Dispersia (împrăștierea) unei variabile aleatoare discrete D(X) este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică
1 proprietate. Dispersia constantei C este zero; D(C) = 0.
Dovada. Prin definiția varianței, D(C) = M( 2 ).
Din prima proprietate a așteptării D(C) = M[(C – C) 2 ] = M(0) = 0.
2 proprietate. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
D(CX) = C 2 D(X)
Dovada. Prin definiția varianței, D(CX) = M( 2 )
Din a doua proprietate de așteptare D(CX)=M( 2 )= C 2 M( 2 )=C 2 D(X)
3 proprietate. Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:
D = D[X] + D.
Dovada. Conform formulei de calcul a varianței, avem
D(X + Y) = M[(X + Y) 2 ] − 2
Deschizând parantezele și utilizând proprietățile așteptării matematice ale sumei mai multor mărimi și produsul a două variabile aleatoare independente, obținem
D(X + Y) = M − 2 = M(X2) + 2M(X)M(Y) + M(Y2) − M2(X) − 2M(X)M(Y) − M2(Y) = ( M(X2) − 2)+(M(Y2) − 2) = D(X) + D(Y). Deci D(X + Y) = D(X) + D(Y)
4 proprietate. Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor lor:
D(X − Y) = D(X) + D(Y)
Dovada.În virtutea celei de-a treia proprietăți, D(X − Y) = D(X) + D(–Y). Prin a doua proprietate
D(X − Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) sau D(X − Y) = D(X) + D(Y)
Caracteristicile numerice ale sistemelor de variabile aleatoare. Coeficientul de corelație, proprietățile coeficientului de corelație.
moment de corelare. Caracteristica dependenței dintre variabile aleatoare este așteptarea matematică a produsului abaterilor și a centrelor lor de distribuție (cum se numește uneori așteptarea matematică a unei variabile aleatoare), care se numește momentul de corelație sau covarianță:
Pentru a calcula momentul de corelație al valorilor discrete, se utilizează următoarea formulă:
iar pentru cantități continue - formula:
Coeficient de corelație rxy variabilelor aleatoare X și Y este raportul dintre momentul de corelare și produsul abaterilor standard ale valorilor:
- coeficient de corelație;
Proprietățile coeficientului de corelație:
1. Dacă X și Y sunt variabile aleatoare independente, atunci r = 0;
2. -1≤ r ≤ 1. Mai mult, dacă |r| =1, atunci între X și Y este o relație funcțională, și anume o relație liniară;
3. r caracterizează valoarea relativă a abaterii lui M(XY) de la M(X)M(Y), și deoarece abaterea are loc numai pentru mărimile dependente, atunci r caracterizează etanșeitatea dependenței.
Funcția de regresie liniară.
Luați în considerare o variabilă aleatoare bidimensională (X, Y), unde X și Y sunt variabile aleatoare dependente. Reprezentăm una dintre mărimi în funcție de cealaltă. Ne restrângem la o reprezentare aproximativă (aproximarea exactă, în general, este imposibilă) a lui Y ca funcție liniară a lui X:
unde α și β sunt parametri care trebuie determinați.
Teorema. Regresia pătratică medie liniară Y pe X are forma
Unde m x =M(X), m y =M(Y), σ x =√D(X), σ y =√D(Y), r=µ xy /(σ x σ y)- coeficientul de corelație al valorilor X și Y.
Se numește coeficientul β=rσ y /σ x coeficient de regresie De la Y la X și o linie dreaptă
numit drept regresie pătrată medie
De la Y la X.
inegalitatea lui Markov.
Afirmația inegalității lui Markov
Dacă nu există valori negative ale variabilei aleatoare X, atunci probabilitatea ca aceasta să ia o valoare care depășește numărul pozitiv A nu este mai mult de o fracție, adică.
iar probabilitatea ca acesta să ia o valoare care să nu depășească un număr pozitiv A nu este mai mică decât , adică.
inegalitatea lui Cebyshev.
inegalitatea lui Cebyshev. Probabilitatea ca abaterea unei variabile aleatoare X de la așteptările ei matematice în valoare absolută să fie mai mică decât un număr pozitiv ε, nu mai puțin de 1 −D[X]ε 2
P(|X – M(X)|< ε) ≥ 1 –D(X)ε 2
Dovada. Din moment ce evenimentele constând în realizarea inegalităţilor
P(|X−M(X)|< ε) и P(|X – M(X)| ≥ε) противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.
