În această lecție video, subiectul „Funcția y \u003d x 2. Rezolvarea grafică a ecuațiilor. În cadrul acestei lecții, elevii vor putea să se familiarizeze cu o nouă modalitate de rezolvare a ecuațiilor - grafică, care se bazează pe cunoașterea proprietăților graficelor de funcții. Profesorul vă va arăta cum să rezolvați grafic funcția y=x 2 .
Subiect:Funcţie
Lecţie:Funcţie. Rezolvarea grafică a ecuațiilor
Rezolvarea grafică a ecuațiilor se bazează pe cunoașterea graficelor de funcții și a proprietăților acestora. Enumerăm funcțiile ale căror grafice le cunoaștem:
1), graficul este o linie dreaptă paralelă cu axa x, care trece printr-un punct de pe axa y. Luați în considerare un exemplu: y=1:
Pentru valori diferite, obținem o familie de linii drepte paralele cu axa x.
2) Funcția de proporționalitate directă graficul acestei funcții este o dreaptă care trece prin origine. Luați în considerare un exemplu:
Am construit deja aceste grafice în lecțiile anterioare, amintiți-vă că pentru a construi fiecare linie, trebuie să selectați un punct care o satisface și să luați originea ca al doilea punct.
Reamintim rolul coeficientului k: pe măsură ce funcția crește, unghiul dintre dreapta și direcția pozitivă a axei x este acut; când funcția scade, unghiul dintre linia dreaptă și direcția pozitivă a axei x este obtuz. În plus, există următoarea relație între doi parametri k de același semn: pentru k pozitiv, cu cât este mai mare, cu atât funcția crește mai repede, iar pentru negativ, funcția scade mai repede pentru valori mari ale k modulo.
3) Funcția liniară. Când - obținem punctul de intersecție cu axa y și toate liniile de acest fel trec prin punctul (0; m). În plus, pe măsură ce funcția crește, unghiul dintre linie și direcția pozitivă a axei x este acut; când funcția scade, unghiul dintre linia dreaptă și direcția pozitivă a axei x este obtuz. Și, desigur, valoarea lui k afectează rata de modificare a valorii funcției.
4). Graficul acestei funcții este o parabolă.
Luați în considerare exemple.
Exemplul 1 - rezolvați grafic ecuația:
Nu cunoaștem funcții de acest tip, așa că trebuie să transformăm ecuația dată pentru a lucra cu funcții cunoscute:
Avem funcții familiare în ambele părți ale ecuației:
Să construim grafice ale funcțiilor:
Graficele au două puncte de intersecție: (-1; 1); (2; 4)
Să verificăm dacă soluția este găsită corect, înlocuiți coordonatele în ecuație:
Primul punct este găsit corect.
, 
, , , , ,
Al doilea punct este de asemenea găsit corect.
Deci, soluțiile ecuației sunt și
Acționăm similar cu exemplul anterior: transformăm ecuația dată în funcțiile cunoscute de noi, trasăm graficele acestora, găsim curenții de intersecție și de aici indicăm soluțiile.
Obtinem doua functii:
Să construim grafice:
Aceste grafice nu au puncte de intersecție, ceea ce înseamnă că ecuația dată nu are soluții
Concluzie: în această lecție, am trecut în revistă funcțiile cunoscute nouă și graficele lor, ne-am amintit proprietățile lor și am considerat o modalitate grafică de rezolvare a ecuațiilor.
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al. Algebra 7. Ediţia a VI-a. M.: Iluminismul. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. si altele.Algebra 7 .M .: Educatie. 2006
Sarcina 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al., Algebra 7, nr.494, p. 110;
Sarcina 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. şi altele.Algebra 7, Nr. 495, poz. 110;
Sarcina 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al., Algebra 7, nr.496, p. 110;
Să existe o ecuație pătratică completă: A*x2+B*x+C=0, unde A, B și C sunt orice numere, iar A nu este egal cu zero. Acesta este cazul general al unei ecuații pătratice. Există și o formă redusă în care A=1. Pentru a rezolva grafic orice ecuație, trebuie să transferați termenul cu cel mai mare grad într-o altă parte și să echivalați ambele părți cu o variabilă.
După aceea, A * x2 va rămâne în partea stângă a ecuației, iar B * x-C va rămâne în partea dreaptă (putem presupune că B este un număr negativ, acest lucru nu schimbă esența). Obținem ecuația A*x2=B*x-C=y. Pentru claritate, în acest caz, ambele părți sunt egalate cu variabila y.
