale căror înălțimi sunt egale y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 si fundatii.

Dacă rezumăm ariile dreptunghiurilor care acoperă aria unui trapez curbiliniu cu un dezavantaj, funcția este nedescrescătoare, atunci în loc de formulă, se folosește formula

Dacă este în exces, atunci

Valorile se găsesc din egalități. Aceste formule sunt numite formule dreptunghiulareși dați un rezultat aproximativ. Odată cu creșterea n rezultatul devine mai precis.

Exemplul 1 . Calculați din formula dreptunghiurilor

Împărțim intervalul de integrare în 5 părți. Apoi . Folosind un calculator sau un tabel, găsim valorile integrandului (cu o precizie de 4 zecimale):

Conform formulei dreptunghiurilor (cu un dezavantaj)

Pe de altă parte, conform formulei Newton-Leibniz

Să găsim eroarea relativă de calcul folosind formula dreptunghiurilor:

Calculul integralelor prin formule trapezoidale. Estimarea erorii:

Semnificația geometrică a următoarei metode pentru calculul aproximativ al integralelor este aceea de a găsi aria unui trapez „rectiliniu” de dimensiuni aproximativ egale.

Să fie necesar să se calculeze suprafața A 1 AmBB 1 trapez curbiliniu, exprimat prin formula .

Să înlocuim arcul AmB coardă ABși în loc de zona unui trapez curbiliniu A 1 AmBB 1 calculați aria trapezului A 1 ABB 1: , Unde AA 1și BB 1 - baza trapezului și A 1 V 1 este înălțimea acestuia.

Denota f(a)=A 1 A, f(b)=B 1 B.înălțimea trapezului A 1 B 1 \u003d b-a, pătrat . Prin urmare, sau

Acest așa-zis formulă trapezoidală mică.

Ekaterinburg

Calculul unei integrale definite

Introducere

Sarcina integrării numerice a funcțiilor este de a calcula valoarea aproximativă a unei anumite integrale:

pe baza unei serii de valori ale integrandului.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

Formulele pentru calculul numeric al unei singure integrale se numesc formule de cuadratura, duble și mai multe - cubatură.

Tehnica obișnuită pentru construirea formulelor în cuadratură este înlocuirea integrandul f(x) pe un segment cu o funcție de interpolare sau de aproximare g(x) de o formă relativ simplă, de exemplu, un polinom, urmată de integrare analitică. Aceasta duce la prezentare

Neglijând termenul rămas R[f], obținem formula aproximativă

Notăm cu y i = f(x i) valoarea integrandului în diferite puncte

Ca funcție aproximativă g(x), considerăm un polinom de interpolare pe

Formula (1) dă

În formula (2), cantitățile (

Rezuma.

2. În formulele în cuadratura de tip interpolare, restul termenului R n [f] poate fi reprezentat ca valoarea unui anumit operator diferențial pe funcția f(x). Pentru

3. Pentru polinoame de până la ordinul n inclusiv, formula de cuadratura (2) este exactă, adică.

Luați în considerare cazuri speciale de formule (2) și (3): metoda dreptunghiurilor, trapezelor, parabolelor (metoda lui Simpson). Denumirile acestor metode se datorează interpretării geometrice a formulelor corespunzătoare.

Metoda dreptunghiului

Integrala definită a funcției funcției f(x):

Metoda reprezentată de formula (4) se numește metoda casetei din stânga, iar metoda reprezentată de formula (5) se numește metoda casetei din dreapta:

Pentru a găsi o integrală definită folosind metoda dreptunghiurilor mijlocii, aria mărginită de liniile a și b se împarte în n dreptunghiuri cu aceleași baze h, înălțimile dreptunghiurilor vor fi punctele de intersecție ale funcției f(x) cu punctele mijlocii ale dreptunghiurilor (h/2). Integrala va fi numeric egală cu suma ariilor a n dreptunghiuri (Figura 3).

n este numărul de partiții ale segmentului.

