O expresie rațională este o expresie algebrică care nu conține radicali. Cu alte cuvinte, aceasta este una sau mai multe mărimi algebrice (numere și litere) interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice: adunare, scădere, înmulțire ... ... Wikipedia

O expresie algebrică care nu conține radicali și include doar operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. De exemplu, a2 + b, x/(y z2) … Dicţionar enciclopedic mare

O expresie algebrică care nu conține radicali și include doar operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. De exemplu, a2 + b, x/(y z2). * * * EXPRESIA RAȚIONALĂ EXPRESIA RAȚIONALĂ, o expresie algebrică care nu conține ... ... Dicţionar enciclopedic

O expresie algebrică care nu conține radicali, cum ar fi a2 + b, x/(y z3). Dacă este inclusă în R. sec. literele sunt considerate variabile, apoi R. în. definește o funcție rațională (vezi funcția rațională) a acestor variabile... Marea Enciclopedie Sovietică

O expresie algebrică care nu conține radicali și include doar operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. De exemplu, a2 + b, x/(y z2) ... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

EXPRESIE- conceptul matematic primar, care înseamnă o înregistrare a literelor și numerelor legate prin semne ale operațiilor aritmetice, în timp ce se pot folosi paranteze, simboluri de funcție etc.; de obicei, B este o parte din formula milion. Distinge în (1) ...... Marea Enciclopedie Politehnică

RAŢIONAL- (Rațional; Rațional) un termen folosit pentru a descrie gânduri, sentimente și acțiuni în concordanță cu mintea; o atitudine bazată pe valori obiective obținute ca urmare a experienței practice.” Valorile obiective se stabilesc în experiență... ... Dicţionar de psihologie analitică

CUNOAȘTERE RAȚIONALĂ- o imagine subiectivă a lumii obiective, obținută cu ajutorul gândirii. Gândirea este un proces activ de reflectare generalizată și indirectă a realității, care asigură descoperirea conexiunilor sale regulate pe baza datelor senzoriale și exprimarea lor... Filosofia științei și tehnologiei: Dicționar tematic

ECUAȚIE, RAȚIONALĂ- O expresie logică sau matematică bazată pe presupuneri (raționale) despre procese. Astfel de ecuații diferă de ecuațiile empirice prin aceea că parametrii lor sunt obținuți ca urmare a concluziilor deductive din teoretice ... ... Dicţionar explicativ de psihologie

RAȚIONAL, rațional, rațional; rațional, rațional, rațional. 1. adj. la raţionalism (carte). filozofie rațională. 2. Destul de rezonabil, justificat, oportun. A făcut o sugestie rațională. Rational ...... Dicționar explicativ al lui Ushakov

1) R. ecuația algebrică f(x)=0 de gradul p ecuația algebrică g(y)=0 cu coeficienți dependenți rațional de coeficienții f(x), astfel încât cunoașterea rădăcinilor acestei ecuații ne permite să găsim rădăcinile din această ecuație ...... Enciclopedie matematică

De la cursul de algebră din programa școlară, trecem la specific. În acest articol, vom studia în detaliu un tip special de expresii raționale − fracții raționale, și, de asemenea, analiza ce caracteristică identică transformări ale fracțiilor raționale avea loc.

Observăm imediat că fracțiile raționale în sensul în care le definim mai jos sunt numite fracții algebrice în unele manuale de algebră. Adică, în acest articol vom înțelege același lucru în fracțiile raționale și algebrice.

Ca de obicei, începem cu o definiție și exemple. În continuare, să vorbim despre aducerea unei fracții raționale la un nou numitor și despre schimbarea semnelor membrilor fracției. După aceea, vom analiza modul în care se realizează reducerea fracțiilor. În sfârșit, să ne oprim asupra reprezentării unei fracții raționale ca sumă a mai multor fracții. Toate informațiile vor fi furnizate cu exemple cu descrieri detaliate ale soluțiilor.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de fracții raționale

Fracțiile raționale sunt studiate în lecțiile de algebră din clasa a VIII-a. Vom folosi definiția unei fracții raționale, care este dată în manualul de algebră pentru clasele a VIII-a de Yu. N. Makarychev și alții.

