Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

INTRODUCERE

„Ecuația este cheia de aur care deblochează tot susanul matematic”

S. Koval

Educația matematică primită la școală este o parte foarte importantă a vieții unei persoane moderne. Aproape tot ceea ce ne înconjoară este legat într-un fel sau altul de matematică. Rezolvarea multor probleme practice se reduce la rezolvarea de ecuații de diferite tipuri.

Ecuațiile sunt subiectul cel mai voluminos al întregului curs de algebră. Anul școlar trecut, la lecțiile de algebră, ne-am familiarizat cu ecuațiile pătratice. Ecuațiile cuadratice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea diverselor probleme, atât în ​​domeniul matematicii, cât și în cel al fizicii și chimiei.

La cursul școlar de matematică sunt studiate metodele de bază de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Cu toate acestea, există și alte metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice, dintre care unele vă permit să le rezolvați rapid și rațional.

Am realizat un sondaj în rândul a 84 de elevi din clasele 8-9 pe două întrebări:

Ce metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice cunoașteți?

Pe care le folosești cel mai mult?

Pe baza rezultatelor sondajului s-au obtinut urmatoarele rezultate:

După analizarea rezultatelor, am ajuns la concluzia că majoritatea elevilor folosesc formule de rădăcină atunci când rezolvă ecuații pătratice folosind discriminantul și nu știu bine cum să rezolve ecuațiile pătratice.

Astfel, tema pe care am ales-o este relevantă.

Ne punem înaintea noastră poartă: să studieze modalități netradiționale de rezolvare a ecuațiilor pătratice, să introducă elevilor din clasele a 8-a și a 9-a diverse metode de rezolvare, să dezvolte capacitatea de a alege o modalitate rațională de rezolvare a unei ecuații pătratice.

Pentru a atinge acest obiectiv, trebuie să rezolvați următoarele sarcini:

colectează informații despre diferite moduri de a rezolva ecuații pătratice,

să stăpânească soluțiile găsite,

scrieți un program pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind formulele rădăcinilor unei ecuații pătratice în Excel,

elaborarea materialului didactic pentru o lecție sau activitate extracurriculară despre metode nestandard de rezolvare a ecuațiilor pătratice,

conduce o lecție „Moduri neobișnuite de rezolvare a ecuațiilor pătratice” cu elevii din clasele 8-9.

Obiect de studiu: ecuații pătratice.

Obiectul cercetării: diferite moduri de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Considerăm că semnificația practică a lucrării constă în posibilitatea utilizării unei bănci de tehnici și metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice în lecțiile de matematică și activitățile extracurriculare, precum și în familiarizarea elevilor din clasele 8-9 cu acest material.

CAPITOLUL 1. METODE NEUSUELTE PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR CUADRATICE

1. 1. PROPRIETĂȚILE COEFICIENȚILOR (a,b,c)

Metoda se bazează pe proprietățile coeficienților a,b,c:

În cazul în care un a+b+c=0, atunci = 1, =

Exemplu:

-6x 2 + 2x +4=0, atunci = 1, = = .

În cazul în care un a-b+c=0, atunci = -1, = -

Exemplu:

2017x 2 + 2001x +16 = 0, atunci = -1, -.

1. 1. DEPENDENȚE DE COEFICIENȚI (a,b,c)

Următoarele dependențe ale coeficienților sunt valabile a,b,c:

Dacă b=a 2 +1, c=a, atunci x 1 =-a; x 2 \u003d -.

Dacă b=-(a 2 +1), a=c, atunci x 1 =a; x 2 =.

Dacă b=a 2 -1, c=-a, atunci x 1 =-a; x 2 = .

Dacă b=-(a 2 -1), -a=c, atunci x 1 =a; x 2 \u003d -.

Să rezolvăm următoarele ecuații:

5x 2 + 26x + 5 = 0

X 1 = -5

X 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

X 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

X 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

X 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. „REVERSIUNEA” COEFICIENTULUI PRINCIPAL

Coeficient A este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „transferat” acestuia, de aceea se numește metoda „transferului”. În plus, rădăcinile sunt găsite prin teorema lui Vieta. Rădăcinile găsite sunt împărțite la coeficientul transferat anterior, datorită căruia găsim rădăcinile ecuației.

Exemplu:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

Să „transferăm” coeficientul 2 la termenul liber, ca rezultat obținem ecuația

la 2 - 3y + 2 = 0.

Conform teoremei lui Vieta

la 1 = 2, x 1 = 2/2, x 1 = 1,

la 2 = 1; X 2 = 1/2; X 2 = 0,5.

Răspuns: 0,5; unu.

1. 1. METODA DE SOLUȚIE GRAFICĂ

Dacă în ecuația a X 2 + bx + c= 0 mutați al doilea și al treilea termen în partea dreaptă, apoi obținem a X 2 = -bx-c .

Să construim grafice de dependență la= axul 2 și la= -bx-cîntr-un singur sistem de coordonate.

Graficul primei dependențe este o parabolă care trece prin origine. Graficul celei de-a doua dependențe este o linie dreaptă.

Sunt posibile următoarele cazuri:

o linie dreaptă și o parabolă se pot intersecta în două puncte, abscisele punctelor de intersecție sunt rădăcinile unei ecuații pătratice;

linia și parabola se pot atinge (doar un punct comun), adică ecuația are o singură soluție;

linia dreaptă și parabola nu au puncte comune, adică. o ecuație pătratică nu are rădăcini.