Trasarea și prelucrarea rezultatelor
Acum putem scrie două ecuații: y=A*x2 și y=B*x-C. Apoi, trebuie să trasați fiecare dintre aceste funcții. Graficul y=A*x2 este o parabolă cu un vârf la origine, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus sau în jos, în funcție de semnul numărului A. Dacă este negativ, ramurile sunt îndreptate în jos, dacă este pozitiv - în sus.
Graficul y=B*x-C este o dreaptă regulată. Dacă C=0, linia trece prin origine. În cazul general, decupează din axa ordonatelor un segment egal cu C. Unghiul de înclinare al acestei drepte față de axa absciselor este determinat de coeficientul B. Este egal cu panta acestui unghi.
După ce sunt construite graficele, se va vedea că acestea se intersectează în două puncte. Coordonatele acestor puncte de-a lungul abscisei determină rădăcinile ecuației pătratice. Pentru a le determina cu precizie, trebuie să construiți în mod clar grafice și să alegeți scara potrivită.
O altă soluție grafică
Există o altă modalitate de a rezolva grafic o ecuație pătratică. Nu este necesar să mutați B*x+C în cealaltă parte a ecuației. Puteți reprezenta imediat funcția y=A*x2+B*x+C. Un astfel de grafic este o parabolă cu un vârf într-un punct arbitrar. Această metodă este mai complicată decât cea anterioară, dar puteți construi un singur grafic astfel încât.
Mai întâi trebuie să determinați vârful parabolei cu coordonatele x0 și y0. Abscisa ei se calculează prin formula x0=-B/2*a. Pentru a determina ordonata, trebuie să înlocuiți valoarea obținută a abscisei în funcția originală. Matematic, această afirmație se scrie astfel: y0=y(x0).
Apoi trebuie să găsiți două puncte simetrice față de axa parabolei. În ele, funcția originală trebuie să dispară. După aceea, puteți construi o parabolă. Punctele de intersecție cu axa X vor da două rădăcini ale ecuației pătratice.
În programarea liniară, se folosește o metodă grafică pentru a determina mulțimi convexe (poliedru de soluție). Dacă problema principală de programare liniară are un plan optim, atunci funcția obiectiv ia o valoare la unul dintre vârfurile poliedrului de decizie (vezi figura).
Atribuirea serviciului. Folosind acest serviciu, puteți rezolva problema programării liniare folosind metoda geometrică online, precum și puteți obține o soluție la problema duală (estimați utilizarea optimă a resurselor). În plus, un șablon de soluție este creat în Excel.
Instruire. Selectați numărul de rânduri (numărul de limite).
Dacă numărul de variabile este mai mare de două, este necesar să aduceți sistemul la SZLP (vezi exemplul și exemplul nr. 2). Dacă constrângerea este dublă, de exemplu, 1 ≤ x 1 ≤ 4 , atunci este împărțită în două: x 1 ≥ 1 , x 1 ≤ 4 (adică numărul de rânduri crește cu 1).De asemenea, puteți construi o zonă de soluții fezabile (DDR) folosind acest serviciu.
Următoarele sunt, de asemenea, utilizate cu acest calculator:
Metoda simplex pentru rezolvarea LLP
Rezolvarea problemei transportului
Soluție de joc Matrix
Folosind serviciul online, puteți determina prețul unui joc matrice (limitele inferioare și superioare), puteți verifica un punct de șa, puteți găsi o soluție la o strategie mixtă folosind următoarele metode: minimax, metoda simplex, metoda grafică (geometrică), metoda lui Brown.
Extremul unei funcții a două variabile
Calcul limită
Rezolvarea unei probleme de programare liniară printr-o metodă grafică include următorii pași:
- Liniile sunt construite pe planul X 1 0X 2.
- Se definesc jumătățile de plan.
- Definiți un poligon de decizie;
- Construiți un vector N(c 1 ,c 2), care indică direcția funcției obiectiv;
- Mutați funcția obiectiv direct c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 în direcția vectorului N până la punctul extrem al poligonului soluție.
- Calculați coordonatele punctului și valoarea funcției obiectiv în acest punct.
Exemplu. Compania produce două tipuri de produse - P1 și P2. Pentru producerea produselor se folosesc două tipuri de materii prime - C1 și C2. Prețul cu ridicata al unei unități de producție este egal cu: 5 UM pentru P1 si 4 c.u. pentru P2. Consumul de materii prime pe unitatea de producție de tip P1 și tip P2 este prezentat în tabel.
