Amintiți-vă informațiile necesare despre numerele complexe.

Număr complex este o expresie a formei A + bi, Unde A, b sunt numere reale și i- așa-zisul unitate imaginară, simbolul al cărui pătrat este -1, adică. i 2 = -1. Număr A numit parte reală, și numărul b - parte imaginară număr complex z = A + bi. În cazul în care un b= 0, atunci în loc de A + 0i scrie simplu A. Se poate observa că numerele reale sunt un caz special de numere complexe.

Operațiile aritmetice pe numere complexe sunt aceleași ca pe cele reale: ele pot fi adunate, scăzute, înmulțite și împărțite între ele. Adunarea și scăderea se procedează conform regulii ( A + bi) ± ( c + di) = (A ± c) + (b ± d)i, și înmulțirea - conform regulii ( A + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (anunț + bc)i(aici se folosește doar așa i 2 = -1). Număr = A – bi numit conjugare complexa la z = A + bi. Egalitate z · = A 2 + b 2 vă permite să înțelegeți cum să împărțiți un număr complex la un alt număr complex (diferit de zero):

(De exemplu, .)

Numerele complexe au o reprezentare geometrică convenabilă și vizuală: numărul z = A + bi poate fi reprezentat ca un vector cu coordonate ( A; b) pe planul cartezian (sau, care este aproape același, un punct - capătul vectorului cu aceste coordonate). În acest caz, suma a două numere complexe este reprezentată ca suma vectorilor corespunzători (care poate fi găsită prin regula paralelogramului). După teorema lui Pitagora, lungimea vectorului cu coordonatele ( A; b) este egal cu . Această valoare este numită modul număr complex z = A + biși se notează cu | z|. Unghiul pe care îl face acest vector cu direcția pozitivă a axei x (numărat în sens invers acelor de ceasornic) se numește argument număr complex zşi notat cu Arg z. Argumentul nu este definit în mod unic, ci doar până la adăugarea unui multiplu de 2 π radiani (sau 360°, dacă numărați în grade) - la urma urmei, este clar că întoarcerea printr-un astfel de unghi în jurul originii nu va schimba vectorul. Dar dacă vectorul lungimii r formează un unghi φ cu direcția pozitivă a axei x, atunci coordonatele sale sunt egale cu ( r cos φ ; r păcat φ ). Prin urmare, se dovedește notație trigonometrică număr complex: z = |z| (cos(Arg z) + i păcat (Arg z)). Este adesea convenabil să scrieți numere complexe în această formă, deoarece simplifică foarte mult calculele. Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică pare foarte simplă: z unu · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i păcat (Arg z 1+arg z 2)) (la înmulțirea a două numere complexe se înmulțesc modulele acestora și se adună argumentele). De aici urmează Formule De Moivre: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i păcat( n(Arg z))). Cu ajutorul acestor formule, este ușor să înveți cum să extragi rădăcini de orice grad din numere complexe. a n-a rădăcină a lui z este un număr atât de complex w, ce w n = z. Este clar că , Si unde k poate lua orice valoare din multime (0, 1, ..., n- unu). Aceasta înseamnă că există întotdeauna exact n rădăcini n gradul de la un număr complex (în plan sunt situate la vârfurile unui regulat n-gon).