Să rezolvăm următoarele ecuații:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 \u003d - 2x + 3

Într-un sistem de coordonate, construim un grafic al funcției y \u003d x 2 și un grafic al funcției y \u003d - 2x + 3. Notând abscisele punctelor de intersecție, obținem răspunsul.

Răspuns: x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 \u003d - 6x - 9

Într-un sistem de coordonate, construim un grafic al funcției y \u003d x 2 și un grafic al funcției y \u003d -6x - 9. Indicând abscisa punctului de atingere, obținem răspunsul.

Răspuns: x = - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

Într-un sistem de coordonate, construim un grafic al funcției y \u003d 2x 2 și un grafic al funcției

Parabola y \u003d 2x 2 și linia dreaptă y \u003d - 4x - 7 nu au puncte comune, prin urmare ecuația nu are rădăcini.

Răspuns: fără rădăcini.

1. 1. REZOLVAREA ECUATIILOR CADRATICE CU AJUTORUL BUSOLEI SI RIGILEI

Rezolvăm ecuația ax 2 + bx + c \u003d 0:

Să construim punctele S(-b:2a,(a+c):2a) - centrul cercului și punctul A(0,1).

Desenați un cerc cu raza SA.

Abcisele punctelor de intersecție cu axa Ox sunt rădăcinile ecuației inițiale.

În acest caz, sunt posibile trei cazuri:

1) Raza cercului este mai mare decât ordonata centrului ( AS>SK, sau R>), cercul intersectează axa Oh in doua puncte..B( X 1 ; 0) și D(x 2 ;0), unde X 1 și X 2 - rădăcinile ecuaţiei pătratice Oh 2 + bx + c = 0.

2) Raza cercului este egală cu ordonata centrului ( AS = SВ, sau R=), cercul atinge axa Ohîn punctul B( X 1 ; 0), unde X 1 este rădăcina ecuației pătratice.

3) Raza cercului este mai mică decât ordonata centrului ( LA FEL DE< SВ , sau R< ), cercul nu are puncte comune cu axa x, caz în care ecuația nu are soluție.

A) AS > SВ sau R >, b) AS = SВ sau R=în) LA FEL DE< SВ, sau R< .

Două soluții X 1 și X 2 . O Soluție X 1.. Nu are solutie.

Exemplul 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.

Decizie:

Să desenăm un cerc cu rază SA, Unde DAR (0;1).

Răspuns: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3.

Exemplul 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

Decizie: Aflați coordonatele S: x=3, y=5.

Răspuns: x=3.

Exemplul 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

Decizie: Coordonatele centrului cercului: x= - 2 și y = 3.

Răspuns: fără rădăcini

1. 1. SOLUȚIE NOMOGRAMĂ

Nomograma (din grecescul „nomos” - lege și gram), o reprezentare grafică a unei funcții a mai multor variabile, care permite utilizarea unor operații geometrice simple (de exemplu, aplicarea unei rigle) pentru a explora dependențe funcționale fără calcule. De exemplu, rezolvați o ecuație pătratică fără a folosi formule.

Acesta este un mod vechi și uitat în prezent de a rezolva ecuații pătratice, plasat la pagina 83 a colecției: Bradis V.M. „Tabelele matematice cu patru dimensiuni”. - M., „DROFA”, 2000. Tabelul XXII. Nomograma pentru rezolvarea ecuațiilor z 2 + pz + q = 0(vezi Anexa 1).

Această nomogramă permite, fără a rezolva ecuația pătratică, să se determine rădăcinile ecuației prin coeficienții ei.

Scara curbilinie a nomogramei este construită după formulele: OV= , AB =

Presupunând OS = p, ED = q, OE = a(toate în cm), din triunghiuri similare SANși CDF obţinem proporţia de care, după substituţii şi simplificări, urmează ecuaţia z 2 + pz + q = 0, iar litera z înseamnă eticheta oricărui punct de pe scara curbilinie.

Exemplul 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

Pe scara p găsim semnul -9, iar pe scara q marcajul 8. Tragem o linie dreaptă prin aceste semne care intersectează curba scării nomogramei la punctele 1 și 8. Prin urmare, rădăcinile ecuației 1 și 8.

Raspunsul 1; opt.

Această ecuație este rezolvată în tabelul Bradys de la pagina 83 (vezi Anexa 1).

Exemplul 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Împărțim coeficienții acestei ecuații la 2, obținem ecuația:

z 2 - 4,5z + 1 = 0. Nomograma dă rădăcini z 1 = 4 și z 2 = 0,5.

Răspuns: 4; 0,5.

Exemplul 3:X 2 - 25x + 66 = 0

Coeficienții p și q sunt în afara scalei. Să efectuăm înlocuirea x=5z, obținem ecuația:

z 2 - 5z + 2,64 = 0,

care se rezolvă prin intermediul unei nomograme.

Obțineți z 1 = 0,6 și z 2 = 4,4,

Unde X 1 = 5z 1 = 3,0 și X 2 = 5z 2 = 22,0.

Răspuns: 3; 22.

Exemplul 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , iar rădăcina negativă se găsește scăzând rădăcina pozitivă din - p , acestea. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Raspunsul 1; -6.

Exemplul 5: z 2 - 2z - 8 = 0, nomograma dă o rădăcină pozitivă a lui z 1 =4, iar negativ este z 2 =-p-4=

= 2 - 4= -2.