Tabel - Consumul de materii prime pentru productie
Este necesar să se determine:
Câte produse de fiecare tip ar trebui să producă firma pentru a maximiza veniturile din vânzarea produselor?
- Formulați un model matematic al unei probleme de programare liniară.
- Rezolvați grafic o problemă de programare liniară (pentru două variabile).
Să formulăm un model matematic al unei probleme de programare liniară.
x 1 - producție P1, unități.
x 2 - producția de produse P2, unități.
x 1 , x 2 ≥ 0
Limitele resurselor
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
Limitele cererii
x 1 +1 ≥ x 2
x2 ≤ 2
funcție obiectivă
5x1 + 4x2 → max
Apoi obținem următorul LLP:
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x1 + 4x2 → max
Primul nivel
Rezolvarea ecuațiilor, inegalităților, sistemelor folosind grafice de funcții. Ghid vizual (2019)
Multe sarcini pe care suntem obișnuiți să le calculăm pur algebric pot fi rezolvate mult mai ușor și mai rapid, folosind grafice de funcții ne vor ajuta în acest sens. Tu spui "cum asa?" să desenezi ceva și ce să desenezi? Crede-mă, uneori este mai convenabil și mai ușor. Putem incepe? Să începem cu ecuații!
Rezolvarea grafică a ecuațiilor
Rezolvarea grafică a ecuațiilor liniare
După cum știți deja, graficul unei ecuații liniare este o linie dreaptă, de unde și numele acestui tip. Ecuațiile liniare sunt destul de ușor de rezolvat algebric - transferăm toate necunoscutele într-o parte a ecuației, tot ceea ce știm - în cealaltă, și voila! Am găsit rădăcina. Acum vă voi arăta cum să o faceți mod grafic.
Deci ai o ecuație:
Cum să o rezolv?
Opțiunea 1, iar cel mai obișnuit este să mutați necunoscutele într-o parte, iar cunoscutul în cealaltă, obținem:
Și acum construim. Ce ai primit?
Care crezi că este rădăcina ecuației noastre? Așa este, coordonatele punctului de intersecție al graficelor:
Răspunsul nostru este
Aceasta este toată înțelepciunea soluției grafice. După cum puteți verifica cu ușurință, rădăcina ecuației noastre este un număr!
După cum am spus mai sus, aceasta este cea mai comună opțiune, aproape de soluția algebrică, dar o puteți rezolva în alt mod. Pentru a considera o soluție alternativă, să revenim la ecuația noastră:
De data aceasta nu vom muta nimic dintr-o parte în alta, ci vom construi grafice direct, așa cum sunt acum:
Construit? Uite!
Care este soluția de data asta? În regulă. Aceeași este coordonatele punctului de intersecție al graficelor:
Și, din nou, răspunsul nostru este .
După cum puteți vedea, cu ecuații liniare, totul este extrem de simplu. Este timpul să luăm în considerare ceva mai complicat... De exemplu, rezolvarea grafică a ecuațiilor pătratice.
Rezolvarea grafică a ecuațiilor pătratice
Deci, acum să începem să rezolvăm ecuația pătratică. Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcinile acestei ecuații:
Desigur, acum poți începe să numeri prin discriminant, sau conform teoremei Vieta, dar mulți nervi fac greșeli la înmulțire sau la pătrat, mai ales dacă exemplul este cu numere mari și, după cum știi, nu vei avea un calculator la examen... Prin urmare, să încercăm să ne relaxăm puțin și să desenăm în timp ce rezolvăm această ecuație.
Grafic, soluțiile acestei ecuații pot fi găsite în diferite moduri. Luați în considerare diferitele opțiuni și dvs. veți alege pe care vă place cel mai mult.
Metoda 1. Direct
Construim doar o parabolă conform acestei ecuații:
Pentru a fi rapid, vă voi oferi un mic indiciu: este convenabil să începem construcția prin determinarea vârfului parabolei. Următoarele formule vor ajuta la determinarea coordonatelor vârfului parabolei:
Tu spui „Oprește-te! Formula pentru este foarte asemănătoare cu formula pentru găsirea discriminantului „da, este, iar acesta este un dezavantaj uriaș al „construirii directe” a unei parabole pentru a-și găsi rădăcinile. Cu toate acestea, haideți să numărăm până la final și apoi vă voi arăta cum să faceți totul (mult!) mai ușor!
ai numarat? Care sunt coordonatele vârfului parabolei? Să ne dăm seama împreună:
Exact acelasi raspuns? Foarte bine! Și acum știm deja coordonatele vârfului, iar pentru a construi o parabolă, avem nevoie de mai multe... puncte. Ce părere aveți, de câte puncte minime avem nevoie? Corect, .