P(|X – M(X)|< ε) + P(|X – M(X)| ≥ ε) = 1.
De aici probabilitatea care ne interesează
P(|X – M(X)|< ε) = 1 − P(|X – M(X)| > ε).
Astfel, problema se reduce la calcularea probabilității P(|X –M(X)| ≥ ε).
Să scriem o expresie pentru varianța variabilei aleatoare X
D(X) = 2p1 + 2p2 + . . . + 2pn
Toți termenii acestei sume sunt nenegativi. Renunțăm acei termeni pentru care |x i – M(X)|< ε (для оставшихся слагаемых |x j – M(X)| ≥ ε), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,
D(X) ≥ 2 p k+1 + 2 p k+2 + . . . + 2pn
Ambele părți ale inegalității |x j –M(X)| ≥ ε (j = k+1, k+2, . . ., n) sunt pozitive, prin urmare, punându-le la pătrat, obținem inegalitatea echivalentă |x j – M(X)| 2 ≥ε 2. Înlocuind fiecare dintre factorii din suma rămasă
|xj – M(X)| 2 cu numărul ε 2 (în acest caz, inegalitatea poate doar să crească), obținem
D(X) ≥ ε 2 (p k+1 + p k+2 + . . . . + p n)
Prin teorema adunării, suma probabilităților este p k+1 +p k+2 +. . .+p n este probabilitatea ca X să ia una, indiferent care, dintre valorile x k+1 +x k+2 +. . .+x n , iar pentru oricare dintre ele abaterea satisface inegalitatea |x j – M(X)| ≥ ε. Rezultă că suma p k+1 + p k+2 + . . . + p n exprimă probabilitatea
P(|X – M(X)| ≥ ε).
Acest lucru ne permite să rescriem inegalitatea pentru D(X) ca
D(X) ≥ ε 2 P(|X – M(X)| ≥ ε)
P(|X – M(X)|≥ ε) ≤D(X)/ε 2
În sfârșit, obținem
P(|X – M(X)|< ε) ≥D(X)/ε 2
teorema lui Cebyshev.
teorema lui Cebyshev. În cazul în care un - variabile aleatoare independente pe perechi, iar variațiile acestora sunt limitate uniform (nu depășesc un număr constant Cu ), atunci oricât de mic ar fi numărul pozitivε , probabilitatea inegalității
va fi în mod arbitrar aproape de unitate dacă numărul de variabile aleatoare este suficient de mare.
Cu alte cuvinte, în condițiile teoremei
Dovada. Să introducem în considerare o nouă variabilă aleatoare - media aritmetică a variabilelor aleatoare
Să găsim așteptarea matematică X. Folosind proprietățile așteptării matematice (un factor constant poate fi scos din semnul așteptării matematice, așteptarea matematică a sumei este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor) , noi obținem
| (1) |
Aplicând inegalitatea Chebyshev la X, avem
sau, ținând cont de relația (1)
Folosind proprietățile varianței (factorul constant poate fi scos din semnul varianței prin pătrat; varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor termenilor), obținem
Prin condiție, dispersiile tuturor variabilelor aleatoare sunt limitate de un număr constant C, adică. există inegalități:
 (2)
|
Înlocuind partea dreaptă a lui (2) în inegalitatea (1) (de ce aceasta din urmă poate fi doar întărită), avem
Prin urmare, trecând la limită ca n→∞, obținem
În sfârșit, având în vedere că probabilitatea nu poate depăși unu, putem în sfârșit să scriem
Teorema a fost demonstrată.
teorema lui Bernoulli.
teorema lui Bernoulli. Dacă în fiecare dintre n încercări independente probabilitatea p de apariție a evenimentului A este constantă, atunci probabilitatea este în mod arbitrar apropiată de unitate ca abaterea frecvenței relative de la probabilitatea p în valoare absolută să fie arbitrar mică dacă numărul de încercări. este suficient de mare.
Cu alte cuvinte, dacă ε este un număr pozitiv arbitrar mic, atunci în condițiile teoremei avem egalitatea
Dovada. Notează prin x1 variabilă aleatorie discretă - numărul de apariții ale evenimentului în primul test, prin x2- in secunda, ..., X n- în n al-lea test. Este clar că fiecare dintre mărimi poate lua doar două valori: 1 (a avut loc evenimentul A) cu probabilitatea pși 0 (evenimentul nu a avut loc) cu probabilitate .