Metoda trapezoidală

Pentru a găsi o integrală definită folosind metoda trapezului, aria unui trapez curbiliniu este, de asemenea, împărțită în n trapeze dreptunghiulare cu înălțimi h și baze y 1, y 2, y 3,..y n, unde n este numărul trapez dreptunghiular. Integrala va fi numeric egală cu suma ariilor trapezelor dreptunghiulare (Figura 4).

n este numărul de partiții

Eroarea formulei trapezului este estimată prin număr

Eroarea formulei trapezului cu creșterea

Formula Simpson

Dacă pentru fiecare pereche de segmente

Astăzi ne vom familiariza cu o altă metodă de integrare numerică, metoda trapezoidală. Cu ajutorul lui, vom calcula integrale definite cu un anumit grad de precizie. În articol, vom descrie esența metodei trapezului, vom analiza modul în care este derivată formula, vom compara metoda trapezului cu metoda dreptunghiului și vom nota estimarea erorii absolute a metodei. Vom ilustra fiecare dintre secțiuni cu exemple pentru o înțelegere mai profundă a materialului.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Să presupunem că trebuie să calculăm aproximativ integrala definită ∫ a b f (x) d x , al cărei integrand y = f (x) este continuu pe segmentul [ a ; b] . Pentru a face acest lucru, împărțim segmentul [ a ; b ] în mai multe intervale egale de lungime h cu punctele a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Să găsim pasul de partiție: h = b - a n . Definim noduri din egalitatea x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n .

Pe intervale elementare se consideră integrandul x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n .

Cu o creștere infinită în n, reducem toate cazurile la cele mai simple patru opțiuni:

Selectați segmentele x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . Să înlocuim funcția y = f (x) pe fiecare dintre grafice cu un segment de dreaptă care trece prin punctele cu coordonatele x i - 1 ; f x i - 1 și x i ; f x i . Le notăm în cifre cu albastru.

Să luăm expresia f (x i - 1) + f (x i) 2 h ca valoare aproximativă a integralei ∫ x i - 1 x dacă (x) d x . Acestea. se ia ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .

Să vedem de ce metoda de integrare numerică pe care o studiem se numește metoda trapezoidală. Pentru a face acest lucru, trebuie să aflăm ce înseamnă egalitatea aproximativă scrisă din punct de vedere al geometriei.

Pentru a calcula aria unui trapez, înmulțiți jumătate din sumele bazelor sale cu înălțimea. În primul caz, aria unui trapez curbiliniu este aproximativ egală cu un trapez cu baze f (x i - 1), f (x i) înălțime h. În al patrulea dintre cazurile pe care le luăm în considerare, integrala dată ∫ x i - 1 x f (x) d x este aproximativ egală cu aria unui trapez cu baze - f (x i - 1) , - f (x i) și înălțime h, care trebuie luată cu semnul „-”. Pentru a calcula valoarea aproximativă a integralei definite ∫ x i - 1 x i f (x) d x în al doilea și al treilea dintre cazurile luate în considerare, trebuie să găsim diferența dintre ariile regiunilor roșie și albastră, pe care le-am marcat cu haşurarea în figura de mai jos.

Să rezumam. Esența metodei trapezoidale este următoarea: putem reprezenta integrala definită ∫ a b f (x) d x ca o sumă de integrale de forma ∫ x i - 1 x i f (x) d x pe fiecare segment elementar și în modificarea aproximativă ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h.

Formula trapezoidală

Reamintim a cincea proprietate a integralei definite: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Pentru a obține formula metodei trapezoidale, în locul integralelor ∫ x i - 1 x i f (x) d x, înlocuiți valorile lor aproximative: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Definiția 1

Formula trapezoidala:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Estimarea erorii absolute a metodei trapezoidale

Să estimăm eroarea absolută a metodei trapezoidale după cum urmează:

Definiția 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

O ilustrare grafică a metodei trapezoidale este prezentată în figură:

Exemple de calcul

Să analizăm exemple de utilizare a metodei trapezului pentru calculul aproximativ al integralelor definite. Vom acorda o atenție deosebită două tipuri de sarcini:

• calculul unei integrale definite prin metoda trapezului pentru un număr dat de partiții ale segmentului n;
• găsirea unei valori aproximative a unei anumite integrale cu o precizie specificată.