Știți că o parabolă este simetrică față de vârful ei, de exemplu:
În consecință, avem nevoie de încă două puncte de-a lungul ramurii din stânga sau din dreapta a parabolei, iar în viitor vom reflecta aceste puncte în mod simetric pe partea opusă:
Ne întoarcem la parabola noastră. Pentru cazul nostru, ideea. Mai avem nevoie de două puncte, respectiv, putem lua unele pozitive, dar putem lua unele negative? Care sunt cele mai bune puncte pentru tine? Îmi este mai convenabil să lucrez cu cele pozitive, așa că voi calcula cu și.
Acum avem trei puncte și ne putem construi cu ușurință parabola reflectând ultimele două puncte din vârful ei:
Care crezi că este soluția ecuației? Așa este, punctele în care, adică și. Pentru că.
Și dacă spunem asta, atunci înseamnă că trebuie să fie și egală, sau.
Doar? Am terminat de rezolvat ecuația cu tine într-un mod grafic complex, sau vor fi mai multe!
Desigur, puteți verifica răspunsul nostru algebric - puteți calcula rădăcinile prin teorema Vieta sau prin discriminant. Ce ai primit? Aceeași? Vezi! Acum haideți să vedem o soluție grafică foarte simplă, sunt sigură că vă va plăcea foarte mult!
Metoda 2. Împărțit în mai multe funcții
Să luăm tot, de asemenea, ecuația noastră: , dar o scriem într-un mod puțin diferit și anume:
Putem scrie așa? Putem, deoarece transformarea este echivalentă. Să privim mai departe.
Să construim două funcții separat:
- - graficul este o parabolă simplă, pe care o puteți construi cu ușurință chiar și fără a defini vârful folosind formule și a face un tabel pentru a determina alte puncte.
- - graficul este o linie dreaptă, pe care o poți construi la fel de ușor estimând valorile și în capul tău, fără să apelezi măcar la un calculator.
Construit? Compara cu ce am primit:
Care credeți că este rădăcina ecuației în acest caz? Corect! Coordonatele prin, care se obțin prin încrucișarea a două grafice și, adică:
Prin urmare, soluția acestei ecuații este:
Ce zici? De acord, această metodă de rezolvare este mult mai ușoară decât cea anterioară și chiar mai ușoară decât a căuta rădăcini prin discriminant! Dacă da, încercați această metodă pentru a rezolva următoarea ecuație:
Ce ai primit? Să comparăm graficele noastre:
Graficele arată că răspunsurile sunt:
Ai reușit? Foarte bine! Acum să ne uităm la ecuații puțin mai complicate, și anume, soluția ecuațiilor mixte, adică a ecuațiilor care conțin funcții de diferite tipuri.
Rezolvarea grafică a ecuațiilor mixte
Acum să încercăm să rezolvăm următoarele:
Desigur, puteți aduce totul la un numitor comun, găsiți rădăcinile ecuației rezultate, fără a uita să luați în considerare ODZ, dar din nou, vom încerca să o rezolvăm grafic, așa cum am făcut în toate cazurile anterioare.
De data aceasta, să reprezentăm următoarele 2 grafice:
- - graficul este o hiperbolă
- - un grafic este o linie dreaptă pe care o poți construi cu ușurință prin estimarea valorilor și în capul tău, fără a apela măcar la un calculator.
Realizat? Acum începe să construiești.
Iată ce mi s-a întâmplat:
Privind această imagine, care sunt rădăcinile ecuației noastre?
Așa este, și. Iată confirmarea:
Încercați să ne conectați rădăcinile în ecuație. S-a întâmplat?
În regulă! De acord, rezolvarea grafică a unor astfel de ecuații este o plăcere!
Încercați să rezolvați singur ecuația grafic:
Vă dau un indiciu: mutați o parte a ecuației la dreapta, astfel încât ambele părți să aibă cele mai simple funcții de construit. Ai indiciu? Ia măsuri!
Acum să vedem ce ai:
Respectiv:
- - parabola cubica.
- - o linie dreaptă obișnuită.
Ei bine, construim:
După cum ați notat mult timp, rădăcina acestei ecuații este -.
