Go) numere.

2. Forma algebrică de reprezentare a numerelor complexe

număr complex sau complex, numit număr format din doua numere (părți) - reale și imaginare.

real orice număr pozitiv sau negativ se numește, de exemplu, + 5, - 28 etc. Să notăm numărul real cu litera „L”.

imaginar un număr egal cu produsul unui număr real și rădăcina pătrată a unei unități negative se numește, de exemplu, 8, - 20 etc.

Unitatea negativă se numește imaginar și este notat cu litera „iot”:

Să notăm numărul real din compoziția imaginarului cu litera „M”.

Atunci numărul imaginar poate fi scris astfel: j M. În acest caz, numărul complex A poate fi scris astfel:

A = L + j M (2).

Această formă de scriere a unui număr complex (complex), care este suma algebrică a părților reale și imaginare, se numește algebric.

Exemplul 1 Exprimați în formă algebrică un complex a cărui parte reală este 6 și partea imaginară este 15.

Soluţie. A \u003d 6 + j 15.

Pe lângă forma algebrică, un număr complex poate fi reprezentat în încă trei:

1. grafic;

2. trigonometric;

3. indicativ.

O astfel de varietate de forme este brusc simplifică calculele marimi sinusoidale si reprezentarea lor grafica.

Luați în considerare, pe rând, graficul, trigonometric și exponent-

noua forma de reprezentare a numerelor complexe.

Reprezentarea grafică a numerelor complexe

Pentru reprezentarea grafică a numerelor complexe, direct

sistem de coordonate cărbune. În sistemul de coordonate obișnuit (școlar), pozitiv sau negativ real numere.

În sistemul de coordonate adoptat în metoda simbolică, de-a lungul axei x

numerele reale sunt reprezentate sub formă de segmente, iar numerele imaginare de-a lungul axei „y”.

Orez. 1. Sistem de coordonate pentru reprezentarea grafică a numerelor complexe

Prin urmare, axa x se numește axa valorilor reale sau, pe scurt, real axă.

Axa y se numește axa imaginară sau imaginar axă.

Planul însuși (adică planul figurii), pe care sunt reprezentate numere sau cantități complexe, se numește cuprinzătoare avion.

În acest plan, numărul complex A = L + j M este reprezentat de vectorul A

(Fig. 2), a cărei proiecție pe axa reală este egală cu partea sa reală Re A \u003d A "= L, iar proiecția pe axa imaginară este egală cu partea imaginară Im A \u003d A" \u003d M.

(Re - din engleză real - real, real, real, Im - din engleză imaginary - ireal, imaginar).

Orez. 2. Reprezentarea grafică a unui număr complex

În acest caz, numărul A poate fi scris ca

A \u003d A "+ A" \u003d Re A + j Im A (3) .

Folosind reprezentarea grafică a numărului A în plan complex, introducem noi definiții și obținem câteva relații importante:

1. lungimea vectorului A se numeste modul vector și notat cu |A|.

Conform teoremei lui Pitagora

|A| = (4) .

2. unghiul α format de vectorul A și semi-ul pozitiv real

se numește axa argument vectorul A și este determinat prin tangenta sa:

tg α \u003d A "/ A" \u003d Im A / Re A (5).

Astfel, pentru o reprezentare grafică a unui număr complex

A \u003d A „+ A” sub formă de vector, aveți nevoie de:

1. aflați modulul vectorului |A| conform formulei (4);

2. aflaţi argumentul vectorului tg α prin formula (5);

3. aflaţi unghiul α din relaţia α = arc tg α;

4. în sistemul de coordonate j (x), desenați un auxiliar

linie dreaptă și pe ea, la o anumită scară, se trasează un segment egal cu modulul vectorului |A|.

Exemplul 2 Numărul complex A \u003d 3 + j 4 este prezentat sub formă grafică.

Numere complexe, reprezentarea lor în plan. Operații algebrice pe numere complexe. Conjugare complexă. Modulul și argumentul unui număr complex. Formele algebrice și trigonometrice ale unui număr complex. Rădăcinile numerelor complexe. Funcția exponențială a unui argument complex. Formula lui Euler. Forma exponențială a unui număr complex.