Această definiție nu specifică dacă polinoamele din numărătorul și numitorul unei fracții raționale trebuie să fie polinoame de formă standard sau nu. Prin urmare, vom presupune că fracțiile raționale pot conține atât polinoame standard, cât și nestandard.

Iată câteva exemple de fracții raționale. Deci, x/8 și - fracții raționale. Și fracții și nu se potrivesc cu definiția sonoră a unei fracții raționale, deoarece în prima dintre ele numărătorul nu este un polinom, iar în a doua atât numărătorul, cât și numitorul conțin expresii care nu sunt polinoame.

Conversia numărătorului și numitorului unei fracții raționale

Numătorul și numitorul oricărei fracții sunt expresii matematice autosuficiente, în cazul fracțiilor raționale sunt polinoame, într-un caz anume sunt monomii și numere. Prin urmare, cu numărătorul și numitorul unei fracții raționale, ca și în cazul oricărei expresii, pot fi efectuate transformări identice. Cu alte cuvinte, expresia din numărătorul unei fracții raționale poate fi înlocuită cu o expresie care este identic egală cu aceasta, la fel ca și numitorul.

În numărătorul și numitorul unei fracții raționale se pot efectua transformări identice. De exemplu, la numărător, puteți grupa și reduce termeni similari, iar la numitor, produsul mai multor numere poate fi înlocuit cu valoarea acestuia. Și deoarece numărătorul și numitorul unei fracții raționale sunt polinoame, este posibil să se efectueze transformări caracteristice polinoamelor cu ele, de exemplu, reducerea la o formă standard sau reprezentare ca produs.

Pentru claritate, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Convertiți fracția rațională astfel încât numărătorul este un polinom de forma standard, iar numitorul este produsul polinoamelor.

Decizie.

Reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor este utilizată în principal la adunarea și scăderea fracțiilor raționale.

Schimbarea semnelor în fața unei fracții, precum și în numărătorul și numitorul acesteia

Proprietatea de bază a unei fracții poate fi folosită pentru a schimba semnele termenilor fracției. Într-adevăr, înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții raționale cu -1 echivalează cu schimbarea semnelor acestora, iar rezultatul este o fracție care este identic egală cu cea dată. O astfel de transformare trebuie folosită destul de des atunci când se lucrează cu fracții raționale.

Astfel, dacă schimbi simultan semnele numărătorului și numitorului unei fracții, vei obține o fracție egală cu cea inițială. Această afirmație corespunde egalității.

Să luăm un exemplu. O fracție rațională poate fi înlocuită cu o fracție identică egală cu semnele inversate ale numărătorului și numitorului formei.

Cu fracțiile se mai poate realiza o transformare identică, în care semnul este schimbat fie la numărător, fie la numitor. Să trecem peste regula potrivită. Dacă înlocuiți semnul unei fracții împreună cu semnul numărătorului sau numitorului, obțineți o fracție care este identic egală cu originalul. Declarația scrisă corespunde egalităților și .

Nu este greu să dovedești aceste egalități. Dovada se bazează pe proprietățile înmulțirii numerelor. Să demonstrăm primul dintre ele: . Cu ajutorul unor transformări similare se demonstrează și egalitatea.

De exemplu, o fracție poate fi înlocuită cu o expresie sau .

Pentru a încheia această subsecțiune, prezentăm încă două egalități utile și . Adică dacă schimbi semnul doar numărătorului sau numai numitorului, atunci fracția își va schimba semnul. De exemplu, și .

Transformările luate în considerare, care permit schimbarea semnului termenilor unei fracții, sunt adesea folosite la transformarea expresiilor raționale fracțional.

Reducerea fracțiilor raționale

Următoarea transformare a fracțiilor raționale, numită reducerea fracțiilor raționale, se bazează pe aceeași proprietate de bază a unei fracții. Această transformare corespunde egalității , unde a , b și c sunt niște polinoame, iar b și c sunt diferite de zero.

Din egalitatea de mai sus, devine clar că reducerea unei fracții raționale implică eliminarea factorului comun din numărătorul și numitorul ei.

Exemplu.

Reduceți fracția rațională.

Decizie.