După ce am rezolvat asta un numar mare de exemple, sunt sigur că ați realizat cum puteți rezolva cu ușurință și rapid ecuații grafic. Este timpul să ne dăm seama cum să rezolvi sistemele în acest fel.
Soluția grafică a sistemelor
Soluția grafică a sistemelor nu este în esență diferită de soluția grafică a ecuațiilor. De asemenea, vom construi două grafice, iar punctele lor de intersecție vor fi rădăcinile acestui sistem. Un grafic este o ecuație, al doilea grafic este o altă ecuație. Totul este extrem de simplu!
Să începem cu cele mai simple - rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
Să presupunem că avem următorul sistem:
Pentru început, îl vom transforma în așa fel încât în stânga să fie tot ceea ce este conectat, iar în dreapta - ceea ce este conectat. Cu alte cuvinte, scriem aceste ecuații ca o funcție în forma obișnuită pentru noi:
Și acum construim doar două linii drepte. Care este soluția în cazul nostru? Corect! Punctul de intersecție! Și aici trebuie să fii foarte, foarte atent! Gândește-te de ce? Vă dau un indiciu: avem de-a face cu un sistem: sistemul le are pe amândouă și... Ai înțeles?
În regulă! Când rezolvăm sistemul, trebuie să ne uităm la ambele coordonate, și nu numai, ca atunci când rezolvăm ecuații! Un alt punct important este să le notăm corect și să nu confundam unde avem valoarea și unde este valoarea! Înregistrate? Acum să comparăm totul în ordine:
Și răspunde: i. Faceți o verificare - înlocuiți rădăcinile găsite în sistem și asigurați-vă că am rezolvat-o corect într-un mod grafic?
Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare
Dar dacă în loc de o linie dreaptă, avem o ecuație pătratică? E in regula! Doar construiești o parabolă în loc de o linie dreaptă! Nu crede? Încercați să rezolvați următorul sistem:
Care este următorul nostru pas? Așa este, scrieți-l astfel încât să ne fie convenabil să construim grafice:
Și acum totul este despre lucrul mic - l-am construit rapid și iată soluția pentru tine! Clădire:
Grafica este aceeași? Acum marcați soluțiile sistemului din imagine și notați corect răspunsurile dezvăluite!
Am făcut totul? Comparați cu notele mele:
În regulă? Foarte bine! Faceți deja clic pe astfel de sarcini precum nuci! Și dacă da, să vă oferim un sistem mai complicat:
Ce facem? Corect! Scriem sistemul astfel încât să fie convenabil să construim:
Vă dau un mic indiciu, deoarece sistemul pare foarte complicat! Când construiți grafice, construiți-le „mai mult” și, cel mai important, nu fiți surprinși de numărul de puncte de intersecție.
Deci să mergem! Expirat? Acum începe să construiești!
Ei bine, cum? Frumoasa? Câte puncte de intersecție ai obținut? Eu am trei! Să comparăm graficele noastre:
Același fel? Acum notați cu atenție toate soluțiile sistemului nostru:
Acum uită-te din nou la sistem:
Îți poți imagina că ai rezolvat-o în doar 15 minute? De acord, matematica este încă simplă, mai ales când te uiți la o expresie, nu ți-e frică să greșești, dar o iei și decizi! Ești un băiat mare!
Rezolvarea grafică a inegalităților
Rezolvarea grafică a inegalităților liniare
După ultimul exemplu, ești la înălțime! Acum expirați - în comparație cu secțiunile anterioare, aceasta va fi foarte, foarte ușor!
Începem, ca de obicei, cu o soluție grafică a unei inegalități liniare. De exemplu, acesta:
Pentru început, vom efectua cele mai simple transformări - vom deschide parantezele pătratelor perfecte și vom da termeni similari:
Inegalitatea nu este strictă, prin urmare - nu este inclusă în interval, iar soluția va fi toate punctele care sunt la dreapta, deoarece mai multe, mai multe și așa mai departe:
Răspuns:
Asta e tot! Uşor? Să rezolvăm o inegalitate simplă cu două variabile:
Să desenăm o funcție în sistemul de coordonate.
Ai o astfel de diagramă? Și acum ne uităm cu atenție la ceea ce avem în inegalitate? Mai mici? Deci, pictăm peste tot ce se află în stânga liniei noastre drepte. Dacă ar fi mai multe? Așa este, atunci ei ar picta peste tot ce este în dreapta liniei noastre drepte. Totul este simplu.