Răspuns: 4; -2.

CAPITOLUL 2

Am decis să scriem un program pentru a rezolva o ecuație pătratică folosind Excel, un program de calculator folosit pe scară largă. Este necesar pentru calcule, întocmirea de tabele și diagrame, calcularea funcțiilor simple și complexe. Face parte din suita Microsoft Office.

Foaie Excel care prezintă formule:

O foaie Excel care arată un exemplu specific de rezolvare a unei ecuații pătratice X 2 - 14x - 15 = 0:

CAPITOLUL 3

Formula rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind discriminanții D și D1	Versatilitate, pentru că poate fi folosit pentru a rezolva absolut toate ecuațiile pătratice	Discriminant greoi care nu este inclus în tabelul de pătrate
teorema lui Vieta	Soluție rapidă în anumite cazuri și economie de timp	Dacă discriminantul nu este pătratul perfect al unui număr întreg. Coeficienți neîntregi b și c.
Selecție completă de pătrat	Cu transformarea corectă în pătratul binomului, obținem o ecuație pătratică incompletă și, prin urmare, rădăcinile se găsesc mai repede	Complexitatea selectării unui pătrat complet pentru coeficienții fracționali ai ecuației
Metoda de grupare	Poate fi rezolvat fără a cunoaște formulele	Nu este întotdeauna posibil să descompuneți termenul mediu în termeni potriviți pentru grupare
Mod grafic	Nu sunt necesare formule. Puteți afla rapid numărul de rădăcini ale unei ecuații	Aproximarea soluției
Proprietățile coeficienților a,b,c	Rapiditatea deciziei. Pentru ecuații cu coeficienți mari	Potrivit doar pentru unele ecuații
„Reroll” al coeficientului principal	Viteza soluției dacă rădăcinile sunt întregi	La fel ca și cu teorema lui Vieta
Nomograma	vizibilitate Tot ce este nevoie pentru a rezolva este o nomogramă	Nu ai întotdeauna o nomogramă cu tine. Inexactitatea soluției
Găsirea rădăcinilor cu o busolă și o linie dreaptă	vizibilitate	Dacă coordonatele centrului sunt numere neîntregi. Găsirea rădăcinilor ecuațiilor cu coeficienți mari

CONCLUZIE

„Este adesea mai util pentru un student de algebră să rezolve aceeași problemă în trei moduri diferite decât să rezolve trei sau patru probleme diferite. Rezolvând o problemă cu diferite metode, puteți afla prin comparație care dintre ele este mai scurtă și mai eficientă. Așa se face experiența.”

Walter Warwick Sawyer

Pe parcursul lucrării, am colectat material și am studiat metode de rezolvare (găsirea rădăcinilor) ecuațiilor pătratice. Rezolvarea ecuațiilor în diferite moduri este prezentată în Anexa 2.

Studiind diferite moduri de rezolvare a ecuațiilor pătratice, am ajuns la concluzia că pentru fiecare ecuație puteți alege cel mai eficient și rațional mod de a găsi rădăcinile. Fiecare dintre soluții este unică și convenabilă în anumite cazuri. Unele metode de rezolvare economisesc timp, ceea ce este important la rezolvarea sarcinilor pentru OGE, altele ajută la rezolvarea ecuației cu coeficienți foarte mari. Am încercat să comparăm diferite soluții prin compilarea unui tabel care reflectă avantajele și dezavantajele fiecăreia dintre metode.

Am dezvoltat materiale promoționale. Vă puteți familiariza cu banca de sarcini pe tema din Anexa 3.

Folosind Microsoft Excel, am compilat o foaie de calcul care vă permite să calculați automat rădăcinile unei ecuații pătratice folosind formule de rădăcină.

Am susținut o lecție despre modalități neobișnuite de rezolvare a ecuațiilor pătratice pentru elevii de clasa a IX-a. Elevilor le-au plăcut foarte mult metodele, au remarcat că cunoștințele dobândite le vor fi utile în studiile ulterioare. Rezultatul lecției a fost munca elevilor, în care aceștia au prezentat diverse opțiuni de rezolvare a ecuațiilor pătratice (vezi Anexa 4).

Materialul lucrării poate fi folosit de cei care iubesc matematica și de cei care doresc să afle mai multe despre matematică.

LITERATURĂ

Bradis V. M. „Tabele matematice cu patru cifre pentru liceu”, M .: Drofa, 2000.

Vilenkin N.Ya. „Algebră pentru clasa a 8-a”, M .: Educație, 2000.

Galitsky M.L. „Culegere de sarcini în algebră”, M .: Educație 2002.

Glazer G. I. „Istoria matematicii la școală”, M .: Educație, 1982.

Zvavici L.I. „Algebră clasa a 8-a”, Moscova: Mnemosyne, 2002.

Makarychev Yu.N. „Algebră clasa a 8-a”, Moscova: Educație, 2015.

Pluzhnikov I. „10 moduri de a rezolva ecuații cuadratice” // Matematică la școală. - 2000.- Nr. 40.

Presman A.A. „Rezolvarea unei ecuații pătratice folosind un compas și o riglă”//M., Kvant, Nr. 4/72, p.34.

Savin A.P. „Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician”,

Moscova: Pedagogie, 1989.

Resurse de internet:

http://revolution.allbest.ru/

ANEXA 1

„CELECȚIA BRADIS V.M.”