Subiectul 8.12. Dispersia unei variabile aleatoare.
O. Varianta unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică.
Dispersia caracterizează gradul de dispersie a valorilor unei variabile aleatoare în raport cu așteptările ei matematice. Dacă toate valorile unei variabile aleatoare sunt concentrate îndeaproape în jurul așteptărilor sale matematice și sunt puțin probabile abateri mari de la așteptările matematice, atunci o astfel de variabilă aleatoare are o dispersie mică. Dacă valorile unei variabile aleatoare sunt împrăștiate și există o probabilitate mare de abateri mari de la așteptarea matematică, atunci o astfel de variabilă aleatoare are o dispersie mare.
Folosind definiția varianței, pentru o variabilă aleatorie discretă, formula de calcul a varianței poate fi reprezentată după cum urmează:
Puteți obține o altă formulă pentru calcularea varianței:
Astfel, varianța unei variabile aleatoare este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare și pătratul așteptării sale matematice.
Proprietăți de dispersie.
Lăsăm această proprietate fără dovezi.
Legea distribuției binomiale.
Să fie date numere n aparține Nși p(0 <p< unu). Apoi fiecărui număr întreg din interval i se poate atribui o probabilitate calculată folosind formula Bernoulli. Să obținem legea distribuției unei variabile aleatoare (să o numim B(betta))
Vom spune că variabila aleatoare este distribuită conform legii Bernoulli. O astfel de variabilă aleatorie este frecvența de apariție a evenimentului A în nîncercări independente repetate, dacă în fiecare proces evenimentul A are loc cu o probabilitate p.
Luați în considerare un separat i- e test. Spațiul rezultatelor elementare pentru el are forma
Legea distribuției unei variabile aleatoare a fost luată în considerare în subiectul anterior
Pentru i= 1,2, ... , n primim sistemul de la n variabile aleatoare independente având aceleași legi de distribuție. 
Exemplu.
Din cele 20 de mostre de produs selectate pentru control, 4 s-au dovedit a fi nestandard. Să estimăm probabilitatea ca o copie ale produsului selectată aleatoriu să nu îndeplinească standardul prin raport R *= 4/20 = 0,2.
La fel de X valoare aleatoare, R * este, de asemenea, o variabilă aleatorie. Valori R * poate varia de la un experiment la altul (în cazul în cauză, experimentul este o selecție aleatorie și control a 20 de produse). Care este așteptarea matematică R *? În măsura în care X este o variabilă aleatoare care reprezintă numărul de succese în n testul Bernoulli, M( X) = np. Pentru așteptarea matematică a unei variabile aleatoare R* prin definiție obținem: M(p*) = M(x/n), dar n aici este o constantă, deci prin proprietatea așteptării
M(p*) = 1/n*M(x)=1/n np=p
Astfel, „medie” este valoarea adevărată R, ceea ce este de așteptat. Aceasta este proprietatea de evaluare R* cantități R are numele: R* este o imparțial evaluare pentru R. Nicio abatere sistematică de la valoarea parametrului estimat R confirmă fezabilitatea utilizării valorii R* ca estimare. Lăsăm deschisă deocamdată întrebarea cu privire la acuratețea estimării.
Așteptările și varianța matematică sunt caracteristicile numerice cele mai frecvent utilizate ale unei variabile aleatorii. Ele caracterizează cele mai importante trăsături ale distribuției: poziția sa și gradul de dispersie. În multe probleme de practică, o descriere completă, exhaustivă a unei variabile aleatoare - legea distribuției - fie nu poate fi obținută deloc, fie nu este deloc necesară. În aceste cazuri, ele sunt limitate la o descriere aproximativă a unei variabile aleatorii folosind caracteristici numerice.
Așteptările matematice sunt adesea denumite pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatorii. Dispersia unei variabile aleatoare este o caracteristică a dispersiei, dispersia unei variabile aleatoare în jurul așteptării sale matematice.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
Să abordăm conceptul de așteptare matematică, pornind mai întâi de la interpretarea mecanică a distribuției unei variabile aleatoare discrete. Fie ca unitatea de masă să fie distribuită între punctele axei x X1 , X 2 , ..., X n, iar fiecare punct material are o masă corespunzătoare din p1 , p 2 , ..., p n. Este necesar să alegeți un punct pe axa x, care caracterizează poziția întregului sistem de puncte materiale, ținând cont de masele acestora. Este firesc să luăm ca un astfel de punct centrul de masă al sistemului de puncte materiale. Aceasta este media ponderată a variabilei aleatoare X, în care abscisa fiecărui punct Xi intră cu o „pondere” egală cu probabilitatea corespunzătoare. Valoarea medie a variabilei aleatoare astfel obţinută X se numește așteptarea sa matematică.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestor valori:
Exemplul 1 A fost organizată o loterie win-win. Există 1000 de câștiguri, dintre care 400 sunt câte 10 ruble fiecare. 300 - 20 de ruble fiecare 200 - 100 de ruble fiecare. și 100 - 200 de ruble fiecare. Care este câștigul mediu pentru o persoană care cumpără un bilet?