Pentru un n dat, toate calculele intermediare trebuie efectuate cu un grad suficient de mare de precizie. Precizia calculelor ar trebui să fie mai mare, cu cât n mai mare.

Dacă avem o precizie dată de calculare a unei integrale definite, atunci toate calculele intermediare trebuie efectuate cu două sau mai multe ordine de mărime mai precis. De exemplu, dacă precizia este setată la 0.01, atunci efectuăm calcule intermediare cu o precizie de 0.0001 sau 0.00001. Pentru n mare, calculele intermediare trebuie efectuate cu o precizie și mai mare.

Să luăm ca exemplu regula de mai sus. Pentru a face acest lucru, comparăm valorile unei integrale definite calculate prin formula Newton-Leibniz și obținute prin metoda trapezului.

Deci, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

Exemplul 1

Folosind metoda trapezoidală, calculăm integrala definită ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x pentru n egal cu 10 .

Decizie

Formula pentru metoda trapezoidală este ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Pentru a aplica formula, trebuie să calculăm pasul h folosind formula h = b - a n , să determinăm nodurile x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n , calculați valorile integrandului f (x) = 7 x 2 + 1 .

Etapa de partiție se calculează astfel: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Pentru a calcula integrandul la nodurile x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n vom lua patru zecimale:

i \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Să introducem rezultatele calculelor în tabel:

Înlocuiți valorile obținute în formula metodei trapezoidale: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 = 1 9 2 , 6

Să comparăm rezultatele noastre cu rezultatele calculate prin formula Newton-Leibniz. Valorile primite coincid până la sutimi.

Răspuns:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Exemplul 2

Folosind metoda trapezului, calculăm valoarea integralei definite ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x cu o precizie de 0 , 01 .

Decizie

După condiţia problemei a = 1 ; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; 5n ≤ 0, 01.

Găsiți n , care este egal cu numărul de puncte de împărțire ale segmentului de integrare, folosind inegalitatea pentru estimarea erorii absolute δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . O vom face în felul următor: vom găsi valorile n pentru care inegalitatea m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . Dat n, formula trapezoidală ne va oferi o valoare aproximativă a unei anumite integrale cu o precizie dată.

Mai întâi, să găsim cea mai mare valoare a modulului derivatei a doua a funcției pe intervalul [ 1 ; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Funcția derivată a doua este o parabolă pătratică f "" (x) = x 2 . Din proprietățile sale știm că este pozitiv și crește pe segmentul [ 1 ; 2]. În acest sens, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

În exemplul dat, procesul de găsire a m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) sa dovedit a fi destul de simplu. În cazuri complexe, pentru calcule, vă puteți referi la cele mai mari și mai mici valori ale funcției. După ce luăm în considerare acest exemplu, prezentăm o metodă alternativă pentru găsirea m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Să substituim valoarea obţinută în inegalitatea m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 . 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 . 7735

Numărul de intervale elementare în care se împarte segmentul de integrare n este un număr natural. Pentru comportamentul de calcul, să luăm n egal cu șase. O astfel de valoare a lui n ne va permite să obținem precizia specificată a metodei trapezului cu un minim de calcule.

Să calculăm pasul: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Găsiți nodurile x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . , n , determinăm valorile integrandului la aceste noduri:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 9833

Scriem rezultatele calculului sub forma unui tabel:

Înlocuim rezultatele obținute în formula trapezoidală:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054

Pentru a compara, calculăm integrala originală folosind formula Newton-Leibniz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

După cum puteți vedea, am obținut precizia obținută a calculelor.

Răspuns: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054

Pentru integranții complecși, găsirea numărului n din inegalitatea pentru estimarea erorii absolute nu este întotdeauna ușoară. În acest caz, următoarea metodă ar fi adecvată.

Să notăm valoarea aproximativă a integralei definite, care a fost obținută prin metoda trapezoidală pentru n noduri, ca I n . Să alegem un număr arbitrar n . Folosind formula metodei trapezoidale, calculăm integrala inițială cu un număr simplu (n = 10) și dublu (n = 20) de noduri și găsim valoarea absolută a diferenței dintre cele două valori aproximative obținute I 20 - eu 10 .