Toate soluțiile la această inegalitate sunt umbrite în portocaliu. Gata, inegalitatea cu două variabile este rezolvată. Aceasta înseamnă că coordonatele și orice punct din zona umbrită sunt soluțiile.
Rezolvarea grafică a inegalităților pătratice
Acum ne vom ocupa de cum să rezolvăm grafic inegalitățile pătratice.
Dar înainte de a ajunge direct la subiect, să recapitulăm câteva lucruri despre funcția pătrat.
De ce este responsabil discriminatorul? Așa este, pentru poziția graficului față de axă (dacă nu vă amintiți acest lucru, atunci citiți cu siguranță teoria despre funcțiile pătratice).
În orice caz, iată un mic memento pentru tine:
Acum că am reîmprospătat tot materialul din memoria noastră, să trecem la treabă - vom rezolva grafic inegalitatea.
Vă spun imediat că există două variante de rezolvare.
Opțiunea 1
Scriem parabola noastră ca funcție:
Folosind formulele, determinăm coordonatele vârfului parabolei (în același mod ca atunci când rezolvăm ecuații patratice):
ai numarat? Ce ai primit?
Acum să luăm încă două puncte diferite și să calculăm pentru ele:
Începem să construim o ramură a parabolei:
Ne reflectăm simetric punctele pe o altă ramură a parabolei:
Acum să revenim la inegalitatea noastră.
Trebuie să fie mai mic decât zero, respectiv:
Deoarece în inegalitatea noastră există un semn strict mai puțin, excludem punctele finale - „imităm”.
Răspuns:
Drum lung, nu? Acum vă voi arăta o versiune mai simplă a soluției grafice folosind aceeași inegalitate ca exemplu:
Opțiunea 2
Ne întoarcem la inegalitatea noastră și marchem intervalele de care avem nevoie:
De acord, este mult mai rapid.
Să scriem răspunsul acum:
Să luăm în considerare o altă metodă de soluție care simplifică partea algebrică, dar principalul lucru este să nu ne confuzi.
Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:
Încercați să rezolvați singur următoarea inegalitate pătratică în orice mod doriți: .
Ai reușit?
Vezi cum a ieșit graficul meu:
Răspuns: .
Rezolvarea grafică a inegalităților mixte
Acum să trecem la inegalități mai complexe!
Cum iti place asta:
Îngrozitor, nu? Sincer, nu am idee cum să rezolv asta algebric... Dar, nu este necesar. Grafic, nu este nimic complicat în asta! Ochilor le este frică, dar mâinile fac!
Primul lucru cu care începem este să construim două grafice:
Nu voi scrie un tabel pentru toată lumea - sunt sigur că o poți face perfect pe cont propriu (desigur, sunt atât de multe exemple de rezolvat!).
Pictat? Acum construiți două grafice.
Să comparăm desenele noastre?
Ai la fel? Amenda! Acum să plasăm punctele de intersecție și să determinăm cu o culoare ce grafic ar trebui să avem, în teorie, ar trebui să fie mai mare, adică. Uite ce s-a întâmplat până la urmă:
Și acum ne uităm doar la unde graficul selectat este mai mare decât graficul? Simțiți-vă liber să luați un creion și să pictați peste această zonă! Va fi soluția la inegalitatea noastră complexă!
La ce intervale de-a lungul axei suntem mai sus? Dreapta, . Acesta este răspunsul!
Ei bine, acum poți gestiona orice ecuație și orice sistem și cu atât mai mult orice inegalitate!
SCURT DESPRE PRINCIPALA
Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor folosind grafice de funcții:
- Exprimați prin
- Definiți tipul funcției
- Să construim grafice ale funcțiilor rezultate
- Găsiți punctele de intersecție ale graficelor
- Notați corect răspunsul (ținând cont de semnele ODZ și de inegalitate)
- Verificați răspunsul (înlocuiți rădăcinile în ecuație sau sistem)
Pentru mai multe informații despre trasarea graficelor de funcții, consultați subiectul „”.
La lecție, elevii au demonstrat cunoștințele și abilitățile programului:
- recunoaște tipurile de funcții, construiește graficele acestora;
– exersat abilitățile de construire a unei funcții pătratice;
– a elaborat metode grafice de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind metoda de selecție a pătratului complet.
Am vrut să acord o atenție deosebită rezolvării problemelor cu un parametru, deoarece USE în matematică oferă o mulțime de sarcini de acest tip.
Oportunitatea de a aplica acest tip de lucru la clasă mi-a fost oferită chiar de elevi, deoarece au o bază de cunoștințe suficientă care poate fi aprofundată și extinsă.