ANEXA 2

„REzolvarea ecuației în toate căile”

Ecuația inițială:4x 2 +3x -1 = 0.

1.Formula rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind discriminantul D

4x 2 +3x -1 = 0

D= b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => ecuația are două rădăcini

X 1,2 =

X 1 ==

X 2 ==-1

2. Teorema lui Vieta

4x 2 +3x -1 = 0,împărțiți ecuația la 4 pentru a o reduce

X 2 +x -=0

X 1 = -1

X 2 =

3. Metoda de selecție a pătratului complet

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2x *+)-1=0

(2x+) 2 -=0

(2x + -) (2x + +) = 0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

X 1 = x 2 = -1

4. Metoda grupării

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0, produs = 0 când unul dintre factori = 0

(4x-1)=0 (x+1)=0

X 1 = x 2 = -1

5. Proprietăţile coeficienţilor

4x 2 +3x -1 = 0

Dacă a - b+c=0, atunci = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Metoda „transferului” coeficientului principal

4x 2 +3x -1 = 0

y 2 +3y - 4 = 0

Teorema lui Vieta:

y 1 = -4

y 2 = 1

Împărțim rădăcinile găsite la coeficientul principal și obținem rădăcinile ecuației noastre:

X 1 = -1

X 2 =

7. O metodă de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind o busolă și o riglă

4x 2 +3x -1 = 0

Determinați coordonatele punctului centrului cercului cu formulele:

X 1 = -1

X 2 =

8. Soluție grafică

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

Într-un sistem de coordonate, construim un grafic al funcției y = 4x 2 și graficul funcției

y \u003d - 3x + 1. Notând abscisele punctelor de intersecție, obținem răspunsul:

X 1 = -1

9. Folosind o nomogramă

4x 2 +3x -1 = 0,împărțim coeficienții ecuației 1/la 4, obținem ecuația

X 2 +x -= 0.

Nomograma dă o rădăcină pozitivă = ,

iar rădăcina negativă se găsește scăzând rădăcina pozitivă din - p , acestea.

X 2 = - p -=- -= -1.

10. Rezolvarea acestei ecuații în EXCEL

ANEXA 3

„MATERIAL DIDACTIC PENTRU TEMA

“SOLUȚIA ECUATIILOR CUADRATIVE” »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0,3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 \u003d 0 1 -0,01

5x 2 + 9x + 4 \u003d 0 -1 -0,8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s \u003d 0 1 -1,5

55x 2 -44x -11= 0 1 -0,2

6x 2 - 7x - 3 \u003d 0 -, 1,5

4x 2 -17x-15 = 0 -0,75,5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 + 10x + 7 \u003d 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 \u003d 0 2, 0,2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2,5, 3

4x 2 + 4x -3 \u003d 0 -1,5, 0,5

5x 2 -12x + 7 = 0 1,4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1,5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

ANEXA 4

LUCRĂRI STUDENTILOR

O ecuație care este un trinom pătratic se numește în mod obișnuit ecuație pătratică. Din punct de vedere al algebrei, este descris prin formula a*x^2+b*x+c=0. În această formulă, x este necunoscutul care trebuie găsit (se numește variabilă liberă); a, b și c sunt coeficienți numerici. În ceea ce privește componentele acestuia, există o serie de restricții: de exemplu, coeficientul a nu ar trebui să fie egal cu 0.

Rezolvarea ecuației: conceptul de discriminant

Valoarea necunoscutului x, la care ecuația pătratică se transformă într-o egalitate adevărată, se numește rădăcina unei astfel de ecuații. Pentru a rezolva o ecuație pătratică, trebuie mai întâi să găsiți valoarea unui coeficient special - discriminantul, care va arăta numărul de rădăcini ale egalității considerate. Discriminantul se calculează prin formula D=b^2-4ac. În acest caz, rezultatul calculului poate fi pozitiv, negativ sau egal cu zero.

În acest caz, trebuie avut în vedere faptul că conceptul necesită ca numai coeficientul a să fie strict diferit de 0. Prin urmare, coeficientul b poate fi egal cu 0, iar ecuația însăși în acest caz este a * x ^ 2 + c \u003d 0. Într-o astfel de situație, valoarea coeficientului egală cu 0 ar trebui utilizată în formulele de calcul a discriminantului și a rădăcinilor. Deci, discriminantul în acest caz va fi calculat ca D=-4ac.

Rezolvarea ecuației cu un discriminant pozitiv

Dacă discriminantul ecuației pătratice s-a dovedit a fi pozitiv, putem concluziona din aceasta că această egalitate are două rădăcini. Aceste rădăcini pot fi calculate folosind următoarea formulă: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Astfel, pentru a calcula valoarea rădăcinilor ecuației pătratice cu o valoare pozitivă a discriminantului, se folosesc valorile cunoscute ale coeficienților disponibili în. Datorită utilizării sumei și diferenței în formula de calcul a rădăcinilor, rezultatul calculelor va fi două valori care transformă egalitatea în cauză în cea corectă.

Rezolvarea ecuației cu discriminant zero și negativ

Dacă discriminantul ecuației pătratice s-a dovedit a fi egal cu 0, putem concluziona că ecuația specificată are o rădăcină. Strict vorbind, în această situație, ecuația are încă două rădăcini, dar datorită discriminantului zero, acestea vor fi egale între ele. În acest caz x=-b/2a. Dacă, în cursul calculelor, valoarea discriminantului se dovedește a fi negativă, trebuie concluzionat că ecuația pătratică considerată nu are rădăcini, adică astfel de valori ale lui x la care se transformă într-o egalitate adevărată.