Decizie. Vom găsi câștigul mediu dacă suma totală de câștiguri, care este egală cu 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 de ruble, este împărțită la 1000 (suma totală a câștigurilor). Apoi obținem 50000/1000 = 50 de ruble. Dar expresia pentru calcularea câștigului mediu poate fi reprezentată și în următoarea formă:
Pe de altă parte, în aceste condiții, valoarea câștigurilor este o variabilă aleatorie care poate lua valori de 10, 20, 100 și 200 de ruble. cu probabilități egale cu 0,4, respectiv; 0,3; 0,2; 0,1. Prin urmare, câștigul mediu așteptat este egal cu suma produselor mărimii plăților și probabilitatea de a le primi.
Exemplul 2 Editura a decis să publice o nouă carte. El va vinde cartea cu 280 de ruble, din care 200 îi vor fi date lui, 50 librăriei și 30 autorului. Tabelul oferă informații despre costul publicării unei cărți și probabilitatea de a vinde un anumit număr de exemplare ale cărții.
Găsiți profitul așteptat al editorului.
Decizie. Variabila aleatoare „profit” este egală cu diferența dintre venitul din vânzare și costul costurilor. De exemplu, dacă se vând 500 de exemplare ale unei cărți, atunci venitul din vânzare este de 200 * 500 = 100.000, iar costul publicării este de 225.000 de ruble. Astfel, editorul se confruntă cu o pierdere de 125.000 de ruble. Următorul tabel rezumă valorile așteptate ale variabilei aleatoare - profit:
| Număr | Profit Xi | Probabilitate pi | Xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Astfel, obținem așteptarea matematică a profitului editorului:
.
Exemplul 3Șansa de a lovi cu o lovitură p= 0,2. Determinați consumul de obuze care oferă așteptarea matematică a numărului de lovituri egal cu 5.
Decizie. Din aceeași formulă de așteptare pe care am folosit-o până acum, ne exprimăm X- consumul de scoici:
.
Exemplul 4 Determinați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X numărul de lovituri cu trei lovituri, dacă probabilitatea de a lovi cu fiecare lovitură p = 0,4 .
Sugestie: găsiți probabilitatea valorilor unei variabile aleatoare prin formula Bernoulli .
Proprietăți de așteptare
Luați în considerare proprietățile așteptărilor matematice.
Proprietatea 1. Așteptările matematice ale unei constante este egală cu această constantă:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării:
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale sumei (diferenței) variabilelor aleatoare sunt egale cu suma (diferenței) așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare sunt egale cu produsul așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 5. Dacă toate valorile variabilei aleatoare X scade (creste) cu acelasi numar Cu, atunci așteptarea sa matematică va scădea (crește) cu același număr:
Când nu poți fi limitat doar la așteptări matematice
În cele mai multe cazuri, doar așteptarea matematică nu poate caracteriza în mod adecvat o variabilă aleatoare.
Să fie variabile aleatoare Xși Y sunt date de următoarele legi de distribuție:
| Sens X | Probabilitate |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Sens Y | Probabilitate |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Așteptările matematice ale acestor mărimi sunt aceleași - egale cu zero:
Cu toate acestea, distribuția lor este diferită. Valoare aleatoare X poate lua doar valori care sunt puțin diferite de așteptările matematice și de variabila aleatoare Y poate lua valori care se abat semnificativ de la așteptările matematice. Un exemplu asemănător: salariul mediu nu permite judecarea proporției lucrătorilor cu plăți mari și prost plătite. Cu alte cuvinte, prin așteptarea matematică nu se poate judeca ce abateri de la ea, cel puțin în medie, sunt posibile. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți varianța unei variabile aleatoare.