Când se studiază una dintre principalele metode de integrare - integrarea fracțiilor raționale - se cere să se ia în considerare polinoamele din domeniul complex pentru demonstrații riguroase. Prin urmare, să studiem mai întâi unele proprietăți ale numerelor complexe și operațiunile asupra lor.

Definiție 7.1. Un număr complex z este o pereche ordonată de numere reale (a, b): z = (a, b) (termenul „ordonat” înseamnă că ordinea numerelor a și b este importantă în scrierea unui număr complex: (a , b) )). În acest caz, primul număr a se numește partea reală a numărului complex z și se notează a = Re z, iar al doilea număr b se numește partea imaginară a lui z: b = Im z.

Definiție 7.2. Două numere complexe z 1 \u003d (a 1, b 1) și z 2 \u003d (a 2, b 2) sunt egale dacă și numai dacă au părți reale și imaginare egale, adică a 1 \u003d a 2, b 1 \u003d b2.

Acțiuni asupra numerelor complexe.

1. sumă numere complexe z1 =(a 1, b 1) și z2 =(a 2, b 2 z=(a,b) astfel încât a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 . Proprietăți suplimentare: a) z1 + z2 = z2 + z1; b) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; c) există un număr complex 0 = (0,0): z + 0 =z pentru orice număr complex z.

2. muncă numere complexe z1 =(a 1, b 1) și z2 =(a 2, b 2) se numește număr complex z=(a,b) astfel încât a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1. Proprietăți de multiplicare: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z3, în) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Cometariu. O submulțime a mulțimii de numere complexe este mulțimea de numere reale definite ca numere complexe de forma ( A, 0). Se poate observa că în acest caz definirea operațiilor pe numere complexe păstrează regulile cunoscute ale operațiilor corespunzătoare pe numere reale. În plus, numărul real 1 = (1,0) își păstrează proprietatea atunci când este înmulțit cu orice număr complex: 1∙ z = z.

Definiție 7.3. Număr complex (0, b) se numește pur imaginar. În special, se numește numărul (0,1). unitate imaginarăși sunt simbolizate i.

Proprietățile unității imaginare:

1) i∙i=i² = -1; 2) un număr pur imaginar (0, b) poate fi reprezentat ca produs al unui număr real ( b, 0) și i: (b, 0) = b∙i.

Prin urmare, orice număr complex z = (a,b) poate fi reprezentat ca: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Definiție 7.4. O notație de forma z = a + ib se numește forma algebrică a unui număr complex.

Cometariu. Notarea algebrică a numerelor complexe face posibilă efectuarea de operații asupra lor conform regulilor obișnuite ale algebrei.

Definiție 7.5. Un număr complex se numește conjugatul complex al lui z = a + ib.

3. Scădere numerele complexe sunt definite ca operația inversă de adunare: z=(a,b) se numește diferența numerelor complexe z1 =(a 1, b 1) și z2 =(a 2, b 2), dacă a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2.

4. Divizia numerele complexe este definită ca operația inversă de înmulțire: număr z = a + ib se numește coeficient de împărțire z 1 = a 1 + ib 1și z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0) dacă z 1 = z∙z 2 . Prin urmare, părțile reale și imaginare ale coeficientului pot fi găsite din soluția sistemului de ecuații: a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1.

Interpretarea geometrică a numerelor complexe.

Număr complex z=(a,b) poate fi reprezentat ca un punct pe planul cu coordonate ( a,b) sau un vector cu originea la origine și sfârșitul în punctul ( a,b).

În acest caz, se numește modulul vectorului rezultat modul număr complex, iar unghiul format de vectorul cu direcția pozitivă a axei x este argument numere. Dat fiind a = p cos φ, b = ρ păcat φ, Unde ρ = |z| - modulul z, iar φ = arg z este argumentul său, putem obține o altă formă de scriere a unui număr complex:

Definiție 7.6. Vizualizați înregistrarea

z = p(cos φ + i păcat φ ) (7.1)

numit formă trigonometrică notarea unui număr complex.

La rândul lor, modulul și argumentul unui număr complex pot fi exprimate în termeni de Ași b: . Prin urmare, argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci până la un termen care este un multiplu de 2π.