Factorul comun 2 este imediat vizibil, să-l reducem (la scriere, este convenabil să tăiați factorii comuni prin care se face reducerea). Noi avem . Deoarece x 2 \u003d x x și y 7 \u003d y 3 y 4 (a se vedea dacă este necesar), este clar că x este un factor comun al numărătorului și numitorului fracției rezultate, cum ar fi y 3 . Să reducem prin acești factori: . Aceasta completează reducerea.

Mai sus, am efectuat reducerea secvențială a unei fracții raționale. Și a fost posibil să se efectueze reducerea într-o singură etapă, reducând imediat fracția cu 2·x·y 3 . În acest caz, soluția ar arăta astfel: .

Răspuns:

.

La reducerea fracțiilor raționale, principala problemă este că factorul comun al numărătorului și numitorului nu este întotdeauna vizibil. În plus, nu există întotdeauna. Pentru a găsi un factor comun sau pentru a vă asigura că nu există, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul unei fracții raționale. Dacă nu există un factor comun, atunci fracția rațională inițială nu trebuie redusă, în caz contrar, se efectuează reducerea.

În procesul de reducere a fracțiilor raționale, pot apărea diverse nuanțe. Principalele subtilități cu exemple și detalii sunt discutate în articolul reducerea fracțiilor algebrice.

Încheind conversația despre reducerea fracțiilor raționale, observăm că această transformare este identică, iar principala dificultate în implementarea ei constă în factorizarea polinoamelor în numărător și numitor.

Reprezentarea unei fracții raționale ca sumă de fracții

Destul de specifică, dar în unele cazuri foarte utilă, este transformarea unei fracții raționale, care constă în reprezentarea acesteia ca sumă a mai multor fracții, sau suma unei expresii întregi și a unei fracții.

O fracție rațională, în numărătorul căreia se află un polinom, care este suma mai multor monomii, poate fi întotdeauna scrisă ca sumă a fracțiilor cu aceiași numitori, în numărătorii cărora se află monomiile corespunzătoare. De exemplu, . Această reprezentare se explică prin regula adunării și scăderii fracțiilor algebrice cu aceiași numitori.

În general, orice fracție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții în multe moduri diferite. De exemplu, fracția a/b poate fi reprezentată ca suma a două fracții - o fracție arbitrară c/d și o fracție egală cu diferența dintre fracțiile a/b și c/d. Această afirmație este adevărată, deoarece egalitatea . De exemplu, o fracție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții în diferite moduri: Reprezentăm fracția originală ca sumă a unei expresii întregi și a unei fracții. După împărțirea numărătorului la numitor la o coloană, obținem egalitatea . Valoarea expresiei n 3 +4 pentru orice număr întreg n este un număr întreg. Și valoarea unei fracții este un număr întreg dacă și numai dacă numitorul ei este 1, −1, 3 sau −3. Aceste valori corespund valorilor n=3, n=1, n=5 și respectiv n=−1.

Răspuns:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XIII-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

O expresie întreagă este o expresie matematică alcătuită din numere și variabile literale folosind operațiile de adunare, scădere și înmulțire. Numerele întregi includ și expresii care includ împărțirea cu un alt număr decât zero.

Exemple de expresii întregi

Mai jos sunt câteva exemple de expresii întregi:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Expresii fracționale

Dacă expresia conține o împărțire printr-o variabilă sau printr-o altă expresie care conține o variabilă, atunci o astfel de expresie nu este un număr întreg. O astfel de expresie se numește expresie fracțională. Să dăm o definiție completă a unei expresii fracționale.

O expresie fracționară este o expresie matematică care, pe lângă operațiile de adunare, scădere și înmulțire efectuate cu numere și variabile literale, precum și împărțirea cu un număr diferit de zero, conține și împărțirea în expresii cu variabile literale.

Exemple de expresii fracționale:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Expresiile fracționale și întregi alcătuiesc două seturi mari de expresii matematice. Dacă aceste mulțimi sunt combinate, atunci obținem o nouă mulțime, care se numește expresii raționale. Adică, expresiile raționale sunt toate expresii întregi și fracționale.

Știm că expresiile întregi au sens pentru orice valoare a variabilelor care sunt incluse în ele. Aceasta rezultă din faptul că pentru a afla valoarea unei expresii întregi este necesar să se efectueze acțiuni care sunt întotdeauna posibile: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea cu un alt număr decât zero.