Dispersia unei variabile aleatoare discrete
dispersie variabilă aleatoare discretă X se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea matematică:
Abaterea standard a unei variabile aleatoare X este valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței sale:
.
Exemplul 5 Calculați variațiile și abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y, ale căror legi de distribuție sunt date în tabelele de mai sus.
Decizie. Așteptări matematice ale variabilelor aleatoare Xși Y, așa cum a fost găsit mai sus, sunt egale cu zero. Conform formulei de dispersie pentru E(X)=E(y)=0 obținem:
Apoi abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y constitui
.
Astfel, cu aceleași așteptări matematice, varianța variabilei aleatoare X foarte mici și aleatorii Y- semnificativă. Aceasta este o consecință a diferenței de distribuție a acestora.
Exemplul 6 Investitorul are 4 proiecte alternative de investiții. Tabelul rezumă datele privind profitul așteptat în aceste proiecte cu probabilitatea corespunzătoare.
| Proiectul 1 | Proiectul 2 | Proiectul 3 | Proiectul 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Găsiți pentru fiecare alternativă așteptările matematice, varianța și abaterea standard.
Decizie. Să arătăm cum se calculează aceste cantități pentru a treia alternativă:
Tabelul rezumă valorile găsite pentru toate alternativele.
Toate alternativele au aceeași așteptare matematică. Asta înseamnă că, pe termen lung, toată lumea are același venit. Abaterea standard poate fi interpretată ca o măsură a riscului - cu cât este mai mare, cu atât riscul investiției este mai mare. Un investitor care nu dorește riscuri mari va alege proiectul 1 deoarece are cea mai mică abatere standard (0). Dacă investitorul preferă riscul și randamentele mari într-o perioadă scurtă, atunci va alege proiectul cu cea mai mare abatere standard - proiectul 4.
Proprietăți de dispersie
Să prezentăm proprietățile dispersiei.
Proprietatea 1. Dispersia unei valori constante este zero:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
.
Proprietatea 3. Varianta unei variabile aleatoare este egală cu așteptarea matematică a pătratului acestei valori, din care se scade pătratul așteptării matematice a valorii în sine:
,
Unde 
.
Proprietatea 4. Varianta sumei (diferenței) variabilelor aleatoare este egală cu suma (diferenței) varianțelor acestora:
Exemplul 7 Se știe că o variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori: −3 și 7. În plus, așteptarea matematică este cunoscută: E(X) = 4 . Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete.
Decizie. Notează prin p probabilitatea cu care o variabilă aleatoare ia o valoare X1 = −3 . Apoi probabilitatea valorii X2 = 7 va fi 1 − p. Să derivăm ecuația pentru așteptările matematice:
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
de unde obținem probabilitățile: p= 0,3 și 1 − p = 0,7 .
Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Calculăm varianța acestei variabile aleatoare folosind formula de la proprietatea 3 a varianței:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Găsiți singur așteptările matematice ale unei variabile aleatoare și apoi vedeți soluția
Exemplul 8 Variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori. Se ia valoarea mai mare de 3 cu o probabilitate de 0,4. În plus, este cunoscută varianța variabilei aleatoare D(X) = 6 . Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii.
Exemplul 9 O urna contine 6 bile albe si 4 negre. Se iau 3 bile din urnă. Numărul de bile albe dintre bilele extrase este o variabilă aleatorie discretă X. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
Decizie. Valoare aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3. Probabilitățile corespunzătoare pot fi calculate din regula înmulțirii probabilităților. Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
De aici așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varianta unei variabile aleatoare date este:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Așteptările matematice și dispersia unei variabile aleatoare continue
Pentru o variabilă aleatoare continuă, interpretarea mecanică a așteptării matematice va păstra același sens: centrul de masă pentru o unitate de masă distribuită continuu pe axa x cu densitate. f(X). Spre deosebire de o variabilă aleatorie discretă, pentru care argumentul funcției Xi se modifică brusc, pentru o variabilă aleatoare continuă, argumentul se schimbă continuu. Dar așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue este, de asemenea, legată de valoarea medie a acesteia.
Pentru a găsi așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare continue, trebuie să găsiți integrale definite . Dacă este dată o funcție de densitate a unei variabile aleatoare continue, atunci aceasta intră direct în integrand. Dacă este dată o funcție de distribuție a probabilității, atunci prin diferențierea acesteia, trebuie să găsiți funcția de densitate.
Media aritmetică a tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue se numește ea așteptări matematice, notat cu sau .