Este ușor de observat că operația de adunare a numerelor complexe corespunde operației de adunare a vectorilor. Luați în considerare interpretarea geometrică a înmulțirii. Lasă atunci

Prin urmare, modulul produsului a două numere complexe este egal cu produsul modulelor lor, iar argumentul este suma argumentelor lor. În consecință, la împărțire, modulul coeficientului este egal cu raportul dintre modulele dividendului și divizorului, iar argumentul este diferența dintre argumentele lor.

Un caz special al operației de înmulțire este exponențiația:

- formula lui De Moivre.

Folosind relațiile obținute, enumerăm principalele proprietăți ale numerelor conjugate complexe:

Numere complexe

Noțiuni de bază

Datele inițiale ale numărului se referă la Epoca de Piatră - Paleomelită. Acestea sunt „unul”, „puțini” și „mulți”. Au fost înregistrate sub formă de crestături, noduri etc. Dezvoltarea proceselor de muncă și apariția proprietății l-au obligat pe om să inventeze numerele și numele acestora. Numerele naturale au apărut pentru prima dată N obţinute prin numărarea obiectelor. Apoi, odată cu nevoia de numărare, oamenii au avut nevoia de a măsura lungimi, suprafețe, volume, timp și alte cantități, acolo unde era necesar să se țină cont de părți din măsura utilizată. Așa s-au născut fracțiile. Fundamentarea formală a conceptelor de număr fracționar și negativ a fost realizată în secolul al XIX-lea. Set de numere întregi Z sunt numere naturale, numere naturale cu semnul minus și zero. Numerele întregi și fracționale au format o mulțime de numere raționale Q, dar chiar și ea s-a dovedit a fi insuficientă pentru studierea variabilelor în continuă schimbare. Geneza a arătat din nou imperfecțiunea matematicii: imposibilitatea de a rezolva o ecuație de forma X 2 = 3, în legătură cu care au apărut numerele iraționale eu. Unirea mulțimii numerelor raționale Qși numere iraționale eu este mulțimea numerelor reale (sau reale). R. Drept urmare, linia numerică a fost completată: fiecărui număr real corespundea unui punct de pe el. Dar pe platou R nu există nicio modalitate de a rezolva ecuația X 2 = – A 2. În consecință, din nou a fost nevoie de extinderea conceptului de număr. Deci în 1545 au apărut numerele complexe. Creatorul lor, J. Cardano, le-a numit „pur negativ”. Denumirea de „imaginar” a fost introdusă în 1637 de francezul R. Descartes, în 1777 Euler a sugerat folosirea primei litere a numărului francez i pentru a desemna unitatea imaginară. Acest simbol a intrat în uz general datorită lui K. Gauss.

În secolele al XVII-lea și al XVIII-lea, a continuat discuția despre natura aritmetică a imaginarilor și interpretarea lor geometrică. Danezul H. Wessel, francezul J. Argan și germanul K. Gauss au sugerat în mod independent ca un număr complex să fie reprezentat printr-un punct pe planul de coordonate. Mai târziu s-a dovedit că era și mai convenabil să reprezinte numărul nu prin punctul în sine, ci prin vectorul care merge în acest punct de la origine.

Abia la sfârșitul secolului al XVIII-lea - începutul secolului al XIX-lea numerele complexe și-au luat locul cuvenit în analiza matematică. Prima lor utilizare a fost în teoria ecuațiilor diferențiale și în teoria hidrodinamicii.

Definiția 1.număr complex se numește o expresie de forma , unde Xși y sunt numere reale și i este unitatea imaginară, .

două numere complexe și egal dacă și numai dacă , .

Dacă , atunci numărul este apelat pur imaginar; dacă , atunci numărul este un număr real, ceea ce înseamnă că mulțimea R DIN, Unde DIN este multimea numerelor complexe.

Conjugat unui număr complex se numește număr complex.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

Orice număr complex poate fi reprezentat printr-un punct. M(X, y) avion Oxy. O pereche de numere reale denotă, de asemenea, coordonatele vectorului rază , adică între mulţimea vectorilor de pe plan şi mulţimea numerelor complexe se poate stabili o corespondenţă unu-la-unu: .

Definiția 2.Parte reală X.

Desemnare: X= Re z(din latinescul Realis).

Definiția 3.parte imaginară număr complex se numește număr real y.

Desemnare: y= Sunt z(din latinescul Imaginarius).