Ecuatii lineare. Soluție, exemple.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ecuatii lineare.

Ecuațiile liniare nu sunt subiectul cel mai dificil în matematica școlară. Dar există câteva trucuri acolo care pot deruta chiar și un student instruit. Să ne dăm seama?)

O ecuație liniară este de obicei definită ca o ecuație de forma:

topor + b = 0 Unde a și b- orice numere.

2x + 7 = 0. Aici a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Aici a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Aici a=12, b=1/2

Nimic complicat, nu? Mai ales dacă nu observi cuvintele: „unde a și b sunt numere”... Și dacă observi, dar gândește-te neglijent?) La urma urmei, dacă a=0, b=0(este posibile numere?), atunci obținem o expresie amuzantă:

Dar asta nu este tot! Dacă, să zicem, a=0, A b=5, se dovedește ceva destul de absurd:

Ce stresează și subminează încrederea în matematică, da...) Mai ales la examene. Dar dintre aceste expresii ciudate, trebuie să găsiți și X! Care nu există deloc. Și, surprinzător, acest X este foarte ușor de găsit. Vom învăța cum să o facem. În această lecție.

Cum să recunoaștem o ecuație liniară în aparență? Depinde de ce aspect.) Trucul este că ecuațiile liniare se numesc nu numai ecuații de forma topor + b = 0 , dar și orice ecuații care se reduc la această formă prin transformări și simplificări. Și cine știe dacă este redus sau nu?)

O ecuație liniară poate fi recunoscută clar în unele cazuri. Să spunem, dacă avem o ecuație în care există doar necunoscute de gradul întâi, da numere. Și ecuația nu fracții împărțite la necunoscut , este important! Și împărțirea după număr, sau o fracție numerică - asta este! De exemplu:

Aceasta este o ecuație liniară. Există fracții aici, dar nu există x-uri în pătrat, în cub etc. și nu există x-uri în numitori, i.e. Nu împărțirea cu x. Și aici este ecuația

nu poate fi numit liniar. Aici x-urile sunt toate în primul grad, dar există împărțirea prin expresie cu x. După simplificări și transformări, puteți obține o ecuație liniară și una pătratică și orice doriți.

Se pare că este imposibil să afli o ecuație liniară într-un exemplu complicat până când aproape că o rezolvi. Este supărător. Dar în teme, de regulă, ei nu întreabă despre forma ecuației, nu? În sarcini, ecuațiile sunt ordonate decide. Asta ma face fericit.)

Rezolvarea ecuațiilor liniare. Exemple.

Întreaga soluție a ecuațiilor liniare constă din transformări identice ale ecuațiilor. Apropo, aceste transformări (până la două!) stau la baza soluțiilor toate ecuațiile matematicii. Cu alte cuvinte, decizia orice Ecuația începe cu aceleași transformări. În cazul ecuațiilor liniare, ea (soluția) asupra acestor transformări se termină cu un răspuns cu drepturi depline. Are sens să urmezi linkul, nu?) Mai mult, există și exemple de rezolvare a ecuațiilor liniare.

Să începem cu cel mai simplu exemplu. Fara capcane. Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea ecuație.

x - 3 = 2 - 4x

Aceasta este o ecuație liniară. X-urile sunt toate la prima putere, nu există nicio împărțire cu X. Dar, de fapt, nu ne interesează care este ecuația. Trebuie să o rezolvăm. Schema de aici este simplă. Strângeți totul cu x în partea stângă a ecuației, totul fără x (numerele) în dreapta.

Pentru a face acest lucru, trebuie să transferați - 4x în partea stângă, cu schimbare de semn, desigur, dar - 3 - La dreapta. Apropo, asta este prima transformare identică a ecuațiilor. Uimit? Deci, nu au urmat linkul, dar în zadar ...) Primim:

x + 4x = 2 + 3

Dam similare, consideram:

De ce avem nevoie pentru a fi complet fericiți? Da, ca să fie un X curat în stânga! Cinci iese în cale. Scapă de cei cinci cu a doua transformare identică a ecuațiilor.Și anume, împărțim ambele părți ale ecuației la 5. Obținem un răspuns gata făcut:

Un exemplu elementar, desigur. Aceasta este pentru o încălzire.) Nu este foarte clar de ce mi-am amintit aici transformări identice? BINE. Luăm taurul de coarne.) Să decidem ceva mai impresionant.

De exemplu, iată această ecuație:

De unde începem? Cu X - la stânga, fără X - la dreapta? Ar putea fi așa. Pași mici de-a lungul drumului lung. Și poți imediat, într-un mod universal și puternic. Cu excepția cazului în care, desigur, în arsenalul tău există transformări identice ale ecuațiilor.

Vă pun o întrebare cheie: Ce îți displace cel mai mult la această ecuație?