În cel precedent am dat o serie de formule care ne permit să aflăm caracteristicile numerice ale funcțiilor atunci când sunt cunoscute legile de distribuție a argumentelor. Totuși, în multe cazuri, pentru a afla caracteristicile numerice ale funcțiilor, nici măcar nu este necesar să se cunoască legile de distribuție a argumentelor, ci este suficient să se cunoască doar câteva dintre caracteristicile lor numerice; în acest caz, ne lipsim deloc de nicio lege de distribuție. Determinarea caracteristicilor numerice ale funcțiilor prin caracteristicile numerice date ale argumentelor este utilizată pe scară largă în teoria probabilității și face posibilă simplificarea semnificativă a soluționării unui număr de probleme. În cea mai mare parte, astfel de metode simplificate se referă la funcții liniare; totuși, unele funcții neliniare elementare permit și această abordare.
În prezent, prezentăm o serie de teoreme privind caracteristicile numerice ale funcţiilor, care în totalitatea lor reprezintă un aparat foarte simplu de calcul a acestor caracteristici, aplicabil într-o gamă largă de condiţii.
1. Așteptarea matematică a unei variabile non-aleatoare
Proprietatea declarată este destul de evidentă; se poate dovedi considerând o variabilă non-aleatoare ca un tip particular al uneia aleatoare, cu o valoare posibilă cu o probabilitate de unu; apoi conform formulei generale pentru așteptarea matematică:
.
2. Dispersia unei variabile non-aleatoare
Dacă este o valoare non-aleatorie, atunci
3. Îndepărtarea unei variabile non-aleatoare dincolo de semnul așteptării matematice
, (10.2.1)
adică, o valoare non-aleatorie poate fi scoasă din semnul așteptării.
Dovada.
a) Pentru cantităţi discontinue
b) Pentru cantităţi continue
.
4. Îndepărtarea unei valori non-aleatoare pentru semnul varianței și a abaterii standard
Dacă este o variabilă non-aleatoare și este aleatorie, atunci
, (10.2.2)
adică, o valoare non-aleatorie poate fi scoasă din semnul de dispersie prin pătrarea acesteia.
Dovada. Prin definiția varianței
Consecinţă
,
adică, o valoare non-aleatorie poate fi scoasă din semnul abaterii standard prin valoarea sa absolută. Obținem demonstrația extragând rădăcina pătrată din formula (10.2.2) și ținând cont că r.s.c. este o valoare esential pozitiva.
5. Aşteptarea matematică a sumei variabilelor aleatoare
Să demonstrăm că pentru oricare două variabile aleatoare și
adică așteptarea matematică a sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice.
Această proprietate este cunoscută ca teorema adăugării așteptărilor.
Dovada.
a) Fie un sistem de variabile aleatoare discontinue. Să aplicăm sumei variabilelor aleatoare formula generală (10.1.6) pentru așteptarea matematică a unei funcții a două argumente:
.
Ho nu este altceva decât probabilitatea totală ca valoarea să ia valoarea:
;
prin urmare,
.
În mod similar, vom demonstra asta
,
iar teorema este demonstrată.
b) Fie un sistem de variabile aleatoare continue. Conform formulei (10.1.7)
. (10.2.4)
Transformăm prima dintre integrale (10.2.4):
;
de asemenea
,
iar teorema este demonstrată.
Trebuie remarcat în mod special că teorema de adunare a așteptărilor matematice este valabilă pentru orice variabile aleatoare - atât dependente, cât și independente.
Teorema adunării așteptărilor poate fi generalizată la un număr arbitrar de termeni:
, (10.2.5)
adică așteptarea matematică a sumei mai multor variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice.
Pentru a dovedi, este suficient să aplicați metoda inducției complete.
6. Așteptările matematice ale unei funcții liniare
Luați în considerare o funcție liniară a mai multor argumente aleatoare:
unde sunt coeficienți non-aleatori. Să demonstrăm asta
, (10.2.6)
adică, media unei funcții liniare este egală cu aceeași funcție liniară a mediei argumentelor.
Dovada. Folosind teorema de adunare m.o. iar regula de a scoate o variabilă non-aleatoare din semnul lui m. o., obținem:
.
7. Dispepaceastă sumă de variabile aleatoare
Varianța sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma varianțelor lor plus de două ori momentul de corelație:
Dovada. Denota
Conform teoremei de adunare a așteptărilor matematice
Să trecem de la variabile aleatoare la variabilele centrate corespunzătoare. Scăzând termen cu termen din egalitatea (10.2.8) egalitatea (10.2.9), avem:
Prin definiția varianței
Q.E.D.