Expresiile fracționale, spre deosebire de cele întregi, pot să nu aibă sens. Deoarece există o operație de împărțire printr-o variabilă sau o expresie care conține variabile, iar această expresie se poate transforma în zero, dar nu puteți împărți la zero. Valorile variabile pentru care expresia fracționată va avea sens se numesc valori variabile valide.

fracție rațională

Unul dintre cazurile speciale de expresii raționale va fi o fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Pentru o astfel de fracție în matematică, există și un nume - o fracție rațională.

O fracție rațională va avea sens dacă numitorul ei nu este egal cu zero. Adică, toate valorile variabilelor pentru care numitorul fracției este diferit de zero vor fi valabile.

Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vezi abracadabra, șterge-ți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cea mai utilă resursă pentru

Adesea auzim această frază neplăcută: „simplificați expresia”. De obicei, în acest caz, avem un fel de monstru ca acesta:

„Da, mult mai ușor”, spunem noi, dar un astfel de răspuns de obicei nu funcționează.

Acum vă voi învăța să nu vă fie frică de astfel de sarcini.

Mai mult, la sfârșitul lecției, tu însuți vei simplifica acest exemplu la un număr (doar!) obișnuit (da, la naiba cu aceste litere).

Dar înainte de a începe această lecție, trebuie să fii capabil se ocupă de fracțiiși factorizarea polinoamelor.

Prin urmare, dacă nu ați făcut acest lucru înainte, asigurați-vă că stăpâniți subiectele „” și „”.

Citit? Dacă da, atunci ești gata.

Sa mergem sa mergem!)

Operații de simplificare a expresiei de bază

Acum vom analiza principalele tehnici care sunt folosite pentru simplificarea expresiilor.

Cel mai simplu dintre ele este

1. Aducerea asemănătoare

Ce sunt asemănătoare? Ai trecut prin asta în clasa a VII-a, când literele au apărut pentru prima dată la matematică în loc de cifre.

Similar sunt termeni (monoame) cu aceeași parte de literă.

De exemplu, în suma, termenii similari sunt și.

Amintit?

Aduceți similare- înseamnă să adăugați mai mulți termeni similari unul cu celălalt și să obțineți un termen.

Dar cum putem pune litere împreună? - tu intrebi.

Acest lucru este foarte ușor de înțeles dacă vă imaginați că literele sunt un fel de obiecte.

De exemplu, scrisoarea este un scaun. Atunci care este expresia?

Două scaune plus trei scaune, cât va fi? Așa e, scaune: .

Acum încearcă această expresie:

Pentru a nu te confunda, lasă litere diferite să desemneze obiecte diferite.

De exemplu, - acesta este (ca de obicei) un scaun și - aceasta este o masă.

scaune mese scaune mese scaune scaune mese

Se numesc numerele cu care se înmulțesc literele din astfel de termeni coeficienți.

De exemplu, în monom coeficientul este egal. Și el este egal.

Deci, regula pentru a aduce similare:

Exemple:

Aduceți similare:

Raspunsuri:

2. (și sunt asemănătoare, întrucât, deci, acești termeni au aceeași parte de literă).

2. Factorizarea

Aceasta este de obicei cea mai importantă parte în simplificarea expresiilor.

După ce ați dat altele similare, cel mai adesea este nevoie de expresia rezultată factoriza, adică reprezintă ca produs.

Mai ales asta important în fracții: deoarece pentru a reduce fracția, numărătorul și numitorul trebuie exprimate ca produs.

Ați trecut prin metodele detaliate de factorizare a expresiilor din subiectul „”, așa că aici trebuie doar să vă amintiți ce ați învățat.

Pentru a face acest lucru, rezolvați câteva exemple (trebuie să factorizați)

Exemple:

Solutii:

3. Reducerea fracțiilor.

Ei bine, ce poate fi mai frumos decât să tai o parte din numărător și numitor și să le arunci din viața ta?

Aceasta este frumusețea abrevierilor.

E simplu:

Dacă numărătorul și numitorul conțin aceiași factori, ei pot fi redusi, adică îndepărtați din fracție.

Această regulă rezultă din proprietatea de bază a unei fracții:

Adică, esența operației de reducere este aceea Împărțim numărătorul și numitorul unei fracții la același număr (sau la aceeași expresie).