Dacă valoarea absolută a diferenței dintre cele două valori aproximative obținute este mai mică decât precizia necesară I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Dacă valoarea absolută a diferenței dintre cele două valori aproximative obținute este mai mare decât precizia necesară, atunci este necesar să repetați pașii cu dublul numărului de noduri (n = 40).

Această metodă necesită o mulțime de calcule, așa că este înțelept să folosiți tehnologia computerizată pentru a economisi timp.

Să rezolvăm problema folosind algoritmul de mai sus. Pentru a economisi timp, omitem calculele intermediare folosind metoda trapezului.

Exemplul 3

Este necesar să se calculeze integrala definită ∫ 0 2 x e x d x folosind metoda trapezului cu o precizie de 0 , 001 .

Decizie

Să luăm n egal cu 10 și 20 . Conform formulei trapezoidale, obținem I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, ceea ce necesită calcule suplimentare.

Să luăm n egal cu 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, care necesită și calcule suplimentare.

Să luăm n egal cu 80: I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, ceea ce necesită încă o dublare a numărului de noduri.

Să luăm n egal cu 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

Puteți obține o valoare aproximativă a integralei originale rotunjind I 160 = 8 , 3893317 la miimi: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Pentru comparație, calculăm integrala definită inițială folosind formula Newton-Leibniz: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . A fost atinsă precizia necesară.

Răspuns: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Erori

Calculele intermediare pentru a determina valoarea unei integrale definite sunt efectuate, în cea mai mare parte, aproximativ. Aceasta înseamnă că pe măsură ce n crește, eroarea de calcul începe să se acumuleze.

Să comparăm estimările erorilor absolute ale metodei trapezoidale și ale metodei dreptunghiurilor medii:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .

Metoda dreptunghiurilor pentru un n dat cu aceeași cantitate de lucru de calcul dă jumătate din eroare. Acest lucru face ca metoda să fie mai preferată în cazurile în care valorile funcției sunt cunoscute în segmentele mijlocii ale segmentelor elementare.

În acele cazuri în care funcțiile integrabile sunt specificate nu analitic, ci ca un set de valori la noduri, putem folosi metoda trapezoidală.

Dacă comparăm precizia metodei trapezoidale și metoda dreptunghiurilor drepte și stângi, atunci prima metodă o depășește pe a doua în acuratețea rezultatului.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Metoda trapezoidală este una dintre metodele de integrare numerică. Vă permite să calculați integrale definite cu un grad predeterminat de precizie.

Mai întâi, descriem esența metodei trapezului și derivăm formula trapezului. În continuare, scriem o estimare a erorii absolute a metodei și analizăm în detaliu soluția exemplelor tipice. În concluzie, să comparăm metoda trapezelor cu metoda dreptunghiurilor.

Navigare în pagină.

Esența metodei trapezului.

Să ne punem următoarea sarcină: trebuie să calculăm aproximativ integrala definită , unde integrandul y=f(x) este continuu pe intervalul .

Să împărțim segmentul în n intervale egale de lungime h cu puncte . În acest caz, pasul de partiție este găsit pe măsură ce nodurile sunt determinate din egalitate.

Luați în considerare integrantul pe intervale elementare .

Sunt posibile patru cazuri (figura îl arată pe cel mai simplu dintre ele, la care totul se reduce pe măsură ce n crește la infinit):

Pe fiecare segment să înlocuim funcția y=f(x) cu un segment de dreaptă care trece prin punctele cu coordonate și . Le înfățișăm în figură cu linii albastre:

Ca valoare aproximativă a integralei, luăm expresia , adică să luăm .

Să aflăm ce înseamnă egalitatea aproximativă scrisă în sens geometric. Acest lucru va face posibil să înțelegem de ce metoda considerată de integrare numerică se numește metoda trapezoidală.