Re z se depune pe axa ( Oh), Sunt z se depune pe axa ( Oi), atunci vectorul corespunzător numărului complex este vectorul rază a punctului M(X, y), (sau M(Re z, Sunt z)) (Fig. 1).

Definiția 4. Se numește un plan ale cărui puncte sunt asociate cu o mulțime de numere complexe plan complex. Abscisa se numește axa reală, deoarece conține numere reale . Axa y se numește axa imaginară, conține numere complexe pur imaginare . Se notează mulțimea numerelor complexe DIN.

Definiția 5.modul număr complex z = (X, y) este lungimea vectorului : , i.e. .

Definiția 6.Argument număr complex se numește unghiul dintre direcția pozitivă a axei ( Oh) și vector: .

Observația 3. Dacă punct z se află pe axa reală sau imaginară, poate fi găsită direct.

Există următoarele forme de numere complexe: algebric(x+iy), trigonometric(r(cos+isin )), demonstrație(re i ).

Orice număr complex z=x+iy poate fi reprezentat pe planul XOY ca un punct A(x, y).

Planul pe care sunt reprezentate numerele complexe se numește planul variabilei complexe z (punem simbolul z în plan).

Axa OX este axa reală, adică. contine numere reale. OS este axa imaginară cu numere imaginare.

x+iy- forma algebrică de scriere a unui număr complex.

Deducem forma trigonometrică a numărului complex.

Inlocuim valorile obtinute in forma initiala: , i.e.

r(cos+isin) - forma trigonometrică de scriere a unui număr complex.

Forma exponențială a unui număr complex rezultă din formula lui Euler:
,apoi

z= re i - formă exponenţială de scriere a unui număr complex.

Acțiuni asupra numerelor complexe.

1. plus. z1 +z2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . scădere. z 1 -z 2 \u003d (x1 + iy1) - (x2 + iy2) \u003d (x1-x2) + i (y1-y2);

3. multiplicare. z1z2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . Divizia. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Două numere complexe care diferă doar prin semnul unității imaginare, adică. z=x+iy (z=x-iy) se numesc conjugate.

Muncă.

z1=r(cos +isin ); z2=r(cos +isin ).

Acel produs z1*z2 al numerelor complexe este: , i.e. modulul produsului este egal cu produsul modulelor, iar argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.

;
;

Privat.

Dacă numerele complexe sunt date sub formă trigonometrică.

Dacă numerele complexe sunt date în formă exponențială.

Exponentiatie.

1. Numărul complex este dat în algebric formă.

z=x+iy, atunci z n se găsește prin Formula binomială a lui Newton:

- numărul de combinații de n elemente prin m (numărul de moduri prin care n elemente pot fi luate din m).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

Folosit pentru numere complexe.

În expresia rezultată, trebuie să înlocuiți puterile lui i cu valorile lor:

i 0 =1 Astfel, în cazul general, obținem: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

Exemplu.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i=i

2. trigonometric formă.

z=r(cos +isin ), apoi

- formula lui De Moivre.

Aici n poate fi atât „+” cât și „-” (întreg).

3. Dacă este dat un număr complex demonstrativ formă:

Extracția rădăcinilor.

Luați în considerare ecuația:
.

Soluția sa este rădăcina a n-a a numărului complex z:
.

Rădăcina a n-a a unui număr complex z are exact n soluții (valori). Rădăcina a n-a a numărului curent are o singură soluție. În soluții complexe - n.

Dacă este dat un număr complex trigonometric formă:

z=r(cos +isin ), atunci rădăcina a n-a a lui z se găsește prin formula:

, unde k=0,1…n-1.

Rânduri. Liniile numerice.

Fie variabila a să ia succesiv valorile a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n . Un astfel de set enumerat de numere se numește șir. Ea este nesfârșită.

Seria de numere este expresia a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = . Numerele a 1, a 2, a 3, ... și n sunt membri ai seriei.

De exemplu.

iar 1 este primul membru al seriei.

iar n este al n-lea sau membru comun al seriei.

O serie este considerată dată dacă este cunoscut al n-lea (termen comun al seriei).

Seria de numere are un număr infinit de membri.

Numeratoare - progresie aritmetică (1,3,5,7…).

al n-lea membru se găsește prin formula a n = a 1 + d (n-1); d=a n -a n-1 .