Formula (10.2.7) pentru varianța sumei poate fi generalizată la orice număr de termeni:
,
(10.2.10)
unde este momentul de corelare al valorilor, semnul de sub sumă înseamnă că însumarea se aplică tuturor combinațiilor posibile în perechi de variabile aleatoare 
.
Demonstrarea este similară cu cea anterioară și decurge din formula pentru pătratul unui polinom.
Formula (10.2.10) poate fi scrisă sub altă formă:
, (10.2.11)
unde suma dublă se extinde la toate elementele matricei de corelație a sistemului de mărimi , conținând atât momentele de corelație, cât și variațiile.
Dacă toate variabilele aleatoare , incluse în sistem, sunt necorelate (adică la ), formula (10.2.10) ia forma:
, (10.2.12)
adică, varianța sumei variabilelor aleatoare necorelate este egală cu suma varianțelor termenilor.
Această propoziție este cunoscută sub numele de teorema de adunare a varianței.
8. Dispersia unei funcţii liniare
Luați în considerare o funcție liniară a mai multor variabile aleatoare.
unde sunt variabile non-aleatoare.
Să demonstrăm că dispersia acestei funcții liniare este exprimată prin formula
, (10.2.13)
unde este momentul de corelare al mărimilor , .
Dovada. Să introducem notația:
. (10.2.14)
Aplicând formula (10.2.10) pentru varianța sumei în partea dreaptă a expresiei (10.2.14) și ținând cont de faptul că , obținem:
unde este momentul de corelare al mărimilor:
.
Să calculăm acest moment. Noi avem:
;
de asemenea
Înlocuind această expresie în (10.2.15), ajungem la formula (10.2.13).
În cazul particular când toate cantitățile necorelat, formula (10.2.13) ia forma:
, (10.2.16)
adică, varianța unei funcții liniare a variabilelor aleatoare necorelate este egală cu suma produselor pătratelor coeficienților și a varianțelor argumentelor corespunzătoare.
9. Aşteptarea matematică a produsului variabilelor aleatoare
Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare este egală cu produsul așteptărilor lor matematice plus momentul de corelație:
Dovada. Vom pleca de la definirea momentului de corelare:
Transformăm această expresie folosind proprietățile așteptării matematice:
care este evident echivalent cu formula (10.2.17).
Dacă variabilele aleatoare sunt necorelate, atunci formula (10.2.17) ia forma:
adică, media produsului a două variabile aleatoare necorelate este egală cu produsul mediei lor.
Această afirmație este cunoscută ca teorema înmulțirii așteptărilor.
Formula (10.2.17) nu este altceva decât o expresie a celui de-al doilea moment central mixt al sistemului în ceea ce privește al doilea moment inițial mixt și așteptările matematice:
. (10.2.19)
Această expresie este adesea folosită în practică atunci când se calculează momentul de corelare în același mod în care pentru o variabilă aleatoare varianța este adesea calculată prin al doilea moment inițial și așteptarea matematică.
Teorema înmulțirii așteptărilor poate fi generalizată și la un număr arbitrar de factori, doar că în acest caz pentru aplicarea sa nu este suficient ca mărimile să fie necorelate, ci se cere ca și unele momente mixte mai mari să dispară, al căror număr depinde de numărul de termeni din produs. Aceste condiții sunt cu siguranță îndeplinite dacă variabilele aleatoare incluse în produs sunt independente. În acest caz
, (10.2.20)
adică așteptarea matematică a produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
Această propoziție poate fi demonstrată cu ușurință prin inducție completă.
10. Dispersia produsului variabilelor aleatoare independente
Să demonstrăm că pentru cantități independente
Dovada. Să notăm. Prin definiția varianței
Întrucât cantitățile sunt independente și
Pentru independent, marimile sunt de asemenea independente; prin urmare,
,
Dar nu există nimic altceva decât al doilea moment inițial al mărimii și, prin urmare, este exprimat în termeni de varianță:
;
de asemenea
.
Înlocuind aceste expresii în formula (10.2.22) și aducând termeni similari, ajungem la formula (10.2.21).
În cazul în care variabilele aleatoare centrate sunt înmulțite (valori cu așteptări matematice egale cu zero), formula (10.2.21) ia forma:
, (10.2.23)
adică, varianța produsului variabilelor aleatoare centrate independente este egală cu produsul varianțelor acestora.