Știm că aria unui trapez se găsește ca produsul dintre jumătate din suma bazelor cu înălțimea. Prin urmare, în primul caz, aria unui trapez curbiliniu este aproximativ egală cu aria unui trapez cu baze. și înălțimea h, în ultimul caz, integrala definită este aproximativ egală cu aria trapezului cu baze iar înălțimea h luată cu semnul minus. În al doilea și al treilea caz, valoarea aproximativă a integralei definite este egală cu diferența dintre zonele regiunilor roșii și albastre prezentate în figura de mai jos.

Astfel, am ajuns la esența metodei trapezului, care constă în reprezentarea unei integrale definite ca sumă de integrale de formă pe fiecare interval elementar și în înlocuirea aproximativă ulterioară .

Formula trapezoidală.

În virtutea proprietății a cincea a integralei definite .

Dacă înlocuim valorile lor aproximative în loc de integrale, obținem:

Estimarea erorii absolute a metodei trapezoidale.

Eroarea absolută a metodei trapezoidale cotat ca
.

Ilustrare grafică a metodei trapezoidale.

Să aducem ilustrare grafică a metodei trapezoidale:

Exemple de calcul aproximativ al integralelor definite prin metoda trapezoidală.

Să folosim exemple pentru a analiza aplicarea metodei trapezului în calculul aproximativ al anumitor integrale.

Practic, există două tipuri de sarcini:

• sau calculați integrala definită prin metoda trapezului pentru un număr dat de partiții ale segmentului n,
• sau găsiți o valoare aproximativă a unei integrale definite cu precizia necesară.

Trebuie remarcat faptul că pentru un n dat, calculele intermediare trebuie efectuate cu un grad suficient de precizie, iar cu cât n este mai mare, cu atât precizia calculelor ar trebui să fie mai mare.

Dacă este necesar să se calculeze o integrală definită cu o precizie dată, de exemplu, până la 0,01 , atunci vă recomandăm ca calculele intermediare să fie efectuate cu două sau trei ordine de mărime mai precis, adică până la 0,0001 - 0,00001 . Dacă precizia specificată este atinsă la n mare, atunci calculele intermediare ar trebui efectuate cu o precizie și mai mare.

De exemplu, să luăm o integrală definită, a cărei valoare o putem calcula folosind formula Newton-Leibniz, astfel încât să putem compara acest rezultat cu o valoare aproximativă obținută prin metoda trapezului.

Asa de, .

Exemplu.

Calculați integrala definită folosind metoda trapezoidală pentru n = 10 .

Decizie.

Formula pentru metoda trapezului este . Adică, pentru ao aplica, este suficient să calculăm pasul h folosind formula, să determinăm nodurile și să calculăm valorile corespunzătoare ale integrandului.

Să calculăm pasul de partiție: .

Definim nodurile și calculăm valorile integrandului din ele (vom lua patru zecimale):

Pentru comoditate, rezultatele calculului sunt prezentate sub forma unui tabel:

Le înlocuim în formula metodei trapezului:

Valoarea obţinută coincide până la sutimi cu valoarea calculată prin formula Newton-Leibniz.

Exemplu.

Calculați integrala definită metoda trapezoidală cu o precizie de 0,01 .

Decizie.

Ce obținem din condiția: a = 1; b=2; .

În acest caz, în primul rând, găsim numărul de puncte de împărțire ale segmentului de integrare, adică n. Putem face acest lucru folosind inegalitatea pentru a estima eroarea absolută . Astfel, dacă găsim n pentru care inegalitatea va fi valabilă , atunci formula trapezoidală pentru n dat ne va da o valoare aproximativă a unei integrale definite cu precizia necesară.

Să găsim mai întâi cea mai mare valoare a modulului derivatei a doua a funcției pe intervalul .

A doua derivată a funcției este o parabolă pătratică, știm din proprietățile sale că este pozitivă și crescătoare pe segment, prin urmare . După cum puteți vedea, în exemplul nostru, procesul de găsire este destul de simplu. Pentru cazuri mai complexe, consultați secțiunea. Dacă este foarte greu de găsit, atunci după acest exemplu vom oferi o metodă alternativă de acțiune.