Numitor - progresie geometrică. b n =b 1 q n-1;
.

Se consideră suma primilor n termeni ai seriei și se notează cu Sn.

Sn=a1+a2+…+a n .

Sn este a n-a sumă parțială a seriei.

Luați în considerare limita:

S este suma seriei.

Rânduri convergent dacă această limită este finită (există o limită finită S).

Rând divergente dacă această limită este infinită.

În viitor, sarcina noastră este următoarea: să stabilim ce serie.

Una dintre cele mai simple, dar cele mai comune serii este o progresie geometrică.

, C=const.

Progresia geometrică esteconvergente lângă, dacă
, și divergente dacă
.

De asemenea, găsit serie armonică(rând
). Acest rând divergente .

Stabilirea unui număr complex este echivalentă cu setarea a două numere reale a, b - părțile reale și imaginare ale acestui număr complex. Dar o pereche ordonată de numere este reprezentată într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian printr-un punct cu coordonate.Astfel, acest punct poate servi și ca imagine pentru un număr complex z: se stabilește o corespondență unu-la-unu între numere complexe și puncte. a planului de coordonate. Când folosiți planul de coordonate pentru a descrie numere complexe, axa Ox este de obicei numită axa reală (deoarece partea reală a numărului este luată ca abscisa punctului), iar axa Oy este axa imaginară (deoarece partea imaginară al numărului este luată ca ordonată a punctului). Numărul complex z reprezentat de un punct (a, b) se numește afixul acestui punct. În acest caz, numerele reale sunt reprezentate prin puncte situate pe axa reală, iar toate numerele pur imaginare (pentru a = 0) sunt reprezentate prin puncte situate pe axa imaginară. Numărul zero este reprezentat de punctul O.

Pe fig. 8 imagini construite cu numere.

Două numere conjugate complexe sunt reprezentate prin puncte simetrice față de axa Ox (punctele din Fig. 8).

Adesea asociat unui număr complex nu este doar punctul M, reprezentând acest număr, ci și vectorul OM (vezi articolul 93), care duce de la O la M; reprezentarea unui număr de către un vector este convenabilă din punctul de vedere al interpretării geometrice a acţiunii de adunare şi scădere a numerelor complexe.

Pe fig. 9, a se arată că vectorul care reprezintă suma numerelor complexe se obține ca diagonală a unui paralelogram construit pe vectori reprezentând termenii.

Această regulă de adunare vectorială este cunoscută ca regula paralelogramului (de exemplu, pentru adăugarea de forțe sau viteze într-un curs de fizică). Scăderea poate fi redusă la adunare cu vectorul opus (Fig. 9b).

După cum se știe (Sec. 8), poziția unui punct pe plan poate fi specificată și prin coordonatele sale polare.Astfel, numărul complex - afixul punctului este determinat și de atribuire. 10 este clar care este în același timp modulul numărului complex: raza polară a punctului care reprezintă numărul este egală cu modulul acestui număr.

Unghiul polar al punctului M se numește argumentul numărului reprezentat de acest punct. Argumentul unui număr complex (cum ar fi unghiul polar al unui punct) nu este definit în mod unic; dacă este una dintre valorile sale, atunci toate valorile sale sunt exprimate prin formula

Toate valorile argumentului din agregat sunt notate cu simbolul .

Deci, orice număr complex poate fi asociat cu o pereche de numere reale: modulul și argumentul numărului dat, iar argumentul este definit ambiguu. În contrast, un modul și un argument dat corespunde unui singur număr care are modulul și argumentul dat. Numărul zero are proprietăți speciale: modulul său este zero, nu este atribuită nicio valoare specifică argumentului.

Pentru a obține unicitatea în definirea argumentului unui număr complex, una dintre valorile argumentului poate fi numită principală. Este notat cu simbolul . De obicei, ca valoare principală a argumentului, se alege o valoare care satisface inegalitățile

(în alte cazuri, inegalități).

Să acordăm atenție, de asemenea, valorilor argumentului numerelor reale și pur imaginare:

Părțile reale și imaginare ale unui număr complex (ca coordonatele carteziene ale unui punct) sunt exprimate în termeni de modul și argument (coordonatele polare ale unui punct) folosind formulele (8.3):

iar numărul complex poate fi scris în următoarea formă trigonometrică.