95 de persoane din 100 vor răspunde: fractii ! Răspunsul este corect. Deci hai să scăpăm de ei. Așa că începem imediat cu a doua transformare identică. Cu ce ​​aveți nevoie pentru a înmulți fracția din stânga, astfel încât numitorul să fie complet redus? Așa e, 3. Și în dreapta? Cu 4. Dar matematica ne permite să înmulțim ambele părți cu acelasi numar. Cum ieșim? Să înmulțim ambele părți cu 12! Acestea. la un numitor comun. Atunci cei trei vor fi redusi, iar cei patru. Nu uitați că trebuie să înmulțiți fiecare parte în întregime. Iată cum arată primul pas:

Extinderea parantezelor:

Notă! Numărător (x+2) Am luat intre paranteze! Acest lucru se datorează faptului că la înmulțirea fracțiilor, numărătorul este înmulțit cu întreg, în întregime! Și acum puteți reduce fracțiile și reduceți:

Deschiderea parantezelor rămase:

Nu un exemplu, ci pură plăcere!) Acum ne amintim vraja de la clasele inferioare: cu x - la stânga, fără x - la dreapta!Și aplicați această transformare:

Iată câteva de genul:

Și împărțim ambele părți la 25, adică. aplica din nou a doua transformare:

Asta e tot. Răspuns: X=0,16

Rețineți: pentru a aduce ecuația originală confuză într-o formă plăcută, am folosit două (doar două!) transformări identice- translație stânga-dreapta cu schimbare de semn și înmulțire-împărțire a ecuației cu același număr. Aceasta este calea universală! Vom lucra în acest fel orice ecuatii! Absolut orice. De aceea, repet mereu aceste transformări identice.)

După cum puteți vedea, principiul rezolvării ecuațiilor liniare este simplu. Luăm ecuația și o simplificăm cu ajutorul transformărilor identice până obținem răspunsul. Principalele probleme aici sunt în calcule, și nu în principiul soluției.

Dar ... Există astfel de surprize în procesul de rezolvare a celor mai elementare ecuații liniare pe care le pot duce într-o stupoare puternică ...) Din fericire, pot exista doar două astfel de surprize. Să le numim cazuri speciale.

Cazuri speciale în rezolvarea ecuațiilor liniare.

Surpriza mai intai.

Să presupunem că întâlniți o ecuație elementară, ceva de genul:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Puțin plictisit, ne transferăm cu X la stânga, fără X - la dreapta ... Cu o schimbare de semn, totul este chin-chinar ... Primim:

2x-5x+3x=5-2-3

Noi credem, și... oh! Primim:

În sine, această egalitate nu este inacceptabilă. Zero este într-adevăr zero. Dar X a dispărut! Și trebuie să scriem în răspuns, cu ce este egal x. Altfel, soluția nu contează, da...) O fundătură?

Calm! În astfel de cazuri îndoielnice, regulile cele mai generale salvează. Cum se rezolvă ecuațiile? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație? Inseamna, găsiți toate valorile lui x care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, ne vor oferi egalitatea corectă.

Dar avem egalitatea corectă deja s-a întâmplat! 0=0, unde de fapt?! Rămâne să ne dăm seama la ce x se obține acest lucru. În ce valori ale lui x pot fi înlocuite iniţială ecuația dacă aceste x-uri încă se micșorează la zero? Haide?)

Da!!! X-urile pot fi înlocuite orice! Ce vrei. Cel puțin 5, cel puțin 0,05, cel puțin -220. Se vor micșora în continuare. Dacă nu mă credeți, puteți verifica.) Înlocuiți orice valori x în iniţială ecuație și calculează. Tot timpul se va obține adevărul pur: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 și așa mai departe.

Iată răspunsul tău: x este orice număr.

Răspunsul poate fi scris în diferite simboluri matematice, esența nu se schimbă. Acesta este un răspuns complet corect și complet.

Surpriza a doua.

Să luăm aceeași ecuație liniară elementară și să schimbăm doar un număr din ea. Iată ce vom decide:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

După aceleași transformări identice, obținem ceva intrigant:

Ca aceasta. Am rezolvat o ecuație liniară, am obținut o egalitate ciudată. Matematic vorbind, avem egalitate greșită.Și în termeni simpli, acest lucru nu este adevărat. Rave. Dar, cu toate acestea, acest nonsens este un motiv destul de bun pentru rezolvarea corectă a ecuației.)

Din nou, gândim pe baza unor reguli generale. Ce ne va da x, atunci când este înlocuit în ecuația originală corect egalitate? Da, niciunul! Nu există astfel de exe. Orice ai înlocui, totul va fi redus, prostiile vor rămâne.)

Iată răspunsul tău: nu exista solutii.

Acesta este, de asemenea, un răspuns perfect valid. În matematică, astfel de răspunsuri apar adesea.

Ca aceasta. Acum, sper că pierderea lui x în procesul de rezolvare a oricărei ecuații (nu doar liniare) nu vă va deranja deloc. Treaba este familiară.)

Acum că ne-am ocupat de toate capcanele din ecuațiile liniare, este logic să le rezolvăm.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Obișnuit, ecuații apar în probleme în care se cere găsirea unei anumite valori. Ecuația ne permite să formulăm problema în limbajul algebrei. Rezolvând ecuația, obținem valoarea mărimii dorite, care se numește necunoscută. „Andrey are câteva ruble în portofel. Dacă înmulțiți acest număr cu 2 și apoi scădeți 5, obțineți 10. Câți bani are Andrey?” Să notăm suma de bani necunoscută cu x și să scriem ecuația: 2x-5=10.