Să ne întoarcem la inegalitatea noastră și înlocuiți valoarea rezultată în ea:

La fel de n este un număr natural (n este numărul de intervale elementare în care se împarte segmentul de integrare), atunci putem lua n = 6, 7, 8, ... Să luăm n = 6 . Acest lucru ne va permite să obținem precizia necesară a metodei trapezoidale cu un minim de calcule (deși pentru cazul nostru cu n = 10 este mai convenabil să facem calcule manuale).

Asa de, n găsit, procedați acum ca în exemplul anterior.

Calculează pasul: .

Găsiți nodurile grilei și valorile integrandului la ele:

Să punem rezultatele calculelor în tabel:

Înlocuim rezultatele obținute în formula trapezoidală:

Calculăm integrala originală folosind formula Newton-Leibniz pentru a compara valorile:

Prin urmare, se obține precizia necesară.

De remarcat că găsirea numărului n din inegalitatea pentru estimarea erorii absolute nu este o procedură foarte simplă, mai ales pentru integranții complecși. Prin urmare, este logic să se recurgă la următoarea metodă.

Valoarea aproximativă a integralei definite obţinută prin metoda trapezoidală pentru n noduri se va nota cu .

Alegeți un număr arbitrar n , de exemplu n = 10 . Folosind formula metodei trapezului, calculăm integrala inițială pentru n = 10 și pentru dublul numărului de noduri, adică pentru n = 20. Găsim valoarea absolută a diferenței dintre cele două valori aproximative obținute. Dacă este mai mică decât precizia cerută , apoi oprim calculele și luăm valoarea ca valoare aproximativă a integralei definite, rotunjind-o anterior la ordinea de precizie necesară. În caz contrar, dublăm numărul de noduri (luăm n = 40 ) și repetăm ​​pașii.

Sarcini de predare și educație:

• scop didactic. Introducerea elevilor în metodele de calcul aproximativ al unei integrale determinate.
• scop educativ. Tema acestei lecții are o mare valoare practică și educațională. Cea mai simplă abordare a ideii de integrare numerică se bazează pe definirea unei integrale definite ca limită a sumelor integrale. De exemplu, dacă luăm o partiție suficient de mică a segmentului [ A; b] și construiți o sumă integrală pentru aceasta, atunci valoarea acesteia poate fi luată aproximativ ca valoare a integralei corespunzătoare. În același timp, este important să efectuați rapid și corect calculele folosind tehnologia computerizată.

Cunoștințe și abilități de bază. Să înțeleagă metodele aproximative pentru calcularea unei integrale definite folosind formulele dreptunghiurilor și trapezelor.

Asigurarea lecției

• Înmânează. Fișe de activitate pentru munca independentă.
• OTS. Multiproiector, PC, laptop-uri.
• Echipamente TCO. Prezentări: „Semnificația geometrică a derivatei”, „Metoda dreptunghiurilor”, „Metoda trapezelor”. (Prezentarea poate fi împrumutată de la autor).
• Instrumente de calcul: PC, microcalculatoare.
• Instrucțiuni

Tipul clasei. Practic integrat.

Motivarea activității cognitive a elevilor. Foarte des trebuie să se calculeze integrale definite pentru care este imposibil să se găsească o antiderivată. În acest caz, se folosesc metode aproximative pentru calcularea integralelor definite. Uneori metoda aproximativă este folosită și pentru „preluarea” integralelor, dacă calculul prin formula Newton-Leibniz nu este rațional. Ideea unui calcul aproximativ al integralei este că curba este înlocuită cu o nouă curbă care este suficient de „aproape” de ea. În funcție de alegerea unei noi curbe, poate fi utilizată una sau alta formulă de integrare aproximativă.

Secvența lecției.

1. Formula dreptunghiulară.
2. Formula trapezoidală.
3. Rezolvarea exercițiilor.

Planul lecției

1. Repetarea cunoștințelor de bază ale elevilor.

Repetați cu elevii: formulele de bază ale integrării, esența metodelor de integrare studiate, semnificația geometrică a unei integrale determinate.