Pentru a reduce o fracție, aveți nevoie de:

1) numărător și numitor factoriza

2) dacă numărătorul și numitorul conțin factori comuni, acestea pot fi șterse.

Exemple:

Principiul, cred, este clar?

Aș dori să vă atrag atenția asupra unei greșeli tipice de abreviere. Deși acest subiect este simplu, mulți oameni fac totul greșit, fără să-și dea seama de asta a tăia- inseamna divide numărător și numitor cu același număr.

Fără abrevieri dacă numărătorul sau numitorul este suma.

De exemplu: trebuie să simplificați.

Unii fac asta: ceea ce este absolut greșit.

Un alt exemplu: reduce.

„Cel mai inteligent” va face asta:

Spune-mi ce e în neregulă aici? S-ar părea: - acesta este un multiplicator, așa că puteți reduce.

Dar nu: - acesta este un factor de un singur termen în numărător, dar numărătorul în sine în ansamblu nu este descompus în factori.

Iată un alt exemplu: .

Această expresie este descompusă în factori, ceea ce înseamnă că puteți reduce, adică împărțiți numărătorul și numitorul cu, apoi cu:

Puteți împărți imediat la:

Pentru a evita astfel de greșeli, amintiți-vă o modalitate ușoară de a determina dacă o expresie este luată în considerare:

Operația aritmetică care se efectuează ultima la calcularea valorii expresiei este „principală”.

Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este descompusă în factori).

Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).

Pentru a rezolva singur, câteva exemple:

Exemple:

Solutii:

4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație binecunoscută: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul lipsă și adunăm / scădem numărătorii.

Să ne amintim:

Raspunsuri:

1. Numitorii și sunt coprime, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:

2. Aici numitorul comun este:

3. Aici, în primul rând, transformăm fracțiile mixte în fracțiuni improprii și apoi - conform schemei obișnuite:

Este cu totul altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:

Să începem simplu:

a) Numitorii nu conțin litere

Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:

acum, la numărător, puteți aduce altele similare, dacă există, și le puteți factoriza:

Incearca-l tu insuti:

Raspunsuri:

b) Numitorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

În primul rând, determinăm factorii comuni;

Apoi scriem toți factorii comuni o dată;

și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori simpli:

Subliniem factorii comuni:

Acum scriem factorii comuni o dată și adăugăm la ei toți factorii necomuni (nu subliniați):

Acesta este numitorul comun.

Să revenim la litere. Numitorii sunt dați exact în același mod:

Descompunem numitorii în factori;

determina multiplicatori comuni (identici);

scrie toți factorii comuni o dată;

Le înmulțim cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Deci, in ordine:

1) descompuneți numitorii în factori:

2) determinați factorii comuni (identici):

3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):

Deci numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:

Apropo, există un truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:

in masura

in masura

in masura

în grad.

Să complicăm sarcina:

Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?

Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:

Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!

Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce s-a învățat?

Deci, o altă regulă de neclintit:

Când aduceți fracții la un numitor comun, folosiți numai operația de înmulțire!

Dar ce trebuie să înmulți pentru a obține?

Aici și înmulțiți. Și înmulțiți cu:

Expresiile care nu pot fi factorizate vor fi numite „factori elementari”.

De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: se descompune în factori.

Ce zici de exprimare? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi factorizat:

(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).

Deci, factorii elementari în care descompuneți o expresie cu litere sunt un analog al factorilor simpli în care descompuneți numerele. Și vom face același lucru cu ei.

Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun în putere (rețineți de ce?).

Multiplicatorul este elementar și nu îl au în comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:

Alt exemplu:

Decizie:

Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:

Amenda! Apoi:

Alt exemplu:

Decizie:

Ca de obicei, factorizăm numitorii. În primul numitor, pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:

S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt deja atât de asemănătoare... Și adevărul este:

Deci hai sa scriem:

Adică, s-a dovedit așa: în paranteză, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat la opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.

Acum aducem la un numitor comun:

Am înţeles? Acum să verificăm.

Sarcini pentru soluție independentă:

Raspunsuri:

5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:

Procedură

Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, având în vedere valoarea unei astfel de expresii:

ai numarat?

Ar trebui să funcționeze.

Deci, vă reamintesc.