Pentru a vorbi despre modalități de rezolvare a ecuațiilor, mai întâi trebuie să definiți conceptele de bază și să vă familiarizați cu notația general acceptată. Pentru diferite tipuri de ecuații, există diferiți algoritmi pentru rezolvarea acestora. Ecuațiile de gradul întâi cu o necunoscută sunt cele mai ușor de rezolvat. Mulți de la școală sunt familiarizați cu formula de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Tehnicile matematicii superioare vor ajuta la rezolvarea ecuațiilor de ordin superior. Mulțimea numerelor pe care este definită o ecuație este strâns legată de soluțiile acesteia. Relația dintre ecuații și graficele funcțiilor este de asemenea interesantă, deoarece reprezentarea ecuațiilor într-o formă grafică este de mare ajutor în ele.

Descriere. O ecuație este o ecuație matematică cu una sau mai multe necunoscute, cum ar fi 2x+3y=0.

Expresiile de pe ambele părți ale semnului egal sunt numite partea stângă și dreaptă a ecuației. Literele alfabetului latin denotă necunoscute. Deși poate exista orice număr de necunoscute, în cele ce urmează vom vorbi doar despre ecuații cu o necunoscută, pe care o vom nota cu x.

Gradul de ecuație este puterea maximă la care este ridicat necunoscutul. De exemplu,
$3x^4+6x-1=0$ este o ecuație de gradul al patrulea, $x-4x^2+6x=8$ este o ecuație de gradul doi.

Se numesc numerele cu care se înmulțește necunoscutul coeficienți. În exemplul anterior, necunoscuta puterii a patra are un coeficient de 3. Dacă, când x este înlocuit cu acest număr, egalitatea dată este satisfăcută, atunci se spune că acest număr satisface ecuația. Se numeste rezolvarea ecuației, sau rădăcina acestuia. De exemplu, 3 este rădăcina, sau soluția, a ecuației 2x+8=14, deoarece 2*3+8=6+8=14.

Rezolvarea ecuațiilor. Să presupunem că vrem să rezolvăm ecuația 2x+5=11.

Puteți înlocui orice valoare x în ea, de exemplu x = 2. Să înlocuim x cu 2 și să obținem: 2*2+5=4+5=9.

Ceva nu este în regulă aici, pentru că în partea dreaptă a ecuației ar fi trebuit să obținem 11. Să încercăm x=3: 2*3+5=6+5=11.

Răspunsul este corect. Se pare că dacă necunoscutul ia valoarea 3, atunci egalitatea este valabilă. Prin urmare, am arătat că numărul 3 este soluția ecuației.

Modul în care am rezolvat această ecuație se numește metoda de selectie. Evident, este incomod de utilizat. Mai mult, nici nu poate fi numită metodă. Pentru a verifica acest lucru, este suficient să încercați să îl aplicați unei ecuații de forma $x^4-5x^2+16=2365$.

Metode de rezolvare. Când există așa-numitele „reguli ale jocului”, care vă vor fi util să vă familiarizați. Scopul nostru este de a determina valoarea necunoscutului care satisface ecuația. Prin urmare, este necesar să izolați necunoscutul într-un fel. Pentru a face acest lucru, este necesar să transferați termenii ecuației dintr-o parte a acesteia în alta. Prima regula pentru rezolvarea ecuatiilor este...

1. La transferul unui termen al unei ecuații dintr-o parte în alta, semnul acestuia se schimbă în sens opus: plus se schimbă în minus și invers. Luați în considerare ecuația 2x+5=11 ca exemplu. Mutați 5 de la stânga la dreapta: 2x=11-5. Ecuația va lua forma 2x=6.

Să trecem la a doua regulă.
2. Ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite și împărțite la un număr diferit de zero. Să aplicăm această regulă ecuației noastre: $x=\frac62=3$. În partea stângă a ecuației a rămas doar necunoscutul x, prin urmare, i-am găsit valoarea și am rezolvat ecuația.

Tocmai am considerat cea mai simplă problemă - ecuație liniară cu o necunoscută. Ecuațiile de acest tip au întotdeauna o soluție, în plus, se pot rezolva oricând folosind cele mai simple operații: adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Din păcate, nu toate ecuațiile sunt la fel de simple. Mai mult, gradul de complexitate a acestora crește foarte repede. De exemplu, ecuațiile de gradul II pot fi rezolvate cu ușurință de orice liceu, dar metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare sau a ecuațiilor de grade superioare sunt studiate doar la liceu.

Ministerul Învățământului General și Profesional al Federației Ruse

Instituție de învățământ municipală

Gimnaziul nr 12

scris

pe tema: Ecuații și modalități de rezolvare a acestora

Finalizat: elevul 10 clasa „A”.

Krutko Evgheni

Verificat: profesor de matematică Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen 2001

Plan................................................. ................................................. . ............................... unu

Introducere ................................................ . ................................................ .. ....................... 2

Parte principală................................................ ................................................. . .............. 3

Concluzie................................................. ................................................. . ................ 25

Apendice................................................. ................................................. . ............... 26

Lista de referinte ............................................... ............................... ................... ... 29

Plan.

Introducere.

Referință istorică.

Ecuații. Ecuații algebrice.

a) Definiții de bază.

b) Ecuația liniară și cum se rezolvă.

c) Ecuaţii pătratice şi metode de rezolvare a acesteia.

d) Ecuații cu doi termeni, o modalitate de a le rezolva.

e) Ecuații cubice și metode de rezolvare a acestuia.

f) Ecuația biquadratică și metoda rezolvării acesteia.

g) Ecuații de gradul IV și metode de rezolvare a acestuia.

g) Ecuaţii de grade înalte şi metode din soluţie.

h) Ecuația algebrică rațională și metoda acesteia

i) Ecuații iraționale și metode de rezolvare a acesteia.

j) Ecuații care conțin necunoscutul sub semn.

valoarea absolută și cum să o rezolvi.