1. Efectuarea lucrărilor practice.

Rezolvarea multor probleme tehnice se reduce la calculul anumitor integrale, a căror exprimare exactă este dificilă, necesită calcule lungi și nu este întotdeauna justificată în practică. Aici, valoarea lor aproximativă este destul de suficientă.

Să fie, de exemplu, necesar să se calculeze aria mărginită de o dreaptă a cărei ecuație este necunoscută. În acest caz, puteți înlocui această linie cu una mai simplă, a cărei ecuație este cunoscută. Aria trapezului curbiliniu astfel obținut este luată ca valoare aproximativă a integralei dorite.

Cea mai simplă metodă aproximativă este metoda dreptunghiurilor. Geometric, ideea din spatele modului de a calcula integrala definită folosind formula dreptunghiurilor este că aria unui trapez curbiliniu ABCD se înlocuiește cu suma ariilor dreptunghiurilor, a căror latură este , iar cealaltă este .

Dacă rezumăm ariile dreptunghiurilor care arată aria unui trapez curbiliniu cu un dezavantaj [Figura 1], atunci obținem formula:

[Imaginea 1]

atunci obținem formula:

Dacă în abundenţă

[Figura 2],

apoi

Valori y 0 , y 1 ,..., y n găsite din egalităţi , k = 0, 1..., n.Aceste formule se numesc formule dreptunghiulareși oferă rezultate aproximative. Odată cu creșterea n rezultatul devine mai precis.

Deci, pentru a găsi valoarea aproximativă a integralei, aveți nevoie de:

Pentru a găsi eroarea de calcul, trebuie să utilizați formulele:

Exemplul 1 Calculați prin formula dreptunghiurilor. Aflați erorile absolute și relative ale calculelor.

Să împărțim segmentul [ A, b] în mai multe (de exemplu, 6) părți egale. Apoi a = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(X 0) = 2 2 = 4
f (X 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (X 2) = 3 2 = 9
f (X 3) = 3,5 2 = 12,25
f (X 4) = 4 2 = 16
f (X 5) = 4,5 2 = 20,25.

Conform formulei (1):

Pentru a calcula eroarea relativă a calculelor, este necesar să găsiți valoarea exactă a integralei:

Calculele au durat mult și am obținut o rotunjire destul de grosieră. Pentru a calcula această integrală cu o aproximare mai mică, puteți utiliza capacitățile tehnice ale computerului.

Pentru a găsi o integrală definită prin metoda dreptunghiurilor, este necesar să introduceți valorile integrandului f(x) la o foaie de lucru Excel din interval X cu un pas dat X= 0,1.

1. Compilarea unui tabel de date (Xși f(x)). X f(x). Argument, iar în celula B1 - cuvântul Funcţie2 2,1 ). Apoi, după selectarea blocului de celule A2:A3, obținem toate valorile argumentului prin auto-completare (ne întindem dincolo de colțul din dreapta jos al blocului până la celula A32, la valoarea x=5).
2. În continuare, introducem valorile integrandului. În celula B2, trebuie să scrieți ecuația acesteia. Pentru a face acest lucru, plasați cursorul tabelului în celula B2 și introduceți formula de la tastatură =A2^2(pentru aspectul tastaturii în limba engleză). Apăsați tasta introduce. În celula B2 apare 4 . Acum trebuie să copiați funcția din celula B2. Completarea automată copiați această formulă în intervalul B2:B32.
   Ca rezultat, ar trebui să se obțină un tabel de date pentru găsirea integralei.
3. Acum, în celula B33 poate fi găsită o valoare aproximativă a integralei. Pentru a face acest lucru, în celula B33, introduceți formula = 0,1*, apoi apelați Expertul pentru funcții (prin apăsarea butonului Inserare funcție de pe bara de instrumente (f(x)). În caseta de dialog Function Wizard-Pasul 1 din 2 care apare, în stânga, în câmpul Categorie, selectați Math. În partea dreaptă în câmpul Funcție - funcția Sum. Apăsăm butonul BINE. Apare caseta de dialog Sumă. Introduceți intervalul de însumare B2:B31 în câmpul de lucru cu mouse-ul. Apăsăm butonul BINE.În celula B33, o valoare aproximativă a integralei dorite apare cu un dezavantaj ( 37,955 ) .