Șabloanele pregătite în prealabil de către studenți au permis să economisească timpul de lecție. În timpul lecției, am reușit să implementez sarcinile de la începutul lecției și să obțin rezultatul așteptat.
Utilizarea unui minut de educație fizică a ajutat la evitarea surmenajului elevilor, la menținerea unei motivații productive pentru obținerea cunoștințelor.
În general, sunt mulțumit de rezultatul lecției, dar cred că mai există oportunități de rezervă: instrumente tehnologice moderne inovatoare, pe care, din păcate, nu avem ocazia să le folosim.
Tip de lecție: consolidarea materialului studiat.
Obiectivele lecției:
- Educație generală și didactică:
- să dezvolte o varietate de moduri de activitate mentală a elevilor;
- pentru a-și forma capacitatea de a rezolva în mod independent problemele;
- educarea culturii matematice a elevilor;
- dezvolta intuiția elevilor și capacitatea de a folosi cunoștințele acumulate.
- obiectivele de învățare:
- rezumați informații studiate anterior pe tema „Rezolvarea grafică a ecuațiilor pătratice”;
- repetați trasarea funcțiilor pătratice;
- să formeze abilitățile de utilizare a algoritmilor de rezolvare a ecuațiilor pătratice printr-o metodă grafică.
- Educational:
- trezirea interesului pentru activitățile educaționale, pentru disciplina matematică;
- formarea toleranței (toleranța), capacitatea de a lucra în echipă.
ÎN CURILE CLASURILOR
I. Moment organizatoric
- Astăzi în lecție vom generaliza și consolida soluția grafică a ecuațiilor pătratice în diverse moduri.
În viitor, vom avea nevoie de aceste abilități în liceu la lecțiile de matematică atunci când rezolvăm ecuații trigonometrice și logaritmice, găsim aria unui trapez curbiliniu, precum și la lecțiile de fizică.
II. Verificarea temelor
Să analizăm pe tabla nr. 23.5 (g).
Rezolvați această ecuație folosind o parabolă și o dreaptă.
Decizie:
x 2 + x - 6 = 0
Să transformăm ecuația: x 2 \u003d 6 - x
Să introducem funcții:
y \u003d x 2; funcția pătratică y \u003d 6 - x liniară,
diagramă yavl. parabola, graf yavl. Drept,
Construim grafice de funcții într-un singur sistem de coordonate (conform unui șablon)
Avem două puncte de intersecție.
Soluția ecuației pătratice este abscisa acestor puncte x 1 = - 3, x 2 = 2.
Raspuns: - 3; 2.
III. Sondaj frontal
- Care este graficul unei funcții pătratice?
- Îmi puteți spune algoritmul pentru trasarea graficului unei funcții pătratice?
- Ce este o ecuație pătratică?
- Dați exemple de ecuații pătratice?
- Scrieți pe tablă exemplul dvs. de ecuație pătratică.Care sunt coeficienții?
- Ce înseamnă să rezolvi o ecuație?
- Câte moduri știți despre soluția grafică a ecuațiilor pătratice?
- Care sunt metodele grafice pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice:
IV. Fixarea materialului
La tablă, elevii decid în primul, al doilea, al treilea mod.
Clasa decide al patrulea
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Voi transforma ecuația pătratică, evidențiind pătratul complet al binomului:
- x 2 + 6x - 5 \u003d - (x 2 - 6x + 5) \u003d - (x 2 - 6x + 32 - 9 + 5) \u003d - ((x - 3) 2 - 4) \u003d - ( x - 3) 2+4
Avem o ecuație pătratică:
- (x - 3) 2 + 4 \u003d 0
Să introducem o funcție:
y \u003d - (x 2 - 3) 2 + 4
Funcția pătratică de forma y \u003d a (x + L) 2 + m
Grafic yavl. parabolă, ramuri îndreptate în jos, deplasarea parabolei principale de-a lungul axei Ox la dreapta cu 3 unități, în sus cu 4 unități de-a lungul axei Oy, sus (3; 4).
Construim conform șablonului.
Găsiți punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Abscisa acestor puncte yavl. rezolvarea acestei ecuații. x=1, x=5.
Să vedem și alte soluții grafice la bord. Comentează modul tău de a rezolva ecuațiile pătratice.