Ecuații transcendentale.

a) Ecuații exponențiale și modul de rezolvare a acestora.

b) Ecuații logaritmice și modul de rezolvare a acestora.

Introducere

Educația matematică primită într-o școală de învățământ general este o componentă esențială a educației generale și a culturii generale a unei persoane moderne. Aproape tot ceea ce înconjoară o persoană modernă este legat într-un fel sau altul de matematică. Iar ultimele progrese în fizică, inginerie și tehnologia informației nu lasă nicio îndoială că în viitor starea de lucruri va rămâne aceeași. Prin urmare, rezolvarea multor probleme practice se reduce la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații care trebuie învățate să le rezolve.

Această lucrare este o încercare de generalizare și sistematizare a materialului studiat pe tema de mai sus. Am aranjat materialul după gradul de complexitate, începând cu cel mai simplu. Include atât tipurile de ecuații cunoscute nouă de la cursul școlar de algebră, cât și material suplimentar. Totodată, am încercat să arăt tipurile de ecuații care nu sunt studiate la cursul școlar, dar a căror cunoaștere poate fi necesară la intrarea într-o instituție de învățământ superior. În munca mea, la rezolvarea ecuațiilor, nu m-am limitat doar la o soluție reală, ci am indicat și una complexă, deoarece cred că altfel ecuația pur și simplu nu este rezolvată. La urma urmei, dacă nu există rădăcini reale în ecuație, atunci asta nu înseamnă că nu are soluții. Din păcate, din lipsă de timp, nu am putut să prezint tot materialul pe care îl am, dar chiar și cu materialul care este prezentat aici pot apărea multe întrebări. Sper că cunoștințele mele sunt suficiente pentru a răspunde la majoritatea întrebărilor. Deci, voi prezenta materialul.

Matematica... dezvăluie ordinea

simetrie și certitudine,

iar acestea sunt cele mai importante tipuri de frumusețe.

Aristotel.

Referință istorică

În acele vremuri îndepărtate, când înțelepții au început să se gândească la egalități care conțineau cantități necunoscute, probabil că nu existau încă monede sau portofele. Dar, pe de altă parte, erau grămezi, precum și oale, coșuri, care erau perfecte pentru rolul de depozite-magazine care conțineau un număr necunoscut de articole. „Căutăm o grămadă, care, împreună cu două treimi din ea, o jumătate și o șapte, este de 37...”, a predat scribul egiptean Ahmes în mileniul II î.Hr. În vechile probleme de matematică din Mesopotamia, India, China, Grecia, cantitățile necunoscute exprimau numărul de păuni din grădină, numărul de tauri din turmă, totalitatea lucrurilor luate în considerare la împărțirea proprietății. Cărturarii, funcționarii și preoții inițiați în cunoștințele secrete, bine pregătiți în știința numărării, au făcut față unor astfel de sarcini cu succes.

Surse care au ajuns la noi indică faptul că oamenii de știință antici posedau câteva metode generale de rezolvare a problemelor cu cantități necunoscute. Cu toate acestea, nici un papirus, nici o tabletă de lut nu oferă o descriere a acestor tehnici. Autorii au furnizat doar ocazional calculele lor numerice cu comentarii medii precum: „Uite!”, „Fă-o!”, „Ai găsit corect”. În acest sens, excepția este „Aritmetica” a matematicianului grec Diophantus din Alexandria (sec. III) - o colecție de probleme pentru compilarea ecuațiilor cu o prezentare sistematică a soluțiilor acestora.

Cu toate acestea, lucrarea savantului de la Bagdad din secolul al IX-lea a devenit primul manual de rezolvare a problemelor care a devenit cunoscut pe scară largă. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Cuvântul „al-jabr” din titlul arab al acestui tratat – „Kitab al-jaber wal-muqabala” („Cartea restaurării și a contrastului”) – s-a transformat de-a lungul timpului în cuvântul „algebră”, binecunoscut tuturor, iar munca lui al-Khwarizmi în sine a servit ca punct de plecare în dezvoltarea științei rezolvării ecuațiilor.

ecuații. Ecuații algebrice

Definiții de bază

În algebră, sunt luate în considerare două tipuri de egalități - identități și ecuații.

Identitate este o egalitate care este valabilă pentru toate valorile (admisibile) ale literelor). Pentru a scrie identitatea împreună cu semnul

se foloseste si semnul.

Ecuația- aceasta este o egalitate care este satisfăcută numai pentru unele valori ale literelor incluse în ea. Literele incluse în ecuație, în funcție de starea problemei, pot fi inegale: unele își pot lua toate valorile permise (se numesc parametrii sau coeficienți ecuații și sunt de obicei notate cu primele litere ale alfabetului latin:

, , ... – sau aceleași litere, prevăzute cu indici: , , ... sau , , ...); se numesc altele ale căror valori se găsesc necunoscut(se notează de obicei prin ultimele litere ale alfabetului latin: , , , ... - sau prin aceleași litere, prevăzute cu indici: , , ... sau , , ...).

În general, ecuația poate fi scrisă după cum urmează:

(, , ..., ).

În funcție de numărul de necunoscute, ecuația se numește ecuație cu una, două necunoscute etc.