Compararea valorii aproximative obținute cu valoarea adevărată a integralei ( 39 ), se poate observa că eroarea de aproximare a metodei dreptunghiurilor în acest caz este egală cu

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Exemplul 2 Folosind metoda dreptunghiurilor, calculați cu un pas dat X = 0,05.

Comparând valoarea aproximativă obținută cu valoarea adevărată a integralei , se poate observa că eroarea de aproximare a metodei dreptunghiurilor în acest caz este egală cu

Metoda trapezului dă de obicei o valoare integrală mai precisă decât metoda dreptunghiului. Trapezul curbiliniu se înlocuiește cu suma mai multor trapeze și valoarea aproximativă a integralei definite se găsește ca suma ariilor trapezelor.

[Imaginea 3]

Exemplul 3 Găsire trapezoidală pas cu pas X = 0,1.

1. Deschideți o foaie de lucru goală.
2. Compilarea unui tabel de date (Xși f(x)). Fie prima coloană să fie valorile X, iar al doilea indicator corespunzător f(x). Pentru a face acest lucru, în celula A1, introduceți cuvântul Argument, iar în celula B1 - cuvântul Funcţie. În celula A2, se introduce prima valoare a argumentului - marginea din stânga a intervalului ( 0 ). În celula A3, se introduce a doua valoare a argumentului - marginea din stânga a intervalului plus pasul de construcție ( 0,1 ). Apoi, după selectarea blocului de celule A2:A3, obținem toate valorile argumentului prin auto-completare (ne întindem dincolo de colțul din dreapta jos al blocului până la celula A33, la valoarea x=3,1).
3. În continuare, introducem valorile integrandului. În celula B2, trebuie să scrieți ecuația acesteia (în exemplul unui sinus). Pentru a face acest lucru, cursorul tabelului trebuie plasat în celula B2. Ar trebui să existe o valoare sinus corespunzătoare valorii argumentului din celula A2. Pentru a obține valoarea sinusului, vom folosi o funcție specială: faceți clic pe butonul funcție Insert din bara de instrumente f(x). În caseta de dialog Function Wizard-Pasul 1 din 2 care apare, în stânga, în câmpul Categorie, selectați Math. În partea dreaptă în câmpul Funcție - o funcție PĂCAT. Apăsăm butonul BINE. Apare o casetă de dialog PĂCAT. Trecând cursorul mouse-ului peste câmpul gri al ferestrei, cu butonul din stânga apăsat, mutați câmpul la dreapta pentru a deschide coloana de date ( DAR). Specificați valoarea argumentului sinus făcând clic pe celula A2. Apăsăm butonul BINE.În celula B2 apare 0. Acum trebuie să copiați funcția din celula B2. Completarea automată copiați această formulă în intervalul B2:B33. Ca rezultat, ar trebui să se obțină un tabel de date pentru găsirea integralei.
4. Acum, în celula B34, o valoare aproximativă a integralei poate fi găsită folosind metoda trapezului. Pentru a face acest lucru, în celula B34, introduceți formula \u003d 0,1 * ((B2 + B33) / 2+, apoi apelați Expertul pentru funcții (prin apăsarea butonului Inserare funcție de pe bara de instrumente (f(x)). În caseta de dialog Function Wizard-Pasul 1 din 2 care apare, în stânga, în câmpul Categorie, selectați Math. În partea dreaptă în câmpul Funcție - funcția Sum. Apăsăm butonul BINE. Apare caseta de dialog Sumă. Introduceți intervalul de însumare B3:B32 în câmpul de lucru cu mouse-ul. Apăsăm butonul Bine din nou BINE.În celula B34, o valoare aproximativă a integralei căutate apare cu dezavantaj ( 1,997 ) .

Comparând valoarea aproximativă obținută cu valoarea adevărată a integralei, se poate observa că eroarea de aproximare a metodei dreptunghiurilor în acest caz este destul de acceptabilă pentru practică.

1. Rezolvarea exercițiilor.