1 student
Decizie:
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Introducem funcția y \u003d - x + 6x - 5, o funcție pătratică, graficul este o parabolă, ramurile sunt îndreptate în jos, partea de sus
x 0 \u003d - în / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9; punct (3; 9)
axa de simetrie x = 3
Construim conform șablonului
Avem puncte de intersecție cu axa Ox, abscisele acestor puncte sunt soluția unei ecuații pătratice. Două rădăcini x 1 = 1, x 2 = 5
2 elev
Decizie:
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Să transformăm: - x 2 + 6x \u003d 5
Introducem funcțiile: y1 \u003d - x 2 + 6x, y2 \u003d 5, funcție liniară, funcție pătratică, grafic grafic yavl. linia y || Oh, yavl. parabolă, ramuri îndreptate în jos, vârf x 0 \u003d - în / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9;
(3; 9).
axa de simetrie x = 3
Construim conform șablonului
Am puncte de intersecție
parabole și o linie dreaptă, abscisele lor sunt soluția unei ecuații pătratice. Două rădăcini x 1 = 1, x 2 = 5
Deci, aceeași ecuație poate fi rezolvată în moduri diferite, iar răspunsul ar trebui să fie același.
V. Educaţie fizică
VI. Rezolvarea unei probleme cu un parametru
La ce valori R ecuația x 2 + 6x + 8 = p:
- Nu are rădăcini?
- Are o rădăcină?
Are două rădăcini?
Cum este această ecuație diferită de cea anterioară?
Așa e, scrisoare!
Ne vom referi la această scrisoare ca parametru, R.
Atâta timp cât ea nu-ți spune nimic. Dar vom continua să rezolvăm diverse probleme cu un parametru.
Astăzi vom rezolva o ecuație pătratică cu un parametru folosind metoda grafică folosind a treia metodă folosind o parabolă și o dreaptă paralelă cu axa x.
Elevul îl ajută pe profesor să rezolve la tablă.
De unde începem să decidem?
Să setăm funcțiile:
y 1 \u003d x 2 + 6x + 8 y 2 \u003d p funcție liniară,
funcţie pătratică, graficul este o linie dreaptă
diagramă yavl. parabolă,
ramuri îndreptate în jos
x 0 \u003d - în / 2a,
x 0 = - 6/2 = - 3
y 0 \u003d (- 3) 2 + 6 (- 3) + 8 \u003d - 1
(– 3; – 1)
Axa de simetrie x = 3, nu voi construi un tabel, dar voi lua șablonul y = x 2 și îl voi atașa la vârful parabolei.
Parabola este construită! Acum trebuie să tragem o linie y = p.
Unde trebuie trasă o linie? R pentru a obține două rădăcini?
Unde trebuie trasă o linie? R pentru a obține o singură rădăcină?
Unde trebuie trasă o linie? R fara radacini?
– Deci, câte rădăcini poate avea ecuația noastră?
Ți-a plăcut sarcina? Multumesc pentru ajutor! Clasa 5.
VII. Muncă independentă după opțiuni (5 min.)
y \u003d x 2 - 5x + 6 y \u003d - x 2 + x - 6
Rezolvați o ecuație pătratică într-un mod grafic, alegând o modalitate convenabilă pentru dvs. Dacă cineva finalizează sarcina mai devreme, verificați soluția în alt mod. Acest lucru va fi supus unor note suplimentare.
VIII. Rezumatul lecției
- Ce ai învățat la lecția de astăzi?
- Astăzi în lecție am rezolvat ecuații pătratice folosind o metodă grafică, folosind diverse metode de rezolvare, și am considerat o metodă grafică de rezolvare a unei ecuații pătratice cu un parametru!
- Să trecem la teme.
IX. Teme pentru acasă
1. Test de acasă la pagina 147, din cartea de probleme a lui Mordkovich pentru opțiunile I și II.
2. Pe cerc, miercuri, vom rezolva metoda V-a, (hiperbola si dreapta).
X. Literatură:
1. A.G. Mordkovici. Algebră-8. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ. Moscova: Mnemosyne, 2008
2. A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrova, T.N. Mishustin, E.E. Tulchinskaya. Algebră - 8. Partea 2. Caiet de sarcini pentru studenții instituțiilor de învățământ. Moscova: Mnemosyne, 2008
3. A.G. Mordkovici. Algebra 7-9. Ghid metodologic pentru un profesor. M .: Mnemosyne, 2004
4. LA. Alexandrova. Algebră-8. Muncă independentă pentru studenții instituțiilor de învățământ./Ed. A.G. Mordkovici. Moscova: Mnemosyne, 2009