Primul pas este să calculezi gradul.

Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, le puteți face în orice ordine.

Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în dezordine!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi evaluăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.

Ce se întâmplă dacă există și alte paranteze între paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Care este primul lucru de făcut atunci când evaluezi o expresie? Așa e, calculează paranteze. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.

Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o efectuez chiar acum):

Bine, totul este simplu.

Dar asta nu este același lucru cu o expresie cu litere, nu-i așa?

Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice este necesar să se facă operații algebrice, adică operațiile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (o folosim adesea când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să utilizați i sau pur și simplu să scoateți factorul comun din paranteze.

De obicei, scopul nostru este de a reprezenta o expresie ca produs sau coeficient.

De exemplu:

Să simplificăm expresia.

1) Mai întâi simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să o reprezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:

Este imposibil să simplificați mai mult această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).

2) obținem:

Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai ușor.

3) Acum puteți scurta:

Asta e. Nimic complicat, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.

Decizie:

În primul rând, să definim procedura.

Mai întâi, să adăugăm fracțiile dintre paranteze, în loc de două fracții, se va dovedi una.

Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, adăugăm rezultatul cu ultima fracție.

Voi numerota schematic pașii:

În cele din urmă, vă voi oferi două sfaturi utile:

1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. In orice moment avem altele asemanatoare, este indicat sa le aducem imediat.

2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare o oportunitate de reducere, aceasta trebuie folosită. Excepție fac fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.

Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:

Și a promis chiar de la început:

Raspunsuri:

Soluții (pe scurt):

Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci, luați în considerare, ați stăpânit subiectul.

Acum, la învățare!

CONVERSIUNEA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Operatii de simplificare de baza:

• Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
• Factorizare: scoaterea din paranteze a factorului comun, aplicarea etc.
• Reducerea fracțiilor: numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, din care valoarea fracției nu se modifică.
  1) numărător și numitor factoriza
  2) dacă există factori comuni la numărător și numitor, aceștia pot fi tăiați.

  IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!

• Adunarea și scăderea fracțiilor:
  ;
• Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
  ;

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

Această lecție va acoperi informațiile de bază despre expresiile raționale și transformările lor, precum și exemple de transformare a expresiilor raționale. Acest subiect rezumă subiectele pe care le-am studiat până acum. Transformările expresiilor raționale presupun adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la puterea fracțiilor algebrice, reducerea, factorizarea etc. În cadrul lecției, vom analiza ce este o expresie rațională și, de asemenea, vom analiza exemple pentru transformarea lor. .

Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice

Lecţie:Informații de bază despre expresiile raționale și transformările lor

Definiție

expresie rațională este o expresie formată din numere, variabile, operații aritmetice și exponențiere.

Luați în considerare un exemplu de expresie rațională:

Cazuri speciale de expresii raționale:

gradul I: ;

2. monom: ;

3. fracție: .

Transformarea expresiei raționale este o simplificare a unei expresii raționale. Ordinea operațiilor la conversia expresiilor raționale: mai întâi, există acțiuni între paranteze, apoi operații de înmulțire (împărțire) și apoi de adunare (scădere).

Să luăm în considerare câteva exemple de transformare a expresiilor raționale.

Exemplul 1

Decizie:

Să rezolvăm acest exemplu pas cu pas. Acțiunea din paranteze este executată mai întâi.

Răspuns:

Exemplul 2

Decizie:

Răspuns:

Exemplul 3

Decizie:

Răspuns: .

Notă: poate, la vederea acestui exemplu, ți-a venit o idee: reduceți fracția înainte de a reduce la un numitor comun. Într-adevăr, este absolut corect: în primul rând, este de dorit să simplificăm expresia cât mai mult posibil și apoi să o transformăm. Să încercăm să rezolvăm același exemplu în al doilea mod.

După cum puteți vedea, răspunsul s-a dovedit a fi absolut similar, dar soluția s-a dovedit a fi ceva mai simplă.

În această lecție, ne-am uitat la expresii raţionale şi transformările lor, precum și câteva exemple specifice ale acestor transformări.

Bibliografie

1. Bashmakov M.I. Algebră clasa a VIII-a. - M.: Iluminismul, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al., Algebra 8. - Ed. a V-a. - M.: Educație, 2010.