11. Momentele superioare ale sumei variabilelor aleatoare
În unele cazuri este necesar să se calculeze momentele mai mari ale sumei variabilelor aleatoare independente. Să demonstrăm câteva relații înrudite.
1) Dacă mărimile sunt independente, atunci
Dovada.
de unde prin teorema înmulțirii așteptărilor
Dar primul moment central pentru orice mărime este zero; doi termeni de mijloc dispar și se demonstrează formula (10.2.24).
Relația (10.2.24) poate fi generalizată cu ușurință prin inducție la un număr arbitrar de termeni independenți:
. (10.2.25)
2) Al patrulea moment central al sumei a două variabile aleatoare independente este exprimat prin formula
unde sunt dispersiile de si .
Dovada este exact aceeași cu cea anterioară.
Folosind metoda inducției complete, este ușor de demonstrat generalizarea formulei (10.2.26) la un număr arbitrar de termeni independenți.
Dispersia unei variabile aleatoare și proprietățile acesteia.
Multe variabile aleatoare au aceleași așteptări matematice, dar valori posibile diferite. Prin urmare, o așteptare matematică nu este suficientă pentru a caracteriza o variabilă aleatoare.
Lasă venitul Xși Y(în dolari) a două firme sunt date prin distribuții:
Uneori este convenabil să folosiți o altă formulă, care poate fi obținută prin utilizarea proprietăților așteptării matematice,
Dispersia există dacă seria (respectiv, integrala) converge.
Număr nenegativ 
numit deviație standard variabilă aleatorie X. Are dimensiunea unei variabile aleatorii Xși definește un interval de dispersie rms standard, simetric față de așteptările matematice. Valoarea este uneori numită abatere standard.
Se numește variabila aleatoare centrat, dacă . Se numește variabila aleatoare normalizat(standard) dacă .
Să continuăm exemplul. Calculați varianța venitului a două firme:
Comparând varianța, vedem că venitul celei de-a doua firme variază mai mult decât primul.
Proprietăți de dispersie.
1. Dispersia unei valori constante este egală cu zero, adică. , dacă constant. Acest lucru este evident, deoarece valoarea constantă are o așteptare matematică egală cu valoarea constantă, i.e. .
2. Multiplicator constant C poate fi scos din semnul de dispersie prin mai întâi la pătrat.
Într-adevăr,
3. Varianta sumei algebrice a doua variabile aleatoare independente este egala cu suma variantelor acestora, i.e.
Expresia se numește covarianța lui X și Y(vezi Subiectul 4, §2). Pentru variabile aleatoare independente, covarianța este zero, adică
Folosind această egalitate, puteți adăuga la lista de proprietăți ale așteptării matematice. Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt independente, atunci așteptarea matematică a produsului este egală cu produsul așteptărilor matematice și anume:
Dacă variabila aleatoare este transformată liniar, i.e. , apoi
.
Exemplu 1. Lasă-l să fie produs n teste independente, probabilitatea de apariție a unui eveniment DARîn fiecare dintre ele este constantă şi egală cu p. Care este varianța numărului de apariții ale evenimentului DAR in aceste procese?
Decizie. Fie numărul de apariție a evenimentului DARîn prima încercare, este numărul de apariție a evenimentului DARîn al doilea test și așa mai departe. Apoi numărul total de apariție a evenimentului DARîn nîncercări egale
Folosind proprietatea 3 a dispersiei, obținem
Aici am folosit faptul că 
, i= (a se vedea exemplele 1 și 2, punctul 3.3.1.).
Exemplu 2. Lasă X - suma depozitului (în dolari) în bancă – dată de distribuția de probabilitate
| X | ||||||
| i = | 0,01 | 0,03 | 0,10 | 0,30 | 0,5 | 0,06 |
Găsiți valoarea medie a contribuției și variația.
Decizie. Suma medie a depozitului este egală cu așteptările matematice
Pentru a calcula varianța, folosim formula
D (X) \u003d 8196 - 7849,96 \u003d 348,04.
Deviație standard
Momente.
Pentru a lua în considerare influența asupra așteptării matematice a acelor valori posibile ale variabilei aleatoare X, care sunt mari, dar au o probabilitate scăzută, este recomandabil să luăm în considerare așteptările matematice ale unei puteri întregi pozitive a unei variabile aleatoare.
